KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení
|
|
- Olga Vaňková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení 1. Rozhodněte, zda kuželosečka k je regulární nebo singulární: a) k : x x 0x 1 x 0 x 2 + x 2 1 2x 1x 2 + x 2 2 = 0; b) k : x x2 1 + x x 0x 1 = 0; c) k : x x 0x 1 2x 0 x 2 + x 2 1 x 1x 2 + x 2 2 = 0. a) regulární; b) singulární hodnosti 2; c) singulární hodnosti Rozhodněte, zda kuželosečka x 2 xy y 2 + x + 1 = 0 je regulární či singulární. regulární. Určete f tak, aby kuželosečka 2x 2 + 2xy + y 2 + y + f = 0 byla singulární. f = 8.. Ukažte, že body A = (1,, 0) a B = (1,, ) jsou polárně sdružené vzhledem ke kuželosečce k : 1x 2 0 9x2 1 16x2 2 = Na přímce p : x 0 +x 1 +x 2 = 0 najděte bod polárně sdružený s bodem (1, 5, 1) vzhledem ke kuželosečce k : 7x x x x 0 x 1 + 1x 0 x 2 6x 1 x 2 = 0. (1, 7, 2) 6. Najděte singulární body kuželosečky k: a) k : x x 0x 1 x 0 x 2 + x 2 1 2x 1x 2 + x 2 2 = 0; b) k : x x2 1 + x x 0x 1 = 0; c) k : x x 0x 1 2x 0 x 2 + x 2 1 x 1x 2 + x 2 2 = 0. a) nemá singulární body; b) (1,-1,0); c) přímka singulárních bodů x 0 + 2x 1 x 2 = Určete singulární body kuželosečky x 2 y 2 + x + y + 2 = 0. 2, 1 2 ]. 8. Najděte všechny singulární body kuželosečky x 2 + 2xy + y 2 + 2x + 2y + 1 = 0. všechny body přímky x + y + 1 = V prostoru A C je dána kvadrika x 0 x 1 + x 0 x 2 + 2x x 1 x 2 x 1 x x 2 x = 0. Určete hodnost kvadriky a najděte její singulární body (existují-li). h = 2; přímka singulárních bodů generovaná např. body (0, 1, 1, 2) a ( 2, 1, 1, 0) 10. Jaká je vzájemná poloha přímky x + y + 1 = 0 a kuželosečky x 2 y 2 + x + y + 2 = 0? přímka je částí kuželosečky. 1
2 11. Určete průsečíky kvadriky 5x 0 x 1 + x 1 x 2 x 2 x + x 2 = 0 s přímkou p = AB; A = (1, 0, 5, 10), B = (0, 1,, 7). P1 = (1, 2, 1, ), P 2 = (1, 1, 2, ) 12. Ukažte, že přímka p : X = 0, 0, ] + t(, 2, 1) je tvořící přímka kvadriky Q : 5x 2 + 9y 2 + 9z 2 12xy 6xz + 12x 6z = Určete průnik kvadriky Q s rovinou ϱ: a) Q : 2x x2 1 x2 2 x 0x 1 x 0 x 2 x 0 x + x 1 x 2 + x 1 x + x 2 x = 0, ϱ : x 0 x 1 x 2 = 0; b) Q : x x2 2 x 0x 1 + x 0 x 2 x 0 x 2x 1 x 2 + x 1 x + 5x 2 x = 0, ϱ : x 2 = 0; a) ϱ Q; b) Průnikem je singulární kuželosečka v rovině ϱ 1. Ukažte, že přímka t je tečnou kuželosečky k a určete bod dotyku: t : x 0 x 1 x 2 = 0, k : x x2 1 x x 0x 1 + x 0 x 2 + 2x 1 x 2 = 0; T = (1, 0, 1) 15. V prostoru P C je dána kvadrika Q x x 0 x x x 1 x 2 x 2 x + 2x 2 = 0. Přesvědčte se, že bod A = (, 1, 2, 1) je bod kvadriky Q, a určete rovnici tečné roviny v bodě A. 2x0 7x 1 + x 2 + x = Kuželosečka je dána rovnicí x x 0 x 1 + 2x 0 x 2 + x 2 1 2x 1 x 2 = 0. Napište rovnice jejích tečen (včetně bodů dotyku) procházejících bodem A = (1, 0, 1). T1 = (, 1, 1), T 2 = ( 1, 1, 1); t 1 : x 0 x 1 x 2 = 0, t 2 : x 0 + x 2 = Napište rovnici tečny kuželosečky 5x 2 + 2xy + y 2 = 5 v jejím bodě 1, 0]. 