KATALOG POŽADAVKŮ ZKOUŠEK SPOLEČNÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY

KATALOG POŽADAVKŮ ZKOUŠEK SPOLEČNÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY platný od školního roku 2015/2016 Zpracoval: Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání Schválil: Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy Dne: 24. 4. 2014 pod č. j.: MSMT-6858/2014-CERMAT 1

KATALOG POŽADAVKŮ ZKOUŠEK SPOLEČNÉ ČÁSTI MATURITNÍ ZKOUŠKY platný od školního roku 2015/2016 Zpracoval: Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání Schválil: Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy Dne: 24. 4. 2014 pod č. j.: MSMT-6858/2014-CERMAT 2

Obsah Úvod... 5 Požadavky na vdomosti a dovednosti, které mohou být ovovány v rámci maturitní zkoušky z matematiky... 6 ást A Kompetence... 6 ást B Tematické okruhy... 7 ást C Základní specifikace povinné zkoušky z matematiky... 13 ást D Píklady testových úloh pro povinnou zkoušku z matematiky... 13 3 3

4

Úvod Úel a obsah katalogu Katalog požadavk k maturitní zkoušce z matematiky je vydáván v souladu s ustanovením 78a odst. 1 zákona. 561/2004 Sb., o pedškolním, základním, stedním, vyšším odborném a jiném vzdlávání (dále jen školský zákon), ve znní pozdjších pedpis a vymezuje rozsah požadavk na vdomosti a dovednosti žák vzdlávacích program v oborech stedního vzdlávání s maturitní zkouškou. Zpsob a formu ovování znalostí a dovedností stanoví provádcí vyhláška. 177/2009 Sb., o bližších podmínkách ukonování vzdlávání ve stedních školách maturitní zkouškou, ve znní pozdjších pedpis. Souástí vymezení požadavk je i rámcová specifikace povolených pomcek. Podrobnjší vymezení rozsahu a struktury povolených pomcek stanoví, s ohledem na technologický a informaní vývoj, ministerstvo školství, mládeže a tlovýchovy jako souást oznámení kritérií hodnocení v souladu s provádcí vyhláškou ke školskému zákonu. Pedagogické dokumenty ke katalogu a k maturitní zkoušce Katalogy byly pipravovány v souladu s pedagogickými dokumenty, a to s rámcovými vzdlávacími programy pro gymnaziální obory vzdlání a rámcovými vzdlávacími programy pro obory stedního odborného vzdlávání s maturitní zkouškou, a také s platnými uebními dokumenty pro stední odborné školy. Jako podprné prameny byly využity publikované standardy a didaktické materiály: FUCHS, E., BINTEROVÁ, H. a kol. Standardy a testové úlohy z matematiky pro stední odborná uilišt. Praha: Prometheus, 2003, ISBN 80 7196 294 5. FUCHS, E., KUBÁT, J. a kol. Standardy a testové úlohy z matematiky pro tyletá gymnázia. Praha: Prometheus, 1998. ISBN 80 7196 095 0. FUCHS, E., PROCHÁZKA, F. a kol. Standardy a testové úlohy z matematiky pro stední odborné školy. Praha: Prometheus, 1998. ISBN 80 7196 097 7. Nedílnou souástí Katalogu požadavk k maturitní zkoušce z matematiky je píloha s ukázkami testových úloh. 4 5

Požadavky na vdomosti a dovednosti, které mohou být ovovány v rámci maturitní zkoušky z matematiky ást A Kompetence Oekávané vdomosti a dovednosti pro maturitní zkoušku z matematiky v rámci spolené ásti maturitní zkoušky jsou v této ásti specifikovány v pti hlavních kategoriích kompetencí, k jejichž získání smuje výuka matematiky v rámci stedního vzdlávání zakoneného maturitní zkouškou. Osvojení matematických pojm a dovedností Žák dovede: užívat správn matematické pojmy (definovat pojmy a urit jejich obsah, charakterizovat pojem rznými zpsoby, tídit pojmy a nalézat vztahy mezi nimi); numericky poítat a užívat promnnou (provádt základní poetní operace, odhadnout výsledek výpotu, využít efektivní zpsoby výpotu, upravit výrazy s ísly a promnnými, stanovit defininí obor výrazu, na základ reálné situace sestavit výraz s promnnými); pracovat s rovinnými a prostorovými útvary (rozpoznat a pojmenovat geometrické útvary, využívat geometrickou pedstavivost pi analýze rovinných a prostorových vztah, mit a odhadovat výsledek mení, ešit poetn geometrickou úlohu, ešit konstrukn geometrickou úlohu); matematicky argumentovat (rozlišit rzné typy tvrzení definice, vta, rozumt logické stavb matematické vty). Matematické modelování Žák dovede: matematizovat reálné situace (odhalit kvantitativní nebo prostorové vztahy a zákonitosti, vytvoit matematický model reálné situace); pracovat s matematickým modelem; ovit vytvoený model z hlediska reálné situace (vyjádit výsledek ešení modelu v kontextu reálné situace, vyhodnotit výsledek modelové situace). Vymezení a ešení problému Žák dovede: vymezit problém; analyzovat problém; zvolit vhodnou metodu ešení problému (popsat problém vzorcem, užít známý algoritmus); vyešit problém; diskutovat o výsledcích; aplikovat osvojené metody ešení problém v jiných tématech a oblastech. 5 6

