MPI - 7. přednáška. Hledání inverzí v Z n. Rychlé mocnění modulo n. Lineární rovnice v Z + n. Soustavy lineárních rovnic v Z + n.
|
|
- Jiřina Musilová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 MPI - 7. přednáška vytvořeno: 31. října 2016, 10:18 Co bude v dnešní přednášce Hledání inverzí v Z n. Rychlé mocnění modulo n. Lineární rovnice v Z + n. Soustavy lineárních rovnic v Z + n. Rovnice a b c (mod n). 1
2 KAPITOLA 1. MPI - 7. PŘEDNÁŠKA Hledání inverzí v grupách Z n Je-li a Z n, víme že platí gcd(a, n) = 1. Hledání inverze v Z n : myšlenka Již dříve jsme dokázali, že pro libovolná kladná přirozená čísla k a l existují tzv. Bézoutovy koeficienty u.v Z tak, že gcd(k, l) = uk + vl. Pro případ nesoudělných a a n tedy máme 1 = ua + vn ua (mod n). Jistě tedy platí, že číslo u (mod n) je inverze k prvku a grupy Z n. Problém: Jak najít Bezoutovy koeficienty? Definice 1. Řekneme, že d Z dělí n Z (nebo že n je dělitelné d) pokud Připomenutí: dělitelnost a největší společný dělitel n = q d pro nějaké q Z. Značíme d n. Platí např. 5 10, 2 8 a 3 7. Speciálně 1 n a n 0 pro všechna celá čísla n. Definice 2. Největší společný dělitel čísel m Z a n Z je největší přirozené číslo, které dělí m i n. Značí se gcd 1 (m, n). Pokud gcd(m, n) = 1, pak říkáme, že m a n jsou nesoudělná. Pozor: gcd(0, 0) není definováno, neboť každé přirozené číslo dělí nulu! EEA 2 : rozšířený Eukleidův algoritmus 1 greatest common divisor
3 KAPITOLA 1. MPI - 7. PŘEDNÁŠKA 3 EEA funguje jako klasický Eukleidův algoritmus pro hledání gcd(m, n) dvou kladných přirozených čísel m a n. Ten je založen na zřejmém faktu, že pro libovolné číslo k, platí (za předpokladu m n) gcd(m, n) = gcd(m kn, n) = gcd(m mod n, n). Je-li tedy m > n, můžeme problém převést na výpočet gcd(m 1, n), kde m 1 = m (mod n) a n > m 1. Toto můžeme opakovat, dokud menší ze získaných dvou čísel nedělí to větší. Jelikož v každém kroku zmenšuji součet obou čísel, algoritmus skončí po konečně mnoha krocích. Jediný rozdíl mezi klasickým klasickým a rozšířeným Eukleidovým algoritmem je v tom, že při EEA si průběžně poznamenáváme Bezoutovy koeficienty. EEA: ukázka Najdeme gcd(31, 73). Na začátku máme: 73 = a 31 = = , hledáme gcd(11, 31), platí 11 = = , hledáme gcd(9, 11), platí 9 = = ( 2) = , hledáme gcd(2, 9), platí 2 = = ( 7) = , hledáme gcd(1, 2), platí 1 = = ( 14) = , zbytek je 0, končíme 6. výsledek: gcd(31, 73) = 1 = ( 14)
4 KAPITOLA 1. MPI - 7. PŘEDNÁŠKA 4 Důsledek: v grupě Z 73 máme 31 1 = 33. Složitost (1 ze 3) EEA Chceme zjistit, kolik nejvíce kroků potřebujeme při běhu EEA v závislosti na velikosti vstupu. Strategie: pro každé kladné k N najdeme čísla m a n, kde 0 < n < m, tak, že jejich součet n+m je nejmenší možný pro všechny možné dvojice nesoudělných kladných celých čísel, pro která EEA skončí právě po k krocích. Budeme předpokládat, že gcd(n, m) = 1. Pro soudělná čísla se postupuje analogicky, pouze se 1 nahradí libovolným celým číslem l > 0. Pro k = 1 je hledané m = 2 a jemu odpovídající n = 1. Pro k = 2 dostaneme m takto: v druhém (a tedy posledním) kroku EEA pracujeme s dvojicí čísel m 1 = m (mod n) a n. Má-li být m + n co nejmenší, musí platit m = n + m 1 a čísla n > m 1 jsou nejmenší čísla, pro něž EEA potřebuje 1 krok. Ty ale známe: m 1 = 1, n = 2, a tedy m = 3. Složitost (2 ze 3) EEA Hypotéza: Hledané m Fibonacciho číslo F k+2 a k němu příslušné n = F k+1. Platí F 1 = F 2 = 1 a F l = F l 1 + F l 2 pro l 3. Hypotézu dokážeme matematickou indukcí: předpokládáme, že pro k hypotéza platí a ukážeme, že platí i pro případ, kdy EEA potřebuje k + 1 kroků. Zopakujeme vlastně úvahu pro k = 2 uvedenou výše: v druhém kroku EEA pracujeme s dvojicí čísel m 1 = m (mod n) a n. Máli být m + n co nejmenší, musí platit m = n + m 1 s tím, že n + m 1 je nejmenší možné pro čísla n > m 1, pro něž EEA potřebuje k kroků. Ty ale známe: m 1 = F k+2, n = F k+1, a tedy m = F k+2 + F k+1 = F k+3. Složitost (3 ze 3) EEA Věta 3. Pro čísla m, n N +, m > n, najde EEA výsledek v méně než 5d(m) iteracích, kde d(m) je počet cifer čísla m v bázi 10.
