UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI"

Transkript

1 UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA Katedra algebry a geometrie Afinní zobrazení v příkladech Bakalářská práce Vedoucí práce: RNDr. Lenka Juklová, Ph.D. Rok odevzdání: 2013 Vypracoval: Václav Slovák M-RF, 3. ročník

2 Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatně pod vedením RNDr. Lenky Juklové, Ph.D., a že jsem uvedl veškerou použitou literaturu. V Olomouci dne

3 Rád bych poděkoval RNDr. Lence Juklové, Ph.D., za spolupráci, cenné rady a pomoc při zpracovávání práce.

4 Obsah 1 Úvod 5 2 Základní vlastnosti afinního zobrazení 6 3 Analytické vyjádření afinního zobrazení 9 4 Samodružné body a samodružné směry 16 5 Homotetické transformace 23 6 Základní afinity Definice a analytické vyjádření Rozklad na základní afinity Závěr 41 8 Použitá literatura 42 4

5 Kapitola 1 Úvod Tato bakalářská práce se zabývá řešením příkladů ze zobrazení afinních prostorů. Vedle těchto příkladů práce obsahuje také nezbytnou teorii potřebnou k jejich řešení. U čtenáře se předpokládají základní znalosti lineární algebry a geometrie. Obrázky jsou narýsovány v programu GeoGebra. Práce je vysázena pomocí typografického systému L A TEX. Práce je dělena do kapitol. Na začátku každé kapitoly je vždy uveden výčet nejdůležitějších definic a vět, jejichž znalost je nutná pro řešení následujících příkladů, nejedná se tedy o kompletní výklad teorie. Věty jsou vzhledem k rozsahu práce uváděny bez důkazů. Některé obrázky jsou pro větší názornost narýsovány v kartézské soustavě souřadnic. V kapitole 2 je zaveden pojem afinní zobrazení a jsou uvedeny jeho základní vlastnosti, kapitola 3 se zabývá analytickým vyjádřením afinního zobrazení. Kapitola 4 je zaměřena na hledání samodružných bodů a samodružných směrů. Kapitola 5 je věnována homotetickým transformacím a kapitola 6 základním afinitám - v první části je zaveden pojem základní afinita, jsou popsány její vlastnosti a analytické vyjádření, druhá část se zabývá rozklady afinity na základní afinity. 5

6 Kapitola 2 Základní vlastnosti afinního zobrazení Definice 1.1 Necht B, C, D jsou tři navzájem různé body afinního prostoru A n ležící na téže přímce. Říkáme, že bod D dělí úsečku BC v poměru λ, jestliže (D B) = λ(d C), značíme λ = (BCD). Číslo λ se nazývá dělicí poměr bodů B, C, D. Definice 1.2 Zobrazení f afinního prostoru A do afinního prostoru A se nazývá afinní, jestliže má tuto vlastnost: Leží-li navzájem různé body B, C, D z prostoru A na přímce, pak jejich obrazy f(b), f(c), f(d) bud splývají, nebo jsou navzájem různé, leží na jedné přímce a jejich dělicí poměr se rovná dělicímu poměru jejich vzorů, tj. (f(b)f(c)f(d)) = (BCD). Věta 1.1 Ke každému afinnímu zobrazení f afinního prostoru A do afinního prostoru A existuje právě jedno asociované zobrazení ϕ zaměření V afinního prostoru A do zaměření V afinního prostoru A. Zobrazení f a ϕ jsou vázána vztahem f(b+u) = f(b) + ϕ(u). Věta 1.2 Asociované zobrazení ϕ afinního zobrazení f z předchozí věty je homomorfizmus, tj. má tyto vlastnosti: ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v), ϕ(k(u)) = kϕ(u). Věta 1.3 Afinní zobrazení f afinního prostoru A n do afinního prostoru A je jednoznačně určeno obrazy f(p 0 ), f(p 1 ),..., f(p n ) lineárně nezávislých bodů P 0, P 1,..., P n prostoru A n. K libovolně zvoleným bodům P 0, P 1,..., P n 6

7 prostoru A existuje právě jedno afinní zobrazení f prostoru A n do prostoru A tak, že f(p j ) = P j pro j = 0, 1,..., n. Příklad 1.1 V euklidovské rovině E 2 je zvolena kartézská soustava souřadnic. Zobrazení f: E 2 E 2 definujeme tak, že každému bodu X = [x, y] přiřadíme bod f(x) = [x, y ], kde x = x, y = ky, k R. Dokažte, že f je afinní zobrazení. Řešení: Zvolme tři různé body A = [a 1, a 2 ], B = [b 1, b 2 ], C = [c 1, c 2 ] ležící na téže přímce. Jejich obrazy budou mít souřadnice f(a) = [a 1, ka 2 ], f(b) = [b 1, kb 2 ], f(c) = [c 1, kc 2 ]. Musíme ověřit, že se rovnají jejich dělicí poměry, tedy že (ABC) = (f(a)f(b)f(c)) (viz definice 1.2). Označme (ABC) = λ 1, (f(a)f(b)f(c)) = λ 2. Platí tedy (C A) = λ 1 (C B) (f(c) f(a)) = λ 2 (f(c) f(b)) (c 1 a 1, c 2 a 2 ) = λ 1 (c 1 b 1, c 2 b 2 ) (c 1 a 1, k(c 2 a 2 )) = λ 2 (c 1 b 1, k(c 2 b 2 )) Dané rovnosti rozepíšeme po složkách. c 1 a 1 = λ 1 (c 1 b 1 ) c 1 a 1 = λ 2 (c 1 b 1 ) c 2 a 2 = λ 1 (c 2 b 2 ) k(c 2 a 2 ) = kλ 2 (c 2 b 2 ) A nyní už přímo zjišt ujeme, že z obou soustav vychází λ 1 = λ 2, tedy (ABC) = (f(a)f(b)f(c)) a tím jsme dokázali, že zobrazení f je afinní. Příklad 1.2 Určete parametry p, q tak, aby existovalo afinní zobrazení f afinní roviny A 2 do afinní roviny A 2, při kterém se zobrazí body A = [2, 1], B = [ 2, 3], C = [4, 0] po řadě na body A = [p, 3], B = [0, q], C = [1, 1]. Řešení: Dané body A, B, C leží na přímce. Jejich dělicí poměr (ABC) = k = 1 3. Body A, B, C zřejmě nejsou totožné, aby zobrazení f bylo afinní, musí tyto body ležet na jedné přímce a jejich dělicí poměr (A B C ) musí být roven číslu k = 1 3, tedy (C A ) = k(c B ) (1 p, 2) = 1 (1, 1 q) 3 1 p = = 1 1q 3 3 p = 2 3 q = 7 Zobrazení f je afinní právě tehdy, když p = 2 a q =

8 Příklad 1.3 V afinní rovině A 2 je dán rovnoběžník ABCD. Existuje afinní zobrazení f: A 2 A 2, při kterém f(a) = A, f(b) = C a f(c) = D? Jestliže ano, který bod f(s) je obrazem středu S rovnoběžníku ABCD? Řešení: Protože A, B, C jsou tři lineárně nezávislé body, existuje (podle věty 1.3) právě jedno afinní zobrazení, které splňuje dané podmínky. Protože bod S je středem úsečky AC a afinní zobrazení zachovává dělicí poměr, bude bod f(s) středem úsečky f(a)f(c) = AD. 8

9 Kapitola 3 Analytické vyjádření afinního zobrazení Věta 2.1 Každé afinní zobrazení f: A n A m má vzhledem k daným soustavám souřadnic v A n a A m analytické vyjádření, které je dáno rovnicemi tvaru n x j = a ij x i + b j, j = 1, 2,..., m. i=1 Zobrazení ϕ: V n V m, které je k afinnímu zobrazení f asociované, je dáno rovnicemi n x j = a ij x i, j = 1, 2,..., m, i=1 kde x i, i = 1, 2,..., n, jsou souřadnice libovolného vektoru x V n a x j, j = 1, 2,..., m, souřadnice jeho obrazu ϕ(x) V m. Poznámka 2.1 Rovnice afinního zobrazení můžeme psát také v maticovém tvaru a 11 a a 1m (x 1, x 2,..., x a 21 a a 2m m) = (x 1, x 2,..., x n ) (b 1, b 2,..., b m ), a n1 a n2... a nm kde (x 1, x 2,..., x m) je matice typu (1, m) složená ze souřadnic bodu f(x), (x 1, x 2,..., x n ) 9

