Počet integrální. Obsah. Terms of use:

Transkript

1 Pčet integrální Obsah In: Karel Petr (authr); Vjtěch Jarník (authr): Pčet integrální. s ddatkem Úvd d terie mnžství. (Czech). : Jednta českslvenských mathematiků a fysiků, pp. IX--XXII. Persistent URL: Terms f use: Jednta českslvenských mathematiků a fysiků Institute f Mathematics f the Academy f Sciences f the Czech Republic prvides access t digitized dcuments strictly fr persnal use. Each cpy f any part f this dcument must cntain these Terms f use. This paper has been digitized, ptimized fr electrnic delivery and stamped with digital signature within the prject DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library

2 OBSAH. Č Á S T PRVÁ. INTEGRÁLY N E U R Č I T É (FUNKCE PRIMITIVNÍ). i. Ú VOD. I. Základní definice a pjmenvání. 1. Definice integrálu neurčitéh (primitivní funkce) 2. O úklu integrálníh pčtu Některé jednduché frmule vyplývající bezprstředně ze vzrců diferenciálníh pčtu 2. Různé metdy pr výpčet neurčitých integrálů Metda rzkladu ve sčítance Integrál z ptenční řady Metda částečné (parcielní) integrace Metda substituce Metda derivace pdle parametru funkcí pr kmplexní II. I N T E G R Á L Y Z R A C I O N Á L N Í C H Definice elementárních 1 3 FUNKCÍ. hdnty argumentu. 11. Rzklad racinální funkce ve zlmky částečné Obecný výpčet při rzkladu se vyskytujících knstant Praktický jejich výpčet 15. O důsledku pr rzklad racinální funkce za předpkladu, že keficienty racinální funkce jsu reálné 16. Integrace racinální funkce 17. O výpčtu racinální části integrálu z racinální funkce 18. Něklik becnějších příkladů pr integraci racinálních funkcí. 18a. Zavedení kmplexních čísel za keficienty racinálních funkcí.. Definice becné kmplexní funkce, jejíh diferenciálu a integrálu. 18b. Definice lgaritmu pr kmplexní hdnty argumentu 18c. Definice funkce expnenciální a funkcí gnimetrických pr kmplexní hdntu argumentu

3 X 18d. Funkce cyklmetrické pr kmplexní argumenty 18e. Obecná expnenciální funkce a mcnina v bru kmplexních čísel 18/. Elementární funkce transcedentní. Jejich derivace 18/i. Neknečné řady, jejichž členvé jsu čísla kmplexní 18Ar. Rady ptenční kmplexní prměnné 18/. Rzvj elementárních funkcí kmplexní prměnné z v řady mcninné 18m. Neurčitý integrál z funkce kmplexní prměnné III. I N T E G R Á L Y Z F U N K C Í I. Měkíeré,9. ^, v u případy IRACIONÁLNÍCH. jednduché. / 4, ( ^ ) '!< > Integrály binmické 21. Redukční vzrce pr integrály binmické Integrály JII (x, Vax2 + bx + c) dx. 22. První metda pr jejich výpčet 23. Druliá metda Integrál f J (x ij\!ax*+c Integrál f (Hx+K)dx J (b *2 + 2b l X + b j J/a 0 x 2 + 2a,* + a s 26. Přehled výsledků 5. O křivkách racinálních a integrálech jim příslušných. Pjem křivky racinální vylžen na křivce rvnici i / í = a * a - - ', * + c Jiné příklady racinálních křivek 80 O maximálním pčtu dvjných bdů při ireducibilní křivce algebraické 81 Křivka alg. ireducibilní mající maximální pčet bdů dvjných j e s t «křivku racinální 82 Některé vyšší singularity 83 Příklad 83 Definice rdu algebraické křivky 84 Ábelvy integrály rdu p. Integrály Ábelvy rdu nula lze vyjádřiti integrály z funkcí racinálních Redukce integrálů hypereliptických r / x dx -, 35a. Integrály f yx C J / (a eliptických). dx r p -, kde X jest plynm»i-téh stupně v * 86 (x a)r y X, kde A, B, X jsu mnhčleny v * 88

