Afinní zobrazení, jeho regularita a (totální) singularita. Asociovaný homomorfismus. Analytické
|
|
- Nikola Němcová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Slezská univerzita v Opavě Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku Opava Tel ANALYTICKÁ GEOMETRIE Téma 3. Afinní zobrazení Opakování Dělicí poměr; Homomorfismus vektorových prostorů, jeho jádro a obraz (Ker a Im); Transformace souřadnic v afinním prostoru; Lineární zobrazení vektorových prostorů, charakteristický polynom, vlastní vektory a vlastní čísla; Základní pojmy Afinní zobrazení, jeho regularita a (totální) singularita. Asociovaný homomorfismus. Analytické vyjádření afinního zobrazení vzhledem ke zvoleným afinním repérům. Samodružné body a vlastní vektory afinního zobrazení. Afinní transformace a její modul. Přímá, nepřímá a unimodulární afinita. Afinní grupa. Homotetie, translace, stejnolehlost a jejich analytické vyjádření. Základní afinity v rovině a v prostoru, rovnoběžná projekce, elace, involuce, jejich charakteristiky. Základní tvrzení Věta o určenosti afinního zobrazení. Věta o inverzi afinního zobrazení. Základní úlohy Zapsání analytických rovnic afinního zobrazení. Nalezení samodružných bodů a vlastních vektorů afinního zobrazení. Výpočet modulu afinity, zapsání rovnic inverzní afinity. Zapsání rovnic homotetie. Klasifikace afinit na přímce, v rovině a v prostoru. Literatura [1] K. Burian, Kapitoly z geometrie, I. díl (PřF OU, Ostrava, 1996) 274 s. (Kapitola 3.) [2] J. Jachanová, L. Marková, H. Žáková, Cvičení z geometrie, II. díl (PřF UP, Olomouc, 1989) 121 s. [3] J. Janyška, Afinní zobrazení (Učební texty PřF MU v Brně) 47 s. Elektronická edice: [4] M. Sekanina, L. Boček, M. Kočandrle, J. Šedivý, Geometrie, II. díl (SPN, Praha, 1988) 307 s. 1
2 1 Rovnice afinního zobrazení Příklady k řešení 1.1. Určete rovnice afinního zobrazení f : A 2 A 2, znáte-li souřadnice bodů P i A 2 a jejich obrazů f(p i ) A 2, pro i =0, 1, 2, vzhledem k pevně zvolenému afinnímu repéru: (a) P 0 =[1, 1], P 1 =[ 1, 0], P 2 =[3, 3], f(p 0 )=[4, 9],f(P 1 )=[1, 1],f(P 2 )=[6, 23]. (b) P 0 =[3, 0], P 1 =[2, 1], P 2 =[ 1, 4], f(p 0 )=[1, 0],f(P 1 )=[2, 1],f(P 2 )=[ 1, 1] Napište rovnice afinního zobrazení f : A 2 A 3, znáte-li souřadnice tříbodůva 2 a jejich obrazů: (a) P =[0, 0], Q =[1, 0], R =[0, 1], f(p) =[1, 0, 0], f(q) =[0, 1, 0], f(r) =[0, 0, 1]. (b) P =[1, 0], Q =[0, 1], R =[1, 1], f(p) =[1, 4, 2], f(q) =[ 1, 4, 1], f(r) =[0, 5, 1] Nalezněte obecné vyjádření obrazů souřadnicových os při zobrazení f, které má rovnice (a) x =2x y +1, y = x +2y +3. (b) x =3x y +6, y =3y Afinní zobrazení f : A 2 A 3 má vzhledem k pevně zvoleným afinním repérům rovnice x = x y, y = x + y +3, z = y. Vypočítejte souřadnice obrazu počátku zvoleného repéru A 2 a vzoru počátku repéru A 3. Nalezněte obrazy souřadnicových os repéru A Vzhledem k pevně zvolené afinní soustavě souřadnic v A 3 je dáno afinní zobrazení f rovnicemi x = x +2z +1, y =2y +2z +2, z = x + y z +3. Určete obrazy přímek p, q, jestliže (a) p : P =[1, 2, 0]; u =( 2, 1, 1), q : Q =[0, 1, 3]; v =(4, 2, 1). (b) p : P =[ 1, 1, 1]; u =(1, 1, 1), q : Q =[ 1, 1, 0]; v =(3, 2, 1) Určete rovnice afinního zobrazení f : A n A n, jestliže jsou vzhledem k pevně zvolené afinní bázi v A n zadány obrazy ϕ( u i ), i =1,...,n, vektorů u i v asociovaném lineárním zobrazení ϕ k zobrazení f ajedán obraz f(b) =B daného bodu B. (a) u 1 =(2, 1), u 2 =(1, 2), ϕ( u 1 )=(3, 2),ϕ( u 2 )=(4, 1), B =[ 1, 1], B =[0, 3]. (b) u 1 =( 1, 1, 0), u 2 =(1, 0, 1), u 3 =(1, 1, 1), ϕ( u 1 )=( 1, 1, 4),ϕ( u 2 )=(1, 0, 3),ϕ( u 3 )=(1, 1, 1), B =[0, 1, 1], B =[0, 1, 3] Najděte rovnice afinního zobrazení f : A 2 A 2 vzhledem k afinní bázi P; e 1, e 2, jestliže je dán obraz počátku a pro obrazy bázových vektorů platí: (a) ϕ( e 1 ) ϕ( e 2 )= e 2, ϕ( e 1 )+2ϕ( e 2 )=3 e 1 +2 e 2 ; f(p) =[1, 1]. (b) ϕ( e 1 )= e 1 2 e 2, ϕ( e 1 )+2ϕ( e 2 )= e 1 ; f(p) =[0, 0]. (c) ϕ( e 1 )= e 2, 2ϕ( e 1 )+ϕ( e 2 )= e 1 ; f(p) =[ 1, 2]. 2
3 1.8. Napište maticovou rovnici afinního zobrazení f : A 2 A 2 vzhledem k afinní bázi R = P; e 1, e 2, jsou-li zadány obrazy bázových vektorů v asociovaném lineárním zobrazení ϕ a obraz jednoho bodu: (a) ϕ( e 1 )=(1, 1), ϕ( e 2 )=( 1, 1), a obrazem bodu B =[1, 1] je bod B = B. (b) ϕ( e 1 )=(0, 1), ϕ( e 2 )=(1, 2), f(p) =[ 1, 2]. 2 Samodružné prvky afinních zobrazení 2.1. Určete samodružné body a samodružné směry afinního zobrazení f : A 2 A 2 jestliže vzhledem k pevně zvolenému afinnímu repéru platí: P = [0, 0], Q = [1, 0], R = [0, 1], f(p) = P, f(q) = R, f(r) = Q Vyšetřete vlastnosti afinního zobrazení f : A 2 A 2, které je vzhledem ke kanonickému afinnímu repéru dáno rovnicemi x =3x 2y +2,y =2x y Určete samodružné body a samodružné směry afinního zobrazení f : A 2 A 2, které má vzhledem k pevně zvolenému afinnímu repéru rovnice: (a) x =2x y +1, y = x +2y +3. (b) x =3x y +6, y =3y +4. (c) x = x y, y = 1 3 y. (d) x = y, y = x Určete samodružné body a samodružné směry afinního zobrazení f : A 3 A 3, které má vzhledem k pevně zvolenému afinnímu repéru rovnice: (a) x = x y +2z 7, y = y + z 5, z = x 2y + z 6. (b) x = x 2y, y = 3x 2y, z =2x +2y + z. (c) x =3x + y z +2, y = y, z =2x + y +2. (d) x =3x +1, y =3y, z =3z 1. (e) x = x, y = y 5, z = z +2. (f) x =2x + y + z 1, y = y, z = z Najděte samodružné body a samodružné směry afinity f zadané rovnicemi x =9x +4y 2, y =2x + y +1. Určete o jakou afinitu jde Napište rovnice afinního zobrazení prostoru A 3 do sebe, v němž je bod A = [ 2, 0, 0] samodružný a vektory u 1 =(1, 1, 0), u 2 =(1, 1, 0) jsou vlastními vektory asociovaného lineárního zobrazení odpovídající vlastnímu číslu 2, zatímco vektor v =(0, 1, 2) se zobrazí na vektor opačný. (a) A =[1, 0, 2]; u 1 =(1, 0, 0), u 2 =(1, 1, 0), λ 1,2 =2; u 3 =(0, 1, 2),λ 3 = Napište rovnice afinního zobrazení f roviny A 2 do sebe, jsou-li přímky o rovnicích 2x y+3 = 0 a x y + 2 = 0 silně samodružné a jestliže bod M =[ 1, 0] se zobrazí doboduf(m) =[1, 2] Napište maticovou rovnici afinního zobrazení f : A 2 A 2 vzhledem k afinní bázi R = P; e 1, e 2, jsou-li zadány obrazy bázových vektorů ϕ( e 1 )=(1, 1), ϕ( e 2 )=( 1, 1), a obrazem bodu B =[1, 1] je bod B = B. Nalezněte dále samodružné prvky zobrazení f. 3 Modul afinního zobrazení 3.1. Zjistěte jsou-li zobrazení f z příkladů afinní transformace. Pokud ano, rozhodněte jedná-li se o afinity přímé či nepřímé. 3