10 je matice typu (1, n) složená ze souřadnic bodu X, a 11 a a 1m a 21 a a 2m a n1 a n2... a nm je matice typu (n, m), v jejímž i-tém řádku jsou souřadnice vektoru ϕ(e i ), kde e i, i = 1, 2,..., n jsou bázové vektory prostoru A n, a (b 1, b 2,..., b m ) je matice typu (1, m) tvořená ze souřadnic bodu f(p ), kde P je počátek prostoru A n. Příklad 2.1 Určete rovnici afinního zobrazení roviny A 2 do přímky A 1, při kterém se body A = [1, 1], B = [ 2, 3], C = [0, 1] zobrazí po řadě na body A = [2], B = [13], C = [5]. Řešení: Analytické vyjádření afinního zobrazení A 2 do A 1 má obecně tvar (viz věta 2.1) x 1 = a 11 x 1 + a 21 x 2 + b 1. Pro dané tři body a jejich obrazy dostaneme soustavu tří rovnic o třech neznámých 2 = a 11 + a 21 + b 1 13 = 2a a 21 + b 1 5 = a 21 + b 1. Z této soustavy dostaneme a 11 = 3, a 21 = 1, b 1 = 4. Hledané zobrazení f pak má rovnici x 1 = 3x 1 + x Příklad 2.2 Najděte analytické vyjádření afinního zobrazení f: A 3 A 3 vzhledem k afinní bázi P, e 1, e 2, e 3, je-li dáno: f(p ) = [0, 1, 1], 2ϕ(e 1 ) + ϕ(e 3 ) = 4e 1 + 5e 2 + 4e 3, ϕ(e 1 ) ϕ(e 2 ) + ϕ(e 3 ) = 4e 1 + 2e 2 + 2e 3, 2ϕ(e 2 ) ϕ(e 3 ) = 3e 1 e 3. Řešení: Z daných vztahů nejprve vyjádříme obrazy ϕ(e 1 ), ϕ(e 2 ), ϕ(e 3 ) vektorů báze jako lineární kombinace vektorů báze e 1, e 2 a e 3. Po vyřešení dostáváme ϕ(e 1 ) = 2e 1 + e 2, ϕ(e 2 ) = e 1 + e 2 + e 3, ϕ(e 3 ) = 3e 2 + 4e 3. Koeficienty těchto lineárních kombinací jsou už souřadnice 10

11 vektorů ϕ(e 1 ), ϕ(e 2 ), ϕ(e 3 ) vzhledem k bázi e 1, e 2, e 3. Tedy ϕ(e 1 ) = (2, 1, 0), ϕ(e 2 ) = ( 1, 1, 1), ϕ(e 3 ) = (0, 3, 4). Je-li A = matice, jejíž řádky jsou souřadnice vektorů ϕ(e 1 ), ϕ(e 2 ), ϕ(e 3 ), potom má afinní zobrazení rovnice (viz poznámka 2.1) x j = 3 a ij x i + b j, j = 1, 2, 3, i=1 kde (a ij ) je matice transponovaná k matici A a b j, j = 1, 2, 3, jsou souřadnice obrazu počátku, tj. b 1 = 0, b 2 = 1, b 3 = 1. Rovnice afinního zobrazení tedy jsou x 1 = 2x 1 x 2 x 2 = x 1 + x 2 + 3x 3 1 x 3 = x 2 + 4x Příklad 2.3 Najděte analytické vyjádření afinního zobrazení f: A 3 A 3 vzhledem k afinní bázi P, e 1, e 2, e 3, známe-li obrazy vektorů báze ϕ(e 1 ) = ( 1, 0, 1), ϕ(e 2 ) = (0, 2, 1), ϕ(e 3 ) = (2, 3, 1), bod B = [ 1, 2, 1] a jeho obraz f(b) = [2, 5, 4]. Řešení: Ze zadání můžeme přímo napsat matici A = 0 2 1, jejíž řádky jsou souřadnice vektorů ϕ(e 1 ), ϕ(e 2 ), ϕ(e 3 ) v bázi P, e 1, e 2, e 3. K nalezení koeficientů a ij využijeme postup z předcházející úlohy. Zbývá nalézt čísla b j, k tomu potřebujeme najít obraz počátku P. Snadno lze zjistit, že P = B + e 1 2e 2 e 3 = (0, 0, 0), tedy f(p ) = f(b) + ϕ(e 1 ) 2 ϕ(e 2 ) ϕ(e 3 ) a po dosazení získáme f(p ) = [ 1, 4, 6], tedy b 1 = 1, b 2 = 4, b 3 = 6. Nyní už můžeme napsat rovnice hledaného zobrazení. x 1 = x 1 + 2x 3 1 x 2 = 2x 2 + 3x 3 4 x 3 = x 1 x 2 + x

12 Příklad 2.4 V afinní rovině A 2 je dán rovnoběžník ABCD. Vzhledem k vhodně zvolené afinní bázi v A 2 napište rovnice afinního zobrazení, ve kterém se bod A zobrazí do středu úsečky BC, bod B se zobrazí do středu úsečky AC a bod C se zobrazí do středu úsečky AB. Určete obraz bodu D. Řešení: Afinní bázi zvolme například A, B A, C A. V takto zvolené bázi mají vrcholy daného rovnoběžníku souřadnice A = [0, 0], B = [1, 0], C = [0, 1] a D = [1, 1]. Obrazy bodů A, B, C mají souřadnice f(a) = [ 1 2, 1 2 ] (úhlopříčky v rovnoběžníku se půlí, tedy jestliže f(a) leží ve středu úsečky BC, pak leží i ve středu úsečky AD), f(b) = [0, 1 2 ] a f(c) = [ 1 2, 0]. Bázový vektor (B A) se v asociovaném zobrazení zobrazí na vektor ϕ(b A) = (f(b) f(a)) = ( 1 2, 0). Bázový vektor (C A) se v asociovaném zobrazení zobrazí na vektor ϕ(c A) = (f(c) f(a)) = (0, 1 2 ). Jestliže už známe obrazy počátku i všech bázových vektorů, můžeme stejně jako v předcházejících úlohách přímo napsat rovnice afinního zobrazení. x 1 = 1 2 x x 2 = 1 2 x Nyní zbývá najít obraz bodu D. Po dosazení jeho souřadnic do rovnic afinního zobrazení získáváme f(d) = [0, 0], bod D se tedy zobrazí do bodu A. Příklad 2.5 Najděte analytické vyjádření afinního zobrazení f: A 3 A 3, jestliže jsou vzhledem k pevně zvolené afinní bázi dány vektory u 1 = ( 1, 1, 0), u 2 = (1, 0, 1), u 3 = (1, 1, 1) a jejich obrazy v asociovaném zobrazení ϕ(u 1 ) = ( 1, 1, 4), ϕ(u 2 ) = (1, 0, 3), ϕ(u 3 ) = (1, 1, 1) a dále je dán bod B = [0, 1, 1] a jeho obraz f(b) = [0, 1, 3]. Řešení: Jestliže x j = 3 a ij x i + b j, j = 1, 2, 3 i=1 jsou rovnice afinního zobrazení f: A 3 A 3, potom x j = 3 a ij x i, j = 1, 2, 3 i=1 jsou rovnice asociovaného zobrazení ϕ: V 3 V 3, kde x i, i = 1, 2, 3, jsou souřadnice libovolného vektoru x V v zobrazení ϕ (viz věta 2.1). 12

13 Do těchto rovnic dosadíme souřadnice vektorů u 1, u 2, u 3 a jejich obrazů ϕ(u 1 ), ϕ(u 2 ) a ϕ(u 3 ) a získáme následující soustavy rovnic. 1 = a 11 + a 21 1 = a 11 + a 31 1 = a 12 + a 22 0 = a 12 + a 32 4 = a 13 + a 23 3 = a 13 + a 33 1 = a 11 + a 21 + a 31 1 = a 12 + a 22 + a 32 1 = a 13 + a 23 + a 33 Tyto soustavy můžeme přepsat na tři soustavy tří rovnic o třech neznámých 1 = a 11 + a 21 1 = a 12 + a 22 1 = a 11 + a 31 0 = a 12 + a 32 1 = a 11 + a 21 + a 31 1 = a 12 + a 22 + a 32 4 = a 13 + a 23 3 = a 13 + a 33 1 = a 13 + a 23 + a 33, které mají společnou matici soustavy, jejíž řádky tvoří souřadnice vektorů u 1, u 2, u 3. Řešení všech soustav určíme Jordanovou metodou úplné eliminace. Protože mají všechny tři soustavy rovnic stejnou matici soustavy, nemusíme řešit každou zvlášt. Využijeme toho, že řádkové úpravy, kterými bychom upravili původní matici soustavy na jednotkovou matici, by byly u všech soustav stejné, a měnily by se jen hodnoty v rozšířené matici soustavy. Postup řešení můžeme zapsat v následujícím tvaru: Z poslední matice vidíme, že a 11 = 1, a 12 = 0, a 13 = 2, a 21 = 0, a 22 = 1, a 23 = 1, a 31 = 0, a 32 = 0 a a 33 = 1. Asociované zobrazení ϕ má tedy rovnice x 1 = x 1 x 2 = x 2 x 3 = 2x 1 + 2x 2 x 3. 13

