MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel"

Transkript

1 MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní resp. ryze monotónní. 84. a n = 1 + n a n = 5 n 86. a n = 2 n 87. a n = cos n 88. a n = n 89. a n = tg (1/n) 90. a n = n / (n+1) 91. a n = ( 1) n / (n 2 +1) 92. a n = n 2 / (n+1) 93. a n = ( 1) n n 2 / (n+3) Je dána posloupnost a n a čísla L R, 0. Najděte přirozené číslo n 0 takové, že pro všechna n N, n n 0 je a n U (L). 94. a n = 2 / n, L = 0, = a n = 2 + (sin n) / n, L = 2, = a n = 1 / n 3, L = 0, = a n = n, L = 1, = 0.02 Je dána posloupnost a n. Vypočtěte lim a n. n 98. a n = (n 5) / (2n + 3) 99. a n = (n 2 + 2n 4) / (n ) 100. a n = (2n 3 + n 2 50n)/(3n 3 + 4n 2 1) 101. a n = (2n 2 + n 3) / (n 3 + 4n 2 ) 102. a n = (n 3 + 4n 5) / (20n 2 + n + 10) 103. a n = (2n 2 + 3n + 7) / ( 2 n) 104. a n = (n+2) + n / (n+5) 105. a n = (n 3 +1) + 2n / (n 2 + 3) 106. a n = (n+4) n 107. a n = (n 2 +1) n 108. a n = (n 2 +4) 2n 109. a n = n. (n 2 +1) (n 2 1) 110. a n = ( n) / (2n 2 + 1) 111. a n = sin (n 2 +1) / n 112. a n = n cos (2n) / (2n + 5) 113. a n = (n 2 + sin n 2 ) / (3n 2 + n) 114. a n = (n+1) + cos n / (n + 2) 115. a n = (n 2 sin n 3 ) / (5n + 1) 116. a n = ( 1) n.n 2 + 3n / (2n 2 + 1) 117. a n = n.cos (n ) / (3n + 4) II.2. Základní vlastnosti funkcí Určete definiční obory následujících funkcí y = (3x 5) 119. y = (x + 2) / (x 2 4x + 3) 120. y = 1 / (x 2 4x) 121. y = (sin x) + (16 x 2 ) 122. y = ln (2x + 4) / (x 2 5x + 6) 123. y = ln (x + 3) + (10 2x) 124. y = cos (2x) / x. (x + 4) 125. y = arcsin (2x / 3) 126. y = (arcsin x) / (3x 1) 127. y = ln (x 2 3x + 3) 128. y = (2 log 4x) 129. y = (1 ln 2 x) 7