Komunikace Žák dovede: íst s porozumním matematický text; vyhodnotit informace kvantitativního i kvalitativního charakteru obsažené v grafech, diagramech, tabulkách atd.; pesn se vyjádit (užívat jazyk matematiky vetn symboliky a terminologie, zdvodnit matematické tvrzení, obhájit vlastní ešení problému, prezentovat výsledky ešení úlohy a prezentovat geometrické konstrukce na dobré grafické úrovni); prezentovat získané informace a výsledky (zpracovat získané údaje formou graf, diagram, tabulek atd.). Užití pomcek Žák dovede: využít informaní zdroje (odborná literatura, internet atd.); efektivn ešit problémy pomocí kalkulátoru a PC; použít kalkulátor a PC k prezentaci ešení problém; použít tradiní prostedky grafického vyjadování. ást B Tematické okruhy Druhá ást požadavk pro povinnou zkoušku z matematiky obsahuje požadavky na konkrétní vdomosti a dovednosti z jednotlivých tematických okruh. 1. íselné obory Žák dovede: 1.1 Pirozená ísla provádt aritmetické operace s pirozenými ísly; rozlišit prvoíslo a íslo složené, rozložit pirozené íslo na prvoinitele; užít pojem dlitelnost pirozených ísel a znaky dlitelnosti; rozlišit ísla soudlná a nesoudlná; urit nejvtšího spoleného dlitele a nejmenší spolený násobek pirozených ísel. 1.2 Celá ísla provádt aritmetické operace s celými ísly; užít pojem opané íslo. 1.3 Racionální ísla pracovat s rznými tvary zápisu racionálního ísla a jejich pevody; užít dekadický zápis ísla; provádt operace se zlomky; provádt operace s desetinnými ísly vetn zaokrouhlování, urit ád ísla; ešit úlohy na procenta a zlomky, užívat trojlenku a pomr; znázornit racionální íslo na íselné ose, porovnávat racionální ísla; užívat jednotky a jejich pevody. 6 7

1.4 Reálná ísla zaadit íslo do píslušného íselného oboru; provádt aritmetické operace v íselných oborech, porovnávat reálná ísla; užít pojmy opané íslo a pevrácené íslo; znázornit reálné íslo nebo jeho aproximaci na íselné ose; urit absolutní hodnotu reálného ísla a chápat její geometrický význam; provádt operace s mocninami s celoíselným a racionálním exponentem a odmocninami; ešit praktické úlohy s mocninami s pirozeným exponentem a odmocninami. 1.5 íselné množiny užívat oznaení íselných obor a ; zapisovat a znázorovat íselné množiny a intervaly, urovat jejich prnik a sjednocení. 2 Algebraické výrazy Žák dovede: 2.1 Algebraický výraz urit hodnotu výrazu; urit nulový bod výrazu; urit defininí obor výrazu; sestavit výraz, interpretovat výraz; modelovat reálné situace užitím výraz. 2.2 Mnoholeny užít pojmy len, koeficient, stupe mnoholenu; provádt operace s mnoholeny, provádt umocnní dvojlenu pomocí vzorc; rozložit mnoholen na souin vytýkáním a užitím vzorc. 2.3 Lomené výrazy provádt operace s lomenými výrazy; urit defininí obor lomeného výrazu. 2.4 Výrazy s mocninami a odmocninami provádt operace s výrazy obsahujícími mocniny a odmocniny; urit defininí obor výrazu s mocninami a odmocninami. 3 Rovnice a nerovnice Žák dovede: 3.1 Algebraické rovnice a nerovnice užít pojmy rovnice a nerovnice s jednou neznámou, levá a pravá strana rovnice a nerovnice, obor rovnice a nerovnice, koen rovnice, množina všech ešení rovnice a nerovnice; užít ekvivalentní úpravy rovnice a nerovnice; provádt zkoušku. 3.2 Lineární rovnice a jejich soustavy ešit lineární rovnice o jedné neznámé; vyjádit neznámou ze vzorce; ešit rovnice v souinovém a podílovém tvaru; ešit poetn soustavy lineárních rovnic; 7 8

