Rovnovážné modely v teorii portfolia

Transkript

1 3. září 2013, Podlesí

2 Obsah Portfolio a jeho charakteristiky Definice portfolia Výnosnost a riziko aktiv Výnosnost a riziko portfolia Klasická teorie portfolia Markowitzův model Tobinův model CAPM - model oceňování kapitálových aktiv Dynamická teorie portfolia Mertonův model Stochastická teorie portfolia Rovnovážný model s očekávanou výnosností jako funkcí ceny

4 Definice portfolia Portfolio množina aktiv (akcií, dluhopisů, peněz...) Finanční trh Portfolio aktivum aktivum aktivum aktivum aktivum aktivum aktivum aktivum aktivum

5 Definice portfolia Portfolio Finanční trh Portfolio aktivum aktivum aktivum aktivum aktivum aktivum aktivum aktivum aktivum Váhy portfolia relativní podíly aktiv obsažených v portfoliu X = (X 1,..., X n ) T, kde n j=1 X j = 1

6 Definice portfolia Výnosnost a riziko

7 Výnosnost a riziko aktiv Výnosnost aktiva Míra výnosnosti relativní zisk nebo ztráta z investice náhodná veličina r j očekávaná výnosnost E(r j ) = µ j rozptyl výnosnosti D(r j ) = σ 2 j r j (t, t + t) = P j (t+ t) P j (t) P j (t)

8 Výnosnost a riziko aktiv Riziko aktiva Riziko směrodatná odchylka výnosnosti aktiva D(r j ) = σ j

9 Výnosnost a riziko portfolia Výnosnost portfolia Výnosnost portfolia náhodná veličina r p = n j=1 X jr j očekávaná výnosnost portfolia E(r p ) = µ p = n j=1 X jµ j rozptyl výnosnosti portfolia D(r p ) = σ 2 p

10 Výnosnost a riziko portfolia Riziko portfolia Riziko směrodatná odchylka výnosnosti portfolia D(r p ) = σ p σ p = n k=1 X jx k σ jk, n j=1 kde C(r j, r k ) = σ jk je kovariance výnosností aktiva j a aktiva k

12 Moderní teorie portfolia Harry Markowitz (1952) Tobinův model (1958) CAPM - Sharpe (1964), Lintner (1965) a Mossin (1966)

13 Markowitzův model Markowitzova teorie portfolia prostor výnosnost-riziko očekávaná výnosnost aktiva riziko

14 Markowitzův model Markowitzova teorie portfolia množina přípustných portfolií očekávaná výnosnost aktiva přípustná portfolia riziko

15 Markowitzův model Markowitzova teorie portfolia množina efektivních portfolií očekávaná výnosnost efektivní portfolia aktiva přípustná portfolia riziko

16 Tobinův model Tobinův model rizikově neutrální aktivum očekávaná výnosnost aktiva přípustná portfolia rizikově neutrální aktivum riziko

17 Tobinův model Tobinův model množina efektivních portfolií očekávaná výnosnost efektivní portfolia aktiva přípustná portfolia rizikově neutrální aktivum riziko

18 Tobinův model Tobinův model tangenciální portfolio očekávaná výnosnost tangenciální portfolio aktiva přípustná portfolia rizikově neutrální aktivum riziko

19 Tobinův model Tobinův model tangenciální portfolio separační věta očekávaná výnosnost tangenciální portfolio aktiva přípustná portfolia rizikově neutrální aktivum riziko

20 CAPM - model oceňování kapitálových aktiv CAPM zkoumá chování trhu vychází z Tobinova modelu Předpoklady modelu: investoři při sestavování portfolia využívají Markowitzův přístup investoři mají homogenní očekávání

21 CAPM - model oceňování kapitálových aktiv CAPM tržní portfolio očekávaná výnosnost tržní portfolio aktiva přípustná portfolia rizikově neutrální aktivum riziko

22 CAPM - model oceňování kapitálových aktiv Důsledky CAPM Důsledkem CAPM je tržní rovnováha a separační věta. Věta (Separační věta) Všichni investoři drží portfolia se stejnými relativními podíly rizikových aktiv bez ohledu na svou rizikovou averzi a své portfolio doplňují bezrizikovým aktivem dle svých rizikových preferencí. Definice (Tržní rovnováha) Pojem tržní rovnováha označuje takovou situaci, při které je nabídka vyrovnána s poptávkou.