2 Určete supremum a infimum dané funkce f na množině M a rozhodněte, zda f má na M maximum resp. minimum (příp. určete jejich hodnotu). Nakreslete graf funkce y = f(x) pro x M f(x) = 2 + (x 1) 2, M = R 131. f(x) = 2 3x, M = 2, 4) 132. f(x) = 1 / (x 1) 2, M = (1, + ) 133. f(x) = (x + 2), M = 2, + ) 134. f(x) = (5 x), M = 1, 4) 135. f(x) = sin 2x, M = R 136. f(x) = 2 cos x, M = (0, 2 ) 137. f(x) = 2x 3, M = R 138. f(x) = x 1 + 2, M = (0, 5) 139. f(x) = 1 / (x 2 + 2), M = R 140. f(x) = 2 + ln (x 1), M = (1, + ) 141. f(x) = 1 + ln (3 x), M = 0, f(x) = e x+2, M = (, f(x) = 2 arctg x +, M = R 144. f(x) = arcsin (x 3), M = (2, f(x) = 3 (x 2 + 1), M = R Určete maximální intervaly, na kterých je daná funkce f ryze monotónní, a najděte k ní na těchto intervalech inverzní funkce. Určete také definiční obory inverzních funkcí f(x) = x f(x) = (x 2) f(x) = 1 / (x + 3) 149. f(x) = 2 1 / (x 1) 150. f(x) = (3 + e 2x ) 151. f(x) = ln (4 x) II.3. Limita a spojitost funkce Vypočtěte následující limity: 152. lim x 2 sin x 153. lim x cos 2x 154. lim x 2+ (x 2 + 3x 5) 155. lim x 1 (x 2 4x) 156. lim x (1 + 2 x ) 157. lim x 2 / (x + 3) 158. lim x 2 (x 2 + 5) / (x 2 3) 159. lim x 0 (x 3 3x + 4) / (x 2 2) 160. lim x (x 2 + 3x 10) / (2x 2 + 7) 161. lim x (2x 2 + x x) / (x 2 + 5x) 162. lim x (3x + 5) / (x 2 + 2x + 6) 163. lim x (x 3 + 4x 2 + 1) / (2x 2 + 5x) 164. lim x (x 3 + 8x 2) / (3x ) 165. lim x (2x + arctg x) / (x + 100) 166. lim x (x 2 + sin x 2 ) / (2x 2 3) 167. lim x (2x 2 + 1) / (x 5) 168. lim x (1 + x 2 ) 1 / x 169. lim x (x 2 1) x 170. lim x 1 (x 2 1) / (3x + 3) 171. lim x 2 (x 2 x 2) / (x 2 4) 172. lim x 4 (2x 8) / ( x 2) 173. lim x 0+ sin (3x) / x 174. lim x 0 tg (4x) / (2x) 175. lim x 0 sin (4x) / tg x 176. lim x 0 (1 cos 2 x) / (2x 2 ) 177. lim x 0 arctg x / (3x) 178. lim x 0+ (tg x sin x) / x lim x /4 (cos x sin x) / cos 2x 180. lim x 0 (3x 2 5x) / sin 3x 181. lim x 1 (1 x 2 ) / sin ( x) 182. lim x 1 (arctg x /4) / (x 1) 183. lim x 2 tg ( x) / (x + 2) 184. lim x sin x / (x + 1) 185. lim x 0 arctg (1/x 2 ) 186. lim x arcsin x / (x + 2) 187. lim x ln (x 2 5) / (x 2 + 2x) 188. lim x e x / x lim x ln x / x 190. lim x 0 ln (1 + 2x) / x 191. lim x 0+ sin x / x 8

3 Najděte maximální intervaly, v nichž je daná funkce f spojitá. Je-li c R takový bod nespojitosti, že f je definována v jeho některém prstencovém okolí (c, c) (c, c+ ), 0, zjistěte, zda funkci f lze v bodě c spojitě dodefinovat. Pokud ano, najděte odpovídající funkční hodnotu d f(x) = 1 / x 193. f(x) = sin x / x 194. f(x) = (x 2) / (x 2 2x) 195. f(x) = (x + 1) / (x 3 + 1) 196. f(x) = 1 / ln x 197. f(x) = arctg (1/x) 198. f(x) = x. arctg (1/x) 199. f(x) = x / (e x 2) II.4. Derivace funkce a její význam Vypočtěte derivace následujících funkcí. Určete také, pro jaká x je derivace definovaná y = 6x 2 3x y = 7x 5 2x 4 + x y = (x 3 + 2x 2 5x 10) y = (x 2 + 2x + 5) y = (5x 3) 205. y = (x 2 + 4) 206. y = (2x 2 x + 5) 207. y = 3 (x 2 1) 208. y = (x + 1).(2x + 5) y = (x 2). 3 (x 2 4) 210. y = 1 / (x 3) 211. y = (x 2 + 1) / (x + 1) 212. y = 3 (x + 2) / x y = (x + 1)/(x + 3) 214. y = sin 3x 215. y = cos (x 2 + 4x) 216. y = tg 5x 217. y = sin 2 (x 3 + 3x 2 1) 218. y = cotg 2 (3x) 219. y = sin (1/x) 220. y = x. cos 2 x 221. y = (1 + x + sin x) 222. y = arcsin (x 2) 223. y = arccos x y = arctg 2 (5 x) 225. y = arcsin (x + 1) 226. y = arctg x 227. y = arccotg 1 / (x 4) 228. y = e 3x y = exp (5x 2 2x+1) exp z = e z 230. y = exp ( 1/x 2 ) 231. y = (e x 2) 232. y = 2 3x (6x + 1/x) 233. y = y = ln (4x) 235. y = ln (x 2 + 3x 4) 236. y = ln (x + (1+x 2 )) 237. y = ln (ln x) 238. y = (2x) 5x 239. y = (x 2 + 1) 3x 240. y = ln (sin 3x + 2) 241. y = e 3x. (x 2 + 1) y = e 2x. sin 5x 243. y = e x. sin (x 2 + 1) Vypočtěte druhé derivace následujících funkcí. Určete také, pro jaká x je druhá derivace definovaná y = sin (3x + 1) 245. y = cos 2 x 246. y = (1 + x 2 ) 247. y = tg x 248. y = x 2. e x 249. y = (1 + x) / (1 x) 250. y = 1 / (2x + 1) y = arcsin (x/2) 9

