Řízení tržních rizik s použitím teorie extrémních hodnot a copula funkcí

Transkript

1 Řízení tržních rizik s použitím teorie extrémních hodnot a copula funkcí Petr Strnad 1 Abstrakt Value at Risk se během posledních let stal nejrozšířenějším ukazatelem kvantifikujícím riziko ztráty v důsledku nepříznivých pohybů tržních sazeb. Základní modely používané pro výpočet VaRu však vykazují mnohé nedostatky. Tento článek představuje výpočet VaRu založený na teorii extrémních hodnot (EVT) a použití copula funkcí. Pomocí EVT je možno vypočítat VaR na vysokých hladinách spolehlivosti a to bez omezujících předpokladů o rozdělení přírůstků tržních sazeb. Copula funkce popisují závislost mezi jednorozměrnými přírůstky tržních sazeb. Studentova copula umožňuje modelovat silné asymptotické závislosti i u nekorelovaných veličin, Gumbelova a Frankova copula popisují i nesymetrické závislosti. Klíčová slova Value at Risk, teorie extrémních hodnot, copula funkce, řízení tržních rizik 1 Úvod Podstata obchodování na finančních a kapitálových trzích je stejná jako v případě každého jiného podnikání - instituce musí přijmout určitou míru rizika, bez níž nemůže dosáhnout zisku. Rizika je však nutné řídit tak, aby nemohla ohrozit samotnou existenci firmy. Vedle rizika kreditního je při obchodování na finančních a kapitálových trzích klíčové zejména riziko nepříznivých pohybů tržních sazeb, nazývané obecně rizikem tržním. Standardem pro měření a řízení tržních rizik se v devadesátých letech stal beze sporu ukazatel hodnoty v riziku (Value at Risk, VaR), který kvantifikuje maximální pravděpodobnou ztrátu v horizontu několika nejbližších dní (pro popis VaRu, viz např. [31]). O významu VaRu svědčí mimo jiné i fakt, že ho lze používat k výpočtu kapitálové přiměřenosti. Běžné modely pro odhad VaRu však vykazují mnohé nedostatky. Metody založené na normálním rozdělení podceňují pravděpodobnost velkých pohybů tržních sazeb, nezohledňují zápornou šikmost a nejsou schopny věrně popsat závislosti mezi sazbami v extrémních situacích. Postupy založené na historických simulacích sice výše popsané nedostatky nemají, v základní variantě však předpokládají, že přírůstky tržních sazeb pozorované v historii jsou stejně rozdělené a nezohledňují tedy fakt, že volatilita i závislosti mezi přírůstky se v čase mění. Tento nedostatek je možno odstranit pomocí updatování tržních sazeb, jak navrhuje například Hull a White (viz [15]). Další nevýhodou historických simulací je zpravidla relativně malý počet dostupných pozorování historických tržních sazeb, kvůli němuž nedosáhneme příliš velké konvergence empirického kvantilu ke skutečnému kvantilu. Zejména na vyšších hladinách pravděpodobnosti často zcela chybí potřebná data pro spolehlivý odhad VaRu. Cílem tohoto článku je ukázat, jak můžeme pomocí teorie extrémních hodnot a copula funkcí vytvořit realističtější modely pro odhad VaRu. Příspěvek je rozdělen následujícím 1 Mgr. Ing. Petr Strnad, Komerční banka, a. s., Václavské náměstí 42, P.O.Box 839, Praha 1, , petr_strnad@kb.cz 339

2 způsobem: První kapitola se zabývá použitím teorie extrémních hodnot pro výpočet VaRu, druhá pak zkoumá závislosti mezi přírůstky tržních sazeb a popisuje využití copula funkcí. 2 Teorie extrémních hodnot (EVT) Metody založené na použití teorie extrémních hodnot (EVT) vycházejí z poznatku, že pokud jsou splněny poměrně obecné podmínky, rozdělení extrémních jevů konvergují k určitým limitním rozdělením lišícím se pouze parametry a to bez ohledu na to, z jakého rozdělení pocházejí zkoumané jevy. Odhadneme-li parametry příslušného limitního rozdělení, můžeme s pomocí EVT počítat VaR spolehlivěji a na vyšších hladinách pravděpodobnosti než při použití historických simulací, navíc lze pro odhadnutý VaR určit i intervaly spolehlivosti. Metody, které se snaží odhadnout celé rozdělení přírůstků tržních sazeb zpravidla kladou největší důraz na relativně malé pohyby, kterých je největší množství, a chvosty tak zůstávají poněkud v pozadí. EVT se naproti tomu soustředí výhradně na chvosty, je tedy vhodná pro zkoumání pravděpodobností extrémních pohybů. Základem teorie extrémních hodnot jsou dvě limitní věty. První se nazývá Fisher- Tippetova (FT) věta a říká, že pokud existuje nedegenerované limitní rozdělení vhodně normalizovaných maxim stejně rozdělených náhodných veličin (pro počet náhodných veličin n ), pochází z jednoho ze tří zobecněných rozdělení extrémních hodnot (Fréchetova, Gumbelova či Weibullova rozdělení). Druhá klíčová věta EVT se nazývá Gnedenko Pickands Balkema-de Haanova (GPBdH) a říká, že podmíněné rozdělení normalizovaných hodnot, které převyšují určitou hranici (treshold) limitně konverguje ke zobecněnému Paretovu rozdělení (pro velikost hranice blížící se tzv. koncovému bodu rozdělení). GPBdH věta platí za stejných předpokladů jako FT věta, obě věty jsou spjaty i stejným parametrem ξ, který specifikuje tíhu chvostů. Matematicky precizní formulaci obou vět lze nalézt například v [32]. 2.1 Výpočet VaRu pomocí EVT Jak Fisher Tippettova, tak Gnedenko Pickands Balkema dehaanova věta může být v praxi použita pro výpočet Value at Risk. Zpravidla aplikujeme jednorozměrnou teorii extrémních hodnot, pomocí níž hledáme přímo extrémní kvantil změn hodnoty portfolia. S pomocí FT věty postupujeme následujícím způsobem: Nejprve je třeba obdobně jako v případě historických simulací vypočítat změny hodnoty zkoumaného portfolia po aplikování všech scénářů přírůstků tržních sazeb pozorovaných v historii. Předpokládejme nyní, že přírůstky tržních sazeb jsou stejně rozdělené a nezávislé v čase, tento předpoklad později opustíme. Pokud jsou přírůstky sazeb iid, jsou i změny hodnoty zkoumaného portfolia nezávislé a stejně rozdělené, můžeme tedy použít FT větu přímo na změny hodnoty portfolia. Zvolíme vhodnou délku bloku maxim, nahradíme skutečné rozdělení blokových maxim jeho limitním rozdělením, odhadneme parametry limitního rozdělení a invertováním distribuční funkce spočítáme maximální ztrátu, která nás může se zvolenou pravděpodobností potkat během daného bloku. VaR již dopočteme snadno, neboť platí P(max(X 1,, X n ) x) = (P(X i x)) n. V případě výpočtu VaRu s použitím GPBdH věty se zabýváme rozdělením změn hodnot portfolia překračujících zvolenou hranici. Nejprve rozepíšeme podmíněnou distribuční funkci pomocí nepodmíněných a ze vztahu vyjádříme nepodmíněné rozdělení.. Podmíněné rozdělení přírůstků překračujících hranici pak nahradíme jeho limitním rozdělením a pravděpodobnost překročení hranice skutečným procentem hodnot překračujících zvolenou hranici. Tak získáme odhad distribuční funkce změn hodnot portfolia, jejímž invertováním dopočteme VaR. 340

3 V obou výše zmíněných případech jsme vycházeli z předpokladu, že přírůstky tržních sazeb a tedy i změny hodnoty portfolia jsou nezávislé stejně rozdělené. To však není realistický předpoklad neboť mnohé empirické studie ukazují, že volatilita je stochastická a vykazuje shluky velkých resp. malých hodnot ( volatility clustering ). Z tohoto důvodu nejsou popsané věty z oblasti teorie extrémních hodnot přímo aplikovatelné, neboť není splněn předpoklad stejného rozdělení přírůstků. Tento problém lze překonat v zásadě dvěma způsoby. Prvním je použití tzv. extremálního indexu (extremal index) a zobecněných vět z teorie extrémních hodnot, popisujících limitní rozdělení normalizovaných maxim pro striktně stacionární náhodné procesy (viz např. [9] nebo [21]). Druhým je updatování přírůstků tržních sazeb. Pokud pro příslušný stacionární náhodný proces existuje tzv. extremální index θ (θ 1), maximum z n pozorování stacionárního náhodného procesu s extremálním indexem θ má stejné chování jako maximum z nθ pozorování nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin. nθ tak může být chápáno jako počet pseudonezávislých shluků v n pozorováních a θ představuje převrácenou hodnotu průměrné délky shluku. VaR vypočítaný s použitím extremálního indexu je vždy vyšší než kdybychom předpokládali nezávislost přírůstků tržních sazeb. Nejen, že historické přírůstky tržních sazeb nebývají nezávislé a stejně rozdělené, nemusí ani dobře popisovat současnou situaci na trhu, tudíž výsledný VaR může potenciální ztrátu pod či nadhodnocovat. Proto je vhodné před aplikováním výše popsaných postupů historické scénáře updatovat na současné tržní podmínky. V praxi bývají nejčastěji updatovány volatility a korelace (druhé momenty rozdělení