14 Zbývá určit čísla b 1, b 2, b 3. Souřadnice bodu B a jeho obrazu B musí splňovat rovnice afinního zobrazení x 1 = x 1 + b 1 x 2 = x 2 + b 2 x 3 = 2x 1 + 2x 2 x 3 + b 3. Po dosazení získáváme b 1 = 0, b 2 = 0, b 3 = 2. Zobrazení f má tedy rovnice x 1 = x 1 x 2 = x 2 x 3 = 2x 1 + 2x 2 x Příklad 2.6 Najděte analytické vyjádření afinního zobrazení f: A 3 A 3, které bodům A = [1, 1, 1], B = [1, 2, 1], C = [3, 1, 0], D = [ 2, 0, 2] přiřadí po řadě body A = [1, 2, 4], B = [ 1, 2, 7], C = [10, 1, 0], D = [ 5, 6, 2]. Řešení: Všechny dvojice odpovídajících si bodů musí vyhovovat rovnicím x j = 3 a ij x i + b j, j = 1, 2, 3. i=1 Po jejich dosazení do těchto rovnic a po vhodném uspořádání získáme tři soustavy čtyř rovnic o čtyřech neznámých 1 = a 11 + a 21 + a 31 + b 1 1 = a a 21 + a 31 + b 1 10 = 3a 11 a 21 + b 1 5 = 2a a 31 + b 1 2 = a 12 + a 22 + a 32 + b 2 2 = a a 22 + a 32 + b 2 1 = 3a 12 a 22 + b 2 6 = 2a a 32 + b 2 4 = a 13 + a 23 + a 33 + b 3 7 = a a 23 + a 33 + b 3 0 = 3a 13 a 21 + b 3 2 = 2a a 33 + b 3. 14

15 Stejně jako v předchozím příkladu mají všechny soustavy stejnou matici soustavy, proto dále použijeme stejný postup řešení Z upravené matice vyčteme hodnoty a 11 = 3, a 12 = 1, a 13 = 1, a 21 = 2, a 22 = 0, a 23 = 3, a 31 = 1, a 32 = 1, a 33 = 0, b 1 = 1, b 2 = 2 a b 3 = 0, hledané rovnice afinního zobrazení tedy jsou x 1 = 3x 1 2x 2 + x 3 1 x 2 = x 1 + x x 3 = x 1 + 3x 2. 15

16 Kapitola 4 Samodružné body a samodružné směry Definice 3.1 Necht f: A A je afinní zobrazení. Bod X A se nazývá samodružný bod afinního zobrazení f, jestliže f(x) = X. Směr přímky p afinního prostoru A nazveme samodružným, jestliže f(p) p. Věta 3.1 Necht f: A n A n je afinní zobrazení, jehož analytické vyjádření je dáno rovnicemi x j = n a ij x i + b j, j = 1, 2,..., n. i=1 Potom souřadnice samodružných bodů vyhovují soustavě rovnic (a 11 1)x 1 + a 21 x a n1 x n + b 1 = 0 a 12 x 1 + (a 22 1)x a n2 x 2 + b 2 = a 1n x 1 + a 2n x (a nn 1)x n + b n = 0. Definice 3.2 Necht ϕ je asociované zobrazení k afinnímu zobrazení f. Nenulový vektor u se nazývá vlastní vektor zobrazení ϕ, jestliže existuje reálné číslo λ takové, že ϕ(u) = λu. Číslo λ se pak nazývá vlastní číslo příslušné vektoru u. Věta 3.2 Necht f je afinní zobrazení a ϕ jeho asociované zobrazení. Směr určený nenulovým vektorem u je samodružný právě tehdy, když u je vlastní vektor a jemu příslušné vlastní číslo λ 0. 16

17 Věta 3.3 Necht f: A n A n je afinní zobrazení a ϕ jeho asociované zobrazení, jehož analytické vyjádření je dáno rovnicemi n u j = a ij u i, j = 1, 2,..., n. i=1 Pak pro souřadnice vlastního vektoru u a k němu příslušné vlastní číslo λ platí: n λu j = a ij u i, j = 1, 2,..., n. i=1 Věta 3.4 Homogenní soustava lineárních rovnic (a 11 λ)u 1 + a 21 u a n1 u n = 0 a 12 u 1 + (a 22 λ)u a n2 u n = a 1n u 1 + a 2n u (a nn λ)u n = 0 má netriviální řešení právě tehdy, když (a 11 λ)u 1 + a 21 u a n1 u n a 12 u 1 + (a 22 λ)u a n2 u n a 1n u 1 + a 2n u (a nn λ)u n = 0. Tuto rovnici nazýváme charakteristickou rovnicí zobrazení ϕ. Věta 3.5 Ke každému nenulovému kořenu λ 0 charakteristické rovnice najdeme aspoň jedno netriviální řešení u 1, u 2,..., u n, a tím i nenulový vektor u, pro který platí ϕ(u) = λ 0 u. Příklad 3.1 Určete samodružné body a samodružné směry afinního zobrazení f afinní roviny do sebe, které je dáno rovnicemi x 1 = 3x 1 x x 2 = 3x Řešení: Pro souřadnice samodružného bodu X = [x 1, x 2 ] musí platit (viz věta 3.1) 0 = 2x 1 x = 2x

18 Ze druhé rovnice vidíme, že druhá souřadnice samodružného bodu x 2 = 2 a po dosazení do první rovnice dostáváme x 1 = 4. Existuje tedy jediný samodružný bod X = [ 4, 2]. Směr určený vektorem u = (u 1, u 2 ) je samodružný, jestliže (podle věty 3.3) existuje nenulové číslo λ takové, že λu 1 = 3u 1 u 2 λu 2 = 3u 2. Určíme kořeny charakteristické rovnice, která má tvar (viz věta 3.4) 3 λ λ = 0. Tedy (3 λ) 2 = 0, tato rovnice má jeden dvojnásobný kořen λ 1,2 = 3. Po jeho dosazení do soustavy rovnic získáváme u 2 = 0, u 1 je libovolné reálné číslo různé od nuly (vektor u musí být nenulový). Tedy vlastní vektor je libovolný násobek vektoru (1, 0) a směr [(1, 0)] je v zobrazení f samodružný. Příklad 3.2 Určete samodružné body a směry afinního zobrazení f, které je dáno rovnicemi x 1 = 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 x 2 = 2x 1 + x 2 4 x 3 = x 1 + x 3 2. Řešení: Bod X = [x 1, x 2, x 3 ] je samodružný bod afinního zobrazení f, jestliže pro jeho souřadnice platí soustava rovnic 0 = x 1 + 2x 2 + 2x 3 0 = 2x = x 1 2. Ze druhé a třetí rovnice vidíme, že x 1 = 2, po dosazení do první rovnice a po vydělení dvěma získáme rovnici 1 + x 2 + x 3 = 0. Samodružné body tedy vyplní přímku, jejíž parametrické vyjádření je x 1 = 2, x 2 = 1 t, x 3 = t. Pro souřadnice vektoru, který určuje samodružný směr, musí platit soustava rovnic λu 1 = 2u 1 + 2u 2 + 2u 3 λu 2 = 2u 1 + u 2 λu 3 = u 1 + u 3. 18

19 Charakteristická rovnice má tvar 2 λ λ λ = 0. Rovnici vyřešíme (2 λ)(1 λ) 2 2(1 λ) 4(1 λ) = 0 (1 λ)[(2 λ)(1 λ) 6)] = 0 (1 λ)(λ 2 3λ 4) = 0 (1 λ)(λ + 1)(λ 4) = 0 a dostáváme kořeny λ 1 = 1, λ 2 = 1, λ 3 = 4. Dosazením λ 1 = 1 do výše uvedené soustavy dostaneme soustavu 0 = u 1 + 2u 2 + 2u 3 0 = 2u = + u 3. Tedy pro všechna řešení této soustavy musí platit u 1 = 0, u 2 = u 3. Vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ 1 = 1 je libovolný násobek vektoru (0, 1, 1), tedy směr [(0, 1, 1)] je samodružný. Obdobně pro λ 2 = 1 dostaneme soustavu 0 = 3u 1 + 2u 2 + 2u 3 0 = 2u 1 + 2u 2 0 = u 1 + 2u 3. Po vyřešení zjistíme, že pro u 1, u 2, u 3 musí platit u 2 = 2u 3 a u 1 = 2u 3, dostáváme tedy samodružný směr [( 2, 2, 1)]. Nakonec pro λ 3 = 4 dostaneme soustavu 0 = 2u 1 + 2u 2 + 2u 3 0 = 2u 1 3u 2 0 = u 1 3u 3. Opět vyřešíme a zjistíme, že u 2 = 2u 3 a u 1 = 3u 3, a dostáváme třetí samodružný směr [(3, 2, 1)]. Příklad 3.3 Určete samodružné body a směry afinního zobrazení f, které je dáno rovnicemi x 1 = 2x 1 1 x 2 = 2x x x 3 = x

