1. Stanovte velikost rychlosti světla ve vzduchu. 2. Stanovte velikosti rychlostí světla v kapalinách a zjistěte odpovídající indexy lomu.

Transkript

1 46 Rychlost světla ÚKOL. Stanovte velikost rychlosti světla ve vzduchu. 2. Stanovte velikosti rychlostí světla v kapalinách a zjistěte odpovídající indexy lomu. TEORIE Připomeňme si některé základní poznatky. Z Maxwellových rovnic plyne pro fázovou rychlost (dále jen rychlost) šíření světla v v daném prostředí vztah v =, (46.) εε µµ r 0 r 0 kde ε r a µ r jsou relativní permitivita a permeabilita a charakterizují prostředí. Ve vakuu mají hodnotu rovnou jedné. Permitivita a permeabilita vakua jsou univerzální konstanty s hodnotami ε0 = 8, F m a µ 0 =, H m = 4π 0 H m. Rychlost světla ve vakuu je proto dána vztahem c =. (46.2) εµ Rychlost světla ve vakuu je nejvyšší možná rychlost, které lze dosáhnout. Její velikost 8 je přibližně c 3.0 m s. Pro vzduch lze ε r i µ r považovat také za jednotky a rychlost světla ve vzduchu za téměř shodnou s rychlostí ve vakuu. Budeme proto i pro rychlost světla ve vzduchu používat písmeno c, stejně jako pro rychlost světla ve vakuu. Index lomu prostředí je dán podílem rychlosti světla ve vakuu a rychlosti světla v daném prostředí, c n = = εµ r r. (46.3) v Pro většinu průhledných materiálů je µ r. Relativní permitivita ε r a proto ani index lomu nejsou však pro dané prostředí konstantní, ale závisí na frekvenci. Tento jev se nazývá disperze. Pro vakuum (a přibližně pro vzduch) je n =, jinak vždy n >. Je-li n > n2, označujeme první prostředí za opticky hustší a druhé za opticky řidší. V homogenním optickém prostředí se světlo šíří přímočaře. Jeho směr znázorňujeme přímkami světelnými paprsky. Odraz a lom světelného paprsku na rozhraní dvou prostředí popisujeme pomocí úhlů dopadu, odrazu a lomu. Tyto úhly se měří mezi paprskem a kolmicí vztyčenou v místě dopadu paprsku na rozhraní. Při dopadu světelného paprsku na rozhraní dvou prostředí se světlo částečně nebo zcela odráží, a to tak, že úhel dopadu α se rovná úhlu odrazu α a paprsek zůstává v rovině dopadu. Při odrazu zůstává paprsek ve svém původním prostředí, jeho rychlost se nemění a proto úhel odrazu nezávisí na frekvenci světla. Dojde-li při dopadu paprsku na rozhraní dvou prostředí pod úhlem α různým od nuly k lomu, postupuje paprsek v druhém prostředí změněným směrem a svírá s kolmicí dopadu úhel lomu β. Lomený paprsek zůstává v rovině dopadu. Platí Snellův zákon n sinα = n sin β, (46.4) kde n, n 2 jsou indexy lomu prvního a druhého prostředí. Pokud dopadá paprsek kolmo na rozhraní (α = 0) prochází paprsek do druhého prostředí nezlomen. 46/