ešit graficky soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých; užít lineární rovnice a jejich soustavy pi ešení slovní úlohy. 3.3 Rovnice s neznámou ve jmenovateli stanovit defininí obor rovnice; ešit rovnice o jedné neznámé s neznámou ve jmenovateli; vyjádit neznámou ze vzorce; užít rovnice s neznámou ve jmenovateli pi ešení slovní úlohy; využít k ešení slovní úlohy nepímé úmrnosti. 3.4 Kvadratické rovnice ešit neúplné i úplné kvadratické rovnice a nerovnice; užít vztahy mezi koeny a koeficienty kvadratické rovnice; užít kvadratickou rovnici pi ešení slovní úlohy. 3.5 Lineární nerovnice s jednou neznámou a jejich soustavy ešit lineární nerovnice s jednou neznámou a jejich soustavy; ešit nerovnice v souinovém a podílovém tvaru. 4 Funkce Žák dovede: 4.1 Základní poznatky o funkcích užít rzná zadání funkce a používat s porozumním pojmy defininí obor, obor hodnot, argument funkce, hodnota funkce, graf funkce vetn jeho názvu; sestrojit graf funkce dané pedpisem nebo ást grafu pro hodnoty promnné z dané množiny, urit hodnoty promnné pro dané hodnoty funkce ; piadit pedpis funkce ke grafu funkce a opan; urit prseíky grafu funkce s osami soustavy souadnic; urit z grafu funkce intervaly monotonie a bod, v nmž nabývá funkce extrému; užívat výrazy s elementárními funkcemi; modelovat reálné závislosti užitím elementárních funkcí. 4.2 Lineární funkce, lineární lomená funkce užít pojem a vlastnosti pímé úmrnosti, sestrojit její graf; urit lineární funkci, sestrojit její graf; objasnit geometrický význam parametr v pedpisu funkce ; urit pedpis lineární funkce z daných bod nebo grafu funkce; užít pojem a vlastnosti nepímé úmrnosti, sestrojit její graf; užít pojem a vlastnosti lineární lomené funkce, sestrojit její graf; urit pedpis lineární lomené funkce z daných bod nebo grafu funkce; ešit reálné problémy pomocí lineární funkce a lineární lomené funkce. 4.3 Kvadratické funkce urit kvadratickou funkci, stanovit defininí obor a obor hodnot, sestrojit graf kvadratické funkce; vysvtlit význam parametr v pedpisu kvadratické funkce, urit intervaly monotonie a bod, v nmž nabývá funkce extrému; ešit reálné problémy pomocí kvadratické funkce. 8 9

4.4 Exponenciální a logaritmické funkce, jednoduché rovnice urit exponenciální funkci, stanovit defininí obor a obor hodnot, sestrojit graf; urit logaritmickou funkci, stanovit defininí obor a obor hodnot, sestrojit graf, užít definici logaritmické funkce; vysvtlit význam základu v pedpisech obou funkcí, monotonie; užít logaritmu, vty o logaritmech, ešit jednoduché exponenciální a logaritmické rovnice, užít logaritmování pi ešení exponenciální rovnice; upravovat výrazy obsahující exponenciální a logaritmické funkce a stanovit jejich defininí obor; použít poznatky o exponenciálních a logaritmických funkcích v jednoduchých praktických úlohách. 4.5 Goniometrické funkce užít pojmy orientovaný úhel, velikost úhlu, stupová míra, oblouková míra a jejich pevody; definovat goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku; definovat goniometrické funkce v intervalu, resp. nebo, resp. v oboru reálných ísel, u každé z nich urit defininí obor a obor hodnot, sestrojit graf; užívat vlastností goniometrických funkcí, urit z grafu funkce intervaly monotonie a body, v nichž nabývá funkce extrému; upravovat jednoduché výrazy obsahující goniometrické funkce a stanovit jejich defininí obor; užívat vlastností a vztah goniometrických funkcí pi ešení jednoduchých goniometrických rovnic. 5 Posloupnosti a finanní matematika Žák dovede: 5.1 Základní poznatky o posloupnostech aplikovat znalosti o funkcích pi úvahách o posloupnostech a pi ešení úloh o posloupnostech; urit posloupnost vzorcem pro tý len, graficky, výtem prvk. 5.2 Aritmetická posloupnost urit aritmetickou posloupnost a chápat význam diference; užít základní vzorce pro aritmetickou posloupnost. 5.3 Geometrická posloupnost urit geometrickou posloupnost a chápat význam kvocientu; užít základní vzorce pro geometrickou posloupnost. 5.4 Využití posloupností pro ešení úloh z praxe, finanní matematika využít poznatk o posloupnostech pi ešení problém v reálných situacích; ešit úlohy finanní matematiky. 6 Planimetrie Žák dovede: 6.1 Planimetrické pojmy a poznatky užít pojmy bod, pímka, polopímka, rovina, polorovina, úseka, úhly (vedlejší, vrcholové, stídavé, souhlasné), objekty znázornit; 9 10

