průniku podmnožin, spojení je rovno sjednocení podmnožin a komplement je doplněk Obr. 5: Booleovy algebry

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "průniku podmnožin, spojení je rovno sjednocení podmnožin a komplement je doplněk Obr. 5: Booleovy algebry"

Transkript

1 BOOLEOVY ALGEBRY Připomeňme si, že za Booleovu algebru považujeme každou algebru (B,,, 0, 1, ) s neprázdnou množinou B, binárními operacemi průsek, spojení, s prvky 0, 1 B a unární operací komplement, ve které jsou splněny následující identity: (1) a a = a, a a = a; (2) a b = b a, a b = b a; (3) a (b c) = (a b) c, a (b c) = (a b) c; (4) a (a b) = a, a (a b) = a; (5) a (b c) = (a b) (a c), (a b) (a c) = (a (b c); (6) a 1 = a, a 1 = 1, 0 a = 0, 0 a = a; (7) a a = 0, a a = 1; (8) 0 = 1, 1 = 0, (a ) = a, (a b) = a b, (a b) = a b Uvedený výčet identit není minimální, mnohé identity lze odvodit z platnosti jiných identit Pokuste se odvodit identity (8) z identit (1) až (7) Na množině B lze definovat relaci uspořádání předpisem a b právě tehdy, když je a b = a (což je právě tehdy, když je a b = b) Prvek 0 je nejmenším prvkem uspořádané množiny (B, ) a prvek 1 je největším prvkem (B, ) Nejjednodušší Booleovou algebrou je jednoprvková algebra, kde je největší prvek roven nejmenšímu Tato algebra se nazývá triviální Booleova algebra Nejmenší netriviální Booleova algebra je dvouprvková Booleova algebra, která obsahuje pouze největší prvek 1 a nejmenší prvek 0, další možné Booleovy algebry jsou jsou čtyřprvková, osmiprvková a šestnáctiprvková Booleova algebra Diagramy těchto algeber jsou zobrazeny na Obr 4 Dalším příkladem Booleovy algebry je množina P (M) všech podmnožin (včetně prázdné podmnožiny ) nějaké množiny M Zde je průsek roven průniku podmnožin, spojení je rovno sjednocení podmnožin a komplement je doplněk podmnožiny v množině M Ověřte platnost všech potřebných identit Obr 5: Booleovy algebry Definice Nechť (B,,, 0, 1, ) a (C,,, 0, 1, ) jsou konečné Booleovy algebry Budeme říkat, že zobrazení f z B do C je izomorfizmus, pokud je prosté (tj pro a b je f(a) f(b)), je na (tj pro každé y C existuje x B takové, že f(x) = y), a pokud pro všechny prvky a, b B platí: 1 f(0) je nejmenší a f(1) největší prvek v (C,,, 0, 1, ); 2 je li a b = c v (B,,, 0, 1, ), pak je f(a) f(b) = f(c) v (C,,, 0, 1, ); 3 je li a b = c v (B,,, 0, 1, ), pak je f(a) f(b) = f(c) v (C,,, 0, 1, ); 4 je li a = b v (B,,, 0, 1, ), pak je f(a) = f(b) v (C,,, 0, 1, ) Řekneme, že Booleovy algebry (B,,, 0, 1, ) a (C,,, 0, 1, ) jsou izomorfní, pokud existuje izomorfizmus z (B,,, 0, 1, ) do (C,,, 0, 1, )

2 Existuje li izomorfizmus z f z (B,,, 0, 1, ) do (C,,, 0, 1, ), pak inverzní zobrazení f 1 je izomorfizmus z (C,,, 0, 1, ) do (B,,, 0, 1, ) Dvě navzájem izomorfní Booleovy algebry mají naprosto stejné vlastnosti, které lze formulovat pomocí operací,, 0, 1, Proto jsou z hlediska studia Booleových algeber nerozlišitelné, tedy stejné Uvědomme si, že body 1 až 4 z definice izomorfizmu lze stručně zapsat takto: 1 f(0) = 0 a f(1) = 1; 2 f(a b) = f(a) f(b); 3 f(a b) = f(a) f(b); 4 f(a ) = (f(a)) Pro nás budou důležité zejména Booleovy algebry (B,,, 0, 1, ), kde množina B má konečně mnoho prvků V dalším se proto budeme zabývat již pouze konečnými Booleovými algebrami Konečné Booleovy algebry Atomem Booleovy algebry (B,,, 0, 1, ) budeme rozumět každý prvek, který pokrývá nejmenší prvek z (B,,, 0, 1, ), tj atomem je prvek a B, takový, že je 0 < a a neexistuje prvek x B s vlastností 0 < x < a To, že je prvek a atomem značíme 0 a Duálně můžeme definovat koatom jako prvek, který je pokrýván největším prvkem 1 z (B,,, 0, 1, ), tedy prvek t je koatomen, je li t 1 Je evidentní, že v konečné Booleově algebře je každý nenulový prvek x (tj 0 < x) buďto atomem, nebo existuje atom d pro který je 0 d < x Dále je jasné, že pro každý nenulový prvek x a každý atom a je buďto a x = a (je li a x) nebo a x = 0 (není li a x) Pro největší prvek 1 Booleovy algebry B a libovolný atom a je a 1 Nechť a 1,, a n jsou právě všechny atomy z B Označme d = a 1 a 2 a n K prvku d existuje v B komplement tj prvek d pro který platí: d d = 1 a d d = 0 Kdyby prvek byl prvek d nenulový, pak by existoval atom a v B, pro který by platilo a d Jelikož je a d pro každý atom a, muselo být a d d, což je ve sporu s předpokladem d d = 0 Je tedy d = 0 a odsud ihned plyne, že je d = 1 Největší prvek Booleovy algebry B je tedy sjednocením všech atomů B Toto tvrzení lze zobecnit i pro libovolný prvek b Booleovy algebry B Stačí použít distributivní zákony a vztah b = b 1 = b (a 1 a 2 a n ) Komplementem prvku b je spojení všech atomů, které jsou nesrovnatelné s b Tento důležitý poznatek si formulujme jako větu Věta Nechť B je konečná Booleova algebra, b B, b 0 a nechť a 1, a 2, a k jsou právě všechny atomy v B, které jsou menší nebo rovny prvku b (a i b) a nechť c 1,, c r jsou právě všechny atomy z B, které nejsou menší nebo rovny prvku b (c i b) Potom je b = a 1 a 2 a k a b = c 1 c 2 c k Duálně lze provést stejné úvahy s koatomy Dostaneme, že každý prvek x, který není největší (tj x < 1), je buďto koatomem nebo existuje koatom t, tak, že je x < t 1 a pro každý prvek x, který není největším prvkem, je x t = t (je li x t) nebo x t = 1 (není li x t) Platí i tvrzení, že nejmenší prvek Booleovy algebry B je průnikem všech koatomů B a podobné tvrzení pro každý prvek Věta Nechť B je konečná Booleova algebra, b B, b 1 a nechť t 1, t 2, t k jsou právě všechny koatomy v B, které jsou větší nebo rovny prvku b (t i b) a nechť z 1,, z r jsou právě všechny koatomy z B, které nejsou větší nebo rovny prvku b (z i b) Potom je b = t 1 a 2 t k a b = z 1 c 2 z k Označme symbolem At(B) množinu všech atomů Booleovy algebry (B,,, 0, 1, ) a symbolem P (At(B)) množinu všech podmnožin množiny At(B) (včetně prázdné pod-

