1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}."

Transkript

1 VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení: a Pravděpodobnostní funkce p musí splňovat dvě podmínky: ( p(x, y a > ; ( (x,y R p(x, y a( a a 7. Je tedy p p(x, y : b Vypočtěte P (X Y. y\x p (y p (x Řešení: b Podmínce X Y vyhovují hodnoty (X, Y : (,, (,, (,, (,, (,, (,. Je tedy P (X Y 8 ( c Určete marginální pravděpodobnostní funkce. Řešení: c Marginální pravděpodobnostní funkce p a p popisují rozdělení pravděpodobnosti pro souřadnice X a Y náhodného vektoru (X, Y. Je tedy p (x P (X x p(x, y a p (y P (Y y p(x, y. y R Hodnoty pravděpodobnostních funkcí zapíšeme do tabulek: x p (x y p (y 7 7 Hodnoty marginálních pravděpodobnostních funkcí si zapisujeme do původní tabulky. Hodnoty funkce p (x tvoří řádek, který dostaneme sečtením původní tabulky po sloupcích. Obdobně jsou hodnoty funkce p (y ve sloupci, který získáme sečtením původní tabulky po řádcích. 7 x R d Vypočtěte střední hodnoty E(X, E(Y, E(XY a rozptyly D(X, D(Y. Řešení: d Je E(X xp (x nebo také E(X ( x p(x, y x R x R y R xp(x, y. (x,y R

2 Tudíž E(X ( Obdobně je E(X x R x p (x 7 ( Pro rozptyl dostaneme D(X E(X (E(X ( Vzhledem k tomu, že jsou obě marginální pravděpodobnostní funkce shodné je E(X E(Y a D(X D(Y. Pro zbývající střední hodnotu máme E(XY xyp(x, y (x,y R ( e Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y závislé či nezávislé. Vypočtěte jejich koeficient korelace. Řešení: e K určení závislosti či nezávislosti použijeme podmínky X a Y jsou nezávislé p(x, y p (xp (y. Protože je pro x y p(, p 7 (p ( jsou náhodné veličiny X 7 a Y závislé. Pro jejich koeficient korelace máme ρ(x, Y E(XY E(XE(Y D(XD(Y , 8. f Určete pravděpodobnostní funkce náhodných veličin Z X + Y a W XY. Vypočtěte jejich střední hodnoty. Řešení: f hodnoty Náhodná veličina Z nabývá hodnot,,,,, kterým odpovídají (, ; (,, (, ; (,, (,, (, ; (,, (, ; (,. Je tedy pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny Z rovna p (z P (Z z : z p 8 (z Potom je E(Z z R 5 7 zp (z 7 ( Všimněme si, že platí E(Z E(X + Y E(X + E(Y. Náhodná veličina W XY nabývá hodnot,,,, kterým odpovídají hodnoty: (,, (,, (,, (,, (, ; (, ; ((,, (, ; (,. Potom pro pravděpodobnostní funkci p (w P (W w je w p (w 7 Je pak E(W w R který jsme získali v odstavci d. 5 7 wp (w (++, což je v souhlase s výsledkem, 7

3 g Určete podmíněné pravděpodobnostní funkce p(x y a p(y x. Řešení: g Pro podmíněné pravděpodobnostní funkce máme vyjádření: p(x y p(x,y p (y a p(y x p(x,y p (x. Všimněme si, že hodnoty podmíněné pravděpodobnostní funkce p(x dostaneme tak, že hodnoty p(x, v řádku tabulky vydělíme jejich součtem, hodnotou p (. Obdobně získáme i ostatní hodnoty. Tabulky hodnot podmíněných pravděpodobnostních funkcí jsou: p(x y x p(x p(x p(x 5 p(y x Odtud dostaneme pro podmíněné střední hodnoty: E(X y xp(x y a E(Y x yp(y x. x R E(X x R E(X x R E(X x R y R xp(x ( + xp(x ( + 8 xp(x ( + 7 E(Y ; E(Y ; E(Y. y p(y p(y p(y 5. Náhodný vektor (X, Y má spojité rovnoměrné rozdělení v množině A {(x, y; < x <, < y < }. a Určete sdruženou hustotu f. b Vypočtěte pravděpodobnosti P (X+Y, P (Y X, P ((X +Y. c Určete marginální hustoty f, f. d Určete sdruženou distribuční funkci F. e Určete marginální distribuční funkce F, F. f Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y závislé či nezávislé. g Vypočtěte koeficient korelace ρ(x, Y. h Určete podmíněné hustoty. Řešení: a Sdružená hustota f je konstantní v množině A a její hodnota je rovna převrácené hodnotě obsahu množiny A. Je tedy f(x, y, (x, y A,, jinde. b Pravděpodobnost výskytu hodnot náhodného vektoru v nějaké množině vypočteme jako integrál přes množinu ze sdružené hustoty. Musíme přitom uvážit, kde je