4 Najděte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f v bodě x 0, f(x 0 ). (Poznámka: Pro směrnice k t resp. k n tečny resp. normály ve společném bodě platí k n. k t = 1.) 252. f(x) = x 2, x 0 = f(x) = sin x, x 0 = 254. f(x) = 8 / (4 + x 2 ), x 0 = f(x) = (3x + 1) / (x + 2), x 0 = f(x) = 1 / (9 x 2 ), x 0 = f(x) = 2 x, x 0 = Najděte tečny ke grafu funkce f(x) = 4x x 2 v bodech jeho průsečíků s osou x a určete úhel, pod jakým se protínají Ve kterém bodě T paraboly y = x 2 2x + 5 je její tečna kolmá k ose prvního kvadrantu? Najděte rovnici tečny Určete koeficienty b, c v rovnici paraboly y = x 2 + bx + c tak, aby se dotýkala přímky o rovnici y = x v bodě x 0, y 0, x 0 = Pod jakým úhlem se protínají grafy funkcí y = sin x a y = cos x? II. 5. Užití derivace, průběh funkce Pro danou funkci najděte lokální extrémy a intervaly, v nichž je funkce ryze monotónní. Určete také, zda je rostoucí nebo klesající f(x) = x 3 6x f(x) = 2x 3 + 3x 2 36x f(x) = x / (x 2 + 1) 265. f(x) = x + x / (x 2 1) 266. f(x) = x. ln x 267. f(x) = x 2 / (x 2 + 1) 268. f(x) = x + e x 269. f(x) = x 2. e x 270. f(x) = e x / (x 2 1) 271. f(x) = x. (1 x) Najděte maximum a minimum funkce f na intervalu I a určete, ve kterých bodech funkce těchto hodnot nabývá f(x) = x 3 3x 2 9x + 35, I = 4, f(x) = (5 4x), I = 1, f(x) = x 2. ln x, I = 1, e 275. f(x) = x / x 16, I = 1, f(x) = x x 2, I = 1, f(x) = x 2. e x, I = 3, 1/ f(x) = x 3 / (x 2 + 1), I = 2, 3 Najděte lokální i absolutní extrémy následujících funkcí (pokud existují) na jejich definičních oborech y = x 2 / (x 2) 280. y = x 3 + x 4 / y = 2x / (x 2 + 1) 282. y = x 3. ln x 283. y = x 2 / 2 3x + 2. ln x 284. y = x. ln x y = 2x + e x 286. y = arctg x x / y = 3x. (1 x) 288. y = x 2. e x 289. y = (2x x 2 ) 290. y = x / 2 + arctg (1/x) 10

5 Určete, na jakých maximálních intervalech jsou následující funkce konvexní nebo konkávní, a najděte jejich inflexní body y = x 3 5x y = 3x 5 40x x y = x / (1 + x 2 ) 294. y = 2x 2 / (1 + x 2 ) 295. y = x 2. e x 296. y = x. ln x y = ln (1+ x 2 ) 298. y = x. (2 x) 299. y = arctg x x / y = e x x 2 Najděte asymptoty následujících funkcí (pokud existují) y = 1 / x y = 3x 1 / (x 2) 303. y = x / (x 2 + 5) 304. y = (x 3 + 2) / (x 2 + 1) 305. y = 2x 1 + e x 306. y = x 3 / (2 x 2 ) 307. y = (4x 2 + x + 3) 308. y = 2x ln (x) / x 309. y = x + ln (x) / (x 2) 310. y = 2x + arctg (x/2) 11

