Matematika pro informatiky KMA/MATA

Transkript

1 Matematika pro informatiky KMA/MATA

2 Informace k předmětu Mgr. Přemysl Rosa rosapr00@pf.jcu.cz, J349 Konzultační hodiny v ZS: úterý 10-11, čtvrtek nebo individuálně po předchozí domluvě aktivní účast na seminářích - povolené 2 absence napsat zkouškový test na 50% a zároveň prokázat znalost ze všech probraných kapitol ústní zkouška (pokud součet bodů ze všech zápočtových testů přesáhne 50%, jde student rovnou na ústní část zkoušky) zápočtové testy se píší vždy na cvičení: 5. týden výuky (výroky a číselné soustavy, vektory) 10. týden výuky (kapitoly analytická geometrie, matice, hodnost, determinanty, čtvercové matice, soustavy lineárních rovnic) 13. týden výuky (funkce - D(f), skládání, inverzní funkce a derivace, derivace vyšších řádů) Literatura: TLUSTÝ, P. Lineární algebra a její aplikace. České Budějovice: JU PF, NÝDL,V. a R. LEXOVÁ Matematika České Budějovice: JU ZF.

3 Výroky a výroková logika

4 Logika Z řeckého slova logos- slovo, smysluplná řeč. Popisuje pravidla odvozování jedněch výroků z druhých. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles (sylogistická logika). Každý člověk je smrtelný. Aristoteles je člověk. Aristoteles je smrtelný.

5 Výroková logika Obohacení logiky o symbolickou logiku. Obsahuje syntaktická, odvozovací pravidla. Gottfried Leibniz, George Boole a Augustus De Morgan, Gottlob Frege Rozšířením je predikátová logika kvantifikátory.

6 Výroková logika Výrok: tvrzení, o němž má smysl prohlásit, že je pravdivé nebo nepravdivé (oznamovací věta, zápis pomocí matematických symbolů) Značení malými písmeny latinské abecedy (a, b, c, ) Pravdivost či nepravdivost výroku pravdivostní hodnota p(a) = 0 p(b) = 1 nepravda pravda

7 Výroky? Venku svítí slunce. Jak se jmenuješ? V roce 2011 zasáhlo Japonsko zemětřesení. Informatika patří mezi přírodní vědy. Podej mi tužku, prosím. Součet vnitřních úhlu čtyřúhelníku je 360. Do roku 2050 budou na Marsu žít lidé.

8 Výroky? = = 9 9 < 11 Praha má více obyvatel než Brno. Rekonstrukce tunelu Blanka. Zavřete prosím okna. 12 < x

9 Výroky s neznámou v: 12 < x D v R P v = 13; Tedy, máme výrok 12 < x. Definičním oborem tohoto výroku D(v) je množina všech reálných čísel, kdežto oborem pravdivosti je množina čísel od 13 do nekonečna P(v). Množina pravdivosti, je tedy podmnožinou definičního oboru. Množinu pravdivosti označujeme jako obor pravdivosti.

10 Logické operace a logické spojky Logická operace Logická spojka Čteme Negace a Není pravda, že a. Disjunkce a b a nebo b. Ostrá disjunkce a b Buď a, nebo b. Konjunkce a b a a b, a a zároveň b. Implikace a b Jestliže a, potom b. Ekvivalence a b a právě tehdy, jestliže b.

11 Výroková formule a) Každý výrok je formulí výrokové logiky. b) Jsou-li a a b formule výrokové logiky, potom jsou i výroky a, a b, a b, a b, a b, a b jsou rovněž formule výrokové logiky. c) Všechny formule výrokové logiky vznikají konečným počtem pravidel a) a b).

12 Negace výroku Výrok, který má opačnou pravdivostní hodnotu než výrok daný. Nejjednodušší způsob vytvoření negace: Není pravda, že (z hlediska českého jazyka však není tento způsob vždy vhodný) Hovoří-li daný výrok o určitých možnostech, musí jeho negace zahrnovat všechny zbývající možnosti. Značíme: výrok a negace a

13 Negace výroku Číslo 13 je prvočíslo. Martin je vyšší než Pavel. Tato tabule je bílá. Přesně 21 studentů je dnes na přednášce. Z těchto studentů pochází nejvýše 5 studentů z ČB. Všichni žáci postoupili do vyššího ročníku. Každý čtyřúhelník je čtverec.

