Analytická geometrie II: Geometrické transformace

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Analytická geometrie II: Geometrické transformace"

Transkript

1 Analytická geometrie II: Geometrické transformace Naďa Stehlíková Tento materiál vzniká postupně na základě skript Geometrické transformace (metoda analytická) autorů M. Hejný, D. Jirotková, N. Stehlíková, PedF UK, Není s nimi však totožný, obsahuje nový materiál, jiné pořadí apod. 1

2 Použité značky N, Z, R množina všech přirozených čísel/ celých čísel/ reálných čísel 2Z množina všech sudých celých čísel M množina M M matice M I [E n ] množina všech izometrií v E n g f, gf složené zobrazení f složeno s g (v tomto pořadí) f 1 inverzní zobrazení k zobrazení f AB velikost úsečky AB QED konec důkazu (quod erat demonstrandum) E 1, E 2 Eukleidovská přímka/ rovina I 0 [E 1 ], I 0 [E 2 ] grupa všech izometrií v E 1 / E 2 zachovávajících počátek I [E 1 ], I [E 2 ] grupa všech izometrií v E 1 / E 2 M = X Z bod M je střed dvojice bodů X, Z {} prázdná množina t u, t u posunutí o vektor u s M, s 0 středová souměrnost se středem souměrnosti M/ v počátku r β otočení o úhel β R(β), R(M, β) matice otočení o úhel β, kolem bodu O/ kolem bodu M s m osová souměrnost s osou souměrnosti m S(µ), S(M, µ) matice osové souměrnosti s osou, která svírá s osou x úhel µ a prochází bodem O/ bodem M I matice identity, jednotková matice T( u), T([u; v]), T(u, v) matice posunutí o vektor u = [u; v] U(m, n; α), V(m, n; µ) matice ( izometrie ) a b a, b, c, d matice c d MNO obsah trojúhelníka MNO AOB velikost úhlu AOB A 1, A 2 afinní přímka/ rovina A 0 [A 1 ], A 0 [A 2 ] grupa všech afinit v A 1 / A 2 zachovávajících počátek A [A 1 ], A [A 2 ] grupa všech afinit v A 1 / A 2 f a,b afinita na A 1 x ax + b f X afinita v A 2 určená maticí X Ω, Γ osnova přímek, směr Σ svazek přímek D diskriminant δ determinant matice a, b, c, d IN V množina všech samodružných bodů IN V množina všech samodružných přímek P, Q simplex 2

3 Přehled základních pojmů Zobrazení f : E n E n se nazývá izometrie, nebo-li shodnost na E n, jestliže pro libovolné body X, Y E n je f(x)f(y ) = XY. Tedy izometrie je zobrazení, které zachovává vzdálenost. Množinu všech izometrií na E n označíme I [E n ]. Zobrazení id : E n E n, X X, které každý bod nechává na místě, se nazývá identita na E n. Jsou-li f, g dvě zobrazení E n E n, pak složením (superpozicí) těchto zobrazení v uvedeném pořadí rozumíme zobrazení g f : E n E n, X g(f(x)). Jestliže navíc platí g f = id, pak zobrazení g se nazývá inverzní k f a označuje se f 1. Zobrazení f : E n E n je involutorní (stručně involuce), když f = f 1. Zobrazení f : M M je injektivní (když f(x 1 ) = f(x 2 ), pak x 1 = x 2 ); f je surjektivní pro každé w M existuje x M tak, že f(x) = w. K zobrazení f existuje inverzní zobrazení f 1, právě když je f vzájemně jednoznačné, tj. injektivní (prosté) a surjektivní (na). Je-li g inverzní k f, pak je f inverzní ke g (f = g 1 ) a platí g f = f g. Zobrazení f : M M je transformací právě tehdy, když je bijektivní, tedy injektivní (prosté) a současně surjektivní (na). Tedy f je transformace existuje f 1. Nechť X je bod a P je podmnožina v M. Řekneme, že X je samodružný nebo též invariantní bod transformace f, když f(x) = X. Řekneme, že M je samodružná, invariantní množina transformace f, jestliže f(m) = M. Upozornění: Podmínka f(m) = M říká, že bod ležící v M se transformací f převede opět do bodu ležícího v M, nikoli však nutně do sebe. Např. posunutí podél přímky p tuto přímku jako celek, tedy jako množinu bodů, zachová, i když nezachová žádný z jejích bodů. 3

4 Přehled transformací Shodná transformace (shodnost): Pro každé dva body roviny X a Y a jejich obrazy X a Y platí X Y = XY. Podobná transformace (podobnost): Pro každé dva body roviny X a Y a jejich obrazy X a Y platí X Y = k XY, kde k R + je poměr podobnosti. Afinní transformace (afinita): Pro každé tři kolineární body roviny X, Y, Z a jejich obrazy X, Y, Z platí, že X, Y, Z jsou také kolineární a (XY Z) = (X Y Z ). Projektivní transformace (kolineace): Pro každé čtyři různé kolineární body roviny V, X, Y, Z a jejich obrazy V, X, Y, Z platí, že V, X, Y, Z jsou také různé kolineární a (V XY Z) = (V X Y Z (V XY ) ). (V XY Z) je dvojpoměr a je definován jako (V XY Z) = (V XZ). Jejich základní vlastnosti jsou přehledně znázorněny v tabulce (Kuřina, 10 geometrických transformací): Kolinearita Shodnost Poměr velikostí dělící po- dvojpoměr bodů úseček úseměr 3 4 bodů ček bodů Shodnost Podobnost Afinita Kolinearita V tomto textu se budeme zabývat prvními třemi typy transformací, a to zejména z hlediska analytického. 4

