Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. Úloha č. IX Název: Měření modulu pružnosti v tahu Pracoval: Lukáš Vejmelka stud. skup. FMUZV (73) dne 13.3.2013 Odevzdal dne: Možný počet bodů Udělený počet bodů Práce při měření 0 5 Teoretická část 0 1 Výsledky měření 0 8 Diskuse výsledků 0 4 Závěr 0 1 Seznam použité literatury 0 1 Celkem max. 20 Posuzoval: dne
1 Zadání úlohy 1. Změřte modul pružnosti v tahu E mosazi z protažení drátu. 2. Změřte modul pružnosti v tahu E oceli a mosazi z průhybu trámku. 3. Výsledky měření graficky znázorněte, modul pružnosti určete pomocí lineární regrese. 2 Teoretický úvod měření Při studiu vlastnostní látek nás často zajímá, jak zkoumané těleso reaguje na různě velké síly působící v různých směrech na různé plochy. Takové působení v tělese vyvolá napětí, které se pak může projevit deformacemi různých typů. V tomto měření se omezíme na namáhání (deformaci) v tahu. Nejprve budeme zkoumat závislost prodloužení na namáhající síle drátu a poté provedeme i měření odvozené pro případ průhybů příčně namáhaného trámku. Veličina charakterizující nastíněné nechutenství daného materiálu vůči deformaci v tahu se jmenuje modul pružnosti v tahu, téže nazývaný Youngovým modulem. V úloze půjde o změření tohoto modulu pro mosaz a ocel. Zavedení potřebných veličin a vztahů Modul pružnosti v tahu E můžeme chápat jako konstantu úměrnosti závislosti normálového napětí σ daného materiálu na jeho relativním prodloužení ε v tomto směru [3], tj. σ = E ε, (1) přičemž závislost je takto lineární pouze v oblastech pružné deformace. Napětí v tahu σ (normálové napětí) vyjadřuje velikost síly v materiálu působící kolmo na myšlený průřez o obsahu 1 m 2. Působí-li tedy v daném místě síla F kolmo na plochu o obsahu S, pak je zde napětí [3] Pro úplnost doplňme vyjádření bezrozměrného relativního prodloužení které je dáno poměrem absolutního prodloužení l a původní délky l 0. Jednotka modulu pružnosti v tahu je [E] = N m 2 = Pa. Měření modulu E z protažení drátu σ = F S. (2) ε = l l 0, (3) Dosadíme-li do rovnice (1) z rovnic (2) a (3), získáme pro potřebu drátu závislost jeho absolutního prodloužení l na velikosti napínající síly F v následujícím tvaru l absolutní prodloužení [m], l 0 původní délka [m], S obsah kolmého průřezu drátu [m 2 ], E modul pružnosti v tahu [Pa], F velikost zatěžující síly [N]. l = l 0 F. (4) SE Pro přesnější měření prodloužení l užijeme zrcátkové metody. K tomu je třeba přízpůsobit experimentální podmínky. Vodorovně tažený drát je veden přes kladku o průměru D, která jej převádí do svislého směru, kde je naň připevněna miska pro kladení závaží. 2
Na kladce je připevněno zrcátko. Při prodloužení drátu o l se kladka se zrcátkem pootočí o obloukový úhel α = 2 l D. (5) Aby bylo prodloužení drátu dokonale převáděno na pohyb kladky, začíná se měřit již s počátečním zatížením (1 kg), které také mimo to drát dostatečně narovná. Lze předpokládat, že prodloužení drátu ležícího na části obvodu kladky je zanedbatelné vůči prodloužení zkoumané délky l 0, neboť bude při experimentálních podmínkách splněna nerovnost 1 4 ( 2π D 2 ) l 0. Ve vzdálenosti L od zrcátka