5 KAPITOLA 1. MPI - 7. PŘEDNÁŠKA 5 Důkaz. Nechť nyní pro nějaké m potřebuje EEA N iterací. Musí jistě platit, že m F N+2. Víme ale také, že F N+2 > ϕ N (to si najděte!), kde ϕ je zlatý řez (to si také najděte! 3 ). Dostáváme tedy N < log ϕ m = log 10 m log 10 ϕ a protože log 10 ϕ > 1/5 máme N < 5 log 10 m 5d(N). Dokázali jsme, že Euklidův algoritmus je dobrý má polynomiální komplexitu v délce vstupu, tj. je O(log m), kde log m počet bitů potřebných k uložení většího ze dvou čísel na vstupu. gcd : další algoritmy Lze ji vylepšit? Ano, lze lépe volit zbytky po dělení. Například místo 9 = 49 mod 10 můžeme zvolit zbytek 1 a pro modulo 10 pracovat se zbytky { 4,... 5} (symetrická rezidua). Tento algoritmus se jmenuje Least remainder Euclidean/Euclid s algorithm. K dalším algoritmům patří binární GCD algoritmus Binary GCD algorithm, který je ještě účinnější díky využití čistě bitových operací.
6 KAPITOLA 1. MPI - 7. PŘEDNÁŠKA Rychlé mocnění modulo n Problém: chceme rychle spočítat a b (mod n). Myšlenka rychlého algoritmu Využijeme zřejmého faktu, že známe-li x = a b (mod n), umíme spočítat a 2b (mod n) resp. a b+1 (mod n) jako x 2 (mod n) resp. xa (mod n). Příklad: víme-li, že (mod 139) = 5, snadno spočítáme jako 5 2 (mod 139) = 25 a jako 5 38 (mod 139) = 51. Proč jsou tato pozorování dobrá? To uvidíme, když si exponent zapíšeme ve dvojkové soustavě: řešíme a b (mod n), kde b = (b 1 b 2 b m ) 2, kde b 1 = 1: 1. Na začátku máme a (b 1) 2 = a 1 = a. Budeme přidávat další bity. 2. Chceme spočítat a (b 1b 2 ) 2 (mod n). Spočítáme a (b 10) 2 (mod n) jako a 2 (mod n). 3. Pokud je b 2 = 0, máme hotovo, je-li to 1, vynásobíme výsledek ještě číslem a. 4. Máme-li spočítáno x = a (b 1b 2 b l ) 2 (mod n), spočítáme x 2 (mod n). 5. Pokud je b l+1 = 0, dostali-jsme a (b 1b 2 b l+1 ) 2 (mod n), je-li b l+1 = 1, vynásobíme výsledek ještě číslem a a dostaneme x 2 a(mod n) = a (b 1b 2 b l+1 ) 2 (mod n). Takto postupně doplníme všechny bity, a spočítáme a b (mod n). Rychlé mocnění: příklad Příklad 4. Spočítáme dříve zmíněné (mod 139), kde 244 = ( ) 2, což spočítáme např. hladovým algoritmem (najděte si!) (10) 2 = 38 2 = (mod 139), dále 38 (11) 2 = = (mod 139) (110) 2 = = (mod 139), dále 38 (111) 2 = = (mod 139). 3 Jedná se o řešení jednoduché lineární rekurentní rovnice uvedené dříve. Vizte Vaše znalosti z předmětu BI-ZDM.