4 tato hustota kladná. Integračním oborem je pak průnik těchto množin. Dostaneme postupně: P (X + Y ( y dxdy ; (obsah lichoběžníka; P (Y X [ ] x ( y dxdy dy y ( y dy [ (y y] y ; P ((X + Y P ((X + Y π π c Marginální hustoty vypočteme pomocí vzorce: X... f : f (x f(x, y dy dy pro x. Y... f : f (y f(x, y dx dx pro y. Je tedy f (x, x,, y, f, jinde; (y, jinde., (obsah kruhu. d Sdruženou distribuční funkci určíme podle vztahu, kterým je definována. Je F (x, y P (X x Y y, (x, y R. Pravděpodobnost vypočteme stejně jako v odstavci b musíme pouze uvážit jak vypadá obor, kde je hustota kladná pro jednotlivé body (x, y. Potom je: F (x, y, x nebo y ; F (x, y xy, x, y ; F (x, y x, x, y ; F (x, y y, x, y ; F (x, y, x a y. e Marginální distribuční funkce F a F dostaneme z podmínek: F (x lim y F (x, y, F (y lim x F (x, y. Protože se pro hodnoty x a y již sdružená distribuční funkce nemění, je: F (x F (x,, x, x, x,, x, F (y F (, y, y, y, y,, y. f K určení závislosti a nezávislosti potřebujeme znát marginální hustoty. Ty můžeme určit buď z marginálních distribučních funkcí derivováním, nebo přímým výpočtem ze sdružené hustoty. Je

5 f (x F (x f(x, y dy, f (y F (y f(x, y dx. Vzhledem k tomu, že je sdružená hustota konstantní, jsou integrály ve vyjádření rovny součinu této konstanty a délky intervalu, přes který integrujeme. Tudíž je: f (x, x <,, < x <,, x >, f (y, y <,, < y <,, y >. Náhodné veličiny jsou nezávislé, právě když je sdružená hustota rovna součinu hustot marginálních. Musí tedy platit identita f(x, y f (x.f (y, (x, y R. Snadno nahlédneme, že je tato rovnost splněna a jsou tedy náhodné veličiny X a Y nezávislé. Uvědomte si, že je třeba ověřit identitu i tam, kde jsou jednotlivé hustoty nulové. g K výpočtu koeficientu korelace je třeba vyčíslit pět momentů. Zde ale využijeme skutečnosti, že pro pro nezávislé náhodné veličiny je koeficient korelace roven nule. h Protože jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé, jsou podmíněné náhodné veličiny shodné s marginálními. Je tedy X y X, f(x y f (x pro y ; Y x Y, f(y x f (y pro x.. Náhodný vektor (X, Y má spojité rovnoměrné rozdělení v množině A {(x, y; < x <, < y <, x + y }. a Určete sdruženou hustotu f. b Vypočtěte pravděpodobnost P (X Y. c Určete marginální hustoty f, f. d Určete sdruženou distribuční funkci F. e Určete merginální distribuční funkce F, F. f Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y závislé či nezávislé. g Vypočtěte koeficient korelace ρ(x, Y. h Určete hustoty podmíněných náhodných veličin a vypočtěte jejich střední hodnoty. Řešení: a Sdružená hustota f je konstantní v množině A a její hodnota je rovna převrácené hodnotě obsahu množiny A. Je tedy f(x, y, (x, y A,, jinde. 5

6 b Pravděpodobnost výskytu hodnot náhodného vektoru v nějaké množině vypočteme jako integrál přes množinu ze sdružené hustoty. Musíme přitom uvážit, kde je tato hustota kladná. Integračním oborem je pak průnik těchto množin. Dostaneme: P (X Y y ( dxdy ; (obsah trojúhelníka. c Marginální hustoty vypočteme pomocí vzorce: X... f : f (x Y... f : f (y Je tedy f(x, y dy f(x, y dx x y dy x pro x. dx ( y pro y. f (x x, x,, jinde; f (y ( y, y,, jinde. d Sdruženou distribuční funkci určíme podle vztahu, kterým je definována. Je F (x, y P (X x Y y, (x, y R. Pravděpodobnost vypočteme stejně jako v odstavci b musíme pouze uvážit jak vypadá obor, kde je hustota kladná pro jednotlivé body (x, y. Příslušné integrály budeme počítat podle vzorců pro obsahy obrazců, které jsou průnikem trojúhelníka a kvadrantu. Potom je: F (x, y, x nebo y ; F (x, y xy, x, y, x + y ; F (x, y xy (x + y, x, y, x + y ; F (x, y x x, x, y ; F (x, y y y, x, y ; F (x, y, x a y. e Marginální distribuční funkce F a F dostaneme z podmínek: F (x y lim F (x, y, F (y x lim F (x, y. Protože se pro hodnoty x a y již sdružená distribuční funkce nemění, je:, x, F (x F (x, x x, x,, x, F (y F (, y, y, y y, y,, y. f K určení závislosti a nezávislosti potřebujeme znát marginální hustoty. Ty můžeme určit buď z marginálních distribučních funkcí derivováním, nebo přímým výpočtem ze sdružené hustoty. Náhodné veličiny jsou nezávislé, právě když je sdružená hustota rovna součinu hustot marginálních. Musí tedy platit identita f(x, y f (x.f (y, (x, y R.

