Kinematika hmotného bodu I.

Transkript

1 Kinematika hmtnéh bdu I. Kinematiku hmtnéh bdu myslíme zkumání záknitstí phybů těles. Hmtným bdem myslíme bd, jímž nahradíme skutečné reálné těles. Hmtnst tělesa je sustředěna d jednh bdu, prt hmtný bd. Při pčítání s hmtným bdem zanedbáváme především rzměry tělesa. V kinematice se zabýváme fyzikálními veličinami časem, dráhu, rychlstí a zrychlením. Všechny tyt veličiny mají mezi sebu jasnu spjitst, kteru si vysvětlíme pzději. Čas (time t) základní jedntku času je sekunda, která patří mezi jedntky sustavy SI. Dráha základní jedntku dráhy je jeden metr, taktéž patří mezi jedntky sustavy SI a je definván, jak dráha, kteru urazí světl ve vakuu za sekundy, kde c je rychlst světla ve vakuu. Obě další veličiny můžeme dvdit z těcht dvu! Průměrnu rychlst během phybu můžeme spčítat tak, že vezmeme dráhu, kteru těles urazil, a vydělíme ji časem, za který ji urazil: Z th jasně plynu jedntky rychlsti, které tedy jsu [ ]. Pkud bychm však chtěli, a t je častější, tzv. kamžitu rychlst, musíme pčítat s tím, že čas bude nulvý, nulu však dělit nejde, tedy musíme spčíst limitu, když se změna času blíží k nule, tím dstaneme matematicky směrnici tečny ke grafu funkce rychlsti a její hdnta je právě kamžitá rychlst. Matematicky tedy vyjádříme kamžitu rychlst jak derivaci funkce dráhy pdle prměnné t. Phyby přímčaré rzdělujeme na phyby rvnměrné a phyby nervnměrné. Nervnměrných je spusta a nemůžeme je nijak jedntvárně ppsat. Phyby rvnměrné máme dva phyb rvnměrný a phyb rvnměrně zrychlený. Phyb rvnměrný je vlastně druh rvnměrně zrychlenéh phybu, pr který platí, že velikst zrychlení je rvna nule. Začneme s phybem rvnměrně zrychleným, abychm mhli vyvdit veškeré důležité vzrečky a pznámky phybu rvnměrně zrychleném i rvnměrném. Pznámky autra: Jedntky rychlsti mhu být dlišné. Typický příklad je MPH Mile per Hur, tedy míle za hdinu. V Evrpě je zavedený styl KMH Kilmeters per hur. Převd jedntek není nutný, avšak pr infrmaci platí, že. Přesnější převd je.

2 Phyb přímčarý rvnměrně zrychlený U phybu rvnměrně zrychlenéh si musíme zavést další veličinu zrychlení. Zrychlení nám říká, jak mc se mění rychlst tělesa v závislsti na čase. Pdbně jak u rychlsti tedy vzreček pr zrychlení vypadá takt: Jedntky zrychlení jsu tedy [ ] vztahem:. Okamžité zrychlení můžeme pět vyjádřit Tedy zrychlení je derivace funkce rychlsti pdle prměnné t. Při rvnměrně zrychleném phybu pčítáme s tím, že zrychlení je knstantní p celu dbu phybu tělesa. Tt zrychlení je nějaká knstanta tedy čísl! Opačnu úvahu můžeme djít ke vztahu, že funkce rychlsti je funkce prstá k funkci zrychlení a funkce dráhy je funkce prstá k funkci rychlsti. Z th dvdíme pmcí integrálníh pčtu tyt vzrce pr výpčet: Setkáváme se zde s něčím, c značujeme jak v 0 a s 0. T je pčáteční rychlst, kteru těles má a dráha, kteru těles urazil před námi zkumaným phybem. Chceme-li ttiž spčítat uraženu dráhu kapky vdy, která už padá nějaku dbu, tak dráha, kteru urazí pd námi zkumaným phybem je a pté značíme jak dráhu, kteru urazila předtím. Tím získáme dráhu, kteru kapka urazila za celu svji cestu. Nyní nás čeká ještě dvzení vzrečku pmcí určitéh integrálu tedy bsahu plchy pd grafem. Ta udává, jaku změnu dráhy či rychlsti těles urazil mezi časem t 1 a t 2, které si můžeme libvlně zvlit. Musí však platit, že t 1 < t 2, jinak úlha nedává smysl, čas ttiž nemůže běžet pzpátku. Pznámka: Má-li těles záprné zrychlení a < 0, platí, že těles zpmaluje.