5x + y 5 = Určete tečny kuželosečky x 2 + 2xy y 2 + 6x = 0 v jejích průsečících s osou x. x = 0, x + 2y + 6 = Napište rovnici tečny kuželosečky x 2 + xy + 5y 2 7x 8y = 0 vedené jejím bodem T?, 1]. 1, 1], 9x + 2y + 7 = 0; 2, 1], 9x + 10y 28 = Ukažte, že přímka q : x = 1 + t, y = 2 + 2t, z = 0 je tečnou kvadriky Q : x 2 2y 2 + z 2 2xy + xz yz + x 5z = 0 a určete její bod dotyku. T =, 0, 0] 21. Určete poláru p bodu P vzhledem ke kuželosečce k: a) P = 2, 1], k : 2x 2 xy y 2 15x + y 18 = 0; b) P = 1, 1], k : 9x 2 xy + 6y 2 + 6x 8y + 2 = 0; c) P je nevlastní bod přímky x + y 1 = 0, k : 5x 2 + xy + 8y 2 2x 56y + 80 = 0. 2
3 a) p : 2x y + = 0; b) p : 1x 12y + 9 = 0; c) p : x 2y + = Určete pól přímky x y 2 = 0 vzhledem ke kuželosečce x 2 + y 2 xy + 1 = Určete polární rovinu bodu P = (1, 1, 2, 0) vzhledem ke kvadrice Q : x x x 2 2 x 2 x 0 x 1 + 2x 0 x + 2x 1 x 2 = 0. x0 + x 1 + 7x 2 + x = 0 2. Veďte bodem, ] tečny ke kuželosečce 2x 2 xy + y 2 2x + 6y = 0. 7x 2y 1 = 0, x = V prostoru A C je dána kvadrika Q x x 0 x 1 2x 1 x + 2x x 2 = 0. Určete rovnice tečných rovin τ 1, τ 2 kvadriky Q procházejících přímkou AB, kde A = (, 1, 2, ), B = (22, 0, 7, ). Nalezněte body dotyku T 1, T 2. τ1 : 9x 0 + x 1 + x 2 + 5x = 0, τ 2 : 5x 0 + 5x 1 + 6x 2 + 2x = 0; T 1 = (1,, 2, 1) a T 2 = (, 1,, 1) 26. V afinní rovině A 2 je dána kuželosečka rovnicí x 2 2xy + y 2 2x + y = 0 Určete tečny této kuželosečky tak, aby jejich zaměření obsahovalo vektor u = (, 2). 2x y 7 = 0, 2x y + 2 = Určete tečny regulární kuželosečky x 2 +xy +y 2 +2x+y = 0 rovnoběžné s přímkou x+y 7 = 0 včetně bodů dotyku. x + y 1 = 0, 1, 0] a x + y + 1 = 0, 5, 8 ] 28. Určete asymptotické směry kuželosečky 2x 2 xy + y 2 2x + 6y = 0. (2 ± 2, 2). 29. Určete asymptotické směry kuželosečky x 2 2xy y 2 x 6y + = 0. (, 1), (1, 1). 0. Pro které p má kuželosečka x 2 + 2pxy + y 2 = 0 právě jeden asymptotický směr. pro p = 1 směr (1, 1), pro p = 1 směr (1, 1). 1. Určete asymptoty kuželosečky x 2 2xy + 2x + y 5 = 0. x 2 = 0, x 2y + = 0 2. Určete asymptotickou rovinu kvadriky x 2 + y 2 z 2 2xy 6xz 6yz + 2x + 2y + z = 0 v nevlastním bodě určeném směrem vektoru u = (1, 1, 0). z 1 = 0
4 . Veďte bodem 2, ] tečny a asymptoty ke kuželosečce x 2 2xy + 2x + y 5 = 0. asymptota x 2 = 0, tečna x y + 10 = 0.. Určete střed kuželosečky k: a) k : x 2 2xy + 2y 2 x 6y + = 0; b) k : x xy + 5y 2 2x y + = 0; c) k : x 2 2xy + y 2 x 6y + = 0; d) k : x 2 + 2xy + y 2 + 2x + 2y = 0. a) 7, 5] b) 1, 5] c) nemá vlastní střed, nevlstní střed je určen směrem vektoru (1, 1) d) přímka středů x + y + 1 = 0 5. Určete všechny středy kvadriky a) x 2 + 2y z 2 xy + 8yz + 12xz + 1x 10y + 7 = 0; b) 5x 2 + 9y 2 + 9z 2 12xy 6xz + 12x 6z = 0; c) 5x 2 + 2y 2 + 2z 2 2xy yz + 2xz y z + = 0; a) S = 1, 2, 0] ; b) přímka středů 2x y = x z + 6 = 0; c) neexistuje vlastní střed, nevlastní střed ve směru vektoru u = (0, 1, 1) 6. Určete průměr kuželosečky k a) procházející bodem M = 1, 2], k : x 2 2xy + y 2 + x + y = 0; b) rovnoběžný s přímkou 2x y + 5 = 0, k : 2x 2 + xy + 5y 2 8x + 6 = 0. a) x + 2y + = 0; b) 2x y 8 = Určete průměrovou rovinu kvadriky x 2 + 6y 2 + z 2 + xz 8x z + = 0, která prochází počátkem a bodem, 6, 2]. 