20 Řešení: Bod X = [x 1, x 2, x 3 ] je samodružný bod afinního zobrazení f, platí-li pro jeho souřadnice soustava rovnic 0 = x = x x = 2x Z první rovnice vidíme, že x 1 = 1, ze třetí rovnice x 3 = 2 a po dosazení do druhé rovnice dostáváme x 2 = 0. Existuje jediný samodružný bod X = [1, 0, 2]. Pro souřadnice vektoru, který určuje samodružný směr, musí platit soustava rovnic λu 1 = 2u 1 λu 2 = 2u u 3 λu 3 = u 3. Charakteristická rovnice má tvar 2 λ λ λ = 0 a kořeny λ 1,2 = 2 (dvojnásobný kořen) a λ 3 = 1. Pro λ 1,2 pak dostaneme soustavu rovnic 0 = 0u 1 0 = 0u u 3 0 = 3u 3 pro souřadnice vlastních vektorů. Jejím řešením jsou všechny uspořádané trojice (u 1, u 2, u 3 ), pro které platí u 3 = 0, tj. všechny nenulové vektory vektorového prostoru [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] určují samodružné směry. Vlastnímu číslu λ 3 = 1 odpovídá soustava rovnic 0 = 3u 1 0 = 3u u 3 0 = 0u 3. Odtud plyne, že u 1 = 0 a u 3 = 2u 2, tedy vlastní vektor je libovolný násobek vektoru (0, 1, 2) a směr [(0, 1, 2)] je samodružný. 20

21 Příklad 3.4 Určete samodružné body a směry afinního zobrazení f, které je dáno rovnicemi x 1 = x x 2 = x x 3 = x 3 2. Řešení: Pro souřadnice samodružných bodů musí platit soustava rovnic 0 = 3 0 = 1 0 = 2. Tato soustava ale nemá žádné řešení, proto neexistují ani žádné samodružné body. Pro souřadnice vektore určujícího samodružný směr musí platit soustava rovnic λu 1 = u 1 λu 2 = u 2 λu 3 = u 3. Charakteristická rovnice má tvar 1 λ λ λ a jediný (trojnásobný) kořen λ 1,2,3 = 1. Po dosazení za λ = 1 do soustavy zjišt ujeme, že jejím řešením je libovolný vektor, tedy že všechny směry jsou samodružné. Příklad 3.5 Napište rovnice afinního zobrazení, jestliže víte, že bod [1, 0, 0] je samodružný, vektory ( 3, 0, 1) a (1, 1, 0) jsou vlastními vektory asociovaného zobrazení, oba odpovídají vlastnímu číslu 1, a vektor (2, 1, 1) se zobrazí do vektoru opačného. Řešení: Nejprve určíme rovnice asociovaného zobrazení, které mají tvar = 0 x 1 = a 11 x 1 + a 21 x 2 + a 31 x 3 x 2 = a 12 x 1 + a 22 x 2 + a 32 x 3 x 3 = a 13 x 1 + a 23 x 2 + a 33 x 3. Vektor ( 3, 0, 1) se zobrazí na vektor stejný, proto platí 3 = 3a 11 + a 31 0 = 3a 12 + a 32 1 = 3a 13 + a

22 Stejně tak vektor (1, 1, 0), tedy. 1 = a 11 + a 21 1 = a 12 + a 22 0 = a 13 + a 23. Aby se vektor (2, 1, 1) zobrazil na vektor opačný, musí platit 2 = 2a 11 + a 21 a 31 1 = 2a 12 + a 22 a 32 1 = 2a 13 + a 23 a 33. Získali jsme tedy tři soustavy třech rovnic o devíti neznámých, které můžeme uspořádat na tři soustavy třech rovnic o třech neznámých, které budou mít navíc stejnou matici soustavy. Tyto soustavy vyřešíme a získáváme rovnice asociovaného zobrazení x 1 = 3x 1 2x 2 + 6x 3 x 2 = x 1 + 3x 3 x 3 = x 1 + x 2 2x 3. Rovnice hledaného afinního zobrazení mají tvar x 1 = 3x 1 2x 2 + 6x 3 + b 1 x 2 = x 1 + 3x 3 + b 2 x 3 = x 1 + x 2 2x 3 + b 3. Protože bod [1, 0, 0] je samodružný, získáváme b 1 = 2, b 2 = 1, b 3 = 1. Hledané afinní zobrazení má tedy rovnice x 1 = 3x 1 2x 2 + 6x 3 2 x 2 = x 1 + 3x 3 1 x 3 = x 1 + x 2 2x

23 Kapitola 5 Homotetické transformace Definice 4.1 Vzájemně jednoznačné afinní zobrazení afinního prostoru A na sebe nazýváme afinní transformace prostoru A nebo stručně afinitou prostoru A. Definice 4.2 Afinitu f afinního prostoru A, pro kterou platí ϕ(u) = λu (λ 0) pro každý vektor u ze zaměření V prostoru A, nazýváme homotetická transformace. Definice 4.3 Homotetickou transformaci, při níž každý bod je samodružný, nazýváme identita a značíme id. Homotetickou transformaci, pro níž λ = 1, nazýváme posunutí (translace). Homotetickou transformaci, pro níž λ 1, nazýváme stejnolehlost. (Speciálně pro λ = 1 se zobrazení nazývá středová souměrnost.) Věta 4.1 Identita má vyjádření f(x) = X. Věta 4.2 Translace, která není identitou, má vyjádření f(x) = X +b, kde b je nenulový vektor posunutí, a nemá žádný samodružný bod. Věta 4.3 Stejnolehlost afinního prostoru A má právě jeden samodružný bod S, který nazýváme střed stejnolehlosti. Stejnolehlost má vyjádření f(x) = S + λ(x S), resp. f(x) = f(b) + λ(x B), kde B je libovolný bod afinního prostoru A. 23

24 Příklad 4.1 Afinní zobrazení je dáno rovnicemi x 1 = 4x x 1 = x a) x 2 = 4x 2 3 c) x 2 = x x 3 = 4x 3 + 1, x 3 = x 3 1, x 1 = 2x 1 3 x 1 = x 1 b) x 2 = 3x 2 1 d) x 2 = x 2 x 3 = 2x 3 + 2, x 3 = x 3. Rozhodněte, zda je dané zobrazení homotetická transformace. Pokud ano, určete, zda je to stejnolehlost, posunutí nebo identita. Řešení: Aby bylo zobrazení homotetickou transformací, musí podle definice 4.2 pro každý vektor u platit ϕ(u) = λu (λ 0), tedy každý směr musí být samodružný. Dále podle počtu samodružných bodů rozlišíme, o kterou homotetickou transformaci se jedná. V případě, že je samodružný každý bod, jde o identitu. Pokud je samodružný právě jeden bod, jde o stejnolehlost. Pokud není samodružný žádný bod, jedná se o posunutí. a) Každý směr je samodružný - je to homotetická transformace. Existuje jen jeden samodružný bod [ 7, 1, 1 ], jedná se tedy o stejnolehlost s 3 3 koeficientem λ = 4 a středem S = [ 7, 1, 1]. 3 3 b) Samodružné směry určují nenulové vektory vektorových prostorů [(0, 1, 0)] (pro vlastní číslo λ = 3) a [(1, 0, 0), (0, 0, 1)] (pro vlastní číslo λ = 2). Ale např. vektor (1, 1, 1) neurčuje samodružný směr, nejedná se tedy o homotetickou transformaci. c) Každý směr je samodružný - je to homotetická transformace. Žádný bod není samodružný, jedná se tedy o posunutí o vektor (1, 2, 1). d) Každý směr je samodružný a každý bod je samodružný. Jedná se o homotetickou transformaci - identitu. Příklad 4.2 Napište rovnice stejnolehlosti h(s, λ) v A 3, která zobrazí bod B = [0, 3, 2] do bodu C = [ 1, 7, 7] a má koeficient λ = 2. Určete souřadnice středu stejnolehlosti h. Řešení: Stejnolehlost má podle věty 4.3 vyjádření f(x) = S + λ(x S), 24

