Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky
|
|
- Kamil Bláha
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Časpis pr pěstvání mathematiky a fysiky Karel Petr O výpčtu elliptických integrálů 1. a 2. druhu pmcí středu arithmetick-gemetrickéh Časpis pr pěstvání mathematiky a fysiky, Vl. 43 (1914), N. 3-4, Persistent URL: Terms f use: Unin f Czech Mathematicians and Physicists, 1914 Institute f Mathematics f the Academy f Sciences f the Czech Republic prvides access t digitized dcuments strictly fr persnal use. Each cpy f any part f this dcument must cntain these Terms f use. This paper has been digitized, ptimized fr electrnic delivery and stamped with digital signature within the prject DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library
2 332 O výpčtu elliptických integrálů 1. a 2. druhu pmcí středu arithmetick-gemetrickéh. Napsal K. Petr. Algrithmus pčetní středu arithmetick-gemetrickéh byl zaveden d mathematiky hlavně Gaussem, který jej také pužil ku numerickému vyčíslvání elliptických integrálů prvéh a druhéh druhu. (Viz zejména jeh pjednání Determinati attractinis quam in punctum qudvis psitinis datae exercet planeta si eius massa per ttam rbitám ratine tempris qu singulae partes describuntur unifrmiter esset dispertita", z r. 1818, viz Werke, sv. 3.? str. 353.) Gauss uvedl zmíněný algrithmus v suvislst s výpčtem elliptických integrálů na základě zvláštní transfrmace elliptických integrálů (p něm Gaussva transfrmace zvané). Že též prstřednictvím transfrmace Landenvy lze integrály elliptické 1. druhu vypčítati pmcí arithmetickgemetrickéh' středu, jest znám; že pmcí téže Landenvy transfrmace lze při integrálech 2. druhu dcíliti výsledky jedndušší (užívající středu arithmetick-gemetrickéh), než jsu Gaussvy, zdá se býti méně znám. Vůbec pak nenacházím v mathematické literatuře pukaz, že při užití transfrmace Landenvy, pstupujíce běma mžnými různými směry, uvádíme elliptické integrály prvníh druhu v závislst na arithmetickgemetrický střed dvjím různým způsbem. A právě tat dvjí mžnst nám dvluje jednak pr výpčet elliptických integrálů ve středu arithmetick-gemetrickém dáti úplně pstačující a jednduchu pmůcku, jednak výsledky jí dcílené nám dvlují na základě arithmetick-gemetrickéh středu vypčítati pmcí K 7T K jednduché frmule čísl q = e důležité při inversi elliptických integrálů (a tím zase při výpčtu elliptických integrálů všech tří druhů).*)* *) Zmínéná frmule pr výpčet q známa byla již Gaussvi. Uvedena jest zárveň s jinými frmulemi týkajícími se středu arithm.-gem. v >Gesammelte Werke, Bd. 3., str 388, řádek 2. V jaké suvislsti k té frmuli Gauss dspěl, není z th, c na citvaném místé jest pdán, pisateli těcht řádků jasn pravděpdbně na základě therie arithm.-gem.
3 333 Zárveň jsem pdal na základě výrazů bdržených dvzení Legendrvy relace mezi E } E\ K, K r a předeslal jsem k vůli čtenářům Časpisu stručný výklad arithmetick-gemetrickém středu a transfrmaci Landenvě, pkud pr przumění dalším vývdům t byl užitečn. I. Vezmeme v úvahu dvě řady čísel kladných 6 r, c r \ r = 0, 1, 2, 3,... suvisících navzájem relacemi b r \ (fir-l + C r-l)> r = \lbr-lcr-l ] (1) r=l, 2, 3,... Pak jest br > c r pr r ^ 1 a budeme i & 0 předpkládati, že b 0 > c 0. Jest patrn, že. dána-li jsu čísla b 0, těmit dvěma jsu všechna statní b ri c r na základě rvnic (1) úplně stanvena. Dále jest patrn, že řada čísel jest řadu čísel klesajících, řada pak b Q, b u b 2,... (2) CQ> C*> V2> ( 3 ) řadu čísel stupajících a mají tudíž bě dvě řady limitu. Nad t jest * -*=* (VĚZ; - va'=i g- 1 ~ *._' = (V6r-1 + V^-l) ( 4 ) 0 r.-l Č r i = (6 r _i Cr-i) 6r _l + Cr-l -\-2\Jb r -icr-l tedy 6r C r < 7 (&r 1 <V-i). (6) středu dalek Gaussem prpracvané ve spjení s therií elliptických funkci. Pzruhdn však jest, že zůstal nen výraz pr q pkud jest mi všem znám nepvšimnut. Zvláště nezmiňuje se něm ani Encyklp. der math. Wissensch., ačkliv frmule ta dává jednduchý a pr numerický výpčet jistě nejphdlnější prstředek k inversi elliptických integrálů ve II B 3, 66. tam prjednávané a ačkliv se tamtéž v 34. arithm.-gem. středu a jeh některých vztazích ku ellipt. funkcím vykládá. V nvější dbě byly Gaussvy záznamy arithm.-gem. středu a t i ty, jež dříve nebyly uveřejněny, předmětem vyšetřvání L. Schlesingra v Gttingen Nachr. z rku 1912, str. 513 a násl.