4 XI 36. Redukce integrálů hypereliptických a eliptických na základní t v a r y integrálů prvéh, druhéh a třetíh druhu Integrály eliptické. 37. Integrály eliptické lze reálnými substitucemi převésti na integrály eliptické, kde plynm pd dmcninu jest třetíh stupně s reálnými křeny 38. Integrály pseudeliptické. Příklady 39. Nrmální tvar Weierstrassův 40. Nrmální tvar Legendreův. Tabulka usnadňující převd na nrmální tvar Legendreův 41. Nrmální tvar Riemannův 41a. Lineární transfrmace el. integrálů 41b. Pkračvání; příklady 41c. Kvadratické transfrmace el. integr 4td. Landenva transfrmace Abely integrály rdu Převd křivek rdu 1 na křivku stupně třetíh biraciálnu transfrmací Vyjádření integrálů Ábelvých rdu 1 integrály eliptickými a. Biracinální transfrmace křivky y* = 4xi gtx g3 samu v sebe b. Biracinální transfrmace křivky i/2 = (l.r2)(l fc**!)samu v sebe Příklad (Integrál Ábelův patřící ke křivce r/3 = ajc 3 +t>jf 2 +cjc+cř) Pznámka. Integrály Ábelvy rdu vyššíh než 1 lze v případech zvláštních převésti na eliptické integrály IV. I N T E G R Á L Y Z N Ě K T E R Ý C H F U N K C I TRANSCEDENTNÍCH..46. Integrály z funkcí tvaru R(cs x, sin ar) 47. Zvláštní případy 48. Integrály tvaru fr(e>>x)dx Zjedndušení vznikající zavedením kmplexních čísel 50. Příkludy 51. Integrály z plynmu P{x, e"*, el**,....sinax,...) 52. Integrály jr(x)lgxdx. Funkce - J l 53. Lgaritmus integrál a funkce příbuzné g d x V. P Ř E C H O D O D I N T E G R Á L Ů N E U R Č I T Ý C H K U R Č I T Ý M. I. Obecné vývdy. 54. Definice Gemetrický význam určitéh integrálu Derivace integrálu určitéh pdle mezí Další základní věty integrálu určitém Věta střední hdntě určitéh integrálu Vyjádření určitéh integrálu z funkce spjité limitu jistéh sučtu Rzšíření pjmu určitéh integrálu. Příklady 146

5 XII Další rzšíření N ě k t e r é v ě t y mnžstvích zvi. věta Cantr-Bendixnva Zevšebecnění p j m u integrálu určitéh Věta střední hdntě pr rzšířený p j e m i n t e g r á l n í O mžnsti dalšíh zevšebecnění p j m u integrálníh Význam symblu f f ( t ) d t. P ř í k l a d y 154 a 68. Pznámky pčítání určitých integrálů Odvzení f r m u l e Wallisvy pr {a (příklad 6) 2n / dx i,. 1 a, b, c reálné a cs x 4- b sin x 4- c a, b, c kmplexní n a Jlg (1 + 2r cs * + r ) dx Integrály ze sučtů neknečných řad. 69. Vhdná ú p r a v a vět v Pčtu diferenciálním" d k á z a n ý c h 70. Rzšíření Příklady f ^ d x Rzšíření p r interval neknečný 72. Výpčet u r č i t ý c h integrálů pmcí řad. Rada Bernulliva a 73. Výpčet je~z' dx řadu asymptticku Plynmy Legendrevy a j e j i c h zbecnění Plynmy Hermitevy (př. 10) V y j á d ř e n í Legendrevých plynmů integrálem 3. Výpčet integrálů eliptických. 74. Výpčet eliptickéh integrálu prvníh druhu v Legendrevě nmálním t v a r u řadu neknečnu P ř e m ě n a řad, jestliže k jest blízké Asympttické v y j á d ř e n í, jestliže k se blíží Výpčet eliptických integrálů 2. d r u h u řadami V y j á d ř e n í úplných integrálů el. prvéh d r u h u řadami Ttéž p r elipt. integrály druhéh d r u h u Další zjedndušení numerickéh výpčtu (pmcí Landenvy transfrmace) Střed aritmetick-gemetrický Výpčet eliptických integrálů úplných pmcí středu aritmetickgemetrickéh. Legendreva relace 203