2y + z = 0 8. Je dána kvadrika Q : 2x 2 y 2 z 2 + xy + 6xz 8yz + 2x 8y 11z 2 = 0. Určete průměrovou rovinu a) sdruženou se směrem (1,, 2). b) procházející body A = 0, 0, 1], B =, 1, 1]. Určete také směr s ní sdružený. c) rovnoběžnou s rovinou ϱ : 2x y + z + 7 = 0. d) obsahující přímku p : X =, 0, 1] + t(2, 5, ). a) σ : 2x + y + 1z + 2 = 0; b) σ : 2x + 6y 5z + 5 = 0, (91, 156, 16) ; c) σ : 2x y + z 2 = 0; d) σ : 16x 19y + 21z 27 = Napište rovnici kuželosečky v rovině A C 2, jestliže přímka p o rovnici x 2y + 1 = 0 je průměr sdružený se směrem určeným vektorem u = (1, 1); přímka t o rovnici x + y = 0 je tečna kuželosečky s bodem dotyku T = 1, 1]. Vektor a = (1, 0) určuje směr asymptoty. 2xy y 2 + 6x y 5 = 0 0. Určete rovnici kvadriky Q, znáte-li její bod M = 2, 0, 1], střed S = 0, 0, 1] a její průnik s rovinou z = 0 je kuželosečka k : x 2 xy 1 = 0. Q : x 2 + z 2 xy + 6z 1 = 0 1. Určete asymptotickou kuželovou plochu kvadriky Q : =.
5 x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 6xz 2yz + 2x 6y 2z + 1 = 0 2. Určete charakteristickou rovnici, hlavní čísla a hlavní směry kuželosečky a) x 2 + xy + 5y 2 + 2x y + 7 = 0; b) x 2 + 6xy 7y 2 + x = 0; c) x 2 + xy + y 2 + 2x + y = 0; d) x 2 + y 2 x + 6y 2 = 0. a) λ 2 8λ + 11 = 0, λ 1,2 = ± 5, u 1,2 = (2, 1 ± 5); b) λ 2 + 6λ 16 = 0, λ 1 = 2, λ 2 = 8, u 1 = (, 1), u 2 = ( 1, ); c) λ 2 5λ = 0, λ 1 = 5, λ 2 = 0, u 1 = (1, 2), u 2 = (2, 1); d) λ 2 2λ + 1 = 0, λ 1,2 = 1 a každý směr je hlavní.. Určete hlavní směry kvadriky a) x 2 y 2 + z 2 + 6xz + x + 16y z 16 = 0; b) x 2 + 2y 2 + z 2 2xz 2x 2z + = 0. a) u1 = (1, 0, 1), u 2 = (1, 0, 1), u = (0, 1, 0); b) u1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 1, 0), u = (1, 0, 1).. Určete osy kuželosečky a) k : x 2 + 2xy + 75y 2 6x + 6y + 1 = 0; b) k : 7x xy + 7y 2 + 2x = 0. a) o1 : x + 6y = 0, o 2 : 6x y 7 = 0; b) o 1 : 20x + 20y + 21 = 0, o 2 : 2x 2y 7 = Určete osy a vrcholy kuželosečky k: a) k : x 2 + 2xy + y 2 + 6x 2y 5 = 0; b) k : y 2 + 2x 6y + 5 = 0. a) o1 : 2x + 2y + 1 = 0, V 1 = 5+ V 2 = ] 8, 8, o 2 : x y + 1 = 0, V = 5 V = ] 19, 19 ; 5 ] 8, + 8, 5+ ] 19, + 19, b) o : y 1 = 0, V = 1, 1]. 6. Určete osové roviny kvadriky a) x 2 y 2 + z 2 + 6xz + x + 16y z 16 = 0; b) x 2 + 2y 2 + z 2 2xz 2x 2z + = 0. a) ω1 : x z 2 = 0, ω 2 : x + z = 0, ω : y 2 = 0; b) svazek osových rovin, jež jsou generovány např. rovinami x z = 0 a y = 0 7. Ukažte, že rovnicí y 2 xy 5x + 7y + 10 = 0 je dána singulární kuželosečka. Určete podrobněji, o jakou singulární kuželosečku jde. různoběžky y + 5 = 0 a x y 2 = 0 8. Ze kterých přímek se skládá kuželosečka x 2 + 2xy + y 2 + 2x + 2y = 0? různé rovnoběžky x + y + 1 ± 5 = Určete p, q tak, aby kuželosečka x 2 + 2pxy + y 2 + 2x + 2qy = 0 byla dvojicí rovnoběžných přímek. Napište jejich rovnice. p = q = 1 x + y 1 = 0 a x + y + = 0; p = q = 1 x y 1 = 0 a x y + = 0. 5