4 334 Jelikž pak rzdíl stejnlehlých členů bu řad (2) a (3) dle (5) knverguje k nulle, mají bě ty řady tuž limitu, jež sluje se zřetelem ku tvaru základních rvnic (1) střed arithmgemetrichý z čísel b 01 c 0. Označíme jej M(b 0 ), t. j. klademe lim b r = Hni c r = M(b 0 ). (6) Abychm blíže seznali rychlst, s jaku čísla b r, c r knvergují ke splečné limitě, vezměme v úvahu ještě rvnici (4), kteru na základě (1) napíšeme ve tvaru aneb _ (br-! C-O* O r C r r+l K C r _ (b r _i C r _i)' 2 ^ (br-i Cr-i)* Cr+i 8c?+2 8c}+ Je-li tedy r již takvé, aby c r +1 byl blízké ku M (b 0 ), jest dtud patrn, že relativní velikst rzdílu b r c r (vzhledem ku číslu M(b 0 ) jest přibližně rvna smině ze čtverce relativní veliksti rzdílu předcházejícíh b r -i c r _ x. Jest tudíž rychlst knvergence nebyčejně veliká. Pr následující jest účeln zavésti zárveň čísla a r rvnicí a r 2 + es? = «; a r ^ O (7) pr tat platí na základě (1) další vztahy (ir -f- b r = 6r i, 4a r b r = a r _i, b r <*r = c r _i, (8) ze kterýchž zejména jednak plyne a r = Um (br i b r ) = O, jednak (na základě druhéh vztahu) lze rychlsti, s jaku a r knverguje k nulle. učiniti bdbnu pznámku jak svrchu knvergenci čísel b r, c r ku M(b 0 ). ' II. Landenvu transfrmaci budu užívati na integrály tvaru f* dcf ^ [ 0 g\ sin* <p d<p J\Jbl a\ sin* q>' J V&J *! sin* cp 0 0 U
5 Zavedeme-li míst prměnné <p prměnnu cp t rvnicí 335. L sin 2<p /<A. kde a u b x suvisí s a 0, b 0 vztahem (1) a kteružt rvnici můžeme též psáti ve tvaru tg(!pi <P) = dstaneme snadným pčtem jrtg<p*) f 0 a tedy \Jbl a 2 0 sir^<p 2 \]b\ a\ sin 2 <p (11) p *<P _ i p f ft2) J V^20 a 2 0 sin* <f při čemž C^ závisí rvnicí 2 J\/b\ a\ sin* <p ' ty(*i -PO)=T L^*I (12 f ) na 3> 0 a stanví se jednznačně známým způsbem. Opakujeme-li tut transfrmaci p sbě r-kráte, bdržíme p r-tém krku J Vb 2 0 a 2 sin' <p 2- J \Jb 2 a 2 srn' <p při čemž tg (W k 0*^) = C 1t:1 tg O**-!, h = 1, 2,... r Ok l a čísla a r, b r, c r suvisí splu rvnicemi dstavce předcházejícíh. Jelikž však lim a r = O, lim b r = M (b 0 ) ) vidíme máme-li r=-:c r = c zejména na zřeteli rychlst, s jaku čísla tat ku vyznačeným limitám knvergují, že rvnici pslední můžeme psáti ve tvaru fi d<p <\> r. e r 7 Vbî ;«n-ф *ЩЪ C) 2' *) Užitím rvnic (8) a (10) a knečně frmule t (»!-»)= '**t-tg 9
6 336 kde lim s r = O a tedy v limitě, klademe-li Um r=c " =O y / U VftJ ;*m-q).m(*»«b) Pr integrály kmpletní, při nichž #,, = --"-, jest ^ =.*, tf> 2 = 2ÍT,..., W r = 2'- 1.* a tedy ~3>z=^-, jest 7 dę _ n ( U ) V&; a* 0**1*9 2M(b 0 ) Tím dvzeny v (13) a (14) známé a pr numerické výpčty čast pužívané výrazy integrálů elliptických prvníh druhu. III. Abych prvedl transfrmaci druhéh integrálu z (9), stačí vypčísti sin 2 <p z rvnice (10); dstanu &i + a \ s irí 2 tyi cs tyi V&i a \ sin 2 p,. sin 2 cp = - - OJ, ' 601 dsadíme-li tent výraz, máme pužívajíce (11) jakž i vztahu a\ = 4tf 1 & 1 ihned r^ qg gm 2 y d<p _ f 01 a x fa + a t sin 2 <p) dy J V&ž «*"* 2 V ~ J V*í l a\ sin sгn л ф Ф, cøs qp đф, kde mezi & 0 a á^j jest pět vztah (12'). Vztah nalezený lze psáti též ve tvaru r 00 alsin 2 <pdty _ a i T 01 dy J \Jb* a\ sin* ~" *' * J \b\ a\ 9 sin2 cp (15) a? sin 2 <p dw.. + J 1, V&i a\sin 2 <p a, sm 0 X
7 337 Obecněji jest v značení dst. I -<ž> r _i., ~& 2 r ar i sin 2 ep dep, C r dep / V^r-l «r-i SÍn 2 (f J \Jbr tt? SÍf< sгn 2 ф aneb se zřetelem ku (12"). C r a r sin 2 q) dep. _ + / tl a r s^n r J \Zb 2 r a? sin2 g) r = 1, 2, 3,.<ř»r-l «- a J_ / *«I ', ' a r Or I 'i,. J VW-i arli sin 2 g> J V 6 a l sin 2 ep, C r ar sin 2 w dep. ^ + / i/-. «=_=" ~ a ' * w 0 r J VW «r sm 2 g) S6ítáme-li tudíž rvnice právě dvzené pr r = 1, 2, 3,... X, dstaneme /- 0 a\ sin 2 <jp dqp d = / w \,T- P«i»i "A *aibi\ \K a l sm 1 ep [a x sin & x + a 2 sin # a\ sin ČPj] + n, kde zbytek r\ n / m x ^k a\ sin sin 2 ф dц> Ą sin 2 ф s rstucím A velmi rychle knverguje k nulle a kde tudíž řady v závrkách hranatých uvedené mhu rzšířeny býti v řady neknečné. Uvážíme-li ještě, že a k = &*_i 6*, a zavedeme-li pr krátkst značení P{b 0 ) = 21 h (b 0 - b x ) b 2 (6, - b 2 ) (17) ( ) +...,
8 S38 máme i* 0 a\ sin*gp dq> _ p ^ ^ r á<p J \Jbl a 2 0sin*<p ' J \/b* 0 a* 0 sin* <p (18) 09 JS a k sin Qj k ; *=i pr integrál pak druhéh druhu v nrmálním tvaru a značení Legendrevě *) 00 -j- Z a k sin O^ *=i * Zvláště pak pr úplný integrál (# 0 =-^- ; G>i = ^, 2 = 2ít ;...] máme = 7l{hl-P(b 0,C 0 )) 2M(b {) ) Výrazu b* 0 P(b 0f c 0 ) můžeme na základě rvnic (1), ze kterých plyne bk(bk-i h) = ^ (b k -2 c*-*) 8, * -^ 2 dáti tvar > &! - P(» w c) = i [(» + c) 2-2 & - Cíy -2 2 (b 2 -c 2 ) 2...] pr praktické pčítání zvláště vhdný. Gauss ku vyjádření' ellipt. integrálu pmcí arithmetickgemetrickéh středu užívá 1. c. (v Determinati attractinis") substituce tvaru (m n) sin T sin T' 2 = 2m sin T (m -f- w) sin T *) Legendre užívá pr integrály elliptické 1. a 2. druhu tyt základní tvary a značení ' í, / 9 - = F(k, 0>), fl-k* S inz<p d v = E(k, 0). / V* k stn 2 <p ~ I J su tedy dle tht značení