přírůstků tržních sazeb), updatování lze však pojmout komplexněji a updatovat i vyšší momenty. O updatovaných hodnotách pak předpokládáme, že jsou nezávislé stejně rozdělené. Pro updatování se typicky používají modely stochastické volatility jako například GARCH, EWMA, možné je též vyjít z implikovaných volatilit. Zajímavou alternativu pro updatování přírůstků tržních sazeb představuje Smith (viz [29]). Ve svém přístupu nevychází z žádného konkrétního modelu stochastické volatility, ale používá postupy z oblasti teorie extrémních hodnot zkoumá, jak se mění v čase parametry dvojrozměrného bodového procesu popisujícího četnosti a velikosti překročení určitého hraničního přírůstku tržních sazeb. Četnosti překročení jsou popsány Poissonovým procesem s proměnnou intenzitou a velikosti překročení vycházejí z GPBdH věty (avšak parametry zobecněného Paretova rozdělení se v čase mění). Smith se tak při updatování neomezuje se pouze na změny volatilit, ale je schopen komplexně popsat změny v rozdělení extrémních přírůstků tržních sazeb v různých obdobích. Svůj postup aplikuje Smith na historické změny hodnoty akciového indexu S&P 500. Ukazuje, že období vysoké volatility jsou často charakterizována těžšími chvosty, zatímco normální období mohou být poměrně dobře popsána rozdělením majícím stejně těžké chvosty jako normální rozdělení. Obdobný model jako Smith popisují i Chavez Demoulin, Davison a McNeil (viz [16]). Vycházejí ze stejného dvojrozměrného bodového procesu s proměnnými parametry, předpokládají, že čas a velikost překročení jsou podmíněně nezávislé. Časy překročení jsou modelovány tzv. self exciting procesem, což je Poissonův proces, jehož intenzita se zvyšuje tím více, čím častěji došlo v poslední době k překročení, navíc roste i s velikostmi překročení pozorovaných v minulosti. Velikosti překročení jsou dány zobecněným Paretovým rozdělením, parametr ξ charakterizující tíhu chvostů se narozdíl od Smithe předpokládá konstantní v čase, mění se tedy pouze σ, která je popsána autoregresivním procesem prvního stupně. 341

4 2.2 EVT VaR empirické výsledky McNeil a Frey (viz [26]) porovnávají VaR vypočítaný na základě teorie extrémních hodnot s metodami založenými na předpokladu podmíněného normálního rozdělení a t-rozdělení. Vycházejí z historických změn akciového indexu DAX a S&P a provádějí zpětné testování vypočítaného VaRu vůči skutečným pohybům indexu. Ukazují, že v případě EVT VaRu bez updatování dochází ke kumulaci ztrát překračujících VaR v krátkém období, což potvrzuje domněnku o volatility clustering. Ostatní metody založené na podmíněném rozdělení tímto nedostatkem netrpí. EVT VaR s updatováním je nejlepší metodou pro odhad VaRu, jeho dominance se ještě více zdůrazňuje při vyšších hladinách pravděpodobnosti. Podmíněné t- rozdělení představuje dobrou a jednoduchou alternativu za předpokladu, že přírůstky tržních sazeb nevykazují výraznou šikmost, normální rozdělení neumí dobře popsat těžké chvosty, následkem čehož podhodnocuje velikost potenciálních ztrát, což je zejména patrné na vyšších hladinách pravděpodobnosti. Seymour a Polakow (viz [28]) porovnávají obdobně jako McNeil a Frey VaR vypočítaný různými metodami, vycházejí však z dat z jihoafrického akciového trhu. Jejich hlavním závěrem je, že metody, které vykazují dobré výsledky na rozvinutých trzích, nemusí být stejně úspěšné v případě emerging markets. Například VaR odhadnutý metodou historických simulací byl v studii Seymoura a Polakowa překročen cca třikrát častěji než by odpovídalo příslušným pravděpodobnostním hladinám, EVT VaR bez updatování vedl naopak na vysokých hladinách pravděpodobnosti k přespříliš konzervativním odhadům. VaR s updatováním volatility vedl k podstatně lepším výsledkům než výpočty bez updatování, pričemž EVT VaR s updatováním poskytoval nejlepší odhady, celkové riziko však podhodnocoval. Stejně jako jiné empirické studie, došli i Seymour a Polakow k závěru, že předpoklad podmíněného normálního rozdělení může sice výborně fungovat na nižších hladinách pravděpodobnosti, na vyšších hladinách však skutečná rizika výrazně podhodnocuje. 