užít s porozumním polohové a metrické vztahy mezi geometrickými útvary v rovin (rovnobžnost, kolmost a odchylka pímek, délka úseky a velikost úhlu, vzdálenosti bod a pímek); rozlišit konvexní a nekonvexní útvary, popsat jejich vlastnosti a správn jich užívat; využít poznatk o množinách všech bod dané vlastnosti v konstrukních úlohách. 6.2 Trojúhelníky urit objekty v trojúhelníku, znázornit je a správn využít jejich základních vlastností, pojmy užívat s porozumním (strany, vnitní a vnjší úhly, osy stran a úhl, výšky, ortocentrum, tžnice, tžišt, stední píky, kružnice opsaná a vepsaná); pi ešení poetních i konstrukních úloh využívat vty o shodnosti a podobnosti trojúhelník; užít s porozumním poznatky o trojúhelnících (obvod, obsah, velikost výšky, Pythagorova vta, poznatky o tžnicích a tžišti) v úlohách poetní geometrie; ešit úlohy s užitím trigonometrie pravoúhlého trojúhelníku a obecného trojúhelníku (sinová vta, kosinová vta, obsah trojúhelníku ureného sus). 6.3 Mnohoúhelníky rozlišit základní druhy tyúhelník (rznobžníky, rovnobžníky, lichobžníky), popsat jejich vlastnosti a správn jich užívat; pojmenovat, znázornit a správn užít základní pojmy ve tyúhelníku (strany, vnitní a vnjší úhly, osy stran a úhl, kružnice opsaná a vepsaná, úhlopíky, výšky); popsat, znázornit a užít vlastnosti konvexních mnohoúhelník a pravidelných mnohoúhelník; užít s porozumním poznatky o tyúhelnících (obvod, obsah, vlastnosti úhlopíek a kružnice opsané nebo vepsané) v úlohách poetní geometrie; užít s porozumním poznatky o pravidelných mnohoúhelnících v úlohách poetní geometrie. 6.4 Kružnice a kruh pojmenovat, znázornit a správn užít základní pojmy týkající se kružnice a kruhu (ttiva, kružnicový oblouk, kruhová výse a úse, mezikruží), popsat a užít jejich vlastnosti; užít s porozumním polohové vztahy mezi body, pímkami a kružnicemi; aplikovat metrické poznatky o kružnicích a kruzích (obvod, obsah) v úlohách poetní geometrie. 6.5 Geometrická zobrazení popsat a urit shodná zobrazení (soumrnosti, posunutí, otoení) a užít jejich vlastnosti. 7 Stereometrie Žák dovede: 7.1 Tlesa charakterizovat jednotlivá tlesa (krychle, kvádr, hranol, jehlan, rotaní válec, rotaní kužel, komolý jehlan a kužel, koule a její ásti), vypoítat jejich objem a povrch; užívat jednotky délky, obsahu a objemu, provádt pevody jednotek; užít polohové a metrické vlastnosti v hranolu; využít poznatk o tlesech v úlohách. 8 Analytická geometrie Žák dovede: 8.1 Souadnice bodu a vektoru na pímce 10 11