9 339 kde T jest půvdní, V nvá integrační prměnná. Pr integrály prvéh druhu a pr integrály úplné druhéh druhu dstává výsledky pdstatně stejné; pr integrály druhéh druhu neúplné dstává výraz pněkud slžitější, nebf míst řady 2a k sin <l> k má řadu a x cs T sin V -f a 2 cs T sin T" + a 3 cs T" sin T" +...*) IV. Výsledky v předcházejících dstavcích dvzené dávají sice řady vždy knvergentní, hdí se však hlavně v tm případě, a 2 kdy mdul -=- - elliptických integrálů není blízký 1. Avšak i pr tent případ lze dvditi prakticky účelné frmule a užiti algrithmu středu arithm-gemetrickéh a t, budeme-li transfrmvati dané integrály substitucí inversní k té, jíž jsme svrchu pužili. Budeme tedy transfrmvati integrál (zvlíme si nyní, abychm se vyhnuli zmatkům, pněkud jiné značení) substitucí /v dcp \jl'l a'l sin 2 <p t m V 0 sin2ip l - m tg(p -a' 0 + b' 0 cs2cp l > aneb v pněkud jiné úpravě (p dstranění zlmků) sin (2<JP, g))=tp sin cp. Dstaneme pak na základě (12) vztah r** dep =zf Vl d(p - J V6'J-a'Jm»9 ~ j Vftf - a\ sm~> ' n n - - ' (21) *) Mezi frmulemi však získanými d Gausse na základě středu arithm.-gem. jest však na str (Weike, Bd. 3., sir. 302) uvedena pr neúplný elliptický integrál druhéh druhu rvnice, která ve frmě a také asi v pdstatě jest blízka rvnici (19). Frmule (19) dvzená pmcí Landenvy transfrmace nachází se v Cayley, Elliptic fnctins, str *
10 340 kdež dle (8) jest a ~ - ' 0 + 6',, ~ = 4a' 0 6' 0 (22) sin(2, W 0 ) = ^sin 0. O 0 Abychm dsáhli suvislsti s arithmetick-gemetrickým středem, stačí klásti ^ = 26',, _ = 2a'-. Tut substitucí se (21) a (22) změní v rvnice r /_1 J V6 r ; 'J -i«a 9 ~" J V&'i a _ «*. - <p ' a dstáváme becně kde r y (23) i',=i(a' 0 + &' ), a' 1= Va'6' ' (24) d<p _ f J Wl <*'!»»»* «P "~ J V&" «'í **»" 9 ' (25) sin (2 Ž - sin ÍV-; 0 r 1 (25') &' ř = _ (<*? +»' ), «'r = Va'r-i 6'^ Čísla ft' r, a' r knvergují ku arithmetick-gemetrickému středu.m(& ř 0, a r 0); přejdeme-li tudíž v (25) ku limitě pr lim r = c, máme značíce ZimSPV = ^ r* rfy _ 1 r*d<p J^V* a'lsin*y M(b' 0} a' 0 )J cs cp Jgct(^-fj a v značení Legendrevě ~ M(b\, a' 0 )..,. lgct(jl_l) iffe ř,w_.ii.-jj. (26) &'. V*'.' 7 Jf(6'., a' 0 )
11 341 V. Při výpčtu integrálů úplných můžeme se však vyhnuti pužívání funkcí gnimetrických, vlíme-li W 0 = 2 r - 1.n\ rste-li W 0 d O spjitě d 2 r - x n, klísá pravá strana rvnice (25') při r = 1 mezi ^ a -jf- a knčí hdntu nullvu Přísluší-li tudíž výrazu 23 3r 1. ^Q, jenž se spjitě s JPJ, mění, pčáteční hdnta nullvá, jest i knečná hdnta jeh rvna nulle; t. j. při V 0 = 2 r - 1 n jest v t =2 r -*7i. Obdbně jest 2> 2 = 2 r ~ 3 *,..., _^r = - -. (Hdnty *P r+ *F r + 2,... jestliže r jest již dsti veliké, aby -^- byl mál d 1 rzdílné, liší se pak mál d j Můžeme tudíž psáti Ur aneb též &' \&V j~6 f, \&V 2J _. W_- _.\ _L_ 7r/_. _\ &' V>V 2/ *&'- ^\6' r ' 2E Jest však, jak znám, *) F^k,^ = lg^ + n,,v-_l-*«, kde 17 knverguje k nulle, když k knverguje k* k nulle. k jedné a tedy *) Vztah tent můžeme dvditi následvně. Transfrmujeme-li integrál F(k,.-j substitucí dstaneme snadn tgq>. 1g ' = ~, k' 2 I_l k 2, («) F{k ' *=f },! = *?-, =/vi-s*.--- ^Ť) " F(fe ' **
12 342 Tedy. *&-r)=tfc ('» + *). <*> f kde c' 3 ~z VI a'} a kde lim rj r = 0. r=_-a> Máme však (dle (24)) tedy lg c' r = \ lg(.v 2 a'*) = \lg{(&'_, av-.) 2 = lg (67-i a'í-0 lg 4. V ^ ^(.-jjzz/^.-o + F (*,_*'). Při tm jsu _ a " spjaty rvnicí (a). Zvlíme si á v prvním kvadrantu a tak, aby _* _z _"'; pak jest fg- J _ - a >(*,*) _" «F(_, _0 = -/vr-z-^i-r- = 2 /v Vcs 2 <p -f k' 2 sin 2 <*> ' I 1 Rzvineme-li (cs 2 <P + k' 2 srn 2 </) 2 1 (i + tg* <F) cs g: k'2 2 dle binmické věty, bdržíme řadu stejnměrně knvergentní v intervalu integračním; integrací pak dstaneme řadu, která knverguje aspň s takvu rychlstí jak řada gemetrická s kvcientem k', jak téměř na prvý phled jest zjevn a jak čtenář snadn zevrubně dkáže. Členvé té řady d druhéh pčínaje knvergují tedy vesměs k nulle pr lim k'~0. Můžeme tudíž psáti Avšak A І k Ą)-^j-~т + y\ 4 \ lim. rf ~. 0. k'= --* ^ ( dq> [n 4\ 4 dф Tak jest v celku т ñ 0 -ý== -=~- lg -i + v +,. - ar-p +,. cž jest rvnice v textu uvedená. Jiné dvzení tét rvnice viz Jacbi, Werke, sv. I., str. 522 a násk a Cayley, Elliptic fnctins, r. 1876, str. 46.