je umístěna osvětlená milimetrová stupnice a dalekohled. Otočí-li se zrcátko o úhel α, bude úhel mezi odraženým paprskem před a po otočení roven úhlu 2 α [3]. Rozřešíme-li geometrické uspořádání zcrátka, dalekohledu s ryskou a osvětlené stupnice, lze psát n 0 dílek stupnice při nezatížené misce [m], n dílek stupnice při zatížení závažími o hmotnosti m [m], α pootočení zrcátka [rad], L vzdálenost stupnice od zrcátka [m], tg (2 α) = n 0 n L, (6) Pro malé úhly je přibližně tg φ φ, lze tedy pro výpočet za daných podmínek místo vzorce (6) užít vztahu Měření modulu E z průhybu trámku α. = n 0 n 2L. (7) Budeme-li namáhat trámek o plošném momentu setrvačnosti J p (vůči ose jdoucí těžištěm, kolmé na trámek i zatěžovací sílu) uložený na dvou břitech vzdálených l silou o velikosti F ve středu mezi břity (v kolmém směru vůči trámku), dojde k průhybu jeho středu o [3] y = l3 48EJ p F. (8) Dosadíme-li do vztahu (8) pro trámek výšky b a šířky a za plošný moment setrvačnosti J p = ab3 12, dostaneme l3 y = F. (9) 4Eab3 Průhyb y trámku lze měřit s pomocí okulárního mikrometru. 2.1 Použité přístroje, měřidla, pomůcky Zařízení pro zkoumání prodloužení drátu (zkoumaný mosazný drát, upevňovací konstrukce, kladka, miska na zátěž, zrcátko, osvětlená milimetrová stupnice, dalekohled), zařízení pro zkoumání průhybu trámků (zkoumaný ocelový a mosazný trámek, vyvážitelná pracovní deska, stabilní upevnění břitů, zatěžovací úchyt trámku se stupnicí, miska na zátěž, okulární mikrometr), sada závaží, posuvné měřidlo, pásové měřidlo, mikrometrický šroub. 3
Tabulka 1: Použité měřící přístroje a jejich mezní chyby měření. Měřidlo Veličina[jednotka] Mezní chyba Pozn. Pásové měřidlo l 0 /l/l[m] 10 3 dílek stupnice Stupnice zrc. metody n/n 0 [m] 10 3 dílek stupnice Posuvné měřidlo D/a[m] 10 4 dílek stupnice Okulární mikrometr y 0 /y[m] 10 4 dílek stupnice Mikrometrický šroub b/d[m] 10 5 dílek stupnice 2.2 Důležité hodnoty, konstanty, vlastnosti Důležité hodnoty pro výpočet nebo látkové konstanty pro porovnání výsledků. ˆ Normální tíhové zrychlení: g = 9,806 65 m s 2 [2] ˆ Modul pružnosti v tahu mosazi: E m tab = (100 110) 10 9 Pa [2] ˆ Modul pružnosti v tahu oceli: E o tab = 220 10 9 Pa [2] 2.3 Popis postupu vlastního měření Modul pružnosti v tahu oceli E mosaz bude určen z protažení drátu. Dále určíme modul pružnosti ocelového trámku E o a mosazného trámku E m z jejich průhybu. Měření z protažení mosazného drátu Nejprvme zjistíme hodnotu n 0 při počátečním napínacím zatížení drátu (1 kg). Na misku pak postupně přidáváme závaží. Pro každou zatěžovací hmotnost m určíme příslušnou hodnotu n. Po dosažení vhodné maximální zátěže závaží postupně odjímáme a ze stupnice odečítáme hodnoty n. Změříme aktivní délku drátu l 0 (vzdálenost upevnění drátu a jeho přilnutí na kladku), průměr kladky D a průměr drátu d, který budeme po celou dobu považovat za konstantní. Měření modulů z průhybu trámků Trámek, na který jsme navlékli stupnici s háčkem, volně uložíme na břity. Odečteme počáteční průhyb y O po zavěšení misky doprostřed mezi břity. Dále přidáváme vhodná závaží a pro příslušné zatížení hmotností m měříme průhyb y. Stejně jako v případě protažení drátů trámek odlehčujeme postupným odebíráním závaží a měříme příslušné průhyby y. Změříme výšky b a šířky a trámků a vzdálenost břitů l. 3 Výsledky měření 3.1 Laboratorní podmínky Teplota v laboratoři: 23,7 C Atmosférický tlak: 974,9 hpa Vlhkost vzduchu: 20,7 % 4
