Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer"

Transkript

1 Přednáška MATEMATIKA č Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

2 Motivační příklady Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad 1 Směrnice k t tečny ke grafu funkce f : y = f (x) v bodě A = [a, f (a)] y t s 2 s 1 f(x) B s f(a) A 0 a x x k t = lim x a k s k t = lim x a f (x) f (a) x a = tg ϕ

3 Motivační příklady Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad 1 Směrnice k t tečny ke grafu funkce f : y = f (x) v bodě A = [a, f (a)] y t s 2 s 1 f(x) B s f(a) A 0 a x x k t = lim x a k s k t = lim x a f (x) f (a) x a = tg ϕ

4 Motivační příklady Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad 1 Směrnice k t tečny ke grafu funkce f : y = f (x) v bodě A = [a, f (a)] y t s 2 s 1 y t f(x) f(a) A B s f(x) f(a) A ϕ α x a B s f(x) f(a) 0 a x x k t = lim x a k s 0 a x x k s = tg α = f (x) f (a) x a k t = lim x a f (x) f (a) x a = tg ϕ

5 Motivační příklady Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad 1 Směrnice k t tečny ke grafu funkce f : y = f (x) v bodě A = [a, f (a)] y t s 2 s 1 y t f(x) f(a) A B s f(x) f(a) A ϕ α x a B s f(x) f(a) 0 a x x k t = lim x a k s 0 a x x k s = tg α = f (x) f (a) x a k t = lim x a f (x) f (a) x a = tg ϕ

6 Motivační příklady Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad 1 Směrnice k t tečny ke grafu funkce f : y = f (x) v bodě A = [a, f (a)] y t s 2 s 1 y t f(x) f(a) A B s f(x) f(a) A ϕ α x a B s f(x) f(a) 0 a x x k t = lim x a k s 0 a x x k s = tg α = f (x) f (a) x a k t = lim x a f (x) f (a) x a = tg ϕ

7 Motivační příklady Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad 2 Průměrná rychlost bodu M pohybujícího se po dráze s = f (t) za časový úsek t t 0 je rovna s s 0 = f (t) f (t 0) = f (t 0). t t 0 t t 0 t Okamžitá rychlost v 0 bodu M pohybujícího se po dráze s = f (t) v okamžiku t 0 je rovna v 0 = lim t t0 f (t) f (t 0 ) t t 0.

8 Motivační příklady Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad 2 Průměrná rychlost bodu M pohybujícího se po dráze s = f (t) za časový úsek t t 0 je rovna s s 0 = f (t) f (t 0) = f (t 0). t t 0 t t 0 t Okamžitá rychlost v 0 bodu M pohybujícího se po dráze s = f (t) v okamžiku t 0 je rovna v 0 = lim t t0 f (t) f (t 0 ) t t 0.

9 v bodě Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Definice Nechť funkce f : y = f (x) je definovaná v okolí U(a, δ) bodu a. Existuje-li vlastní limita f (x) f (a) lim, (1) x a x a nazýváme ji (první) derivací funkce f v bodě a a značíme f (a). Jestliže uvedená limita neexistuje, řekneme, že funkce f v bodě a derivaci nemá. Poznámky 1 Má-li funkce f v bodě a derivaci, pak je v tomto bodě a v jistém jeho okolí definovaná. 2 Derivaci funkce f definujeme pouze ve vlastních bodech. Derivace funkce f v nevlastním bodě není definována.

10 v bodě Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Definice Nechť funkce f : y = f (x) je definovaná v okolí U(a, δ) bodu a. Existuje-li vlastní limita f (x) f (a) lim, (1) x a x a nazýváme ji (první) derivací funkce f v bodě a a značíme f (a). Jestliže uvedená limita neexistuje, řekneme, že funkce f v bodě a derivaci nemá. Poznámky 1 Má-li funkce f v bodě a derivaci, pak je v tomto bodě a v jistém jeho okolí definovaná. 2 Derivaci funkce f definujeme pouze ve vlastních bodech. Derivace funkce f v nevlastním bodě není definována.

