Abychom se vyhnuli užití diferenčních sumátorů, je vhodné soustavu rovnic(5.77) upravit následujícím způsobem

Transkript

1 Abychom se vyhnuli užití diferenčních sumátorů, je vhodné soustavu rovnic(5.77) upravit následujícím způsobem I 1 = 1 + pl 1 (U 1 +( )), = 1 pc 2 ( I 1+( I 3 )), I 3 = pl 3 (U 3 +( )), 1 U 3 = (pc 4 +1/ 2 ) ( I 3). (5.78) Výsledné schéma realizace je uvedeno na obr.5.39, ve kterém integrátory mají dílčí přenosy H 1 =, H 2 = p L 1 p C 2, H 3= p L 3, 1 H 4 = (p C 4 +1/ 2 ). (5.79) I 1 I 3 H 1 H 2 H 3 H 4 U 1 U 3 Obrázek 5.39: Modifikovaná Leap-frog struktura Obecnější přístup i pro realizace pásmových propusti lze nalézt v pracech[38], [39],[32] Filtry se spínanými kapacitory Filtry se spínanými kapacitory umožňují mikroelektronickou realizaci analogového filtrunajednomčipu 9.Vmoderníchmikroelektronickýchtechnologiíchjeproblematická realizace i samotných rezistorů. Problém spočívá i v tom, že rezistory nelze jednoduše integrovat s dostatečnou přesností a reprodukovatelností. Omezení vyplývají také z relativně velkého objemu, který rezistory zaujímají na čipu a nelineární závislosti jejich odporu na přiloženém napětí. ezistorům se můžeme vyhnout aplikací obvodů se spínanými kapacitory(sc). Obvody SC jsou založeny na poznatku, že periodicky přepínaný kapacitor může simulovat chování rezistoru.naobr.5.4ajenaznačenrezistor zapojenýmezidvěrůznánapětí U 1 a. ezistorem bude podle Ohmova zákona procházet proud I= U 1. (5.8) Obr.5.4bznázorňujeekvivalentnízapojenísespínanýmkapacitorem C.Kapaci- 9 Prvníobvody,realizovanétechnologiíNMOS,uvedlanatrhfirmaINTELpočátkemosmdesátých let při realizaci účastnického kodeku telekomunikačního systému. 149

2 5.2. Aktivní filtry I I a f c U 1 U 1 C a) b) Obrázek 5.4: Simulace rezistoru spínaným kapacitorem torjestřídavěpřepínánnanapětí U 1 a.ychlostpřepínáníjedánahodinovým (taktovacím)kmitočtem f c.běhemprvnípolovinyspínacíperiody,kdyjekapacitorpřipojenknapětí U 1,senakapacitoruvytvořínábojovelikosti Q 1 = C U 1. (5.81) Vdruhépoloviněspínacíperiodyjekapacitorpřipojenknapětí,čímžsezmění hodnota náboje na Q 2 = C. (5.82) Včasejednéperiody T=1/f c takdojdekezměněnáboje Q=Q 1 Q 2 = C (U 1 ). (5.83) Podíl Q/Tpakudáváprůměrnýproud I a,kterýprojdezajednuperiodu I a = Q T = C (U 1 ). (5.84) T Ekvivalentníodpor eq přepínanéhokapacitorujepakdánvztahem eq = U 1 I a = T C = 1 f c C. (5.85) Z rovnice(5.85) vyplývají dvě důležité vlastnosti SC obvodů: 1.Velikost eq jemožnéměnitzměnouhodinovéhokmitočtu.tímjeumožněna snadná přeladitelnost SC filtrů. 2.Velikost eq jenepřímoúměrnávelikostikapacitypřepínanéhokapacitoru.to znamená, že velikosti časových konstant ve filtru budou záviset na podílu kapacit dvou kapacitorů(a samozřejmě na hodinovém kmitočtu), jak ukazuje následný vztah τ= C τ= C f c C. (5.86) 15 Uvedená vlastnost je velmi výhodná. Pokud bude SC filtr součástí monoliticky integrované struktury, oba kapacitory budou realizovány stejnou technologií. Lze předpokládat, že se technologické odchylky(tolerance) projeví stejným způsobem v hodnotách kapacit obou kapacitorů. Protože jsou v poměru, jejich tolerance se jen málo uplatní na konečných hodnotách časových konstant filtru.