6 50. Určete druh následujících regulárních kuželoseček: a) y 2 10x 2y = 0; b) x 2 y 2 x + 6y 6 = 0; c) x 2 xy y 2 + x + 1 = 0; d) x 2 + 2xy + 2y 2 + 2x 2y + 6 = 0; e) x 2 2xy + y 2 + x + y = 0; f) 2x 2 + xy + 5y 2 6x 8y 100 = 0; g) x 2 12xy y x + 8y + 5 = 0; h) 2y 2 + 2x y + 1 = 0. a) parabola b) hyperbola c) hyperbola d) imaginární elipsa e) elipsa f) elipsa g) hyperbola h) parabola 51. Určete druh následujících kvadrik: a) 2x 2 + 2y 2 5z 2 + 2xy 2x 2y z + 2 = 0; b) 7x 2 + 6y 2 + 5z 2 xy yz 6x 2y + 18z + 0 = 0; c) x 2 + y 2 + 5z 2 6xy 2xz + 2yz 6x + 6y 6z + 9 = 0; d) x 2 + y 2 z 2 2xy 6xz 6yz + 2x + 2y + z = 0; e) 5x 2 + 8y 2 + 5z 2 + xy 8xz + yz 27 = 0; f) 6x 2 2y 2 + 6z 2 + xz + 8x y 8z + 1 = 0; g) x 2 + 5y 2 + 6z 2 xy + yz + x + 6y + z 27 = 0; h) x 2 + y 2 + 5z 2 + xy 12x + 6y 9 = 0. a) dvojdílný hyperboloid b) reálný elipsoid c) reálná kuželová plocha d) jednodílný hyperboloid e) reálná eliptická válcová plocha (rotační), f) jednodílný hyperboloid g) reálný elipsoid h) eliptický (rotační) paraboloid 6
Podrobnější výklad tématu naleznete ve studijním textu, na který je odkaz v Moodle. Tam je téma
Kuželosečky a kvadriky - výpisky + příklady Postupně vznikající text k části předmětu Geometrie. Ve výpiscích naleznete výpisky z přednášky, poznámky, řešené příklady a příklady na procvičení. Podrobnější
VíceDeg2-Kvadriky. Světlana Tomiczková
KMA FAV ZČU Plzeň 18. března 2016 Kvadriky Rotační kvadriky singulární (vzniknou rotací singulární kuželosečky) a) rotační válcová plocha x2 + y2 = 1 a 2 a 2 b) rotační kuželová plocha x2 + y2 z2 = 0 a
VíceMichal Zamboj. December 23, 2016
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
Více1.13 Klasifikace kvadrik
5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11
VíceMichal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
Více9.1 Definice a rovnice kuželoseček
9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,
VíceAnalytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,
Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží
VíceObrázek 34: Vznik středové kolineace
6 Středová kolineace Jak naznačuje Obr. 34, středová kolineace (se středem S), jako vzájemně jednoznačné zobrazení Ē 2 na sebe, je výsledkem středového průmětu (se středem S ) středového promítání (se
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE Diplomová práce Řezy rotačních těles v projekcích Vedoucí diplomové práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání:
VíceŠroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem
Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................
VíceROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou
ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.
Více17 Kuželosečky a přímky
17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x
Více10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod
10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)
VíceKlíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.
Abstrakt Tento text je určen všem zájemcům z řad široké veřejnosti, především jako studijní materiál pro studenty Konstruktivní a počítačové geometrie. Práce pojednává o rotačních kvadratických plochách,
VícePopis jednotlivých kvadrik
Kapitola Popis jednotlivých kvadrik V této kapitole se budeme abývat některými kvadrikami podrobněji. Nejprve budeme uvažovat elipsoid a hperboloid, které patří do skupin regulárních středových kvadrik.
VíceMONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část
MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice
VíceSBÍRKA PŘÍKLADŮ NA KVADRATICKÉ PLOCHY
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra matematiky Bakalářská práce SBÍRKA PŘÍKLADŮ NA KVADRATICKÉ PLOCHY Autor práce: Žaneta Mifková Vedoucí práce: prof. RNDr. Pavel Pech,
Více1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem
Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed
VíceKuželosečky a kvadriky ve škole i kolem
Kuželosečky a kvadriky ve škole i kolem nás Bc. Aneta Mirová Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím
VíceZborcené plochy. Přímkové plochy lze vytvořit i jiným způsobem než jsme je dosud konstruovali. V o- tzv. Chaslesova věta:
Zborcené plochy Přímkové plochy lze vytvořit i jiným způsobem než jsme je dosud konstruovali. V o- becném případě lze přímku zadat jako průsečnici dvou rovin, každá přímka v prostoru tak je zadána čtyřmi
VíceZáklady analytické geometrie. II
Základy analytické geometrie. II Přehled pojmů In: Eduard Čech (author): Základy analytické geometrie. II. (Czech). Praha: Přírodovědecké vydavatelství, 1952. pp. 213 219. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402541
VíceROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy
ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího
VíceKapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
VíceKonstruktivní geometrie
Konstruktivní geometrie Elipsa Úloha 1: Najděte bod M takový, aby součet jeho vzdáleností od bodů F 1 a F 2 byl 12cm; tj. F 1 M+F 2 M=12. Najděte více takových bodů. Konstruktivní geometrie Elipsa Oskulační
VíceCyklografie. Cyklický průmět bodu
Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme
VíceKonstruktivní geometrie
Mgr. Miroslava Tihlaříková, Ph.D. Konstruktivní geometrie & technické kreslení Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny
VíceANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů
ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.1017 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Analytická
VíceDeskriptivní geometrie 2
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl I Světlana Tomiczková Plzeň 12. února 2016 verze 2.0 2 Autoři Obsah 1 Elementární
VíceObsah a průběh zkoušky 1PG
Obsah a průběh zkoušky PG Zkouška se skládá z písemné a ústní části. Písemná část (cca 6 minut) dvě konstrukční úlohy dle části po. bodech a jedna úloha výpočetní úloha dle části za bodů. Ústní část jedna
VíceAnalytická geometrie v E 3 - kvadriky
Analtická geometrie v E 3 - kvadrik ROVNICE KVADRIKY ( v ákladní a posunuté poloe) Kvadrik v ákladní poloe - střed nebo vrchol leží v počátku ( vi příloha na konci) Posunutí v rovnici nahradíme všechn
VíceKonstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11].
Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. VŠB-TU Ostrava 1 Jana Bělohlávková Konstruktivní geometrie
VíceKVADRATICKÉ PLOCHY a jejich reprezentace v programu Maple. Roman HAŠEK, Pavel PECH
KVADRATICKÉ PLOCHY a jejich reprezentace v programu Maple Roman HAŠEK, Pavel PECH Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích 1 Obsah Předmluva 4 1 Kvadriky jako plochy. stupně 9 1.1 Úvod.................................
Více0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.
strana 9 3.1a Sestrojte sdružené průměty stopníků přímek a = AB, b = CD, c = EF. A [-2, 5, 1], B [3/2, 2, 5], C [3, 7, 4], D [5, 2, 4], E [-5, 3, 3], F [-5, 3, 6]. 3.1b Určete parametrické vyjádření přímek
Více3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0.