7 Snadno nahlédneme, že je tato rovnost není splněna a jsou tedy náhodné veličiny X a Y závislé. Uvědomte si, že je třeba ověřit identitu i tam, kde jsou jednotlivé hustoty nulové. Součin marginálních hustot je kladný na obdélníku (, (,, kdežto sdružená hustota f je kladná pouze na trojúhelníku A. Dokonce i v množině A není požadovaná rovnost splněna. g K výpočtu koeficientu korelace je třeba vyčíslit pět momentů. Postupně dostaneme: [ ] E(X xf (x dx (x x x dx x ; [ ] y E(Y yf (y dy y y dy y ; [ ] E(X x f (x dx x x x dx x 8 ; [ ] y E(Y y f (y dy y ( y dy y ; E(XY xyf(x, y dxdy R [ y y y + y dy ( y y + y ] xy dx dy ; y [ ] x y dy D(X E(X (E(X, D(Y E(Y (E(Y 8. Pro koeficient korelace dostanememe ρ(x, Y E(XY E(XE(Y D(XD(Y, 5. h Podmíněné hustoty dostaneme ze vzorců: X y : f(x y f(x, y f (y, f (y ; Tedy Y x : f(y x f(x, y f (x, f (x. X y : f(x y, x ( y pro < y < ; ( y Y x : f(y, x x, y pro < x <. x Střední hodnoty vypočteme pomocí obvyklých vzorců. Je pak: E(X y E(Y x y x x ( y dx ( y y x dy x [ y ] x [ ] x y ( y ( y y, ( x ( x x. 7

8 . Náhodný vektor má sdruženou hustotu f, kde f(x, y xy, x, y,, jinde. a Určete sdruženou distribuční funkci a marginální distribuční funkce. b Určete marginální hustoty. c Vypočtěte střední hodnoty a rozptyly marginálních veličin. d Rozhodněte o závislosti a nezávislosti náhodných veličin X a Y. e Vypočtěte koeficient korelace ρ(x, Y. f Vypočtěte pravděpodobnost P (Y X. Řešení: a Sdruženou distribuční funkci určíme podle vztahu, kterým je definována. Je F (x, y P (X x Y y, (x, y R. Pravděpodobnost vypočteme jako integrál přes uvedený obor, musíme pouze uvážit jak vypadá průnik s tímto oborem, kde je hustota kladná. Potom je: F (x, y, x nebo y ; F (x, y x ( y uvdvdu x y, x, y ; F (x, y F (x, x, x, y ; F (x, y F (, y y, x, y ; F (x, y, x a y. Marginální distribuční funkce F a F dostaneme z podmínek: F (x lim y F (x, y, F (y lim x F (x, y. Protože se pro hodnoty x a y již sdružená distribuční funkce nemění, je: F (x F (x,, x, x, x,, x, F (y F (, y, y, y, y,, y. b Marginální hustoty vypočteme pomocí vzorce: X... f : f (x Y... f : f (y Je tedy f (x f(x, y dy f(x, y dx, x,, jinde; xy dy x pro x. xy dx y pro y. f (y, y,, jinde. Stejné výsledky dostaneme ze vztahů f (x F (x a f (y F (y. 8

9 c Střední hodnoty náhodných veličin X a Y vypočteme pomocí vzorců: x [ ] x E(X xf (x dx dx ; [ ] y E(Y yf (y dy y dy ; E(X x x [ ] x f (x dx dx ; 8 [ ] y E(Y y f (y dy y dy. Rozptyly získáme pomocí vzorců: D(X E(X (E(X, D(Y E(Y (E(Y 8. d O nezávislosti či závislosti veličin X a Y rozhodneme z podmínky pro nezávislost: f(x, y f (x.f (y. Po dosazení výsledků z odstavce b dostaneme, že je požadovaná podmínka splněna, náhodné veličiny jsou nezávislé. Poznamejme ještě, že podmíněné náhodné veličiny se rovnají marginálním. e Koeficient korelace snadno určíme. Protže jsou podle d náhodné veličiny nezávislé je koeficient korelace nulový. Ověřme si tuto skutečnost výpočtem. K určení koeficientu korelace nám chybí vypočítat jediný moment. Je ( E(XY xyf(x, y dxdy x y y [ dx dy ] x R dy 8 y dy 8 [ ] y 8 ; Pro koeficient korelace dostaneme ρ(x, Y E(XY E(XE(Y D(XD(Y 8. f Požadovanou pravděpodobnost vypočteme jako integrál ze sdružené hustoty přes obor, ve kterém se mají hodnoty náhodného vektoru vyskytovat. Je P (Y X [ y y ] ( 5. y xy dxdy y [ x ] y dy (y y dy