3.2 Způsob zpracování dat Výpočet modulu pružnosti z protažení drátu Do rovnice (4) dosadíme (5) a (7), současně za zatěžovací sílu F dosadíme sílu tíhovou F G = mg a obsah průřezu S odhadneme obsahem kruhu průměru d. Získáme následující závislost dalekohledem odečítaného dílku n na zátěžné hmotnosti m n = n 0 16Ll 0g πdd 2 E m = n 0 + A m. (10) Odvozená závislost platí pro malé úhly (viz odvození v teoretické části), n 0 představuje odečítanou hodnotu výchylky na osvětlené stupnici prvotním zatížením miskou s vypínacím závažím. Na základě naměřených hodnot n pro různé zátěže m jsme schopni pomocí metod regresní analýzy získat koeficient A a posléze se znalostí okolnostních parametrů uspořádání pokusu vypočítat modul pružnosti E. Výpočet modulu pružnosti z průhybu trámku Dosazením tíhové síly F G = mg za zatěžovací sílu F a průhybu y = y y 0 do vztahu (9) získáme opět lineární závislost průhybu trámku y na zátěži m ve tvaru y = y 0 + l3 g 4Eab 3 m = y 0 + B m. (11) Konstanta y 0 opět představuje průhyb při zavěšení misky s upínacím příslušenstvím. Na základě naměřených průhybů y pro různé zátěže m jsme schopni pomocí metod regresní analýzy získat koeficient B a posléze se znalostí okolnostních parametrů uspořádání pokusu vypočítat modul pružnosti E. Určení nejistot měření K určení výsledné nejistoty měření jednotlivých modulů pružnosti v tahu použijeme odchylky koeficientů. Odchylku modulu pružnosti určíme jako nejistotu nepřímého měření s pomocí kvadratického zákona hromadění chyb. Započítáme jak statistické odchylky, tak chyby měření přístroji (z tabulky 1) veličin vystupujících v úměrnostních koeficientech A a B. 3.3 Naměřené hodnoty Naměřené hodnoty pro zjištění E z protažení mosazného drátu zachycují tabulky 2, 3. Data z měření průhybu trámku oceli jsou v tabulce 4, tabulka 5 zachycuje data z průhybu trámku mosazného. Tabulka 2: Naměřené veličiny potřebné pro výpočet modulu E mosazného drátu. Číslo Průměr kladky Délka drátu Průměr drátu Vzdálenost stupnice měření D[cm] l 0 [cm] d[mm] L[cm] 1. 3,96 114,5 0,61 89,0 2. 3,93 114,7 0,60 89,1 3. 3,94 114,7 0,59 89,1 4. 3,95 114,8 0,60 89,0 5. 3,95 114,6 0,60 89,1 5
Tabulka 3: Naměřená data pro mosazný drát. Měření Zatížení Zatěžování Odlehčování číslo m[kg] n[cm] n [cm] 1. 0 11,8 11,7 2. 0,1 11,4 11,3 3. 0,2 11,0 11,0 4. 0,3 10,7 10,6 5. 0,4 10,3 10,2 6. 0,5 9,9 9,8 7. 0,6 9,6 9,5 8. 0,7 9,2 9,1 9. 0,8 8,9 8,8 10. 0,9 8,5 8,4 11. 1,0 8,2 8,0 12. 1,1 7,8 7,7 13. 1,2 7,4 7,3 14. 1,3 7,0 7,0 Tabulka 4: Naměřená data pro výpočet modulu E průhyb ocelového trámku. Číslo Výška Šířka Vzdálenost podp. Zátěžování Odtěžování Zátěž měření b[mm] a[cm] l[cm] y[mm] y [mm] m[g] 1. 2,95 1,19 41,2 3,60 3,60 50 2. 2,97 1,20 41,3 3,75 3,70 100 3. 2,97 1,21 41,3 3,90 3,95 150 4. 2,98 1,19 41,2 4,00 4,00 200 5. 2,97 1,19 41,2 4,10 4,15 250 6. 4,25 4,25 300 7. 4,35 4,40 350 8. 