3 množiny ) Zobrazení, které přiřazuje prvku 0 z B prázdnou množinu a každému nenulovému prvku x z B množinu všech atomů z B které jsou menší nebo rovny x je, jak si snadno ověříte, izomorfizmus z Booleovy algebry (B,,, 0, 1, ) do Booleovy algebry (P (At(B),,, 0, 1, ), kde 0 =, 1 = At(B) a pro X At(B) je X = At(B) \ X Protože konečná n prvková množina má 2 n podmnožin, je důsledkem předcházejících tvrzení to, že každá Booleova algebra, která má přesně n (n 0) atomů, má 2 n prvků a že každé dvě Booleovy algebry se stejným počtem atomů jsou izomorfní Booleovy algebry, které mají n atomů, budeme obvykle značit symbolem B n Triviální Booleova algebra nemá žádný atom a značíme ji B 0 Poznámka Počet prvků konečné množiny M budeme značit symbolem M a nazývat mohutností množiny M Například to, že Booleova algebra s n atomy má 2 n prvků, můžeme vyjádřit symbolicky zápisem B n = 2 n Další reprezentaci konečné Booleovy algebry s n atomy dostaneme následující úvahou Nechť Booleova algebra (B,,, 0, 1, ) má n atomů, které označíme a 1,, a n Každému prvku x B přiřadíme posloupnost (e 1, e 2,, e n ) složenou z 0 a 1 takto: pro každé přirozené číslo i {1, 2,, n} je e i = 1, je li a i x a e i = 0, není li a i x Prvku 0 je tak např přiřazena posloupnost ze samých 0 (tj 0 (0, 0,, 0)) a prvku 1 je přiřazena posloupnost ze samých 1 (tj 1 (1, 1,, 1)) Je snadné ukázat, že toto přiřazení je izomorfizmus Booleovy algebry (B,,, 0, 1, ) na n tou kartézskou mocninu dvouprvkové Booleovy algebry 2 Booleova algebra 2, která má pouze dva prvky 0 a 1, je tak vlastně v jistém smyslu základní Booleovou algebrou, a to proto, že každá konečná Booleova algebra s n atomy je izomorfní Booleově algebře 2 n Pro úplnost připomeňme, že všechny operace v kartézské mocnině 2 n jsou definovány po složkách, tj je (e 1, e 2,, e n ) (d 1, d 2,, d n ) = (e 1 d 1, e 2 d 2,, e n d n ), (e 1, e 2,, e n ) (d 1, d 2,, d n ) = (e 1 d 1, e 2 d 2,, e n d n ) a pro operaci komplement je (e 1, e 2,, e n ) = (e 1, e 2,, e n) Přitom je 0 0 = 0, 0 1 = 0, 1 1 = 1, 0 0 = 0, 0 1 = 1, 1 1 = 1, 0 = 1 a 1 = 0 Všimněme si nyní, že na Obr 5 jsou postupně zobrazeny diagramy Booleových algeber B 1 = 2, B 2 = 2 2, B 3 = 2 3 a B 4 = 2 4 Booleovy funkce Nyní si uvedeme několik základních informací o tzv Booleových funkcích (nebo též booleovských funkcích), které úzce souvisí s výrokovou logikou a bez jejich znalosti se neobejdou teorie o informatice a programování Začněme příkladem takové funkce Mějme nějakou výrokovou formuli n proměnných, např ϕ(x 1, x 2,, x n ) V závislost na ohodnocení jednotlivých proměnných (vždy 0 nebo 1) je hodnota formule ϕ(x 1, x 2,, x n ) vždy vždy 0 nebo 1, což je dáno tzv pravdivostní tabulkou formule ϕ(x 1, x 2,, x n ) Tato formule tak definuje zobrazení z Booleovy algebry 2 n do Booleovy algebry 2, které budeme nazývat Booleovou funkcí Pojem Booleova funkce si trochu zobecníme i na jiné algebry než dvouprvkovou algebru 2 Definice Nechť (B,,, 0, 1, ) je konečná Booleova algebra Booleovým výrazem v proměnných x 1, x 2,, x n (nad Booleovou algebrou (B,,, 0, 1, )) budeme rozumět každý výraz získaný konečným počtem použití pravidel: 1 libovolný prvek b z B a x 1, x 2,, x n jsou Booleovy výrazy; 2 jsou li p a q Booleovy výrazy, pak jsou p q, p q a p opět Booleovy výrazy Zobrazení f z B n do B, které je definováno předpisem f(x 1, x 2,, x n ) = q(x 1, x 2,, x n ), kde q je nějaký Booleův výraz budeme nazývat Booleovou funkcí n proměnných nad (B,,, 0, 1, )