23 CAPM - model oceňování kapitálových aktiv Dynamická tržní rovnováha Definice (Dynamická rovnováha) Kapitálový trh je v dynamické rovnováze právě tehdy, když v každém čase t, pro každé aktivum j a každého investora i existuje vektor cen aktiv P(t) takový, že w j (i, t) = N j (t)p j (t) = V j (t), i I kde V j (t) je tržní hodnota aktiva j v čase t a w j (i, t) je optimální množství bohatství investované investorem i do aktiva j v čase t. Ceny P(t) se nazývají tržní ceny.

25 Klasická teorie portfolia x Dynamická teorie portfolia Klasická teorie Dynamická teorie portfolia portfolia čas diskrétní spojitý výhody intuitivní realistický nevýhody nezohledňuje složitý změny

26 Mertonův model Mertonův model předpokládá rovnováhu na trhu (CAPM) Model pro proces ceny aktiva P(t) je dán dp(t) = P(t)µdt + P(t)σdW (t), kde P(t) je cena podkladového aktiva v čase t a W (t) je Wienerův proces. separační věta bezrizikové aktivum & tržní portfolio

27 Mertonův model Bezrizikové aktivum & Tržní portfolio Cena bezrizikového aktiva se řídí následujícím modelem db(t) = B(t)r f (t)dt, kde B(t) je cena bezrizikového aktiva v čase t, r f (t) je míra výnosnosti bezrizikového aktiva. Cena tržního portfolia P(t) se řídí modelem dp(t) = P(t)µ p dt + P(t)σ p dw (t), kde W (t) je Wienerův proces a µ p, σ p jsou konstanty.

28 Mertonův model Optimální portfolio Investorovo bohatství w(t) je proces popsaný modelem dw(t) w(t) = X p(t) dp(t) P(t) + ( 1 X p (t) ) r f dt, kde X p (t) označuje váhu pro tržní portfolio a X f = (1 X p (t)) označuje váhu pro bezrizikové aktivum. Merton odvodil explicitní řešení pro případ, kdy charakteristiky (očekávaná hodnota a rozptyl) výnosností aktiv jsou konstanty.

29 Mertonův model Ohlson-Rosenbergův Paradox Rosenberg and Ohlson (1976) objevili nekonzistenci Mertonova modelu rozpor mezi předpoklady: µ p, σ p jsou konstanty & tržní rovnováhou

30 Stochastická teorie portfolia Stochastická teorie portfolia Robert Fernholz (2002) Předpoklady modelu: parametry procesu ceny aktiva jsou také stochastické procesy nepředpokládá tržní rovnováhu nepředpokládá neexistenci arbitráže

31 Stochastická teorie portfolia Logaritmický model cen aktiv Fernholz používá logaritmický model d log P j (t) = γ j (t)dt + n ξ jk (t)dw k (t), k=1 kde P j (t) je cena aktiva j v čase t, γ j (t) a ξ jk (t) jsou stochastické procesy a W (t) = (W 1 (t),..., W n (t)) T je n-rozměrný Wienerův proces. γ j (t) se nazývá tempo růstu ξ jk (t) se nazývá proces volatility

32 Stochastická teorie portfolia Tempo růstu a volatilita Tempo růstu a míra výnosnosti jsou spolu ve vztahu µ j (t) = γ j (t) n ξ 2 jk (t). k=1 Volatilita ξ je maticová odmocnina kovarianční matice Σ, Σ = ξξ T.

33 Rovnovážný model s očekávanou výnosností jako funkcí ceny Rovnovážný model s očekávanou výnosností jako funkcí ceny Předpoklady modelu: očekávaná výnosnost není konstantní (je funkcí ceny) tržní rovnováha

34 Rovnovážný model s očekávanou výnosností jako funkcí ceny Ceny aktiv Předpokládáme, že ceny aktiv splňují stochastickou diferenciální rovnici (SDE) dp j (t) = P j (t)µ j (t)dt + P j (t) n ξ jk (t)dw k (t), (1) k=1 kde W (t) = (W 1 (t),..., W n (t)) T je n-rozměrný Wienerův proces, µ j (t) je očekávaná výnosnost aktiva j a ξ jk (t) jsou volatility aktiv.