6 Výsledky: 84. omezená zdola, rostoucí 85. omezená shora, klesající 86. omezená, klesající 87. omezená, není monotónní 88. omezená zdola, rostoucí 89. omezená, klesající 90. omezená, rostoucí 91. omezená, není monotónní 92. omezená shora, klesající 93. neomezená, není monotónní 94. n n n n / / / / / neexistuje 117. neexistuje /3, + ) , 1) (1, 3) (3, + ) 120. (, 0) (4, + ) , 0, 122. ( 2, 2) (2, 3) (3, + ) 123. ( 3, ( 4, 0) (0, + ) /2, 3/ , 1/3) (1/3, (, 1 2, + ) 128. (0, /e, e Výsledky k příkladům č : Příklad max M f sup M f min M f inf M f 130. neexistuje neexistuje neexistuje + neexistuje neexistuje neexistuje neexistuje neexistuje neexistuje /2 1/2 neexistuje neexistuje + neexistuje ln ln e 3 e 3 neexistuje neexistuje 2 neexistuje /2 /2 neexistuje / neexistuje a) (, 0, f 1 (y) = (y + 1), D(f 1 ) = 1, + ) b) 0, + ), f 1 (y) = (y + 1), D(f 1 ) = 1, + ) 147. (, + ), f 1 (y) = 2 3 y, D(f 1 ) = (, + ) 148. a) (, 3), f 1 (y) = 1/y 3, D(f 1 ) = (, 0) b) ( 3, + ), f 1 (y) = 1/y 3, D(f 1 ) = (0, + ) 149. a) (, 1), f 1 (y) = 1 + 1/(2 y), D(f 1 ) = (2, + ) b) (1, + ), f 1 (y) = 1 + 1/(2 y), D(f 1 ) = (, 2) 150. (, + ), f 1 (y) = ln (y 2 3) / 2, D(f 1 ) = ( 3, + ) 151. (, 4), f 1 (y) = 4 e y, D(f 1 ) = (, + ) / / / / / / / / / / / / /

7 192. (, 0), (0, + ); c = 0, nelze dodefinovat 193. (, 0), (0, + ); c = 0, d = (, 0), (0, 2), (2, + ); c 1 = 0, nelze dodefinovat, c 2 = 2, d 2 = 1/ (, 1), ( 1, + ); c = 1, d = 1/ (0, 1), (1, + ); c = 1, nelze dodefinovat 197. (, 0), (0, + ); c = 0, nelze dodefinovat 198. (, 0), (0, + ); c = 0, d = (, ln 2), (ln 2, + ); c = ln 2, nelze dodefinovat x 3, x R x 4 8x 3 + 2x, x R (x 3 +2x 2 5x 10).(3x 2 +4x 5), x R (x 2 + 2x + 5).(2x + 2), x R / 2. (5x 3), x (3/5, + ) 205. x / (x 2 + 4), x R 206. (4x 1) / 2. (2x 2 x + 5), x R x / 3.(x 2 1) 2/3, x R 1, (2x + 5) 7.(18x + 21), x R (x 2 4) + (2x 4) / 3.(x 2 4) 2/3, x R 2, / 2.(x 3) 3/2, x (3, + ) 211. (x 1) / (x + 1) 2. (x 2 + 1), x R ( 5x 12) / 3x 3.(x+2) 2/3, x R 2, (x+3)/(x+1) / (x+3) 2, x (, 3) ( 1, + ) cos 3x, x R 215. (2x + 4).sin (x 2 + 4x), x R / cos 2 (5x), x ( /10 + k. /5, /10 + k. /5), k celé 217. (6x x). sin (x 3 + 3x 2 1). cos (x 3 + 3x 2 1), x R cotg 3x / sin 2 (3x), x (k. /3, (k+1). /3), k celé 219. cos (1/x) / x 2, x (, 0) (0, + ) 220. cos 2 x / (2. x) 2. x. cos x. sin x, x (0, + ) 221. (1 + cos x) / 2. (1 + x + sin x), x (x 0, + ), x 0 je řešení rovnice 1 + x + sin x = / (4x x 2 3), x (1, 3) x / (1 x 4 ), x ( 1, 1) arctg (5 x) / (x 2 10x + 26), x R / 2. ( x x 2 ), x ( 1, 0) / 2. x. (1 + x), x (0, + ) / 1 + (x 4) 2, x (, 4) (4, + ) e 3x+1, x R 229. (10x 2). exp (5x 2 2x + 1), x R exp ( 1/x 2 ) / x 3, x R / 2e x. (e x 2), x (, ln 2) x. ln 2, x R 233. (6 1/x 2 ). ln 5. 5 (6x + 1/x), x R / x, x (0, ) 235. (2x + 3) / (x 2 + 3x 4), x (, 4) (1, + ) / (1 + x 2 ), x R / (x. ln x), x (1, + ) 238. (2x) 5x. (5. ln 2x + 5), x (0, + ) 239. (x 2 + 1) 3x. 3. ln (x 2 + 1) + 6x 2 / (x 2 + 1), x R cos 3x / (sin 3x + 2), x R 241. e 3x. (x 2 + 1). (3x 2 + 4x + 3), x R 242. e 2x. (2. sin 5x + 5. cos 5x), x R 243. e x. 2x. cos (x 2 + 1) sin (x 2 + 1), x R sin (3x + 1), x R cos 2x, x R 246. (1 + x 2 ) 3/2, x R sin x / cos 3 x, x /2 + k, k celé 248. (x 2 4x + 2). e x, x R / (1 x) 3, x R / (2x + 1) 4, x R 1/ x / (4 x 2 ) 3/2, x ( 2, 2) 252. t: y = 4x 4, n: y = 9/2 x/ t: y = x, n: y = x 254. t: y = 2 x/2, n: y = 2x t: y = 1/2 + 5x/4, n: y = 1/2 4x/ t: y = 5.x / 8 1/8, n: y = 17/2 8.x / t: y = 1/4 + ln 2. (x + 2) / 4, n: y = 1/4 4. (x + 2) / ln t 1 : y = 4x, t 2 : y = 16 4x, = arccos (15/17) 259. T = 1/2, 17/4, t: y = 19/4 x 260. b = 3, c = = arccos (1/3) 262. rostoucí v (, 2 a 2, + ), klesající v 2, 2, lok. max. y = pro x = 2, lok. min. y = pro x = rostoucí v (, 3 a 2, + ), klesající v 3, 2, lok. max. y = 85 pro x = 3, lok. min. y = 40 pro x = rostoucí v 1, 1, klesající v (, 1 a 1, + ), lok. max. y = 1/2 pro x = 1, lok. min. y = 1/2 pro x = 1 13