3 Phyb rvnměrný Phybem rvnměrným máme na mysli phyb, jehž zrychlení je 0, pět můžeme pužít úvahu přes integrální pčet: Vidíme, že pkud je zrychlení nula, tak vstupní rychlst tělesa v 0 je knstantní v jakýkliv čas phybu. U dráhy pak můžeme vidět, že se spčte jak sučet dráhy s 0 a sučinu rychlsti a času. Jelikž je zrychlení definván jak změna rychlst za čas, je jasné, že phyb rvnměrný musí být zárveň i přímčarý, jelikž rychlst je vektr, tedy i změna směru ptřebuje zrychlení. A jak t vypadá se změnami? C vlastně čekáváme? Pkud je rychlst stále stejná, její rzdíl za jakékliv dva časy bud nulvý. A dráha? Ta by se měla rvnat sučinu rychlsti a času dle úplně prvníh uvedenéh vzrečku. Vyjde t pravdu? Pdívejme se: Oba naše vzrce se ptvrdily, a tedy naše úvaha je správná. Vlný pád Vlným pádem máme na mysli phyb, jehž zrychlení způsbuje tíhvá síla dle 2. Newtnva phybvéh zákna F = m a můžeme zjistit, že tat síla způsbuje gravitační zrychlení g. Vlný pád je tedy phyb přímčarý, rvnměrně zrychlený, jehž směr je svislý tedy má stejný směr jak výslednice gravitační a dstředivé síly (tedy síly tíhvé). Pznámka: Těles nepadá směrem d středu Země, puze přibližně. Za předpkladu, že a = g, můžeme si vzrečky upravit na tyt:

4 Pr všechny tyt vzrečky pčítáme s tím, že tělesu nepřidáváme žádnu pčáteční rychlst. Pkud bychm ji však přidali, musím si vzrečky důsledně upravit. Rvnměrný phyb p kružnici Rvnměrný phyb p kružnici je phyb, jehž trajektrií je kružnice a jehž kamžitá rychlst je stálá. Suřadnice x a y můžeme určit pmcí gnimetrických funkcí takt: Jelikž rychlst je vektrvá veličina, tak její změna může být jen změna směru, prt platí, že i změna směru rychlsti má zrychlení. Tmut zrychlení říkáme zrychlení dstředivé. Abychm h však byli schpni definvat, musíme si nejdříve určit, c t je tzv. úhlvá rychlst. Tím spčítáme zárveň i kamžitu rychlst, prtže jsme si řekli, že je p celu dbu phybu knstantní. Řekli jsme si taktéž, že zrychlení je změna rychlsti za čas, tedy derivace funkce rychlsti pdle prměnné t. Pr náš phyb p kružnici pužijeme tzv. úhlvé zrychlení: Základními jedntkami úhlvé rychlsti jsu [ ] a základními jedntkami úhlvéh zrychlení jsu [ ]. Úhly tedy měříme v radiánech. Jelikž radián je jedntka, která byla zavedena tak, že 2π je bvd jedntkvé kružnice, tedy 2πr je bvd kružnice s plměrem r. Díky takt zavedené definici, když 360 = 2π radiánů, můžeme říct, že dráha uraženéh tělesa je rvna: Dvě tělesa, kdy bě se budu phybvat rychlstí ω, avšak jedn p kružnici s plměrem r 1 a druhé s plměrem r 2, budu mít jiné uražené vzdálensti, tedy i jiné kamžité rychlsti, které u tht phybu říkáme rychlst bvdvá.

