SLOŽENÉ VÝROKY. Konjunkce. Motivační příklad společné zadání pro další příklady:

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "SLOŽENÉ VÝROKY. Konjunkce. Motivační příklad společné zadání pro další příklady:"

Anna Pokorná
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 ARNP Př. 1 SLOŽENÉ VÝROKY Motivační příklad společné zadání pro další příklady: Byly vysloveny následující výroky (vhledem k budoucímu času se jedná o hypotézy) : b: Na přednášku přijde Barbora. t: Na přednášku přijde Tomáš. Konjunkce Vyslovíme následující složený výrok: Na přednášku přijde Barbora a na přednášku přijde Tomáš. (Podrobněji můžeme říci: Na přednášku přijde Barbora a zároveň na přednášku přijde Tomáš. V běžné řeči spíše řekneme: Na přednášku přijde Barbora a Tomáš. Případně: Na přednášku přijde Barbora i Tomáš.) Posuňme se nyní v čase tak, abychom znali skutečnou účast studentů na přednášce. Kolik je možností pro účast obou studentů na přednášce? Jaké jsou ty možnosti? Barbora přišla. Tomáš přišel. Barbora přišla. Tomáš nepřišel. Barbora nepřišla. Tomáš přišel. Barbora nepřišla. Tomáš nepřišel. Kdy je složený výrok (konjunkce) pravdivý? Konjunkce libovolných výroků a, b je výrok, který vznikne jejich spojením spojkou a. Konjunkci zapisujeme zápisem a b tento zápis čteme a a zároveň b. Konjunkce libovolných výroků je pravdivá pouze tehdy, když jsou pravdivé oba výroky a, b.

2 Příklad na procvičení A: Zapište pomocí logické spojky pro konjunkci následující výroky: Na přednášku přijde Barbora, ale nepřijde Tomáš. Na přednášku nepřijde Barbora, ale přijde Tomáš. Na přednášku nepřijde Barbora ani Tomáš. Vyhodnoťte jejich pravdivostní hodnotu Příklad na procvičení B: Jsou dány výroky: a: Číslo 5 je prvočíslo. b: Číslo 5 je sudé. c: Číslo 5 je liché. d: Číslo 5 je záporné. Vytvořte výroky a d, a c, b c, b d a určete, jak závisí pravdivost konjunkce na pravdivosti výroků, které ji tvoří. Disjunkce Vyslovíme následující složený výrok: Na přednášku přijde Barbora nebo na přednášku přijde Tomáš. (V běžné řeči: Na přednášku přijde Barbora nebo Tomáš.) Posuňme se opět v čase tak, abychom znali skutečnou účast studentů na přednášce. Kolik je možností pro účast obou studentů na přednášce? Jaké jsou ty možnosti? Barbora přišla. Tomáš přišel. Barbora přišla. Tomáš nepřišel. Barbora nepřišla. Tomáš přišel. Barbora nepřišla. Tomáš nepřišel. Kdy je složený výrok (disjunkce) pravdivý?

3 Disjunkce libovolných výroků a, b je výrok, který vznikne jejich spojením spojkou nebo. Disjunkci výroků zapisujeme zápisem a b a tento zápis čteme a nebo b. (POZOR: Spojka nebo má nevylučovací význam!) Disjunkce libovolných výroků je pravdivá pouze tehdy, je-li pravdivý aspoň jeden z výroků a, b. Příklad na procvičení A: Zapište pomocí logické spojky pro disjunkci následující výroky: Na přednášku přijde Barbora nebo nepřijde Tomáš. Na přednášku nepřijde Barbora nebo přijde Tomáš. Na přednášku nepřijde Barbora nebo nepřijde Tomáš. Vyhodnoťte jejich pravdivostní hodnotu. Příklad na procvičení B: Vytvořte výroky a d, a c, b c, b d (použijte výroky z minulého příkladu B) a určete, jak závisí pravdivost disjunkce na pravdivosti výroků, které ji tvoří. Ostrá disjunkce: Vyslovíme následující složený výrok: Na přednášku přijde buď Barbora, nebo na přednášku přijde Tomáš. (V běžné řeči: Na přednášku přijde buď Barbora, nebo Tomáš.) Posuňme se opět v čase a vyhodnoťte pravdivost složeného výroku (ostré disjunkce). Ostrá disjunkce výroků a, b je výrok, který vznikne jejich spojením slovy buď a, nebo b. Ostrou disjunkci zapisujeme zápisem a b. Ostrá disjunkce výroků a, b je pravdivá právě tehdy, když je pravdivý právě jeden z výroků a, b. V tomto případě má spojka buď, nebo význam vylučovací. Příklad na procvičení A: Zapište pomocí logické spojky (ostrá disjunkce) následující výroky: Na přednášku buď nepřijde Barbora, nebo tam přijde Tomáš.