7 KAPITOLA 1. MPI - 7. PŘEDNÁŠKA (1110) 2 = 99 2 = (mod 139), dále 38 (1111) 2 = = (mod 139) (11110) 2 = 57 2 = (mod 139) (111100) 2 = 52 2 = (mod 139), dále 38 (111101) 2 = = (mod 139) ( ) 2 = 31 2 = (mod 139) ( ) 2 = = (mod 139). A to je výsledek (mod 139) = 5. Metoda opakovaných čtverců Uvedenému algoritmu se říká metoda opakovaných čtverců 4. Je-li k počet bitů dvojkové reprezentace čísla b (tedy k = log b ), pak pro výpočet a b (mod n) potřebujeme: k 1 mocnění na druhou čísel ze Z n, m < k 1 násobení čísel ze Z n číslem a. Složitost je pak v nejhorším případě 2( log b 1) a v průměrném 3/2( log b 1). Každopádně je složitost této metody polynomiální v délce vstupu, tj. je O(log b). Mocnění lze také urychlit použitím Eukleidovy věty: Metoda opakovaných čtverců: komentáře a ϕ(n) 1 (mod n), kde gcd(a, n) = 1. Problém je, že nemusíme umět vypočítat ϕ(n), jejíž výpočet je stejně složitý, jako faktorizace n. Existuje i varianta metody opakovaných čtverců, kdy se binární reprezentace čte zprava doleva. 4 Anglicky Square & multiply
8 KAPITOLA 1. MPI - 7. PŘEDNÁŠKA Lineární rovnice v Z + n. Problém: chceme najít x Z n řešící rovnici Lineární rovnice v Z + n (1 ze 4) pro nějaká čísla ze Z n, kde n N +. ax b (mod n) Je-li gcd(a, n) = 1, neboli je-li a Z n, můžeme najít jeho inverzi a 1 v této grupě pomocí EEA a dostaneme řešení: a 1 ax x a 1 b (mod n). Je-li gcd(a, n) > 1, je situace složitější, neboť inverze k a neexistuje a rovnice nemusí mít řešení: 16x 11 (mod 20) nemá řešení, 16x 8 (mod 20) má řešení x = 3. Kdy řešení existuje? Jinými slovy, jaká čísla dostanu, pokud a násobím postupně čísly k = 1, 2,... n? Dostanu čísla ve tvaru ka ln, kde celé číslo l volím tak, aby výsledek bylo číslo ze Z n. Dříve jsme si ukazovali, že nejmenší kladné číslo, zapsatelné v tomto tvaru je gcd(a, n). Z toho plyne následující lemma Lineární rovnice v Z + n (2 ze 4) Lemma 5. Rovnice ax b (mod n) má řešení pouze pokud je b dělitelné gcd(a, n). Pokud ale řešení existuje, jak jej nalezneme? Využijeme následující triviální fakt (důkaz za domácí úkol): Lemma 6. Jsou-li čísla a, b a n dělitelná číslem d a platí a b (mod n), potom platí a d b d (mod n d ).
9 KAPITOLA 1. MPI - 7. PŘEDNÁŠKA 9 Uvažujme tedy rovnici ax b (mod n), kde d = gcd(a, n) > 1 a d dělí b (jinak nemá rovnice řešení). Položme ã = a/d, b = b/d, ñ = n/d. Potom platí ãx b (mod ñ) a gcd(ã, ñ) = 1, což je ale rovnice, kterou již vyřešit umíme! Pro daná přirozená čísla a, b a n > 1 hledáme x takové, že platí Lineární rovnice v Z + n (3 ze 4) ax b (mod n). Z předchozího plyne následující shrnující věta a postup řešení. Věta 7. Výše uvedená rovnice má řešení právě tehdy, když gcd(a, n) b. V tomto případě je počet řešení v Z n roven gcd(a, n). Postup řešení: najdeme Bézoutovy koeficienty pro (a, m), tedy celá čísla α a β taková, že platí αa + βn = gcd(a, n). (α je inverze k ã v předchozí úvaze!) Potom x 0 = αb gcd(a,n) je řešení lineární kongruence: αb ax 0 = a gcd(a, n) = b βn b gcd(a, n) b (mod n). Máme-li jedno řešení, umíme najít další řešení x takto x x 0 (mod m gcd(a,n) ). Lineární rovnice Příklad 8. Řešme 6x 12 (mod 15), tedy a = 6, b = 12 a m = Máme gcd(a, m) = gcd(6, 15) = , tedy lineární kongruence má řešení. 3. Hledáme α a β takové, že 6α + 15β = Vezmeme α = 2 a β = 1. Dosadíme do předpisu pro x 0 : x 0 = αb 2 12 = = 8 7 (mod 15). gcd(a, m) 3 5. Ověříme 6 7 = 42 = (mod 15), 6. další řešení jsou x 7 (mod 15 3 ). 7. Celkem všechna řešení v Z 15 jsou 7, 12 a 2. v Z + n (4 ze 4)