4 Poznámka Booleovy výrazy nám silně svou definicí připomínají výrokové formule a také spolu velmi úzce souvisí Příkladem Booleových funkcí mohou být např funkce jedné proměnné f 1 (x) = (a x) x, f 2 (x) = a x nebo funkce dvou proměnných g 1 (x, y) = a (x y) (x a ) a g 2 (x, y) = a x nad nějakou Booleovou algebrou obsahující prvek a Snadno zjistíte, že funkce f 1 (x) a f 2 (x) jsou totožné Ověřte, že také funkce g 1 (x, y) a g 2 (x, y) jsou také totožné Vidíme tedy, že je možno tutéž Booleovu funci vyjadřovat více způsoby, což může být nepříjemné pro zjišťování zda dvě takovéto funkce jsou či nejsou totožné Bylo by proto vhodné najít nějaký standardní způsob vyjádřovéní Booleových funkcí, což by umoňovalo snadné rozhodovování o totožnosti dvou funkcí Toto je možno udělat dvěmi navzájem duálními způsoby Jsou to vyjádření Booleovských funkcí v úplné disjunktivní a konjunktivní formě Vyjdem z toho, že každá konečná Booleova algebra s n atomy je izomorfní Booleově algebře 2 n Definice Nechť (B,,, 0, 1, ) je konečná Booleova algebra s n atomy ( tj je izomorfní Booleově algebře 2 n ) Pro každou posloupnost k = (k 1, k 2,, k n ) složenou z nul a jedniček (tj k {0, 1} n ) definujeme elementární průsek nad proměnnými x 1, x 2,, x n jakožto výraz p[k] = x k 1 1 xk 2 2 xk n n, kde x 1 i = x i a x 0 i = x i a elementární spojení nad proměnnými x 1, x 2,, x n jakožto výraz s[k] = x k 1 1 xk 2 2 xk n n, kde k i = 0 je li k i = 1 a k i = 1 je li k i = 0 (tj x k i i = x pro k i = 0 a x k i i = x pro k i = 1) Např pro Booleovu B 1 = 2 a dvě proměnné x a y máme čtyři možnosti pro elementární průseky, a to p[(1, 1)] = x y, p[(1, 0)] = x y, p[(0, 1)] = x y, p[(0, 0)] = x y a čtyři možnosti pro elementární spojení, a to s[(1, 1)] = x y, s[(1, 0)] = x y, s[(0, 1)] = x y, s[(0, 0)] = x y Lze ukázat, že každou Booleovu funkci je možno standardně vyjádřit jako spojení všech možných výrazů f(k) p[k] resp jako průnik všech možných výrazů f(k) s[k], kde k probíhá všechny možné posloupnosti nul a jedniček Toto tvrzení si naformulujme jako větu Věta Každou Booleovu funkci f z B n do B je možno vyjádřit v úplné disjunktivní normální formě, tedy ve tvaru f(x 1, x 2,, x n ) = {f(k 1, k 2,, k n ) x k 1 1 xk 2 2 xk n n, (k 1, k 2,, k n ) {0, 1} n } a každou Booleovu funkci f z B n do B je možno vyjádřit v úplné konjunktivní normální formě, tedy ve tvaru f(x 1, x 2,, x n ) = {f(k 1, k 2,, k n ) x k 1 1 xk 2 2 xk n n, (k 1, k 2,, k n ) {0, 1} n } Důsledkem této věty je, že každá Booleova funkce f z B n do B je jednoznačně určena soustavou 2 n koeficientů f(k 1, k 2,, k n ) a proto jich existuje právě tolik, kolik je různých možností jak zobrazit množinu mající 2 n prvků do B, což je B 2n Obecně je totiž počet možností jak zobrazit k prvkovou množinu do m prvkové množiny m k A protože počet prvků Booleovy algebry B n je B n existuje B B n různých zobrazení z množiny B n do B Z toho ihned plyne, že pro B 1 = 2 je každá funkce z 2 n do 2 Booleova a že pro Booleovy algebry mající více než dva prvky existují i funkce z B n do B, které nejsou Booleovy Ukažme si na třech příkladech vyjádření Booleovy funkce v obou standardních tvarech Nejprve uvažujme dvouprvkovou Booleovu algebru B 1 obsahující prvky 0, 1 a Booleovu funkci dvou proměnných x a y nad B 1 (tj funkci z B 1 B 1 do B 1 ), která je zadána předpisem f(x, y) = x y Utvořme si tabulku hodnot této funkce Dostaneme:

5 x y f(x, y) Hodnoty funkce f(x, y) = x y v bodech (0, 0), (0, 1), (1, 0) a (1, 1) jsou f(0, 0) = 1, f(0, 1) = 0, f(1, 0) = 1 a f(1, 1) = 1 Nyní již snadno vyjádříme funkci f(x, y) v obou normálních formách Úplná disjunktivní normální forma funkce f(x, y) je tvaru f(x, y) = (1 x y ) (0 x y) (1 x y ) (1 x y) a úplná konjunktivní normální forma funkce f(x, y) je tvaru f(x, y) = (1 x y) (0 x y ) (1 x y) (1 x y ) Ověřme si, že úplná disjunktivní normální forma vyjadřuje skutečně stejnou funkci Použijeme li identity Booleovy algebry, dostaneme: f(x, y) = (1 x y ) (0 x y) (1 x y ) (1 x y)= = (x y ) 0 (x y ) (x y) = (x y ) (x (y y)) = (x y ) x = = (x x) (y x) = y x = x y Ověřte, že i úplná konjunktivní normální forma vyjadřuje opět stejnou funkci Nyní mějme Booleovu funkci dvou proměnných x a y nad B 1, která je zadána předpisem g(x, y) = (x y) Utvořme si tabulku hodnot této funkce Dostaneme: x y g(x, y) Protože hodnoty funkce g(x, y) jsou v bodech (0, 0), (0, 1), (1, 0) a (1, 1) stejné jako u funkce f(x, y) z prvního příkladu, budou i jejich úplné disjunktivní a konjunktivní normální formy stejné, tj je: g(x, y) = (1 x y ) (0 x y) (1 x y ) (1 x y), f(x, y) = (1 x y) (0 x y ) (1 x y) (1 x y ) Důsledkem tohoto zjištění je, že funkce f(x, y) a g(x, y) jsou naprosto stejné V dalším příkladě mějme čtyřprvkovou Booleovu algebru B 2 obsahující prvky 0, 1, a, b (viz Obr 6) a Booleovu funkci dvou proměnných x a y nad B 2 (tj funkci z B 2 B 2 do B 2 ), která je zadána předpisem f(x, y) = (a (x y )) (b (x y)) 1 a b 0 Obr 6: Booleova algebra B 2