2 Přechází-li světlo z prostředí opticky řidšího do prostředí opticky hustšího je úhel β < α a lomený paprsek se přiklání ke kolmici. V opačném případě kdy přechází světlo z prostředí opticky hustšího do prostředí opticky řidšího, je úhel β > α a nastává lom od kolmice. Poroste li za této situace úhel dopadu, pak při dosažení hodnoty α m bude úhel lomu β = 90. Úhel α m nazýváme mezní úhel a platí pro něj m 2 sinα = n n. (46.5) Při dalším růstu úhlu dopadu α > αm již k lomu nedochází a veškeré dopadající světlo se odráží, nastává úplný (totální) odraz. Světlo je elektromagnetické vlnění. Vztah mezi jeho vlnovou délkou, frekvencí a rychlostí je (obecně) λ v= = fλ. (46.6) T Při průchodu světla rozhraním optických prostředí se frekvence světla nemění. Mění se však jeho rychlost a tudíž i vlnová délka. Platí c v f = λ = λ, (46.7) 0 kde λ0 je vlnová délka světla ve vakuu (resp. ve vzduchu) a λ je vlnová délka světla v daném prostředí. Vzhledem k definici indexu lomu platí λ0 λ =. (46.8) n Přechází-li tedy světlo z jedné látky do druhé, změní se jeho vlnová délka, ale ne frekvence. Nezmění se tedy ani barva světla, která je určena frekvencí. Bílé světlo je složené z jednoduchých barevných (monofrekvenčních) světel o frekvencích v rozmezí 7,7.0 4 Hz (fialová barva) až 3,8.0 4 Hz (červená barva), čemuž odpovídají ve vzduchu vlnové délky od 400 nm do 780 nm. PRINCIP METODY MĚŘENÍ Jak již bylo zmíněno, velikost rychlosti světla ve vzduchu je přibližně 3. 0 m s. 46/2 8 Její stanovení ze znalosti času t, který světlo potřebuje k proběhnutí určité dráhy, použitím vztahu c= t, je obtížné. Problémy jsou buď s měřením na příliš velké vzdálenosti, nebo s odečítáním velmi krátkého časového intervalu. Jedno z možných řešení spočívá v použití světla modulovaného signálem o dostatečně vysoké frekvenci. V tomto případě i relativně malá změna vzdálenosti, kterou světlo urazí, způsobí významnou změnu fáze. Tuto změnu lze zjistit porovnáním fáze signálů vysílače modulovaného světla a přijímače téhož světla, které urazilo nastavenou vzdálenost. Rychlost světla se pak vypočítá z dráhy světla a z času za který se po proběhnutí nastavené vzdálenosti změní fáze světla. Tento čas lze snadno stanovit, protože známe frekvenci, kterou světlo modulujeme.

3 Obr. 46. Princip měření rychlosti světla ve vzduchu je schematicky znázorněn na obr Všechny elektronické prvky, zdroj i detektor světla jsou umístěny v operační jednotce. Střídavé napětí o frekvenci f = 50,0 MHz je přiváděno na LED diodu. Emitované světlo dopadá na soustavu dvou zrcadel umístěných ve společném držáku, který lze posunovat po optické lavici. Po odrazu se světlo vrací do operační jednotky, kde je detekováno fotodiodou. Signál napájející diodu emitující světlo je přiveden na horizontální (X) vstup osciloskopu a signál z fotodiody na vstup vertikální (Y). Frekvence obou signálů je redukována děličem frekvencí na 50 khz aby bylo možno použít běžný osciloskop. Na obrazovce osciloskopu se skládají dva navzájem kolmé, fázově posunuté harmonické kmity stejných frekvencí. To vede ke vzniku Lissajousovy křivky ve tvaru elipsy. Fázi přijímaného signálu lze ručně upravit fázovacím článkem ϕ a tím ovlivnit počáteční tvar elipsy Posunujeme-li držák se zrcadly po optické lavici, mění se vzdálenost, kterou musí světlo projít a tudíž i fázový rozdíl obou signálů. V okamžicích, kdy se tento rozdíl rovná celistvým násobkům π, je zobrazena úsečka odkloněná od svislého směru střídavě napravo a nalevo. Obr Měřicí aparatura je velmi citlivá a nastavování čoček a zrcadel do správné polohy je zdlouhavé. Buďte při měření opatrní a neporušte nastavení aparatury. Problémy neřešte sami, zavolejte učitele. Jules Antoine Lissajous [lisažu], ( ), francouzský matematik a fyzik 46/3