10 KAPITOLA 1. MPI - 7. PŘEDNÁŠKA Soustavy lineárních rovnic v Z + n. Problém: řešíme soustavu rovnic Soustavy lineárních kongruencí (1 ze 2) a a 1 (mod m 1 ) a a 2 (mod m 2 ). a a N (mod m N ) (1.1) kde m 1,..., m N jsou navzájem nesoudělná a 1 Z m1,..., a N Z mn. Pokud nejsou m i navzájem nesoudělná, nemusí řešení existovat a situace se celkově komplikuje. Myšlenka: zkusíme zkonstruovat čísla x 1,..., x N tak, že x i bude řešit i-tou rovnici, tj. x i a i (mod m i ), a pro ostatní rovnice bude x k 0 (mod m k ), kde k i. Potom bude jistě a = x 1 + x x N řešením soustavy (1.1)! Jak taková x i najdeme? Soustavy lineárních kongruencí (2 ze 2) Položme M = N i=1 m i a M i = M m i a pomocí postupu uvedeného dříve vyřešme rovnici y i M i 1 (mod m i ). s neznámou y i. Položíme-li x i = y i M i a i, dostáváme čísla s požadovanými vlastnostmi, a tedy a = y 1 M 1 a 1 + y 2 M 2 a y N M N a N. Tím jsme dokázali slavnou čínskou větu o zbytcích!
11 KAPITOLA 1. MPI - 7. PŘEDNÁŠKA 11 Čínská věta o zbytcích Věta 9 (Čínská věta o zbytcích (Chinese remainder theorem CRT)). Nechť m 1,..., m N jsou navzájem nesoudělná čísla a nechť M = N i=1 m i. Pro libovolnou N-tici a 1 Z m1,..., a N Z mn existuje jednoznačně určené a Z M tak, že a a i (mod m i ) pro všechna i = 1,..., N. Platí kde M i = M m i N a a i y i M i i=1 a pro všechna i a j i platí (mod M), y i M i 1 (mod m i ) a y i M i 0 (mod m j ). Existenci řešení jsme ukázali, dokonce i postup jak jej nalézt. Zbývá dokázat jednoznačnost. Při zachování značení z předchozí věty označme CRT: důkaz jednoznačnosti řešení Γ : Z + M Z+ m 1 Z + m N zobrazení, které číslu a Z + M (mod m i ) pro všechna i. přiřadí N-tici (a 1,..., a N ), kde platí a a i CRT nám říká, jak najít vzor N-tice (a 1,..., a N ) při zobrazení Γ (rozmyslet!). Zatím jsme si ukázali, že zobrazení Γ je surjektivní, neb pro každou N-tici (a 1,..., a N ) umíme najít a Z M tak, že Γ(a) = (a 1,..., a N ). Jelikož jsou ale množiny Z + M a Z+ m 1 Z + m N stejně velké, musí toto zobrazení být i injektivní, a tedy se jedná o bijekci! Je tedy nemožné, aby dvě různé N-tice měly dva různé vzory a jednoznačnost řešení a z CRT je dokázána! Zobrazení Γ je (dokažte si!): Residue number system
12 KAPITOLA 1. MPI - 7. PŘEDNÁŠKA 12 izomorfismus grupy Z + M a grupy Z+ m 1 Z + m N, kde bereme operaci sčítání po složkách: i-tou složku sčítáme modulo m i ; izomorfismus grupy Z M a grupy Z m 1 Z m N, kde bereme operaci násobení po složkách: i-tou složku násobíme modulo m i. Zobrazení Γ určuje tzv. Residue number system. Místo modulo M počítáme v systému modulo (m 1,..., m N ). Jelikož zobrazení lze chápat též jako izomorfismus mezi okruhy Z M a Z m1 Z mn, jediná problematická operace v tomto číselném systému zůstane dělení. Na cvičení si ukážete, jak lze s využitím CRT až čtyřikrát zrychlit dekódování v RSA.