urit vzdálenost dvou bod a souadnice stedu úseky; užít pojmy vektor a jeho umístní, souadnice vektoru a velikost vektoru; provádt operace s vektory (souet vektor, násobek vektoru reálným íslem). 8.2 Souadnice bodu a vektoru v rovin užít souadnice bodu v kartézské soustav souadnic; urit vzdálenost dvou bod a souadnice stedu úseky; užít pojmy vektor a jeho umístní, souadnice vektoru a velikost vektoru; provádt operace s vektory (souet vektor, násobek vektoru reálným íslem, skalární souin vektor) a užít jejich grafickou interpretaci; urit velikost úhlu dvou vektor, užít vlastnosti kolmých a kolineárních vektor. 8.3 Pímka v rovin užít parametrické vyjádení pímky, obecnou rovnici pímky a smrnicový tvar rovnice pímky v rovin; urit polohové a metrické vztahy bod a pímek v rovin a aplikovat je v úlohách. 9 Kombinatorika, pravdpodobnost a statistika Žák dovede: 9.1 Základní poznatky z kombinatoriky a pravdpodobnosti užít základní kombinatorická pravidla; rozpoznat kombinatorické skupiny (variace s opakováním, variace, permutace, kombinace bez opakování), urit jejich poty a užít je v reálných situacích; poítat s faktoriály a kombinaními ísly; užít s porozumním pojmy náhodný pokus, výsledek náhodného pokusu, náhodný jev, opaný jev, nemožný jev a jistý jev; urit množinu všech možných výsledk náhodného pokusu, poet všech výsledk píznivých náhodnému jevu a vypoítat pravdpodobnost náhodného jevu. 9.2 Základní poznatky ze statistiky užít pojmy statistický soubor, rozsah souboru, statistická jednotka, statistický znak kvalitativní a kvantitativní, hodnota znaku a pojmy vysvtlit; vypoítat etnost a relativní etnost hodnoty znaku, sestavit tabulku etností, graficky znázornit rozdlení etností; urit charakteristiky polohy (aritmetický prmr, medián, modus, percentil) a variability (rozptyl a smrodatná odchylka); vyhledat a vyhodnotit statistická data v grafech a tabulkách. 11 12

ást C Základní specifikace zkoušky z matematiky Zkouška má formu didaktického testu tvoeného rznými typy uzavených testových úloh (s jednou správnou odpovdí) vetn jejich svazk, otevenými úlohami se strunou odpovdí a otevenými úlohami se širokou odpovdí. Testové úlohy mají rznou bodovou hodnotu, která je uvedena u každé úlohy v testu. V prbhu didaktického testu budou mít žáci k dispozici Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro stední školy, kalkulátor (bez grafického režimu, ešení rovnic a úprav algebraických výraz) a rýsovací poteby. 1 V následující tabulce je uvedeno orientaní procentuální zastoupení skupin požadavk (tematických okruh) k maturitní zkoušce v didaktickém testu: Tematické okruhy Zastoupené v testu (v %) 1. íselné množiny 4 12 2. Algebraické výrazy 8 18 3. Rovnice a nerovnice 12 20 4. Funkce 10 20 5. Posloupnosti a finanní matematika 4 14 6. Planimetrie 8 18 7. Stereometrie 4 12 8. Analytická geometrie 4 14 9. Kombinatorika, pravdpodobnost a statistika 4 14 1 Souástí vymezení požadavk je i rámcová specifikace povolených pomcek. Podrobnjší vymezení rozsahu a struktury povolených pomcek stanoví, s ohledem na technologický a informaní vývoj, ministerstvo školství, mládeže a tlovýchovy jako souást oznámení kritérií hodnocení v souladu s provádcí vyhláškou ke školskému zákonu. 12 13

ást D Píklady testových úloh pro povinnou zkoušku z matematiky Testové úlohy jsou uvedeny jako samostatné ukázky, jejich zastoupení necharakterizuje strukturu testu. Soubor ukázek nelze považovat za sestavený test. V ukázkách úloh je správné ešení uvedeno vždy za úlohou. 1. íselné množiny 1 Kolik celých ísel leží v intervalu? ešení: B A) 1 099 B) 1 100 C) 1 101 D) 10 099 E) 11 001 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Akciová spolenost prodala v prvním tvrtletí letošního roku zboží za 78 milion K. Ve srovnání se stejným obdobím minulého roku to bylo o 13 % více. 2 Vypotte, za kolik milion korun prodala spolenost zboží v prvním tvrtletí minulého roku. Výsledek zaokrouhlete na celé miliony. ešení: za 69 milion korun VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Dvanáct dlník provede zemní práce za 15 dní. 3 Vypotte, za jak dlouho by zemní práce provedlo pi stejném výkonu devt dlník. ešení: za 20 dní 13 14