4 Na přednášku buď přijde Barbora, nebo tam nepřijde Tomáš. Tabulka pravdivostních hodnot: a b a b a b a b a b a b a b (a b) ( a b) ( a b) Negace složených výroků konjunkce a disjunkce Negace konjunkce Negací konjunkce výroků a, b je disjunkce jejich negací a, b. Platí: ( a b) a b (Symbol znamená, že výroky jsou logicky ekvivalentní mají ve všech případech stejnou pravdivostní hodnotu.) Negace disjunkce Negací disjunkce výroků a, b je konjunkce jejich negací a, b. Platí: ( a b) a b Příklad na procvičení A: Negujte (utvořte negace) složených výroků z příkladů na procvičení typu A. Příklad: Negujte následující výroky: Mám mladšího bratra a starší sestru. Budu si číst nebo půjdu do kina.

5 Karel má notebook, ale nemá mobil. Půjdu na fotbal nebo nepůjdu ven. Lukáš jede sem nebo má vypnutý mobil. Aleš práci nedokončil a odešel domů. Nevezmu si bonbon ani zákusek. Implikace Vyslovíme následující složený výrok: Jestliže na přednášku přijde Barbora, pak na přednášku přijde Tomáš. (V běžné řeči: Přijde-li na přednášku Barbora, přijde tam Tomáš. Pokud na přednášku přijde Barbora, přijde tam i Tomáš.) Posuňme se opět v čase tak, abychom znali skutečnou účast studentů na přednášce. Kolik je možností pro účast obou studentů na přednášce? Jaké jsou ty možnosti? Barbora přišla. Tomáš přišel. Barbora přišla. Tomáš nepřišel. Barbora nepřišla. Tomáš přišel. Barbora nepřišla. Tomáš nepřišel. Kdy je složený výrok (implikace) pravdivý? Implikace vznikne, když dva výroky a, b spojíme pomocí slovního spojení jestliže a, pak b. Používáme označení a b. Implikace je nepravdivá v jediném případě, když je první výrok pravdivý a druhý nepravdivý. V ostatních případech je implikace pravdivá (když jsou oba výroky pravdivé a také v obou případech, když první výrok je nepravdivý, nezávisle na druhém výroku). Poznámka: Jestliže prší, pak jsou na obloze mraky. K tomu, aby na obloze byly mraky, postačuje, aby pršelo. (To, že prší, je postačující podmínka pro to, aby na obloze byly mraky.) K tomu aby pršelo, je nutné, aby na obloze byly

6 mraky, ale nestačí to. (To, že na obloze jsou mraky, je nutná podmínka pro to, aby pršelo, ale není to podmínka postačující.) Příklad na procvičení A: Zapište pomocí logické spojky pro implikaci následující složené výroky: Jestliže na přednášku nepřijde Barbora, potom tam nepřijde ani Tomáš. Bude-li na přednášce Tomáš, pak tam určitě nepřijde Barbora. Vyhodnoťte jejich pravdivostní hodnotu. Ekvivalence Vyslovíme následující složený výrok: Na přednášku přijde Barbora, právě tehdy, když na přednášku přijde Tomáš. (V běžné řeči: Na přednášku přijde Barbora, právě když tam přijde Tomáš. Barbora přijde na přednášku tehdy a jen tehdy, když tam přijde Tomáš.) Posuňme se opět v čase tak, abychom znali skutečnou účast studentů na přednášce. Kolik je možností pro účast obou studentů na přednášce? Jaké jsou ty možnosti? Barbora přišla. Tomáš přišel. Barbora přišla. Tomáš nepřišel. Barbora nepřišla. Tomáš přišel. Barbora nepřišla. Tomáš nepřišel. Kdy je složený výrok (ekvivalence) pravdivý? Ekvivalence vznikne, když dva výroky a, b spojíme pomocí slovního spojení a právě tehdy, když b. Používáme označení a b. Ekvivalence je pravdivá, mají-li oba výroky stejnou pravdivostní hodnotu (jsou buď oba pravdivé, nebo oba nepravdivé). Mají-li výroky opačné pravdivostní hodnoty, je ekvivalence nepravdivá. Platí: a b ( a b) ( b a).