5 Kapitola 1 Opakování poznatků ze syntetické geometrie Pro pochopení úvah v tomto textu jsou nutné následující poznatky: Definice shodností v rovině. Skládání shodností v rovině a naopak jejich rozklad na osové souměrnosti. 1.1 Úlohy skládání izometrií A. Dokažte, že každé posunutí t u lze vyjádřit psát jako složení dvou osových souměrností t u = = s b s a, kde a b, u je kolmý na zaměření přímky b, b = t u (a). 2 Řešení: Řešení je zřejmé z obrázku 1.1a. B. Dokažte, že každé otočení r M,ϕ lze vyjádřit jako složení dvou osových souměrností r M,ϕ = = s b s a, kde {M} = a b a orientovaný úhel a, b je ϕ 2. Řešení: Řešení je zřejmé z obrázku 1.1b. C. Nechť A, B jsou body a c, d přímky. Dokažte, že pak platí (a) s A s B s A = s X, kde X = s A (B), (c) s c s A s c = s X, kde X = s c (A), (b) s A s c s A = s y, kde y = s A (c), (d) s c s d s c = s y, kde y = s c (d). Řešení: Řešení přenecháme čtenáři. 5

6 Obrázek 1.1: 1.2 Věta důležité rovnosti skládání izometrií Nechť a, b, c, d jsou čtyři ne nutně různé přímky procházející počátkem O. Pak platí tvrzení: 1. s b s a je otočení r β α kolem počátku O o úhel β α; 2. s b s a = s d s c, právě když orientovaný úhel přímek a, b je shodný s orientovaným úhlem přímek c, d; 3. s c s b s a je osová souměrnost s d, přičemž orientovaný úhel a, b je shodný s orientovaným úhlem d, c; 4. s a s b s a = s c orientovaný úhel přímek a, b se rovná orientovanému úhlu přímek c, a. 5. s c s b s a = s a s b s c. Důkaz: Tvrzení 1 bylo dokázáno v předmětu Elementární geometrie II a jeho analytický důkaz bude podán později. Tvrzení 2 je důsledkem předchozího. Je-li totiž s b s a = r β α a s d s c = r δ γ, pak s b s a = = s d s c r β α = r δ γ β α = δ γ + kπ pro vhodné k Z orientovaný úhel přímek a, b je shodný s orientovaným úhlem přímek c, d. Tvrzení 3: s c s b s a = s c s c s d = s d (podle tvrzení 2) orientovaný úhel přímek a, b se rovná orientovanému úhlu přímek d, c, tj. γ δ = β α + kπ (viz obrázek 1.2a). Tvrzení 4: s a s b s a = s c (podle tvrzení 3) α γ = β α + kπ přímka a je jednou z os přímek c, b, tj. c = s a (b) (viz obrázek 1.2b). Tvrzení 5: Víme, že s c s b s a = s x, s a s b s c = s y. Pak s x s y = s c s b s a s a s b s c = = s c s b id s b s c = s c id s c = id. Tedy s x s y = id, s x = s y, nebo-li x = y. Proto 6

7 s c s b s a = s a s b s c. Obrázek 1.2: 1.3 Cvičení skládání izometrií A. Nechť p, q, r jsou přímky těžnic rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníka P QR s pravým úhlem u vrcholu R. Zjistěte, jak vypadá zobrazení: (a) s p s q s r, (d) s r s p s q s r s p s q, (b) s p s q s p, (e) s r s p s q s p s q s r, (c) s q s r s p s q, (f) s p s q s p s r. B. Předchozí úlohu řešte v případě, že přímky p, q, r jsou (a) osy stran rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníka, (b) strany rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníka, (c) osy vnitřních úhlů trojúhelníka s úhly 50, 60, 70. 7

8 1.4 Definice grupa transformací Nechť M je neprázdná množina (bodů) a T neprázdná množina transformací (bijekcí) f. T je grupa transformací na M, jestliže jsou splněny dvě podmínky: f T f 1 T, (1.1) f, g T g f T. (1.2) Dlouhý termín budeme často zkracovat slovem grupa. Grupa, která má konečný počet prvků, se nazývá konečná grupa. Grupa H, která je podmnožinou grupy G, se nazývá podgrupa grupy G. Jestliže navíc G H, pak podgrupu H nazýváme vlastní podgrupou grupy G. Řekneme, že podmnožina T grupy H je generátor grupy H (T generuje H), jestliže se každá transformace z H dá psát jako složení konečného počtu transformací z T a transformací k nim inverzních. Pak píšeme H = G [T ]. Místo přesného G [{f, g}] píšeme často stručně G [f, g] apod. Poznámka: S pojmem grupa se setkáváme v mnoha oblastech matematiky. Víme například, že množina R vzhledem k operaci + je grupa, či množina regulárních matic typu 2 2 M 2 je grupa vzhledem k operaci násobení matic. Tyto grupy píšeme jako dvojice symbolů (množina,operace), tedy (R, +), případně (M 2, ). Měli bychom tedy nahoře definované grupy psát přesně (T, ), (G, ), apod. Nebudeme to dělat, protože v našich úvahách budou vystupovat pouze dvě grupové operace, a to v grupách transformačních a v grupách maticových. Z kontextu bude vždy jasné, o jakou grupu jde. 1.5 Úlohy grupy A. Dokažte, že pro každou transformační grupu G je id G. Důkaz: Podle definice je G neprázdná. Tedy existuje f G. Podle (1.1) pak f 1 G. Podle (1.2) pak id = f f 1 G. B. Je struktura (I 0 [E 2 ; ), kde I 0 [E 2 ] je množina shodností, které zachovávají počátek, grupa? Řešení: Ano. (Ověřte vlastnosti grupy podle definice.) C. Najděte všechny dvouprvkové podgrupy grupy I 0 [E 2 ] (I 0 [E 2 ] je grupa všech izometrií, které zachovávají počátek). Řešení: Z předchozího cvičení víme, že každá dvouprvková grupa má tvar {id, f}, kde f id. Protože podle (1.2) je f 2 {id, f}, je buď f 2 = f, nebo f 2 = id. Vztah f 2 = f implikuje f = id a dostáváme spor. Tedy f je nutně involuce. V množině rotací existuje jediná, která je involucí. Je to r π, nebo-li středová souměrnost. V množině osových souměrností je každý prvek involucí. Tím jsou všechny možnosti vyčerpány. 8