4 Pro prnik množiny a intervalu platí:. ešení: B Které z následujících ísel množina nemže obsahovat? D) VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 5 Kamarádi byli na výlet. Každý chlapec složil jako zálohu na výdaje uritou ástku, tyto peníze pokryly veškeré náklady a byly utraceny beze zbytku. Pi vyútování se celková útrata rovnomrn rozdlila na osobu a den. Nkteí z kamarád pak museli uritou sumu doplatit, jiným se peníze vracely. Níže je tabulka s vyútováním. Je však neúplná, nebo nkteré údaje byly špatn itelné. 5 Doplte správná ísla do prázdných políek tabulky. ešení: 6 460 238 50 14 15

2. Algebraické výrazy 1 Provete dlení mnoholen a stanovte, pro která reálná ísla r má dlení smysl. ešení: 2 Rozhodnte o každém z následujících tvrzení (2.1 2.4), zda je pravdivé (ANO), i nikoli (NE). 2.1 Pro každá dv reálná ísla platí. 2.2 Pro každé reálné platí. 2.3 Pro každé reálné platí. 2.4 Pro každé reálné platí. ešení: NE, ANO, ANO, NE A N 3 Je dán výraz: 3.1 Urete, pro které hodnoty má výraz smysl, a výraz zjednodušte. 3.2 Urete hodnotu výrazu pro. 3.3 Urete hodnoty promnné, pro které má výraz hodnotu. 3.4 Urete hodnoty promnné, pro které má výraz hodnotu. ešení: 3.1 ; 3.2 3.3 3.4 Výraz nenabývá hodnoty pro žádnou reálnou hodnotu promnné. 15 16

4 Je dán výraz: ešení: A Který z upravených výraz je s daným výrazem ekvivalentní? A) ; B) C) ; D) ; E) ; 16 17

3. Rovnice a nerovnice VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Na veírek pišlo tikrát více chlapc než dvat. Po odchodu 8 chlapc a 8 dvat zbylo na veírku ptkrát více chlapc než dvat. 1 Urete, kolik chlapc a kolik dvat pišlo na veírek. Uvete celý postup ešení. ešení: poet chlapc, poet dívek Na veírek pišlo 48 chlapc a 16 dvat. 2 V rovnici s neznámou je jeden koen. Vypotte koeficient a druhý koen. ešení: 3 Je dána nerovnice s neznámou : Který z interval pedstavuje množinu všech ešení nerovnice? ešení: D A) B) C) D) E) 17 18

4 Pro veliiny platí: Které vyjádení veliiny odpovídá uvedenému vztahu? ešení: C A) B) C) D) E) žádné z uvedených 18 19

4. Funkce VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Teplota se mí v Celsiových nebo Fahrenheitových stupních. Hodnoty ve Fahrenheitových stupních ( jsou lineární funkcí hodnot v Celsiových stupních (). Nap. 8 C odpovídá 46,4 F a 24 C odpovídá 75,2 F. 1 Urete pedpis této funkce. ešení: VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 V pjovn automobil se pan Novák rozhoduje, zda si má pjit automobil A nebo B. Náklady (v K) na provoz automobilu A jsou ureny lineární funkcí, náklady na provoz automobilu B lineární funkcí, kde promnná (v km) je ujetá vzdálenost. 2 Vypotte, jakou vzdálenost musí pan Novák nejmén ujet, aby se mu výpjka automobilu B vyplatila. ešení: 7 500 km VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Kolikrát () se zvtší množství bakterií za uritou dobu (), lze za uritých podmínek vyjádit exponenciální funkcí, kde. V laboratorním experimentu se bhem každých 2 hodin množství bakterií zvtší tyikrát. 3 Kolikrát se zvtší množství bakterií bhem 6 hodin laboratorního experimentu? ešení: E A) dvanáctkrát B) šestnáctkrát C) tyiadvacetkrát D) osmatyicekrát E) tyiašedesátkrát 19 20

4 Piate ke každému grafu funkce (4.1 4.4) pro, resp. odpovídající pedpis funkce (A F). 4.1 y 1 O 1 x 4.2 y 1 O 1 x 4.3 y 1 O 1 x 4.4 y 1 O 1 x A) B) C) D) E) F) ešení: D, F, A, E 20 21

5 Funkce je dána pedpisem. 5.1 Urete prseíky grafu funkce se souadnicovými osami. 5.2 Zapište rovnice asymptot grafu funkce. 5.3 Sestrojte graf funkce. Uvete postup ešení. ešení: 5.1 Prseík se souadnicovou osou :, tedy Prseík se souadnicovou osou neexistuje ( ). 5.2 Platí: 5.3, tedy asymptoty procházejí bodem Rovnice asymptot: f y 1 O 1 x 6 Pro ešte rovnici. ešení: 21 22