6 Nyní si utvoříme tabulku hodnot této funkce Dostaneme: x a a a a b b b b y 0 a b 1 0 a b 1 0 a b 1 0 a b 1 f(x, y) 1 b 1 b a 0 1 b 0 a b 1 Pro určení normálních forem Booleovy funkce f(x, y) nemusíme znát její hodnoty ve všech bodech, potřebujeme znát pouze hodnoty funkce f(x, y) v bodech (0, 0), (0, 1), (1, 0) a (1, 1), které jsou f(0, 0) = 1, f(0, 1) = b, f(1, 0) = a a f(1, 1) = 1 Nyní již snadno vyjádříme funkci f(x, y) v obou normálních formách Úplná disjunktivní normální forma funkce f(x, y) je tvaru f(x, y) = (1 x y ) (b x y) (a x y ) (1 x y) a úplná konjunktivní normální forma funkce f(x, y) je tvaru f(x, y) = (1 x y) (b x y ) (a x y) (1 x y ) Ověřte, že při použití normálních forem funkce f(x, y) dostaneme stejné výsledky Normální tvary Booleových funkcí samozřejmě nemusí být nejjednodušším vyjádřením funkce Je zřejmé, že například místo 1 x y můžeme psát x y a proto v úplné disjunktivní normální formě můžeme a obvykle budeme vynechávat koeficienty 1 Jestliže je u elementárního průseku koeficient 0, pak ho opět můžeme vynechat Analogicky v úplné konjunktivní normální formě budeme obvykle vynechávat koeficienty 0 a elementární spojení s koeficientem 1 (např 1 x y) Speciálně u Booleových funkcí nad dvouprvkovou algebrou jsou všechny koeficienty 0 nebo 1 V případě disjunktivní normální formy tak členy s koeficientem 0 vynecháváme a koeficient 1 nepíšeme Obdobně v případě konjunktivní normální formy vynecháváme členy s koeficientem 1 a koeficient 0 nepíšeme Máme li například nějakou Booleovu funkci g(x, y) nad B 2, která splňuje podmínky g(0, 0) = g(0, 1) = g(1, 0) = g(1, 1) = 1, pak její úplná disjunktivní forma je g(x, y) = (1 x y ) (1 x y) (1 x y ) (1 x y) Opakovaným používánín identit 1 x = x a (x y) (x y ) = x (y y ) = x můžeme předpis pro g(x, y) zjednodušit následujícím způsobem: g(x, y) = (x y ) (x y) (x y ) (x y) = (x (y y)) (x (y y)) = x x = 1 Funkce g(x, y) je tedy konstantní funkce, kterou je možno zadat předpisem g(x, y) = 1 Na tomto místě snadno najdeme příklad funkce h z B 2 B 2 do B 2, která není Booleova Stačí aby platilo h(0, 0) = h(0, 1) = h(1, 0) = h(1, 1) = 1 a v jakémkoliv jiném bodě nabývala jinou hodnotu než je 1, například h(0, a) = b, a funkce už nemůže být Booleova Realizace Booleových funkcí klopnými obvody V této části si ukážeme, že lze každou Booleovu funkci nad dvouprvkovou Booleovou algebrou realizovat pomocí elektrických obvodů Vstupní i výstupní hodnoty jsou pouze nuly a jedničky (např záporné a kladné napětí) Základními kameny těchto obvodů jsou tzv logické členy, které se obvykle nazývají invertor, součinový člen a součtový člen V invertoru se vstupní hodnota signálu mění na opačnou hodnotu, výstupní hodnotou součinového členu je 1, právě když všechny vstupní hodnoty mají hodnotu 1 a výstupní

7 hodnotou součtového členu je 0, právě když všechny vstupní hodnoty jsou 0 Všimněme si, že pokud x 1, x 2, x n {0, 1}, pak je x 1 x 2 x n = 1, právě tehdy, když platí: x 1 = x 2 = = x n = 1 a x 1 + x x n = 0, právě, když je x 1 = x 2 = = x n = 0 Víme také, že stejnou vlastnost mají operace a ve dvouprkové Booleově algebře 2 Někdy se také operace v Booleových algebrách pro jednoduchost značí pro průsek a + pro spojení a nazývají se násobení resp sčítání Odtud také plynou názvy součinový a součtový člen Tyto členy se ve schematech obvodů značí obvykle symboly, které jsou zobrazeny na Obr 7 My je v dalším budeme schematicky znázorňovat pomocí trojúhelníků (invertor) a obdélníků s určením typu uvnitř obdélníku pomocí nápisu AND (součinový člen) nebo OR (součtový člen) Součinový člen s n vstupními hodnotami má stejné vlastnosti jako n vypínačů zapojených seriově (proud prochází pouze pokud jsou všechny zapnuty) a součtový člen s n vstupními hodnotami má stejné vlastnosti jako n vypínačů zapojených paralelně (proud prochází je li alespoň jeden vypínač zapnut) x 1 x 1 x 2 x 2 x x NON x n AND x 1 x 2 x n x n OR x 1 x 2 x n invertor součinový člen součtový člen Obr 7: Invertor, součinový a součtový člen Ukažme si na dvou příkladech realizaci Booleových funkcí pomocí klopných obvodů Příklad Realizujme Booleovu funkci f(x, y) = (x y) (x y ) Realizace je uvedena na Obr 8 x y AND AND OR f x,y Obr 8: Realizace funkce f(x, y) = (x y) (x y ) Pokud bychom ve schematu na Obr 8 vynechali invertor pro proměnnou y, dostali bychom realizaci pro Booleovu funkci g(x, y) = (x y) (x y), která je zobrazena na Obr 9 Jelikož, ale je g(x, y) = (x y) (x y) = y, je takovýto obvod zbytečný x y AND AND OR g x,y Obr 9: Realizace funkce g(x, y) = (x y) (x y)