35 Rovnovážný model s očekávanou výnosností jako funkcí ceny Váhy tržního portfolia Pro vektor vah tržního portfolia uvažujeme následující vztah X = Σ 1 µ 1 T Σ 1 µ, (2) kde 1 je vektor jedniček, µ = (µ 1,..., µ n ) T je vektor očekávaných výnosností aktiv a Σ je kovarianční matice výnosností aktiv. váhy tržního portfolia jsou rovny relativní tržní hodnotě X = V 1 T V vektor očekávaných výnosností (3) µ = ΣV (4)

36 Rovnovážný model s očekávanou výnosností jako funkcí ceny Zjednodušující předpoklady pro SDE cen aktiv Předpoklady modelu: matice Σ je diagonální rizika aktiv σ j jsou konstantní počety aktiv N j jsou konstantní Z těchto předpokladů a z SDE (1) dostáváme dp j (t) = P 2 j (t)σ j 2 N j dt + P j (t)σ j dw j (t).

37 Rovnovážný model s očekávanou výnosností jako funkcí ceny Očekávaná cena aktiva Hledáme vztah pro očekávanou cenu aktiva. E ( dp j (t) ) = E ( P 2 j (t)σ j 2 N j dt )

38 Rovnovážný model s očekávanou výnosností jako funkcí ceny Očekávaná cena aktiva Hledáme vztah pro očekávanou cenu aktiva. E ( dp j (t) ) = E ( P 2 j (t)σ j 2 N j dt ) Úpravami získáme obyčejnou diferenciální rovnici (ODE) de ( P j (t) ) = σ j 2 N j E ( P 2 j (t) ) dt = σ j 2 N j [ D ( Pj (t) ) + E 2( P j (t) )] dt = σ j 2 N j [ σj 2 + E 2( P j (t) )] dt

39 Rovnovážný model s očekávanou výnosností jako funkcí ceny Očekávaná cena aktiva Hledáme vztah pro očekávanou cenu aktiva. E ( dp j (t) ) = E ( P 2 j (t)σ j 2 N j dt ) Úpravami získáme obyčejnou diferenciální rovnici (ODE) de ( P j (t) ) = σ j 2 N j E ( P 2 j (t) ) dt = σ j 2 N j [ D ( Pj (t) ) + E 2( P j (t) )] dt = σ j 2 N j [ σj 2 + E 2( P j (t) )] dt

40 Rovnovážný model s očekávanou výnosností jako funkcí ceny Očekávaná cena aktiva Hledáme vztah pro očekávanou cenu aktiva. E ( dp j (t) ) = E ( P 2 j (t)σ j 2 N j dt ) Úpravami získáme obyčejnou diferenciální rovnici (ODE) Řešení ODE je de ( P j (t) ) = σ j 2 N j E ( P 2 j (t) ) dt = σ j 2 N j [ D ( Pj (t) ) + E 2( P j (t) )] dt = σ j 2 N j [ σj 2 + E 2( P j (t) )] dt E ( P j (t) ) = σ j tan ( σ j 3 N j t ).

41 Rovnovážný model s očekávanou výnosností jako funkcí ceny Předpoklady pro SDE cen aktiv Předpoklady modelu: matice Σ je diagonální rizika aktiv σ j jsou konstantní počety aktiv N j jsou konstantní Z těchto předpokladů a z SDE (1) dostáváme n n dp j (t) = P j (t) P k (t)n k (t)σ jk dt + P j (t) ξ jk (t)dw k (t). k=1 k=1

42 Rovnovážný model s očekávanou výnosností jako funkcí ceny Očekávaná cena aktiva Hledáme vztah pro očekávanou cenu aktiva. E ( dp j (t) ) ( ) n = E P j (t) P k (t)n k (t)σ jk dt k=1 Úpravami získáme systém diferenciálních rovnic de ( P j (t) ) [ n = N j σ 2 jk + E ( P j (t) ) n σ jk E ( P k (t) )] dt k=1 k=1

43 Rovnovážný model s očekávanou výnosností jako funkcí ceny Kam dál? numerické metody simulace x reálná data odhad ξ???? Σ = ξξ T

44 Literatura FABOZZI, F. J. et al Bayesian Methods in Finance. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons. ISBN FERNHOLZ, E. R., Stochastic Portfolio Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN MERTON, R. C., Optimum Consumption and Portfolio Rules in a Continuous-Time Model. Journal of Economic Theory. 3, p ROSENBERG, B., OHLSON, J. A., The Stationary Distribution of Returns and Portfolio Separation in Capital Markets: A Fundamental Contradiction. Journal of Financial and Quantitative Analysis. 11, p

45 Děkuji za pozornost.