4 3.2. Jsou dány rovnice dvou afinit f,g roviny A 2 vzhledem k jejímu kanonickému repéru: (a) f : x =2x y +1, g : x = x +4y 1 y = x + y +3, y = x +2y. (b) f : x =2x y +1, g : x =3x y +6 y = x +2y +3, y =3y +4. (c) f : x = x y, g : x =3x +1 y = 1 3 y, y =3y. Napište rovnice afinit f g, g f, f 1,g Určete samodružné body a vlastní směry afinního zobrazení f 1 : A n A n, jestliže je zobrazení f zadáno rovnicemi: (a) x = x +3, y =2y. (b) x = x +1, y =2x y +2z, z = 1 2 z 1. (c) x = x +1, y =2x +2y +2z, z =2z +1. (d) x =2x 2z, y = x + z +1, z = x + y 3. Zjistěte je-li zobrazení f 1 přímou afinitou. 4 Homotetie 4.1. Napište analytické vyjádření identity prostoru A Napište analytické vyjádření translace prostoru A n o vektor (a) u 1 =(1, 2, 3); (b) u 2 =( 1, 0, 1); (c) v =(1, 1, 1, 0) Napište analytické vyjádření translace v A 5, která zobrazí boda = [0, 1, 0, 1, 0] na bod B =[1, 0, 1, 0, 1] Napište rovnice stejnolehlosti h(s, 3) v A 3, která zobrazí boda =[ 2, 0, 1] do bodu A = [0, 1, 3]. Najděte střed stejnolehlosti Napište rovnice stejnolehlosti v A 3 zobrazující boda =[2, 0, 3] do bodu A =[4, 1, 0] a bod B =[1, 1, 1] do bodu B =[0,a,b]. Pro která a, b R má úloha řešení? 4.6. Napište analytické vyjádření stejnolehlostí s 1 a s 2 v A n aurčete jejich středy a koeficienty, jestliže s 1 zobrazí A C a B D a s 2 zobrazí A D a B C. Body A, B, C, D A n mají vzhledem ke zvolenému afinnímu repéru souřadnice: (a) A =[1, 1], B =[1, 0], C =[3, 1], D =[3, 2]; (b) A =[1, 2], B =[3, 6], C =[2, 4], D =[ 1, 1]; (c) A =[0, 1], B =[1, 0], C =[0, 0], D =[2, 1]; (d) A =[1, 0], B =[4, 0], C =[2, 1], D =[ 1, 1]; (e) A =[0, 0, 0], B =[1, 0, 0], C =[0, 0, 2], D =[2, 0, 2]; (f) A =[3, 0, 6], B =[1, 2, 8], C =[0, 0, 0], D =[1, 1, 1] Mějme dánu stejnolehlost s se středem S =[1, 2, 1] a koeficientem κ = 2 a posunutí t o vektor u =( 1, 1, 1). Nalezněte rovnice zobrazení s 1, s t, t s a s 1 t s. Určete o jaký druh afinity (homotetie) se v těchto případech jedná. 5 Základní afinní zobrazení, osové afinity 5.1. Určete rovnice rovnoběžné projekce afinního prostoru A 3 do roviny ρ A 3 ve směru určeném vektorem s, kde (a) ρ :2x + y z +2=0, s =(0, 1, 0), (b) ρ : x + z 6=0, s =(0, 1, 1), 4
5 (c) ρ :6x 3y + z +4=0, s =(2, 3, 2), (d) ρ : x +2y z +5=0, s =(1, 2, 4) Rozhodněte zda je afinní zobrazení zadané rovnicemi x =3x 2y +2, y =2x y +2 osová afinita. Pokud ano, zjistěte zda jde o elaci Ukažte, že je zobrazení f zadané rovnicemi x =2x 3y +2,y = x + y +3, osovou afinitou v A 2. Nalezněte její osu, směr a charakteristiku Zjistěte zda je afinita f na A n o rovnicích (a) x =3x +2y +1,y = 4x 3y 2, (b) x = x, y =5x y +4, (c) x = x +1,y = y +15, (d) x = y + z, y = y, z = x + y, involutorní Napište rovnice afinity f v A 3, jejíž samodružné bodytvoří rovinu ρ o rovnici x + y z =0 a bod B =[1, 0, 2] se zobrazí do bodu f(b) =[2, 0, 1] Rozložte afinitu f zadanou rovnicemi (a) x =2x y +1,y = x + y +3; (b) x =2y, y = x na osové afinity. 5