6 XIII 83. Kmpletní integrály eliptické v nrmálním tvaru Weierstrassvě Rzvje pr integrály eliptické v nrmálním tvaru Weiestrassvě..211 ČÁST DRUHÁ. INTEGRÁL URClTY SOUČTOVÉ NA Z Á K L A D É DEFINICE ( C A U C H Y - R I E M A N N O V Y). VI. D E F I N I C E A Z Á K L A D N Í V L A S T N O S T I INTEGRÁLU. /. Definice integrálu mezenéh URČITÉHO (b < a). 85. Sučty S a s a čísla I, jimi stanvená 86. Čísla 2 a jakžt limity sučtů S a s 87. Definice určitéh integrálu z funkce f(x) v intervalu (a, b) Příklady 2. O funkcích integrace schpných (pdle C.-ll. v (a,b)). 88. Některé becné skupiny funkcí integrace schpných Sučet, sučin, pdíl, abslutní hdnta funkcí integrace schpných jsu integrace schpny Délka mnžství číselnéh Oscilace funkce v bdě c Nutná a pstačující pdmínka, aby funkce byla. v (a, b) pdle C. R. integrace schpna Rzšíření pjmu určitéh integrálu Základní vlastnsti mexenéh integrálu. 95. % Věta střední hdntě Integrál jest spjitu funkcí hrní i dlní meze Suvislst integrálu na základě definice Cauchy-Riemannvy s primitivní funkcí Pznámka Integrace částečná Rzšíření věty integraci částečné D r u h á věta střední hdntě (důkaz j e j í ve specielním případě) Pmcná věta Ábelva Důkaz věty druhé střední hdntě pmcí Ábelvy věty O zavedení nvé prměnné d určitéh integrálu Některá pužití věty střední hdntě a rvnice pr částečnu 108. Odvzení rvnice Taylrvy O vzrci Euler-Maclaurinvě Výpčet integrálů pmcí frmule Euler-Maclaurinvy integraci

7 XIV Slrana 112. Pužiti frmule Euler-Maclaurinvy j a k sumační 257 Odvzení Stirlingvy frmule pr n! 258 Výpčet Eulervy knstanty Jiné dvzení frmule Euler-Maclaurinvy Pužití metdy dst. předch. na pčítání sučtů j i n é h d r u h u Výpčet lg Výpčet čísla ít Plynmy Legendrevy Další věty plynmech Legendrevých Důkaz, že čísl e jest transcedentním Některé další věty funkcích a číslech Bernulliských a jim příbuzných 272 Další věty plynmech Legendrevých ' O numerickém pčítání určitých integrálů (mechanické kvadratuře) Výklad pjmu mechanické k v a d r a t u r y 277 Metda lichběžníkvá 278 Frmule Simpsnva 280 Interplace parablická (Lagrangeův mnhčlen) 281 Metda Ctesva 283 D r u h á metda zalžená na interplaci parablické 285 Zavedení sučtvých čísel. Symbl (a,s) 288 Dva hlavní p ř í p a d y při interplaci ekvidistantní a příslušné mech. kvadratuře..290 Frmule Simpsnva se zbytkem 294 Interplace parablická pr případ, že jsu dány hdnty funkční a zárveň hdnty p r v ý c h derivací v r bdech 297 Mechanická k v a d r a t u r a v případě předch. dstavce 298 Metda Gaussva pr mechanicku k v a d r a t u r u Definice 301 V y j á d ř e n í pmcí f u n k c í neklesajících 302 F u n k c e spjité a zárveň s variací knečnu 303 Integrál určitý j e s t f u n k c e s variací knečnu své hrní meze Diskntinuity funkcí s variací knečnu 305 Další vyšetřvání f u n k c í spjitých a s variací knečnu O funkcích?. Elementární s ariací terie řad knečnu. Furierých. 136«. Pjem řady trignmetrické a Furiervy f>. ftudu Furierva pr funkci i (JI x) c. Důsledky z dst. předch r/, e, {. ftady Furiervy pr funkce, jež vznikají integrací z funkcí integrace schpných Věty sučtech řad Furiervých sčítaných pdle l l i e m a n n a Integrál Fresnelův 329 Gaussvy sučty 329