9 Závěr: Hledaná grupa je buď {id, s m }, kde m je libovolná přímka jdoucí počátkem, nebo {id, r π }. D. Dokažte následující tvrzení kritérium podgrupy. Nechť (G, ) je grupa a H neprázdná podmnožina množiny G. Pak (H, ) je podgrupa grupy (G, ), právě když jsou splněny dvě podmínky: (1) f H f 1 H, tj. H je uzavřená vůči invertování, (2) f, g H f g H, tj. H je uzavřená vůči skládání. Důkaz: Jsou-li splněny podmínky (1) a (2), pak z neprázdnosti H plyne, že existuje-li f H, podle (1) je f 1 H a podle (2) je f f 1 H. Tedy neutrální prvek patří do H. Asociativnost v H je důsledkem asociativnosti v G. Tedy H je grupa. Naopak, když některá z podmínek (1), (2) není splněna, H nemůže být grupou, protože zde není definována operace skládání, nebo invertování. 1.6 Cvičení A. Ke každému n N existuje aspoň jedna podgrupa G grupy I 0 [E 2 ], která má právě n prvků. Dokažte. B. Zjistěte, zda (a) množina I r 0 [E 2 ] všech rotací, (b) množina I o 0 [E 2 ] všech osových souměrností je podgrupou grupy I 0 [E 2 ]. C. Najděte podgrupu {id, f, g, h} grupy I 0 [E 2 ] takovou, že f, g, h jsou všechno involuce. D. Najděte přímky m, n tak, aby grupa G [s m, s n ] měla právě (a) čtyři, (b) pět, (c) šest, (d) dvacet prvků. E. Najděte izometrii f I 0 [E 2 ] tak, aby grupa G [f] generovaná prvkem f obsahovala jak rotaci r π, tak i rotaci (a) r π, (b) r π, (c) r π, (d) r π, (e) r 5π, (f) r 2 π. 5 7 F. Je izometrie f v předchozím cvičení jediná? 9

10 Kapitola 2 Analytické vyjádření izometrií v E 2 V této kapitole si postupně odvodíme analytické vyjádření všech shodností v rovině. 2.1 Úlohy analytický popis otočení kolem počátku A. Najděte analytický popis otočení r π 2, tj. otočení o 90 kolem bodu O. Řešení: Z prvního semestru analytické geometrie víme, že otočením vektoru u = [u; v] o +90 (tj. proti pohybu hodinových ručiček) vznikne vektor u = ( v; u). Tedy pro bod X[x; y] platí r π 2 (X) = X [x ; y ], kde x = y, y = x. B. Najděte analytický popis otočení r π 4, tj. otočení o 45 kolem bodu O. Řešení: Nechť r π 4 (X) = X, tj. bod X[x; y] se otočením kolem bodu O o úhel +45 zobrazí do bodu X [x ; y ]. Naším úkolem je najít čísla x, y pomocí čísel x, y. Najděme nejprve bod Z = r π (X) = 2 = [ y; x], pak bod U[u; v] = X Z. Víme, že body O, U, X leží na přímce. Dokonce víme, že vektor OX je 2-násobek vektoru OU, neboť OX = OX = 2 OU (viz obrázek 2.1a). Tedy x = 2 u, y = 2 v. Dalším výpočtem dostaneme x = 2 u = 2(x y), 2 y = 2 v = 2(x + y). 2 Oba předchozí případy zobecňuje následující úloha. C. Najděte analytický popis otočení r β, tj. otočení o úhel β kolem bodu O. Řešení: Nechť r β (X) = X. Tedy bod X[x; y] se otočením kolem O o orientovaný úhel β zobrazí do bodu X [x ; y ]. Naším úkolem je najít čísla x, y pomocí čísel x, y, β. Snadné řešení poskytují polární souřadnice. Nechť X O. Označme d = OX = OX a α velikost úhlu XOI, kde I[1; 0]. 10