11 v bodě Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Definice Nechť funkce f : y = f (x) je definovaná v okolí U(a, δ) bodu a. Existuje-li vlastní limita f (x) f (a) lim, (1) x a x a nazýváme ji (první) derivací funkce f v bodě a a značíme f (a). Jestliže uvedená limita neexistuje, řekneme, že funkce f v bodě a derivaci nemá. Poznámky 1 Má-li funkce f v bodě a derivaci, pak je v tomto bodě a v jistém jeho okolí definovaná. 2 Derivaci funkce f definujeme pouze ve vlastních bodech. Derivace funkce f v nevlastním bodě není definována.

12 v bodě Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Poznámky 1 Pokud je limita v definici derivace nevlastní, hovoříme o tzv. nevlastní derivaci a derivaci z definice pak dáváme přívlastek vlastní. 2 Přírůstek argumentu x značíme také symbolem h, a tedy x a = h. Odtud je x = a + h a platí, že x a, právě když h 0. Pak platí f f (a + h) f (a) (a) = lim. (2) h 0 h 3 Ve fyzikálních úlohách se derivace podle času t značí tečkou, tj. v 0 = ḟ (t 0).

13 v bodě Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Poznámky 1 Pokud je limita v definici derivace nevlastní, hovoříme o tzv. nevlastní derivaci a derivaci z definice pak dáváme přívlastek vlastní. 2 Přírůstek argumentu x značíme také symbolem h, a tedy x a = h. Odtud je x = a + h a platí, že x a, právě když h 0. Pak platí f f (a + h) f (a) (a) = lim. (2) h 0 h 3 Ve fyzikálních úlohách se derivace podle času t značí tečkou, tj. v 0 = ḟ (t 0).

14 v bodě Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Poznámky 1 Pokud je limita v definici derivace nevlastní, hovoříme o tzv. nevlastní derivaci a derivaci z definice pak dáváme přívlastek vlastní. 2 Přírůstek argumentu x značíme také symbolem h, a tedy x a = h. Odtud je x = a + h a platí, že x a, právě když h 0. Pak platí f f (a + h) f (a) (a) = lim. (2) h 0 h 3 Ve fyzikálních úlohách se derivace podle času t značí tečkou, tj. v 0 = ḟ (t 0).

15 na intervalu Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Definice Nechť D 1 D(f ) je množina všech bodů, v nichž má funkce f : y = f (x) derivaci. Pak zobrazení, které ke každému bodu a D 1 přiřazuje číslo f (a), je funkcí s definičním oborem D 1. Tato funkce se nazývá (první) derivací funkce f a značí se f. Poznámka f (a) je reálné číslo f (x) pro x D 1 je funkcí na D 1

16 na intervalu Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Definice Nechť D 1 D(f ) je množina všech bodů, v nichž má funkce f : y = f (x) derivaci. Pak zobrazení, které ke každému bodu a D 1 přiřazuje číslo f (a), je funkcí s definičním oborem D 1. Tato funkce se nazývá (první) derivací funkce f a značí se f. Poznámka f (a) je reálné číslo f (x) pro x D 1 je funkcí na D 1

17 na intervalu Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad x R (c) = 0, kde c je reálná konstanta: Užitím vztahu (1) dostaneme (c) c c = lim x a x a = lim 0 x a x a = lim 0 = 0. x a

18 na intervalu Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad x R (c) = 0, kde c je reálná konstanta: Užitím vztahu (1) dostaneme (c) c c = lim x a x a = lim 0 x a x a = lim 0 = 0. x a

19 na intervalu Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad x R (x 2 ) = 2x : Užitím vztahu (1) dostaneme f f (x) f (a) x 2 a 2 (a) = lim = lim x a x a x a x a = (x a)(x + a) = lim = lim (x + a) = 2a. x a x a x a

20 na intervalu Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad x R (x 2 ) = 2x : Užitím vztahu (1) dostaneme f f (x) f (a) x 2 a 2 (a) = lim = lim x a x a x a x a = (x a)(x + a) = lim = lim (x + a) = 2a. x a x a x a

21 na intervalu Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad x R (x 3 ) = 3x 2 : Užitím vztahu (2) dostaneme f (a + h) 3 a 3 a 3 + 3a 2 h + 3ah 2 + h 3 a 3 (a) = lim = lim = h 0 h h 0 h = lim h 0 (3a 2 + 3ah + h 2 ) = 3a 2.