2.3 Problémy EVT EVT představuje v každém případě velmi užitečný nástroj pro řízení tržních rizik. Umožňuje totiž jen s minimálními předpoklady vytvářet teoreticky podložené představy o pravděpodobnosti extrémních jevů. Na druhou stranu je třeba zdůraznit, že EVT má také svoje problémy. V metodách, které jsem popsal, je EVT aplikována přímo na změny hodnoty portfolia, což znamená, že při každé změně portfolia (vzniklé byť jen z důvodu změny tržních sazeb) je nutno znovu odhadovat parametry extrémního rozdělení. To je však poměrně problematické, neboť odhady jsou mnohdy založeny na zkušenosti pozorovatele a nelze je tedy příliš automatizovat (viz [9] nebo [20]). Na odhady parametrů bývají navíc třeba velmi dlouhé časové řady, což může být problém u nových trhů a instrumentů. Dalším nedostatkem EVT aplikované přímo na změny hodnoty portfolia je fakt, že jen těžko může popsat, jak je VaR citlivý na změny jednotlivých pozic v portfoliu. Alternativou k popsaným metodám je využití mnohorozměrné EVT, která modeluje závislosti tržních sazeb v extrémních podmínkách, ta ale není příliš dobře vyvinutá, navíc jí lze jen těžko aplikovat na větší počet dimenzí. Pro mnohorozměrnou EVT je nedostatek dat ještě větším problémem než pro jednorozměrnou. Jestliže v jednorozměrném případě často nemáme k dispozici dost pozorování, abychom si utvořili představu o extrémních událostech, parametrizace mnohorozměrných extrémních rozdělení bývá ještě složitější, zvláště pokud se závislosti mezi tržními sazbami mění výrazně v čase. 342

5 3 Závislosti mezi tržními sazbami 3.1 Problémy s korelací a normálním rozdělením Vraťme se nyní zpět k hodnocení reálnosti předpokladu normality. Odhlédněme na okamžik od skutečnosti, že marginální rozdělení přírůstků tržních sazeb vykazují v realitě těžké chvosty. I kdyby bylo možné považovat marginální rozdělení přírůstků za normální, rozhodně to ještě neznamená, že sdružené rozdělení je mnohorozměrné normální. Není totiž pravda, že pokud je dáno marginální rozdělení a kovarianční matice, je též jednoznačně určeno mnohorozměrné rozdělení. To platí jen pokud se omezíme na rodinu eliptických rozdělení, kde kovarianční matice poskytuje úplnou informaci o závislostech jednotlivých marginálních tržních sazeb. Obecně platí, že korelace je pouze ukazatel lineární závislosti, který nabývá hodnoty 1, resp. -1 právě tehdy když jsou zkoumané náhodné veličiny lineárně závislé skoro jistě 2. V případě mnohorozměrného normálního rozdělení je nekorelovanost ekvivalentní s nezávislostí (pro žádné jiné eliptické rozdělení tento vztah neplatí). Obecně řečeno, normální rozdělení není schopno dobře popsat složitější formy závislosti. Právě to je velmi problematické v případě VaR, neboť například při větších krizích dochází často k propadu celé řady sazeb, které se v běžných tržních podmínkách jeví téměř jako nekorelované. Podobnou formu závislosti není mnohorozměrné normální rozdělení schopno dobře postihnout. Naopak pro každé X,Y, kde (X,Y) ~ N a ρ<1 platí, že X a Y jsou asymptoticky nezávislé, neboli řečeno formálněji: 1 1 lim P ( Y > F (1 α) X > F (1 α)) = 0 α kde F 1 je marginální distribuční funkce X a F 2 je marginální distribuční funkce Y. Naproti tomu v případě, že (X,Y) má dvourozměrné t-rozdělení s ν stupni volnosti, je pro ρ <1: lim ( 2 (1 ) 1 (1 )) 2 1, 0 1 ν + ρ P Y > F α X > F α = t + + ν α + ρ kde t ν + 1 představuje funkci přežití jednorozměrného t-rozdělení s ν+1 stupni volnosti. Tedy pro libovolné ρ <1 jsou X a Y asymptoticky závislé (a to i v případě záporné či nulové korelace!). Závislost je tím silnější, čím nižší je ν. Některé z důkazů k výše zmíněným tvrzením lze nalézt v [11]. Obdobná tvrzení, jaká jsem zmínil pro případ tzv. horní asymptotické závislosti, platí samozřejmě obdobně i pro dolní asymptotickou závislost. 3.2 Význam copula funkcí Copula je volně řečeno funkce, která popisuje závislosti mezi jednorozměrnými marginálními rozděleními. Umožňuje tak oddělit zkoumání jednorozměrných rozdělení a popis jejich vzájemných závislostí, čímž poskytuje velkou flexibilitu při hledání rozdělení, které dobře popisuje zkoumaná empirická data. Matematicky exaktní definici copula funkce lze nalézt například v [10] či [27], důležitá je však zejména následující věta, nazývaná Sklarova: 2 Zajímavý příklad zmiňují Costinot, Roncalli a Teiletche (viz [3]), kteří ukazují, že korelace mezi dvěma lognormálními rozděleními nemůže nabýt hodnoty 1 pokud náhodné veličiny nemají stejné rozptyly, naopak interval přípustných korelací může být libovolně malý, pokud se rozptyly obou rozdělení budou výrazně lišit. Obecně pokud jsou dané dvě marginální rozdělení, není pravda, že vhodnou specifikací složeného rozdělení můžeme dosáhnout libovolné korelace, toto platí jen ve světě eliptických rozdělení. Autoři zmiňují i další paradoxy dokazující, že korelace poskytuje pouze velmi nedokonalý obrázek o podobě závislostí mezi náhodnými veličinami. 343