5 Rychlst máme již definvanu vztahem dráhu:. Stačí si dsadit t, čím jsme si vyjádřili Pslední veličina, která nám vyplývá z terie, je tzv. dstředivé zrychlení. T je zrychlení, které vyplývá z 2. Newtnva phybvéh zákna. Na změnu směru ttiž ptřebujeme sílu, čímž zjistíme, že existuje i zrychlení. Tt zrychlení směřuje d středu, prt mu říkáme dstředivé. Pkud se jedná phyb kružnici, je tt zrychlení klmé na směr bvdvé rychlsti. Dstředivé zrychlení tedy způsbuje změnu směru. Oprti tmu změnu rychlsti způsbuje tzv. tečné zrychlení v případě přímčaréh phybu, je tečna přímky pět samtná přímka, prt má zrychlení stejnu směrvu rientaci jak rychlst phybu. Zjištění dstředivéh zrychlení ptřebuje tršku slžitější matematicku úvahu i tak t ale není nic slžitéh. Pr, které se limitně blíží k nule, platí, že. Dstředivé zrychlení můžeme dvdit vztahem: Další z pdstatných veličin je frekvence a perida. Perida nám udává dbu, za kteru těles běhne celu kružnici, značíme ji T a její jedntky jsu [T] = 1s. Frekvence nám říká, klikrát těles běhne kružnici za vteřinu. Značíme ji malým f a jedntky jsu [f] = 1Hz.

6 Pr í klady Vlak, který vyjížděl ze zastávky rvnměrně zrychleným phybem, získal během 10 s rychlst 0,6 ms -1. Za jaku dbu získá rychlst 3 ms -1? Vyjádříme si čas t 2 z úvahy, že zrychlení je stále stejné: Vlaku tedy trvá 50 s, než zrychlí na 3 ms -1. Autmbil, který se rzjížděl rvnměrně zrychleným phybem, dsáhl rychlsti 100 kmh -1 za 6 s. Určete dráhu, kteru přitm urazil. Nejdříve si musíme převést kilmetry za hdinu na metry za sekundu. Nyní si upravíme vzreček pr uraženu dráhu (t je t, c chceme pčítat): Autmbil ujede přibližně 83 m. Těles, které byl na začátku v klidu, se začal phybvat rvnměrně zrychleným phybem se zrychlením 8 ms -2. Jak velku rychlst měl na knci dráhy dluhé 100 m? První fáze je dvzení vzrečku pr pčítání takvét úlhy: Těles má na knci dráhy dluhé 100 m rychlst 40 ms -1. Určete úhlvu rychlst, kteru rtuje Země klem své sy. Jaká je velikst rychlsti bdů ležících na rvníku? Střední průměr země je km. Víme, že Země se tčí klem své sy jednu za 24 hdin, tedy T = 24 h. Když známe úhlvu rychlst, není prblém dpčíst se rychlsti na rvníku: Úhlvá rychlst Země je tedy 7,3 * 10-5 rad. s -1 a rychlst těles na rvníku 470 ms -1.

7 Těles padající vlným pádem urazil za pslední 0,5 s dráhu 10 m. Určete rychlst tělesa v kamžiku dpadu. Tíhvé zrychlení uvažujme 10 ms -2. Jak první si napíšeme d vzrce dráhy, c známe, zárveň si vyjádříme rychlst v 0 ze vzrce v = v 0 + gt. Těles dpadl s rychlstí 22,5 ms -1. Kl plměru 0,4 m se táčí úhlvu rychlstí 31,4 rad.s -1. Určete velikst rychlsti bdů na bvdu kla a veliksti jejich nrmálvéh zrychlení. Nejprve si spčteme rychlst. Jelikž známe plměr i úhlvu rychlst, nebude t prblém: Nrmálvé (v případě kruhvéh phybu dstředivé) zrychlení vypčteme taktéž ze zadaných veličin (neb můžeme pužít vypčtenu rychlst). Rychlst bdů je přibližně 13 ms -1 a jejich nrmálvé zrychlení dpvídá přibližně 394 ms -2. Setrvačník kná 450 táček za minutu. Určete velikst nrmálvéh zrychlení bdů setrvačníku, které jsu ve vzdálensti 10 cm d sy táčení. Klikrát se zvětší velikst zrychlení těcht bdů, zvětší-li se pčet táček na dvjnásbek? 450 táček za minutu si nejprve převedeme na táčky za vteřinu tím zjistíme frekvenci phybu Z frekvence jsme nyní schpni spčítat úhlvu rychlst: Nrmálvé zrychlení už spčteme snadn dle vzrečku, pzr na jedntky plměru: Jak se zvětší zrychlení, si můžeme vyjádřit z následujícíh dvzení: Nrmálvé zrychlení phybu ve vzdálensti 10cm je 222 ms -2. Při dvjnásbné úhlvé rychlsti tělesa by byl zrychlení čtyřikrát větší.