3 φ 1 φ 2 φ 1 φ 2 U C 1 φ 1 U C 1 φ 2 a) b) c) Obrázek 5.41: Praktická realizace spínaného kapacitoru Na obr.5.41a je ukázána praktická realizace spínaného kapacitoru. Přepínač je nahrazen dvojicí spínačů, které jsou ovládány dvoufázovým spínacím signálem podle obr.5.41c.uhodinovéhosignálujetřebazajistit,abysefáze φ 1 a φ 2 vzájemněnepřekrývaly a nemohlo tak dojít k současnému sepnutí obou spínačů. Ve skutečnosti jsou spínače realizovány tranzistory MOS FET, jak je schematicky naznačeno na obr.5.41b. 1 Naobr.5.42jeznázorněnaukázkarealizaceintegračníhočlánkuobvo- on off T off on 1 φ 1 φ 2 U 1 C 2 U 1 C 2 a) b) Obrázek 5.42: Spojitý a spínaný integrační C článek dem SC. Výchozí zapojení je na obr.5.42a, jeho přenosová funkce má tvar (p) U 1 (p) = 1 p 1 C (5.87) Na obr.5.42b je uvedena jeho realizace spínaným kapacitorem. Aplikací vztahu (5.85) pro vyjádření ekvivalentního odporu získáme přenosovou funkci SC obvodu (p) U 1 (p) = 1 p C. (5.88) 2 +1 f c Užitý vztah pro vyjádření ekvivalentního odporu je jen přibližnou aproximací skutečného chování spínaného prvku. Platí za podmínky, že hodinový kmitočet je mnohem vyšší než maximální kmitočet zpracovávaného analogového signálu SC filtrem(více než 1x). Přesnější vyjádření skutečného chování SC obvodu vyplývá zúvahy,ževideálnímpřípadědocházíuscobvodukezměněstavupouzevokamžicích sepnutí spínačů a SC obvod vlastně pracuje se vzorky signálu, podobně 1 Vtechnologii CMOS je spínač realizován dvojicí komplementárních tranzistorů PMOS a NMOS. 151

4 5.2. Aktivní filtry jakočíslicovýfiltr 11.Kpopisuchováníobvodujemožnévyužítzákonaozachování náboje. Pro obvod na obr. 5.42b lze napsat soustavu diferenčních rovnic C 2 u 2,φ1 (n) = C 2 u 2,φ2 (n 1), (5.89) ( + C 2 )u 2,φ2 (n) = u 1,φ1 (n)+c 2 u 2,φ1 (n). (5.9) Prvnírovniceukazuje,žeběhemfáze φ 1 jenakapacitoru C 2 zachovánnáboj,který sezdevytvořilvefázi φ 2 vpředchozíperioděhodinovéhokmitočtu.kapacitor jepřipojenpřímokezdrojivstupníhonapětíaprotosenaněmvytvořínáboj úměrnýpouzevelikostitohotonapětí.druhárovniceukazuje,žeběhemfáze φ 2 se sečtounábojenakapacitorech a C 2 avýslednénapětínaparalelníkombinaci kapacitorů vynásobené součtem kapacit musí být rovno součtu nábojů, které byly nakapacitorechpředjejichspojením,tedyběhemfáze φ 1.Zrovnice(5.89)jemožné dosadit do rovnice(5.9). Získáme tak rovnici ( + C 2 )u 2,φ2 (n)= u 1,φ1 (n)+c 2 u 2,φ2 (n 1), na kterou je možné aplikovat Z-transformaci ( + C 2 ),φ2 (z)= U 1,φ1 (z)+c 2 z 1,φ2 (z), která převede diferenční rovnici na algebraickou. Z ní je možné vyjádřit přenosovou funkci SC obvodu ve tvaru,φ2 (z) U 1,φ1 (z) = + C 2 (1 z 1 ), (5.91) kde U 1,φ1 značívstupnínapětívefázi φ 1 a,φ2 značívýstupnínapětívefázi φ 2. Přenosováfunkcedofáze φ 1 budemíttvar U 1,φ1 (z) = z 1 + C 2 (1 z 1 ), (5.92) kde,φ1 značívýstupnínapětívefázi φ 1,protožezrovnice(5.89)vyplývá,že =z 1,φ2 (z). Předchozí rovnice můžeme transformovat do roviny p substitucí ovnice(5.91) přejde na tvar z= e pt.,φ2 (p) U 1,φ1 (p) = + C 2 (1 e pt ) = 1 1+ C2 (1 e pt ) 1 1+ C2 pt. (5.93) Ztétorovnicejezřejmé,žeobvodnaobr.5.42baproximujechováníobvoduna obr. 5.42a pouze pro dostatečně velký hodinový kmitočet, jak bylo uvedeno výše. 11 PřianalýzeidealizovanéhochováníSCobvodusevycházízpředpokladu,ževobvodujsou ideální spínače s nulovým odporem v sepnutém stavu a nekonečným odporem v rozepnutém stavu. Potom dochází ke změně stavu obvodu pouze v okamžicích sepnutí spínačů a proudy v obvodu mají charakter Diracových impulsů(napětí na kapacitorech se mění skokově). 152