M1 Prog4 D1 1) Určete vektor c kolmý na vektory a = 2 i 3 j + k, b = i + 2 j 4 k. 2) Napište obecnou a parametrické rovnice roviny, která prochází bodem A[ 1; 1; 2] a je kolmá ke dvěma rovinám ρ : x 2y
VícePracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky MONGEOVO PROMÍTÁNÍ Petra Pirklová Liberec, únor 07 . Zobrazte tyto body a určete jejich
VíceLINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE III. Doc. RNDr. Martin Čadek, CSc.
LINEÁRNÍ ALGEBRA A GEOMETRIE III. Doc. RNDr. Martin Čadek, CSc. Obsah Úvod 1 Sylabus přednášky 2 1. Afinní a projektivní prostory 3 2. Nadkvadriky v afinním a projektivním prostoru 11 3. Metrické vlastnosti
VíceDalší plochy technické praxe
Další plochy technické praxe Dosud studované plochy mají široké využití jak ve stavební tak ve strojnické praxi. Studovali jsme možnosti jejich konstrukcí, vlastností i využití v praxi. Kromě těchto ploch
VíceGymnázium, Brno, Elgartova 3
Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma: Analytická geometrie
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Analytická geometrie. Hyperbola VY_32_INOVACE_M0119.
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek
VíceDeskriptivní geometrie 0A5
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Deskriptivní geometrie 0A5 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Veronika Roušarová Brno c 2003 Obsah
VíceDERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a
DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x
VíceZBORCENÉ PLOCHY. Zobrazení, které každému bodu X regulární přímky p přiřadí tečnou rovinu plochy v bodě X je projektivní, tj. zachovává dvojpoměr.
ZBORCENÉ PLOCHY Přímkové plochy lze vytvořit i jiným způsobem než jsme je dosud konstruovali. V obecném případě lze přímku zadat jako průsečnici dvou rovin, každá přímka v prostoru tak je zadána čtyřmi
VícePŘÍMKOVÉ PLOCHY. Přednáška DG2*A
PŘÍMKOVÉ PLOCHY Přednáška DG*A PŘÍMKOVÉ PLOCHY = plocha, jejímž každým bodem prochází alespoň jedna přímka plochy. Každá přímková plocha je určena třemi řídícími křivkami, příp. plochami. p k k k 3 Je-li
Více1 Rovnoběžné promítání a promítací metody. Nevlastní útvary. Osová afinita v rovině.
Přednáška 1 Mgr.Güttnerová FAST Dg - bakaláři VŠB-TU Ostrava 1 Rovnoběžné promítání a promítací metody. Nevlastní útvary. Osová afinita v rovině. Literatura: (1)Černý, J. - Kočandrlová, M.: Konstruktivní
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
VíceGymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Kartografické projekce
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Kartografické projekce Vypracoval: Jiří Novotný Třída: 4.C Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem
VíceDefinice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost
Kuželosečky Kružnice Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost (poloměr r).?! Co získáme, když v definici výraz stejnou nahradíme stejnou nebo
Více5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ
5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na
Více2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21
2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému
VíceDESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze:
DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA Mgr. Ondřej Machů --- Pracovní verze: 6. 10. 2014 --- Obsah Úvodní slovo... - 3-1 Základy promítacích metod... - 4-1.1 Rovnoběžné promítání...
VíceKulová plocha, koule, množiny bodů
Kulová plocha, koule, množiny bodů 1.Metodou souřadnic vyšetřete množinu všech bodů X roviny, které mají stejnou vzdálenost od dvou rovnoběžek p, q ležících v rovině. Zvolím p...osa x y =, q... y = 4,
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz
Vícena magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy
Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd
VíceZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Zpracovala: Kristýna Rožánková FA ČVUT 2011 ZBORCENÉ PŘÍMKOVÉ PLOCHY Zborcené přímkové plochy jsou určeny třemi křivkami k, l, m, které neleží na jedné rozvinutelné
Víceobecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].
Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y
VíceŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní
VíceElementární plochy-základní pojmy
-základní pojmy Kulová plocha je množina bodů v prostoru, které mají od pevného bodu S stejnou vzdálenost r. Hranolová plocha je určena lomenou čarou k (k σ) a směrem s, který nenáleží dané rovině (s σ),
Více8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura:
8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: (1)Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí
VíceModely zborcených ploch
Modely zborcených ploch Modely geometrických těles jsou vhodným názorným doplňkem pro zvyšování prostorové představivosti. U zborcených ploch, což jsou plochy přímkové, pak mohou být modely obzvláště jednouché.
