1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,"

Libor Vítek
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry ásledujících grafů: (a) K 3, (b) K 2,2, (c) C 5. Počty koster ěkterých speciálích grafů: - pro 2 graf D emá žádou kostru, - pro 2 je počet koster grafu K rove - pro 3 je počet koster grafu C rove, 2, - pro souvislý graf obsahující jediou kružici délky k platí, že počet všech jeho koster rove k, - každý strom má pouze jediou kostru, - počet všech koster grafu P je rove 1, - graf K m, má právě m koster. 1 m 1

Nakreslete všechy kostry ásledujících grafů: (a) K 3, (b) K 2,2, (c) C 5.

2 Určeí počtu všech koster grafu pomocí Laplaceovy matice: Je dá graf G = V, E s pevě zvoleým číslováím a možiě vrcholů { v v v },,,. 1 2 Laplaceovou maticí grafu G azýváme matici LG ( lij ) l ( v ) = deg pro i = 1,,, ii G i l = 1, jestliže vrcholy v, v sousedí v grafu G, ij l ij = 0, pokud tyto vrcholy esousedí. Počet všech koster grafu G vypočteme takto: i j =, kde: - pro libovolou dvojici čísel i, j ozačíme symbolem L G, i, j submatici matice L G, která vzike vyškrtutím i tého řádku a j tého sloupce, - číslo det L G, i, j udává počet všech koster grafu G. 2. Vypočtěte počet všech koster ásledujících grafů a akreslete je: (a) K2 + D2, (b) K1,2 K2. 3. Pomocí Laplaceovy matice určete počet všech koster ásledujících grafů: (a) P 4, (b) K1,2 + K2, (c) K1,2 K2, (d) D1 + K2 + K2, K K. (e) 1, Kostrou esouvislého grafu rozumíme les vziklý z koster jedotlivých grafů. Kolik koster má graf K4 + C4?

Počet všech koster grafu G vypočteme takto: i j =, kde: - pro libovolou dvojici čísel i, j ozačíme symbolem L G, i, j submatici matice L G, která vzike vyškrtutím i tého řádku a j tého sloupce, -

3 Metody sestaveí kostry grafu: Postup 1 (ubíráí hra): (1) Pokud graf eobsahuje kružici, máme hledaou kostru a postup kočí. Jiak postoupíme a bod (2). (2) Vybereme libovolou hrau, která leží a kružici a tu z grafu ubereme (její vrcholy ale e). Se změěým grafem postoupíme a bod (1). Postup 2 (přidáváí hra): Vycházíme z toho, že a možiě V je zadá souvislý graf s vrcholy, jehož hray jsou očíslováy jako e1, e2,, em. Začeme s diskrétím grafem a možiě V. Postupě přidáváme hray podle jejich očíslováí. Pokud po přidáí ějaké hray vzike v grafu kružice, vrátíme se o krok zpět a přidáme další hrau v pořadí. Postup opakujeme, pokud evyčerpáme všechy hray grafu. Postup samozřejmě ukočíme, pokud počet hra dosáhe hodoty - 1. Ohodoceé grafy Defiice ohodoceého grafu: Jedá se o dvojici ( G, w ), kde G = V, E je graf a w : E R je zobrazeí možiy všech hra do možiy reálých čísel. Zobrazeí w se azývá váhová fukce a pro každé e E w e azývá váha hray e. se hodota ( ) Váhou grafu, případě váhou podgrafu rozumíme součet vah všech jeho hra.

Postup 2 (přidáváí hra): Vycházíme z toho, že a možiě V je zadá souvislý graf s vrcholy, jehož hray jsou očíslováy jako e1, e2,, em. Začeme s diskrétím grafem a možiě V.

4 Miimálí (maximálí) kostra grafu: Pokud ( G, w ) je souvislý ohodoceý graf, azýváme jeho miimálí (maximálí) kostrou tu jeho kostru, která má miimálí (maximálí) váhu. V každém ohodoceém souvislém grafu existuje miimálí a maximálí kostra. Metoda pro alezeí miimálí kostry - Hladový (Kruskalův) algoritmus: V ohodoceém souvislém grafu s vrcholy očíslujeme hray e1, e2,, em tak, aby jejich váhy tvořily eklesající posloupost, tedy w( e ) w( e ) w( e ) 1 2 m. Miimálí kostru vytváříme tak, že začeme s hraou e 1 a dále přidáváme hray tak, jak jsou v seřazey v eklesající poslouposti. Jakmile po přidáí hray vzike kružice, hrau škrteme a přejdeme k další hraě. Postup ukočíme, když počet hra v kostře dosáhe hodoty 1. Váha miimálí kostry je součtem vah hra, které ji tvoří. 5. V grafu H jsou hraám přiděley cey (váhy). Matice ce je zadáa tak, že její řádky a sloupce odpovídají po řadě vrcholům 1,, 9. Když hraa v grafu eexistuje, je a jejím místě v matici pomlčka: (matice je symetrická, uvádíme tedy je její addiagoálí část). Pomocí hladového algoritmu ajděte aspoň dvě ejlevější (maximálí) kostry a zakódujte je Prüferovým kódem.

Metoda pro alezeí miimálí kostry - Hladový (Kruskalův) algoritmus: V ohodoceém souvislém grafu s vrcholy očíslujeme hray e1, e2,, em tak, aby jejich váhy tvořily eklesající posloupost, tedy w( e ) w(

5 6. Na ásledujícím grafu jsou uvedey áklady a měsíčí proájem počítačové liky mezi růzými městy. Chceme-li mít zajištěo spojeí každých dvou měst, musíme si proajmout kostru tohoto grafu. (a) Pomocí Laplaceovy matice určete, kolik má teto graf koster, (b) ajděte ejlevější a ejdražší kostru a zakódujte je Prüferovým kódem, (c) ajděte střed tohoto grafu, (d) jak byste pro ohodoceý graf změili defiici poloměru a průměru? Určete tyto hodoty.

(a) Pomocí Laplaceovy matice určete, kolik má teto graf koster, (b) ajděte ejlevější a ejdražší kostru a

6 7. Je dáa matice ce grafu: Hladovým algoritmem určete ceu miimálí a maximálí kostry. Kolik miimálích koster má graf? Nějakou miimálí a maximálí kostru zakódujte Prüferovým kódem.

Podobné dokumenty

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují