3.2 Základy pevnosti materiálu. Ing. Pavel Bělov

Transkript

1 3.2 Základy pevnosti materiálu Ing. Pavel Bělov

2 Normálové napětí představuje vazbu, která brání částicím tělesa k sobě přiblížit nebo se od sebe oddálit je kolmé na rovinu řezu v případě že je rovnoměrně rozloženo po řezu jedná se o tah nebo tlak F σ= S [N ] =[ MPa] 2 [mm ] 2

3 Poměrné prodloužení Jedná se o bezrozměrné číslo vyjadřující délkové prodloužení původního tělesa poměrné prodloužení prodloužení ε= Δl [-] l0 Δ l=l l0 [mm] poměrné prodloužení v ε= Δ l 100 [ ] l0 procentech 3

4 Hookeův zákon Napětí je přímo úměrné deformaci Při tahové zkoušce se materiál podle Hookeova zákona chová do meze úměrnosti Základní formulace σ= E ε [ MPa] σ1 σ 2 σ U ε1 = ε 2 = εu =tg α=e 4

5 Modul pružnosti v tahu E [MPa] modul pružnosti v tahu (Youngův modul) základní materiálovou konstantu pro ocel 2.1*105 MPa do teploty okolo 100 C pro hliník 0.7*105 MPa 5

6 Koeficient příčné kontrakce (Poissonova konstanta) Popisuje závislost mezi podélným poměrným prodloužením a příčným poměrným zkrácením značka Poissonovy konstanty je μ ε y =εz = μ ε x Δh Δb ε y =εz = = h0 b0 6

7 Smykové napětí představuje vazbu, která brání částicím tělesa se od sebe oddálit ve směru roviny řezu je rovnoběžné s rovinou řezu v případě rovnoměrného rozložení po rovině řezu se jedná o prostý smyk F τ= S [N ] =[ MPa] 2 [mm ] 7

8 Zkos elementární těleso je zatíženo silou vyvolávající změnu pravého úhlu tělesa pro malé úhly lze psát tg γ γ= BC AB 8

9 Hookův zákon pro smyk Platí pouze pro malé deformace Hodnota modulu pružnosti ve smyku pro ocel 8*104MPa Základní vyjádření pro smyk τ=g γ τ - napětí v materiálu G modul pružnosti ve smyku γ zkos Vztah mezi modulem pružnosti ve smyku a v tahu G= E 2 (1+μ) 9

10 Tahový diagram Slouží pro určení základních materiálových vlastností Jedná se o jednu z nejběžnějších zkoušek Při zkoušce je materiál zatěžován jednoosou napjatostí Výsledný graf určuje závislost síly na deformaci F-Δl nebo napětí na poměrné deformaci σ-ε 10

11 Tahový diagram 11

12 Tahový diagram různých materiálů 12

13 Charakteristiky získané z tahové zkoušky Smluvní mez pevnosti R = F m [ MPa] m S0 Rm Fe R e= [ MPa] S0 Smluvní mez kluzu Re Tažnost A Lu L0 A= 100[ ] L0 Kontra Z S 0 S u Z= 100[ ] S0 13

14 Smluvní mez kluzu U materiálů s nevýraznou mezí kluzu se používá smluvní mez kluzu Smluvní mez kluzu Rp0.2 je napětí, které způsobí trvalou deformaci o velikosti 0.2% z L0 14

15 Elastická a plastická deformace Drtivá většina strojních konstrukcí se provozuje v oblasti elastických deformací (do meze kluzu Re) 15

16 Metoda řezů těleso je v klidu a pomocí myšleného řezu ho rozdělíme na dvě části aby zůstala část A i B v rovnováze musíme do rovin řezů připojit takové vnitřní síly, které zajistí rovnovážný stav vnitřní síly se následně stávají silami vnějšími a je možno je řešit metodami statiky F x =0 M x=0 F y =0 M y=0 F z =0 M z=0 16

17 Metoda řezu VVU výsledné vnitřní účinky VVU v bodě střednice výsledné vnitřní účinky se vyšetřují na středníci prutu v daném bodě VVU prutu jedná se o funkční závislost vyjadřující průběh VVU po střednici prutu N normálová síla T posouvající síla Mk kroutící moment Mo ohybový moment 17

18 Př:1 Vyšetřete průběh VVU Vyšetřete průběh VVU u vetknutého prutu zatíženého dvěma silami F1 = 500N F2 = 800N a = 400mm b = 700mm 18

19 Př:1 Stanovení VVU F x =0 F z =0 M y =0 N =0 T +F 2 =0 T =F 2 M o F 2 x 1 =0 M o = F 2 x 1 F z=0 M y=0 T + F 1 + F 2 =0 T =F 1 +F 2 M o F 1 ( x 2 b) F 2 x 2 =0 M o = F 1 ( x 2 b) F 2 x 2 19

20 Př:1 Výsledný průběh VVU 20

21 Př:2 Vyšetřete průběh VVU Vyšetřete průběh VVU u prutu na dvou podporách zatěžující síla F=1000N rozměr a=300mm rozmer b=1000mm 21

22 Př:2 Stanovení síly v podporách Fx=0 Fz=0 M Ay =0 F Az + F F Bz =0 F Az =F F Bz F Az = F Az =769.2 N F a+ F Bz (a+b) F a F Bz = (a+b) F Bz = ( ) F Bz =230.8 N 22

23 Př:2 Stanovení průběhu VVU na jednotlivých řezech F x =0 F z =0 M y =0 N =0 F Az +T =0 T =F Az M o F Az x 1=0 M o =F Az x 1 F z=0 M y =0 F Az + F+T =0 T =F Az F M o F Az x 2 + F ( X 2 a)=0 M o =F Az x 2 F ( x 2 a) 23