13 343 t j. lg c' r 2 lg c'»_i lg Ш r, lg c'r-i = 2 lg cv_ 2 lg 4Ь ř r _i, Z těcht rvnic vyplývá lg c\ = 2 ř^ c' íflr 46 f r lg c\ = lg Ab\ 2 lg 46V_i.. 2'- 1 % 4b f, + 2- % c f 0. P dsazení pak d (27) a snadné úpravě bdržíme '( ' ~^) =^ N 4 "i % (6 ' ~ a '!) + T ^ ''' + 22 % &', T % b 'r + -jr % 6 'r + Vr\ aneb též, upravíme-li závrku tak, abychm mmi přejíti k limitě pr lim r =z c, -,/a' 0 -ř\ V, [\ 4, &' 1. 6', '-^l nr ]> < 28 > čímž dána frmule vhdná pr výpčet úplnéh integrálu pr ten případ, že k jest blízk 1 a při níž jest pužit tlik čísel vyskytujících se při výpčtu středu arithm - gemetrickéh z a' 0, b\. VI. Abychm dvdili bdbnu frmuli pr integrály elliptické druhéh druhu, stačí (jak jsme t učinili při integrálech prvníh druhu) dsaditi d frmule (15) <_, = a f 0, 6. = 6 f 0, a 0 = 2a\, b 0 = 2b\, 0 X = «P 0, * = V x. 6',
14 344 Dstaneme ihned / " a'l sin 9 <p d<p,,. C d<p \jb'l a'l sin* cp ~ a O 0 a becně + a' 0 sm J \Jb'l a'lsin*<p V i 2 f gl a> ' w ' n * * ^ J V&'? «'I **'«" 9 r q ' r - 1 a'*-. 1 sin*<pdg> 0, 6, r^"- 1 > J V6'Ž-i a'í_i sin 8 c/> ~" a r _ ^ J V&'ř-i 'J-1 sí'«a <p i f a* i r r fl " sin* <p dep + av-i Stn ^ r-i + 2 / rrz=z_- J V 6 r a'? sin 2 <p aneb též vzhledem ku (25) r^^ďusin^dcp _ m /_ V _ 1 r d 9 J VW-i a'u sin* cp r 1 ' J Wl a'\ sin* <p V, t nr í a? r sin 2 9> dep J \b'? a'} s^n* cp Sčítáním rvnic takt vzniklých při r = 1, 2,... A., násbených dříve faktrem 2 r ~\ bdržíme í ß^*-%-- = - K*' + *a' lvl + 2V.V, + J Щl *ì sm* q> - J JV^-«' 2 «'n [а' 0 «т <У 0 + 2а' г «г'м $",+...+ г^а'л-.. вт $*_.], 2jl r A g' sin 8 y czy J V*'J «'l «'«2 9
15 345 Pr pslední integrál máme Um fx a'\sin*<pd<p _= M ( h, fzjf! ď) = A=» J \Jb'l a'l sw 8 cs <p J M(b' 0, a' 0 ) sin V-\- M(b' 0, a' 0 ) lg ct (-^ f w\. K téže limitě knverguje též (při lim A, viz dst. IV. (26)) -<i** + <*if^_%, r Označíme-li _ 2X T f a'lsin*<pd<p U Wl - <*'l sin* <p 0 + «**-**&_%,] 0 můžeme rvnici (29) psáti následvně r^a'tsin\d<p _ J \Jb'* 0 a'\ sin* <p L T x i -r 0 + [a f 0 srn ^0 + 2a\ sin *F A -Vi_i sin fj-i 2*a' x sin # ] + r' A. Závrce hranaté lze dáti (i se zřetelem k jejímu znaménku) tvar a' 0 V 0 + 2(a\b\ - a' 0 V 0 ) + 2*(a' 2 6' 2 - a\h\) ^6'. - a W/A-I). Výraz tent může prdlužen býti d neknečna, dstaneme řadu neknečnu velmi rychle knvergentní, kteru můžeme psáti na základě relací WtVt a f,_x6 f ř-i) = 2 l [(2b',+i b\) Ví - (2b\ Vt-_) 6' w ] = 2*+* 6',(6', +1 Ví) + 2 Í (6',_ 1 - Vi)*
16 346 ve tvaru Vl 2(V 0 b\) b\ 2«(ft' 1 -b\)b\ 2*(b\ b\)b\... cž jest dle značeni dst. III. V\ P{V 01 a' 0 ). Píšeme-li i druhu hranatu závrku ve frmě řady neknečné, máme se zřetelem k tmu, že Um rj i = 0 dц>»^n fo i. / " n J Wl a stn 9 J \ b ' a ' 5г^2 9> 0 [a\ sin W (a\ sin W t á\ sin W 0 ) (31) + 2*(a\ sin W 2 - a\ sin W 1 )+...], kterážt rvnice převádí výpčet integrálu druhéh druhu na integrál prvníh druhu. Pr integrály v nrmálním tvaru Legendrvě z ní následuje: + [a\ sin W 0 + 2(u\sin W, a\ sin & 0 ) +...]. Abychm dvdili si výraz užitečný pr integrály úplné druhéh druhu, klademe pět (jak v dst. V.) W 0 = 2"-^, tedy JPi = 2*-»ar,... Wr-i = *, W r = -J-. Pak závrka hranatá se redukuje na 2 r a\ + e r, kde e r s rstucím r knverguje k nulle. Prvedeme-li dsazení uváživše, že máme dělíce ještě číslem 2 r aneb knečně, necháme* li r vzrůstati nade všecky meze, Vjsffi, ^^Wr^+^P^a^F^, -f).(32)
17 347 VIL Z rvnic pr úplné integrály druhéh druhu dvzených vyplývá nejprve důležitá relace, zvaná Legendreva. Označme pr stručnst F[JC, -Í-) = *,.F(V, -f) = *, E (k, -f.) = Ei. ^,-f)-=jp, a kladme k = - 2. a tedy A' = -J-. Pak jest dle (20) ^0 E _ ^0 6j -P(^> c 0 ) ^ a dle (32) (zavedeme li b\ = b' 0) a\ = c 0 ) Jest tedy F,_ Míh» c 0 ), P(ž> ), & i: 1 T% -" к ^ к EK +E'K = -±- M(b Q ) K + KK, 0 pužijeme-li pak ještě rvnice (14) EK' + EK KK' = ^-, cž jest hledaná relace mezi úplnými integrály. vin. Další pužití dvzených frmulí, mající význam praktický, jest výpčet čísla 7lK' q. e K důležitéh při inversi elliptických integrálů a při výpčtu elliptických integrálů všech tří druhů příslušných mdulu k.
18 348 Užíváme-li značení předcházejícíh dstavce a frmulí (14) a (28), máme b\ ' A -2M(& 0, e 0 ) f r' = " 1 l\ 4 _. í» , "I M(b 0, e.) L^T-^Í ~~2- % li^ t"" ' " -J 5 Z- -.?! & f C ze kterých ihned vyplývá p dsazení i *» 6» i, /M 2 /6,\-» * ig ftf -s- 17J -(ftt) ' sučin, který rychle knverguje a pr numerický výpčet čísla q jest vhdnější než bvyklé methdy výpčtu, zejména než výpčet řadu (33) q = l6 + 32"* 4 + l024* * 8 + Jelikž pstačí (vzhledem ku mžné lineární transfrmaci thetafunkcí U, ]) meziti se při výpčtu čísla q na případ Jfc^r= f pstačí, jak z vývdů numerických dst. následujícíh \2 vyplývá, při výpčtu čísla q frmulí (33) pnechati si 4 prvé faktry a klásti b 3 = ž> 4 = b 5... chceme-li q vypčítati přesně na 9 cifer. Při tm můžeme plžiti b 0 = 1 a tedy b 0 = 1 = &'; &, = - ± _, c, = V^;... IX. V předcházejícím byly vylženy dvě methdy pr výpčet elliptických integrálů pmcí středu arithm-gemetrickéh. První ř a vede rychleji k cíli, když *=-^- jest blízk 0; druhá, když 0
19 349 k' = \/l *' 2 jest blízk nulle. Obě pskytnu řady přibližně stejně knvergentní, když k = k 4, t. j. když k = -j- \J2. Můžeme tudíž pkládati tent případ k = \ \/2 jakžt krajní a první methdy pužívati, když k jest v intervalu (0, \ \J2). druhé pak, když k' jest v tm intervalu. Pak jest případ k = V =\ \J% pr pčítání elliptických integrálů na základě vylžených methd nejnepříznivější a vyšetřením rychlsti knvergence v tmt případě získáme si i rientaci tm, klik článků nejvýše jest vyčísliti v statních případech, jednak při pčítání středu arithmgemetrickéh, jednak při sčítání příslušných řad, vyskytujících se ve vyjádřeních elliptických integrálů (chceme-li dsíci jisté přesnsti). Pdávám z té příčiny v následujícím výsledky výpčtu arithm-gemetrickéh středu z čísel \/2, 1. Dstáváme při pčítání 14-timístném b 0 = \J2 = , b x = 1* , Cl = ; 6 2 = M , c 2 = ; b 3 = , c 3 = ; M(b 0} c 0 ) = b A a c 4 liší se, jak z výrazů pr b 3) c 3 patrn, až na 21. desetinném místě. b 3 a c 3 pak méně než 2. 10" 1-10 M(b 0 ), takže při 8ciferném pčítání můžeme již klásti s přesnstí dstatečnu b 3 = c 3 = M(b 0 ). Pr výpčet 8-ciferný pstačí tudíž, ať pčítáme kterýkliv elliptický integrál pmcí frmulí svrchu uvedených, pčítati tlik dva gemetrické středy a lze klásti s dstatečnu přesnstí b 3 = c 3 = b 4 = c 4 =... M(b 09 c 0 ). Tak ku př. pr délku kvadrantu elliptickéh, je-li její nu- 1 merická výstřednst menší než --p a její plsy A, B t dstáy2