8 265. rostoucí v (, 3 a 3, + ), klesající v 3, 1), ( 1, 1) a (1, 3, lok. max. y = 3. 3 / 2 pro x = 3, lok. min. y = 3. 3 / 2 pro x = rostoucí v 1/e, + ), klesající v (0, 1/e, lok. min. y = 1/e pro x = 1/e 267. rostoucí v 0, + ), klesající v (, 0, lok. min. y = 0 pro x = rostoucí v 0, + ), klesající v (, 0, lok. min. y = 1 pro x = rostoucí v (, 2 a 0, + ), klesající v 2, 0, lok. max. y = 4e 2 pro x = 2, lok. min. y = 0 pro x = rostoucí v (, 1), ( 1, 1 2 a 1+ 2, + ), klesající v 1 2, 1) a (1, 1+ 2, lok. max. y = exp(1 2) / (2 2 2) pro x = 1 2, lok. min. y = exp(1+ 2) / (2+2 2) pro x = rostoucí v (, 2/3, klesající v 2/3, 1, lok. max. y = 2. 3 / 9 pro x = 2/3, lok. min. y = 0 pro x = max f = f( 1) = 40, min f = f( 4) = max f = f( 1) = 3, min f = f(1) = max f = f(e) = e 2, min f = f(1) = max f = f(4) = 4, min f = f(2) = max f = f(1) = 4, min f = f(0) = max f = f( 2) = 1/e, min f = f(0) = max f = f(3) = 27/10, min f = f( 2) = 8/ lok. max. y = 0 pro x = 0, lok. min. y = 8 pro x = abs. min. y = 27/4 pro x = abs. max. y = 1 pro x = 1, abs. min. y = 1 pro x = abs. min. y = 3 3. ln 3 pro x = lok. max. y = 5/2 pro x = 1, lok. min. y = 2. ln 2 4 pro x = abs. min. y = 2 1/e pro x = 1/e 285. abs. min. y = 2 2. ln 2 pro x = ln lok. max. y = /4 1/2 pro x = 1, lok. min. y = 1/2 /4 pro x = abs. max. y = 2. 3 / 3 pro x = 2/3, lok. min. y = 0 pro x = lok. max. y = 4.e 2 pro x = 2, abs. min. y = 0 pro x = abs. max. y = 1 pro x = 1, abs. min. y = 0 pro x = 0, x = lok. max. y = /4 1/2 pro x = 1, lok. min. y = /4 + 1/2 pro x = konvexní na 0, + ), konkávní na (, 0, inflexní bod konvexní na 2, 0 a 2, + ), konkávní na (, 2 a 0, 2, inflexní body 2, 0, konvexní na 3, 0 a 3, + ), konkávní na (, 3 a 0, 3, inflexní body 3, 0, konvexní na 3/3, 3/3, konkávní na (, 3/3 a 3/3, + ), inflexní body 3/3, 3/ konvexní na (, 2 2 a 2+ 2, + ), konkávní na 2 2, 2+ 2, inflexní body konvexní na (0, + ), nemá inflexní body 297. konvexní na 1, 1, konkávní na (, 1 a 1, + ), inflexní body 1, konkávní na (, 2, nemá inflexní body 299. konvexní na (, 0, konkávní na 0, + ), inflexní bod konvexní na ln 2, + ), konkávní na (, ln 2, inflexní bod x = ln svislá asymptota x = 0, šikmé asymptoty y = 3 pro x 302. svislá asymptota x = 2, šikmé asymptoty y = 3x pro x 303. šikmé asymptoty y = 0 pro x 304. šikmé asymptoty y = x pro x 305. šikmé asymptoty y = 2x 1 pro x svislé asymptoty x = 2, x = 2, šikmé asymptoty y = x pro x 307. šikmé asymptoty y = 2x 1/4 pro x, y = 2x + 1/4 pro x svislá asymptota x = 0, šikmá asymptota y = 2x + 3 pro x svislé asymptoty x = 0, x = 2, šikmá asymptota y = x pro x šikmé asymptoty y = 2x /2 pro x, y = 2x + /2 pro x + 14