6 Nechť F je n-dimensionální distribuční funkce s marginálními jednorozměrnými rozděleními F 1,, F n. Potom existuje copula funkce C: [ 0,1 ] n [0,1] taková, že pro každé x R n platí: F(x 1,, x n ) = C(F(x 1 ),, F(x n )). Jestliže F 1,, F n jsou všechny spojité, C je určena jednoznačně a pro každé u [0,1] n platí: C(u 1,, u n )=F(F -1 (u 1 ),, F -1 (u n )). Bez předpokladu spojitosti F 1,, F n je C jednoznačně určena na oboru funkčních hodnot Ran F 1 x x Ran F n a předchozí vztah nemusí platit. Sklarova věta platí dokonce jako ekvivalence - pokud C je copula funkce a F 1,, F n jsou jednorozměrné distribuční funkce, potom výše definovaná funkce F je n-rozměrná distribuční funkce s marginálními jednorozměrnými rozděleními F 1,, F n. Ze Sklarovy věty plyne, že s pomocí copula funkcí můžeme studovat mnohorozměrné rozdělení ve dvou krocích: nejprve analyzujeme jednorozměrná rozdělení přírůstků tržních sazeb, následně pak zkoumáme závislost mezi jednorozměrnými přírůstky tržních sazeb - hledáme vhodnou copula funkci. Copula funkce jsou neměnné při striktně rostoucích transformacích. Pokud C je copula funkce popisující závislost náhodných veličin X 1, X 2 a h 1 a h 2 jsou neklesající funkce, pak C je také copula funkce popisující závislost náhodných veličin h 1 (X 1 ) a h 2 (X 2 ). 3.3 Nejčastěji používané copula funkce Mezi nejčastěji používané patří tzv. eliptické copula funkce (například normální a studentova) a archimedovské copula funkce (například Gumbelova, Claytonova a Frankova). Prvně zmíněné jsou odvozené z příslušných rozdělení pomocí Sklarovy věty, druhé jsou naopak vytvořeny uměle pomocí speciálních generátorů. Frees a Valdez (viz [12]) například popisují, jak pro empirická data vybrat vhodnou copulu za předpokladu, že se omezíme pouze na archimedovské copula funkce. Pro EVT jsou podstatné také copula funkce extrémních hodnot, mezi něž patří i Gumbelova copula. Pokud existuje nedegenerované sdružené limitní rozdělení normalizovaných maxim, pak ho lze popsat pomocí jednorozměrných limitních rozdělení maxim a copula funkce extrémních hodnot. Zajímavou třídu copula funkcí popisují také McNeil a Demarta (viz [5]), kteří vycházejí z mnohorozměrného studentova rozdělení a jeho zobecněním získávají rozdělení (resp. copuly), které již sice nepatří mezi eliptické, které však odstraňují některé nedostatky studentovy copuly. Popisují tak například zešikmenou studentovu copula funkci, která není radiálně symetrická či seskupenou studentovu copula funkci, kde různé podmnožiny zkoumaných náhodných veličin jsou charakterizovány různým počtem stupňů volnosti a mají tak různě silné vzájemné asymptotické závislosti. 3.4 Modelování pohybů tržních sazeb pomocí copula funkcí Jak jsme již uvedli výše, s pomocí copula funkcí je možno oddělit modelování jednorozměrných přírůstků tržních sazeb od zkoumání jejich vzájemných závislostí. Tímto způsobem lze získat velké množství modelů charakterizujících pohyby tržních sazeb. Pro popis jednorozměrných rozdělení se nejčastěji používají podmíněná či nepodmíněná normální nebo studentova rozdělení, případně empirické distribuční funkce či empirické distribuční funkce kombinované s EVT. Posledně jmenovaná distribuční funkce vychází z empirické distribuční funkce, která je použita pro střední část rozdělení (zde je dostatek dat použitelných pro charakteristiku tvaru rozdělení), na chvosty je však aplikována EVT. Tato 344

