Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr

Transkript

1 Geometrické transformace v rovině Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1

2 Shodné transformace shodné transformace (shodnosti, izometrie) převádějí objekt z jedné pozice do druhé tak, že se zachovávají všechny délky v důsledku zachování délek se zachovávají i úhly, obsahy, objemy,... trojúhelníky se shodnými stranami jsou shodné shodné neshodné n-úhelníky (n>3) se shodnými stranami nejsou obecně shodné Shodnosti přímé a nepřímé rozeznáváme přímé a nepřímé shodnosti: přímé shodnosti zachovávají orientaci soustavy souřadnic (=smysl obíhání vrcholů trojúhelníka) nepřímé shodnosti obracejí orientaci soustavy souřadnic přímo shodné nepřímo shodné 2

3 Shodnosti ve 2D Přímé shodnosti: Identita Posunutí (translace) Otočení (rotace) kolem středu Středová souměrnost (spec. případ rotace) Nepřímé shodnosti: Osová souměrnost Posunutá souměrnost (složení osové souměrnosti a posunutí ve směru osy souměrnosti) Posunutí (translace) posunutí je určeno vektorem posunutí (směr, velikost, orientace) 3

4 Rovnice posunutí r t = ( a, b) x ' = x + a y ' = y + b Otočení (rotace) otočení je určeno středem otočení a orientovaným úhlem otočení 4

5 Rovnice otočení r a1 = ( x cos ρ, xsin ρ) r b1 = ( y sin ρ, y cos ρ) r r r p = a + b x ' = x cos ρ y sin ρ y ' = xsin ρ + y cos ρ Speciální případy: rho = 0 o identita (x =x,y =y) rho = 180 o středová souměrnost (x =-x,y =-y) Osová souměrnost osová souměrnost je určena osou souměrnosti 5

6 Rovnice osové s. (speciální případy) souměrnost podle osy x x ' = x y ' = y souměrnost podle osy y x ' = x y ' = y Složení osových souměrností složením osové souměrnost podle osy x a osové souměrnosti podle osy y vzniká středová souměrnost podle počátku 6

7 Posunutá souměrnost posunutá souměrnost vzniká složením osové souměrnosti a posunutí ve směru osy s. x ' = x + t y ' = y Skládání geometrických transformací Skládáním shodností vzniká opět shodnost přímá s. ο přímá s. přímá s. nepřímá s. ο nepřímá s. přímá s. přímá s. ο nepřímá s. nepřímá s. Příklad: posunutá souměrnost(nepřímá s.) = = osová souměrnost (nepřímá s.) ο posunutí (přímá s.) 7

8 Skládání osových souměrností Každou shodnost v rovině lze vyjádřit jako složení nejvýše 3 osových souměrností Jsou-li 2 osy různoběžné, vzniká rotace Jsou-li 2 osy rovnoběžné různé, vzniká posunutí Vlastnosti skládání geometrických transformací skládání není obecně komutativní (záleží na pořadí skládání!!!) 8

9 Afinní transformace všechny dosud studované transformace jsou spec. případem rovinné afinní transformace dané předpisem x ' = ax + by + p y ' = cx + dy + q kde a,b,c,d,p,q jsou reálná čísla splňující podmínku ad bc 0 afinní transformace patří mezi lineární transformace (navíc zachovávají rovnoběžnost přímek) Maticový popis transformací I rovinná afinní transformace daná předpisem x ' = ax + by + p y ' = cx + dy + q se dá vyjádřit v maticovém tvaru x ' a b x p x = + = A + B y ' c d y q y kde matice A je regulární (det(a) je nenulový) 9

10 Shodnosti jako afinní transformace afinní transformace daná předpisem x ' a b x p x = + = A + B, y ' c d y q y kde matice A je regulární (det(a) je nenulový), je shodností právě tehdy, když T T A A = A A = I, kde I je jednotková matice Maticový popis transformací II kromě výše uvedeného tvaru (matice A ab) se používá i vyjádření jedinou maticí typu 3x x ' = p a b x = C x y ' q c d y y kde matice C je regulární (det(c) je nenulový) 10

11 Skládání transformací a maticové násobení uvažujme rotaci R a translaci T,které jsou popsány pomocí matic R a T x ' = 0 cos ρ sin ρ x = R x, y ' 0 sin ρ cos ρ y y složená transformace RοT X a X ' a X '' je dána maticovým vyjádřením R T x ' = a 1 0 x = T x y ' b 0 1 y y x '' = T x ' = T R x = ( T R) x y '' y ' y y Příklady neshodných transformací 11

12 Změna měřítka na osách (dilatace) tato transformace je dána středem a nenulovými faktory (násobky) původních jednotek případě, že střed je v počátku x ' = y ' = f x 1 f y 2 Stejnolehlost pokud f 1 = f 2, potom dostáváme stejnolehlost (dána středem a koeficientem) stejnolehlost patří mezi podobné transformace (podobnosti) zachovávají tvar a úhly (obecně NE délky) středová souměrnost je stejnolehlost s koeficientem -1 každou podobnost v rovině lze vyjádřit jako složení stejnolehlosti a shodnosti 12

13 Shear transformation (smýknutí) tato transformace je dána osou a úhlem odpovídající body leží na přímce rovnoběžné s osou, odpovídající přímky se protínají na ose shear transformation mění tvar, ale zachovává obsah použití např. tvorba kurzívy ze standardního písma Shear transformation analytický popis x ' = x + tanα y y ' = y 13

14 Teselace, mozaiky Regulární (pravidelné) a semiregulární teselace rovinná teselace, mozaika = úplné pokrytí části roviny dlaždicemi bez vzájemného překrývání jednotlivých dlaždic všechny dlaždice jsou navzájem shodné pravidelné n-úhelníky regulární teselace (pouze n=3,4,6) jako dlaždice bereme různé pravidelné n-úhelníky (se stejnou konfigurací u vrcholu!!!) semiregulární teselace 14

15 Obecná (iregulární) teselace obecně lze připustit dlaždice libovolného (ne nutně mnohoúhelníkového) tvaru Alhambra - mozaiky Alhambra je středověký komplex paláců a pevností maurských panovníků Granady jižní Španělsko Alhambra je proslulá svými mozaikami a ornamenty 15

16 Maurits Cornelis Escher Nizozemský umělec, známý svými kresbami a grafikami, ve kterých zobrazuje paradoxy perspektivního kreslení a různé druhy mozaik Silně ovlivněn maurskou ornamentální výzdobou v paláci Alhambra jeho hlavním záměrem bylo přenést přesná matematická pravidla do umění M. C. Escher ( ) M. C. Escher 16

17 M. C. Escher M. C. Escher 17

18 M. C. Escher M. C. Escher 18

19 Teselace M.C. Eschera a shodné transformace pokrytí roviny lidskou postavou + triangulace roviny můžeme studovat shodnosti, vůči nimž se teselace nemění např. posunutí zobrazující bod A do bodu B, resp. C Teselace M.C. Eschera a shodné transformace můžeme studovat shodnosti, vůči nimž se teselace nemění dále např. otočení kolem D o 120, resp. 240 st. a samozřejmě všechna složená zobrazení 19

20 Návrhy složitějších dlaždic M.C. Eschera jednoduchý princip je založen např. na tzv. T-křivkách (reprodukují se v translaci) a S-křivkách (reprodukují se ve středové souměrnosti) Další složitější dlaždice M.C. Eschera 20