14 a: Každý prvek množiny M má danou vlastnost. a: Alespoň jeden prvek množiny M nemá danou vlastnost. b: Alespoň jeden prvek množiny M má danou vlastnost. b: Žádný prvek množiny M nemá danou vlastnost. c: Množina M má alespoň k prvků. c: Množina M má nejvýše k-1 prvků. d: Množina M má nejvýše k prvků. d: Množina M má alespoň k+1 prvků. e: Množina M má právě k prvků. e: Množina M má nejvýše k-1 prvků nebo alespoň k+1 prvků

15 Konjunkce Konjunkce libovolných výroků a, b je výrok, který vznikne jejich spojením spojkou a. Konjunkci čteme a a zároveň b. Konjunkce libovolných výroků je pravdivá pouze tehdy, když jsou pravdivé oba výroky a, b. Značíme: a b

16 Disjunkce Disjunkce libovolných výroků a, b je výrok, který vznikne jejich spojením spojkou nebo. Disjunkci čteme a nebo b. Disjunkce libovolných výroků je pravdivá pouze tehdy, je-li pravdivý alespoň jeden z výroků a,b. Značíme: a b

17 Ostrá disjunkce Ostrá disjunkce libovolných výroků a, b je výrok, který vznikne jejich spojením slovy buď a nebo b. Ostrá disjunkce libovolných výroků je pravdivá pouze tehdy, Když je pravdivý právě jeden z výroků a, b. Značíme: a b

18 Negace konjunkce Platí: a b = a b Negace disjunkce Platí: a b = a b

19 Implikace Implikace vznikne, když dva výroky a, b spojíme pomocí slovního spojení jestliže a, pak b. Implikace je nepravdivá v jediném případě, když je první výrok pravdivý a druhý nepravdivý. V ostatních případech je implikace pravdivá (také v obou případech, když první výrok je nepravdivý). Značíme: a b

20 Ekvivalence Ekvivalence vznikne, když dva výroky a, b spojíme pomocí slovního spojení a právě tehdy, když b. Ekvivalence je pravdivá pouze tehdy, mají-li oba výroky stejnou pravdivostní hodnotu (buď jsou oba pravdiví nebo oba nepravdivé). Značíme: a b Platí: a b = (a b) (b a)

21 Negace implikace Platí: a b = a b Negace ekvivalence Platí: a b = a b a b = a b

22 Obrácená implikace Obrácenou implikací k implikaci a b nazýváme implikaci b a. Obměna implikace Obměnou implikace a b nazýváme implikaci b a. Obměna implikace má vždy stejnou pravdivostní hodnotu jako implikace původní (logicky ekvivalentní). Důkaz nepřímý.

23 Význam logických spojek a b a a b a b a b a b a b

24 Tautologie Tautologií je každá formule výrokové logiky, která je vždy pravdivá, bez ohledu na pravdivost či nepravdivost vstupujících výroků. Např. a a Kontradikce Kontradikcí je každá formule výrokové logiky, která je vždy nepravdivá, bez ohledu na pravdivost či nepravdivost vstupujících výroků. Např. a a

25 Úsudky Myšlenkový proces, kterým z pravdivosti daných výroků (předpokladů) vyvozujeme pravdivost jiného výroku (závěr). U1:a b pravda a pravda b pravda předpoklady závěr Ověření správnosti úsudku provádíme pomocí tabulky pravdivostních hodnot. Úsudek je správný, pokud ve všech případech, kdy jsou splněny předpoklady je splněn i závěr.

26 Úsudky Myšlenkový proces, kterým z pravdivosti daných výroků (předpokladů) vyvozujeme pravdivost jiného výroku (závěr). U1:a b pravda a pravda b pravda předpoklady závěr a b a b Ověření správnosti úsudku provádíme pomocí tabulky pravdivostních hodnot. Úsudek je správný, pokud ve všech případech, kdy jsou splněny předpoklady je splněn i závěr.

27 Úsudky Myšlenkový proces, kterým z pravdivosti daných výroků (předpokladů) vyvozujeme pravdivost jiného výroku (závěr). U1:a b pravda a pravda b pravda Správný úsudek předpoklady závěr a b a b Ověření správnosti úsudku provádíme pomocí tabulky pravdivostních hodnot. Úsudek je správný, pokud ve všech případech, kdy jsou splněny předpoklady je splněn i závěr.