22 na intervalu Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad x R (x 3 ) = 3x 2 : Užitím vztahu (2) dostaneme f (a + h) 3 a 3 a 3 + 3a 2 h + 3ah 2 + h 3 a 3 (a) = lim = lim = h 0 h h 0 h = lim h 0 (3a 2 + 3ah + h 2 ) = 3a 2.

23 na intervalu Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad x R (sin x) = cos x : Užitím vztahu (1) dostaneme f sin x sin a (a) = lim = lim x a x a x a sin x a 2 cos x+a 2 x a 2 = sin x a 2 x a x a 2 = lim lim cos x + a = 1 cos a = cos a. x a 2

24 na intervalu Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad x R (sin x) = cos x : Užitím vztahu (1) dostaneme f sin x sin a (a) = lim = lim x a x a x a sin x a 2 cos x+a 2 x a 2 = sin x a 2 x a x a 2 = lim lim cos x + a = 1 cos a = cos a. x a 2

25 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Rovnice tečny a normály ke grafu funkce f v bodě A = [a, f(a)] f : y = f (x), A = [a, f (a)] tečna t ke grafu funkce f v bodě A má směrnici k t = f (a) normála n ke grafu funkce f v bodě A má pro f (a) 0 směrnici k n a platí k t k n = 1 k n = 1 f (a) f (a) 0 tečna : y f (a) = f (a)(x a) normála: y f (a) = 1 f (a)(x a) f (a) = 0 tečna : y = f (a) normála: x = a

26 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Rovnice tečny a normály ke grafu funkce f v bodě A = [a, f(a)] f : y = f (x), A = [a, f (a)] tečna t ke grafu funkce f v bodě A má směrnici k t = f (a) normála n ke grafu funkce f v bodě A má pro f (a) 0 směrnici k n a platí k t k n = 1 k n = 1 f (a) f (a) 0 tečna : y f (a) = f (a)(x a) normála: y f (a) = 1 f (a)(x a) f (a) = 0 tečna : y = f (a) normála: x = a

27 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Rovnice tečny a normály ke grafu funkce f v bodě A = [a, f(a)] f : y = f (x), A = [a, f (a)] tečna t ke grafu funkce f v bodě A má směrnici k t = f (a) normála n ke grafu funkce f v bodě A má pro f (a) 0 směrnici k n a platí k t k n = 1 k n = 1 f (a) f (a) 0 tečna : y f (a) = f (a)(x a) normála: y f (a) = 1 f (a)(x a) f (a) = 0 tečna : y = f (a) normála: x = a

28 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Grafické znázornění tečny a normály ke grafu funkce f v bodě A y f t f(a) A n 0 a x f (a) 0

29 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Grafické znázornění tečny a normály ke grafu funkce f v bodě A y f t y n f f(a) A n 0 a x f(a) t A 0 a x f (a) 0 f (a) = 0

30 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Příklad Rovnice tečny t a normály n ke grafu funkce f : y = x 2 v bodě a = 1: a = 1 f (a) = 1 A = [1, 1] f (x) = 2x f (1) = 2 rovnice tečny t v bodě A: y 1 = 2(x 1) rovnice normály n v bodě A: y 1 = 1 2 (x 1)

31 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Příklad Rovnice tečny t a normály n ke grafu funkce f : y = x 2 v bodě a = 1: a = 1 f (a) = 1 A = [1, 1] f (x) = 2x f (1) = 2 rovnice tečny t v bodě A: y 1 = 2(x 1) rovnice normály n v bodě A: y 1 = 1 2 (x 1)

32 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Příklad Rovnice tečny t a normály n ke grafu funkce f : y = x 2 v bodě a = 1: a = 1 f (a) = 1 A = [1, 1] f (x) = 2x f (1) = 2 rovnice tečny t v bodě A: y 1 = 2(x 1) rovnice normály n v bodě A: y 1 = 1 2 (x 1)