4 POSTUP PŘI MĚŘENÍ, ZPRACOVÁNÍ A VYHODNOCENÍ Měření velikosti rychlosti světla ve vzduchu.. Zrcadla umístíme do blízkosti operační jednotky a odečteme jejich polohu v okolí nulového bodu stupnice. 2. Lissajousův obrazec, který se objeví na osciloskopu, nastavíme na operační jednotce pomocí ovládacího prvku fázovacího článku Phase tak, aby byla zobrazena úsečka. 3. Zrcadla pak posouváním vzdalujeme od operační jednotky tak dlouho až se fáze změní o π, tzn., až se úsečka na osciloskopu změní na úsečku odkloněnou od svislého směru na opačnou stranu. 4. Odečteme novou polohu zrcadel a spočítáme vzdálenost xi od polohy předchozí. 5. Měření několikrát zopakujeme. Pro další výpočty budeme používat střední hodnotu vzdáleností obou poloh zrcadel Δ. Posunutím zrcadel se zvětšila dráha, kterou světelný paprsek urazil o Δ = 2Δx. (46.9) Fázový rozdíl se přitom změnil o π. To znamená, že na absolvování vzdálenosti Δ potřebovalo světlo čas rovný polovině periody modulačního signálu, Pro rychlost světla ve vzduchu pak platí Δt = 2 f. (46.0) Δ c= = 4 f Δx. (46.) Δt Měření rychlosti světla v kapalině Rychlost světla v jiném prostředí než je vzduch lze zjistit z porovnání dvou měření. Při prvém urazí světlo část své dráhy ve zkoumaném prostředí, kdežto při měření druhém prochází pouze vzduchem. Schematicky jsou obě měření znázorněna na obr Měření probíhá na stejném zařízení jako měření rychlosti světla ve vzduchu. Při našem měření budou na výběr tři zkoumaná prostředí, tedy tři různé kapaliny. Velikost rychlosti světla v kapalině označíme vk. Kapaliny jsou umístěny v trubicích, které jsou opatřeny na obou koncích skleněnými okénky. Délka trubice je k = 04 mm.! POZOR! Trubice je rozměrná a po naplnění kapalinou i těžká. Manipulujte s ní velmi opatrně a dbejte na to, abyste někoho nezranili nebo nepoškodili citlivé měřicí zařízení. 46/4

5 Obr Trubici naplněnou zkoumanou kapalinou položíme na speciální podstavce na optickou lavici tak, aby jí světlo procházelo. Zrcadla umístíme přímo za trubici a odečteme jejich polohu xi. 2. Lissajousův obrazec na obrazovce osciloskopu upravíme knoflíkem nastavení fáze operační jednotky na úsečku. 3. Trubici odstraníme z cesty světelným paprskům a zrcadla vzdalujeme od operační jednotky tak dlouho, dokud na fotodiodě nedostaneme signál o stejné fázi jako při průchodu světla kapalinou. To znamená, dokud na obrazovce neuvidíme tutéž úsečku jako v bodě 2. Odečteme novou polohu zrcadel x. i 4. Každou z poloh x i a x i změříme několikrát a pro každou dvojici vypočítáme rozdíl těchto poloh x = x x. Pro další výpočty budeme používat střední hodnotu x. Δ i i i 5. Při prvním měření (při vložené trubici s kapalinou) projde světlo dráhu = 2x+ d za čas t = ( k) + k. (46.2) c vk Při měření druhém (bez vloženého prostředí) urazí světlo vzdálenost 2 = + 2Δx v čase t ( 2Δ) 2 = + x. (46.3) c Protože při obou měřeních přichází světlo na fotodiodu ve stejné fázi, musí být oba časy stejné, tedy t = t 2. Z této podmínky získáme rychlost světla v měřené kapalině: k vk = c. (46.4) k + 2Δx Index lomu použité kapaliny lze spočítat z podílu rychlosti světla ve vzduchu a v kapalině, c n =. (46.5) vk 46/5

6 Otázky k zamyšlení Proč není ke stanovení rychlosti světla použito přímé měření vzdálenosti a času, za nějž světlo tuto vzdálenost urazí? Proč musí být použitá modulační frekvence vysoká? Jak je vyřešeno, aby při měření mohl být používán běžný osciloskop a nebyl nutný drahý přístroj pracující do vysokých frekvencí? Jaký je vztah mezi indexem lomu, rychlostí světla a permitivitou prostředí? Při měření rychlosti světla v kapalině prochází světlo kromě kapaliny ještě dvěma sklíčky uzavírajícími trubici s kapalinou. Jejich vliv je malý a není při výpočtu brán v úvahu. Jakou změnou v metodice měření by bylo možné tento vliv zcela eliminovat? V testu připravenosti k úloze se objevují i příklady. Jeden typický příklad za všechny: Vlnová délka světla se při přechodu ze vzduchu do vody se zmenší o 25 %. Spočtěte index lomu vody vzhledem ke vzduchu. Postup:. λ0 vzduch, λ - voda. Ze zadání: λ=(3/4)λ0 λ Vztah (46.8): λ = n n = λ λ λ = (3 / 4) λ = /6