10 5. Náhodný vektor (X, Y má spojité rozdělení určené sdruženou hustotou f, kde f(x, y (x + y, x, y,, jinde. a Určete marginální hustoty f, f. b Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y závislé či nezávislé. c Vypočtěte koeficient korelace ρ(x, Y. d Určete podmíněné hustoty. Řešení: a Marginální hustoty vypočteme pomocí vzorce: X... f : f (x f(x, y dy (x + y dy (x + pro x. Y... f : f (y f(x, ydx (x + y dx ( + y pro y. 8 Je tedy f (x (x +, x,, jinde; f (y 8 ( + y, y,, jinde. b Náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé, právě když je sdružená hustota rovna součinu hustot marginálních. Musí tedy platit identita f(x, y f (x.f (y, (x, y R. Snadno nahlédneme, že tato rovnost není splněna a jsou tedy náhodné veličiny X a Y závislé. Je totiž f (xf (y (x + ( + y f(x, y (x + y, x, y. 7 c K výpočtu koeficientu korelace je třeba vyčíslit pět momentů. Postupně dostaneme: E(X xf (x dx (x + x dx [ ] x + x 7 ; E(Y yf (y dy 8 (y + y dy [ ] y 8 + y 7 ; E(X x f (x dx (x + x dx [ ] x + x 5 ; E(Y y f (y dy y + y dy [ ] y y 5 ; ( E(XY xyf(x, y dxdy (x y + xy dy dx R [ x y ] xy dx ( 7 x + 8x dx [ ] x + x ;

11 D(X E(X (E(X 5, D(Y E(Y (E(Y 5. Pro koeficient korelace dostanememe ρ(x, Y E(XY E(XE(Y D(XD(Y 7 7. d Podmíněné hustoty dostaneme ze vzorců: X y : f(x y f(x, y f (y, f (y ; Tedy x + y X y : f(x y ( + y Y x : f(y x f(x, y f (x, f (x., x pro < y < ; x + y Y x : f(y, x, y pro < x <. (x + Střední hodnoty vypočteme pomocí obvyklých vzorců. Je pak: E(X y E(Y x x + xy ( + y dx ( + y xy + y (x + dy (x + [ x + x y ] + y + y, [ ] xy + y x + (x +.. Náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé a mají normální rozdělení N(, σ. a Určete pravděpodobnosti P (X +Y σ, P ( X +Y, P ( X < Y a P (X + Y X < Y. b Nalezněte číslo r takové, že P (X + Y r,. Řešení: Nejdříve určíme rozdělení náhodného vektoru (X, Y. Protože jsou obě náhodné veličiny nezávislé je jeho sdružená hustota rovna součinu hustot marginálních. Ty jsou ale shodné. Je tedy sdružená hustota rovna f(x, y x +y πσ e σ, (x, y R. a Požadované pravděpodobnosti vypočteme jako integrály ze sdružené hustoty přes množiny bodů, které v R splňují požadované podmínky. P (X + Y σ x +y x +y σ πσ e σ dxdy x ρ cos ϕ, < ρ < σ x ρ sin ϕ, < ϕ < π ( π σ e ρ πσ σ dρ dϕ π ] [ σ e ρ σ πσ σ e,. P ( X + Y x +y x +y πσ e σ dxdy

12 x ρ cos ϕ, < ρ < x ρ sin ϕ, < ϕ < π π [ σ e ρ πσ P ( X < Y σ ] e σ e σ. x <y πσ e ( πσ π e ρ σ dρ dϕ P (X + Y X < Y x ρ cos ϕ, < ρ < x ρ sin ϕ, π < ϕ < π π [ σ e ρ πσ ] σ π ( e ρ πσ σ dρ dϕ x +y σ dxdy ( e σ. [ ] π σ e ρ πσ σ x ρ cos ϕ, x ρ sin ϕ,, 5. x +y x +y x<y πσ e e ρ πσ σ dρ π < ρ < π < ϕ < π π σ dxdy dϕ b Obdobně jako v odstavci a dostaneme: P (X + Y r x +y x +y r πσ e σ dxdy x ρ cos ϕ, < ρ < r x ρ sin ϕ, < ϕ < π ( r e ρ πσ σ dρ dϕ π ] r [ σ e ρ πσ σ e r σ, 5. Odtud plyne, že e r σ, 5 r σ ln, 5 r σ ln, 5, σ. 7. Náhodný vektor má spojité rozdělení určené sdruženou distribuční funkcí F (x, y, x < y <, e x e y + e x y, x y. a Určete marginální distribuční funkce. b Určete sdruženou hustotu a marginální hustoty. c Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé. d Vypočtěte pravděpodobnosti P (X + Y <, P (X > Y a P (Y > X. Řešení: a Marginální distribuční funkce určíme jako limity:, x, F (x lim F (x, y y e x, x ;, y, F (y lim F (x, y x e y, y ;