25 v našem případě tedy C = S + λ(b S). Po dosazení souřadnic bodů B, C a čísla λ získáváme 1 = s 1 + 2( s 1 ) 7 = s 2 + 2(3 s 2 ) 7 = s 3 + 2( 2 s 3 ). Z těchto rovnic už přímo získáváme souřadnice středu S = [1, 1, 3]. Rovnice stejnolehlosti h tedy jsou x 1 = 1 + 2(x 1 1) = 2x 1 1 x 2 = 1 + 2(x 2 + 1) = 2x x 3 = 3 + 2(x 3 3) = 2x 3 3. Příklad 4.3 Napište analytické vyjádření, koeficient a souřadnice středu všech stejnolehlostí, v kterých se úsečka AB zobrazí na úsečku CD. A = [1, 0], B = [0, 1], C = [4, 3] a D = [6, d]. Řešení: Nejprve musíme určit druhou souřadnici bodu D. Podle definice 4.2 se vektor B A v libovolné stejnolehlosti zobrazí na vektor λ(b A), tedy úsečka AB se zobrazí na úsečku s ní rovnoběžnou. Musí tedy platit AB CD, to nastane jen v případě, kdy d = 1. Obrázek napovídá, že by měly existovat dvě stejnolehlosti, ve kterých se úsečka AB zobrazí na úsečku CD. Mohou tedy nastat následující dva případy. 25

26 (i) A C, B D Po dosazení souřadnic bodů do rovnic stejnolejlosti z věty 4.3 vypočteme nejprve koeficient λ 1 stejnolehlosti h 1. 4 = 6 + λ 1 (1 0) 3 = 1 + λ 1 (0 1) Z obou rovnic vychází λ 1 = 2. Nyní zjistíme ještě souřadnice středu S 1 stejnolehlosti h 1, opět z rovnic z věty = s 11 2(1 s 11 ) 3 = s 12 2(0 s 12 ) Odtud vypočteme, že s 11 = 2 a s 12 = 1, tedy S 1 = [2, 1]. Nyní už můžeme napsat rovnice stejnolehlosti h 1 : x 1 = 2 2(x 1 2) = 2x x 2 = 1 2(x 2 1) = 2x (ii) A D, B C Analogickým způsobem zjistíme, že λ 2 = 2, S 2 = [ 4, 1] a rovnice stejnolehlosti h 2 jsou x 1 = 2x x 2 = 2x Příklad 4.4 Jsou dány kružnice k 1 : (x 2) 2 +y 2 = 1 a k 2 : (x 6) 2 +(y 2) 2 = 9. Napište rovnice tečen společných oběma kružnicím. Řešení: Platí věta, že každé dvě kružnice jsou stejnolehlé. Dále považujme kružnici k 1 za vzor a kružnici k 2 za obraz kružnice k 1. Střed kružnce O 1 = [2, 0] se zobrazí do středu kružnice O 2 = [6, 2]. Protože poloměr kružnice k 1 je r 1 = 1 a poloměr kružnice k 2 je r 2 = 3, je koeficient stejnolehlosti λ 1 = 3 (v případě, kdy střed S neleží na úsečce O 1 O 2 ) nebo λ 2 = 3 (v případě, kdy střed S leží na úsečce O 1 O 2 ). Kružnice jsou tedy stejnolehlé ve dvou stejnolehlostech h 1 (S 1, 3) a h 2 (S 2, 3). Nyní zjistíme souřadnice středů stejnolehlostí. Po dosazení souřadnic bodů O 1 a O 2 a koeficientu λ 1 do rovnic stejnolehlosti z věty 4.3, dostaneme souřadnice středu S 1 = [s 11, s 12 ] stejnolehlosti h 1. 6 = s (2 s 11 ) 2 = s ( s 12 ) 26

27 Střed má tedy souřadnice S 1 = [0, 1]. Analogicky bychom zjistili souřadnice středu S 2 = [3, 1]. 2 Tečna společná oběma kružnicím musí procházet středem stejnolehlosti, musíme tedy zjistit, v jaké poloze se vzhledem ke kružnicím k 1, k 2 středy S 1 a S 2 nacházejí. Uvědomme si, že vzájemná poloha středu a kružnice k 1 musí být stejná, jako vzájemná poloha středu a kružnice k 2. Pokud se střed nachází vně obou kružnic, existují dvě tečny, které jím procházejí. Pokud leží na kružnici k 1 (a tedy i na kružnici k 2 ), existuje jen jedna taková tečna. A pokud leží uvnitř kružnice k 1 (a tedy i uvnitř kružnice k 2 ), hledaná tečna neexistuje. Střed S 1 leží vně obou kružnic (4 + 1 > 1, > 9), i střed S 2 leží vně obou kružnic (1 + 1 > 1, > 9). Budou tedy existovat celkem čtyři tečny 4 4 společné oběma kružnicím. Polára bodu S 1 vzhledem ke kružnici k 1 má rovnici y = 2x + 3, body dotyku mají tedy souřadnice T 1 = [2, 1] a T 2 = [ 6, 3]. 5 5 Tečny procházející středem S 1 jsou t 1 = S 1 T 1 : y = 1, a t 2 = S 1 T 2 : y = 4x 1. 3 Analogicky bychom zjistili, že tečny procházející středem S 2 mají rovnice t 3 : x = 3 a t 4 : y = 3x

28 Kapitola 6 Základní afinity 6.1 Definice a analytické vyjádření Věta Afinní zobrazení f afinního prostoru do sebe, při kterém jsou všechny body nadroviny ϱ samodružné, je jednoznačně určeno, známe-li kromě nadroviny ϱ ještě obraz f(b) jednoho bodu B / ϱ. Přitom mohou nastat tyto případy: 1. f(b) = B, zobrazení f je pak identita na prostoru A. 2. f(b) ϱ, zobrazení f je pak projekce prostoru A na nadrovinu ϱ ve směru vektoru f(b) B. 3. f(b) B, f(b) / ϱ a přímka Bf(B) je s nadrovinou ϱ různoběžná, B 0 je jejich průsečík. Pak jsou všechny přímky Xf(X) (X / ϱ) vzájemně rovnoběžné. 4. f(b) B, f(b) / ϱ a přímka Bf(B) je s nardovinou ϱ rovnoběžná. Pak jsou všechny přímky Xf(X) (X / ϱ) vzájemně rovnoběžné. Definice Afinity afinního prostoru popsané ve větě 5.1 v bodech 3 a 4 se nazývají základní afinity. Směr generovaný vektorem f(x) X z téže věty se nazývá směr afinity. Pokud tento směr patří do zaměření samodružné nadroviny ϱ, nazýváme tuto afinitu elace (bod 4 z předcházející věty). Poznámka Pro A 2 nazýváme základní afinitu osovou afinitou, nadrovinu samodružných bodů osou afinity. 28

29 Věta Necht f je základní afinita prostoru A n určená nadrovinou samodružných bodů ϱ: c 1 x c n x n + c = 0 a dvojicí odpovídajících si bodů B = [b 1,..., b n ] a f(b) = [b 1,..., b n], f(b) B. Pak afinita f má analytické vyjádření x i = x i +α i (c 1 x c n x n +c) 1, kde α i = i = 1,..., n. b i b i c 1 b c nb n+c, Definice Bud f afinní zobrazení prostoru A n do sebe, jehož analytické vyjádření je dáno rovnicemi n x j = a ij x i + b j, j = 1, 2,..., m. i=1 Modulem afinního zobrazení f nazveme determinant matice (a ij ). Označíme jej det(a ij ) = D f. Věta Afinní zobrazení f je afinita, právě tehdy když D f 0. Příklad Určete rovnice rovnoběžného promítání f afinního prostoru A 3 do roviny ϱ: x 1 x 2 x = 0 ve směru vektoru s = (4, 2, 3). Řešení: Nejprve najdeme rovnice asociovaného zobrazení ϕ, ve kterém jsou všechny vektory x ze zaměření roviny ϱ samodružné, tj. ϕ(x) = x 2, x V[ϱ], a vektor směru promítání se zobrazí na nulový vektor, tj. ϕ(s) = o. Zvolíme dva lineárně nezávislé vektory u, v ze zaměření roviny ϱ, např. u = (1, 1, 0), v = (1, 0, 1). Vektor s do zaměření roviny ϱ nepatří, proto jsou vektory u, v a s lineárně nezávislé a platí ϕ(u) = u, ϕ(v) = v a ϕ(s) = o. Postupem popsaným v příkladu 2.5 nalezneme rovnice asociovaného zobrazení ϕ: x 1 = 5x 1 4x 2 4x 3 x 2 = 2x 1 x 2 2x 3 x 3 = 3x 1 3x 2 2x 3. K určení rovnic zobrazení f stačí znát už jen jeden pár odpovídajících si bodů. Zvolme tedy body B = [0, 1, 0], který leží v rovině ϱ. Potom f(b) = B = [0, 1, 0]. Musí tedy platit 0 = b 1 1 = b 2 0 = b 3. 1 Analytické vyjádření v tomto tvaru mají všechny afinity uvedené ve větě My v této práci budeme tento tvar používat jen pro základní afinity, proto jej pro ostatní afinity z věty neuvádíme. 2 Obecně ϕ(x) = λx. V našem případě λ = 1, protože vektor x náleží do zaměření roviny ϱ samodružných bodů. 29

