Opatrenie:. Premena tradičnej škol na modernú Gmnázium Jozefa Gregora Tajovského Lineárne nerovnice, lineárna optimalizácia V tomto tete sa budeme zaoberat najskôr grafickým znázornením riešenia sústav lineárnch nerovníc a neskôr s tým súvisiacimi úlohami lineárnej optimalizácie. Grafickým riešením lineárnej nerovnice s dvomi neznámmi je množina bodov [, ] v rovine, ktorých súradnice a vhovujú príslušnej nerovnici. Ked že množina bodov [, ], ktoré vhovujú príslušnej rovnici je priamka, tak nerovnici budú vhovovat bod v rovine, vtvárajúce polrovinu, ktorej hranica je práve táto priamka. Ukážeme si to na príklade, grafick vriešime nerovnicu 6 Je zrejmé, že príslušnej rovnici = 6 vhovujú napríklad bod [, ] a [, ], takže grafickým riešením rovnice je priamka, ktorá ich spája. - = 6 - - - Riešením nerovnice potom bude polrovina s touto hraničnou priamkou. Ktorá z dvoch polrovín prichádzajúcich do úvah to bude zistíme l ahko - dosadíme do nerovnice 6 l ubovol ný bod rovin o ktorom vieme, že neleží na hraničnej priamke. Ak nerovnica pre tento
Opatrenie:. Premena tradičnej škol na modernú Gmnázium Jozefa Gregora Tajovského bod platí, tak riešením je polrovina, ktorá ho obsahuje. V prípade, že pre tento bod daná nerovnica neplatí je riešením polrovina neobsahujúca tento bod. Jednoduchým dosadením súradníc bodu [, ] do nerovnice 6 zistíme, že tento bod vhovuje. Vhovuje teda aj celá polrovina, ktorá ho obsahuje. Je znázornená na obr. nižšie. - 6 - - - Ak máme teda riešit sústavu nerovníc, tak výsledkom je prienik tol kých polrovín kol ko nerovníc máme v sústave. Na nasledujúcom obrázku uvidíte grafické riešenie sústav nerovníc + + 5
Opatrenie:. Premena tradičnej škol na modernú Gmnázium Jozefa Gregora Tajovského + + 5-5 - - - To, ako sa nám zručnosti získané v grafickom riešení sústav lineárnch nerovníc zídu v riešení úloh lineárnej optimalizácie uvidíte na nasledovnom príklade. Príklad: Pri výskume rozvoja živočíšnej výrob sa zistilo, že výkrm jatočných zvierat je vel mi výhodný, ak v denných dávkach bude každé zviera dostávat nie menej ako 6 jednotiek živín A, minimálne jednotiek živín B a nie menej ako jednotk živín C. Na výkrm sa používajú dva druh krmív K a K, pričom jeden kilogram krmivak obsahuje jednotk živin A, jednotk živin B a žiadnu jednotku živin C a jeden kilogram krmiva K obsahuje jednotku živin A, jednotk živin B a jednotk živin C. Ďalej vieme, že za kg krmiva K sa platí,5eur a za kg krmiva K sa platí,6eur. Ako treba podávat krmivá jatočným zvieratám, teda aké množstvo kilogramov K a K dat jednému zvierat u, ab náklad na výkrm boli minimálne? Riešenie: Nech je počet kilogramov krmiva K a je počet kilogramov krmiva K, ktoré treba podat jednotlivému zvierat u. Zviera dostane nie menej ako 6 jednotiek živín A práve vted, ked platí nerovnica + 6 Ďalšie dve podmienk na živin B a C sú úplne analogick opísané d alšími dvomi nerovnicami:
Opatrenie:. Premena tradičnej škol na modernú Gmnázium Jozefa Gregora Tajovského + A na záver si treba uvedomit, že pracujeme v prvom kvadrante, pretože kupujeme nezáporné množstvá kilogramov, takže platia aj vzt ah: Tri podmienk na živin teda znázorníme grafick v prvom kvadrante, dostávame obrázok: 6 5 + 6 + 5 6 Vfarbená čast prvého kvadrantu je množina bodov, ktorých súradnice [, ] vhovujú podmienkam výživ zvierat a. Pokračuje d alej v smere osi a v smere osi do nekonečna a nazýva sa množinou prípustných riešení. Nás ale d alej zaujíma, v ktorom z týchto prípustných riešení je minimálna cena nákupu kilogramov krmiva K a kilogramov krmiva K. A preto si musíme uvedomit, že je potrebné minimalizovat výraz, 5+, 6. Najmenšia hodnota spomínaného výrazu b sa nadobudla pre = =. Vted b sme zaplatili eur. Ak však budeme obraz priamk, ktorej rovnica je, 5 +, 6 = rovnobežne posúvat smerom k všším hodnotám a tak časom narazíme na množinu prípustných riešení. Prvý taký bod, ktorý patrí posunutej priamke aj množine prípustných riešení je riešením našej úloh. Stačí si prečítat z grafu jeho súradnice - bude počet kilogramov krmiva K a bude počet kilogramov krmiva K. Treba však na záver podotknút, že posúvaním priamk sa môžeme naraz dostat do množin prípustných riešení v nekonečne vel a bodoch - to vted, ked
Opatrenie:. Premena tradičnej škol na modernú Gmnázium Jozefa Gregora Tajovského posúvaná priamka je rovnobežná s niektorou priamkou ohraničujúcou množinu prípustných riešení. Vted má pôvodná úloha nekonečne vel a riešení. Na obrázku, ktorý nasleduje je znázornená priamka, 5 +, 6 = a taktiež jej posunutie na hranicu prípustných riešení, ktorým sa dostávame k riešeniu našej úloh. Je ním jediný bod so súradnicami [, ]. Takže pre jedno zviera je potrebné kúpit kilogram prvého krmiva a kilogram druhého krmiva. 6 5 + 6 +.5 +.6 = c - 5 6 -.5 +.6 = - Na záver tohoto učebného tetu je potrebné sa zmienit o tom, že ilustrovanou metódou lineárnej optimalizácie možno riešit aj úloh, v ktorých sa vsktuje problém maimalizovat istú hodnotu. Tak ako sme doteraz v úlohe minimalizovali svoje náklad, tak budeme v inej úlohe možno maimalizovat svoj zisk. Ako príklad uvedieme nasledovný problém, ktorý môžete vriešit v rámci samostatného cvičenia. Problém: V závode sa na výrobe dvoch druhov výrobkov podiel ajú stroje. Denné výrobné možnosti jednotlivých strojov v hodinách sú:. stroj najviac hodín,. stroj najviac 8 hodín, tretí stroj najviac 6 hodín,. stroj najviac hodín. Presný čas, ktorý strávi prvý výrobok na. stroji je hodin, na druhom hodinu, na tret om stroji hodin a na štvrtý stroj nejde. Presný čas, ktorý strávi druhý výrobok na. stroji je hodin, na druhom tiež hodin, na tretí stroj nejde a na štvrtom stroji strávi hodin. Zisk z predaja prvého výrobku je eur, z predaja druhého výrobku eur. Zostavte denný výrobný plán tak, ab ste maimalizovali celkový zisk z predaja.