11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

Transkript

1 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů.. Porozumět zavedení kartézské soustavy souřadnic na přímce, v rovině, v prostoru. Ovládat vzájemné přiřazování bodů a jejich souřadnic v rovině a v prostoru.umět určit souřadnice vektoru ze souřadnic bodů jeho umístění. Umět sčítat, odčítat a násobit reálným číslem vektory určené souřadnicemi. Umět určit velikost vektoru a vzdálenost dvou bodů, souřadnice středu úsečky a těžiště trojúhelníku, rozhodnout o kolineárnosti bodů, rovnoběžnosti vektorů a lineární závislosti vektorů, jsou-li dány příslušné souřadnice. 3. Umět určit skalární součin dvou nenulových vektorů geometricky. v u. v.cosα u. v = u v + u v + u v. Umět ho aplikovat při [ ] u = i algebraicky [ ( )] určování velikosti úhlu dvou vektorů, odchylky dvou přímek a při rozhodování o jejich případné kolmosti Znát geometrický význam definice vektorového součinu; umět určit jeho souřadnice. Umět určit obsah trojúhelníku a normálový vektor roviny\ pomocí vektorového součinu. 5. Pomocí směrových vektorů přímek a normálových vektorů rovin umět určit odchylku přímky a roviny a odchylku dvou rovin. 3 3 Úlohy: Vektorová algebra 1. Na ose y určete bod A tak, aby měl od bodu B[-6;-5 ] vzdálenost d = 10. A 1 [0;3], A [0;-13]. V rovině jsou dány body K[`3], L[1`-4], M[-1`-3]. Dokažte, že trojúhelník KLM je pravoúhlý. Vypočtěte jeho obsah. [ ano, je pravoúhlý, S = 7,5] 1

2 3. Určete vektor u tak, aby měl velikost 10 a přitom byl kolmý k danému vektoru v =(-1;). 4 5; 5 nebo u = 4 5; 5 ] [u = ( ) ( ) 4. Je dán trojúhelník ABC o vrcholech A[1;0], B[1;-6], C[5;-3]. Vypočtěte délku těžnice t a. Vypočtěte velikost úhlu β. [ t a = 4,94; β = 53 8 ] 5. Zjistěte, zda body A[3;7], B[10;-], C[5;1] leží na jedné přímce. [ne] 6. Jsou dány vektory a = (3;5), b = (6;). Najděte vektor c kolmý k vektoru b, pro který platí 1 a.c = 4. [c = ; 1 ] 3 Analytická geometrie 1. a) Zapište parametrické vyjádření přímky a, která prochází body A [0;-5] B [3;-3 ] [ a: x = 3 t y = -5 + t ; t R ] b) Zapište parametrické vyjádření přímky b, která je dána bodem B [3; -7 ] a směrovým vektorem B b ( - ; 5 ) [ b: x = 3 t y = t ; t R ]. Zjistěte, zda body M [-4; 7 ] A [11 ;8 ] leží na přímce AB ;A [;5] B [ -1; 6 ] [ M AB, N AB ] 3. Určete.souřadnici bodu C tak, aby ležel na přímce AB, A[ 3; -1], B[ 1; 3], jestliže a) C [ 1; y ] [ y = 3 ] b) C [,5; y ] [ y = 0 ] 4. Jsou dány body A[ ; -3] B [-1; - ].Napište: a) parametrické vyjádření úsečky AB [ AB: x = -3t y = -3+ t; t 0;1 ] b) parametrické vyjádření polopřímky AB [ α AB; x = -3 t y = -3+ t; t 0; )] c) par,vyjádření polopřímky opačné k α AB [opačná k AB: x = -3 t y = -3+ t; t (- ; 0 ]