30 Odtud dostaneme b 1 = 4, b 2 = 2 a b 3 = 3. Hledané zobrazení f má tedy rovnice x 1 = 5x 1 4x 2 4x x 2 = 2x 1 x 2 2x x 3 = 3x 1 2x 2 2x Příklad Osová afinita f v afinním prostoru A 2 je dána osou o samodružných bodů a dvojicí odpovídajících si bodů B, f(b), B f(b), B, f(b) / o. Najděte konstrukčně obraz f(x) libovolného bodu X A 2. Řešení: Rozlišíme následující dva případy: (i) Přímka BX je různoběžná s osou o: Označme Y průsečík přímky BX s osou o. Protože X BY, musí platit f(x) f(b)y. Navíc, protože afinní zobrazení zachovává dělicí poměr bodů, musí být přímky Bf(B), Xf(X) rovnoběžné. (ii) Přímka BX je rovnoběžná s osou o: Stejně jako v předchozím případě musí být přímky Bf(B), Xf(X) rovnoběžné. Dále, protože přímka BX je rovnoběžná s osou o, je i přímka f(b)f(x) rovnoběžná s osou o. Příklad Vzhledem k dané afinní soustavě souřadnic v A 3 určete rovnice základní afinity f, která je určená rovinou samodružných bodů ϱ: x 1 + 2x 2 x 3 1 = 0 a dvojicí odpovídajících si bodů P = [1, 1, 1] a f(p ) = [3, 0, 1]. 30

31 Řešení: 1. způsob: Podobně jako v předcházející úloze nejprve zjistíme rovnice asociovaného zobrazení ϕ. K tomu zvolíme dva libovolné lineárně nezávislé vektory ze zaměření roviny ϱ, např. u = (1, 0, 1) a v = (0, 1, 2), potom ϕ(u) = u a ϕ(v) = v (protože λ = 1). Dále zvolíme libovolný bod Q ϱ, např. Q = f(q) = [1, 1, 2]. Za vektor w vezmeme w = P Q = (0, 2, 3), vektor w nepatří do zaměření roviny ϱ. Obraz vektoru w v asociovaném zobrazení je ϕ(w) = ϕ(p Q) = f(p ) f(q) = (2, 1, 3). Lineárně nezávislými vektory u, v, w a jejich obrazy ϕ(u), ϕ(v), ϕ(w) je asociované zobrazení jednoznačně určeno. Postup, jak nalézt jeho rovnice, je uveden v příkladu 2.5. Zobrazení ϕ má tedy rovnice x 1 = x 4x 2 + 2x 3 x 2 = x x 2 + x 3 x 3 = x 3. K určení rovnic zobrazení f pak stačí už jen jeden pár odpovídajících si bodů P, f(p ). Jejich souřadnice dosadíme do rovnic 3 = b 1 0 = b 2 1 = 1 + b 3, a dostáváme b 1 = 2, b 2 = 1 a b 3 = 0. Rovnice hledané základní afinity f tedy jsou x 1 = x 4x 2 + 2x x 2 = x x 2 + x x 3 = x 3. 31

32 2. způsob: Základní afinita má podle věty analytické vyjádření x i = b x i +α i (c 1 x c n x n +c), kde α i = i b i c 1 b c nb n+c, i = 1,..., n. Dosazením souřadnic bodů P, f(p ) a rovnice roviny samodružných bodů ϱ do těchto rovnic získáme vyjádření hledané základní afinity: x 1 = x 1 2(x 1 + 2x 2 x 3 1) = x 1 4x 2 + 2x x 2 = x 2 1(x 1 + 2x 2 x 3 1) = x 1 x 2 + x x 3 = x 3 + 0(x 1 + 2x 2 x 3 1) = x 3. Příklad Rozhodněte, zda je základní afinitou afinní zobrazení f, jehož analytické vyjádření je vzhledem k pevně zvolené afinní soustavě souřadnic dáno rovnicemi a) d). x 1 = x 2 x a) x 2 = 2x 1 + 3x 2 + 2x 3 2 x 3 = x 1 x x 1 = 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 b) x 2 = 2x 1 + x 2 4 x 3 = x 1 + x 3 2 x 1 = 2x 2 + x 3 5 c) x 2 = 2x 1 3x 2 + 2x 3 10 x 3 = 4x 1 8x 2 + 5x 3 20 x 1 = 4x 1 6x 2 3x d) x 2 = x 1 x 2 x x 3 = x 1 2x Řešení: Aby bylo afinní zobrazení f základní afinitou, musí existovat nadrovina samodružných bodů ϱ a dále se musí jednat o afinní transformaci, tedy D f 0. Základní afinita je elace, právě tehdy když pro libovolný bod B / ϱ a jeho obraz f(b) náleží vektor f(b)-b do zaměření nadroviny ϱ. a) Existuje rovina samodružných bodů ϱ: x 1 + x 2 + x 3 = 1 modul afinního zobrazení D f = =

33 Jedná se tedy o základní afinitu. Dále zvolme např. bod B = [0, 0, 0] / ϱ, pak f(b) = [0, 2, 1]. Vektor f(b) B = (0, 2, 1) nepatří do zaměření roviny ϱ ( ), nejedná se tedy o elaci. b) Existuje přímka samodružných bodů p: x 1 = 2, x 2 = 1 t, x 3 = t. Zobrazení tedy není základní afinita, bez ohledu na to, zda je to afinní transformace. c) Existuje rovina samodružných bodů ϱ: x 1 +2x 2 x 3 = 5, modul afinního zobrazení D f = = Dané zobrazení tedy není základní afinitou, ale projekcí afinního prostoru do roviny ϱ. Směr projekce je dán libovolným vektorem f(b) B, B / ϱ, např. B = [0, 0, 0], f(b) = [ 5, 10, 20], směr projekce je tedy určen libovolným nenulovým k-násobkem vektoru ( 5, 10, 20). d) Existuje rovina samodružných bodů ϱ: x 1 2x 2 x 3 = 2, modul afinního zobrazení D f = = Zobrazení je základní afinita. Zvolíme libovolný bod B / ϱ, např. B = [0, 0, 0], pak f(b) = [6, 2, 2]. Vektor f(b) B = (6, 2, 2) náleží do zaměření roviny ϱ (6 4 2 = 0), jedná se tedy o elaci. 6.2 Rozklad na základní afinity Definice Jsou dána zobrazení f: A B a g: B C. Složeným zobrazením nazýváme zobrazení g f, které vzniká postupným zobrazením těchto zobrazení. g f(a) = g(f(a)) Věta Necht A, A, A jsou afinní prostory a f 1 : A A, f 2 : A A jsou afinní zobrazení. Pak složené zobrazení f = f 2 f 1 : A A je afinní zobrazení a jeho asociované zobrazení ϕ = ϕ 2 ϕ 1, kde ϕ 1, ϕ 2 jsou asociovaná zobrazení k f 1 a f 2. 33