4,50 4,50 400 9. 4,60 4,70 450 10. 4,80 4,80 500 Tabulka 5: Naměřená data pro výpočet modulu E průhyb mosazného trámku. Číslo Výška Šířka Vzdálenost podp. Zátěžování Odtěžování Zátěž měření b[mm] a[cm] l[cm] y[mm] y [mm] m[g] 1. 1,98 1,19 41,10 7,20 7,2 5 2. 1,99 1,20 41,20 7,30 7,3 10 3. 1,98 1,20 41,10 7,40 7,4 15 4. 1,99 1,20 41,10 7,50 7,5 20 5. 1,98 1,19 41,20 7,60 7,6 25 6. 7,70 7,70 30 7. 7,80 7,80 35 8. 7,90 7,90 40 9. 7,95 7,95 45 10. 8,05 8,05 50 6
Změřené / odečtené hodnoty Počáteční dílek odečtený na stupnici před vlastním kladením zátěžných závaží: n 0 = 11,8 cm. Počáteční průhyb ocelového trámku před vlastním zatěžování závažími : y 0o = 3,5 cm. Počáteční průhyb mosazného trámku před vlastním zatěžování závažími: y 0m = 7,15 cm. 3.4 Zpracování dat a číselné výsledky Výpočet modulu pružnosti z protažení drátu Vykreslíme graf závislosti n p = f(m) z dat tabulky 3, kde n p jsou aritmetické průměry hodnot n a n. Proložíme lineární regresní křivku. 13 12 11 Graf 1: Závislosti n = f(m) a n = f(m) při deformaci mosazného drátu. zatěžování odlehčování lineární regrese n, n [cm] 10 9 8 7 6 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 m[kg] Z poslední rovnosti ze vztahu (10) pro modul pružnosti plyne E = 16Ll 0g πdd 2 A. (12) Nejpravděpodobnější hodnoty veličin vystupujících v tomto vztahu i jejich chyby jsou zachyceny v tabulce 6. Koeficient A a jeho chybu vypočítal program QtiPlot s výsledkem A = ( 3,632 ± 0,017) cm kg 1. Do vztahu (12) dosadíme nejpravděpodobnější hodnoty veličin, tj. aritmetické průměry x z tabulky 6. Ē = 16 L l 0 g π D d 2 A = 9,88 1010 Pa Relativní mezní chyba koeficientu je na základě výstupu z programu QtiPlot rovna ρ 3 A = 0,014. Chyba ostatních veličin vystupujících ve vztahu (12) jsou uvedeny v tabulce 6, chybu tíhového zrychlení 7
neuvažuji. Na základě kvadratického zákona pro hromadění chyb lze pro relativní mezní chybu určení modulu pružnosti ze vztahu (12) odvodit vztah ρ 3 E = ρ 2 3 L + ρ2 3 l + ρ 2 0 3 D + ( 2 2ρ 3 d) + ρ 2 3Ā = 0,039. Této chybě odpovídá absolutní mezní nejistota určení E o velikosti ε 3 E = ρ E Ē = 3,85 109 Pa. Modul pružnosti mosazného drátu byl tedy určen s výsledkem E mosaz = (99 ± 4) 10 9 Pa, P 1. Poznámka. Ve všech tabulkách mají následující označení tyto významy: x nejpravděpodobnější hodnota veličiny x, s x statistická odchylka veličiny x, 3ρ sx mezní relativní statistická odychylka veličiny x, ρ δx mezní chyba měření přístrojem měřeným veličinu x, ρ 3 x celková mezní relativní chyba měření veličiny x. Absolutní chyby a nejpravděpodobnější hodnoty jsou v jednotkách udané sloupcem tabulky, relativní chyby jsou bezrozměrné. V dalším počítání chyb znamená dolní index 3 před veličinou, že se jedná o chybu mezní. Tabulka 6: Zpracování naměřených dat pro výpočet E z protažení drátu. Číslo měření/ Průměr klad. Délka drátu Průměr drátu Vzdálenost stup. statistická veličina D[cm] l 0 [cm] d[mm] L[cm] 1. 3,96 114,5 0,61 89,0 2. 3,93 114,7 0,60 89,1 3. 3,94 114,7 0,59 89,1 4. 3,95 114,8 0,60 89,0 5. 