7 Analytické vyjádření shodnosti
7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +
Více6 Samodružné body a směry afinity
6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra algebry a geometrie Afinní zobrazení v příkladech Bakalářská práce Vedoucí práce: RNDr. Lenka Juklová, Ph.D. Rok odevzdání: 2013 Vypracoval:
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
VícePatří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné.
11 Stejnolehlost Patří mezi tzv. homotetie, tj. afinní zobrazení, která mají všechny směry samodružné. Definice 26. Budiž dán bod S a reálné číslo κ (různé od 0 a 1). Stejnolehlost H(S; κ) se středem S
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceNALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Doba řešení: 3 hodiny
NALG 001 Lineární algebra a geometrie 1, zimní semestr MFF UK Závěrečná zkouška verze cvičná 9.1.2013 Doba řešení: 3 hodiny Přednášející: L. Barto, J. Tůma Křestní jméno: Příjmení: Instrukce Neotvírejte
Více1 Připomenutí vybraných pojmů
1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
VíceGeometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr
Geometrické transformace v rovině Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1 Shodné transformace shodné transformace (shodnosti, izometrie) převádějí objekt
VíceAFINNÍ ZOBRAZENÍ. Kapitola Afinní zobrazení
Kapitola 2 AFINNÍ ZOBRAZENÍ V této kapitole budeme studovat zobrazení afinních prostorů, která zobecňují dobře známá zobrazení euklidovských prostorů. Poprvé tato zobrazení studoval Leonard Euler v roce
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ
VíceGeometrická zobrazení
Pomocný text Geometricá zobrazení hodná zobrazení hodná zobrazení patří nejjednodušším zobrazením na rovině. Je jich vša hrozně málo a často se stává, že musíme sáhnout i po jiných, nědy výrazně složitějších
VíceVZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ
VíceSyntetická geometrie I
Afinita Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Směr Dvě rovnoběžné přímky mají stejný (neorientovaný) směr. Definice (Samodružný směr) Když se při zobrazení f zobrazí přímka p na přímku
VíceObrázek 101: Podobné útvary
14 Podobná zobrazení Obrázek 101: Podobné útvary Definice 10. [Podobné zobrazení] Geometrické zobrazení f se nazývá podobné zobrazení, jestliže existuje kladné reálné číslo k tak, že pro každé dva body
VíceCvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
Více8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině
Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme
VíceDERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a
DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x
VíceKMA/G2 GEOMETRIE 2 Pomocný učební text. Miroslav Lávička