13 KAPITOLA 1. MPI - 7. PŘEDNÁŠKA Rovnice a b c (mod n) Uvažujme rovnici a b c (mod n). Rovnice a b (mod n) c Je-li neznámá c, řešení umíme najít v polynomiálním čase pomocí metody opakovaných čtverců. Je-li neznámá b, jedná se o problém diskrétního logaritmu a ten neumíme v obecném případě vyřešit o moc lépe než hrubou silou. Na tomto faktu je založeno Diffie-Hellmanovo schéma pro konstrukci asymetrické šifry. Je-li neznámá a, jedná se o problém diskrétní odmocniny (root finding problem) a ten umíme řešit pouze v případě, že n je mocnina prvočísla, tj. n = p k pro prvočíslo p a k N +. My si řekneme něco o speciálním případě, kdy n = p a b = 2. Fakt, že root finding problem neumíme vyřešit pro neprvočíselné n, je zásadní pro bezpečnost RSA! Co potřebujeme: RSA : připomenutí číslo n, které je součinem dvou prvočísel n = pq a exponent e, který je nesoudělný s ϕ(n) a d takové, že de 1 (mod ϕ(n)). Čísla e a n tvoří veřejný klíč a d je klíč soukromý. Šifrování: y x e (mod n) kde šifrovaná zpráva x musí být ze Z n, tzn. musíme vzít n dostatečně velké anebo x rozdělit na více částí, zašifrovaná zpráva y pak nutně vyjde také jako prvek Z n. Dešifrování: x = y d x ed (mod n)
14 KAPITOLA 1. MPI - 7. PŘEDNÁŠKA 14 Kvadratická rezidua Definice 10. Číslo a Z p pokud má rovnice nazveme kvadratické reziduum modulo p x 2 a (mod p) řešení. V opačném případě jej nazveme kvadratické nereziduum modulo p. Příklad 11. Vezmeme p = 7, pak kvadratická rezidua jsou 1, 2 a 4: (mod 7) (mod 7) (mod 7) Jak poznat kvadratické reziduum? re- Kvadratické ziduum Eulerovo kritérium (1 ze 2) Buď g generátor grupy Z p, kde p je liché prvočíslo. Je-li a = g 2k, jistě platí x 2 a (mod p) pro x = g k. Uvažujme případ, že a = g 2k+1 a platí x 2 a (mod p) pro nějaké x Z p. Jistě existuje m tak, že x = g m, neboť g je generátor. Máme tedy g 2m g 2k+1 (mod p), to znamená, že g 2m 2k 1 1 (mod p). Jelikož je g generátor, musí být 2m 2k 1 dělitelné p 1, což ale není možné, neb p 1 je sudé číslo! Lemma 12. Buď p liché prvočíslo a g generátor grupy Z p. Potom g k je kvadratické reziduum, právě když je k sudé. Navíc pro každé kvadratické reziduum a existují právě dvě x taková, že x 2 a (mod p). Eulerovo kritérium (2 ze 2)
15 KAPITOLA 1. MPI - 7. PŘEDNÁŠKA 15 Věta 13 (Eulerovo kritérium). Nechť p je liché prvočíslo a a Z p. Potom platí { a p je-li a kvadratické reziduum modulo p, 1 jinak. Důkaz. Z p Je-li a kvadratické reziduum, platí a = g 2k pro generátor g grupy a nějaké celé číslo k. Z toho plyne a p 1 2 g k(p 1) (g (p 1) ) 2 1 (mod p). Není-li a kvadratické residuum, je a = g 2k+1 a platí a p 1 2 g k(p 1) g p 1 g p (mod p). 2 Poslední kongruence plyne z faktu, že rovnice x 2 1 (mod p) má právě dvě řešení 1 a -1 a že g p 1 2 je řešení nutně různé od 1 (g je generátor)! Kvadratické reziduum: komentáře ( ) Číslu a p 1 2 (mod p) se říká Legenderův symbol a značí se a p. Legenderův symbol umíme spočítat v polynomiálním čase. Existuje i celkem jednoduchý algoritmus pro hledání řešení rovnice x 2 a (mod p) pro zadané kvadratické reziduum a. Vizte knihu Randomized Algorithms, Rajeev Motwani, Prabhakar Raghavan, Cambridge University Press, 1995.
Jak funguje asymetrické šifrování?
