GEOMETRICKÉ KONSTRUKCE A PRAVIDELNÉ MOZAIKY

Transkript

1 ACTA UNIVERSITATIS PALACKIANAE OLOMUCENSIS FACULTAS PAEDAGOGICA 2014 MATHEMATICA IX GEOMETRICKÉ KONSTRUKCE A PRAVIDELNÉ MOZAIKY Filip ROUBÍČEK Abstrakt Pravidelné mozaiky představují ve vyučování geometrii vhodné prostředí pro rozvíjení geometrické představivosti a konstrukčních postupů založených na užití shodných zobrazení v rovině. Mozaiky jsou rovinné teselace, tj. pokrytí roviny (většinou shodnými) útvary bez mezer a překrytí. Konstrukce geometrické mozaiky vychází z tvaru dlaždic a jejich uspořádání. Rozbor mozaiky je založen na identifikaci její sítě a konstrukce dlaždic. Klíčová slova: vyučování geometrii, teselace, modelování, shodná zobrazení GEOMETRICAL CONSTRUCTIONS AND REGULAR MOSAICS Abstract In the teaching of geometry regular mosaics represent a suitable environment for developing of geometrical imagination and constructing procedures based on the use of isometries in plane. Mosaics are plane tessellations, i.e. coverages of plane by (in most case identical) shapes without gaps and overlaps. The construction of a geometrical mosaic follows from a shape of tiles and their assembling. Analyse of a mosaic is based on identification of its grid and a construction of tiles. Key words: teaching of geometry, tessellation, modelling, isometry 1. Úvod Otázce, jak zprostředkovat žákům prvního stupně základní školy svět geometrie, aby mu plně porozuměli, se věnují didaktici matematiky u nás i v zahraničí již řadu let. Přestože byly předloženy uspokojivé odpovědi, praxe ve školách nenaznačuje, že by nové přístupy byly učiteli přijaty a uplatňovány. Přetrvávají tendence upínat se k formalizovanému pojetí geometrie s hlavním důrazem na abstraktní geometrické pojmy namísto soustavného rozvíjení geometrické představivosti prostřednictvím užití různých modelů vycházejících ze zkušeností dětí. Příčinou tohoto stavu může být nedostatečná znalost elementární geometrie (zejména porozumění souvislostem mezi geometrickými objekty) a absence dovednosti vidět geometrii kolem sebe. Ačkoliv práce s abstraktními objekty, jako jsou například body, přímky a úsečky, je pro porozumění geometrii důležitá, nepřináší žákům zejména na prvním stupni tolik příležitostí k objevování jako aktivity, ve kterých mohou přirozeně uplatnit své geometrické zkušenosti a tvořivost. Geometrické modelování, které je dětem známé z předškolních let a jimi vyhledávané i v mladším školním věku, má své nezastupitelné místo také ve vyučování geometrii. Stavění z kostek, sestavovaní mozaiky, kreslení,

2 vystřihování a skládání z papíru a mnohé další aktivity jsou zdrojem geometrických představ a nezbytnou etapou pojmotvorného procesu v geometrii. Geometrické konstrukce představují jednu z podstatných oblastí školské geometrie. Mnohdy se však konstruování omezuje na geometrii v rovině a prezentuje jako rýsování trojúhelníku, čtverce, obdélníku, kružnice apod. Ve skutečnosti je tato oblast geometrie mnohem širší a rozmanitější, neboť se netýká jen rovinných, ale i prostorových úvarů a zahrnuje různé způsoby modelování, grafické a manipulativní činnosti. 2. Geometrické mozaiky Příkladem specifické geometrické konstrukce ve školské geometrii je sestavování geometrické mozaiky z mnohoúhelníků (například trojúhelníků nebo čtyřúhelníků). Výsledkem takové činnosti může být souměrný obrazec, dláždění, pravidelný vzor (Heuvel-Panhuizen, Buys 2005). V rámci této činnosti si žáci vytvářejí představy o mnohoúhelnících, poznávají vlastnosti mnohoúhelníků a vztahy mezi nimi, seznamují se s pojmy shodnost, podobnost a shodná zobrazení (zejména souměrnost) a zvědomují principy dělení a vyplňování prostoru (Hošpesová, Jagoda, Roubíček, Swoboda 2010). Pokrytí roviny útvary bez mezer a překrytí se nazývá rovinná teselace (Ilucová 2006, Voráčová 2013); ve školské praxi se vžilo označení mozaika nebo parketáž. V tomto příspěvku se zaměříme na pravidelné mozaiky, tj. pokrytí roviny shodnými obrazci, které tvoří pravidelný vzor (např. dláždění na obr. 1). Označení pravidelný bývá běžně interpretováno jako pravidelně se opakující (stejný prvek). Toto intuitivní pojetí neodpovídá užití pojmu pravidelný v geometrii (např. pojem pravidelný mnohoúhelník). Obr. 1 Různá dláždění z obdélníků Existují tři pravidelné geometrické mozaiky, které jsou tvořeny shodnými pravidelnými mnohoúhelníky (Levitin 1991), a to čtvercová, trojúhelníková a šestiúhelníková (viz obr. 2). Trojúhelníková a šestiúhelníková mozaika jsou navzájem duální, čtvercová mozaika je duální sama k sobě. Obr. 2 Pravidelné geometrické mozaiky Pokrytí roviny lze provést pomocí libovolného trojúhelníku nebo čtyřúhelníku. Například šachovnici, která představuje pravidelnou čtvercovou mozaiku, lze přeměnit