20 350 váme s přesnstí jistě 8-ciferní tent výsledek dle (20) n_ (A + By 2(A t B t y 8 ' A 3 kde -,==4-5., «,=V3B, A,=Aut _ t B, = \/A^:, A,= A > + B > ; bdbnu pak frmuli (bsahující přirzené lgarithmy) i v případě, že k >. -J=L, bdržíme z (3.2). Studie řadách Lamévých vytvřených cyklidanii Dupinvými. L. Seifert, prfessr reálky v Praze-I. Tvří-li tři řady plch systém třikráte rthgnální, jest každá plcha jedné z těcht řad prťata plchami statních dvu řad v bu systémech čar křivsti (therěm Dupinův). Dle Darbuxa zveme pak řadu Lamévu takvu řadu plch, jež může býti sučástí systému třikráte rthgnálníh. S hlediska gemetrickéh nejvíce zajímavsti pskytují řady vytvřené cyklidami Dupinvými důsledkem té klnsti, že čáry křivsti bu systémů jíšu kruhvé. Therie těcht řad, dík slavným pracím Darbuxvým, Haagvým a Demulinvým (Cmptes Jlendus 147, Í48) jest již téměř uknčena, ale výsledky její, lískané pčtem infinitesimálním, jsu takvé, že takřka nabádají k tmu, aby se dvdily též způsbem čistě gemetrickým. O t pkusil jsem se v tét práci užívaje centrální prjekce prstru čtyrrzměrnéh na byčejný prstr trjrzměrný. Tak úplně bez pčtu lze/dvditi všechny známé věty a vnitřní suvislst jejich stává se zde ještě patrnější, než jest pčtem vůbec mžn. : - Zejména však zajímavým se zdá dvzení systému třikrát rthgenálníh slženéh vesměs z cyklid Dupinvých a způsb, jakým se zde dspěje k transfrmaci Ribacurvě.
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Josef Langr O čtyřúhelníku, jemuž lze vepsati i opsati kružnici Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 28 (1899), No. 3, 244--250 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122234
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Ladislav Klír Příspěvek ke geometrii trojúhelníku Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 44 (1915), No. 1, 89--93 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122380
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pkrky matematiky, fyziky a astrnmie Jan Vlachý Pracviště státníh plánu badatelskéh výzkumu v matematice, fyzice, jaderném výzkumu, gefyzice, astrnmii a přístrjvé technice Pkrky matematiky, fyziky a astrnmie,
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Václav Hübner Stanovení pláště rotačního kužele obsaženého mezi dvěma sečnými rovinami Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 33 (1904), No. 3, 321--331
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Matyáš Lerch K didaktice veličin komplexních. [I.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 20 (1891), No. 5, 265--269 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/108855
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Kaňka Důsledky akusticko-dynamického principu. [V.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 47 (1918), No. 2-3, 158--163 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122325
VíceDeterminanty a matice v theorii a praxi
Determinanty a matice v theorii a praxi 1. Lineární závislost číselných soustav In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časpis pr pěstvání mathematiky a fysiky Matyáš Lerch Příspěvky k therii některých transcendent pčtu integrálníh. [VIII.] Časpis pr pěstvání mathematiky a fysiky, Vl. 50 (1921), N. 4-5, 264--277 Persistent
VíceNerovnosti v trojúhelníku
Nerovnosti v trojúhelníku Úvod In: Stanislav Horák (author): Nerovnosti v trojúhelníku. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1986. pp. 5 12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404130 Terms of use: Stanislav
VícePočet integrální. Obsah. Terms of use:
Pčet integrální Obsah In: Karel Petr (authr); Vjtěch Jarník (authr): Pčet integrální. s ddatkem Úvd d terie mnžství. (Czech). : Jednta českslvenských mathematiků a fysiků, 1931. pp. IX--XXII. Persistent
VíceZáklady teorie matic
Základy teorie matic 7. Vektory a lineární transformace In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 43--47. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401335 Terms of
VíceKongruence. 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti
Kongruence 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti In: Alois Apfelbeck (author): Kongruence. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1968. pp. 3 9. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403653 Terms
VíceO dělitelnosti čísel celých
O dělitelnosti čísel celých 6. kapitola. Nejmenší společný násobek In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 73 79. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403569
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Gabriel Blažek O differenciálních rovnicích ploch obalujících Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 2 (1873), No. 3, 167--172 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/109126
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Ferdinand Pietsch Výpočet cívky pro demonstraci magnetoindukce s optimálním využitím mědi v daném prostoru Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 62 (1933),
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Kaňka Důsledky akusticko-dynamického principu. [IV.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 47 (1918), No. 1, 25--31 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/124004
VíceAritmetické hry a zábavy
Aritmetické hry a zábavy 1. Doplnění naznačených výkonů In: Karel Čupr (author): Aritmetické hry a zábavy. (Czech). Praha: Jednota českých matematiků a fysiků, 1942. pp. 5 9. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/4329
VíceO dynamickém programování
O dynamickém programování 7. kapitola. O jednom přiřazovacím problému In: Jaroslav Morávek (author): O dynamickém programování. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 55 59. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403799
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Václav Simandl Poznámka ke kombinacím daného součtu z čísel přirozené řady číselné Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 46 (1917), No. 2-3, 155--159
VíceO dynamickém programování
O dynamickém programování 9. kapitola. Cauchy-Lagrangeova nerovnost In: Jaroslav Morávek (author): O dynamickém programování. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 65 70. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403801
VíceFunkcionální rovnice
Funkcionální rovnice Úlohy k procvičení In: Ljubomir Davidov (author); Zlata Kufnerová (translator); Alois Kufner (translator): Funkcionální rovnice. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1984. pp. 88 92. Persistent
VíceO dělitelnosti čísel celých
O dělitelnosti čísel celých 9. kapitola. Malá věta Fermatova In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 98 105. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403572
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Vavřinec Jelínek Za jakých podmínek lze vést vrcholem trojúhelníka příčku, která by byla střední měřicky úměrnou úseků, jež stanoví na protější straně Časopis
VíceZáklady teorie matic
Základy teorie matic 23. Klasifikace regulárních párů matic In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 162--168. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401352 Terms
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Vladimír Knichal Čísla Gaussova. [I.] Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 62 (1933), No. 4-5, R73--R76 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123910 Terms
VíceKinematika hmotného bodu I.
