Konečně,všechnyaspoňdvouprvkovémnožinyužzřejměgenerujíceléZ 5.Zjistili jsme,žealgebra(z 5,+)obsahujeprávědvěpodalgebry {0}aZ 5.

Transkript

1 1. Algebry a podalgebry Buď npřirozenéčísloapoložmez n = {0,1,...,n 1}.DefinujmenaZ n binární operace+a předpisem a+b=(a+b)modnaa b=(a b)modn,kdevlevovždy uvažujeme standardní sčítání a násobení celých čísel a modn znamená zbytek po celočíselném dělení hodnotou n Najdětevšechnypodalgebryalgebry(Z 5,+). Připomeňme, že podalgebrou rozumíme jakoukoli neprázdnou podmnožinu P množinyz 5,kterájeuzavřenánavšechnyoperacedanéalgebry,vdanémpřípadě tedy na jedinou operaci +. Dále připomeňme, že neprázdný průnik podalgeber je opět podalgebra, díky čemuž můžeme postupně uvažovat nejmenší podalgebry (Z 5,+)obsahujícípodmnožinu G,kterébudemeznačit G (resp. g 1,...,g n místo {g 1,...,g n } )anazývatpodalgebramigenerovanýmimnožinou G. Nejprve uvážíme podalgebry generované jednoprvkovou množinou. Všimněme si, že 0 ={0}a 1 ={1,1+1,1+1+1, , }=Z 5. Nynístačínahlédnout,žesoučtem bkopiíprvku adostanemeprávěhodnotu a b (samozřejměsnásobenímmodulo5)ažeumímeprokaždé a {2,3,4}najít b, jímžjeprávěinverzníprvekvtělesez 5,prokterý a b=1.toznamená,že1 2, 1 3 a1 4,aproto Z 5 = 1 = 2 = 3 = 4. Konečně,všechnyaspoňdvouprvkovémnožinyužzřejměgenerujíceléZ 5.Zjistili jsme,žealgebra(z 5,+)obsahujeprávědvěpodalgebry {0}aZ Najdětevšechnypodalgebryalgebry(Z 5, ). Uvažujeme podobně jako v předchozí úloze. Nejprve vidíme, že 0 ={0}, 1 ={1}, 2 ={2,4,3,1}, 3 ={3,4,2,1}, 4 ={4,1}. Snadnonahlédneme,žepropodlagbery a,b,kde a 0 b,buď a,b = a nebo a,b = b,a a,0 = a {0}.Konečnětřígenerovanépodalgebryžádnénové příklady zřejmě nedají, tedy {0}, {1}, {0,1}, {1,4}, {0,1,4}, {1,2,3,4},Z 5 jsouprávěvšechnypodalgebry(z 5, ) Najdětevšechnypodalgebryalgebry(Z 5,+,,0). Tentokrát buď vezmem průnik systémů podalgeber z úloh 1.1, 1.2 a všimneme si, že obě podmnožiny obsahují 0 nebo uvážíme, že násobení i 0 dostaneme iterováním sčítání(u nuly právě pětkrát), tedy hledaný systém všech podalgeber je totožný s nalezeným systémem v úloze Najdětevšechnypodalgebryalgebry(Z 10,+,0). 1

2 2 Postupujemejakov1.1.Snadnosiopětuvědomíme,že 0 ={0},každápodlagebraalgebry(Z 10,+,0)musíobsahovat0adále,že 1 = 3 = 7 = 9 =Z 10, 2 = 4 = 6 = 8 ={0,2,4,6,8}, 5 ={0,5} Připomeňme, že pomocí Eukleidova algoritmu umíme pro každá dvě kladná celá čísla a,bnajítceláčísla uav,abynsd(a,b)=ua+vbaodtudsnadnonahlédneme, že a,b = NSD(a,b).Toovšemznamená,že {0}, {0,5}, {0,2,4,6,8}aZ 10 jsou právěvšechnypodalgebryalgebry(z 10,+,0) Všimněm se, že bychom úvahou z předchozí úlohy uměli dokázat, že pro každou podalgebru Palgebry(Z n,+)existjetakové a Z n,proněž P= a.protožebude pozorování později dokázáno na přednášce, upustíme pro tento okamžik od důkazu avezmemehojakofakt. Vnásledujícímtextubudemenejvětšíhospolečnéhodělitelečísel a 0 a a 1 značit NSD(a 0,a 1 ) 1.5. Dokažte,žeprokaždé a Z n existujetakové k,žebuď k/nnebo k=0a a = k. Předněpoznamenejme,žepro a=0vezmeme k=0.předpokládejme,že k >0, apoložme k=nsd(a,b).protože k/a,máme a k,atedy a k,protože a je nejmenší podalgebra vzhledem k inkluzi obsahující prvek a a o podalgebře k jsme ukázali, že prvek a rovněž obsahuje. Eukleidův algoritmus nám zajišťuje existencicelýchčísel uav,proněž k=nsd(a,n)=ua+vn,navícmůžemevzít u kladné,proto k=(u a)modn a.dostalijsmeidruhouinkluzi k a,tudíž a = k Najdětevšechnypodalgebryalgebry(Z 15,+, ). Předchozí úvahy nám říkají, že se stačí omezit na podmnožiny uzavřené na + (viz1.3)ahledanépodalgebryjsoutvaru k =kz 15 = {k x x Z 15/k }pro k/n nebo k=0(viz1.4a1.5).toznamená,že 0Z 15 = {0}, 5Z 15 = {0,5,10}, 3Z 15 = {0,3,6,9,12}, 1Z 15 =Z 15 jsouprávěvšechnypodalgebryalgebry(z 15,+, ) Kolikexistujepodalgeberalgebry(Z 1100,+). Uvážili jsme, že pro každý dělitel čísla 1100 existuje právě jedna podalgebra algebry(z 1100,+).Protože1100= ,mámeprávě3 3 2=18jeho dělitelů,tedyalgebra(z 1100,+)obsahuje18podalgeber Najdětevšechnypodalgebryalgebry(Z 6,1). Jediný požadavek, který tentokrát klademe na podalgebru, je, aby šlo o množinu obsahující prvek 1, snadno nahlédneme, že takových množin máme k dispozici právě 2 5 =32. Nechť a 0 a 1 jsoudvěpřirozenáčísla.připomeňmeeukleidůvalgoritmushledánínejvětšíhospolečnéhodělitelečísel a 0 a a 1 :