24 Př:2 Výsledný průběh VVU v prutu 24

25 Základní druhy namáhání materiálu Tah a tlak Prostý smyk Ohyb Krut 25

26 Tah a tlak Zatěžující síla je kolmá na příčný průřez prutu a napětí je rovnoměrně rozloženo po průřezu. Výpočet napětí v materiálu F σ= S [N ] =[ MPa] 2 [mm ] σ - napětí v materiálu F zatěžující síla S příčný průřez 26

27 Př:3 Vetknutý nosník z materiálu S235 je zatížen břemenem. Vypočtěte velikost napětí v nosníku a bezpečnost vůči mezi kluzu Re 27

28 Př:3 řešení Zatěžující síla Plocha příčného průřezu S=20 10=200 mm2 Napětí v nosníku F N σ= = =98.1 S 200 mm2 Koeficient bezpečnosti F =Q q= =19620 N R 235 k = σe = =

29 Prostý smyk Zatěžující síla je rovnoběžná s příčným průřezem a napětí je rovnoměrně rozloženo po průřezu (pouze teoreticky). Výpočet napětí v materiálu F τ= S [N] =[ MPa ] 2 [mm ] τ - napětí v materiálu F zatěžující síla S příčný průřez 29

30 Př:4 Jakou sílu je třeba vyvodit pro ustřižení kulatiny z materiálu Mez pevnosti ve smyky je přibližně 0.8*Rm. 30

31 Př:4 řešení Výpočet plochy příčného průřezu 2 S= 2 π d π 20 2 = =314 mm 4 4 Výpočet meze pevnosti ve smyku τ= R m 0.8= =298.4 N mm2 Výpočet potřebné síly F= τ S= = N 31

32 Ohyb Zatěžující moment působí kolmo na osu prutu a způsobuje jeho průhyb. Výpočet napětí v materiálu Mo σo= Wo [ N mm] =[ MPa] 3 [mm ] σo - napětí v materiálu Mo zatěžující moment Wo průřezový modul v ohybu 32

33 33

34 Př:5 Vyšetřete průběh VVU a zkontrolujte maximální ohybové napětí na nosníku Vyšetřete průběh VVU u prutu na dvou podporách zatěžující síla F=5000N rozměr a=450mm rozmer b=700mm materiál nosníku S235 34

35 Př:5 Stanovení síly v podporách Fx=0 Fz=0 M Ay =0 F F Az + F Bz =0 F Az = F + F Bz F Az = F Az = N F a F Bz b F a F Bz = b F Bz = (700) F Bz = N 35

36 Př:5 Stanovení průběhu VVU na jednotlivých řezech F x =0 F z =0 M y =0 N =0 F +T =0 T = F M o + F x 1 =0 M o = F x 1 F z=0 M y =0 F Az + F+T =0 T =F Az F M o F Az ( x 2 a)+f x 2=0 M o =F Az ( x 2 a) F x 2 36

37 Př:5 Výsledný průběh VVU v prutu 37

38 Př:5 Výpočet maximálního ohybového napětí a porovnání s mezí kluzu Průřezový modul v ohybu BH Wo= = =12500 mm 6 6 Maximální ohybový moment M omax =F a= = N mm=2250 N m Maximální ohybové napětí M o N σ o= = =180 2 Wo mm Koeficient bezpečnosti Re 235 k=σ = =1.3 o

39 Krut Zatěžující moment působí v ose prutu a způsobuje jeho kroucení. Výpočet napětí v materiálu Mk τk = Wk [ N mm] =[ MPa] 3 [mm ] τk - napětí v materiálu Mk zatěžující moment Wk průřezový modul v krutu 39

40 Př:6 Navrhněte průměr kruhové tyče zatížené silovou dvojicí F = 100 h = 500 τdk = 200MPa d=? 40

41 Př:6 řešení Zatěžující kroutící moment M k =F h= =50000 N mm=50 N m Výpočet průřezového modulu v krutu M k W k= τ = =250 mm dk 200 Výpočet minimálního průřezu 16 W k d= π = π =10.8 mm 3 41

42 Př:7 Vyšetřete průběh VVU v nosníku Nosník na dvou podporách F1 = 1000N F2 = 1500N a = 1000 mm b =700 mm c = 800 mm 42

43 Př:7 Stanovení síly v podporách Fx=0 Fz=0 M Ay=0 F Az +F 1 F 2 + F Bz =0 F Az = F 1 F 2 +F Bz F Az = F Az =120 N F 1 a+ F 2 (a+b) F Bz (a+b+c) F 1 a+ F 2 (a+b) F Bz = (a+b+c) ( ) F Bz = ( ) F Bz =620 N 43

44 Př:7 Stanovení průběhu VVU na jednotlivých řezech F x =0 F z =0 M y =0 N =0 F Az +T =0 T =F Az M o F Az x 1=0 M o =F Az x 1 F z=0 M y =0 F Az + F 1 +T =0 T =F Az F 1 M o F Az x 2 + F 1 ( x 2 a)=0 M o =F Az x 2 F 1 ( x 2 a) 44

45 Př:7 Stanovení průběhu VVU na jednotlivých řezech F z=0 M y =0 F Az + F 1 F 2 +T =0 T =F Az F 1 +F 2 M o F Az x 3 + F 1 ( x 3 a) F 2 ( x 3 a b)=0 M o =F Az x 3 F 1 ( x 3 a)+f 2 ( x 3 a b) 45

46 Př:7 Výsledný průběh VVU v prutu 46