3,95 114,6 0,60 89,1 x 3,95 114,66 0,60 89,06 s x 0,0023 0,023 0,0014 0,011 3ρ sx 0,0017 0,00060 0,0071 0,00037 ρ δx 0,0025 0,00087 0,017 0,0011 ρ 3 x 0,0031 0,0011 0,018 0,0012 Výpočet modulu pružnosti z průhybu trámku Vykreslíme graf závislosti y p = f(m) z dat tabulky 4 (resp.5), kde y p jsou aritmetické průměry hodnot y a y. Proložíme lineární regresní křivku. Z poslední rovnosti ze vztahu (11) pro modul pružnosti plyne E = l3 g 4Bab 3. (13) Nejpravděpodobnější hodnoty veličin vystupujících v tomto vztahu i jejich chyby jsou zachyceny v tabulce 7 (resp. 8). Koeficient B o (resp. B m ) a jeho chybu vypočítal program QtiPlot s výsledkem B o = (259,4 ± 5,2) 10 5 mm g 1, B m = (190,3 ± 3,5) 10 4 mm g 1. Do vztahu (13) dosadíme nejpravděpodobnější hodnoty veličin, tj. arimetické průměry x z tabulky 7 (resp. 8). 8
Ē o = 21,0 10 10 Pa, Ē m = 9,6 10 10 Pa. Relativní mezní chyby koeficientu B o (resp. B m ) určíme na základě výstupu z programu QtiPlot. Chyby ostatních veličin vystupující ve vztahu (13) jsou v tabulce 7 (resp. 8), chybu tíhového zrychlení neuvažuji. Na základě kvadratického zákon pro hromadění chyb lze pro relativní mezní chybu určení modulu pružnosti ze vztahu (13) odvodit a psát (3ρ3 l) 2 ρ 3 E o = + ρ 2 3 B + ρ 2 o 3ā + ( ) 2 3ρ 3 b = 0,062, (3ρ3 l) 2 ρ 3 E m = + ρ 2 3B + ρ2 m, 3ā + ( ) 2 3ρ 3 b = 0,057. Těmto chybám odpovídají absolutní mezní nejistoty určení modulů pružnosti o velikostech ε 3 E o = ρ 3Eo Ēo = 1,31 10 10 Pa. ε 3 E m = ρ 3Em Em = 0,55 10 10 Pa. Modul pružnosti v tahu při měření metodou průhybu trámků byl tedy určen s výsledky E o = (21 ± 1,3) 10 10 Pa, P 1, E m = (9,6 ± 0,6) 10 10 Pa, P 1. 5 4,8 4,6 Graf 2: Graf závislostí y, y = f(m) průhybu ocelového trámku. Zatěžování Odlehčování Lineární regrese 4,4 y, y [mm] 4,2 4 3,8 3,6 3,4 0 100 200 300 400 500 600 m[g] 3.5 Číselné výsledky měření Výsledné moduly pružnosti na základě obou metod pro mosaz a ocel: E mosaz = (9,9 ± 0,4) 10 10 Pa, P 1, E o = (21 ± 1,3) 10 10 Pa, P 1, E m = (9,6 ± 0,6) 10 10 Pa, P 1. 9
Tabulka 7: Zpracování dat průhybu trámku (ocel). Číslo Výška Šířka Vzdálenost podp. měření b[mm] a[cm] l[cm] 1. 2,95 1,19 41,2 2. 2,97 1,20 41,3 3. 2,97 1,21 41,3 4. 2,98 1,19 41,2 5. 2,97 1,19 41,2 x 2,97 1,20 41,24 s x 0,0022 0,0018 0,011 3ρ sx 0,0022 0,0045 0,00080 ρ δx 0,00034 0,0084 0,0024 ρ 3 x 0,0022 0,0095 0,0026 Tabulka 8: Zpracování dat průhybu trámku (mosaz). Číslo Výška Šířka Vzdálenost podp. měření b[mm] a[cm] l[cm] 1. 1,98 1,19 41,1 2. 1,99 1,2 41,2 3. 1,98 1,2 41,1 4. 1,99 1,2 41,1 5. 1,98 1,19 41,2 x 1,98 1,20 41,14 s sx 0,0011 0,0011 0,011 s 3 x 0,0017 0,0027 0,00080 ρ δx 0,00050 0,0084 0,0024 ρ 3 x 0,0017 0,0090 0,0026 10
8,2 8 Graf 3: Graf závislostí y, y = f(m) průhybu mosazného trámku. Zatěžování Odtěžování Lineární regrese 7,8 y, y [mm] 7,6 7,4 7,2 7 0 10 20 30 40 50 60 m[g] 3.6 Grafické výsledky měření Grafy závislostí s regresními proloženími pro určení E z jejich koeficientů byly uváděny průběžně při zprácování dat. Koeficienty fitovaných přímek jsou uvedeny v textu protokolu v části zpracování dat. Přepočítáme-li hmotnosti závaží na jimi vyvolané napětí a rozdíly výchylek na stupnici na absolutní prodloužení drátu, můžeme pro lepší nahlédnutí vykreslit závislost σ = f(ε). Tuto závislost zachycuje graf 4. Hodnoty měřené při zatěžování a odtěžování zde jsou zprůměrovány. 