11 Tedy otočením polopřímky OI o úhel α kolem počátku O dostaneme polopřímku OX (viz obrázek 2.1b). Pak platí x = d cos α, y = d sin α, x = d cos(α + β), y = d sin(α + β). Odtud x = d cos(α + β) = d cos α cos β d sin α sin β = x cos β y sin β, y = d sin(α + β) = d sin α cos β + d cos α sin β = y cos β + x sin β. Tyto vztahy můžeme zapsat i pomocí matic, jak ukazuje věta 2.2. Obrázek 2.1: 2.2 Věta maticový popis otočení kolem bodu O Zobrazení r β : E 2 E 2, X[x; y] X [x ; y ], které je dáno v maticovém tvaru předpisem ( ) ( ) ( ) x cos β sin β x y = (2.1) sin β cos β y je izometrie. Je to otočení kolem počátku O o orientovaný úhel β. Příslušnou matici označíme R(β). Nulovému otočení, tj. identitě, odpovídá jednotková matice I. Platí R(β) = I β = 2kπ, k Z. Úmluva: Místo dlouhého otočení, které je popsáno maticí R(β) budeme stručně psát otočení R(β). Důkaz: Třetí část věty je zřejmý důsledek druhé části, kterou jsme dokázali v předchozím cvičení 2.1C. Zbývá dokázat část první, tedy že se jedná o izometrii. 11

12 Ze syntetické geometrie již víme, že otočení je izometrie, takže vlastně není co dokazovat. Přesto však dokažme tuto část věty analyticky. Jednak to bude výživné cvičení, jednak uvidíme příklad těžkopádnosti analytické metody ve srovnání se syntetickou. Zvolme libovolné body X[x; y] a U[u; v] a označme r β (X) = X [x ; y ], r β (U) = U [u ; v ]. Potřebujeme dokázat, že XU = X U. Počítejme: X U 2 = (x u ) 2 + (y v ) 2 = = ((x cos β y sin β) (u cos β v sin β)) 2 + ((y cos β + x sin β) (v cos β + u sin β)) 2 = = ((x u) cos β (y v) sin β) 2 + ((y v) cos β + (x u) sin β) 2 = = (x u) 2 + (y v) 2 = XU 2. QED. Poznámka: Všimněte si, že bod O, který jsme v řešení úlohy 2.1C z našich úvah vyloučili, také vyhovuje vztahu (2.1). 2.3 Úlohy skládání zobrazení A. Nechť r α je rotace kolem počátku o úhel α dána maticí R(α) a r β rotace kolem počátku o úhel β dána maticí R(β). Zjistěte, jak vypadá matice zobrazení r β r α. Řešení: Nechť X[x; y] je libovolný bod. Označme r α (X) = X [x ; y ], r β (X ) = X [x ; y ]. Pak ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x cos α sin α x x cos β sin β x y =, sin α cos α y y = sin β cos β y, ( ) ( ) ( ) ( ) x cos β sin β cos α sin α x odkud y =. sin β cos β sin α cos α y Hledaná matice zobrazení s b s a je tedy součinem matic R(β) R(α). B. Najděte geometrickou interpretaci matice R(β) R(α). Řešení: Protože ( ) cos β cos α sin β sin α cos β sin α sin β cos α R(β) R(α) = = sin β cos α + cos β sin α sin β sin α + cos β cos α ( ) cos(α + β) sin(α + β) = = R(α + β), sin(α + β) cos(α + β) je součinem matic R(β) R(α) dáno otočení kolem počátku O o úhel (α + β). Poznání zformulujeme ve větě

13 2.4 Věta násobení matic a skládání zobrazení Nechť f, g jsou zobrazení E 2 E 2 (ne nutně izometrická), která jsou popsána maticemi F, G. Pak zobrazení g f je popsáno maticí G F. Jinak: Geometrické operaci skládání zobrazení odpovídá algebraická operace náso- bení matic (ve stejném pořadí). Důkaz: Postup řešení úlohy 2.3A zopakujeme s libovolnými maticemi. 2.5 Úlohy analytický popis posunutí a rotace kolem libovolného bodu A. Najděte analytický popis posunutí t u : E 2 E 2 o vektor u [u; v] a zapište t u pomocí matice. Řešení: První část úlohy je snadná (viz obr. 2.2a). t u : E 2 E 2, X[x; y] X [x ; y ], x = x + u, y = y + v. (2.2) Potíže jsou s druhou částí úlohy. Matice posunutí na rozdíl od matice rotace z věty 2.2 nemůže být druhého řádu. Trik spočívá v tom, že ke dvěma souřadnicím bodu X[x; y] z E 2 přidáme třetí, umělou souřadnici, a sice 1. Pak lze vztahy (2.2) zapsat takto: x 1 0 u x y = 0 1 v y. (2.3) 1 1 Příslušnou matici značíme T( u) nebo T(u; v). Alternativně k zápisu X[x; y] budeme psát někdy též X[x; y; 1] s formální třetí souřadnicí 1. K nedorozumění s bodem v E 3 nedojde, protože všechny naše úvahy jsou v E 2. B. V úloze 2.3A jsme viděli, jak snadné je skládání zobrazení pomocí matic. Stojíme před problémem, jak pomocí matic skládat otočení s posunutím. Matice R(β) je totiž druhého a matice T( u) třetího řádu. Co s tím? Lze tuto potíž překonat? Řešení: Lze, a to poměrně jednoduše. Matici R(β) rozšíříme na matici 3 3 tak, abychom uchovali to nejdůležitější chceme, aby bylo skládání zobrazení popsáno násobením matic. Hledaná matice musí převést libovolný bod [x; y; 1] do bodu [x ; y ; 1]. Odtud plyne, že poslední řádek hledané matice má tvar (). Není pak těžké nahlédnout, že cos β sin β 0 R(β) = sin β cos β 0. (2.4) 13