3 na obdélníkovou, kosočtvercovou nebo kosodélníkovou (viz obr. 3). Kromě rovnoběžníků lze použít také libovolné lichoběžníky, různoběžníky i nekonvexní čtyřúhelníky. Obr. 3 Mozaiky tvořené rovnoběžníky Základem čtvercové mozaiky nemusí být pouze pravidelná čtvercová síť; řady nebo sloupce čtverců mohou být vůči sobě posunuty (viz obr. 4). Posunutím lze získat bezpočet různých možností (pozn. v praxi se však nejčastěji používá posunutí o polovinu délky strany čtverce). V případě posunutí ve sloupci i řadě vznikne čtvercová mozaika, která je tvořena čtverci dvou velikostí. Obr. 4 Čtvercové mozaiky 3. Konstruování geometrické mozaiky Vytvoření mozaiky vyžaduje použití obrazce, který umožňuje pokrytí roviny bez mezer a překrytí; ve školním prostředí se používá pro takový obrazec pojem dlaždice. Zatímco trojúhelníková nebo čtyřúhelníková dlaždice tomuto účelu vyhovuje vždy, u pětiúhelníkové to již neplatí. Dlaždice rozmanitých tvarů (i nekonvexních) lze získat z trojúhelníku nebo čtyřúhelníku jednoduchým postupem. Například dlaždice na obr. 5 vznikly ze čtverce přemístěním jeho částí tak, aby byl zachován původní obsah. Ze čtverce vyřízneme rovnoramenný trojúhelník a posuneme jej k jiné straně. Dělicí čarou může být souměrná i nesouměrná křivka nebo lomená čára. Oddělenou část přemístíme pomocí posunutí, posunuté souměrnosti nebo otočení. Tímto způsobem lze vytvořit souměrné i nesouměrné dlaždice. Obr. 5 Dlaždice vytvořené přeměnou čtverce

4 Uvedená shodná zobrazení (Roubíček 2012) se používají i při uspořádání dlaždic v mozaice (dláždění). V uspořádání dlaždic do řad nebo sloupců se vyskytuje posunutí (příp. posunutá souměrnost) a v uspořádání do skupin otáčení nebo osová a středová souměrnost. Všechna uvedená shodná zobrazení lze objevit v mozaikách na obr. 6. Počet různých uspořádání dlaždic je dán jejich tvarem, např. z dlaždice na obr. 5 uprostřed lze sestavit jen jednu mozaiku. Uvedené mozaiky se vyznačují pravidelností v uspořádání dlaždic, proto bývají označovány jako pravidelné. Obr. 6 Různé mozaiky vytvořené z dlaždic na obr Rozbor geometrické mozaiky Práce s geometrickými mozaikami ve vyučování geometrii může být založena také na obráceném postupu, tj. rozboru již hotové mozaiky. Na obr. 7 je mozaika známého nizozemského grafika M. C. Eschera, která je sestavena z bílých a černých dlaždic. Vyznačíme-li opakující se prvek dlaždice (například zobák) body, získáme čtvercovou síť, která je základem mozaiky. Uvedenou mozaiku můžeme tedy rozdělit na shodné čtverce. Ze čtverců na obr. 7 vpravo je zřejmá konstrukce dlaždice. Část ocasu a spodní část s nohama jsou částmi původního čtverce, které byly ze čtverce vyjmuty a přemístěny. I v tomto případě platí, že dlaždice ve tvaru ptáka má stejný obsah jako původní čtverec. Obr. 7 Mozaika M. C. Eschera (zdroj

5 Obdobným způsobem lze analyzovat i různé typy dláždění. Základem dlažby na obr. 8 vlevo je obdélníková nebo čtvercová síť a vpravo trojúhelníková nebo šestiúhelníková síť. Obr. 8 Dláždění 5. Závěr Pravidelné mozaiky představují ve vyučování geometrii prostředí, které propojuje základní geometrické znalosti, jako jsou vlastnosti rovinných útvarů a shodná zobrazení, a dává žákům prostor pro uplatnění jejich zkušeností a tvořivosti. V rámci práce s mozaikami lze otevřít také diskusi k různým geometrickým tématům nebo rozvíjet konstrukční postupy a kombinatorické úvahy. Mozaiky lze vytvářet několika způsoby: sestavováním z připravených dílků, zakreslováním v síti, na počítači v grafickém editoru (např. GeoGebra). Popis nebo rozbor geometrické mozaiky přispívá k rozvoji geometrické představivosti, schopnosti identifikovat elementární geometrické útvary a vztahy mezi nimi. V jistém ohledu je tato činnost svou podstatou blízká bádání, proto geometrické mozaiky jsou vhodným námětem pro badatelsky orientované vyučování. Literatura 1. HEUVEL-PANHUIZEN, M., BUYS, K. (eds) Young Children Learn Measurement and Geometry. Utrecht: Freudenthal Institute, HOŠPESOVÁ, A., JAGODA, E., ROUBÍČEK, F., SWOBODA, E. (eds) Ideas for Natural Differentiation in Primary mathematics - Geometrical Environment. Rzeszow: WUR, ILUCOVÁ, L. Tessellating plane - Creative Human Activity. In Department of Mathematics Report Series. Roč. 14, 1 (2006), s LEVITIN, K. Geometrická rapsódie. Praha: SNTL, ROUBÍČEK, F. Reprezentace shodných zobrazení. In Specifika matematické edukace v prostředí primární školy. Olomouc: UP, 2012, s VORÁČOVÁ, Š. a kol. Atlas geometrie - Geometrie krásná a užitečná. 1.vyd. Praha: Academie, Výzkum je podporován grantem GAČR S a RVO Kontaktní adresa PhDr. Filip Roubíček, Ph.D. Matematický ústav AV ČR, v.v.i. Žitná 25, Praha 1 Telefon: roubicek@math.cas.cz