B. (Obrázek není v elektronické podobµe k dispozici.)

Transkript

1 Písemka..7 Cviµcení.. K úspµešnému absolvování zkoušky je potµreba nadpoloviµcní poµcet bod u z písemky. Kaµzdý pµríklad je hodnocen ;, nebo body a student odhadl, µze všechna bodová hodnocení jsou stejnµe pravdµepodobná a nezávislá na výsledcích v ostatních pµríkladech. Kdy má vµetší šanci na úspµech, pokud bude mít zkouška pµríklady, nebo 3? Cviµcení.. Profesor chodí na pµrednášky s malým zpoµzdµením. Zjistil, µze studenti chtµejí statisticky vyhodnotit toto zpoµzdµení. Napadl ho trik na poslední pµrednášku pµrijde hodnµe pozdµe, µcímµz zvýší rozptyl a zpoµzdµení nevyjde statisticky významné. Má tato strategie nadµeji na úspµech? Zd uvodnµete. Jaké testy mohou studenti zvolit pro svoji hypotézu? Cviµcení..3 Po =3 dní neprší. V ostatní dny má sráµzkový úhrn v mm pµribliµznµe logaritmickonormální rozdµelení LN(; 5), tj. rozdµelení náhodné veliµciny tvaru X = exp(y ), kde Y má rozdµelení N(; 5). Její hustota je ( f X (u) = u p exp (ln u) 5 5 pro u > ; jinak. Odhadnµete, jak velký denní úhrn sráµzek je pµrekroµcen za let. Písemka 4..8 Cviµcení..4 Jazykový korektor zmµení 99 % chybných slov na správná a % správných na chybná. Zmµenil % slov. Odhadnµete mnoµzství chybných slov v jeho výstupu. µrešení Pµredtím pravdµepodobnost chybného slova p. Opraveno 99 p + 4 ( p) =, p = 3. Po opravµe chybnµe p + 4 ( p) = Cviµcení. Rozvodné závody dodávaly elektµrinu, jejíµz napµetí ve voltech mµelo normální rozdµelení N(; 5). Nyní se jim podaµrilo sníµzit rozptyl na. O kolik mohou zvýšit stµrední hodnotu pµri zachování horní meze, která je pµrekroµcena jen s pravdµepodobností 4? Cviµcení.. Náhodná veliµcina X má hustotu c u pro u h; i ; f X (u) = kde c R. Vypoµctµete stµrední hodnotu, urµcete a znázornµete distribuµcní funkce veliµcin X a X. Následující pµríklady jsou jen pro MF Cviµcení..7 Na mnoµzinµe vrchol u grafu de nujeme fuzzy relaci R c Rc (x; y) = c d(x;y), kde d je vzdálenost v grafu a c R. Pro které hodnoty c je R c souµcinová ekvivalence (podobnost)? Cviµcení..8 Po µcástech lineární fuzzy mnoµziny A; B jsou dány obrázkem. Urµcete a znázornµete (a) A\ P B, (b) A L [ B, (c) A S \ S B. (Obrázek není v elektronické podobµe k dispozici.) Písemka..8 Cviµcení..9 Spojitá náhodná veliµcina je frekvence v Hz. Jaký fyzikální rozmµer má její rozptyl, smµerodatná odchylka, medián, dále argumenty a výsledky distribuµcní a kvantilové funkce a hustoty? µrešení Rozptyl Hz, smµerodatná odchylka i medián Hz, distribuµcní funkce Hz 7!, kvantilová funkce 7! Hz, hustota Hz 7! Hz = s. Cviµcení.. Oštµepaµrky Anna a Barbora mají stµrední hodnoty hod u po µradµe 7 a 75 m a smµerodatné odchylky a 3 m. Pµredpokládejme nezávislá normální rozdµelení. Odhadnµete pravdµepodobnost, µze pµri jednom hodu hodí Anna dál.

2 µrešení Náhodná veliµcina A má rozdµelení N (7; 3), B má N (75; 9), A B má N (7 75; 3 + 9) = N ( 8; 45), kladných hodnot nabývá s pravdµepodobností ( 8) = F N( 8;45) () = p ( 9 ) = 883 = 7 45 Cviµcení.. Realizací náhodného výbµeru jsme dostali následující µcetnosti hodnot hodnota pozorovaná µcetnost Posu d, te na hladinµe významnosti 5% hypotézu, µze výbµer pochází z binomického rozdµelení Bi (5; p), kde p neznáme. µrešení Odhad p metodou moment u EX = 5 p = x = 5, p = 45. Stejný výsledek dává i metoda maximální vµerohodnosti, viz Navara, M. Pravdµepodobnost a matematická statistika. Skriptum FEL µcvut, Praha, 7, str. 8. hodnota k pozorovaná µcetnost teoretická µcetnost k p k ( p) 5 k Pro k f; 5g vychází teoretická µcetnost pµríliš malá, musíme sdruµzit tµrídy hodnota k pozorovaná µcetnost teoretická µcetnost pµríspµevek ke kritériu Hodnota kritéria je , porovnáme s kvantilem q () (95) = 599 a hypotézu nezamítáme... Písemka..8 Cviµcení.. Vysvµetlete rozdíly mezi následujícími pojmy (a) stµrední hodnota, (b) výbµerový pr umµer, (c) realizace výbµerového pr umµeru. µrešení Stµrední hodnota nemusí existovat. Pokud existuje, je to µcíslo, které nám m uµze z ustat utajeno; projevuje se pouze zprostµredkovanµe v realizacích náhodné veliµciny a je limitou nµekterých odhad u. Výbµerový pr umµer je náhodná veliµcina vypoµcítaná z náhodného výbµeru, na rozdíl od stµrední hodnoty vµzdy existuje (pro numerické náhodné veliµciny). Pokud p uvodní rozdµelení má rozptyl, je výbµerový pr umµer nestranným konzistentním odhadem stµrední hodnoty, takµze k ní v jistém smyslu konverguje pro rozsah výbµeru jdoucí do nekoneµcna. Realizace výbµerového pr umµeru je µcíslo získané z realizace náhodného výbµeru, slouµzící k (realizaci) odhadu neznámé stµrední hodnoty. Cviµcení..3 Náhodná veliµcina U má hustotu danou grafem. Urµcete a znázornµete hustoty a distribuµcní funkce náhodných veliµcin (a) U, (b) U, (c) exp U. 3 3 Cviµcení..4 Náhodná veliµcina X je smµesí náhodných veliµcin Y; Z, jejichµz pravdµepodobnostní funkce jsou dány tabulkou hodnota 3 4 p Y 4 4 p Z 4 4 pozorovaná µcetnost 3 9 Poslední µrádek udává µcetnosti hodnot v realizaci náhodného výbµeru s rozdµelením, které má náhodná veliµcina X. Odhadnµete z nich neznámý koe cient smµesi.