3 d) par.vyjádření polopřímky BA [ α BA: x = -1+3 t y = -- t; t 0; ) ] 5. Jsou dány body A [-5; -6 ], B [11;], C [3; 4 ]. a) Napište par.vyjádření přímky AC, b) napište par.vyjádření těžnice t a ABC, c) napište par.vyjádření výšky v c ABC (přímky,na které leží výška v c ). [ AC: x = -5+8 t y = t; t R ] [ t a : x = -5+1 s y = -6+9 s; s 0; 1 ] [ v c : x = 3-8 r y = 4+16 r; r R ] 6. Napište parametrické vyjádření osy úsečky KL, K[+3; -3]; L[-1; -] [ o: x = 1+ t y = -,5 + 4 t; t R ] 7. a) Napište parametrické vyjádření přímky m, která prochází bodem M[; -1,3] a je rovnoběžná s přímkou q, danou bodem Q [-3; 0 ] a bodem R [ 3; -4 ]. [m: x = +6 t y = -1,3-4 t ] b) Napište par.vyjádření přímky k, která je kolmá na přímku m z předchozí úlohy a prochází bodem K [-; 0 ] [ k: x = -+4 t y = 6 t; t R ] 8. Napište obecnou rovnici přímky, která je určena a) bodem A [-3; ] a normálovým vektorem n ρ ( ; 1 ) b) bodem A [ 3;-1 ] a směrovým vektorem s ρ (3; - ) c) body A [; 1 ], B [-; 4 ] d) parametrickým vyjádřením:x = - t y = -3 + t; t R e) směrnicovým tvarem rovnice: y = -5x + 3 [ x + y + 4 = 0 ] [ x + 3y 7 = 0] [ x + y = 0 ] [ x + y 1 = 0 ] [ 5x + y 3 = 0 ] 3

4 9. Je dán ABC: A [6; ] B [-; 4] C [-; 0]. Určete obecné rovnice přímek,které obsahují: a) stranu AB [c: x + 4y 14 = 0 ] b) těžnici t a [t a : y = 0 ] c) těžnici t b [t b : 3x + 4y 10 = 0 ] 10. K dané přímce napište obecnou rovnici přímky r, která je rovnoběžná s přímkou p a prochází bodem A a) p: 3x y + 1 = 0; A [3;-1 ] [ r : 3x y 10 = 0 ] b) p: x = 1 + t y = t t R; A [3; 4 ] [ r : x + y 11 = 0 ] 11. Napište obecnou rovnici tečny kružnice v době dotyku T [6; ], jestliže střed je S[3;-4] [ t: x + y 10 = 0 ] 1. Určete vzájemnou polohu přímek A jsou-li různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku : a) a: x y + 3 = 0 b: x + y 6 = 0 různoběžné, P [1; 5 ] b) a: x 3y 1 = 0 b: -x + 6y + 5 = 0 rovnoběžné, a b c) a: 3x y + 1 = 0 b: x = -1 - t y = 4 + t, t R různoběžné, P [1; ] d) a: x + y 5 = 0 b: x = 1 t y = + t, t R a = b e) a: x = -1 t b: x = 3 s y = 3, t R y = + s, s R různoběžné, P [1; 3 ] 13. Sestavte rovnici přímky m (obecnou rovnici), která prochází bodem A [;-3 ] a průsečíkem přímek a: x + 7y 8 = 0 b: x + y 1 = 0 [m: x + y +1 = 0 ] 14. Průsečíkem přímek k, l veďte přímku p tak, aby byla rovnoběžná s přímkou r : k: x 3y 9 = 0 l: 4x y + 8 = 0 r: x + 3y 18 = 0 Zapište obecnou rovnici přímky p. [p: 15. Určete odchylku přímek p, q : a) p: x y + 1 = 0 q: 3x + y 1 = 0 [ α = 45 ] b) p: x y + 1 = 0 q: y = ⅔x + [ α = ] c) p: x y + 13 = 0 q = AB: A [0; -1], B [4; 1] [α = 0 ] d) p: x = 1 3t q: x = 3 s y = + t, t R y = 1 3s, s R [α = 90 ] 4