8 XV 136g. O aprximaci f u n k c í spjitýcli pmcí plynmů trignmetrických h. Věta Weierstrassva plynmecli Í. Rzšíření výsledků dst. předčil, na íunkce nespjité ;. Střední c h y b a (dchylka) fc, I. Mnhčleny m a j í c í nejinenší střední dchylku. Rzvj pdle Legendrevých plynmů 335 I36m. O přibližném v y j á d ř e n í eliptických integrálů pmcí plynmů v mdulu., /1. Mnhčleny trignmetrické mající nejmenší střední d c h y l k u d d a n é funkce. Parsevalův terein 339 VIL R O Z Š Í Ř E N Í P O J M U U R Č I T É H O I N T E G R Á L U (INTEGRÁLY NEVLASTNÍ). /. Funkce integrvaná jest internátu integračním neurčitu. neknečnu, p případě Obecné pznámky. Funkce stává se neurčitu v jistém mnžství bdvém na intervalu integr Definice integrálu nevlastníh v případě, že f u n k c e stává se neknečnu pr hrní mez Knvergence abslutní. Některé pdmínky pr abslutní knvergenci P ř í k l a d y Funkce stává se neknečnu, resp. neurčitu pr knečný p př. i neknečný pčet hdnt intervalu integračníh Rzšíření pjmu integrálníh pr neknečný interna! Definice. Abslutní knvergence 145. Různá kriteria abslutní knvergence 146. P ř í k l a d y b 147. Význam symblů jf(x)dx, Jf(x)dx 14ti. Význam pjmenvání integrál nevlastní"». Základní lastnsti integrálů nevlastních Zavádění nvých prměnných se zřetelem k integrálům nevlastním Obecný výklad 151. P ř í k l a d y 152. Integrál Laplaceův VIII. I N T E G R Á L Y Z F U N K C Í I. Vyšetřvání, zda funkce těmit Z Á V I S L Ý C H NA integrály parametru. definvané PARAMETRU. jsu spjité funkce Pstačující pdmínky, aby integrál byl spjitu funkcí p a r a m e t r u v jistém bdě. P ř í k l a d y 370

9 XVI 155. Pstačující pdmínky, aby integrál byl spjitu funkcí parametru v jistém intervalu Rzšíření těcht výsledků zejména v případě, že funkce integrvaná stává se neknečnu Kriterium pr stejnměrnu knvergenci integrálů k nule Rzšíření pr neknečný interval integrační Derivace integrálů pdle parametru Pstačující pdmínky pr existenci derivace Derivace integrálu pdle parametru, závisí-li též meze integrálu na parametru Vžití ět spjitsti a derivaci integrálů závislých na parametru k integrálů. n 164. Integrál Jlg (1 + 2r cs x + rs) dx výpčtu 389 / ax p hx dx jfft l dx / 16?. Integrál je~ax' 168. Integrál ' cs bx dx 392..? Integrál j - ^ dx -i r csbx 170. Integrály J, 171. Integrály fe~ax' 394, r xsinbx, dx, J gl + Jt, dx 397 cs bx1 dx, J e-"*'sin bx* dx 399 ^ 172. Integrály f sin (x* ± dx, Jcs íx* ±^Adx V * ' V ' 4. O integraci integrálů pdle parametru. 401 Integrály dvjnásbné Definice dvjnásbnéh integrál« Stejnměrná knvergence sučtvých výrazů k hdntě integrálu O záměnnsti přadu integračníh Příklady funkcí, při nichž sučet (A) stejnměrně knverguje Rzšíření pjmu dvjnásbnéh integrálu 409

10 XVII 181. Integrály dvjnásbné nevlastní Gaussův důkaz fundamentální věty algebry O záměnnstí přadí integračníh, jestliže jeden neb ba interv a l y integrační stávají se neknečnými Příklady pr výpčet mezených.85. Integrál f 186. Integrál Laplac-eův 187. Integrály Fresnelvy OD 188. Integrál f 2 5. M - d y integrálu záměnu přadu integračníh. " LbJ?L dx Rzšíření vět integrálech z funkcí závislých na parametru Věta Brelva Zevšebecněná věta Brelva 192. Rzšíření na mnžství vícerzměrná 193. Věta zevnější délce mnžství bdvéh (Jarníkva) 194. Věta Arzeláva 195. Věta integraci neknečných řad a jiné aplikace věty Arzelávy. 1%. Ttální diferenciál určitéh integrálu závisléh na dvu parametrech X. K Ř I V K O V É I N T E G R Á L Y A CPLNÉ DIFERENCIÁLY Definice a základní věty Integrály pdle uzavřených křivek Integrály pdle hranice bru Q Rvnice Greenva pr dvě prměnné Cauchyva integrální věta. l/plné diferenciály Výpčet integrálu úplnéh diferenciálu Integrály z úplnéh diferenciálu pdél becnějších křivek integračních Křivkvé integrály při třech a více prměnných Úplné diferenciály při třech prměnných 465 ČÁST TŘETÍ. NĚKTERÁ UŽITÍ URČITÝCH INTEGRÁLU. X. U Ž I T Í P O J M U I N T E G R Á L N Í H O K D E F I N I C I A V Y Š E T Ř O V Á N Í N Ě K T E R Ý C H F U N K C Í, Z V L Á Š T Ě PAK G A M M A F U N K C E. /. Eulery integrály Definice gammafunkce. Integrál Eulerův 1. druhu První základní vlastnst gammafunkce. Výpčet gammafunkce při celistvém argumentu jakž i výpčet B(p,q), je-li jedn z čísel p, q celé 470