13 b Sdruženou hustotu vypočteme pomocí vzorce f(x, y F. Je postupně: x y f(x, y, x < y < ; ( y f(x, y x e x y, x > y >. ( e x e y + e x y ( e y e x y x Marginální hustoty vypočteme jako derivace marginálních distribučních funkcí nebo integrováním sdružené hustoty. Pro porovnání uvedeme oba způsoby. Je:, x <,, y <, f (x F (x e x f, x > ; (y F (y e y, y >., x <, f (x f(x, y dy e x y dy e x, x > ; f (y f(x, y dx, y <, e x y dx e y, y > ; c Náhodné veličiny X a Y budou nezávislé pokud bude f(x, y f (xf (y, (x, y R. Snadno nahlédneme, že tato rovnost platí, neboť e x y e x e y, x >, y >. Náhodné veličiny jsou tudíž nezávislé. d Pravděpodobnosti vypočteme jako integrály ze sdružené hustoty přes množinu, ve které se hodnota náhodného vektoru vyskytuje. ( x P (X + Y < f(x, y dxdy e x e y dy dx x+y< e [ x e y] x ( e x e x dx [ e x e x ] e + e,... ( x P (X > Y f(x, y dxdy e x e y dy dx x>y e [ x e y] x ( e x e 5x [ dx e x + ] 5 e 5x,. 5 ( P (Y > X f(x, y dxdy e x e y dy dx y>x x e [ x e y] x ( e x x dx e (x+ e dx (x + t dx dt e e t dt e π e t dt π e π Φ, 85 ( Φ(, 85, 58, kde Φ je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení N(;.

14 8. Náhodný vektor má spojité rozdělení určené sdruženou hustotou f, kde f(x, y a sin (x + y, x π, y π,, jinde. a Určete číslo a. b Vypočtěte střední hodnoty E(X a E(Y. c Vypočtěte pravděpodobnost P (Y X. d Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé. Řešení: a Sdružená hustota musí splňovat dvě podmínky a pomocí nich určíme neznámou hodnotu čísla a. Je: ( f(x, y, (x, y R a > ; ( π ( f(x, y dxdy a sin (x + y dy dx R a a Je tedy [ cos (x + y] π dx a [sin x sin (x + π ] π f(x, y (cos x cos (x + π dx a a. sin (x + y, x π, y π,, jinde. b Je E(X xf(x, y dxdy R x [ cos (x + y] π dx [ x (sin x sin (x + π E(Y yf(x, y dxdy R y [ cos (x + y] π dy [ y (sin y sin (y + π c P (Y X. y x [ cos (x + y] x dx x ( ( cos x + cos (x + π ] π ( y x sin (x + y dy (cos x cos (x + π dx π ; y sin (x + y dx ( cos y + cos (y + π ] π f(x, y dxdy dy (cos y cos (y + π dy ( x π ; (cos x cos (x dx dx sin (x + y dy dx [sin x sin (x ] π

15 d Náhodné veličiny X a Y jsou nezávislé právě když je sdružená hustota rovna součinu hustot marginálních. Z jejího vyjádření vidíme, že není rovna součinu funkcí v jednotlivých proměnných a tudíž podmínka pro nezávislost nemůže být splněna. Jsou tedy náhodné veličiny X a Y závislé.. Náhodný vektor má spojité rozdělení určené sdruženou hustotou f, kde ae f(x, y y (sin x, x π, y,, jinde. a Určete číslo a. b Určete sdruženou distribuční funkci a marginální distribuční funkce. c Vypočtěte střední hodnoty E(X a E(Y. d Vypočtěte pravděpodobnost P (Y X. d Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé a určete podmíněné hustoty. Řešení: a Sdružená hustota musí splňovat dvě podmínky a pomocí nich určíme neznámou hodnotu čísla a. Je: ( f(x, y, (x, y R a > ; ( ( f(x, y dxdy a R a [ cos x] π a a. b Sdruženou distribuční funkci vypočteme ze vztahu F (x, y P (X x Y y Je x y [ e y sin x dy dx a e y sin x ] dx f(u, v dudv. F (x, y, x y ; F (x, y x ( y e v cos u dv du ( e y ( cos x, x π, y; F (x, y F (π, y e y, π x <, y <. Marginální distribuční funkce určíme ze vztahů: F (x lim y F (x, y, F (y lim x F (x, y. Protože se pro hodnoty x π již sdružená distribuční funkce nemění a y lim e y, je:, < x, F (x ( cos x, x π,, π x <, F (y F (π, y, < y, 5 e y, y <.