7 Příklad na procvičení A: Zapište pomocí logické spojky pro ekvivalenci následující složené výroky: Barbora nepřijde na přednášku, právě když tam nepřijde Tomáš. Barbora přijde na přednášku, právě když tam nebude Tomáš. Vyhodnoťte jejich pravdivostní hodnoty. Příklad: Víte-li, že v označuje výrok Byl tady Vilém., h označuje výrok Byl tady Hynek. a j označuje výrok Byla tady Jarmila., co znamená: 1. ( v j) ( h j) 2. ( v j) h 3. v j 4. v ( j h) 5. h ( j v) 6. v j 7. ( h j) ( h v) 8. h v j

8 Negace implikace a ekvivalence Tabulka: a b a b a b a b ( a b) ( a b) a b ( a b) ( a b) Negací implikace a Platí: ( a b) a b bje výrok a b. Negací ekvivalence a b je výrok ( a b) ( a b) Platí: ( a b) ( a b) ( a b) a b Obrácená implikace a obměna implikace: Obrácenou implikací k implikaci a Obměnou implikace a b nazýváme implikaci b a. b nazýváme implikaci b a. Obměna implikace má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako implikace původní (jsou logicky ekvivalentní).

9 Tabulka: a b a b a b b a b a Příklad: K daným implikacím určete jejich negace, obměny a obrácené implikace: Jestliže prší, je na ulici mokro. Bude-li mít Petrův autobus zpoždění, nestihne přijít včas. Nemáme-li na vybranou, podřídíme se vašemu příkazu. Když nezavoláš včas, půjdu do kina sám. Když seženu lístky na hokej, nepůjdu do kina. Jestliže Jana nepřijde v sobotu, přijde v neděli. Aleš neumí bruslit, jestli neumí Bořek. Jestli si nevezmu deštník, určitě bude pršet. Příklad: K daným výrokům určete jejich negace: Budu se v neděli učit matematiku, právě když v knihovně seženu učebnici. Buď půjdu do školy, nebo půjdu k lékaři. Koupím si lístek do kina, jen tehdy, když neseženu lístek na hokej. Číslo je buď dělitelné třemi, nebo je jeho ciferný součet dělitelný třemi. Máme pivo a minerálky. Osvěžíme se čajem nebo kávou.

10 Jestliže budu obědvat vepřové, budu pít pivo. Nemám hlad ani žízeň. Nemám hlad a nemám žízeň. Nemám hlad a mám žízeň. Bude-li ke koupi čekanka, nekoupím salát. Doma nebudu tehdy a jen tehdy, když nebude pršet.

Podobné dokumenty

MATA Př 2. Složené výroky: Jsou dány výroky: a: Číslo 5 je prvočíslo. b: Číslo 5 je sudé. c: Číslo 5 je liché. d: Číslo 5 je záporné.

MATA Př 2. Složené výroky: Jsou dány výroky: a: Číslo 5 je prvočíslo. b: Číslo 5 je sudé. c: Číslo 5 je liché. d: Číslo 5 je záporné. MATA Př 2 Složené výroky: Jsou dány výroky: : Číslo 5 je prvočíslo. : Číslo 5 je sudé. c: Číslo 5 je liché. d: Číslo 5 je záporné. Konjunkce disjunkce Konjunkce liovolných výroků, je výrok, který vznikne