3 3 Známe-li a i 1 a a i spočteme a i+1 =(a i 1 )mod a i.tedyvíme,žeexistujetakové q i Nže a i 1 = q i a i +a i+1 a a i+1 < a i.algoritmusskončí,když a n+1 =0,potom a n =NSD(a 0,a 1 ) Najděte pomocí Eukleidova algoritmu největší společný dělitel čísel 72 a 93. Najdětedáletakováceláčísla xay,abynsd(72,93)=x.72+y.93. První část úkolu je snadná, sepišme si i jakým způsobem jednotlivé zbytky po celočíselném dělení získáme: a 0 =93, a 1 =72, a 2 =93 72=21, a 3 = =9, a 4 =21 3.9=3=NSD(93,72) a 5 =0. Druhou část úlohy vyřešíme rovněž pomocí Eukleidova algoritmu, stačí si uvědomit,žekaždézčísel a i+1 dostanemejakoceločíselnoulineárníkombinacidvou předchozíchhodnot a i 1 a a i.jednoduchouindukčníúvahouzjistíme,žekaždéčíslo a i+1 jeceločíselnoulineárníkombinacihodnot a 0 a a 1.Konkrétně: a 2 =93 72=21, a 3 =9= =72 3.(93 72)= , a 4 =3=NSD(93,72)=21 2.9=(93 72) 2.( )= Zjistilijsme,že x= 9ay= Najděteceláčísla xaytak,aby x.18+y.25=1. Protože NSD(18, 25) = 1, zaručuje nám Eukleidův algoritmus existenci požadovanýchčísel x,y Zatentoalgoritmuspoužijemepodobnějakovpředchozíúloze i k jejich nalezení: a 0 =25, a 1 =18, a 2 =7=25 18, a 3 =4=18 2 7=18 2 (25 18)= , a 4 =3=7 4=25 18 ( )= , a 5 =NSD(25,18)=1=4 3= ( )= Najděteceločíselnéřešenírovnice x 18+y 25=10. Vynásobíme-lijižvyřešenourovnici =1desítkou,okamžitěvidíme, žerovnici x 18+y 25=10řeší x=10 7=70ay= 5 10= 50. Definujmenyníprokaždé k Z 217 zobrazení f k :Z 217 Z 217 ppředpisem f k (x)=(k x)mod Rozhodněte,zdaexistuje x Z 217,aby f k (x)=11,jestližea) k=100,b) k = 98. Existuje-li řešení, najděte ho a rozhodněte, zda je určeno jednoznačně. a)hledáme x Z 217,prokteréexistuje y Zsplňujícípodmínku100x+217y= 11.DíkyEukleidovualgoritmuafaktu,žeNSD(100,217)=1dokoncevíme,želze vyřešitrovnici100x+217y=coprokaždé c Z 217,tedyzobrazení f 100 jena