7 distribuční funkce se v literatuře používá v základní nepodmíněné variantě, je však samozřejmě možné vyjít i z historických dat updatovaných na současné tržní podmínky. Jondeau a Rockinger (viz [18]) používají pro popis marginálních rozdělení zobecněné studentovo rozdělení, které obsahuje navíc dva parametry kontrolující šikmost a špičatost. Toto rozdělení nejenže umožňuje existenci záporné šikmosti, dovoluje též velmi pružně modelovat vývoj prvních čtyř momentů v čase. Závislost mezi jednorozměrnými rozděleními bývá nejčastěji popisována normální či studentovou copula funkcí. Společnou nevýhodou těchto copula funkcí je fakt, že jsou schopny popsat pouze symetrickou závislost, výhodou je naopak snadná aplikovatelnost i pro větší počet dimenzí, což bývá u jiných copula funkcí problém. Většina autorů ve svých empirických studiích dochází k závěru, že provázanost mezinárodních ekonomik a finančních trhů vede k tomu, že tržní sazby mají tendenci v extrémních situacích vykazovat silnou závislost a to i přesto, že se v běžných situacích jeví téměř jako nekorelované. Z tohoto důvodu studentova copula popisuje závislosti mezi tržními sazbami výrazně lépe než normální copula. Na základě studií empirických dat dospívají k tomuto závěru například Kole, Koedijk a Verbeek (viz [19]) nebo Mashal a Zeevi (viz [22]). Kole, Koedijk a Verbeek ukazují, že studentova copula ve srovnání s běžně používanou Gaussovou copulou přiřazuje extrémním situacím výrazně vyšší pravděpodobnosti. V jejich studii vycházející z akciových trhů je v případě událostí nastávajících jednou za 14 měsíců Studentova copula dvakrát opatrnější než Gaussova a v případě událostí nastávajících jednou za 10 let dokonce čtyřikrát. Gaussova copula tedy nepopisuje příliš dobře sdružené pravděpodobnosti výskytů extrémních událostí. Mashal a Zeevi zkoumají závislosti na trzích komodit, akcií i na měnových trzích. Všude nacházejí důkazy, že extrémní pohyby často nastávají v jeden okamžik. Počet stupňů volnosti se u zkoumaných dat nejčastěji pohybuje mezi sedmi a dvanácti, nejnižší počet stupňů volnosti (nejsilnější extrémní závislosti) přitom vykazují měnové trhy. Mashal a Zeevi nejprve testují dvojice aktiv, potom přistupují k testování trojic a zjišťují, že síla závislostí v extrémních podmínkách roste s vyšším počtem zkoumaných aktiv. Hartmann, Straetmans a de Vries (viz [13]) se zaměřují na trhy zemí G-5 a pomocí dvojrozměrné teorie extrémních hodnot zkoumají nejen závislosti mezi pohyby cen jednoho typu aktiv na různých trzích, ale i závislosti mezi různými typy aktiv. Zdůrazňují, že pravděpodobnost krizí a to jak izolovaných, tak zasahujících více trhů současně, je mnohem větší než předpovídá normální rozdělení. Ukazují, že týdenní propady na akciových trzích v řádu 20 % a propady na dluhopisových trzích v řádu 8 % sice nejsou běžné, je však možno je očekávat jednou až dvakrát za lidský život. Co se týče simultánních krizí obdobných rozměrů, autoři zdůrazňují, že pokud nastala krize na jednom trhu, jsou podmíněné pravděpodobnosti výskytu krize na dalším trhu ve všech případech mnohem vyšší než nepodmíněné pravděpodobnosti výskytu krize. Akciové trhy vykazují společný propad přibližně v jedné z pěti krizí, současný propad více dluhopisových trhů je méně pravděpodobný (nastává méně než v jedné z deseti krizí), současný propad dluhopisů a akcií je nejméně pravděpodobný. Fenomén nazývaný flight to quality, tedy extrémní propad akciových trhů doprovázený mimořádným růstem dluhopisů, je přibližně stejně pravděpodobný jako společný propad akcií a dluhopisů. V případě krizí na akciových trzích je nejvíce patrný útěk k americkým vládním dluhopisům, které byly historicky považovány za velmi bezpečné. Zajímavé je také zjištění, že závislosti v případě krizí jsou přibližně stejné v rámci národních i zahraničních trhů. V dalším článku (viz [14]) se Hartmann, Straetmans a de Vries zabývají rozšiřováním měnových krizí. Pomocí mnohorozměrné teorie extrémních hodnot analyzují měnové kurzy v emerging markets (východní Asie a latinská Amerika) i ve vyspělých zemích mezi lety 1987 a 2003 a ptají se, nakolik je pravděpodobné, že měnová krize zasáhne více zemí. Dospívají k závěru, že zatímco měny rozvojových zemí jsou náchylnější ke krizím než měny 345