16 c E(X xf(x, y dxdy ( e y x sin x dy dx R [ e y x sin x ] dx x sin x dx [ x cos x + sin x]π π E(Y yf(x, y dxdy ( ye y sin x dy dx R [ ( y e y sin x ] dx sin x dx [ cos x]π d P (Y X xf(x, y dxdy ( e y sin x dy dx y x x [ e y sin x ] dx e x sin x dx [ e x (cos x + sin x ] π x ( + e π, 8 d Nezávislost náhodných veličin poznáme z podmínky pro sdruženou a marginální distribuční funkce. Musí být F (x, y F (x F (y, (x, y R. Snadno nahlédneme, že je podmínka pro nezávislost splněna. Protože jsou náhodné veličiny nezávislé, jsou jejich podmíněné hustoty shodné z marginálními hustotami. Ty získáme derivováním marginálních distribučních funkcí. Je tedy f(x y f (x F (x f(y x f (y F (y, < x <, π < x < sin x, < x < π,, < y <, e y, < y <.. Pro náhodnou veličinu X je E(X, D(X a Y X. Vypočtěte koeficient korelace ρ(x, Y. Řešení: Z vlastností střední hodnoty dostaneme, že E(Y E( X E(X.( + 5. Stejně získáme hodnotu D(Y D( X ( D(X., když si uvědomíme, že rozptyl se při posunu nemění a že je to střední hodnota kvadrátu. Podobně vypočteme střední hodnotu E(XY E(X( X E(X X E(X E(X. K určení druhého obecného momentu použijeme vztahu D(X E(X (E(X. Po dosazení dostaneme rovnici E(X E(X 5. Odtud plyne, že E(XY.(.5 7. Koeficient korelace je roven ρ(x, Y E(XY E(XE(Y D(XD(Y 7 (.5., což je ve shodě z uvedenými vlastnostmi koeficientu korelace.

17 . Náhodná veličina X má normální rozdělení N(;. Pro náhodnou veličinu Y + X vypočtěte P (Y + Y. Řešení: Náhodná veličina Y, která vznikne lineární transformací náhodné veličiny X má rovněž normální rozdělení N(µ, σ, kde: µ E(Y E( + X + E(X +. 7 a σ D(Y D( + X D(X.. Potom P (Y + Y P (Y Y + P ((Y (Y P ( Y F ( F (, kde F je distribuční funkce normálního rozdělení N(7;. Je-li Φ distribuční funkce normovaného normálního rozdělení, pak F (x Φ( x 7. Je tedy P (Y + Y Φ( 7 Φ( 7 Φ(.8 Φ(, 78 +, 8,.. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení v intervalu (, a náhodná veličina Y má normální rozdělení N(;. Určete střední hodnotu náhodné veličiny Z X Y. Řešení: Náhodná veličina X má spojité rozdělení s hustotu f, kde Je tudíž E(X x f(x dx f(x, < x <,, jinde. x dx [ ] x 8 ( 8 8. Dále je E(Y D(Y + (E(Y + 7. Odtud dostaneme, že E(Z E(X Y E(X E(Y 7.. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení v intervalu (, a náhodná veličina Y X. Určete koeficient korelace ρ(x, Y. Řešení: Náhodná veličina X má spojité rozdělení s hustotou f, kde f(x, < x <,, jinde. Dále je XY X(X X X, Y (X X X +. Pro obecné momenty náhodné veličiny X postupně dostaneme: E(X ; E(X x dx [ ] x ; E(X x dx [ ] x 8 ; E(X x dx [ ] x 5 5. Odtud dostaneme: 7

18 D(X E(X (E(X ; E(XY E ( X X 5 ; E(Y E(X ; ( E(Y E X E(X ; D(Y E(Y (E(Y 5 5. Pro koeficient korelace dostaneme hodnotu ρ(x, Y E(XY E(XE(Y D(XD(Y , 8. Hodnota koeficientu korelace je blízká jedné, závislost se málo liší od lineární. V uvažovaném intervalu (, se skutečně transformující funkce y x málo liší od lineární funkce.. V intervalu,, Zvolme náhodně bod (X, Y tak, že každá volba je stejně pravděpodobná. Určete pravděpodobnost toho, že bude vzdálenost bodu (X, Y od počátku menší než. Řešení: Souřadnice bodu (X, Y jsou hodnoty náhodného vektoru (X, Y, který má rovnoměrné rozdělení v intervalu,,. Protože je obsah tohoto intervalu roven, je sdružená hustota rozdělení pravděpodobnosti náhodného vektoru (X, Y dána vztahem, x, y, f(x, y, jinde. Hledaná pravděpodobnost je tedy rovna P ( X + Y f(x, ydxdy x +y,, x +y jestliže k výpočtu integrálu použijeme vzorce pro obsah kruhu. dxdy π π 5. V kruhu se středem v počátku a poloměru r > zvolme náhodně bod (X, Y tak, že každá volba je stejně pravděpodobná. Určete střední hodnoty a rozptyly obsahu a obvodu obdélníka s vrcholy v bodech [, ], [X, ], [X, Y ], [, Y ]. Řešení: Souřadnice bodu (X, Y jsou hodnoty náhodného vektoru (X, Y, který má rovnoměrné rozdělení v kruhu {(x, y; x + y r }. Obsah popsaného obdélníka je náhodnou veličinou Z XY a obvod je náhodnou veličinou W ( X + Y. Sdružená hustota f rozdělení pravděpodobnosti náhodného vektoru (X, Y je rovna převrácené hodnotě obsahu kruhu. Je tedy f(x, y πr, x + y r,, jinde. 8