14 C. Najděte matici R(2, 3; π 2 ) otočení r M, π 2 kolem bodu M[2; 3] o úhel π 2. Řešení: Hledané otočení vyjádříme jako složení tří izometrií. Libovolný bod X[x; y] můžeme do polohy X [x ; y ] = r M, π (X) přemístit postupem (viz obr. 2.2b): 2 X t u Y r π 2 Z t u X, kde t u : E 2 E 2, [x; y] [x + 2; y + 3] je posunutí o vektor u (2; 3) a r π : E2 E 2, [x; y] [ y; x] je otočení o π kolem počátku O. 2 2 Pomocí matic dostaneme R(2, 3; π) = T( u) R(0, 0; π ) T( u), tedy 2 2 R(2,3; π ) = = D. Najděte matici R(u, v; α) otočení r M,α kolem bodu M[u; v] o úhel α. Řešení: Zopakujeme postup řešení předchozí úlohy s obecnými maticemi, tj. R(u, v; α) = = T( u) R(0, 0; α) T( u), kde u(u; v). Výsledek je podán ve větě 2.6. Obrázek 2.2: 2.6 Věta maticový popis rotace Nechť r M,α je otočení kolem bodu M[u; v] o úhel α. Pak cos α sin α u(1 cos α) + v sin α R(u, v; α) = sin α cos α v(1 cos α) u sin α je matice otočení r M,α. 14

15 Důkaz: Stačí prověřit rovnost R(u, v; α) = T( u) R(0, 0; α) T( u). (2.5) 2.7 Úlohy analytické vyjádření osové souměrnosti A. Najděte analytické vyjádření osové souměrnosti kolem osy x Řešení: Analytické vyjádření lehce vyčteme z obrázku: x = x, y = y. Maticí: B. Najděte analytické vyjádření osové souměrnosti kolem osy y Řešení: Analytické vyjádření lehce vyčteme z obrázku: x = x, y = y. Maticí: C. Najděte analytické vyjádření osové souměrnosti kolem osy prvního a třetího kvadrantu u Výsledek: Rovnicemi: x = y, y = x. Maticí: D. Najděte analytické vyjádření osové souměrnosti kolem přímky o. Přímka o prochází počátkem a svírá s kladnou částí osy x úhel α. Řešení: Můžeme postupovat např. tak, že si uvědomíme, že složíme-li s x a s o, dostaneme otočení o úhel 2α. Tedy s x s o = r 2α a v maticovém vyjádření S 1 S 2 = R(0, 0; 2α), kde S 1 je matice osové souměrnosti s x a kde S 2 je matice osové souměrnosti s o. Po úpravě dostaneme s o = r 2α s x a v maticovém vyjádření S 2 = R(0, 0; 2α) S 1. Můžeme tedy počítat: ( ) cos 2α sin 2α sin 2α cos 2α ( ) ( ) 1 0 cos 2α sin 2α = 0 1 sin 2α cos 2α E. Najděte analytické vyjádření osové souměrnosti kolem obecné přímky o. Přímka o svírá s kladnou částí osy x úhel α. Řešení: Podobně jako u hledání analytického vyjádření rotace v úloze 2.5D využijeme posunutí. Na ose o zvolíme libovolný bod M[u; v]. Pak s o = t u s o t u, kde o je přímka rovnoběžná s osou o a procházející počátkem a o = t u(o) a vektor u(u; v). Označme matici osové souměrnosti podle osy, která prochází bodem o souřadnicích [u; v] a má směrový vektor (cos α; sin α), jako S(u, v; α). Převedeme-li výše uvedenou rovnost do maticového vyjádření, dostaneme S(u, v; α) = T( u) S(0, 0; α) T( u). To už je jen kalkulace a její výsledek udává věta

16 F. Najděte analytické vyjádření osové souměrnosti kolem přímky o, která je dána rovnicí ax + by + c = 0. Řešení: Označíme X[x; y] a jeho obraz v osové souměrnosti X [x ; y ]. Protože vektor XX je kolmý na osu o, platí XX = k (a; b), kde k R {0}. Tedy x = x + k a, y = y + k b. Dále musíme najít číslo k. Nechť S = X Y. Bod S má souřadnice [ 2x + k a ; 2y + k b ]. 2 2 Protože S o, platí 2x + k a 2 a + 2y + k b 2 b + c = 0. Z této rovnosti vyjádříme k a dosadíme do rovnic pro x a y. Dostáváme x = x 2a(ax + by + c), y 2b(ax + by + c) = y. a 2 + b 2 a 2 + b 2 Zde není účelné převádět rovnice do maticového vyjádření. 2.8 Věta maticový popis osové souměrnosti Nechť s m je osová souměrnost podle přímky m dané bodem M[u; v] a směrovým vektorem m (cos α; sin α). Pak cos 2α sin 2α u(1 cos 2α) v sin 2α S(u, v; α) = sin 2α cos 2α v(1 + cos 2α) u sin 2α je matice osové souměrnosti s m. Nechť s m je osová souměrnost podle přímky m dané rovnicí ax + by + c = 0. Rovnice této osové souměrnosti jsou x 2a(ax + by + c) = x, y 2b(ax + by + c) = y. a 2 + b 2 a 2 + b Cvičení analytické vyjádření rotace a osové souměrnosti V úlohách A K předpokládáme, že rotace je kolem počátku a osová souměrnost kolem přímky procházející počátkem. Budeme používat zkrácené označení R(α) a S(α). A. Nechť s a je osová souměrnost podle přímky a a s b osová souměrnost podle přímky b. Přímky a a b procházejí počátkem. Zjistěte, jak vypadá matice zobrazení s b s a. 16