KMA/G2 GEOMETRIE 2 Pomocný učební text Miroslav Lávička Plzeň, únor 2006 KMA/G2 Geometrie 2 2 Předmluva Tento text vznikl jako pomocný učební materiál pro potřeby studentů Fakulty aplikovaných věd a Fakulty
VíceSyntetická geometrie I
Shodnost Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Definice (Vzdálenost) Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB
VíceGeometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr
Geometrické transformace v prostoru Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1 Shodné transformace stejný přístup jako ve 2D shodné transformace (shodnosti,
VíceZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY
ZÁPADOČESKÁ UNIVERZITA V PLZNI FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY ENDOMORFISMY VEKTOROVÝCH PROSTORŮ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Jana Konopová Dis Přírodovědná studia obor Matematická
VíceVektorové prostory R ( n 1,2,3)
n Vektorové prostory R ( n 1,2,) (Velikonoční doplněk ke cvičení LAG) Prvky kartézské mocniny R RR R jsou uspořádané trojice reálných čísel, které spolu s operacemi ( a1, a2, a) ( b1, b2, b) ( a1b1, a2
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ
VíceKRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KRUŽNICE,
VíceCVIČNÝ TEST 24. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 24 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písemnou práci z chemie psalo všech 28 žáků ze
VíceVYUŽITÍ PROGRAMU CABRI PRO ZJIŠŤOVÁNÍ VLASTNOSTÍ OSOVÝCH AFINIT
VYUŽITÍ PROGRAMU CABRI PRO ZJIŠŤOVÁNÍ VLASTNOSTÍ OSOVÝCH AFINIT Naďa Stehlíková 1, Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta Úvod Připomeňme nejdříve, že afinní transformace roviny (nebo afinita)
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Mgr. Zora Hauptová ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY TEST VY_32_INOVACE_MA_3_20 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti
VíceZáklady analytické geometrie. I
Základy analytické geometrie. I Přehled pojmů. Přehled značek In: Eduard Čech (author): Základy analytické geometrie. I. (Czech). Praha: Přírodovědecké vydavatelství, 1951. pp. 209 214. Persistent URL:
Více8. Parametrické vyjádření a. Repetitorium z matematiky
8. Parametrické vyjádření a obecná rovnice přímky a roviny Repetitorium z matematiky Podzim 2012 Ivana Medková Osnova: 1 Geometrie v rovině 1. 1 Parametrické vyjádření přímky 1. 2 Obecná rovnice přímky
Vícevýsledek 2209 y (5) (x) y (4) (x) y (3) (x) 7y (x) 20y (x) 12y(x) (horní indexy značí derivaci) pro 1. y(x) = sin2x 2. y(x) = cos2x 3.
Vypočtěte y (5) (x) y (4) (x) y (3) (x) 7y (x) 20y (x) 12y(x) (horní indexy značí derivaci) pro 1. y(x) = sin2x 2. y(x) = cos2x 3. y(x) = x sin2x 4. y(x) = x cos2x 5. y(x) = e x 1 6. y(x) = xe x 7. y(x)
VíceGEOMETRIE 2 - KMA/GEO2. (dle sylabu platného od roku 2014) Roman HAŠEK
GEOMETRIE 2 - KMA/GEO2 (dle sylabu platného od roku 2014) Roman HAŠEK 13. dubna 2018 Obsah 1 Připomenutí vybraných pojmů 6 1.1 Grupa............................................ 6 1.2 Těleso............................................