5 16. Mezi všemi přímkami 5x + 1y + c = 0 najděte tu, jejíž vzdálenost od počátku soustavy souřadnic je 3. [ řešení: p 1 : 5x + 1y + 39 = 0 p : 5x + 1y - 39 = 0 ] 17. Určete vzdálenost bodu M od přímky p, je-li : a) M [; -1] p: 3x + 4y 1 = 0 [ d = ] b) M [-4; -3] p = AB, A [1; 1] 6 5 B [; 3] [ d = ] 5 c) M [; 4 ] p: x = 6 + 3t y = -8 4t; t R [ d = 4] 18. Určete směrnici přímky p: x + 3y 5 = 0 [ k = - 3 ] 19. Určete směrnici přímky AB: A [1; 3 ] B [-; 1 ] [ k = 3 ] 0. a) Napište směrnicový tvar rovnice přímky a, která prochází bodem A [4; 3 ] a je kolmá k přímce p: y = x + 1 [ a: y = - 1 x + 5 ] b) Napište směrnicový tvar rovnice přímky b, která prochází bodem B [-1; 6 ] a je rovnoběžná s přímkou p: y = 3x + 5 [ b: y = 3x + 9 ] 1. Určete vzájemnou polohu přímek, jsou-li různoběžné, vypočtěte odchylku : a) p: 3x y + 6 = 0 q: x = + t y = 1 t t R [ α = 63 6 ] b) p: x y + 3 = 0 q: x + y 6 = 0 [ α = ] c) p: x + y = 0 q : x + y 4 = 0 [ p = q] d) p: x = -1 t q : 3x y + 1 = 0 [ α = ] y = 4 + t t R e) p: x = 1 t q: x = 3 s y = 3 + t t R y = s s R [ rovnoběžné ] f) p: x = -1 t q: x = 3 s s R [ α = 6 34 ] 5

6 . Určete vzájemnou polohu přímek, jsou-li rovnoběžné. Vypočtěte jejich vzdálenost : a) a: x = 3 t b: x 6y + 5 = 0 y = 1 t t R [ v = 0,474 j ] b) a: x = 1 t b: x = -1 - s y = + t t R y = 4 + s s R [ a = b ] c) a: x + y 7 = 0 b: x = 3 s y = s s R [ v = 1,79 j ] d) a: y = - x + 5 b : y = - x 1 [ v =,68 j ] e) a: x + y + 6 = 0 b : x + y 4 = 0 [ v = 5 j ] f) a: x = + 3 t b: y = 3 4 x [ v = 0,8 j ] 3. Určete na ose y bod Y, který má od přímky p : y = -x + 4 vzdálenost 5. [ Y 1 [0; -6] ; Y [0; 14 ] 4. Na přímce p : x + 3y = 0 určete bod M tak, aby jeho vzdálenost od přímky q : 5x + 1y 4 = 0 byla 3. [ M 1 [ 35;-11 ] ; M [ -43; 15 ] ] 5. Určete hodnotu parametru c R tak, aby vzdálenost počátku soustavy souřadnic od přímky p : x y + c = 0 byla 4. [ c = ± 4 5 ] 1 6. Vypočtěte délky výšek v ABC : a) A [ 5; ] B [ 1; 5 ] [ v a = v c = 5 j; v b = 5 j ] 7. Vypočtěte odchylku přímky p : 8 x 15y + 10 = 0 od osy x. [ α = 8 04 ] 8. Je dán ABC, A [ -1; 4 ], B [ ; - ], C [ 5; -1 ]. Vypočítejte odchylku osy úsečky AB od souřadnicové osy x. [ α = 6 34 ] 9. Průsečíkem přímek p: 3x + y = 0, q: x y 6 = 0 veďte rovnoběžku s přímkou r: x y + 4 = 0. Určete její obecnou rovnici. [ x y 8 =0 ] 6