5. Posloupnosti a finanní matematika VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Plechovky jsou narovnány v deseti adách nad sebou. Ve spodní ad je 24 plechovek, v každé další ad je vždy o jednu plechovku mén. 1 Kolik plechovek je narovnáno ve všech deseti adách? ešení: 195 plechovek VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 V soutži byly za prvních 6 míst vyplaceny odmny v celkové hodnot 2 400 K. Nejvyšší odmnu získal vítz, odmny za další umístní se postupn snižovaly vždy o stejnou ástku. 2 Kolik korun získali dohromady vítz a soutžící na šestém míst? ešení: A A) 800 K B) 1 000 K C) 1 200 K D) 1 200 K E) nelze jednoznan urit 3 Kolik po sob jdoucích pirozených ísel od 1 do musíte nejmén seíst, aby jejich souet pesáhl 1 000 000? ešení: D A) 999 B) 1 000 C) 1 202 D) 1 414 E) 1 828 22 23

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 V rámci úsporných opatení rozhodlo vedení podniku, že na konci každého tvrtletí klesne poet zamstnanc podniku o 7 % oproti stavu na poátku tvrtletí. 4 O kolik procent pibližn klesne poet zamstnanc po uplynutí jednoho roku? ešení: C A) o 20 % B) o 22 % C) o 25 % D) o 27 % E) o 30 % VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Majitel dílny nakoupil na úvr s roní úrokovou mírou 10 % materiál v cen 800 000 K, úroky se pipisují koncem každého roního úrokovacího období. Majitel splatí celou ástku jednorázov po uplynutí pti let. 5 Vypotte, o kolik procent splátka pevýší úvr. ešení: pibližn o 61 % 23 24

6. Planimetrie 1 Strana obdélníku mí 84 cm. Úhlopíka je o 72 cm delší než strana. Urete obsah obdélníku. ešení: 1 092 cm 2 2 Jaká je velikost vnitního úhlu pravidelného osmiúhelníku? A) 108 B) 120 C) 125 D) 135 E) 140 ešení: D 3 Které dokonení vty vede k pravdivému tvrzení? Jestliže se prmr kruhu zvtší tikrát, pak se jeho A) polomr zvtší 1,5krát, obvod se zvtší 6krát a obsah se zvtší 9krát. B) polomr zvtší 3krát, obvod se zvtší 3krát a obsah se zvtší 3krát. C) polomr zvtší 3krát, obvod se zvtší 3krát a obsah se zvtší 9krát. D) polomr zvtší 9krát, obvod se zvtší 9krát a obsah se zvtší 9krát. E) polomr zvtší 3krát, obvod se zvtší 6krát a obsah se zvtší 9krát. ešení: C 24 25

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Bod je vrcholem trojúhelníku s pravým úhlem pi vrcholu. Bod je vrcholem trojúhelníku s pravým úhlem pi vrcholu. A B C D 4 4.1 V polorovin sestrojte množinu všech bod, které jsou vrcholy trojúhelník s pravým úhlem pi vrcholu. 4.2 V polorovin sestrojte množinu všech bod, které jsou vrcholy trojúhelník s pravým úhlem pi vrcholu. Nalezené množiny oznate symboly a ešení: 4.1 Polopímka bez poáteního bodu : max. 2 body A B C D 4.2 Plkružnice bez krajních bod : A B C D 25 26

7. Stereometrie VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Jedna z kopulí hvzdárny M. Koperníka v Brn má tvar polokoule o prmru 6 m. Kopuli je teba natít z vnjší strany. Náklad na 1 m 2 nátru je 150 K. 1 Vypotte s pesností na stovky korun, kolik bude stát jeden nátr kopule. ešení: 8 500 K VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Na polici stojí akvárium. Tlouška jeho skel je 5 mm. Celý vnitní prostor akvária tvaru krychle vyplní voda o objemu 27 litr. 2 Jakou plochu na polici akvárium zabírá? ešení: E A) 30 dm 2 B) 90 dm 2 C) 900 cm 2 D) 930 cm 2 E) 961 cm 2 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Silniái opravují cestu. Používají silniní válec s prmrem 120 cm a šíkou 1,75 m. 3 Vypotte s pesností na m 2 obsah plochy, kterou válec uválcuje za pt otoení. ešení: 33 m 2 26 27