VíceÚlohykpřednášceNMAG101a120: Lineární algebra a geometrie 1,
ÚlohykpřednášceNMAGa: Lineární algebra a geometrie 5 Verzezedne9.prosince Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se budou
VíceHistorický vývoj geometrických transformací
Historický vývoj geometrických transformací Věcný rejstřík In: Dana Trkovská (author): Historický vývoj geometrických transformací. (Czech). Praha: Katedra didaktiky matematiky MFF UK, 2015. pp. 171 174.
Více9.1 Definice a rovnice kuželoseček
9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceDefinice 3. Kruhová inverze určená kružnicí ω(s, r) (viz Obr. 6) je zobrazení, které každému bodu X S přiřadí bod X tímto způsobem:
2 Kruhová inverze Definice 3. Kruhová inverze určená kružnicí ω(s, r) (viz Obr. 6) je zobrazení, které každému bodu X S přiřadí bod X tímto způsobem: (1) X SX, (2) SX SX = r 2. Obrázek 6: Kruhová inverze
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VícePředmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny
Více1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem
Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed
Vícetransformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím [1]
[1] Afinní transformace je posunutí plus lineární transformace má svou matici vzhledem k homogenním souřadnicím využití například v počítačové grafice Evropský sociální fond Praha & EU. Investujeme do
VíceZáklady matematiky pracovní listy
Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky
VíceGEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ. Josef Janyška
GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ Josef Janyška 21. února 2019 Obsah 1 LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ NA VEKTOROVÝCH PROSTORECH 1 1.1 Lineární zobrazení vektorových prostorů.............. 1 1.2 Invariantní podprostory.......................
Více2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21
2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému
VíceSHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SHODNÁ
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při
. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ07/500/34080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
VíceObsah a průběh zkoušky 1PG
Obsah a průběh zkoušky PG Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část (cca 6 minut) dvě konstrukční úlohy dle části po. bodech a jedna úloha výpočetní úloha dle části za bodů. Ústní část jedna
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceF A,B = Vektory baze vyjádřete jako aritmetické vektory souřadnic vzhledem
Přezdívka: Jméno a příjmení: výsledek 11 8 18 4 1 4 1 1 1 9 4 4 4 Určete které z vektorů B v 1 = 1 B v = 6 leží v oboru hodnot lineárního zobrazení zadaného maticí 1 1 1 5 1 15 1 6 5 Ten, který leží, můžete
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad
Více1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.
1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/
VíceMatice přechodu. Pozorování 2. Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např.
Matice přechodu Základní úkol: Určete matici přechodu od báze M k bázi N. Každou bázi napíšeme do sloupců matice, např. u příkladu 7 (v ) dostaneme: Nyní bychom mohli postupovat jako u matice homomorfismu
VíceProjektivní prostor a projektivní zobrazení
Kapitola 4 Projektivní prostor a projektivní zobrazení 4.1 Projektivní rozšíření eukleidovského prostoru Vlastnost býti incidentní vykazuje v eukleidovském prostoru E 3 nedostatek symetrie zatímco např.
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2
VíceZ teorie je nutné znát pojmy: lineární funkcionál, jádro, hodnost a defekt lineárního funkcionálu. Také využijeme 2. větu o dimenzi.