19 Hledáme tedy střední hodnoty E(Z, E(Z, E(W, E(W. Při výpočtu integrálů využijeme substituce do polárních souřadnic a symetrie kruhu a integrované funkce nám dovolí počítat integrály jako čtyřnásobek jejich hodnoty při integraci přes část kruhu v prvním kvadrantu. Volíme tedy x + y r x, y x ρ cos ϕ, < ρ r y ρ sin ϕ ϕ π Postupně dostaneme: xy E(Z x +y r πr dxdy r ( (ρ cos ϕ sin ϕ dρdϕ πr [ ] ρ r [ sin ] π ϕ r πr π, 55r ; x+y r E(Z x y πr dxdy πr [ ] ρ r [ πr 8 (ϕ ] π sin (ϕ ( r r, 7r ; (ρ 5 cos ϕ sin ϕ dρdϕ D(Z E(Z (E(Z r r π π π r, r ; ( x + y E(W dxdy 8 r ( ρ (cos ϕ + sin ϕ dρdϕ x +y r πr πr 8 [ ] ρ r [sin ϕ cos ϕ] π πr r, 7r; π E(W (x + xy + y dxdy x +y r πr r ( ρ ( + cosϕ sin ϕ dρdϕ [ ρ πr πr ( r π π + ( + π r, 7r ; π D(W E(W (E(W, r. ] r [ϕ cos (ϕ ] π ( + π r 5 π π r π + 8π 5 r π. Náhodný vektor (X, Y má spojité rozdělení určené sdruženou hustotou f, kde f(x, y e x y, x >, y >,, jinde. Určete distribuční funkci G a hustotu g náhodné veličiny Z X + Y. Řešení: Souřadnice X a Y náhodného vektoru nabývají pouze kladných hodnot a tedy náhodná veličina Z X+Y je jenom kladná. To znamená, že G(z g(z pro z (,. Pro z (, dostaneme:

20 G(z P (Z z P (X + Y z z z z x z ( (e x e y dydx x+y z ( e x e z e x dx [ e x e z e x] z f(x, y dxdy e [ x e y] z x dx g(z G (z ( e z + e z (e z e z, z >. e z + e z, z ; 7. Náhodný vektor (X, Y má spojité rozdělení určené sdruženou hustotou f, kde f(x, y e y sin x, < x < π, y >,, jinde. Určete distribuční funkci G a hustotu g náhodné veličiny Z X + Y. Řešení: Souřadnice X a Y náhodného vektoru nabývají pouze kladných hodnot a tedy náhodná veličina Z X+Y je jenom kladná. To znamená, že G(z g(z pro z (,. Pro z (, dostaneme: G(z P (Z z P (X + Y z f(x, y dxdy. x+y z Výpočet musíme rozdělit na dva případy. Nejprve pro < x < π a potom pro x π. Pro < z < π je G(z z z x ( e y sin x dydx z [ ] e y z x sin x dx z e z e x sin x dx [ cos x]z e z [e x (sin x cos x] z (e z + cos z sin z; Pro π z < je G(z e z ( z x Odtud dostaneme e y sin x dydx [ ] e y z x sin x dx z sin x dx sin x dx e x sin x dx [ cos x]π e z [e x (sin x cos x] π e z (e π + ;, z (,, g(z G (z (e z + sin z + cos z, z (, π, (eπ + e z, z (π,. 8. Náhodná veličina X má diskrétní rozdělení určené pravděpodobnostní funkcí p, která je zadána tabulkou hodnot. Náhodná veličina Y má normální rozdělení N(; a obě náhodné veličiny jsou nezávislé. Určete rozdělení náhodné veličiny Z X + Y.