17 B. Najděte geometrickou interpretaci matice S( β 2 ) S( α 2 ). C. Napište matici I. otočení kolem počátku o úhel (a) 45, (b) 135, (c) 60, (d) 435, II. osové souměrnosti, jejiž osa prochází počátkem a svírá s osovu x úhel (e) 45, (f) 135, (g) 60, (h) 435, (i) 0. D. Zjistěte, pro která x, y R platí (a) R(x) R(y) = R(x y), (b) R(x) R(y) = R(x + y), (c) S(x) S(y) = S(x y). E. Stručně zapište (a) S(3x) S(x), (b) S(x) S(2x), (c) S(x) S(y), (d) S(x) S(2x) S(x), (e) S(x) S(y) S(x), (f) S(x) S(y) S(z). F. Stručně zapište S(x 1 ) S(x 2 )... S(x n ). G. Stručně zapište (a) S(0) R(y), (b) R(y) S(0), (c) S(x) R(y), (d) R(y) S(x), (e) R(y) S(x) R( y), (f) S(x) R(y) S(x) R(y). H. Řešte maticovou rovnici a najděte její geometrickou interpretaci: (a) R 2 (x) = I (jednotková matice I, viz 2.2), (b) R 4 (x) = I, (c) R 3 (x) = I, (d) R 6 (x) = I, (e) R 5 (x) = I. I. Řešte maticovou rovnici a najděte její geometrickou interpretaci: (a) S 2 (x) = I, (b) S 3 (x) = = I, (c) S(x) S(2x) = I, (d) S( x) S( y ) = R(π), (e) S( x) R(y) = R(x) S( y ), (f) S(x) R(y) = R(z). J. Nechť α R. Označme G [R(α)] množinu všech transformací, které lze získat z transformací R(α) a R( α) operací skládání. Zjistěte počet prvků množiny G [R(α)] pro (a) α = 0, (b) α = π, (c) α = π 2, (d) α = π 3, (e) α = 2π 5, (f) α = π 6, (g) α = π 12, (h) α = 2π n, kde n N je dané. K. Najděte všechna x R, pro která G [R(x)] = G [R(α)], když α nabývá stejných hodnot jako v předchozím cvičení. L. Najděte analytické vyjádření shodnosti, znáte-li tři vzory a jejich tři obrazy, a tyto shodnosti geometricky popište. (a) [0; 0] [3; 0], [1; 0] [3; 1], [0; 1] [4; 0] (b) [0; 0] [5; 4], [1; 0] [5; 3], [0; 1] [4; 4] (c) [1; 1] [0; 0], [0; 1] [0; 1], [ 2; 1] [0; 3] (d) [1; 1] [0; 1], [0; 1] [0; 2], [ 2; 1] [0; 4] M. Zjistěte, zda existuje shodnost, pro niž platí A[10; 0] A [0; 0] a B[25; 20] B [0; 25]. Pokud ano, najděte její analytické vyjádření. 17

18 2.10 Úlohy analytické vyjádření posunuté souměrnosti A. Zjistěte, zda transformace daná rovnicemi x = x + 1 a y = y je shodnost. Pokud ano, geometricky ji charakterizujte. Řešení: Lehce ověříme, že pro každé libovolné body X, Y a jejich obrazy X, Y platí XY = X Y. Jedná se tedy o shodnost. Na první pohled se zdá, že jde o osovou souměrnost viz věta 2.8. Zkusme najít samodružné body. Získáme soustavu rovnic x = x + 1, y = y, která však nemá řešení. Žádný samodružný bod tedy neexistuje a nejde o osovou souměrnost. Zkusíme-li si najít několik bodů a jejich obrazů, zjistíme, že se jedná o nepřímou shodnost. Zatím jsme neodvodili analytické vyjádření posunuté souměrnosti. To řeší následující úloha. B. Odvoďte analytické vyjádření posunuté souměrnosti, známe-li úhel, který svírá osa souměrnosti s osou x a vektor posunutí (rovnoběžný s osou souměrnosti). Řešení: Podle definice získáme posunutou souměrnost tak, že složíme osovou souměrnost a posunutí s vektorem posunutí, který je rovnoběžný s osou osové souměrnosti, a to v libovolném pořadí. Tomu odpovídá analytický způsob řešení: Provedeme výpočet: V = S(u, v; α) T(k cos α, k sin α), kde k R {0}. 1 0 k cos α cos 2α sin 2α u(1 cos 2α) v sin 2α V(m, n; α) = 0 1 k sin α sin 2α cos 2α u sin 2α + v(1 + cos 2α) = cos 2α sin 2α m = u(1 cos 2α) v sin 2α + k cos α = sin 2α cos 2α n = u sin 2α + v(1 + cos 2α) + k sin α C. Geometricky interpretujte shodnost z úlohy A. Řešení: Dosazením konkrétních hodnot do obecné matice posunuté souměrnosti získáme soustavu rovnic: 18

