Limity funkcí. Spočtěte následující limity: x, (Demidovič 411). x a) lim x 0. , b) lim x 1. , c) lim. 2 x 2 x 1

Transkript

1 Spočtěte následující limity: Limity funkcí Příklady řešené pomocí Maple V 1. a) lim x 0 x x 2 x 1, b) lim x 1 x x 2 x 1, c) lim x x x 2 x 1, (Demidovič 411). Nejprve si zadefinujeme naší funkci, abychom se neupsali: > f:=x->(x^2-1)/(2*x^2-x-1): a) V takto jednoduchém případě stačí dosadit a dostáváme 1. Pro jistotu to necháme Maple spočítat: > limit(f(x), x=0); 1 Případ b) nás jasně navádí na L'Hospitala, a skutečně, po jedné derivaci dostáváme výsledek: 2/3. Maple také: > limit(f(x), x=1); 3 c) O výsledné limitě rozhodují koeficienty u nejvyšší mocniny - x^2. Dostáváme 1/2. > limit(f(x), x=infinity); Tak je snad vše v pořádku. Příště už budeme věřit tomu, co nám Maple spočítá. Můžeme si to ještě třeba ověřit obrázkem. Obrázek nám může také říct něco nového, zajímavého: > plot(f(x),x=-1..2, y= , discont=true);

2 I obrázek vypadá přesvědčivě. Zajímavější to ale bude v bodě -0,5: > limit(f(x), x=-.5); Float( undefined ) > limit(f(x), x=-.5, left); Float( ) > limit(f(x), x=-.5, right); Float( ) I v tomto případě snad můžeme počítači věřit lim x 0 ( 1 + x ) ( x ) ( x ) 1 x (Demidovič 412). Opět si nejprve zadefinujeme funkci: > f:=x->((1+x)*(1+2*x)*(1+3*x)-1)/x: potom necháme Maple spočíst příslušnou derivaci: > limit(f(x),x=0); 6 a nakonec si (pro lepší názor a pro kontrolu) nakreslíme obrázek: > plot(f,-2..1);

3 3. lim x 0 ( 1 + x ) 5 ( x ) (Demidovič 413). x 2 + x 5 Postup je stejný jako v předchozím příkladě (a většině příkladů dalších): > f:=x->((1+x)^5-(1+5*x))/x^2+x^5: > limit(f(x),x=0); > plot(f, ); 10

4 4. lim x 1 x 3 + x 2 x 3 x 2 x + 1 (Berman 276). > f:=x->(x^3+x-2)/(x^3-x^2-x+1): > limit(f(x),x=1); > limit(f(x),x=1,left); > limit(f(x),x=1,right); undefined > plot(f(x), x=-2..2, y= , discont=true);

5 5. lim x ( 2 x 3) 20 ( 3 x + 2 ) 30, (Demidovič 416). ( 2 x + 1) 50 > f:=x->((2*x-3)^20*(3*x+2)^30)/(2*x+1)^50: > limit(f(x),x=infinity); > evalf("); > Warning, incomplete string; use " to end the string > plot(f, );

6 [ Chyba v zobrazení. Proč? ] 6. lim x 0 root 3 ( 1 + x 2 ) root 4 ( 1 2 x ), (Berman 303*). x + x 2 > f:=x->(root[3](1+x^2)-root[4](1-2*x))/(x+x^2): > limit(f(x),x=0); 2 > plot(f(x), x=-3..1, y=-1..1, discont=true); 1

7 7. lim x 1 x m 1 x n 1, m a n celá (Berman 280). > f:=x->(x^m-1)/(x^n-1): > limit(f(x),x=1); Tak i tohle Maple V umí lim x 1 root n ( x) 1, m a n celá (Berman 302). root m ( x ) 1 > f:=x->(root[n](x)-1)/(root[m](x)-1): > limit(f(x),x=1); Error, (in root[n]) root expects its index, n, to be of type integer, but received n Tak teď už musíme zapracovat my. root n ( x ) = x > f:=x->(x^(1/n)-1)/(x^(1/m)-1): > limit(f(x),x=1); m n m n 1 n

8 9. lim x 0 ( 1 + m x ) n ( 1 + n x) m x 2, m i n přirozená (Demidovič 414). > f:=x->((1+m*x)^n-(1+n*x)^m)/x^2: > limit(f(x),x=0); 10. lim x m2 n 1 2 n2 m sin ( a + x ) sin ( a + 2 x ) sin( a) 2, (Demidovič 492). x > f:=x->(sin(a+x)*sin(a+2*x)-sin(a)^2)/x: > limit(f(x),x=0); 11. lim a b sin( a) 2 sin( b ) 2, (Berman 342). a 2 b 2 3 sin( a ) cos( a ) > f:=x->(sin(a)^2-sin(b)^2)/(a^2-b^2): > limit(f(x),a=b); 12. lim x π 3 cos( b ) sin( b) tan( x ) 3 3 tan( x), (Demidovič 492). π cos x + 6 > f:=x->(tan(x)^3-3*tan(x))/cos(x+pi/6): > limit(f(x),x=pi/3); -24 > plot(f(x),x=-pi..pi,y= ); b

9 13. lim a 0 sin( a n ), m a n přirozená (Berman 318). m sin( a) > f:=a->sin(a^n)/sin(a)^m: > limit(f(a),a=0); Tak to je špatné... Nezbývá, než zkoušet: > f:=a->sin(a^3)/sin(a)^3: > limit(f(a),a=0); lim a 0 sin( a n ) sin( a) m 1 > plot(f(x), x=-pi..pi, y=-3..3 );

10 > f:=a->sin(a^3)/sin(a)^2: > limit(f(a),a=0); 0 > plot(f(x), x=-pi..pi, y=-3..3 ); > f:=a->sin(a^3)/sin(a)^4: > limit(f(a),a=0); undefined

11 > limit(f(a),a=0,left); > limit(f(a),a=0,right); > plot(f(x), x=-pi..pi, y= , discont=true ); Grafy pro [n,n] vypadají skoro stejně, jako pro [3,3], pro [n,m], n>m jako pro [3,2] a pro [n,m], n<m jako pro [3,4]. Skutečně, správný výsledek je 0 pro n>m, 1 pro n=m a neex. pro n<m. Takovéto příklady je lepší spočítat ručně. Pro kontrolu nám ale můžou dobře posloužit grafy lim x k 1 + x ( m x ), (Berman 354). > f:=x->(1+k/x)^(m*x): > limit(f(x),x=infinity); e ( k m) 15. lim x 1 ( 1 x ) log x ( 2 ), (Berman 354). > f:=x->(1-x)*log[x](2): > limit(f(x),x=1); > plot(f, -0..2); ln( 2 )

12 > Použitá literatura: Demidovič: B. P. Demidovič, Sbornik zadač i upražněnij po matematičeskomu analyzu, 9,. vydání, Nauka, Moskva 1977 Berman: G. N. Berman, Sbornik zadač po kursu matematičeckogo analyza, 18. vydání, Nauka, Moskva 1975