21 x - p(x Řešení: Náhodná veličina Y nabývá všech reálných hodnot a tedy i náhodná veličina Z jich bude nabývat. Jestliže si označíme Φ distribuční funkci náhodné veličiny Y, pak pro distribuční funkci G náhodné veličiny Z platí: G(z P (Z z P (X +Y z P (X Y z ++P (X Y z+ P (X Y z p( Φ(z + + p(φ(z + p(φ(z Φ(z + + Φ(z + Φ(z. Pro hustotu g dostaneme vyjádření g(z G (z ϕ(z + + ϕ(z + ϕ(z, kde ϕ(x Φ (x π e x, x R.. Náhodná veličina X má diskrétní rozdělení určené pravděpodobnostní funkcí p, která je zadána tabulkou hodnot. Náhodná veličina Y má exponenciální rozdělení Ex(; / a obě náhodné veličiny jsou nezávislé. Určete rozdělení náhodné veličiny Z X + Y. x - p(x Řešení: Náhodná veličina Y má hustotu f a distribuční funkci F dánu vzorci f(y, x (,, e x, x (,, F (y, x (,, e x, x,, a nabývá tudíž jenom kladných hodnot. Protože náhodná veličina X nabývá hodnot z množiny {,, } nabývá náhodná veličina Z X + Y hodnot větších než -. Pro její distribuční funkci G a hustotu g tedy platí, že G(z g(z, z (,. Pro hodnoty z > dostaneme: G(z P (Z z P (X + Y z P (X Y z + + P (X Y z + P (X Y z p( F (z + + p(f (z + p(f (z F (z + + F (z + F (z. Pro hustotu g dostaneme vyjádření g(z G (z f(z + + f(z + f(z.

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y) 5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2, 4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

VI. Derivace složené funkce.

VI. Derivace složené funkce. VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,

Více

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

1 Rozptyl a kovariance

1 Rozptyl a kovariance Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako

Více

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

5. T e s t o v á n í h y p o t é z

5. T e s t o v á n í h y p o t é z 5. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 5. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodnot náhodného výběru z rozdělení určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozdělení, tak aby co nejlépe odpovídaly hodnotám výběru. Formulujme

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.

f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad. 8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení

Semestrální písemka BMA3 - termín varianta A13 vzorové řešení Semestrální písemka BMA3 - termín 6.1.9 - varianta A13 vzorové řešení Každý příklad je hodnocen maximálně 18 body, z toho část a) 1 body a část b) body. Mezivýsledky při výpočtech zaokrouhlujte alespoň

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0.

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0. VKM/IM - 4/5 Zintegrujte f, y) d dy pro f, y) y ), : + y 4,. Řešení: S využitím postupů a výsledků použitých při řešení příkladů z předchozí části věnované dvojnému integrálu, se můžeme bez obav pustit

Více

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008

Diskrétní náhodná veličina. November 12, 2008 Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme

Více

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.

Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t. 1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Náhodné vektory a matice

Náhodné vektory a matice Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Normální rozdělení a centrální limitní věta Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 9 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 9) Normální rozdělení

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Normální rozložení a odvozená rozložení

Normální rozložení a odvozená rozložení I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět

Více

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07 VZOROVÉ ŘEŠENÍ A VYSVĚTLENÍ PROGRAMU. Ing. Marek Nikodým Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava 1 Výpočty v trojúhelníku Je dán trojúhelník ABC v prostoru A[, 3, 3], B[4, 5, ],

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně 19. září 2007 Příklad 1. Příklad 2. Příklad 3. Příklad 1. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází body A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C = [3, 1, 0]. Příklad 1. A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C =

Více

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová 1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,

Více

Řešení: a) Označme f hustotu a F distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y.

Řešení: a) Označme f hustotu a F distribuční funkci náhodné veličiny X. Obdobně označme g hustotu a G distribuční funkci náhodné veličiny Y. VII. Transformace náhodné veličiny. Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení Ex(; ) a náhodná veličina Y = X. a) Určete hustotu a distribuční funkci náhodné veličiny Y. b) Vypočtěte E(Y ) a D(Y ).

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 12. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 216/21 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 1 / 15 Integrování jako inverzní operace příklady inverzních

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

V. Riemannův(dvojný) integrál

V. Riemannův(dvojný) integrál V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf

Více

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule

8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule Cíle Ve výkladu o funkcích dvou proměnných jsme se seznámili také s jejich diferenciálem prvního řádu, který je pro funkci F(x, y) vyjádřen výrazem df dx + dy. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda

Více

1 Nulové body holomorfní funkce

1 Nulové body holomorfní funkce Nulové body holomorfní funkce Bod naýváme nulový bod funkce f), jestliže f ) =. Je-li funkce f) holomorfní v bodě, pak le funkci f) v jistém okolí bodu rovinout v Taylorovu řadu: f) = n= a n ) n, a n =

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b

Více

Rozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení.

Rozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení. Rozptyl Základní vlastnosti disperze Var(konst) = 0 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) (nezávislé proměnné) Lineární změna jednotek Y = rx + s, například z C na F. Jak vypočítám střední hodnotu a rozptyl? Pozn.:

Více

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.

příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u. Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více