19 cos 2α = 1, sin 2α = 0, k cos α + u u cos 2α v sin 2α = 1, k sin α + v + v cos 2α u sin 2α = 0. Řešením tedy je α = π, k = 1, v = 0, u je libovolné reálné číslo. Uvedené rovnice jsou tedy rovnicemi posunuté souměrnosti s osou o: y = 0 a vektorem posunutí (1; 0). D. Najděte kritérium, podle něhož poznáme, zda matice G je matice osové nebo posunuté souměrnosti. cos 2α sin 2α m G = sin 2α cos 2α n Řešení: Osová a posunutá souměrnost se liší počtem samodružných bodů. Hledáme-li známým postupem samodružné body, dospějeme k soustavě rovnic x = x cos 2α + y sin 2α + m, y = x sin 2α y cos 2α + n s neznámými x a y. Po úpravě máme x(cos 2α 1) + y sin 2α + m = 0, x sin 2α (cos 2α + 1)y + n = 0 Vyjádříme-li z první rovnice x a dosadíme do druhé rovnice, po úpravě získáme rovnost n(cos 2α 1) + m sin 2α = 0. Po další úpravě pak dostáváme m cos α + n sin α = 0. Tedy můžeme formulovat kritérium: Matice G je maticí osové souměrnosti, právě když m cos α+n sin α = 0. V opačném případě to je matice posunuté souměrnosti Úloha charakteristika izometrií Najděte všechny izometrie, které lze v maticovém tvaru zapsat předpisem f : E 2 E 2, X(x; y; 1) X (x ; y ; 1), (2.6) 19

20 x p q m x y = r s n. y, kde p, q,..., w R. (2.7) 1 u v w 1 Řešení: Nechť U[u; v] je libovolný bod a f(u) = U [u ; v ]. Pak z podmínky f je izometrie plyne, že pro všechny X, U je XU = X U, čili (x u) 2 +(y v) 2 = (x u ) 2 +(y v ) 2 = ((px+qy) (pu+qv)) 2 +((rx+sy) (ru+sv)) 2 =... Zvolený postup je těžkopádný. Počítání si ulehčíme tím, že místo obecného vztahu zvolíme tři konkrétní a jednoduché vztahy. Vezměme trojúhelník OIJ, kde O[0; 0; 1], I[1; 0; 1], J[0; 1; 1] se zobrazí na trojúhelník O I J, kde O = f(o) = [m; n; w], I = f(i) = [p + m; r + n; u + w], a J = f(j) = = [q + m; s + n; v + w]. Protože poslední souřadnice všech tří bodů musí být 1, máme u = v = 0 a w = 1. Dále platí základní vazby OI = 1 O I = 1 p 2 + r 2 = 1, (2.8) OJ = 1 O J = 1 q 2 + s 2 = 1, IJ = 2 I J = 2 pq + rs = 0, neboť I J 2 = (p q) 2 +(r s) 2 = p 2 +r 2 +q 2 +s 2 2(pq+rs) = 2 2(pq+rs) = IJ 2 = 2. Z geometrických vztahů OI = OI, OJ = OJ a IJ = I J jsme získali algebraické vztahy p 2 + r 2 = 1, q 2 + s 2 = 1, pq + rs = 0. (2.9) Ze vztahů (2.9) plyne, že vektory OI = p (p; r; 0) a OJ = q (q; s; 0) jsou jednotkové a na sebe kolmé ( p = 1, q = 1, p q = 0). Body I, J leží tedy na jednotkové kružnici. Z toho vyplývá, že q = ( r; p; 0) nebo q = (r; p; 0) (q = r a s = p, nebo q = r, s = p) a že existuje takový úhel µ, µ R, že p = cos µ a r = sin µ. Je zřejmé, že µ a µ určují stejnou matici (a tedy stejnou izometrii), právě když µ = µ+2kπ, k Z, tj. právě když se liší o celočíselný násobek čísla 2π. Existuje tedy, a to jediné, µ 0; 2π) tak, že p = cos µ, r = sin µ. Jestliže je f izometrie, pak její matice má tvar cos µ sin µ m M = sin µ cos µ n, (2.10) nebo 20

21 cos µ sin µ m N = sin µ cos µ n. (2.11) 2.12 Věta charakteristika izometrií Zobrazení (2.6), které je dáno vztahem (2.7), je izometrií, právě když platí (2.8). Každá taková izometrie se dá zapsat ve tvaru (2.10), nebo (2.11), kde µ, m, n R jsou vhodná čísla. Naopak, každá z matic (2.10) a (2.11) je maticí izometrie pro libovolné µ, m, n R. Uvedené matice můžeme také zapsat takto: A B C B ±A D, kde A 2 + B 2 = 1. A B C Přímá shodnost je dána maticí B A D, kde A 2 +B 2 = 1. Nepřímá shodnost A B C je dána maticí B A D, kde A 2 + B 2 = 1. Důkaz: Důkaz první a druhé části byl již udělán. Třetí část věty se dokáže trpělivým výpočtem Cvičení shodnosti v rovině A. Geometricky charakterizujte shodnosti s rovnicemi (a) x = y +1, y = x+1, (b) x = x+1, y = y + 6. B. Determinant matice z věty 2.12 je 1, nebo 1. Zjistěte, zda platí věta: Matice F je maticí shodnosti v rovině právě tehdy, když absolutní hodnota jejího determinantu je 1. C. Zjistěte geometrický popis izometrie f I[E 2 ] dané maticí e e 0 e e 1 e e e 2e (a) e e 0, (b) e e e, (c) e e 1, (d) kde e = 1 2. e e 1 e e e e, D. Vyšetřete izometrii f I[E 2 ], která je dána maticí 21