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceKuželosečky. Klasické definice. Základní vlastnosti. Alča Skálová
Kuželosečky Alča Skálová Klasické definice Elipsa je množina všech bodů v rovině, majících od dvou pevně daných různých bodů E, F(ohnisek)konstantnísoučetvzdáleností2a,kde2a > EF =2e. Parabola je množina
Více2 OSOVÁ AFINITA V ROVINĚ 37
Kuželosečky Obsah 1 OHNISKOVÉ VLASTNOSTI KUŽELOSEČEK 5 1.1 Úvod..................................... 5 1.2 Elipsa.................................... 9 1.2.1 Ohniskové vlastnosti elipsy.....................
VíceZborcené plochy. Lenka Macálková Lenka (Brkos 2011) Brkosí prezentace / 16
Zborcené plochy Lenka Macálková Hutník 2011 28.8.-3.9.2011 Lenka (Brkos 2011) Brkosí prezentace 28.8.-3.9.2011 1 / 16 Úvod Plocha je tvořená spojitým pohybem křivky Jedno z možných dělení: přímkové vs.
VíceKlasické třídy ploch
Klasické třídy ploch Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Klasické třídy ploch klasické plochy jsou často generovány kinematicky, a to pohybem tvořicí křivky takto např. vznikají
VíceRozvinutelné plochy. tvoří jednoparametrickou soustavu rovin a tedy obaluje rozvinutelnou plochu Φ. Necht jsou
Rozvinutelné plochy Rozvinutelná plocha je každá přímková plocha, pro kterou existuje izometrické zobrazení do rov iny, tj. lze ji rozvinout do roviny. Dá se ukázat, že každá rozvinutelná plocha patří
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2
VíceJe-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:
Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme
VíceDefinice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,
5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu
VíceRovnice přímky v prostoru
Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při
. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném
VíceElementární křivky a plochy
Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin
VíceZadání domácích úkolů a zápočtových písemek
Konstruktivní geometrie (KG-L) Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Sestrojte elipsu, je-li dáno a = 5cm a b = 3cm. V libovolném bodě sestrojte její tečnu. Tento úkol je na krásu, tj. udělejte oskulační
VíceP R O M Í T Á N Í. rovina π - průmětna vektor s r - směr promítání. a // s r, b// s r,
P R O M Í T Á N Í Promítání je zobrazení prostorového útvaru do roviny. Je určeno průmětnou a směrem (rovnoběžné) nebo středem (středové) promítání. Princip rovnoběžného promítání rovina π - průmětna vektor
VíceKonstruktivní geometrie PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU
Konstruktivní geometrie & technické kreslení PODKLADY PRO PŘEDNÁŠKU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného
VíceAXONOMETRIE - 2. část
AXONOMETRIE - 2. část Průmět přímky K určení přímky stačí její dva libovolné průměty, zpravidla používáme axonometrický průmět a půdorys. Bod ležící na přímce se zobrazí do bodu na přímce v každém průmětu.
VíceKuželosečky. Kapitola Elipsa
Kapitola 4 Kuželosečky 4.1 Elipsa DEFINICE 4.1.1. Množinu všech bodů v rovině E, které mají od dvou různých pevně zvolených bodů F 1, F konstantní součet vzdáleností a, nazýváme elipsa; tj. k e = {X E
VíceMONGEOVO PROMÍTÁNÍ. ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten. ZOBRAZENÍ BODU - kartézské souřadnice A[3; 5; 4], B[-4; -6; 2]
ZOBRAZENÍ BODU - sdružení průměten MONGEOVO PROMÍTÁNÍ π 1... půdorysna π 2... nárysna x... osa x (průsečnice průměten) sdružení průměten A 1... první průmět bodu A A 2... druhý průmět bodu A ZOBRAZENÍ
VíceAB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ]
1. část 1. (u 1, u 2, u, u 4 ) je kladná báze orientovaného vektorového prostoru V 4. Rozhodněte, zda vektory (u, 2u 1 + u 4, u 4 u, u 2 ) tvoří kladnou, resp. zápornou bázi V 4. 0 2 0 0 0 0 0 1 0 2 0
VíceZákladní vlastnosti ploch
plocha zpravidla se definuje jako výsledek spojitého pohybu jisté tvořící křivky podél zadané trajektorie lze obohatit o možnost spojitých změn tvaru tvořící křivky x v průběhu pohybu podél trajektorie
Více3. SB 3. SC. Kružnice nemá s úběžnicí žádný společný bod. Obraz nemá žádný nevlastní bod. Tímto obrazem je křivka zvaná elipsa.
