Zbytky a nezbytky Vazební věznice Orličky Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

Transkript

1 Zbytky a nezbytky aneb stručný úvod do kongruencí Zbyněk Konečný Vazební věznice Orličky Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

2 O čem to dnes bude? 1 Úvod 2 Lineární diofantické rovnice 3 Čínská zbytková věta 4 Eulerova a Fermatova věta 5 Kvadratické zbytky Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

3 Dělitelnost Úvod všechna čísla zmiňovaná v této předášce jsou celá a děĺı b pokud existuje k takové, že ak = b zapisujeme a b platí (a b a c) a b ± c a 2 bc a gcd(b, c) pokud a b, existuje právě jedno c {0,..., a 1} takové, že a b c toto c nazveme zbytkem po dělení čísla b číslem a Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

4 Kongruence Úvod lat. congruens = shodný, souhlasný v případě celých čísel je kongruencí mít stejný zbytek po dělení Definice Čísla a, b jsou kongruentní modulo m pokud m a b. Zapisujeme a b (mod m) množinu vzájemně kongruentních čísel nazveme zbytkovou třídou obecně pro množinu s operací je kongruence shodnost v nějakém rysu, která je zachována operací Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

5 Vlastnosti kongruencí Úvod necht a b (mod m), c d (mod m) a + c b + d (mod m) a c b d (mod m) a n b n (mod m) pokud t a, t b a gcd(t, m) = 1, pak a/t b/t (mod m) pokud t a, t b a t m, pak a/t b/t (mod m/t) ca cb (mod ct) Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

6 Inverze Úvod Definice Inverzí čísla a modulo m nazveme b takové, že ab 1 (mod m) pro korektnost by bylo lepší definovat přes zbytkové třídy k existenci je nutné a dostatečné, aby gcd(a, m) = 1 pokud existuje, tak jednoznačně (z hlediska zb. tříd) hledat inverzi = hledat b, c pro které ab mc = 1 rozšířený Euklidův algoritmus Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

7 Příklad [2b] Úvod Najděte inverzi k číslu 17 mod 36. Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

8 Příklad [2b] Úvod Najděte inverzi k číslu 17 mod 36. Musí být inverzí mod 9 Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

9 Příklad [2b] Úvod Najděte inverzi k číslu 17 mod 36. Musí být inverzí mod 9 Snadno zjistíme, že je kongruentní s -1 mod 9 Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

10 Příklad [2b] Úvod Najděte inverzi k číslu 17 mod 36. Musí být inverzí mod 9 Snadno zjistíme, že je kongruentní s -1 mod 9 Mod 36 musí být -10,-1,8,17 Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

11 Příklad [2b] Úvod Najděte inverzi k číslu 17 mod 36. Musí být inverzí mod 9 Snadno zjistíme, že je kongruentní s -1 mod 9 Mod 36 musí být -10,-1,8,17 Musí být inverzí mod 4 Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

12 Příklad [2b] Úvod Najděte inverzi k číslu 17 mod 36. Musí být inverzí mod 9 Snadno zjistíme, že je kongruentní s -1 mod 9 Mod 36 musí být -10,-1,8,17 Musí být inverzí mod 4 Snadno zjistíme, že je kongruentní s 1 mod 4 Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

13 Příklad [2b] Úvod Najděte inverzi k číslu 17 mod 36. Musí být inverzí mod 9 Snadno zjistíme, že je kongruentní s -1 mod 9 Mod 36 musí být -10,-1,8,17 Musí být inverzí mod 4 Snadno zjistíme, že je kongruentní s 1 mod 4 Vyhoví pouze 17 Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

14 Lineární diofantické rovnice Lineární diofantické rovnice řešení hledáme v Z pro dvě neznámé ax + by = c k existenci řešení nutna a postačující podmínka gcd(a, b) c řešením vzhledem k a je zbytková třída mod b/gcd(a, b) a naopak stačí uhodnout jedno řešení rychlejší přístup přes kongruence Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

15 Lineární diofantické rovnice Lineární diofantické rovnice II poděĺıme gcd(a, b) dostaneme px + qy = u, gcd(p, q) = 1 jako kongruence (mod p) qy u (mod p) vynásobíme inverzí q: y q 1 u (mod p) zpět od kongruencí: y = kp + q 1 u x dopočteme Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

16 Lineární diofantické rovnice Lineární diofantické rovnice III pro tři proměnné ax + by + cz = d položíme g = gcd(a, b), t = (ax + by)/g vyřešíme gt + cz = d dostaneme t = r + kc/gcd(g, c) vyřešíme (ax + by)/g = t dosadíme zpět Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

17 Příklad [2b] Lineární diofantické rovnice Řešte v Z rovnici 6x + 8y + 20z = 42 Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

18 Příklad [2b] Lineární diofantické rovnice Řešte v Z rovnici 6x + 8y + 20z = 42 Po zkrácení 3x + 4y + 10z = 21 Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

19 Příklad [2b] Lineární diofantické rovnice Řešte v Z rovnici 6x + 8y + 20z = 42 Po zkrácení 3x + 4y + 10z = 21 Substituce a = 2y + 5z Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

20 Příklad [2b] Lineární diofantické rovnice Řešte v Z rovnici 6x + 8y + 20z = 42 Po zkrácení 3x + 4y + 10z = 21 Substituce a = 2y + 5z 3x + 2a = 21 Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