22 0, 8 0, 6 1 0, 8 0, 6 3 0, 8 0, 6 1 (a) 0, 6 0, 8 3, (b) 0, 6 0, 8 1, (c) 0, 6 0, 8 1. Zjistěte, zda se některý z uzlových bodů A[1; 1], B[1; 2], C[1; 3] izometrií f zobrazí opět do uzlového bodu. Najděte všechny uzlové body [x; y], které se zobrazí transformací f opět do uzlových bodů. E. Nechť s J I[E 2 ] je středová souměrnost podle bodu J[0; 1] a s O I[E 2 ] středová souměrnost podle počátku O. (a) Popište geometrický tvar izometrií f 1 = s J s O, f 2 = s J s O s J f 3 = s J s O s J s O, f 4 = s J s O s J s O s J. (b) Předchozí úlohu zobecněte. Popište izometrii f n. (c) Napište matici transformace f n pro n N. (d) Transformace f n je definována pro n = 1, 2, 3,... Bylo by ji možné přirozeným způsobem definovat i pro n = 0, 1, 2, 3,...? (e) Nechť F = {f n ; n N}. Popište geometricky i analyticky grupu G [F ]. F. Nechť kromě označení s O z předchozí úlohy je s m I[E 2 ] osová souměrnost podle přímky m dané rovnicí x y = 2. (a) Popište geometrický tvar izometrií g 1 = s m s O, g 2 = s m s O s m, g 3 = s m s O s m s O, g 4 = s m s O s m s O s m. (b) Předchozí úlohu zobecněte. Popište izometrii g n. (c) Napište matici transformace g n pro n N. (d) Bylo by možné přirozeným způsobem definovat i g 1? (e) Nechť G = {g n ; n N}. Popište geometricky i analyticky grupu G [G]. G. Předchozí úlohu řešte v případě, že bod O všude nahradíte bodem J[0; 1]. H. Zjistěte, pro jakou volbu parametrů p, q R je daná matice maticí izometrie f I[E 2 ] a vyšetřete její geometrický tvar. 0 p 0 p q 0 p 0 0 (a) p 0 0, (b) 0 1 0, (c) 0 q 0, 0 0 q p q q 0 p q p p 0 (d) 0 1 p, (e) p 0 q, (f) p q 0. I. Doplňte scházející čísla v dané matici tak, aby tato byla maticí izometrie g I[E 2 ] a vyšetřete její geometrický tvar. Najděte všechna řešení. 22

Afinní zobrazení, jeho regularita a (totální) singularita. Asociovaný homomorfismus. Analytické

Afinní zobrazení, jeho regularita a (totální) singularita. Asociovaný homomorfismus. Analytické Slezská univerzita v Opavě Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1 746 01 Opava Tel. 553 684 661 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Téma 3. Afinní zobrazení Opakování Dělicí poměr; Homomorfismus vektorových prostorů,

Více

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Geometrické transformace v rovině Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1 Shodné transformace shodné transformace (shodnosti, izometrie) převádějí objekt

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Geometrické transformace v prostoru Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1 Shodné transformace stejný přístup jako ve 2D shodné transformace (shodnosti,

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Mezi všemi desetimístnými čísly dělitelnými jedenácti, v nichž se žádná číslice neopakuje, najděte nejmenší a největší. Řešení. Uvažovaná

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0.

(ne)závislost. α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n. x + ( 1) x Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k vektoru y. x x = 1. x = x = 0. Lineární (ne)závislost [1] Odečítání vektorů, asociativita BI-LIN, zavislost, 3, P. Olšák [2] Místo, abychom psali zdlouhavě: x + ( 1) y, píšeme stručněji x y. Vektoru y = ( 1) y říkáme opačný vektor k

Více

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK

Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Josef Janyška Anna Sekaninová ANALYTICKÁ TEORIE KUŽELOSEČEK A KVADRIK Obsah 1 KOMPLEXNÍ ROZŠÍŘENÍ PROSTORU 7 1 Komplexní rozšíření vektorového prostoru........... 7 Komplexní rozšíření reálného afinního

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008

Aritmetické vektory. Martina Šimůnková. Katedra aplikované matematiky. 16. března 2008 Aritmetické vektory Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 16. března 2008 Martina Šimůnková (KAP) Aritmetické vektory 16. března 2008 1/ 34 Úvod 1Úvod Definice aritmetických vektorů a operací

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020

Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 Zbyněk Šír Matematický ústav UK Zbyněk Šír (MÚ UK) - Geometrie pro počítačovou grafiku - PGR020 1 / 18 O čem předmět bude Chceme podat teoretický základ nezbytný

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině FOTOGRAMMETRIE Máme-li k dispozici jednu nebo několik fotografií daného objektu (objekt zobrazený v lineární perspektivě), pomocí fotogrammetrie můžeme zjistit jeho tvar, rozměr či polohu v prostoru. Známe-li

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN

KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan

Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 11. Lineární zobrazení V celé přednášce pojednáváme o vektorových prostorech nad

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

8. Slovní úlohy na extrémy

8. Slovní úlohy na extrémy 8. Slovní úlohy na extrémy Vtétokapitolenaznačíme,jakřešitněkteré praktické (většinougeometrické) úlohy související s extrémy funkcí jedné proměnné. Novým prvkem bude nutnost slovně zadanou úlohu nejdříve

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0527

CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více