8. Analytická geometrie 1 Je dána pímka. Jaké mže být její parametrické vyjádení? A) B) C) D) E) ešení: A 2 Je dána pímka. ešení: Vypotte vzdálenost pímky od rovnobžné pímky, která prochází poátkem soustavy souadnic. 3 Je dán pravidelný šestiúhelník se stedem. Ozname vektory. Rozhodnte o každém z následujících tvrzení (3.1 3.4), zda je pravdivé (ANO), i nikoli (NE). 3.1 3.2 3.3 3.4 ešení: ANO, ANO, ANO, NE A N 27 28

9. Kombinatorika, pravdpodobnost a statistika VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Zákazník si vybírá materiál pro šatní skín jeden druh deva a jeden typ doplk. V nabídce je 7 druh svtlého deva, 6 druh tmavého deva a dále 4 typy doplk vhodných jen pro svtlé devo, 5 typ vhodných jen pro tmavé devo a 2 univerzální typy pro jakýkoliv druh deva. 1 Kolik vhodných dvojic (devo a doplky) je možné nabídnout? ešení: E A) 82 B) 85 C) 143 D) 13 2 E) jiná možnost VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 2 tyi studenti sportovního gymnázia zadávali anketu. Pt set náhodn oslovených lidí jim odpovdlo na otázku, zda pravideln jezdí na kole nebo na in line bruslích. Jejich odpovdi jsou zpracovány v tabulce. 2 2.1 Vypotte, s jakou pravdpodobností mohl jeden ze student vyhrát sázku, že první osoba z náhodn oslovených jezdí pouze na in-line bruslích. 2.2 Vypotte, jaké procento dotázaných nejezdí na in-line bruslích. ešení: 2.1 Student mohl vyhrát sázku s pravdpodobností. 2.2 Na in-line bruslích nejezdí 78 % dotázaných. 28 29

VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 3 V grafu je statistika dopravních pestupk ve sledovaném období. Závažnost dopravního pestupku vyjaduje poet odebraných bod. Nap. bylo spácháno 10 ptibodových pestupk. 3 3.1 Urete, kolik bod za pestupek bylo odebíráno nejastji. 3.2 Urete prmrný poet bod odebraných za pestupek. 3.3 Urete, v kolika pípadech poet odebraných bod za pestupek pekroil prmrnou hodnotu. 3.4 Urete medián potu odebraných bod za pestupek. ešení: 3.1 2 body 3.2 4,52 bodu 3.3 ve 42 pípadech 3.4 4 body 29 30

VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 4 Graf A ukazuje, kolik žák tí základních typ stedních škol ešilo v roce 2003 úlohy z matematiky. Graf B poskytuje informaci o prmrném potu bod (ze 40 možných), které se žákm podailo získat. Prmrný poet bod všech ešitel byl 17,4. (SOŠ jsou stední odborné školy, SOU jsou stední odborná uilišt.) 4 S pesností na desetiny urete prmrný poet bod, které získali v roce 2003 studenti SOŠ. ešení: 17,2 bodu 30 31

VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 5 Pan Mrázek nkolikrát do msíce kontroloval spotebu plynu v domácnosti. Vždy v 7 hodin odeetl stav plynomru a spolen s datem jej zapsal do tabulky. 5 Ve kterém období mezi dvma následujícími odety byla prmrná denní spoteba plynu nejvtší? ešení: B A) od 1. 4. 7. 4. B) od 7. 4. 12. 4. C) od 12. 4. 18. 4. D) od 18. 4. 25. 4. E) od 25. 4. 30. 4. 31 32

VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 6 V tabulce jsou uvedeny výsledky zápas pti fotbalových družstev, z nichž každé dosud sehrálo 10 zápas. Za každou výhru získává družstvo 3 body a za každou remízu 1 bod. Slavia prohrála 3 zápasy z deseti a získala celkem 17 bod. 6 Kolik zápas vyhrála Slavia? A) 3 zápasy B) 4 zápasy C) 5 zápas D) jiný poet zápas E) odpov nelze urit ešení: C 32 33

VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 7 Graf ukazuje odchylky maximálních denních teplot od prmrné dlouhodobé polední teploty (ve stupních Celsia), záznam je veden od pondlí do pátku. Prmrná dlouhodobá polední teplota byla 20 C. 7 Jaká je prmrná hodnota maximálních teplot v pti uvedených dnech? A) 12 C B) 14 C C) 16 C D) 18 C E) 20 C ešení: D 33 34