8 Příklad Realizujme Booleovu funkci f(x, y) = x y z Realizace je uvedena na Obr 10 v levé polovině Na její realizace jsou potřeba čtyři logické členy Pokud si uvědomíme, že je f(x, y) = x y z = (x y z), pak je jasné, že na Obr 10 v pravé polovině je znázorněna realizace téže funkce Na tuto realizaci postačí dva logické členy x x y ANDf x,y,z y OR f x,y,z z z Obr 10: Realizace funkce f(x, y, z) = x y z Z uvedených příkladů vidíme, že zejména pro potřeby realizace Booleovských funkcí pomocí klopných obvodů je potřebné umět vyjádřit danou Booleovu funkci nad B 1 = 2 co nejjednodušším způsobem, tedy s použitím co nejmenšího počtu symbolů Zjednodušování výrazů s využitím identit platných v Booleových algebrách je značně pracné a vyžaduje i jistý cvik a intuici Existují ale podstatně jednodušší způsoby Jedna metoda je založena na používání tzv Karnaughových map, což je vhodné pro Booleovy funkce s nejvýše čtyřmi proměnnými Další metoda je tzv Quin-McCluskeyho metoda Její princip spočívá v tom, že vycházíme z nějakého vyjádření ve tvaru spojení průseků a opakovaně předpis zjednodušujeme používáním identity (x y) (x y ) = x Quin-McCluskeyho metoda Mějme Booleovu funkci f(x 1, x 2, x n ) nad ve tvaru spojení průseků Každý průsek je tvaru (x h 1 1 xh 2 2 xh n n ), kde h i {0, 1, } a x 1 i = x i, x 0 i = x i a x znamená, že se proměnná x i ve výrazu nevyskytuje Každému průseku přiřadíme posloupnost (h 1, h 2,, h n ) složenou ze symbolů 0, 1, Vahou průseku budeme rozumět počet 1 v posloupnosti (h 1, h 2,, h n ) Například výrazu (x 1 x 2 x 4 x 5) v pěti proměnných (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) přiřadíme posloupnost (1, 0,, 1, 0) Váha tohoto výrazu je 2 Dále budeme postupovat dle následujících dvou pravidel 1 Pokud mezi všemi posloupnostmi, které odpovídají jednotlivým průsekům, najdeme dvě, které jsou stejné, jednu z nich vynecháme 2 Pokud mezi nimi najdem dvě posloupnosti, které se liší na jediném místě, a to na místě i tém, pak obě posloupnosti nahradíme jednou posloupností, ve které dáme na i té místo symbol a ostatní místa necháme beze změn Toto aplikujeme na každou takovou dvojici posloupností, a to i v případě, že se jedna posloupnost objevuje ve více dvojicích Toto opakujeme tak dlouho, až nebudou existovat dvě stejné posloupnosti nebo dvě posloupnosti, které se liší na jediném místě Při porovnávání posloupností se stačí omezit na porovnávání těch posloupností, jejichž váhy se liší nejvýše o 1 Poznámka Pravidlo 1 odpovídá identitě a a = a Pravidlo 2 odpovídá identitě (a b) (a b) = (a a ) b = b, je li na i tém místě jedné posloupností 0 a na i tém místě druhé posloupnosti 1, resp identitě a (a b) = a v případě, že na i tém místě jedné posloupnosti je symbol a na i tém místě druhé posloupnosti je 0 nebo 1 Princip metody si vysvětlíme na jednoduchém příkladě Příklad Zjednodušme předpis pro Booleovu funkci tří proměnných f(x, y, z) = (x y z ) (x y z) (x y z ) (x y z) (x y z)

9 Jednotlivým průsekům odpovídají posloupnosti (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1) a (1, 0, 1) Máme pět dvojic posloupností, které se liší pouze na jednom místě Jsou to dvojice první a druhá, první a třetí, druhá a čtvrtá, druhá a pátá, třetí a čtvrtá Dostaneme nový systém posloupností, a to posloupnosti: (0, 0, ), (0,, 0), (0,, 1), (, 0, 1) a (0, 1, ) V tomto systému existují dvě dvojice posloupností, které se liší pouze na jednom místě Jsou to první a pátá posloupnost a druhá a třetí posloupnost Po aplikaci pravidla 2 dostaneme tři posloupnosti, a to (0,, ), (0,, ) a (, 0, 1) První posloupnost vynecháme podle pravidla 1 Zůstavájí nám dvě posloupnosti (0,, ) a (, 0, 1) a proto funkci f(x, y, z) = (x y z ) (x y z) (x y z ) (x y z) (x y z) lze zjednodušit jako f(x, y, z) = x (y z) Tato metoda ještě není dokonalá Pokud chceme zjednodušit výraz x (x y z), kterému odpovídají posloupnosti (0,, ) a (0, 1, 1), tak nemůžeme použít pravidlo 2, protože se posloupnosti liší na dvou místech Přitom je vidět, že nějaké zjednodušení je možné Je totiž x (x y z) = x podle identity a (a b) = a Toto můžeme zobecnit a identitu a (a b) = a (která říká, že spojení dvou prvků, které jsou srovnatelné v uspořádané množině, je rovno většímu prvku) použít i v dalších případech V námi studovaných případech to je tehdy, jesliže jeden výraz obsahuje méně proměnných a u zbylých proměnných jsou oba výrazy stejné Například x 1 x 3 x 4 je větší nebo roven než x 1 x 2 x 3 x 4 a je větší nebo roven než x 1 x 2 x 3 x 4 a proto je (x 1 x 3 x 4) (x 1 x 2 x 3 x 4) = x 1 x 3 x 4 a také (x 1 x 3 x 4) (x 1 x 2 x 3 x 4) = = x 1 x 3 x 4 V řeči posloupností složených ze symbolů 0, 1, to lze vyjádřit následujícím způsobem Řekneme, že posloupnost (p 1,, p n ) je obsažena v posloupnosti (q 1,, q n ) jestliže platí: kdykoliv je p i, pak je p i = q i, tj posloupnosti se shodují na všech místech, kde posloupnost (p 1,, p n ) nemá Spojením výrazů, které odpovídají těmto posloupnostem je rovno výrazu, který odpovídá posloupnosti (p 1,, p n ) Získali jsme další pravidlo pro zjednodušování Booleových výrazů 3 Pokud je posloupnost (p 1,, p n ) obsažena v posloupnosti (q 1,, q n ), lze posloupnost (q 1,, q n ) vynechat Toto pravidlo ještě neřeší vše Pokud chceme zjednodušit výraz x (x y z), kterému odpovídají posloupnosti (0,, ) a (1, 1, 1), tak nemůžeme použít pravidlo 2 (posloupnosti se liší na třech místech) a ani jedna posloupnost není obsažena v druhé Přitom jisté zjednodušení je možné Je totiž x (x y z) = (x x) (x (y z)) = x (y z) K tomuto zjednodušení výrazu bychom dospěli, pokud bychom při zjednodušování funkce f(x, y) = x (x y z) vycházeli z úplné disjunktivní normální formy funkce f(x, y), která je tvaru f(x, y) = (x y z ) (x y z) (x y z ) (x y z) (x y z) Funkci odpovídají posloupnosti (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1) a (1, 1, 1) Pouze na jednom místě se liší posloupnosti první a druhá, první a třetí, druhá a čtvrtá, třetí a čtvrtá a čtvrtá a pátá Po aplikaci pravidla 2 dostaneme posloupnosti (0, 0, ), (0,, 0), (0,, 1), (0, 1, ) a (, 1, 1) Zde se přesně na jednom místě liší posloupnosti první a čtvrtá a druhá a třetí Použijeme pravidlo 2 a dostaneme posloupnosti (0,, ), (0,, ) a (, 1, 1) První posloupnost vynecháme (dle pravidla 1) a zůstanou nám pouze dvě posloupnosti (0,, ) a (, 1, 1), kterým odpovídá tvar funkce f(x, y) = x (y z) Naformulujme si nyní Quin-McCluskeyho algoritmus pro zminimalizování Booleovy funkce f(x 1, x 2,, x n ) nad Booleovou algebrou B 1 = 2 Budeme postupovat takto: 1) Funkci f(x 1, x 2,, x n ) si vyjádříme v úplné disjunktivní normální formě 2) Používáním pravidel 1, 2 a 3 zjednodušíme disjunktivní tvar funkce f(x 1, x 2,, x n )