21 Příklad [2b] Lineární diofantické rovnice Řešte v Z rovnici 6x + 8y + 20z = 42 Po zkrácení 3x + 4y + 10z = 21 Substituce a = 2y + 5z 3x + 2a = 21 a = 3t, x = 7 2t Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

22 Příklad [2b] Lineární diofantické rovnice Řešte v Z rovnici 6x + 8y + 20z = 42 Po zkrácení 3x + 4y + 10z = 21 Substituce a = 2y + 5z 3x + 2a = 21 a = 3t, x = 7 2t 3t = 2y + 5z Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

23 Příklad [2b] Lineární diofantické rovnice Řešte v Z rovnici 6x + 8y + 20z = 42 Po zkrácení 3x + 4y + 10z = 21 Substituce a = 2y + 5z 3x + 2a = 21 a = 3t, x = 7 2t 3t = 2y + 5z z = 2k + t, y = 5k t Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

24 C ı nska zbytkova ve ta C ı nska zbytkova ve ta Metoda poc ı ta nı c ı nsky ch voja ku, anglicky CRT Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

25 Čínská zbytková věta Čínská zbytková věta II Věta m soustavy tvaru x a i (mod m i ) je jedna zbytková třída mod lcm(m 1,..., m k ) algoritmus nalezení řešení: slučování kongruencí po dvou x a 1 (mod m 1 ) x a 2 (mod m 2 ) zm 2 ym 1 = a 1 a 2 x = a 1 + ym 1 převedeno na lineární rovnici Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

26 Příklad [2b] Čínská zbytková věta Najděte všechna x dávající zbytek 3 mod 5 a zbytek 5 mod 7, Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

27 Příklad [2b] Čínská zbytková věta Najděte všechna x dávající zbytek 3 mod 5 a zbytek 5 mod 7, Mod 5 i 7 dává zbytek -2 Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

28 Příklad [2b] Čínská zbytková věta Najděte všechna x dávající zbytek 3 mod 5 a zbytek 5 mod 7, Mod 5 i 7 dává zbytek -2 čísla -2+35k vyhoví Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

29 Příklad [2b] Čínská zbytková věta Najděte všechna x dávající zbytek 3 mod 5 a zbytek 5 mod 7, Mod 5 i 7 dává zbytek -2 čísla -2+35k vyhoví dle CRT jiná ne Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

30 Eulerova a Fermatova věta Malá Fermatova věta kongruence se při umocňování chovají pěkně vzhledem k základu zvětšení exponentu o modul kongruenci nezachová najděte příklad kdy ano a příklad kdy ne, je-li modul i základ v absolutní hodnotě větší než 2 pro dané m hledáme číslo k, pro které a k+t a t (mod m) Věta (Fermat) Pro prvočíslo p a celé a nesoudělné s p platí. a p 1 1 (mod p) Často se tato věta formuluje také tak, že pro libovolné a platí a p a (mod p). Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

31 Eulerova věta Eulerova a Fermatova věta Definice Eulerovu funkci pro číslo c jehož definujeme jako počet přirozených čísel menčích než c nesoudělných s c, značíme ϕ(c) nebo φ(c). Pokud je rozklad na prvočinitele čísla c roven p e 1 1 pe k k, je ϕ(c) = (p 1 1)p e (p k 1)p e k k Věta (Euler) Pro číslo m a celé a nesoudělné s m platí a ϕ(m) 1 (mod m) Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

32 Eulerova a Fermatova věta Příklady (každý za bod) 1 Najděte všechna x pro která ϕ(x) = Určete poslední dvě cifry čísla Určete poslední tři cifry čísla Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

33 Kvadratické zbytky Kvadratické zbytky po dělení číslem p mohou druhé mocniny dávat jen některé zbytky vždy a 2 (p a) 2 (mod p), kvadratických zbytků je proto nejvýše (p + 1)/2 je-li p prvočíslo, je jich právě (p + 1)/2 Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

34 Kvadratické zbytky Často používané kvadratické zbytky Modul Zbytek 3 0,1 4 0,1 5 0,1,-1 6 0,1,3,4 7 0,1,2,4 8 0,1,4 9 0,1,7,4 10 0,1,4,5,6,9 Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

35 Příklad Kvadratické zbytky Řešte v Z rovnici x 2 + y 2 = nemá řešení mod 4 Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

36 Příklad Kvadratické zbytky Řešte v Z rovnici x 2 + y 2 = nemá řešení mod 4 má řešení podle všech ostatních modulů Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

37 Kvadratické zbytky Legendrovy symboly Definice ( ) Legendrův symbol p q definujeme pro prvočíslo q jako ( ) 0 pro a 0 (mod p) a p = +1 pro a 0 (mod p) a existuje, x Z : x 2 a (mod p) 1 jinak. (ap) a (p 1)/2 (mod p) (ap) (bp) = (abp) ( 1p) = ( 1) (p 1)/2, což je 1 pro p 1 (mod 4) (2p) = ( 1) (p2 1)/8, což je 1 pro p 1, 1 (mod 8) Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22

38 Kvadratické zbytky Kvadratická reciprocita Věta Pro prvočísla p, q > 2 platí ( p q ) ( ) q p = 1 (p 1)(q 1)/4 Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22