7 30. Určete hodnotu parametru m R tak, aby přímka mx + y + m 11 = 0 procházela průsečíkem přímek p: x + y + 6 = 0, q: x y + 8 = 0. [ m = -3 ] 31. Jsou dány body A[ ; 3; -1 ], B[ 4; 3; - ]. a) Rozhodněte, zda body K[0; 4; ; ] a L[ 3 ; 3; - 3 ] leží na přímce AB. b) Určete r,s R tak, aby bod M [r; r; s ] ležel na přímce AB. 3 3 [a)k AB, L AB, b) M[ ;3; ] 4 3. Zapište parametrické vyjádření a) přímky p, která je určena bodem A [5;-8;]a vektorem u ρ ( 4;3; 1). b) přímky q, která prochází bodem A[9;-3;1] a je rovnoběžná s přímkou BC, B[-4;-7;6] a C[;-5;3]. c) přímky a procházející body K[-1;;-5] a L[3;-;-4]. d) přímky m, která je rovnoběžná s přímkou p = {[t;1-3t;4+5t]; t R } a prochází bodem M[-3;0;]. [a) p: x = 5 + 4t, y = t, z = t; t R b) q: x = 9 + 6t, y = -3 + t, z = 1 3t; t R c) a: x = t, y = 4t, z = -5 + t; t R d) m: x = -3 + t, y = -3t, z = + 5t, t R] 33. Rozhodněte, jakou vzájemnou polohu mají přímky p,q: a) p = {[8-4t; 4 + 8t; -1t],t R }, q = {[3 + 3s; 1-6s; - + 9s ],s R } b) p = {[3 - t; - + t; 3t],t R }, q = {[ + s; 1- s; 9 + 3s],s R } c) p = {[1- t; + t; -6 - t],t R }, q = {[4 + s; -1 - s; s],s R } d) p = {[t; 3 - t; 4 - t],t R }, q = {[ - s; -1 + s; 6 + s],s R } [a) rovnoběžné různé ;b) různoběžné ; c) totožné ; d) mimoběžné] 34. Zjistěte vzájemnou polohu, pokud jsou různoběžné, určete i průsečík a) a = {[ 3t; 6 + t; -t],t R}, b = {[1 s; 3s; + s], s R} b) a = {[4 t; 1 + 3t; -5 3t], t R}, b = {[7 7s; + 5s; -8-3s], s R} [a) mimoběžné; b)[0; 7; -11] 35. Jsou dány body A[3; ; 1], B[-5; -10; 5], C[4; 7; -3],D[3; 5; -].Určete, pokud existuje, průsečík přímek AB a CD. [ P [-3; -7; 4 ] ] 36. Určete vzájemnou polohu přímek p,q, jestliže přímka p je dána body A[7; 6; -3], B[6;8; -6], přímka q bodem C[6, -5, 7] a směrovým vektorem s (-; 4; -6). [rovnoběžné různé ] 7

8 37. Napište parametrické vyjádření roviny určené body: a) A[ 1; 3; -1], B[ ; 3; 3], C[ -; -5; -7] b) A[ -1; -1; 0], B[ 1; 1; ], C[ ; ; 3] c) A[ 1; 1; 0], B[ ; ; 1], C[ 0; 0; 0] [a) x = 1 + t 3s; y = 3-8s; z = t 6s; t,s R; b) body leží v jedné přímce, neurčují jednu rovinu; c) x = 1 + t s; y = 1 + t s; z = t; t,s R ] 38. Napište parametrické vyjádření roviny dané bodem a přímkou: a) M[3; ; -1], p = {[ t, 3 + t, -t],t R} b) M[ -3; 1; -3], p = {[ 1 t, t; - + 3t],t R} [a) x = t + s; y = 3 + t s; z = -t s; t,s R; b) x = 1 t 4s; y = t + s; z = - + 3t s; t,s R] 39. Zjistěte, zda bod B [ 5; -; 6] leží v rovině určené bodem A [ ; -1; 3] a přímkou p = {[ 3 + t, t, 1 + t], t R} [ ano leží ] 40. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem A [ -3; 5; -7] a je kolmá k vektoru n ( 1; -; -1). [ x y z + 6 = 0 ] 41. Určete číslo d tak, aby rovina ρ : 7x 8y -z + d = 0 procházela bodem A [ 7; 6; -3 ]. [ d = -7 ] 4. Zapište obecnou rovnici roviny, která je dána parametricky: ρ = {[1 t + 3s, 7 + t s, -3 t + s], t,s R} [x y 5z = 0 ] 43. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází body A[ 3; ; -1] a B[ 4; 1; 1] a je rovnoběžná s přímkou p = {[ 5 t, t, 4 + t], t R} [4x + y z 17 = 0 ] 44. Napište obecnou rovnici roviny, která prochází bodem A[7; -5; 3] a je kolmá k přímce p = {[ + 3t, 5t, 7 t], t R}. [ 3x + 5y z + 10 = 0 ] 43. Rozhodněte o vzájemné poloze přímky a roviny a) p = {[ 4 3t, 5 3t, 4 4t], t R ; ρ =[1 r + 5s, + 3r, 4s],r,s R} b) p = {[ 4 + 5t,3 5t, 1 + t], t R; ρ =[ r + 3s, 3r 4s, 7 + r], r,s R } [a) p ρ, p leží v ρ ; b) p ρ, p neleží v ρ ] 8