Jak funguje asymetrické šifrování? Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikované matematiky, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava Petr Vodstrčil
VíceKarel Klouda c KTI, FIT, ČVUT v Praze 28. února, letní semestr 2010/2011
MI-MPI, Přednáška č. 3 Karel Klouda karel.klouda@fit.cvut.cz c KTI, FIT, ČVUT v Praze 28. února, letní semestr 2010/2011 Množiny s jednou binární operací Neprázdná množina M s binární operací (resp. +
VíceÚvod. Karel Klouda c KTI, FIT, ČVUT v Praze 18. dubna, letní semestr 2010/2011
MI-MPI, Přednáška č. 11 Karel Klouda karel.klouda@fit.cvut.cz c KTI, FIT, ČVUT v Praze 18. dubna, letní semestr 2010/2011 RSA potřiapadesáté šifrování Co potřebuje k zašifrování zprávy x: číslo n, které
VíceHlubší věty o počítání modulo
Hlubší věty o počítání modulo Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2007: Hlubší věty o počítání modulo 1/17 Příklad Vyřešte: Idea řešení: x = 3 v Z 4 x = 2 v Z 5 x = 6 v Z 21 x = 3 + 2 + 6 Musí být: 1 První
VíceHlubší věty o počítání modulo
Hlubší věty o počítání modulo Jiří Velebil: A7B01MCS 31. října 2011: Hlubší věty o počítání modulo 1/18 Příklad Vyřešte: Idea řešení: x = 3 v Z 4 x = 2 v Z 5 x = 6 v Z 21 x = 3 + 2 + 6 Musí být: 1 První
VíceObsah. Euler-Fermatova věta. Reziduální aritmetika. 3. a 4. přednáška z kryptografie
Obsah Počítání modulo n a jeho časová složitost 3. a 4. přednáška z kryptografie 1 Počítání modulo n - dokončení Umocňování v Zn 2 Časová složitost výpočtů modulo n Asymptotická notace Základní aritmetické
VíceTrocha teorie Ošklivé lemátko První generace Druhá generace Třetí generace Čtvrtá generace O OŠKLIVÉM LEMÁTKU PAVEL JAHODA
O OŠKLIVÉM LEMÁTKU PAVEL JAHODA Prezentace pro přednášku v rámci ŠKOMAM 2014. Dělitelnost na množině celých čísel 3 dělí 6 Dělitelnost na množině celých čísel 3 dělí 6 protože Dělitelnost na množině celých
VícePolynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30
Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,
VíceMPI - 5. přednáška. 1.1 Eliptické křivky
MPI - 5. přednáška vytvořeno: 3. října 2016, 10:06 Doteď jsem se zabývali strukturami, které vzniknou přidáním jedné binární operace k neprázdné množině. Jako grupu jsme definovali takovou strukturu, kde
VíceHistorie matematiky a informatiky Cvičení 2
Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic
VíceZáklady elementární teorie čísel
Základy elementární teorie čísel Jiří Velebil: X01DML 29. října 2010: Základy elementární teorie čísel 1/14 Definice Řekneme, že přirozené číslo a dělí přirozené číslo b (značíme a b), pokud existuje přirozené
VíceZáklady elementární teorie čísel
Základy elementární teorie čísel Jiří Velebil: A7B01MCS 3. října 2011: Základy elementární teorie čísel 1/15 Dělení se zbytkem v oboru celých čísel Ať a, b jsou libovolná celá čísla, b 0. Pak existují
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
Více8. RSA, kryptografie s veřejným klíčem. doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc.
Bezpečnost 8. RSA, kryptografie s veřejným klíčem doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních programů
VícePokročilá kryptologie
Pokročilá kryptologie RSA doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních programů Informatika pro
VíceCharakteristika tělesa
16 6 Konečná tělesa V této kapitole budeme pod pojmem těleso mít na mysli vždy konečné komutativní těleso, tedy množinu s dvěma binárními operacemi (T, +, ), kde (T, +) je komutativní grupa s neutrálním
VíceČínská věta o zbytcích RSA
Čínská věta o zbytcích RSA Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MAG pondělí 10. listopadu 2014 verze: 2014-11-10 11:20 Obsah
VíceGenerující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30
Generující kořeny cyklických kódů 6. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Obsah 1 Alena Gollová, TIK Generující kořeny 2/30 Hammingovy kódy Hammingovy kódy jsou
VíceDiskrétní matematika 1. týden
Diskrétní matematika 1. týden Elementární teorie čísel dělitelnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Problémy teorie čísel 2 Dělitelnost 3 Společní dělitelé
VíceRSA. Matematické algoritmy (11MA) Miroslav Vlček, Jan Přikryl. Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní. čtvrtek 21.