3 3 µrešení Metoda moment u EX = w EY + ( w) EZ = = w ( ) + + ( w) ( ) = = 9 w + 3 ( w) = 3 w = = = 79 7 w = = 89 = 5 ; 4 Vyhovuje zadání. Metoda maximální vµerohodnosti 4 w + ( w) = 3 w +, w + 4 ( w) = 4 3w. hodnota 3 4 p X + 3 w + 3 w 4 3w 4 3w pozorovaná µcetnost 3 9 L (w) = ( + 3 w) +3 (4 3w) 9+ = ( + 3 w) 5 (4 3w) 5 ; ` (w) = ln (L (w)) = 5 ln ( + 3 w) + 5 ln (4 3w) ; ` (w) = + 3 w 4 3 w = ; w = 7 = Písemka 8..8 Cviµcení. Na stejném místµe mµeµríme teplotu dvµema nezávislými teplomµery se smµerodatnými odchylkami C. Ukazují 3 C, resp. 5 C. Jaké je riziko, µze mrzne? Uve d, te pouµzité pµredpoklady. µrešení Aritmetický pr umµer obou údaj u je 75 C se smµerodatnou odchylkou p C, 75 = p ( ) = 974 = Cviµcení.. Náhodná veliµcina X je poµcet dµetí ve školním vµeku v jedné rodinµe. Pµredpokládáme, µze má Poissonovo rozdµelení s parametrem = 8, tj. p X (k) = k k! e ; k f; ; ; g ; EX = ; DX = Ve mµestµe bydlí n = rodin. Jaký poµcet míst ve školách bude postaµcovat s pravdµepodobností aspoµn 95 %? (Pµredpokládáme, µze všechny dµeti chodí do školy v obci, ve které bydlí.) Uve d, te pouµzité pµredpoklady. µrešení. postup Pouµzijeme centrální limitní vµetu; poµcet dµetí má pµribliµznµe normální rozdµelení N(n ; n ) = N(8 ; 8 ). Výsledkem je kvantil q N(n ;n ) (95) = n + p n (95) = 8 + p 8 45 = Zaokrouhlíme nahoru; potµrebujeme aspoµn 848 míst.. postup Souµcet nezávislých Poissonových rozdµelení má Poissonovo rozdµelení, zde s parametrem n = 8. Pro intervalový odhad je nahradíme normálním rozdµelením N(8 ; 8 ), další postup je stejný. Pµredpokládáme nezávislost poµctu dµetí v jednotlivých rodinách. Existence rozptylu je zaruµcena pµredpoklady. Dále povaµzujeme poµcet rodin za dostateµcnµe velký na to, abychom mohli zanedbat chybu v náhradµe výsledného (Poissonova) rozdµelení normálním.

4 4 Cviµcení..7 Náhodný vektor má rovnomµerné rozdµelení na trojúhelníku s vrcholy (; ); (; ); (; ). Popište a znázornµete distribuµcní funkce jeho sloµzek (marginální rozdµelení). µrešení. postup Marginální hustoty jsou t pro t, f X (t) = ( t) pro t, f Y (t) = distribuµcní funkce dostaneme jejich integrací 8 Z u < F X (u) = f X (t) dt = F Y (u) = Z u 8 < f Y (t) dt = pro u <, u pro u, pro u >, pro u <, u u pro u, pro u > u.75.5 u. postup Distribuµcní funkce je podle de nice dána pomµerem obsah u ploch (vesmµes se jedná o trojúhelníky nebo lichobµeµzníky, takµze nepotµrebujeme integrovat a vystaµcíme s geometrií ze základní školy); vµzdy je nutno dµelit obsahem celého daného trojúhelníka, coµz je =. Pro u vychází F X (u) = F Y (u) = u = u ; ( u) = u u Následující pµríklady jsou jen pro MF Cviµcení..8 Které z následujících vztah u platí pro logické spojky. booleovské (=klasické),. standardní fuzzy? (a) A A _ B = A B, (b) A A _ B = A, (c) A _ B A _ C B C =. ^ ^ ^ ^ ^ ^

5 Cviµcení..9 Po µcástech lineární fuzzy intervaly A; B jsou dány obrázkem. Urµcete a znázornµete (a) A + B, (b) A B, (c) A B. 5 A 3 3 B 3 3