Kinematika hmtnéh bdu I. Kinematiku hmtnéh bdu myslíme zkumání záknitstí phybů těles. Hmtným bdem myslíme bd, jímž nahradíme skutečné reálné těles. Hmtnst tělesa je sustředěna d jednh bdu, prt hmtný bd.
VíceStřední průmyslová škola strojní a elektrotechnická. Resslova 5, Ústí nad Labem. Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice. - Im
Střední průmyslvá škla strjní a elektrtechnická Resslva 5, Ústí nad Labem Fázry a kmplexní čísla v elektrtechnice A Re + m 2 2 j 1 + m - m A A ϕ ϕ A A* Re ng. Jarmír Tyrbach Leden 1999 (2/06) Fázry a kmplexní
VíceMatematicko-fyzikálny časopis
Matematicko-fyzikálny časopis Václav Havel Poznámka o jednoznačnosti direktních rozkladů prvků v modulárních svazech konečné délky Matematicko-fyzikálny časopis, Vol. 5 (1955), No. 2, 90--93 Persistent
VíceO nerovnostech a nerovnicích
O nerovnostech a nerovnicích Kapitola 3. Množiny In: František Veselý (author); Jan Vyšín (other); Jiří Veselý (other): O nerovnostech a nerovnicích. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1982. pp. 19 22. Persistent
VíceJubilejní almanach Jednoty čs. matematiků a fyziků 1862 1987
Jubilejní almanach Jednoty čs. matematiků a fyziků 1862 1987 Zdeněk Horský Písemnosti z pozůstalosti prof. dr. A. Seydlera In: Libor Pátý (editor): Jubilejní almanach Jednoty čs. matematiků a fyziků 1862
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Josef Štěpánek O rovnicích kulového zrcadla vypuklého a čoček rozptylných Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 57 (1928), No. 2, D17--D20 Persistent
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Jan Sommer Pokus vysvětliti Machův klam optický Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 20 (1891), No. 2, 101--105 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/109224
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Josef Kounovský O projektivnosti involutorní Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 43 (1914), No. 3-4, 433--439 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/109245
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 12. Základní pojmy o grupoidech In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 94--100.
VícePolynomy v moderní algebře
Polynomy v moderní algebře Výsledky cvičení a návody k jejich řešení In: Karel Hruša (author): Polynomy v moderní algebře. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1970. pp. 94 [102]. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403718
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Astronomická zpráva na květen a červen 1909 Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 38 (1909), No. 4, 525--528 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/121459
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 13. Homomorfní zobrazení (deformace) grupoidů In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962.
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Úlohy Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 43 (1914), No. 1, 140--144 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/121666 Terms of use: Union of Czech Mathematicians
VíceAritmetické hry a zábavy
Aritmetické hry a zábavy 5. Čísla Fibonacciova In: Karel Čupr (author): Aritmetické hry a zábavy. (Czech). Praha: Jednota českých matematiků a fysiků, 1942. pp. 18 23. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403033
VíceKonvexní útvary. Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru
Konvexní útvary Kapitola 4. Opěrné roviny konvexního útvaru v prostoru In: Jan Vyšín (author): Konvexní útvary. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 49 55. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403505
VícePosuzování zdravotní způsobilosti k řízení motorových vozidel jako součásti výkonu práce
Psuzvání zdravtní způsbilsti k řízení mtrvých vzidel jak sučásti výknu práce Zdravtní způsbilst řidiče mtrvých vzidel je jednu ze základních pdmínek bezpečnsti prvzu na pzemních kmunikacích. Prt je zdravtní
Víceůž íč á Ě Éč Í ř á í Ř ř ř šň ý é Í í ó Í ě ě Í Í á í á í ý é ě ž ěží á í ě í é Í í Í š ý á Í š ý é č íří ý ěž ž í Í Í í í í é č á č ě ě á ě č ř Ť ě í
ůž č á Ě Éč Í ř á Ř ř ř šň ý é Í ó Í Í Í á á ý é ž ží á é Í Í š ý á Í š ý é č ř ý ž ž Í Í é č á č á č ř Ť ř ý ř Í č ž ň á á ř č é ř é Í ř č ř ž ž ý úč Í á á č á š é ř é é č č š ž Í ř ó Í ý ř ž áš á č é
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Jan Novák Aritmetika v primě a sekundě Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 67 (1938), No. Suppl., D254--D257 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/120798
VíceTeplota a její měření
1 Teplta 1.1 Celsiva teplta 1.2 Fahrenheitva teplta 1.3 Termdynamická teplta Kelvin 2 Tepltní stupnice 2.1 Mezinárdní tepltní stupnice z rku 1990 3 Tepltní rzdíl 4 Teplměr Blmetr Termgraf 5 Tepltní rztažnst
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Vilém Jung Několik analytických studií o plochách mimosměrek (zborcených). [V.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 18 (1889), No. 6, 316--320 Persistent
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Antonín Pleskot O jisté úloze, která řeší přibližnou rektifikaci oblouku kruhového Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 43 (1914), No. 3-4, 305--313
VíceTabulka 1. d [mm] 10,04 10,06 10,01 9,98 10,01 10,03 9,99 10,01 9,99 10,03
. Úkl měření. Stanvte hdnty sučinitele tepelné vdivsti mědi a slitiny hliníku.. Prvnejte naměřené hdnty s tabulkvými hdntami a vysvětlete pravděpdbnu příčinu nalezené diference. 3. Vypracujte graf tepltníh
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 4. Speciální rozklady In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 35--40. Persistent
VíceNeurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.
Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869
Více1. Kristýna Hytychová
Průřezvé veličiny Výpčet těžiště. Druhy průřezvých veličin a jejich výpčet průřezvých veličin. Steinerva věta. Pužití průřezvých veličin ve výpčtech STK. Průřezvé veličiny ZÁKLADNÍ: plcha průřezu, mment
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Vavřinec Jelínek O některých úlohách z arithmografie. [II.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 24 (1895), No. 2, 132--136 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/120880
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Jaroslav Bílek Pythagorova věta ve třetí třídě středních škol Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 66 (1937), No. 4, D265--D268 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123381
VícePokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie Josef B. Slavík; B. Klimeš Hluk jako methodická pomůcka při zjišťování příčin chvění v technické praxi Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 2 (957), No.