11 X VIH Základní vlastnsti f u n k c e B(p,q) V y j á d ř e n í gainmafunkce limitním výrazem V y j á d ř e n í g a m m a f u n k c e neknečným sučinem V y j á d ř e n í f u n k c e B(p,q) pmcí g a m m a f u n k c í Odvzení předcházejícíh výsledku pmcí vět pčtu integrálníh Rzšíření definice f u n k c e gamma i pr záprné a r g u m e n t y Relace Gaussva Rzvje pr numerický výpčet lg J'(,H) V y j á d ř e n í f u n k c e lg/'(,«) určitým integrálem Rzklad výrazu integrálníh pr lg T(v) Integrální výraz pr Eulervu knstantu Binetva funkce a j e j í derivace Asympttické řady pr derivace Binetvy f u n k c e Rada Stirlingva 2. Sěkterá užití 482 gammafunkce Výpčet některých integrálů pmcí g a m m a f u n k c e in 228. Integrál J s i n " ' - 1 x cs «- I JC dx /xz+bx,s 492 l d x 230. Integrály f ^ d x, f ^ - d x 231. Výpčet řady hypergemetrické pr x = l i* 232. Integrál ^ c s a csi* d 3. Lgarithmus integrál a jiné funkce definvané Definice li (e-*) pr x > 0 Rzvj funkce li (e~*) pr x > 0 Definice li (e*) p r j c ^ O Jiná integrální v y j á d ř e n í funkcí li ( c l i ( e j r ) Asympttický rzvj pr li {e~x) při x > 0 Asympttický rzvj pr li (ex) při j f > 0 O užití integrállgaritmu v terii čísel Zbecnění integrállgaritmu určitými integrály XI. U Ž I T Í V G E O M E T R I I. /. Délka křiých čar. Definice 507 V y j á d ř e n í analytické za jistých p ř e d p k l a d ů rvnici k ř i v k y Frmule speciální 510 P ř í k l a d y Věta Gravesva 510

12 XIX 245. N u t n á a pstačující pdmínka, aby bluk spjité křivky byl rektif i k a c e schpný O pčítání plchy rvinné mezené křiu čaru Velikst plchy vypčtená na základě definice integrální CaucliyRiemannvy Jiné výrazy pr velikst plšnu Význam příslušných křivkvých integrálů při k ř i v k á c h u z a v ř e n ý c h se p r t í n a j í c í c h P ř í k l a d y pr pčítání veliksti plšné (I. 5.) P ř í k l a d 6. Věta Hlditchva P ř í k l a d 7. Plchy mezené paralelními k ř i v k a m i. D é l k y bluků těcht křivek Vyšetřvání k ř i v e k uzavřených, jimž přísluší velikst plšná K ř i v k y k v a d r a t u r y schpné v užším smyslu i6l. Obsah mnžství bdvéh vícerzměrnéh (pdle Jrdana)..536 Č Á S T ČTVRTÁ. INTEGRÁLY MNOŽNÉ (INTEGRÁLY Z FUNKC Í O NÉKOL1KA PROMĚNNÝCH). XII. I N T E G R Á L Y D V O J N É ( I N T E G R Á L Y Z F U N K C I O D V O U PROMĚNNÝCH). 1. Definice a základní vlastnsti O b r y dvjrzměrné Hrní a dlní sučty. Jejich dlní a hrní hranice. Základní věty Definice integrálu d v j n é h O funkcích integrace schpných Věta střední hdntě O výpčtu integrálů d v j n ý c h pmcí dvjnásbné integrace (integ r á l ů dvjnásbných) Rzšíření platnsti získaných vztahů O výpčtu t r j n ý c h integrálů Zavádění nvých prměnných integračních d mnžných 278. P r v ý způsb dvzení (u integrálů dvjných) D r u h ý způsb dvzení 281. P l á r n í suřadnice 282. I n t e g r á l Laplaceův 283. Zevšebecnění substituce plárních suřadnic 284. T r u n s f r m a c e inversní integrálů