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, ) Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body:

Výsledky Př.1. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) ( ) ( ) ( ) Stacionární body: Výsledky Př.. Určete intervaly monotónnosti a lokální extrémy funkce a) y < y > y < y > -2 0 3 Funkce je rostoucí v intervalech. Funkce je klesající v intervalech b) y < y > y < - Funkce je rostoucí v

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

Matematika B 2. Úvodní informace

Matematika B 2. Úvodní informace Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ÚVODU DO MATEMATICKÉ ANLÝZY FUNKCE 999/000 CIFRIK Funkce F a) Zadání: Vyšetřete bez užití limit a derivací funkci : y = { x } f Definice:

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce 4 Cyklometrické funkce V minulé kapitole jsme zkoumali první funkci inverzní ke funkci goniometrické (tyto funkce se nazývají cyklometrické) funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ) Př: Nakresli

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Matematika 1. Matematika 1

Matematika 1. Matematika 1 5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Příklady z matematiky(pro ITS)

Příklady z matematiky(pro ITS) Příklady z matematikypro ITS) František Mošna Definiční obor: Zjistěte maimální definiční obor funkce:. f)=ln 2 8 9 ) + +2 Df= 2, ) 9, ).2 f)=ln 2 4 5 ) 36 2 Df= 6, ) 5,6.3 f)=ln 2 7 8 ) 00 2 Df= 0, 9)

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace 22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech

Více

27. června Abstrakt. druhá odmocnina a pod. jsou vynechány. Také je vynechán např. tangensu.) 1 x ln x. e x sin x. arcsin x. cos x.

27. června Abstrakt. druhá odmocnina a pod. jsou vynechány. Také je vynechán např. tangensu.) 1 x ln x. e x sin x. arcsin x. cos x. Základní elementární funkce Robert Mařík 7. června 00 ln e sin arcsin cos arccos tg arctg Abstrakt V tomto dokumentu jsou uvedeny základní vlastnosti nejdůležitějších základních elementárních funkcí. (Triviální

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim 3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ

PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Dierenciální počet unkcí jedné reálné proměnné - 5 - PRŮBĚH FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ Cílem vyšetřování průběhu unkce je umět nakreslit její gra Obvykle postupujeme tak že nalezneme její maimální deiniční

Více

, f g jsou elementární funkce.

, f g jsou elementární funkce. Průběh funkce použité definice a věty Definice. Řekneme, že funkce je spojitá na otevřeném intervalu (a, b), jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě tohoto intervalu. Řekneme, že funkce je spojitá na

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,

Více

4.2. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE

4.2. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE 4.. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE V této kapitole se dozvíte: jak jsou definovány cyklometrické funkce a jaký je jejich vztah k funkcím goniometrickým; základní vlastnosti cyklometrických funkcí; nejdůležitější

Více

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0. Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke

Více

Základy matematické analýzy (BI-ZMA)

Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Příklady ke cvičení z předmětu Základy matematické analýzy (BI-ZMA) Matěj Tušek Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze BI-ZMA ZS 009/00 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do

Více

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení

Více

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Význam a výpočet derivace funkce a její užití OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat

Více

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital

Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí

Více

Příklady ke cvičením z matematické analýzy- ZS 2008/2009- Série I.