9 44. Určete jakou vzájemnou polohu má rovina a přímka a) ρ : x 5y + 4z 6 = 0], p = {[ t, 3t, 3 + 4t], t R} b) ρ : 3x + y 3z 13 = 0], p = {[3 t, 1 + 3t, -1 t], t R} c) ρ : x 7y + z 5 = 0], p = {[4 t, 8 3t, 3 + t], t R} [a) p ρ, p neleží v ρ ; b) p ρ, p leží v ρ ; c) p ρ ] 45. Dokažte, že AB : A [3; -; -1], B [4; 1; 3] je různoběžná s rovinou σ : x - 3y +z - = 0. Potom najděte průsečík. [ P [6; 7; 11] ] 6. Určete vzájemnou polohu rovin σ = x y z 1 = 0, ρ = 5x 3y + z 5 = 0 [různoběžné, v k. u ] 47. Vypočítejte vzdálenost bodu A[5; -1; 3] od přímky p = {[-1 + t, t, - + t] t R} [ 3 ] 48. Vypočtěte vzdálenost bodu B[1; ; 3] od přímky určené bodem A[5; 10; -1] a směrovým vektorem u (-1; -; 1). [ 0 ] 49. Vypočtěte vzdálenost bodu A od roviny ρ : a) A [ 3; 5; -6], ρ = x -y + z 8 = 0 b) A [-1; 3; ], ρ = 3x -4y + 5z 15 = 0 [a) 6; b) ] 50. Vypočtěte vzdálenost dvou rovnoběžek a ={[1 + t,1 + t, -t],t R},b= {[r, 4r, -r], r R} 51. Jsou dány roviny: ρ = {[s, r, - r s],r,s R a σ = {[1 u v, u, v ],u,v R. Ověřte, zda jsou rovnoběžné a určete jejich vzdálenost. [ 6 ] 5. Určete vzdálenost dvou rovnoběžných rovin α : x + y + z 6 = 0 ; β : x + y + z 3 = 0 [ 3 ] 53. Určete vzdálenost bodu D [0; ; -] od roviny ABC určené třemi body A [1; -; -], B [; -1; -1], C [1;-1; -] [ ] 9

10 54. Vypočtěte odchylku dvou přímek a) p = {[ + t, t, 7 t],t R}, q = [4 k, 5, -3 + k],k R} b) p = {[ t,1 + t,4 3t],t R}, q = [1 + k, 1 k, 4 k],k R} c) p = {[ + t, t, - 3t],t R}, q = [1 k, k, 3 + 3k],k R} 55. Určete odchylku přímky od roviny a) p = {[5 + t, 1 + 3t, -t],t R}, ρ : x y + 3z 4 = 0 b) p = {[4 t, 1 t, t],t R}, ρ : x + 4y + z 1 = 0 [a) β = 30, b) ] 56. Zjistěte odchylku dvou rovin ρ 1 : x + y z + 4 = 0, ρ :x + 4y + z 5 = Určete hodnotu parametru a R tak, aby přímka p = {[1 + t, + at, - 1- t], t R} a rovina ρ : x + y z + 8 = 0 byly rovnoběžné. 10