10 3) U posloupností odpovídajícím výrazům získaných v bodě 2) otestujeme zda jsou či nejsou obsaženy v posloupnostech, které odpovídají vyjádření funkce f(x 1, x 2,, x n ) v úplné disjunktivní normální formě K tomu si vytvoříme tabulku, kde vodorovně umístíme posloupnosti odpovídající úplné disjunktivní normální formě a svisle umístíme posloupnosti odpovídající vyjádření získanému v bodě 2) Na každém volném místě tabulky otestujeme, zda je posloupnost uvedená v řádku obsažena v posloupnosti uvedené ve sloupci V případě, že ano, příslušné pole tabulky označíme symbolem, není li tomu tak, necháme pole volné 4) Používáním pravidla 3 nalezneme minimální vyjádření funkce f(x 1, x 2,, x n ) pomocí výrazů získaných v bodě 2) Musíme vybrat nějaký minimální systém posloupností umístěných v prvním sloupci tabulky tak, aby každá z posloupností umístěných v prvním řádku tabulky byla obsažena v nějaké posloupnosti z vybraných řádků Toho docílíme takto: je li v nějakém sloupci pouze jeden symbol, pak odpovídající řádek se ve výběru musí vyskytovat Symbolem nahradíme všechny symboly obsažené v tomto řádku a tím máme označeno, které posloupnosti z prvního řádku jsou obsaženy v posloupnosti z prvního sloupce našeho řádku Tento test provedeme pro všechny sloupce a získáme tím neopomenutelné řádky Jestliže je nyní v každém sloupci tabulky (s výjímkou prvního) alespoň jeden symbol, pak posloupnosti v prvním sloupci těchto neopomenutelných řádků určuje hledaný minimální tvar Pokud tomu tak není, pak neopomenutelné řádky doplníme co nejmenším počtem řádků ostatních tak, aby po doplnění každý sloupec obsahoval alespoň jeden ze symbolů nebo Posloupnosti z prvního sloupce těchto řádků (neopomenutelných a doplněných) určují minimální tvar funkce Celý postup si ukážme na následujícím příkladě Příklad Nalezněme minimální tvar Booleovy funkce čtyř proměnných f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = = (x 1 x 2 x 3 x 4) (x 1 x 2 x 3 x 4) (x 1 x 2 x 3 x 4 ) (x 1 x 2 x 3 x 4) (x 1 x 2 x 4) (x 1 x 2 x 3 x 4 ) Funkci odpovídají posloupnosti (0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0), (1, 1,, 0) a (1, 0, 1, 1) Vyjádření funkce není v úplné disjunktivní normální formě Stačí nahradit posloupnost (1, 1,, 0) posloupnostmi (1, 1, 0, 0) a (1, 1, 1, 0) a tím dostaneme systém posloupností, který odpovídá vyjádření v úplné disjunktivní normální formě Posloupnosti si seřadíme tak, aby jejich váha neklesala Dostaneme posloupnosti (0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 1) a (0, 1, 1, 1) Testujeme, které dvojice posloupností se liší přesně na jednom místě a aplikujeme bod 2 Dostaneme posloupnosti (, 0, 1, 0), (, 1, 0, 0), (1, 0, 1, ), (1,, 1, 0), (1, 1,, 0) a (0, 1, 1, 1) Tyto posloupnosti již nelze více upravit Proto si podle bodu 3) vytvoříme tabulku z těchto posloupností a z posloupností odpovídajících vyjádření funkce v úplné disjunktivní normální formě (, 0, 1, 0) (, 1, 0, 0) (1, 0, 1, ) (1,, 1, 0) (1, 1,, 0) (0, 1, 1, 1) (0, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 0) (1, 0, 1, 0) (1, 1, 0, 0) (0, 1, 1, 1) (1, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 0)

11 Dále provedeme test, zda posloupnosti z prvního sloupce jsou obsaženy v posloupnostech z prvního řádku (0, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 0) (1, 0, 1, 0) (1, 1, 0, 0) (0, 1, 1, 1) (1, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 0) (, 0, 1, 0) (, 1, 0, 0) (1, 0, 1, ) (1,, 1, 0) (1, 1,, 0) (0, 1, 1, 1) Výpočet dokončíme podle bodu 4) Symbolem označíme neopomenutelné řádky (0, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 0) (1, 0, 1, 0) (1, 1, 0, 0) (0, 1, 1, 1) (1, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 0) (, 0, 1, 0) (, 1, 0, 0) (1, 0, 1, ) (1,, 1, 0) (1, 1,, 0) (0, 1, 1, 1) Neopomenutelné řádky neobsahují symbol v posledním sloupci Proto musíme přidat k neopomenutelným řádkům nějaké další, tak, aby obsahovaly symbol v posledním sloupci V našem případě máme dvě možnosti Můžeme přidat pátý nebo šestý řádek Vidíme, že úloha najít minimální tvar Booleovy funkce může mít i více řešení V našem příkladě to jsou dvě následující řešení: f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = = (x 2 x 3 x 4) (x 2 x 3 x 4) (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 x 4 ) (x 1 x 3 x 4), nebo f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = = (x 2 x 3 x 4) (x 2 x 3 x 4) (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 x 4 ) (x 1 x 2 x 4) Poznámka Uvědomme si, že Quin-McCluskeyho metoda dává pouze minimální možný tvar vyjádření Booleovy funkce ve tvaru spojení průseků V žádném případě tato metoda nedává nejkratší možné vyjádření Například je li Booleova funkce zadána předpisem f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = x 1 x 2 x 3 x 4, pak její vyjádření je evidentně minimální možné vyjádření ve tvaru spojení průseků Vyjádření předpisu pro tuto funkci ve tvaru f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 x 2 x 3 x 4 ) je jednodušší, obsahuje méně (o tři) symbolů pro operaci komplement a také její realizace klopnými obvody by vyžadovala méně prvků Na Quin-McCluskeyho metodě je cenné zejména to, že se jedná o jednoznačný algoritmicky definovaný postup Tento postup, při kterém se pracuje s posloupnostmi, které jsou složeny z nul a jedniček, je možno pochopitelně jednoduše zautomatizovat Příklady k procvičení 1) Nechť a, b, c, d, e jsou prvky Booleovy algebry B, Vyjádřete x pomocí prvků a, b, c, d, e, je li x = a (b (c (d e)))