8 vyspělých zemí, nedochází zde k častějšímu a rozsáhlejšímu přelývání krizí. Krize se poměrně často rozšiřují v rámci pozorovaných bloků měn (východní Asie, latinská Amerika a rozvinuté země), přelývání krizí mezi bloky je však výrazně slabší. Tento závěr koresponduje s výsledky studie, kterou provedla Starica (viz [30]) a v které prokázala silnou závislost mezi extrémními pohyby směnných kurzů měn EU a to dokonce již v horizontu několika hodin. Z práce Hartmanna, Straetmanse a de Vriese vyplývá také jeden poněkud překvapivý závěr, že rozšíření krize z rozvojových zemí do rozvinutých je pravděpodobnější než opačným směrem. Chollete, de la Peña a Lu (viz [17]) zkoumají závislosti mezi akciovými trhy zemí G-5 a mezi trhy asijskými a latinsko americkými. Kromě jednotlivých copula funkcí (Gaussova normální, studentova, Gumbelova, otočená Gumbelova a Frankova) pracují také se směsicemi copula funkcí tak, aby co nejlépe popsali tvar závislostí mezi jednotlivými jednorozměrnými přírůstky. Zdůrazňují, že pokud by se omezili pouze na zkoumání jedné copula funkce, pro níž by například odhadli parametry metodou maximální věrohodnosti, výsledný model nemusí dobře popisovat skutečné závislosti z toho důvodu, že zvolená copula funkce nemusí být vhodná. Při použití směsice copula funkcí se odhadují nejen parametry jednotlivých copula funkcí, ale i jakou váhu mají různé copula funkce ve směsici. Autoři pracují se dvěma směsicemi copula funkcí - normálně-gumbelovou směsicí skládající se z normální, Gumbelovy a otočené Gumbelovy copula funkce, a studentovo- Gumbelovou směsicí skládající se ze studentovy, Gumbelovy a otočené Gumbelovy copula funkce. Podle získaných vah pak určují, zda závislosti jsou nejlépe popsány copula funkcí s nulovou asymptotickou závislostí (Gaussova normální copula) nebo copula funkcí s nenulovou symetrickou asymptotickou závislostí (studentova copula) či zda a nakolik silně jsou závislosti nesymetrické (dáno vahou Gumbelovy resp. otočené Gumbelovy copula funkce). Z práce Cholleteho, de la Peñi a Lu bych rád vyzdvihl zejména dva závěry. Za prvé - odhadnuté váhy jednotlivých copula funkcí ve směsicích indikují, že je možné zamítnout normalitu, což je závěr, který potvrzují i mnozí jiní autoři. Za druhé - významné váhy u Gumbelovy a především pak otočené Gumbelovy copuly dokazují, že trhy vykazují extrémní závislost v případě poklesů i růstů trhu, přičemž ostatní empirické studie zdůrazňují zejména závislost v případě poklesů. Jondeau a Rockinger (viz [18]) potvrzují, že studentova copula vysvětluje závislosti lépe než normální copula a ukazují, že síla závislosti mezi přírůstky akciových indexů se stejně jako parametry marginálních rozdělení mění v čase. Závislost se zvyšuje bezprostředně po období velkých pohybů, které nastávají současně na více akciových trzích. U některých dvojic akciových indexů se závislost zvyšuje spíše následkem jejich společných poklesů než vzestupů. Kvůli měnící se závislosti je tedy i při použití copula funkcí vhodné odhadovat jejich parametry podmíněně nikoliv nepodmíněně například pomocí autoregresivních funkcí. Literatura [1] AAS, K.: Modelling the dependence structure of financial assets: A survey of four copulas. Norwegian Computing Centre, [2] BOUYÉ, E., DURRLEMAN, V., NIKEGHBALI, A., RIBOULET, G., RONCALLI, T.: Copulas for Finance. A Reading Guide and Some Applications. City University Business School London and Groupe de Recherche Opérationnelle Crédit Lyonnais Paris, [3] COSTINOT, A., RONCALLI T., TEILETCHE, J.: Revisiting the dependence between financial markets with copulas. Paris,

9 [4] DANIELSSON, J., DE VRIES, C. G.: Value-at-Risk and Extreme Returns. Extremes and Integrated Risk Management, edited by P. Embrechts. London, [5] DEMARTA, S., MCNEIL, A. J.: The t Copula and Related Copulas. ETH Zürich, [6] DI CLEMENTE, A., ROMANO, C.: Measuring Portfolio Value-at-Risk by a Copula EVT based Approach. Rome, [7] DIEBOLD, F. X., SCHUERMANN, T., STROUGHAIR, J. D.: Pitfalls and Opportunities in the Use of Extreme Value Theory in Risk Management. Extremes and Integrated Risk Management, edited by P. Embrechts. London, [8] DOWD, K.: An Introduction to Market Risk Measurement. John Wiley & Sons, Chichester, [9] EMBRECHTS, P., KLÜPPELBERG, C., MIKOSCH