4 Diskuze výsledků Naměřené hodnoty korespondují s obecně udávanými moduly pružnosti pro běžnou ocel a mosaz [2] (tabelované hodnoty viz část Důležité hodnoty, konstanty, vlastnosti). Tabelované hodnoty leží v intervalech nejistoty změření těchto látkových konstant. Byť se nejistoty určení modulu pružnosti mosazi z obou metod překrývají, nelze hodnoty z metod výrazně porovnávat, neboť materiály zkoumaného drátu a trámku nemusely být identické. Navíc oba vzorky mohly být v různém stavu mechanické unavenosti, tedy že jejich pružnostní vlastnosti mohly být odlišné. Měření je zatíženo řadou systematických chyb. Délka aktivní deformační části drátu l 0 nebyla přesně určena, neboť nebylo jasné, v jaké části uchycovacího třmenu byl drát upevněn. Dále měření nezahrnuje část drátu na obvodu kladky, která se také deformuje. Vlivy těchto chyb jsou vzhledem k délce drátu zanedbatelné. Chyba dána přibližným vztahem pro tangentu úhlu je řádově zanedbatelná. Při měření se zanedbává změna průměru drátu při deformacích. Obsah jeho přůřezu se při výpočtu nahrazuje obsahem kruhu, jehož průměr odpovídá aritmetickému průměru průměrů drátu v různých místech. Největší chyby vnáší (viz tabulky zpracování dat a relativní chyby) měření malých veličin - průměr drátů, výška trámku. Jejich chyba se navíc vzhledem k jejich vystupování ve vztazích společně s veličinou l ve vyšších mocninách násobí. Při protežování trámku vzorek nemusel ležet na břitech rovnoběžně k jejich normálám, což mohlo způsobit jiné plošný moment setrvačnosti v místě namáhání. 11
5 4 Graf 4: Mosazný drát - závislost σ = f(ε). Průměr ze zatěž. a odlehč. Lineární regrese Function: A*x+B B= 0,12 A= 0,11 σ[10 6 Pa] 3 2 1 0 0 10 20 30 40 50 ε[1 10 5 ] Grafy příslušných závislostí ukazují, že při měření nebyla překročena mez pružnosti daných materiálů, neboť závislost je v celém měřeném intervalu lineární. Dále je vidět, že při odlehčování se materiál nevrací až do poloh měřených při zatěžování. Materiál tedy má jakousi malou setrvačnost. U průhybu trámku jsem tento jev takřka nepozoroval. Naměřené hodnoty se kolem svých regresních přímek rozptylují minimálně. Při měření modulu pružnosti mosazi z průhybu trámku byl problém s utlumením rozkmitání trámku způsobené přidáním závaží. 5 Závěr Modul pružnosti v tahu z protažení drátu byl pro mosaz naměřen E mosaz = (9,9 ± 0,4) 10 10 Pa, P 1. Metodou průhybu trámku byl modul pružnosti naměřen pro ocel a mosaz E o = (21 ± 1,3) 10 10 Pa, P 1, E m = (9,6 ± 0,6) 10 10 Pa, P 1. Modul pružnosti v tahu oceli je oproti mosazi přibližně dvojnásobný. Závislost relativního prodloužení na vyvolaném napětí při deformaci v tahu v je v oblastech pružných deformací lineární. Seznam použité literatury [1] Brož J. a kol: Základy fysikálních měření. SPN, Praha 1967, kap. 2.3, st. 2.3.1, čl. 2.3.1.1. [2] Mikulčák, J a kol: Matematické fyzikální a chemické tabulky. Prometheus, Praha 1988, str. 139., str. 185. [3] H. Valentová: Fyzikální praktikum, studijní text, MFF UK. (11.3.2013). http://physics.mff.cuni.cz/vyuka/zfp/txt_109.pdf 12