12 2) Zjednodušte co nejvíce předpis pro Booleovu funkci h(x, y) dvou proměnných, je li h(x, y) = (x y) (x y ) (x y) (x y ) 3) Jaká je úplná disjunktivní normální forma Booleových funkcí jedné proměnné nad Booleovou algebrou B? 4) Jaká je úplná konjunktivní normální forma Booleových funkcí jedné proměnné nad Booleovou algebrou B? 5) Kolik existuje Booleových funkcí jedné proměnné nad Booleovou algebrou B 5 s pěti atomy? 6) Nalezněte všechny funkční hodnoty všech možných Booleových funkcí jedné proměnné nad Booleovou algebrou B 2 = ({0, a, b, 1},,, 0, 1, ) Které z nich jsou prosté? 7) Kolik existuje Booleových funkcí dvou proměnné nad B 2? 8) Které z funkcí f(x, y), g(x, y) a h(x, y) jsou Booleovy funkce? Nalezněte jejich úplné normální formy x a a a a b b b b y 0 a b 1 0 a b 1 0 a b 1 0 a b 1 f(x, y) 1 b a a a 1 b 1 b g(x, y) b 1 b 1 1 a a 1 b a 0 h(x, y) a 0 a 0 0 b b 0 a a 1 9) Nalezněte minimální tvar Booleovy funkce f(x 1, x 2, x 3 ), je li f(x 1, x 2, x 3 ) rovno: a) (x y z ) (x y z ) (x y z) (x y z ) (x y z) (x y z); b) (x y z ) (x y z ) (x y z ) (x y z) (x y z ) (x y z); c) (x y z ) (x y z) (x y z ) (x y z) (x y z ) (x y z); d) (x y z) (x y z ) (x y z) (x y z) (x y z); e) (x y z ) (x y z ) (x y z) (x y z) (x y z) (x y z ); f) (x y z ) (x y z ) (x y z ) (x y z) (x y z) (x y z) Výsledky 1) x = a (b (c (d e ))) 2) h(x, y) = 0 3) f(x) = (f(0) x ) (f(1) x) 4) f(x) = (f(0) x) (f(1) x ) 5) Je jich (2 5 ) 21 = ) Funkční hodnoty všech funkcí jsou uvedeny v následující tabulce Prosté jsou funkce f 4, f 7, f 10 a f 13 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f 12 f 13 f 14 f 15 f a a a a b b b b a 0 a 0 a 0 a 0 a b 1 b 1 b 1 b 1 b 0 0 b b a a b b a a a b 1 0 a b 1 0 a b 1 0 a b 1 7) 4 22 = 16 8) Funkce f(x, y) a g(x, y) jsou Booleovy a h(x, y) není Booleova (h(1, b) b) Platí: f(x, y) = (x y ) (x y ) (x y) = x y, g(x, y) = (x y ) (x y ) (x y) = x y 9) Minimální tvar pro f(x 1, x 2, x 3 ) je: a) x 1 x 2 ; b) x 2 x 3; c) x 1 x 2; d) (x 1 x 2 ) x 3 ; e) x 1 (x 2 x 3); f) např (x 1 x 3) (x 1 x 2 ) (x 1 x 3 )

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod

Více

Základní pojmy matematické logiky

Základní pojmy matematické logiky KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Definice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí. x y = 1, x y = 0.

Definice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí. x y = 1, x y = 0. Kapitola 4 Booleovy algebry 4.1 Definice Definice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí x y = 1, x y = 0. Představu o

Více

Výroková logika - opakování

Výroková logika - opakování - opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Výroková a predikátová logika - II

Výroková a predikátová logika - II Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce

Více

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. 1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat

Více

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost

3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost 3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Booleovy algebry. Irina Perfilieva. logo

Booleovy algebry. Irina Perfilieva. logo Booleovy algebry Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 25. března 2010 Outline 1 Komplementární svazy 2 Booleovy algebry 3 Věty o Booleových algebrách Outline 1 Komplementární svazy 2 Booleovy algebry

Více

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

DIGITÁLN LNÍ OBVODY A MIKROPROCESORY 1. ZÁKLADNÍ POJMY DIGITÁLNÍ TECHNIKY

DIGITÁLN LNÍ OBVODY A MIKROPROCESORY 1. ZÁKLADNÍ POJMY DIGITÁLNÍ TECHNIKY DIGITÁLN LNÍ OBVODY A MIKROPROCESORY BDOM Prof. Ing. Radimír Vrba, CSc. Doc. Ing. Pavel Legát, CSc. Ing. Radek Kuchta Ing. Břetislav Mikel Ústav mikroelektroniky FEKT VUT @feec.vutbr.cz

Více

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace 2 Množiny, základní číselné množiny, množinové operace Pokud kliknete na některý odkaz uvnitř textu kromě prezentace, zobrazí se odpovídající příklad nebo tabulka. Levý Alt+šipka doleva nebo ikona Vás

Více

P4 LOGICKÉ OBVODY. I. Kombinační Logické obvody

P4 LOGICKÉ OBVODY. I. Kombinační Logické obvody P4 LOGICKÉ OBVODY I. Kombinační Logické obvody I. a) Základy logiky Zákony Booleovy algebry 1. Komutativní zákon duální forma a + b = b + a a. b = b. a 2. Asociativní zákon (a + b) + c = a + (b + c) (a.