Kružnice ve středové kolineaci v rovině. I AB o. IA ' 3. SB 4. B' SB IA'. II AC o. IIA ' 3. SC 4. C' SC IIA' Kružnice ve středové kolineaci v rovině Kružnice nemá s úběžnicí žádný společný bod. Obraz nemá
VíceA[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceMatematická kartografie. Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT. Referenční plochy
Matematická kartografie Buchar.: Matematická kartografie 10, ČVUT; Černý J., Kočandrlová M.: Konstruktivní geometrie, ČVUT Referenční plochy referenční elipsoid (sféroid) zploštělý rotační elipsoid Besselův
Více(15) Určete vektory tečny, hlavní normály a binormály křivky f(t) = (t, t 2, t + 1)
Cvičení II (Křivky) (1) Rozhodněte, zda pohyb f(t) = (t 1, t 3 t), t R je jednoduchý. [Není, bod samoprotnutí odpovídá hodnotám t = 1 a t = 1 () Určete singulární body pohybu x = r( cos t cos t), y = r(
Více1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v
. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x
VíceO rovinných konstrukcích odvozených z prostorových útvarů
O rovinných konstrukcích odvozených z prostorových útvarů 3. Řešení úloh o kuželosečkách prostorovými vztahy In: Josef Holubář (author): O rovinných konstrukcích odvozených z prostorových útvarů. (Czech).
VíceJak se studují geometrické útvary v prostoru. II. část
Jak se studují geometrické útvary v prostoru. II. část VII. Kvadriky v pravoúhlých kartézských souřadnicích. Popis jednotlivých druhů In: Jiří Klapka (author): Jak se studují geometrické útvary v prostoru.
VícePolohové úlohy v axonometrii
Přímka p leží v rovině α. Doplňte p a p 2. Bod A leží v rovině α. Doplňte A a A 2. Přímka p leží v rovině α. Doplňte p a p 3. Sestrojte průmět a půdorys bodu A, který leží v rovině ρ. Přímka a leží v rovině.
VíceKONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE
KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Přednáška Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceKuželoseč ky. 1.1 Elipsa
Kuželoseč ky 1.1 Elipsa Definice: Elipsa je množina všech bodů v 2, které mají od dvou pevných (různých) bodů v 2, zvaných ohniska (značíme F 1, F 2 ), stálý součet vzdáleností rovný 2a, který je větší
VícePolohové úlohy v axonometrii
Sestrojte a označte průmět, půdorys, nárys a bokorys přímky p: y=3 a z=2. Sestrojte a popište stopy roviny : x=3 a určete její průsečík R s přímkou p. Sestrojte a označte průmět, půdorys, nárys a bokorys
VíceKartografické projekce
GYMNÁZIUM CHRISTIANA DOPPLERA Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce z deskriptivní geometrie Kartografické projekce Vypracoval: Nguyen, Viet Bach, 4.C Školní rok: 2011/2012 Zadavatel: Mgr. Ondřej Machů
Víceje pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;
1 BUAnlytická geometrie - bod, souřdnice bodu, vzdálenost bodů 11 1BRozhodněte, zd trojúhelník s vrcholy A [ ; ], B [ 1; 1] C [ 11; 6] je prvoúhlý 1 1BN ose y njděte bod, který je vzdálený od bodu A [
Více1. Kombinatorika 1.1. Faktoriál výrazy a rovnice
1. Kombinatorika 1.1. Faktoriál výrazy a rovnice 1.A) 210; B) 990; C) 29260; D) 1/5; E) 1/240; F) 157; G) 81/712; H) 1/100; I) 3,98*10 11 ; J) 86296950; K) 65824; L) 195878760; 2. A) x 3 +3x 2 +2x; x Z,
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku
Více1. Cvičení: Opakování derivace a integrály
. Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )
VíceFunkce dvou proměnných
Funkce dvou proměnných Funkce dvou proměnných harmonická vlna Postupné příčné vlnění T=2, = 2 ( t, ) Asin t 2 Asin t T v t Asin 2 T Počátek koná harmonický pohb, ten se šíří dál řadou oscilátorů ve směru
VíceKatedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Plzeň 1. února 2009 verze 6.0
Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 1. února 2009 verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie
VíceDeskriptivní geometrie 2
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Deskriptivní geometrie 2 Pomocný učební text - díl II Světlana Tomiczková Plzeň 4. května 2011 verze 1.0 Obsah 1 Středové promítání
Více