Čínská věta o zbytcích Šifrování Závěr Čínská věta o zbytcích RSA Matematické algoritmy (11MA) Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 4. přednáška 11MA čtvrtek 21. října 2010 verze:
VíceŠifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2
VŠFS; Aplikovaná informatika; SW systémy 2005/2006 1 Bezpečnost informací BI Ing. Jindřich Kodl, CSc. Šifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2 VŠFS; Aplikovaná informatika; SW systémy 2005/2006 2 Osnova
VíceRSA. Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl. Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní. verze: :01
Čínská věta o zbytcích Mocnění Eulerova funkce Šifrování Závěr Čínská věta o zbytcích RSA Matematické algoritmy (11MAG) Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 4. přednáška 11MAG ponděĺı
VíceAsymetrická kryptografie a elektronický podpis. Ing. Dominik Breitenbacher Mgr. Radim Janča
Asymetrická kryptografie a elektronický podpis Ing. Dominik Breitenbacher ibreiten@fit.vutbr.cz Mgr. Radim Janča ijanca@fit.vutbr.cz Obsah cvičení Asymetrická, symetrická a hybridní kryptografie Kryptoanalýza
Více[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.
Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceZbytky a nezbytky Vazební věznice Orličky Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky / 22
Zbytky a nezbytky aneb stručný úvod do kongruencí Zbyněk Konečný Vazební věznice Orličky 2009 23. 27.2.2009 Kondr (Brkos 2010) Zbytky a nezbytky 23. 27.2.2009 1 / 22 O čem to dnes bude? 1 Úvod 2 Lineární
VíceLenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012
Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z
VíceMFF UK Praha, 22. duben 2008
MFF UK Praha, 22. duben 2008 Elektronický podpis / CA / PKI část 1. http://crypto-world.info/mff/mff_01.pdf P.Vondruška Slide2 Přednáška pro ty, kteří chtějí vědět PROČ kliknout ANO/NE a co zatím všechno
Více21ˆx 0 mod 112, 21x p 35 mod 112. x p mod 16. x 3 mod 17. α 1 mod 13 α 0 mod 17. β 0 mod 13 β 1 mod 17.
1. 2. test - varianta A Příklad 1.1. Kompletně vyřešte rovnici 21x 35 mod 112. Řešení. Protože gcd(112, 21) 21 má dle Frobeniovy věty rovnice řešení. Řešení nalezneme ve dvou krocích. Nejprve kompletně
VíceY36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz
Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 TEORIE ČÍSEL 000/001 Cifrik, M-ZT Příklad ze zadávacích listů 10 101 Dokažte, že číslo 101 +10 je dělitelné číslem 51 Důkaz:
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
Více[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).
Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem
VíceAsymetrické šifry. Pavla Henzlová 28.3.2011. FJFI ČVUT v Praze. Pavla Henzlová (FJFI ČVUT v Praze) Asymetrické šifry 28.3.
Asymetrické šifry Pavla Henzlová FJFI ČVUT v Praze 28.3.2011 Pavla Henzlová (FJFI ČVUT v Praze) Asymetrické šifry 28.3.2011 1 / 16 Obsah 1 Asymetrická kryptografie 2 Diskrétní logaritmus 3 Baby step -
VíceKritéria dělitelnosti Divisibility Criterions
VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky Kritéria dělitelnosti Divisibility Criterions 2014 Veronika Balcárková Ráda bych na tomto místě poděkovala
VíceModulární aritmetika, Malá Fermatova věta.
Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta. Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 4. přednáška 11MAG pondělí 10. listopadu 2014 verze: 2014-11-03
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
Více4 Počítání modulo polynom
8 4 Počítání modulo polynom Co se vyplatilo jendou, vyplatí se i podruhé. V této kapitole zavedeme polynomy nad Z p a ukážeme, že množina všech polynomů nad Z p tvoří komutativní okruh s jednotkou. Je-li
VícePomocný text. Polynomy
Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné
VíceBCH kódy. Alena Gollová, TIK BCH kódy 1/27
7. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK 1/27 Obsah 1 Binární Alena Gollová, TIK 2/27 Binární jsou cyklické kódy zadané svými generujícími kořeny. Díky šikovné volbě kořenů opravuje kód
VíceProtokol RSA. Tvorba klíčů a provoz protokolu Bezpečnost a korektnost protokolu Jednoduché útoky na provoz RSA Další kryptosystémy
Protokol RSA Jiří Velebil: X01DML 3. prosince 2010: Protokol RSA 1/18 Protokol RSA Autoři: Ronald Rivest, Adi Shamir a Leonard Adleman. a Publikováno: R. L. Rivest, A. Shamir a L. Adleman, A Method for
VíceDosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty.