Více

5 Orientované grafy, Toky v sítích

5 Orientované grafy, Toky v sítích Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

4.2 Syntaxe predikátové logiky

4.2 Syntaxe predikátové logiky 36 [070507-1501 ] 4.2 Syntaxe predikátové logiky V tomto oddíle zavedeme syntaxi predikátové logiky, tj. uvedeme pravidla, podle nichž se tvoří syntakticky správné formule predikátové logiky. Význam a

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Algebraické struktury s jednou binární operací

Algebraické struktury s jednou binární operací 16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte

Více

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Matematická logika. Rostislav Horčík.  horcik Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Splnitelnost množin Definice Množina

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru

Necht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru 2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních

Více

Číselné vektory, matice, determinanty

Číselné vektory, matice, determinanty Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

Kapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu.

Kapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu. Kapitola 1 Relace Úvodní kapitola je věnována důležitému pojmu relace. Protože relace popisují vztahy mezi prvky množin a navíc jsou samy množinami, bude vhodné množiny nejprve krátce připomenout. 1.1

Více

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet

6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet 6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.

Více

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace

α β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Predikátová logika. prvního řádu

Predikátová logika. prvního řádu Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za

Více

2. Test 07/08 zimní semestr

2. Test 07/08 zimní semestr 2. Test 07/08 zimní semestr Příklad 1. Najděte tříprvkový poset (částečně uspořádanou množinu), která má právě dva maximální a právě dva minimální prvky. Řešení. Takový poset je až na izomorfismus jeden:

Více

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry.

zejména Dijkstrův algoritmus pro hledání minimální cesty a hladový algoritmus pro hledání minimální kostry. Kapitola Ohodnocené grafy V praktických aplikacích teorie grafů zpravidla graf slouží jako nástroj k popisu nějaké struktury. Jednotlivé prvky této struktury mají často přiřazeny nějaké hodnoty (může jít

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře

Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i,

Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, [161014-1204 ] 11 2.1.35 Konstrukce relace. Postupně konstruujeme na množině všech stavů Q relace i, kde i = 0, 1,..., takto: p 0 q právě tehdy, když bud p, q F nebo p, q F. Dokud i+1 i konstruujeme p

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Výroková a predikátová logika - III

Výroková a predikátová logika - III Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2017/2018 1 / 16 2-SAT 2-SAT Výrok je v k-cnf, je-li v CNF a

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?

Kolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů? Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti

Více

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny 1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Cvičení Aktivita 1. část 2. část 3. část Ústní Celkem Známka

Cvičení Aktivita 1. část 2. část 3. část Ústní Celkem Známka Celkové hodnocení BI-MLO (nevyplňujte!) Semestr Zkouška Cvičení Aktivita 1. část 2. část 3. část Ústní Celkem Známka BI-MLO Písemná zkouška 9. února 2016 Matematická logika FIT ČVUT v Praze Varianta B

Více

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno

Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teorie čísel Nekonečno strana 2 Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.

Grafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13. Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy

Více

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole

ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

IB112 Základy matematiky

IB112 Základy matematiky IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.

Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Logika 2. Výroková logika RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216, Logika:

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní

Více

RELACE, OPERACE. Relace

RELACE, OPERACE. Relace RELACE, OPERACE Relace Užití: 1. K popisu (evidenci) nějaké množiny objektů či jevů, které lze charakterizovat pomocí jejich vlastnostmi. Entita je popsána pomocí atributů. Ty se vybírají z domén. Různé

Více

Číselné vyjádření hodnoty. Kolik váží hrouda zlata?

Číselné vyjádření hodnoty. Kolik váží hrouda zlata? Čísla a logika Číselné vyjádření hodnoty Au Kolik váží hrouda zlata? Dekadické vážení Když přidám osmé závaží g, váha se převáží => závaží zase odeberu a začnu přidávat závaží x menší 7 závaží g 2 závaží

Více

Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů

Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů Figurální čísla, Pascalův trojúhelník, aritmetické posloupnost vyšších řádů Jaroslav Zhouf, PedF UK, Praha Úvod Pascalův trojúhelník je schéma přirozených čísel, která má své využití např. v binomické

Více

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru

Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru 1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

2. kapitola: Euklidovské prostory

2. kapitola: Euklidovské prostory 2. kapitola: Euklidovské prostory 2.1 Definice. Euklidovským n-rozměrným prostorem rozumíme neprázdnou množinu E n spolu s vektorovým prostorem V n a přiřazením, které každému bodu a z E n a každému vektoru

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

Substituce. Petr Štěpánek. S využitím materialu Krysztofa R. Apta. Logické programování 2 1

Substituce. Petr Štěpánek. S využitím materialu Krysztofa R. Apta. Logické programování 2 1 Substituce Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 2 1 Algebra termů Předpokládáme, že je dán jazyk termů. L, definovali jsme množinu jeho Zavedeme některé užitečné

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

Y36SAP Y36SAP-2. Logické obvody kombinační Formy popisu Příklad návrhu Sčítačka Kubátová Y36SAP-Logické obvody 1.

Y36SAP Y36SAP-2. Logické obvody kombinační Formy popisu Příklad návrhu Sčítačka Kubátová Y36SAP-Logické obvody 1. Y36SAP 26.2.27 Y36SAP-2 Logické obvody kombinační Formy popisu Příklad návrhu Sčítačka 27-Kubátová Y36SAP-Logické obvody Logický obvod Vstupy a výstupy nabývají pouze hodnot nebo Kombinační obvod popsán

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí

Více

6 Algebra blokových schémat

6 Algebra blokových schémat 6 Algebra blokových schémat Operátorovým přenosem jsme doposud popisovali chování jednotlivých dynamických členů. Nic nám však nebrání, abychom přenosem popsali dynamické vlastnosti složitějších obvodů,

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

KOMBINAČNÍ LOGICKÉ OBVODY

KOMBINAČNÍ LOGICKÉ OBVODY Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 KOMBINAČNÍ LOGICKÉ OBVODY U těchto obvodů je vstup určen jen výhradně kombinací vstupních veličin. Hodnoty

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Přijímací zkouška - matematika

Přijímací zkouška - matematika Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,

Více

1 Determinanty a inverzní matice

1 Determinanty a inverzní matice Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého

Více

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina

Více

6 Ordinální informace o kritériích

6 Ordinální informace o kritériích 6 Ordinální informace o kritériích Ordinální informací o kritériích se rozumí jejich uspořádání podle důležitosti. Předpokládejme dále standardní značení jako v předchozích cvičeních. Existují tři základní

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

0. ÚVOD - matematické symboly, značení, 0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více