T.: Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. Springer Verlag, Berlin, [10] EMBRECHTS, P., LINDSKOG, F., MCNEIL, A. J.: Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management. Handbook of Heavy Tailed Distributions in Finance. edited by S. Rachev, Elsevier, Chapter 8, , [11] EMBRECHTS, P., MCNEIL, A., STRAUMANN, D.: Correlation and dependence in risk management: properties and pitfalls. Risk Management: Value at Risk and Beyond, ed. M.A.H. Dempster, Cambridge University Press, Cambridge, , [12] FREES, E. W., VALDEZ, E. A.: Understanding Relationships Using Copulas. North American Actuarial Journal, Volume 2, Number 1, 1 25, [13] HARTMANN, P., STRAETMANS, S., DE VRIES, C.G.: Asset Market Linkages in Crisis Periods. ECB Working Paper N. 71, [14] HARTMANN, P., STRAETMANS, S., DE VRIES, C.G.: The Breadth of Currency Crises [15] HULL, J.,WHITE, A.: Incorporating Volatility Updating into the Historical Simulation Method for Value at Risk. Journal of Risk, 5 19, Fall [16] CHAVEZ DEMOULIN, V., DAVISON, A. C., MCNEIL, A. J.: A point process approach to Value-at-Risk estimation. National Centre of Competence in Research, Zürich [17] CHOLLETE, L., DE LA PEÑA, V., LU, CH.: Comovement of International Financial Markets. Norwegian School of Economics and Business and Columbia University, [18] JONDEAU, E., ROCKINGER, M.: Conditional Dependency of Financial Series: The Copula GARCH Model. FAME Research Paper N. 69, Geneva, [19] KOLE, E., KOEDIJK, K., VERBEEK, M.: Stress Testing with student s t dependence. ERIM Report Series [20] LEGRAS, J., SOUPE, F.: Designing Multivariate Stress Scenarios: An extreme value approach. Societe Generale, [21] LONGIN, F. M.: From value at risk to stress testing: The extreme value approach, Journal of Banking & Finance 24, [22] MASHAL, R., ZEEVI, A.: Beyond Correlation: Extreme Co-movements Betweeen Financial Assets. Columbia University,

10 [23] MATTHYS, G., BEIRLANT, J.: Adaptive Treshold Selection in Tail Index Estimation. Extremes and Integrated Risk Management, edited by P. Embrechts. London, [24] MCNEIL, A. J.: Calculating Quantile Risk Measures for Financial Return Series using Extreme Value Theory. ETHZ Zentrum Zürich, [25] MCNEIL, A. J.: Extreme Value Theory for Risk Managers. Extremes and Integrated Risk Management, edited by P. Embrechts. London, [26] MCNEIL, A. J., FREY, R.: Estimation of tail related risk for heteroscedastic financial time series: an extreme value approach. Journal of Empirical Finance 7, [27] NELSEN, R.: An Introduction to Copulas. Springer, New York, [28] SEYMOUR, A. J., POLAKOW, D. A.: A Coupling of Extreme Value Theory and Volatility Updating with Value-at-Risk Estimation in Emerging Markets: A South African Test. Multinational Finance Journal, vol. 7, No. 1 & 2, 3 23, [29] SMITH, R. L.: Measuring Risk with Extreme Value Theory. Extremes and Integrated Risk Management, edited by P. Embrechts. London, [30] STARICA, C.: Multivariate Extremes for Foreign Exchange Data. Extremes and Integrated Risk Management, edited by P. Embrechts. London, [31] STRNAD, P.: Měření tržních rizik pomocí metody Value at Risk. E + M Ekonomie a Management 2/2005, Liberec, [32] STRNAD, P.: Výpočet VaRu pomocí EVT. Mezinárodní Baťova doktorandská konference. Recenzovaný sborník abstraktů z konference studentů doktorského studijního programu. Zlín, Summary Market Risk Management with the Usage of Extreme Value Theory and Copula Functions During past few years, the Value at Risk indicator evolved, without any doubts, into the most frequently used comprehensive tool for assessment of potential losses caused by adverse movements of market rates. However the basic models used for VaR assessment show significant deficiencies. This article presents calculations based on extreme value theory and usage of copula functions. EVT enables to calculate VaR on high probability levels, without making any limiting assumptions about the distribution of market rates. Copula functions describe dependencies between univariate distributions. Student copula enables to describe strong asymptotical dependencies even for non-correlated variables. Gumbel and Frank copula may characterize also non-symmetrical dependencies. 348