34 Věta Ke každé afinitě f afinního prostoru A n existuje k základních afinit f 1, f 2,..., f k takových, že f je jejich složením a k n + 1. U této věty je uveden i důkaz, protože je v něm popsán postup nalezení rozkladu afinity na základní afinity. Důkaz: Zvolme n + 1 lineárně nezávislých bodů P 0, P 1,..., P n v A n a nadrovinu ϱ 1, která neobsahuje body P 0 a f(p 0 ). Pak existuje základní afinita f 1, která zobrazí bod P 0 do bodu f(p 0 ) a má nadrovinu samodružných bodů ϱ 1. Body P i, i = 1, 2,..., n se zobrazí po řadě do bodů f 1 (P i ), i = 1, 2,..., n, označme f 1 (P i ) = P 1i, i = 1, 2,..., n. Body f(p 0 ), P 11, P 12,..., P 1n neleží v žádné nadrovině, protože jsou obrazy lineárně nezávislých bodů v afinitě f 1. Zvolme dále nadrovinu ϱ 2, která neobsahuje body P 1i a f(p 1 ), ale prochází bodem f(p 0 ), a základní afinitu f 2, ve které se bod P 11 zobrazí do bodu f(p 1 ) a která má nadrovinu samodružných bodů ϱ 2. Označme f 2 (P 1i ) = P 2i, i = 2, 3,..., n. Dál pokračujme analogicky, zvolíme nadrovinu ϱ 3, která prochází body f(p 0 ) a f(p 1 ) a neprochází body P 22 a f(p 2. Za f 3 zvolíme základní afinitu s nadrovinou samodružných bodů ϱ 3, která zobrazí bod P 22 do bodu f(p 2 ). Tak postupujeme dále až k základní afinitě f n+1. Složená afinita f n+1 f n... f 2 f 1 zobrazuje body P i do bodů f(p i ), i = 0, 1,..., n, je tedy totožná s afinitou f. Některý krok lze případně v této konstrukci vynechat. Je-li někrerý z bodů P i, i = 0, 1,..., n samodružný, tedy P i = f(p i ), můžeme v rozkladu vynechat základní afinitu f i+1. Afinita f je pak složena z méně než n + 1 základních afinit. Celý postup je zobrazen v následujícím schématu: P 0 P 1 P 2... P n 1 P n f 1 f(p 0 ) P 11 P P 1,n 1 P 1n f 2 f(p 0 ) f(p 1 ) P P 2,n 1 P 2n f 3 f(p 0 ) f(p 1 ) f(p 2 )... P 3,n 1 P 3n..... f(p 0 ) f(p 1 ) f(p 2 )... f(p n 1 ) P nn f n+1 f(p 0 ) f(p 1 ) f(p 2 )... f(p n 1 ) f(p n ), v každém řádku jsou body lineárně nezávislé. 34

35 Příklad V afinní rovině A 2 má afinita f vzhledem k zvolené afinní soustavě souřadnic rovnice Rozložte afinitu f na osové afinity. x 1 = 2x 1 x x 2 = x 1 + 2x řešení: Zvolíme tři lineárně nezávislé body, např. P 0 = [0, 0], P 1 = [1, 0], P 2 = [0, 1], jejich obrazy v afinitě f jsou body P 0 = [1, 3], P 1 = [3, 4], P 2 = [0, 5]. Osovou afinitu f 1 zvolíme tak, aby se bod P 0 zobrazil do bodu P 0, osa o 1 této afinity nesmí procházet body P 0, P 0, jinak ji můžeme volit libovolně. Zvolme za osu např. o 1 : x 1 x 2 2 = 0. Osová afinita f 1 je tedy určena osou o 1 samodružných bodů a dvojicí odpovídajících si bodů P 0, P 0, její rovnice jsou: x 1 = 1 2 x x x 2 = 3 2 x x Bod P 1 se v osové afinitě f 1 zobrazí do bodu P 11 = [ 3 2, 3 2 ], bod P 2 do bodu P 12 = [ 3 2, 11 2 ]. Osovou afinitu f 2 zvolíme tak, aby se bod P 11 zobrazil do bodu P 1 a aby bod P 0 byl samodružný. Osa o 2 této afinity nesmí procházet body P 11 a P 1 a musí procházet bodem P 0. Zvolme tedy osu např. o 2 : 3x 1 x 2 = 0. Osová afinita f 2 je tedy určena osou o 2 samodružných bodů a dvojicí odpovídajících si bodů P 11, P 1, její rovnice jsou: x 1 = 5 2 x x 2 x 2 = 5 3 x x 2. Bod P 12 se v této afinitě zobrazí do bodu P 22 = [1, 14 3 ]. Výsledný rozklad afinity f na osové afinity je f = f 3 f 2 f 1. Analogicky zvolíme i třetí osovou afinitu f 3. Bod P 22 se má zobrazit do bodu P 2, body P 0 a P 1 musí být samodružné. Osa o 3 samodružných bodů je tedy jednoznačně určena body P 0 a P 1 a má rovnici x 1 2x 2 +5 = 0. Rovnice osové afinity f 3 tedy jsou: x 1 = x x x 2 = 1 10 x x O správnosti rozkladu se můžeme přesvědčit zkouškou - složením afinit f 1, f 2, f 3 dostaneme původní afinitu. 35

36 Jak dále uvidíme, uvedené řešení není jediné. Osy o 1, o 2 osových afinit f 1, f 2 nejsou určeny jednoznačně, pouze nesmí procházet body P 0, P 0, resp. P 1, P 1, osa o 2 musí procházet bodem P 0. Nejsou tedy jednoznačně určeny ani osové anifity f 1, f 2. Osa o 3 prochází body P 0, P 1, osová afinita f 3 je tedy dána jednoznačně a závisí na volbě přechozích osových afinit f 1 a f řešení: Toto řešení se od toho prvního nijak výrazně neliší, budeme jen jinak volit osy základních afinit. Opět zvolíme tři lineárně nezávislé body P 0 = [0, 0], P 1 = [1, 0], P 2 = [0, 1], jejich obrazy v afinitě f jsou body P 0 = [1, 3], P 1 = [3, 4], P 2 = [0, 5]. Osovou afinitu f 1 opět zvolíme tak, aby se bod P 0 zobrazil do bodu P 0, za osu o 1 tektokrát zvolíme přímku P 1 P 2. Tato volba je v našem případě přípustná, protože osa o 1 má rovnici x 1 + x 2 1 a neprochází tedy bodem P 0 (bodem P 0 procházet ani nemůže, protože body 36

37 P 0, P 1, P 2 jsou lineárně nezávislé). Rovnice osové afinity f 1 jsou: x 1 = x x 2 = 3x 1 2x Jednoduchost této volby osové afinity f 1 spočívá v tom, že už nemusíme počítat obrazy bodů P 1, P 2 v této afinitě, protože jsou samodružné, tedy P 11 = P 1, P 12 = P 2. Podobně zvolíme osovou afinitu f 2 tak, aby se bod P 1 zobrazil do bodu P 1 a aby bod P 0 byl samodružný. Opět pro zjednodušení výpočtu zvolíme za osu o 2 přímku P 0P 2 o rovnici 2x 1 x = 0. Rovnice osové afinity f 3 tedy jsou: x 1 = 4x 3 1 2x x 2 = 2 3 x x Osa třetí osové afinity f 3 už je dána body P 0 a P 1 a má rovnici x 1 2x = 0, bod P 2 se má zobrazit do bodu P 2. Osová afinita f 3 má tedy vyjádření x 1 = x 1 x 2 = 4x 3 1 5x Výsledný rozklad afinity f na osové afinity je f = f 3 f 2 f řešení: Zadaná afinita má samodružný bod B = [ 2, 1]. Můžeme tedy místo bodů P 0, P 1, P 2 a P 0, P 1, P 2 z předcházejících řešení vzít trojice lineárně nezávislých bodů B = [ 2, 1], P 0 = [0, 0], P 2 = [0, 1] a B = [ 2, 1], P 0 = [1, 3], P 2 = [0, 5]. Při tomto postupu jeden krok odpadá a danou afinitu lze rozložit pouze na dvě osové afinity. Za osu o 1 osové afinity f 1 zvolíme např. přímku BP 2 : x 1 x = 0. V osové afinitě f 1 se bod P 0 = [0, 0] zobrazí do bodu P 0 = [1, 3]. Rovnice této afinity jsou: x 1 = 2x 1 x x 2 = 3x 1 2x Osa osové afinity f 2 už je dána přímkou BP 0: 4x 1 3x Bod P 2 = [0, 1] se má zobrazit do bodu P 2 = [0, 5]. Rovnice osové afinity f 2 jsou: x 1 = x 1 x 2 = 8x 1 5x Výsledný rozklad afinity f na osové afinity je f = f 2 f 1. 37