VíceČasopis pro pěstování matematiky
Časopis pro pěstování matematiky Jiří Bečvář; Miloslav Nekvinda Poznámka o extrémech funkcí dvou a více proměnných Časopis pro pěstování matematiky, Vol. 81 (1956), No. 3, 267--271 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/117194
VíceTopologické prostory. S dodatky: J. Novák, Konstrukce některých význačných topologických prostorů; M. Katětov, Plně normální prostory
Topologické prostory. S dodatky: J. Novák, Konstrukce některých význačných topologických prostorů; M. Katětov, Plně normální prostory 5. Axiomy oddělování In: Eduard Čech (author); Josef Novák (author);
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Antonín Libický O trojúhelníku, jehož strany tvoří řadu arithmetickou. [II.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 27 (1898), No. 3, 220--227 Persistent
VíceÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE PŘÍKAZ. Č. j.: ÚOHS-S0096/2016/VZ-06824/2016/522/PKř Brno: 22. února 2016
*UOHSX0084T2L* UOHSX0084T2L ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE PŘÍKAZ Č. j.: ÚOHS-S0096/2016/VZ-06824/2016/522/PKř Brn: 22. únra 2016 Úřad pr chranu hspdářské sutěže příslušný pdle 112 zákna č. 137/2006
VíceZáklady teorie matic
Základy teorie matic 16. Hodnost a nulita matice In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 106--115. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401345 Terms of use:
VíceO rovnicích s parametry
O rovnicích s parametry 3. kapitola. Kvadratické rovnice In: Jiří Váňa (author): O rovnicích s parametry. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 45 [63]. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403496 Terms
VíceAplikace matematiky. Terms of use: Aplikace matematiky, Vol. 3 (1958), No. 5, 372--375. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/102630
Aplikace matematiky František Šubart Odvození nejvýhodnějších dělících tlaků k-stupňové komprese, při ssacích teplotách lišících se v jednotlivých stupních Aplikace matematiky, Vol. 3 (1958), No. 5, 372--375
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 11. Násobení v množinách In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 89--93. Persistent
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 27. Cyklické grupy In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 198--202. Persistent
Víceé ť ř ý ý ť ř ý ř ý ť ř ý ř é ř ť ř ý Ú Ů Č ř ú Ů ý Í ř é ř é ř ý ů š é š é š š ý
é é úř é ř ů ď ď ú ů ř é ř ř ú é Ž ř é é ů é ř ř ů é ř ř é ú ř ř š ů š é ř ř ř é ť ř ý ý ť ř ý ř ý ť ř ý ř é ř ť ř ý Ú Ů Č ř ú Ů ý Í ř é ř é ř ý ů š é š é š š ý ť ř ý úř Í ř ř ý Ž ý ý ř š Ť ý ů Ř ý Ť š
VíceSymetrické funkce. In: Alois Kufner (author): Symetrické funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, pp
Symetrické funkce Kapitola III. Symetrické funkce n proměnných In: Alois Kufner (author): Symetrické funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1982. pp. 24 33. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404069 Terms
Víceíž áží ě í á Ř á á Ž č é é ě í š ě čí á řá í ý ý řá í ě í ř ě č ž á í Ž í ě é ř á ě š í é ě Žá í š ě í č ě ř ů í Ž ý í ů ř á á ý ý á í ý á í ř í ě í é
á ř í ě ž Í ú Íýář č ř ů ě ší ž í á é á ž ž á ú ůž č ú č š ě ě ž á ř í š ě í ž ř č ú í í ú ě č ú š ž č ž ř ě ží ž é š í á Č ý á í ří á ý é í ě é á ě é é á í é ý č é é ó ý ř ř ů é éě í ý í ří é é é í ů
VíceÚplná pravidla soutěže Windows W8.1 Zóna komfortního nákupu
Úplná pravidla sutěže Windws W8.1 Zóna kmfrtníh nákupu Účelem tht dkumentu je úplná a jasná úprava pravidel sutěže Windws W8.1 Zóna kmfrtníh nákupu (dále jen sutěž ). Tat pravidla jsu jediným dkumentem,
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Granát Vypočítávání obsahu šikmo seříznutého kužele. [I.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 46 (1917), No. 1, 71--74 Persistent URL:
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Jindřich Procházka Pokusy o interferenci a odrazu zvuku Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 67 (1938), No. Suppl., D197--D200 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/120811
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Josef Studnička O kvadratuře kruhu Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 1 (1872), No. 1, 35--38 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123418
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Otakar Ježek Příspěvek ku zkrácenému počítání. [I.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 18 (1889), No. 1, 17--21 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122424
Vícepoř. asi.i rol Smlouva o závazku veřejné služby a vyrovnávací platbě za jeho výkon I. Smluvní strany
lllll KUMSP0eVSP8 MRAVSKSt.h r /,skv' KRAJ KRAJSKÝ 0ŘA1 _^'ÍSU.SMJ.i^UVV(iJIATKln př. asi.i rl Smluva závazku veřejné služby a vyrvnávací platbě za jeh výkn k;
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Josef Janoušek O nepravidelném rozkladu světla Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 1 (1872), No. 5, 256--261 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122691
VíceZáklady teorie matic
Základy teorie matic 10. Ortogonální matice In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 59--72. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401338 Terms of use: Akademie
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 2. Rozklady v množině In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 22--27. Persistent
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Cornelius Plch Společný spůsob dokazování různých pouček a vzorců. [II.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 10 (1881), No. 5, 252--260 Persistent
VícePlochy stavebně-inženýrské praxe
Plochy stavebně-inženýrské praxe 10. Plochy šroubové In: František Kadeřávek (author): Plochy stavebně-inženýrské praxe. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp. 99 106.
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Velísek O jistém druhu ploch Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 40 (1911), No. 4, 446--456 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/124041
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Václav A. Hruška Lineární interpolace v logaritmických tabulkách Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 64 (1935), No. 1, R1--R6 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123310
VíceNěkolik úloh z geometrie jednoduchých těles
Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,
VíceDeterminanty a matice v theorii a praxi
Determinanty a matice v theorii a praxi Rejstřík In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp.
VícePlochy stavebně-inženýrské praxe
Plochy stavebně-inženýrské praxe 9. Plochy rourové In: František Kadeřávek (author): Plochy stavebně-inženýrské praxe. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp. 95 98. Persistent
VícePANM 16. List of participants. http://project.dml.cz. Terms of use:
PANM 16 List of participants In: Jan Chleboun and Karel Segeth and Jakub Šístek and Tomáš Vejchodský (eds.): Programs and Algorithms of Numerical Mathematics, Proceedings of Seminar. Dolní Maxov, June
VíceŤ ě é ř é é íž ř ě á ěř á ý á í é ě ř š ě í á é ý ř í á í ř ř Í ě ě ý ě á é ř Íž Í áš ř ě é é á ěň í í ř ě é ě Í é ř í í ý Í ž ě ě č á í ší ě á ý ž ží
ď á Ť ě é ř é é íž ř ě á ěř á ý á í é ě ř š ě í á é ý ř í á í ř ř Í ě ě ý ě á é ř Íž Í áš ř ě é é á ěň í í ř ě é ě Í é ř í í ý Í ž ě ě č á í ší ě á ý ž ží ě č ě ář í č Í á é é š í á č ě á í ý é ář ř ě
VíceO mnohoúhelnících a mnohostěnech
O mnohoúhelnících a mnohostěnech I. Úhly a mnohoúhelníky v rovině In: Bohuslav Hostinský (author): O mnohoúhelnících a mnohostěnech. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1947.