33 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Příklad Rovnice tečny t a normály n ke grafu funkce f : y = x 2 v bodě a = 1: a = 1 f (a) = 1 A = [1, 1] f (x) = 2x f (1) = 2 rovnice tečny t v bodě A: y 1 = 2(x 1) rovnice normály n v bodě A: y 1 = 1 2 (x 1)

34 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Příklad Rovnice tečny t a normály n ke grafu funkce f : y = x 3 3x 2 + 3x v bodě a = 1: a = 1 f (a) = 1 A = [1, 1] f (x) = 3x 2 6x + 3 f (1) = 0 rovnice tečny t v bodě A: y = 1 rovnice normály n v bodě A: x = 1

35 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Příklad Rovnice tečny t a normály n ke grafu funkce f : y = x 3 3x 2 + 3x v bodě a = 1: a = 1 f (a) = 1 A = [1, 1] f (x) = 3x 2 6x + 3 f (1) = 0 rovnice tečny t v bodě A: y = 1 rovnice normály n v bodě A: x = 1

36 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Příklad Rovnice tečny t a normály n ke grafu funkce f : y = x 3 3x 2 + 3x v bodě a = 1: a = 1 f (a) = 1 A = [1, 1] f (x) = 3x 2 6x + 3 f (1) = 0 rovnice tečny t v bodě A: y = 1 rovnice normály n v bodě A: x = 1

37 Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Příklad Rovnice tečny t a normály n ke grafu funkce f : y = x 3 3x 2 + 3x v bodě a = 1: a = 1 f (a) = 1 A = [1, 1] f (x) = 3x 2 6x + 3 f (1) = 0 rovnice tečny t v bodě A: y = 1 rovnice normály n v bodě A: x = 1

38 Jednostranné derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Definice Derivaci zprava funkce f v bodě a značíme f +(a) a definujeme vztahem f +(a) f (x) f (a) = lim, x a + x a derivaci zleva funkce f v bodě a značíme f (a) a definujeme vztahem f (a) f (x) f (a) = lim. x a x a Věta Derivace f (a) existuje, právě když existují derivace f +(a) a f (a) a platí f +(a) = f (a) = f (a).

39 Jednostranné derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Definice Derivaci zprava funkce f v bodě a značíme f +(a) a definujeme vztahem f +(a) f (x) f (a) = lim, x a + x a derivaci zleva funkce f v bodě a značíme f (a) a definujeme vztahem f (a) f (x) f (a) = lim. x a x a Věta Derivace f (a) existuje, právě když existují derivace f +(a) a f (a) a platí f +(a) = f (a) = f (a).

40 Jednostranné derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad f : { y = x pro x 0 y = 3x pro x > 0 y 0 x f +(0) f (x) f (0) 3x 0 = lim = lim = lim x 0 + x 0 x 0 + x 3 = 3 x 0 + f (0) f (x) f (0) x 0 = lim = lim = lim 1 = 1 x 0 x 0 x 0 x x 0 f (0) neexistuje

41 Jednostranné derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad f : { y = x pro x 0 y = 3x pro x > 0 y 0 x f +(0) f (x) f (0) 3x 0 = lim = lim = lim x 0 + x 0 x 0 + x 3 = 3 x 0 + f (0) f (x) f (0) x 0 = lim = lim = lim 1 = 1 x 0 x 0 x 0 x x 0 f (0) neexistuje

42 Jednostranné derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad f : { y = x pro x 0 y = 3x pro x > 0 y 0 x f +(0) f (x) f (0) 3x 0 = lim = lim = lim x 0 + x 0 x 0 + x 3 = 3 x 0 + f (0) f (x) f (0) x 0 = lim = lim = lim 1 = 1 x 0 x 0 x 0 x x 0 f (0) neexistuje

43 Jednostranné derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Příklad f : { y = x pro x 0 y = 3x pro x > 0 y 0 x f +(0) f (x) f (0) 3x 0 = lim = lim = lim x 0 + x 0 x 0 + x 3 = 3 x 0 + f (0) f (x) f (0) x 0 = lim = lim = lim 1 = 1 x 0 x 0 x 0 x x 0 f (0) neexistuje