4 4 celoumnožinuz 217.Protožeovšemzobrazujekonečnoumnožinudosebe,musíjít ioprostézobrazení,tedyexistujepr8v2jednořešenívztahu f 100 (x)=11.zbývá ho najít stejnou cestou jako v předchozí úloze: 17= , 15= =100 5 ( )= , 2=17 15= ( )= , 1=15 7 2= ( )= Proto =11,tedy x=(11 102)mod217=37.Všimněme si, že z druhého a třetího kroku Eukleidova algoritmu jsme přímo mohli dostat 11=15 2 2= ( )= b)tentokrátseptáme,zdaexistuje x Z 217 a y Z,proněž98x+217y=11. Protože7dělí98i217,museloby7dělittakéčíslo11,cožnenípravda,prototakové xneexistuje Rozhodněte,zdaexistujeazdajeurčenojednoznačně x Z 217,aby f 98 (x)= 21. Uvažujemstejnějakovpředchozíúloze.Hledámetedy x Z 217 a y Z,pro něž98x+217y=21.protožensd(98,217)=7dělí21zaručujenámeukleidův algoritmus opět existenci řešení. Konkrétně hned v prvním kroku zjistíme, že 21 = ,tedy x = ( 2)mod217 = 215.Navíc(98 31)mod217 = 0,proto x= 2+31=29takéřeší f 98 (x)= Rozhodněte,prokterá kjezobrazení f k homomorfismema)algebry(z 217,+) dosebeb)algebry(z 217,+, )dosebe,kdeuvažujemeoperacemodulo217. a)snadnonahlédneme,žeprokaždé a,b Z 217 f k (a+b)=((a+b) k)mod217=(a k+ b k)mod217=f k (a)+f k (b), tedy f k jehomomorfismusprovšechna k Z 217. b)právějsmeověřili,ževzhledemkprvníoperacijezobrazení f k slučitelné provšechna k.dálejezjevněsplněnapodmínka f 1 (a b)=a b=f 1 (a) f 1 (b)a f 0 (a b)=0=f 0 (a) f 0 (b).konečnějakmile k=f k (1 1)=f k (1) f k (1)=k k, tedymusí217/k 2 k.snadnoovšemnahlédneme,žetoplatípouzepro k=0nebo k=1.tedyjsmezjistili,že f k jehomomorfismusalgebry(z 217,+, )dosebepouze pro k {0,1}. Uvažujmevdalšímmnožinu A={a,b,c}sbinárnímioperacemi a danými tabulkami: a b c a c b a b b a b c a b c a b c a a b c b b c a c c a b Najděte všechny podalgebry algebry(a, ).

5 5 Předně si uvědomme, že celá nosná množina A je podalgebrou každé algebry (s nosnou množinou A). Dále budeme postupně probírat podalgebry podle počtu prvků. Je-li {x}jednoprvkovápodalgebra A,zřejměmusíplatit x x = x,protože množina {x}mábýtuzavřenánaoperaci.snadnoztabulkyvyčeme,žetakovou vlastnost(mluvíme o idempotenci) splňuje pouze prvek c. Tedy máme právě jednu jednoprvkovou podalgebru c algebry A( ). Dáleuvažme,kterézdvouprvkovýchpodmnožin {a,b}, {a,c}a{b,c}jsoupodalgebry.zjevněpodalgebraobsahujícíprvek aužmusíobsahovatiprvek c=a a, tedy {a, b} není podalgebrou. Podobně podalgebra obsahující prvkek b musí obsahovatiprvek a=b b,tedyani {b,c}nenípodalgebrou.konečněztabulky vidíme,žemnožina {a,c}= a jeuzavřenánaoperaci,tedy {a,c}jejedinou dvouprvkovou podalgebra algebry(a, ). Dostáváme systém všech podalgeber: {c}, {a, c}, {a, b, c} Najděte všechny podalgebry algebry(a,, a), kde a označuje nulární operaci vyznačující prvek a. V předchozí úloze jsme našli všechny podmnožiny množiny A uzavřené na operaci, z nichž potřebujeme nyní vybrat podmnožiny uzavřené na nulární operaci a, tedy právě ty, které obsahují prvek a. Podalgebry algebry(a,, a) jsou tedy zřejmě právě množiny {a,c}, {a,b,c} Najděte všechny podalgebry algebry(a,, ). Tentokrát vybíráme ze systému množin uzavřených na operaci ty, které jsou navícuzavřenéna.protože c c=b,zbývánámpouzemnožina A. Další úlohy (1) Najdětevšechnypodalgebryakongruencealgebry C = {a,b,c,d,e,f}s jednoubinárníoperacídanoupředpisem x y= x. (2) UvažujmemnožinuZ n sunárníoperací + definovanoupředpisem a + = (a+1)mod n.popištevšechnypodalgebryavšechnykongruencenaz n ( + ). (3) Najdětevšechnaceločíselnářešenírovnice324 x+88 y= cpostupněpro c=0,2,88, 4, 88. (4) Najdětevšechnaceločíselnářešenírovnice15 x 44 y= cpostupněpro c=1,2, 2. (5) Najděte(všechna)celočíselnářešenírovnice15 x+18 y+10 z=1. (6) SpočítejtevtěleseZ 83 hodnoty15 1 a( ) 1. (7) VyřeštevtěleseZ 97 rovnici7 1 x=51 1. (8) Ověřte, že Eukleidův algoritmus pracuje správně.