Lineární funkcionál Z teorie je nutné znát pojm: lineární funkcionál jádro hodnost a defekt lineárního funkcionálu Také vužijeme větu o dimenzi [cvičení] Nechť je definován funkcionál ϕ : C C pro každé
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
Více- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
VíceGeometrie pro počítačovou grafiku - PGR020
Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 Zbyněk Šír Matematický ústav UK Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 1 / 18 O čem předmět bude Chceme podat teoretický základ nezbytný
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
VíceSHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,
Více1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8
1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory 8 111 Operace s vektory 8 8 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 8 8 113 Báze vektorového prostoru 9 9 12 Determinant 9 9 13 Matice 1 131 Operace
Více[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
VíceAnalytická geometrie II: Geometrické transformace
Analytická geometrie II: Geometrické transformace Naďa Stehlíková 2006 2008 Tento materiál vzniká postupně na základě skript Geometrické transformace (metoda analytická) autorů M. Hejný, D. Jirotková,
VíceMatematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
VíceV tomto předmětu se využívá stejných výchovných a vzdělávacích strategií jako v předmětu Matematika. Gymnázium Pierra de Coubertina, Tábor
Název ŠVP Motivační název Datum 15.6.2009 Název RVP Verze 01 Dosažené vzdělání Střední vzdělání s maturitní zkouškou Platnost od 1.9.2009 Forma vzdělávání Koordinátor Délka studia v letech: denní forma
VíceTematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
VíceAB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ]
1. část 1. (u 1, u 2, u, u 4 ) je kladná báze orientovaného vektorového prostoru V 4. Rozhodněte, zda vektory (u, 2u 1 + u 4, u 4 u, u 2 ) tvoří kladnou, resp. zápornou bázi V 4. 0 2 0 0 0 0 0 1 0 2 0
VíceShodná zobrazení v rovině
Shodná zobrazení v rovině Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz. Zapisujeme Z: X X. Množinu obrazů všech
VíceRovinné přetvoření. Posunutí (translace) TEORIE K M2A+ULA
Rovinné přetvoření Rovinné přetvoření, neboli, jak se také často nazývá, geometrická transformace je vlastně lineární zobrazení v prostoru s nějakou soustavou souřadnic. Jde v něm o přepočet souřadnic
Více1 Vektorové prostory a podprostory
Pro nahrazení účasti v jednotlivých cvičeních (resp. pro studenty kombinované formy) je dostačující vypracování a odevzdání tučně vyznačených příkladů. 1 Vektorové prostory a podprostory Definujte vektorový
Více11MAMY LS 2017/2018. Úvod do Matlabu. 21. února Skupina 01. reseni2.m a tak dále + M souborem zadané funkce z příkladu 3 + souborem skupina.
11MAMY LS 2017/2018 Cvičení č. 2: 21. 2. 2018 Úvod do Matlabu. Jan Přikryl 21. února 2018 Po skupinách, na které jste se doufám rozdělili samostatně včera, vyřešte tak, jak nejlépe svedete, níže uvedená
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VíceA STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.
PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
VíceNapěťový vektor 3d. Díky Wikipedia za obrázek. n n n
Míry napětí Napěťový vektor 3d n n2 2 n,. n n n Zatížené těleso rozdělíme myšleným řezem na dvě části. Na malou plošku v okolí materiálového bodu P působí napěťový vektor (n) (n, x, t), který je spojitou
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
VíceZápadočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva
VícePOŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY
POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceKMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení
KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení 1. Rozhodněte, zda kuželosečka k je regulární nebo singulární: a) k : x 2 0 + 2x 0x 1 x 0 x 2 + x 2 1 2x 1x 2 + x 2 2 = 0; b) k : x 2 0 + x2 1 + x2 2 + 2x 0x 1 = 0;
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
VíceTransformace souřadnic
Transformace souřadnic Odpřednesenou látku naleznete v kapitolách 8.2 a 8.3 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: A7B01AG 5.11.2015: Transformace souřadnic 1/17 Minulá přednáška
VíceAnalytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37)
Analytická geometrie přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Název: XI 3 21:42 (2 z 37) Rovnice přímky a) parametrická A B A B C A X Název: XI 3 21:42 (3 z
Vícex 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y
VíceShodná zobrazení v rovině osová a středová souměrnost Mgr. Martin Mach
Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice
VíceB) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.
4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti
VíceMatematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v
Více