Příklady ke cvičením z matematické analýzy- ZS 2008/2009- Série I. Příklady ke cvičením z matematické analýzy- ZS 008/009- Série I. Jako slunce zastiňuje hvězdy svým jasem, tak i vzdělaný člověk může zastínit slávu druhých lidí ze společnosti, bude-li předkládat matematické

Více

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost .7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,

Více

Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné

Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta Katedra Bakalářská práce Aplikační úlohy z diferenciálního počtu jedné proměnné Vypracoval: Michaela Jelínková Vedoucí práce: RNDr. Vladimíra Petrášková,

Více

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 Smysl solidního zvládnutí matematiky v bakalářských oborech na Fakultě podnikatelské VUT v Brně je především v aplikační síle matematiky v odborných předmětech a

Více

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.

Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Lineární funkce Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Číslo b je hodnota funkce f v bodě 0. Definičním oborem lineární funkce je množina

Více

VII. Limita a spojitost funkce

VII. Limita a spojitost funkce VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná

Více

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí. Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH... 83. 7.1. Definiční oblasti... 83 Úlohy k samostatnému řešení... 83

7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH... 83. 7.1. Definiční oblasti... 83 Úlohy k samostatnému řešení... 83 Sbírka úloh z matematik 7 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH 8 7 Definiční oblasti 8 Úloh k samostatnému řešení 8 7 Parciální derivace 8 Úloh k samostatnému řešení 8 7 Tečná rovina a normála 8

Více

Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}.

Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}. E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (206 II. Diferenciální počet funkcí více proměnných II.. Definiční obor funkce z = f(, Určete definiční obor funkcí a zakreslete jej

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

Matematika I: Pracovní listy do cvičení

Matematika I: Pracovní listy do cvičení Matematika I: Pracovní listy do cvičení Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212

Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 Matematika I Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 1. Množiny a zobrazení Funkce jedné proměnné Matematika I 2 / 212 Množiny Definice 1.1.1: Množinou rozumíme soubor prvků se

Více

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel, Funkce ) Napište funkční předpisy a najděte definiční obory funkcí f pro které platí: f ( ) je povrch krychle o straně b) f ( ) je objem kvádru s čtvercovou podstavou o straně a povrchem rovným c) f (

Více

MATEMATIKA A Metodický list č. 1

MATEMATIKA A Metodický list č. 1 Metodický list č. 1 Název tématického celku: Lineární algebra I Základním cílem tohoto tématického celku je objasnit některé pojmy lineární algebry a poukázat na jejich vzájemnou souvislost. Posluchači

Více

= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,

= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3, V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.

Více

3.3. Derivace základních elementárních a elementárních funkcí

3.3. Derivace základních elementárních a elementárních funkcí Přdpokládané znalosti V násldujících úvahách budm užívat vztahy známé z střdní školy a vztahy uvdné v přdcházjících kapitolách tohoto ttu Něktré z nich připomnm Eponnciální funkc Výklad Pro odvozní vzorců

Více

Mocninná funkce: Příklad 1

Mocninná funkce: Příklad 1 Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

Matematika I Reálná funkce jedné promìnné

Matematika I Reálná funkce jedné promìnné Matematika I Reálná funkce jedné promìnné RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Reálná funkce Def. Zobrazení f nazveme

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

Vysoká škola polytechnická Jihlava. Obor Finance a řízení. Matematika 1,2 - Miloš Kraus

Vysoká škola polytechnická Jihlava. Obor Finance a řízení. Matematika 1,2 - Miloš Kraus Vysoká škola polytechnická Jihlava Obor Finance a řízení Matematika, - cvičení Miloš Kraus. vydání září 005 Obsah Matematická logika 5 Funkce a jejich vlastnosti 8 3 Inverzní a cyklometrické funkce 5

Více

13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET

13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET . DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Dovednosti: Chápat pojem limita funkce v bodě a ovládat výpočet jednoduchých limit.. Na základě daného grafu funkce umět odhadnout limity v nevlastních bodech a nevlastní

Více

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více