Kapitola 4 Tělesa Dosud jsme se zabývali pouze soustavami lineárních rovnic s reálnými koeficienty. Všechna čísla byla reálná, vektory měly reálné souřadnice, matice měly reálné prvky. Také řešení soustav
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceEliptické křivky a RSA
Přehled Katedra informatiky FEI VŠB TU Ostrava 11. února 2005 Přehled Část I: Matematický základ Část II: RSA Část III: Eliptické křivky Matematický základ 1 Základní pojmy a algoritmy Základní pojmy Složitost
VíceKongruence na množině celých čísel
121 Kapitola 4 Kongruence na množině celých čísel 4.1 Relace kongruence na množině celých čísel Vraťme se k úvahám o dělení se zbytkem. Na základní škole jsme se naučili, že když podělíme číslo 11 číslem
VíceŘetězové zlomky. již čtenář obeznámen. Důraz bude kladen na implementační stránku, protože ta je ve
Faktorizace čísel pomocí řetězových zlomků Tento text se zabývá algoritmem CFRAC (continued fractions algorithm) pro rozkládání velkých čísel (typicky součinů dvou velkých prvočísel). Nebudeme se zde zabývat
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceHistorie matematiky a informatiky 2 7. přednáška
Historie matematiky a informatiky 2 7. přednáška Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 5. října 2013 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitoly z teorie
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceHistorie matematiky a informatiky Cvičení 1
Historie matematiky a informatiky Cvičení 1 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Kapitola z teorie čísel Co
VíceModulární aritmetika, Malá Fermatova věta.
Modulární aritmetika, Malá Fermatova věta. Matematické algoritmy (11MAG) Jan Přikryl 4. přednáška 11MAG pondělí 3. listopadu 2014 verze: 2014-11-10 10:42 Obsah 1 Dělitelnost 1 1.1 Největší společný dělitel................................
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceLineární algebra : Lineární zobrazení
Lineární algebra : Lineární zobrazení (6. přednáška František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 20. května 2014, 22:40 1 2 6.1 Lineární zobrazení Definice 1. Buďte P a Q dva lineární prostory
VíceDefinice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České
VíceZpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří
VíceTěleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
Více15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.
Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
VíceŠifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2
Bezpečnost informací BI Ing. Jindřich Kodl, CSc. Šifrová ochrana informací věk počítačů PS5-2 1 Osnova šifrová ochrana využívající výpočetní techniku např. Feistelova šifra; symetrické a asymetrické šifry;
Více)(x 2 + 3x + 4),
3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceV: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
Vícegrupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa
grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceMatematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup
Matematika IV - 2. přednáška Základy teorie grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 25. 2. 2008 oooooooooooo Obsah přednášky Q Grupy - homomorfismy a součiny Martin Panák, Jan Slovák,
VíceLineární algebra : Báze a dimenze
Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,
VíceJihomoravske centrum mezina rodnı mobility. T-exkurze. Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı
Jihomoravske centrum mezina rodnı mobility T-exkurze Teorie c ı sel, aneb elektronicky podpis a s ifrova nı Brno 2013 Petr Pupı k Obsah Obsah 2 Šifrovací algoritmy RSA a ElGamal 12 2.1 Algoritmus RSA.................................
VíceNechť M je množina. Zobrazení z M M do M se nazývá (binární) operace
Kapitola 2 Algebraické struktury Řada algebraických objektů má podobu množiny s nějakou dodatečnou strukturou. Například vektorový prostor je množina vektorů, ty však nejsou jeden jako druhý : jeden z
VíceZápadočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY
Západočeská univerzita v Plzni FAKULTA PEDAGOGICKÁ KATEDRA MATEMATIKY, FYZIKY A TECHNICKÉ VÝCHOVY VYBRANÉ KAPITOLY Z ELEMENTÁRNÍ ALGEBRY DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Jiří KRYČ Učitelství pro 2. stupeň ZŠ, obor
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
Víceα β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace
Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
VíceDiskrétní logaritmus
13. a 14. přednáška z kryptografie Alena Gollová 1/38 Obsah 1 Protokoly Diffieho-Hellmanův a ElGamalův Diffieho-Hellmanův a ElGamalův protokol Bezpečnost obou protokolů 2 Baby step-giant step algoritmus
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceCyklické grupy a grupy permutací
Cyklické grupy a grupy permutací Jiří Velebil: A7B01MCS 5. prosince 2011: Cyklické grupy, permutace 1/26 Z minula: grupa je důležitý ADT Dnešní přednáška: hlubší pohled na strukturu konečných grup. Aplikace:
Víceonline prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.
Teorie čísel a úvod do šifrování RNDr. Zbyněk Šír, Ph.D. Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 2. Homomorfismy V souvislosti se strukturami se v moderní matematice studují i zobrazení,
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete všechny dvojice (x, y) reálných čísel, která vyhovují soustavě rovnic (x + )2 = y, (y )2 = x + 8. Řešení. Vzhledem k tomu,
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceTeorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
VícePříklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
Více64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L
Více