38 Příklad Afinita f v A 2 je dána třemi lineárně nezávislými body P 0, P 1, P 2 a jejich obrazy P 0, P 1, P 2. Rozložte co nejkratším způsobem afinitu f na základní afinity, jestli v dané afinní soustavě souřadnic je a) P 0 = [1, 3], P 1 = [ 1, 1], P 2 = [0, 4], P 0 = [5, 5], P 1 = [1, 1], P 2 = [ 4, 2], b) P 0 = [0, 0], P 1 = [0, 1], P 2 = [1, 1], P 0 = [1, 2], P 1 = [3, 2], P 2 = [3, 4]. Řešení: Abychom zjistili minimální počet základních afinit, na který lze danou afinitu f rozložit, potřebujeme určit množinu samodružných bodů dané afinity. Pokud nemá žádný samodružný bod, lze ji rozložit nejméně na 3 základní afinity. Pokud má 1 samodružný bod - na 2 základní afinity. Pokud množina samodružných bodů vyplňuje přímku, daná afinita už je přímo základní afinita a není třeba hledat žádný rozklad. K určení samodružných bodů dané afinity potřebujeme znát analytické vyjádření daného zobrazení. Postup jeho nalezení je popsán v kapitole 2. Postup, jakým nalezneme samodružné body, je popsán v kapitole 3. a) Afinita f má analytické vyjádření x 1 = 7x 1 2x x 2 = 3x a její samodružné body vyplňují přímku 3x 1 x 2 +2 = 0. Daná afinita už tedy je základní afinitou, její osa je přímka samodružných bodů 3x 1 x = 0 a její směr je určen libovolnou dvojicí odpovídajících si bodů. b) Afinita f má analytické vyjádření x 1 = 2x x 2 = 2x 1 + 4x 2 2 a jediný samodružný bod B = [1, 0], lze ji tedy rozložit na dvě základní afinity f 1 a f 2. Za určující trojici bodů zvolme lineárně nezávislé body B, P 0, P 1. Za osu o 1 základní afinity f 1 zvolíme přímku BP 1 : x 1 + x 2 1 = 0, afinita má zobrazit bod P 0 = [0, 0] do bodu P 0 = [1, 2]. Základní afinita f 1 má tedy analytické vyjádření x 1 = x x 2 = 2x 1 + 3x 2 2. Osa o 2 základní afinity f 2 je už dána přímkou BP 0: x 1 1 = 0. Osová afinita f 2 má zobrazit bod P 1 = [1, 0] do bodu P 1 = [3, 2]. Její rovnice tedy jsou: x 1 = 2x x 2 = x 1 + x

39 Výsledný rozklad afinity f na základní afinity je f = f 2 f 1. Příklad Afinita f v A 3 je dána čtyřmi lineárně nezávislými body A = [0, 0, 0], B = [1, 1, 1], C = [1, 0, 0], D = [1, 0, 1] a jejich obrazy A = [0, 4, 2], B = [2, 3, 0], C = [2, 2, 1], D = [4, 2, 0]. Rozložte afinitu f co nejkratším způsobem na základní afinity. Řešení: Afinita f má analytické vyjádření x 1 = 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 x 2 = 2x 1 + x 2 4 x 3 = x 1 + x 3 2. Množina samodružných bodů této afinity vyplní přímku p, jejíž parametrické vyjádření je např.: x = 2, y = 1 t, z = t. Bude tedy existovat rozklad na 2 základní afinity. Zvolme tedy čtveřici lineárně nezávislých bodů P 0, P 1, P 2, P 3 tak, že dva body jsou samodružné, tedy leží na přímce p, např. P 0 = [2, 1, 0], P 1 = [2, 0, 1], a další dva body zvolme např. P 2 = A = [0, 0, 0], P 3 = B = [1, 1, 1]. Jejich obrazy jsou pak P 0 = P 0 = [2, 1, 0], P 1 = P 1 = [2, 0, 1], P 2 = A = [0, 4, 2], P 3 = B = [2, 3, 0]. Nadrovina samodružných bodů ϱ 1 může být určena např. body P 0, P 1, P 2, bude mít tedy rovnici x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 0. Základní afinita f 1 má zobrazit 39

40 bod P 3 do bodu P 3, má tedy analytické vyjádření x 1 = 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 x 2 = 2x 1 3x 2 4x 3 x 3 = x 1 2x 2 x 3. Nadrovina samodružných bodů ϱ 2 je určena body P 0, P 1 a P 3, její rovnice tedy je x 1 2 = 0. Základní afinita f 2 má zobrazit bod f 2 do bodu P 2, má tedy analytické vyjádření x 1 = x 1 x 2 = 2x 1 + x 2 4 x 3 = x 1 + x 3 2. Výsledný rozklad afinity f na základní afinity je f = f 2 f 1. 40

41 Kapitola 7 Závěr Cílem této bakalářské práce bylo sestavit sbírku řešených příkladů ze zobrazení afinních prostorů. V práci je uvedená také teorie nezbytná k řešení všech úloh. Řešení některých úloh jsou z důvodu větší názornosti doplněny obrázky. Práce může sloužit studentům dvouoborového studia v oboru Matematika na Katedře algebry a geometrie na PřF UP jako doplňující materiál pro předmět Geometrie 3, vyučovaný v pátém semestru studia. 41

42 Kapitola 8 Použitá literatura 1. SEKANINA, M. a kol.: Geometrie II, SPN, Praha, JACHANOVÁ, J., MARKOVÁ, L., ŽÁKOVÁ, H.: Cvičení z geometrie II, VUP Olomouc, BOČEK, L., KOČANDRLE, M.: Geometrie I., SPN, Praha,

Afinní zobrazení, jeho regularita a (totální) singularita. Asociovaný homomorfismus. Analytické

Afinní zobrazení, jeho regularita a (totální) singularita. Asociovaný homomorfismus. Analytické Slezská univerzita v Opavě Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1 746 01 Opava Tel. 553 684 661 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Téma 3. Afinní zobrazení Opakování Dělicí poměr; Homomorfismus vektorových prostorů,

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Michal Zamboj. December 23, 2016

Michal Zamboj. December 23, 2016 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Vektorové prostory R ( n 1,2,3)

Vektorové prostory R ( n 1,2,3) n Vektorové prostory R ( n 1,2,) (Velikonoční doplněk ke cvičení LAG) Prvky kartézské mocniny R RR R jsou uspořádané trojice reálných čísel, které spolu s operacemi ( a1, a2, a) ( b1, b2, b) ( a1b1, a2

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

M - Příprava na 12. zápočtový test

M - Příprava na 12. zápočtový test M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice

2.6. Vlastní čísla a vlastní vektory matice 26 Cíle V této části se budeme zabývat hledáním čísla λ které je řešením rovnice A x = λ x (1) kde A je matice řádu n Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací nejen v matematice Definice 261 Nechť

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností.

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Metody řešení konstrukčních úloh: množinou bodů zobrazením výpočtem kombinací předchozích způsobů Konstrukční

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Mongeovo zobrazení. Osová afinita

Mongeovo zobrazení. Osová afinita Mongeovo zobrazení Osová afinita nechť je v prostoru dána průmětna π, obecná rovina ρ a v této rovině libovolný trojúhelník ABC, promítneme-li trojúhelník kolmo do průmětny π, dostaneme trojúhelník A

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní

Více

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN

VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny

Více

Cvičení z Lineární algebry 1

Cvičení z Lineární algebry 1 Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení .. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

5 Pappova věta a její důsledky

5 Pappova věta a její důsledky 5 Pappova věta a její důsledky Pappos z Alexandrie (?90?350), řecký matematik a astronom. Pod označením Pappova věta je uváděno více vět. Proto je třeba uvést, o jaké z těchto vět hovoříme. Zde se budeme

Více

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace

Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

Projektivní prostor a projektivní zobrazení

Projektivní prostor a projektivní zobrazení Kapitola 4 Projektivní prostor a projektivní zobrazení 4.1 Projektivní rozšíření eukleidovského prostoru Vlastnost býti incidentní v eukleidovském prostoru E 3 vykazuje nedostatek symetrie zatímco např.

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie

Více

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1 1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

Geometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2

Geometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2 Geometrie v R n Začněme nejjednodušší úlohou: Vypočtěme vzdálenost dvou bodů v rovině. Použijeme příkaz distance z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje.

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37)

Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Analytická geometrie přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Název: XI 3 21:42 (2 z 37) Rovnice přímky a) parametrická A B A B C A X Název: XI 3 21:42 (3 z

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012

2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012 2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

18. První rozklad lineární transformace

18. První rozklad lineární transformace Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 18. První rozklad lineární transformace Úmluva. Vtéto přednášce V je vektorový prostor

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava luk76/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava    luk76/la1 Lineární algebra 5. přednáška: Báze a řešitelnost soustav Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://homel.vsb.cz/ luk76/la1 Text

Více

Úlohy krajského kola kategorie C

Úlohy krajského kola kategorie C 6. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C. Pro libovolná reálná čísla x, y, z taková, že x < y < z, dokažte nerovnost x 2 y 2 + z 2 > (x y + z) 2. 2. Honza má tři kartičky, na každé

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE

KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KRUŽNICE,

Více

Výběr báze. u n. a 1 u 1

Výběr báze. u n. a 1 u 1 Výběr báze Mějme vektorový prostor zadán množinou generátorů. To jest V = M, kde M = {u,..., u n }. Pokud je naším úkolem najít nějakou bázi V, nejpřímočařejším postupem je napsat si vektory jako řádky

Více