VíceÚvod do filosofie matematiky
Úvod do filosofie matematiky Axiom nekonečna In: Otakar Zich (author): Úvod do filosofie matematiky. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1947. pp. 114 117. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403163
VíceČ Ý Í Ě Í Ú Í Á Ů Ý Ů Í Í ř ž ň ř ň ř ň ř ď ř ň ř ř ř ř Í ř Ž ř ť ř ž ď ř ř ř
ú ú úř ř ř Č Ý Í Ě Í Ú Í Á Ů Ý Ů Í Í ř ž ň ř ň ř ň ř ď ř ň ř ř ř ř Í ř Ž ř ť ř ž ď ř ř ř ř ž Í ř ž ř ř ř ř ž ú ú ř ó ť ř ř ú ř ž š ú ř ř ď š š Í ú š ř ž ž ú ž ř úď ž ř ř šť ó ú ú ž ó ž ž ř š ř š ťť ž ž
VíceBooleova algebra. 1. kapitola. Množiny a Vennovy diagramy
Booleova algebra 1. kapitola. Množiny a Vennovy diagramy In: Oldřich Odvárko (author): Booleova algebra. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 5 14. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403767 Terms of
VíceVnitřní předpis města Náchoda pro zadávání veřejných zakázek malého rozsahu (mimo režim zákona č. 137/2006 Sb., o veřejných zakázkách)
platná d 1.1.2016 Vnitřní předpis města Náchda pr zadávání veřejných zakázek maléh rzsahu (mim režim zákna č. 137/2006 Sb., veřejných zakázkách) Zadavatel je pvinen ddržvat zásady transparentnsti, rvnéh
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Václav Láska Grafické řešení rovnic Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 40 (1911), No. 5, 553--561 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122273 Terms
Víceí í á í á í ý ř ů í ý ů é ý é ž é Í ňí í á í ý ř Ů á í ý í í í ý ů ž á í ř ů š í á í í á á š ř í š í á ř ů ž áš á í Ů á é ý í á š í é ř š ř í é š ř í
á é í í í á í ř í ž á í á í á í ří í ř ů í Í í í ý ž ů é á í á í á í á Í Ž ř á í í í í í ý ů ý ý í ř Ť ý ň í á í é ň ř Ž á ý ř áš é ý Č á í ý ý é í á í ú š í á í í á á í á ř ď í á ž í í ý ř ří Ší í ďí
VíceÓ í íž á á ř í ž ý á í á č ě ší ž ů é á é ó é í ý ý ů í ří ě á í á í í šší í á ž ýš éú í á č ě ší á ř ý ý á ů ě é š á ž ř á á č ě ší é é ž ó ů ř é ý á
Ó í íž á á ř í ž ý á í á č ě ší ž ů é á é ó é í ý ý ů í ří ě á í á í í šší í á ž ýš éú í á č ě ší á ř ý ý á ů ě é š á ž ř á á č ě ší é é ž ó ů ř é ý á ě é é ú í é í č ý á é ů ří ě é ř ž Ů ž ó ší č ář é
VíceDějepis Jednoty českých mathematiků
Dějepis Jednoty českých mathematiků II. Změna stanov; studentský spolek se rozšiřuje na Jednotu českých mathematiků In: Václav Posejpal (author): Dějepis Jednoty českých mathematiků. K padesátému výročí
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky František Hromádko Ukázky z indické arithmetiky obecné Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 5 (1876), No. 4, 182--187 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/121711
Víceá ž á á á áš ň ž ů ý á ý á ř á á řá ů á áš ž ž á č š ř á č ýš ý ý á č á ýš č ř š řů č ý č ý ýš á č ýš á ž á á š č ý á č č ý á řů č ý č š á á řů ř ů á
ř á á á č č á á Č Č á Č á á č úč á á ř ž Č Č ý á á á á á ó Č ý á úč á č ý á ý á ř ř á Ž á á ř á á ž á č ř ý á á š ř ů á ř ř á ů á č ČÍ ř ř á š á ý ý á ž á á á áš ň ž ů ý á ý á ř á á řá ů á áš ž ž á č š
Víceř ž ť ť čá á ý ý á á áč ž ý ě ě ů á ř ž ř á ř ž ř ž ň á ř ř ř ý ěř ž ž ý č á ř ý č č šť á á Ú ý ó ž ť č ž á ě á š ě ř á á ě ůř ů ě š á ř ž á ě ř ř š ž
á ůž č á č á č á á ň á č á á ů ěř ů ěř á ě ř ň á č č ý ý ě š ě žá á ý á ř ě ú ř á ž ž á ř ě ě Í ě á á č ě á ř ě á ř ř ě ý ú ť ř á á ě ě á á ěě ý á š Ť á ě á á š Í á ž á ě ě ž ě á á á á ě ů ž š ě ý ř Ž
Víceí ě ší ý á í í á ě ě ú í á í é á í ý ů ě ě ší é č ý ří á í čá í í ě í ž é ž ý á ý é ý ž čí ž í ší ř á á č ž ř š é ř č é ží í ě ší ř á č ý ů á ů ý č í
í ě ší ý á í í á ě ě ú í á í é á í ý ů ě ě ší é č ý ří á í čá í í ě í ž é ž ý á ý é ý ž čí ž í ší ř á á č ž ř š é ř č é ží í ě ší ř á č ý ů á ů ý č í ů ž á ří ří ž á í í ý é í ž í ě ý č é á ž é á ě á á
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky M. Jahoda; Ivan Šimon Užití sodíkového světla pro Ramanův zjev Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 69 (1940), No. 3-4, 187--190 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/123324
Víceď š š š š ň ť Í Í š Í š š Č ť š š š ň š Ů š š šť š š
š ď š š š š ň ť Í Í š Í š š Č ť š š š ň š Ů š š šť š š Ť Í ť Í ť š Í š š Í š Í Í š Í ť š ň Í Ó Ť š Í š ď ť Ě Í Í š Ť š š š š Í š Í š š ď Í Í š Ů Í Í š Í Í ň š Í Ž Í Ú š Í Í Í Í ť ň Ž Í Í Ť š Ě Í Í š š
Víceý Í č ší í ě í ů ý í ě á íó í í á ě í ě í š í ť é ř š ě Í é é Í á í ří í íř í íž í í í í ů ží í ý í ů í ší ěá Í á é á í í ě ě í ó ý ý í í í ť í á ší í
ý Í č š ě ů ý ě á ó á ě ě š ť é ř š ě Í é é Í á ř ř ž ů ž ý ů š ěá Í á é á ě ě ó ý ý ť á š ě ž é é č Á ž á Í ř Ě ó é ř á ú Í ě ý é ě š č ý Í ě ř ů ě ú ň Í ť é ě ě š Ě ó á ř č ě ó ů ř ř á Íř ží ř ě č ě
VíceJan Sobotka (1862 1931)
Jan Sobotka (1862 1931) Martina Kašparová Vysokoškolská studia Jana Sobotky In: Martina Kašparová (author); Zbyněk Nádeník (author): Jan Sobotka (1862 1931). (Czech). Praha: Matfyzpress, 2010. pp. 231--234.
Více