5 C 2 U 1 Obrázek 5.43: SC invertující integrátor C 2 U 1 Obrázek 5.44: SC neinvertující integrátor Na obr je znázorněno zapojení invertujícího SC integrátoru, které používá sériové zapojení spínaného kapacitoru. Pro zapojení je možné odvodit předchozím postupem přenosovou funkci danou vztahem U 1,φ1 (z) = C 2 (1 z 1 ). (5.94) Obr uvádí zapojení neinvertujícího SC integrátoru. Změna z invertujícího integrátoru na neinvertující byla provedena pouhou změnou fázování dvou spínačů. Zapojení má přenosovou funkci U 1,φ1 (z) = z 1 C 2 (1 z 1 ). (5.95) Vhodnou kombinací SC integrátorů je možné realizovat přenosové funkce vyšších řádů, jak bude ukázáno v následujícím příkladu. Příklad 5.11 Obvodem SC na obr realizujte dolní propust s parametry vyjádřenými tolerančnímschématem: f p =4kHz, f s =12kHz, a p =1dB, a s =3dB.Hodinový kmitočetřízeníspínačůbude f c =4kHz.PoužijteCauerovuaproximaci.Nejmenší hodnotu kapacitoru volte 1 pf. 153

6 5.2. Aktivní filtry C 3 C 5 C 4 C 2 U 4 U 1 C 6 C 7 Obrázek 5.45: SC dolní propust 2. řádu(cauer) Řešení: Řešením aproximační úlohy a bilineární transformací(postupem uvedeným v následující kapitole věnované návrhu číslicových filtrů) lze získat přenosovou funkci H(z)=, z2 +,285 z+, ,91473 z 2 2,29938 z+1, Analýzou zapojení na obr lze dospět k přenosové funkci. (5.96) U 1,φ1 (z) = C 7 C 4 z 2 +(C 6 2 C 7 C 4 )z+ C 7 C 4 (C 4 C 5 + C 2 C 4 )z 2 +( C 3 C 4 C 5 2 C 2 C 4 )z+ C 2 C 4, (5.97) kteráplatízapředpokladu,žescobvodbudenavstupubuzenzvýstupush (sampleandhold)obvodu 12.SCobvodnenínutnéanalyzovatručně,alejemožné použít vhodný program pro symbolickou analýzu SC obvodů např.[5, 7]. Návrh SC obvoduzačínávolbouhodnotkapacitorů = C 2 = C 4 =1pF,čímžsezjednoduší funkce(5.97) na tvar U 1,φ1 (z) = C 7 z 2 +(C 6 2 C 7 )z+ C 7 (C 5 +1)z 2 +(C 3 C 5 2)z+1. (5.98) Porovnáním funkcí(5.96) a(5.98) lze získat soustavu čtyř rovnic o čtyřech neznámých C 5 +1=1,91473, (5.99) C 3 C 5 2= 2,29938, (5.1) C 7 =,173814, (5.11) C 6 2 C 7 =,285, (5.12) 12 SHobvodnazačátkuperiodyhodinovéhosignáluodeberevzorekvstupníhonapětíatuto hodnotu udržuje na výstupu po celou dobu jedné periody. 154

7 kde hodnoty kapacitorů budou v pf. Řešením soustavy obdržíme hodnoty kapacitzbývajícíchkapacitorů: C 5 =,9147pF, C 3 =,6154pF, C 7 =,1738pF, C 6 =,5484pF.Podosazenítěchtohodnotdofunkce(5.97)případně(5.98)je možné porovnat výsledek s výchozí přenosovou funkcí(5.96) a tím ověřit správnost výpočtu. Na obr. 5.46a je zobrazena modulová charakteristika SC filtru pro výstup plnoučárouaprovýstup U 4 tečkovanoučárou.zgrafujevidět,žemaximum nastává u obou charakteristik při jiné úrovni. Uvedený návrh není optimální z hlediska dynamických poměrů a je nutno návrh vhodným způsobem korigovat tak, aby obě maxima měla stejnou úroveň. Výpočtem byly určeny následující hodnoty maxim a jejich podíl,max =1, U 4,max =1,197, µ=,max U 4,max =, ,2 1,2 1, 1, H(e j ω/fc ),8,6,4 H(e j ω/fc ),8,6,4,2,2,2,4,2,4 f/f c a) b) f/f c Obrázek 5.46: Modulová charakteristika SC filtru Úroveňmaximamodulovécharakteristikyprovýstup U 4 jemožnékorigovat změnou hodnot kapacitorů podle následujícího předpisu, C 4 µ, C 4 µ. Výše uvedená změna neovlivní úroveň maxima modulové charakteristiky pro výstup.průběhmodulovýchcharakteristikpoprovedenékorekcijeukázánna obr. 5.46b. Nakonec zbývá upravit hodnoty kapacitorů takový způsobem, aby nejmenšíhodnotakapacitorumělapředepsanouhodnotu1pf: =6,89pF, C 2 =5,75pF, C 3 =3,54pF, C 4 =6,89pF, C 5 =5,26pF, C 6 =3,16pF, C 7 =1pF. Podrobněji je postup návrhu uveden v publikaci[3], ve které je uveden i postup minimalizace počtu spínačů v navrhovaném SC obvodu. 155