13 XX 285. Suřadnice eliptické Suřadnice rtgnální Plární suřadnice v brech trjrzměrných Suřadnice eliptické v brech trjrzměrných Obsah rvnběžnstěnu v bru n-rzměrném Obsah ( n + l)-stěnu v bru n-rzměrném a. Obsah (n + l)-stěnu v bru n-rzměrném, jsu-li dány rvnice jedntlivých stěn Gemetrická pužití dvjných integrálů Krychlvý bsah tělesa Jiné frmule pr krychlvý bsah Příklady 586 2%. Krychlvý bsah tělesa mezenéh plchu rtační a dvěma rvinami klmými k se rtační Pvrch křivé plchy Další vzrce pr pvrch křivé plchy Pvrch rtační plchy. Vivianův prblém Pvrch sférickéh trjúhelníka ). Pvrch elipsidu Odvzení vzrce pr velikst pvrchu plchy na základě jiné definice 597 XIII. R C Z N Á R O Z Š Í Ř E N Í P O J M U V Í C E R O Z M Ě R N É H O I N T E G R Á L U (INTEGRÁLY NEVLASTNÍ, PLOŠNÉ). 1. Integrály dvjné nevlastní Funkce jest neknečná tlik v klí jedinéh bdu Funkce jest neknečná tlik v bdech čáry rvnici y=q>(x) Příklady Obr integrační jest neknečný Příklady Integrály plšné Definice Vyjádření integrálů plšných, je-li rvnice plchy dána parametricky Jiné vyjádření integrálů plšných O pdmínce nutné, aby integrál plšný pdle libvlné uzavřené plchy byl rven nule Pdmínka pstačující Věta střední hdntě u plšných integrálů Příklady t J-t 0Q 326. O reseni sustavy rvnic dif. = H 01/ 0* 327. Frmule Stkesva d/ř r S/ť = F, 0? Dy itx,, = &, 8z

14 XXI O zavádění nvých p r m ě n n ý c h d plšných integrálů 645 Pužití. Ustanvení z n a m é n k a dsud neznáméh 648Odvzení vět p ř e d c h. dstavců pmcí vět integrálech t r j n ý c h..650 Rvnice G r e e n v y 651 DODATEK. ÚVOD DO TEORIE MNOŽSTVÍ. NAPSAL VOJTĚCH JARNÍK 655 O D D Í L 1. Základní pjmy. Ekvivalence. 1. Li vd ' Z á k l a d n í úkny Ekvivalence S p č e t n á mnžství Mnžství mcnsti k n t i n u a Mnžství nespčetná O D D Í L 2. Mnžství uspřádaná a dbře uspřádaná. Mnžství uspřádaná Pdbnst mnžství u s p ř á d a n ý c h Mnžství dbře u s p ř á d a n á Z á k l a d n í věta mnžstvích d b ř e uspřádaných O D D l L 3. Přadvá čísla. 1: vdní pznámky P ř a d v á čísla první a d r u h é třídy číselné U s p ř á d á n í přadvých čísel S t r u k t u r a mnžství 3 i + 3a T r a n s f i n i t n í indukce Z á v ě r e č n é pznámky O D D Í L 4. Mnžství C a r t é z s k é prstry Mnžství číselná Z á k l a d n í p j m y pr mnžství v U z a v ř e n á mnžství bdvá í>

15 XXII Otevřeni! mnžství Derivvané mnžství Mnžství v sbě hustá Mnžství dknalá Kndensační bdy Mnžství uzavřená a tevřená v /ťi Vyšší derivace bdvéh mnžství Nvý důkaz věty Cantr-Bendixnvy. Mnžství reducibilní O D D Í L 5. Ddatky k integrálnímu pčtu. 1. Pznámky k dst Pznámka k dst Pznámka k cvičení 24 na str L i t e r a t u r a k terii mnžství 725