44 Vztah spojitosti a derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Věta Má-li funkce f : y = f (x) v bodě a derivaci, pak je v něm spojitá. Poznámka Obrácená věta neplatí. y f : y = x : { y = x pro x 0 y = x pro x < 0 0 x f je v bodě x = 0 spojitá, ale nemá zde derivaci (tečnu):

45 Vztah spojitosti a derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Věta Má-li funkce f : y = f (x) v bodě a derivaci, pak je v něm spojitá. Poznámka Obrácená věta neplatí. y f : y = x : { y = x pro x 0 y = x pro x < 0 0 x f je v bodě x = 0 spojitá, ale nemá zde derivaci (tečnu):

46 Vztah spojitosti a derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Věta Má-li funkce f : y = f (x) v bodě a derivaci, pak je v něm spojitá. Poznámka Obrácená věta neplatí. y f : y = x : { y = x pro x 0 y = x pro x < 0 0 x f je v bodě x = 0 spojitá, ale nemá zde derivaci (tečnu):

47 Vztah spojitosti a derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Výpočet pomocí definice f +(0) x 0 = lim x 0 + x 0 = lim x x 0 + x = lim x x 0 + x = lim 1 = 1 x 0 + f (0) x 0 = lim x 0 x 0 = lim x x 0 x = lim x x 0 x f (0) neexistuje = lim x 0 ( 1) = 1

48 Vztah spojitosti a derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Výpočet pomocí definice f +(0) x 0 = lim x 0 + x 0 = lim x x 0 + x = lim x x 0 + x = lim 1 = 1 x 0 + f (0) x 0 = lim x 0 x 0 = lim x x 0 x = lim x x 0 x f (0) neexistuje = lim x 0 ( 1) = 1

49 Vztah spojitosti a derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Výpočet pomocí definice f +(0) x 0 = lim x 0 + x 0 = lim x x 0 + x = lim x x 0 + x = lim 1 = 1 x 0 + f (0) x 0 = lim x 0 x 0 = lim x x 0 x = lim x x 0 x f (0) neexistuje = lim x 0 ( 1) = 1

50 Vyšší derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Definice Nechť funkce f : y = f (x) je definovaná na množině D. Nechť D 1 je množina všech x D, pro něž má f derivaci f. Na D 1 je tedy definována funkce f (1) = f. Nechť D 2 je množina všech x D 1, pro něž existuje derivace funkce f (1). Pak je na D 2 D 1 definována funkce f (2) = (f (1) ), kterou nazýváme druhou derivací funkce f a značíme f. Je-li D n D n 1 množina všech bodů, v nichž existuje derivace funkce f (n 1), pak je na D n definována funkce f (n) = (f (n 1) ), kterou nazýváme n-tou derivací funkce f.

51 Vyšší derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Definice Nechť funkce f : y = f (x) je definovaná na množině D. Nechť D 1 je množina všech x D, pro něž má f derivaci f. Na D 1 je tedy definována funkce f (1) = f. Nechť D 2 je množina všech x D 1, pro něž existuje derivace funkce f (1). Pak je na D 2 D 1 definována funkce f (2) = (f (1) ), kterou nazýváme druhou derivací funkce f a značíme f. Je-li D n D n 1 množina všech bodů, v nichž existuje derivace funkce f (n 1), pak je na D n definována funkce f (n) = (f (n 1) ), kterou nazýváme n-tou derivací funkce f.

52 Vyšší derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Definice Nechť funkce f : y = f (x) je definovaná na množině D. Nechť D 1 je množina všech x D, pro něž má f derivaci f. Na D 1 je tedy definována funkce f (1) = f. Nechť D 2 je množina všech x D 1, pro něž existuje derivace funkce f (1). Pak je na D 2 D 1 definována funkce f (2) = (f (1) ), kterou nazýváme druhou derivací funkce f a značíme f. Je-li D n D n 1 množina všech bodů, v nichž existuje derivace funkce f (n 1), pak je na D n definována funkce f (n) = (f (n 1) ), kterou nazýváme n-tou derivací funkce f.

53 Vyšší derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Poznámky 1 Kromě n-tá derivace používáme také termínu derivace n-tého řádu. 2 Třetí derivaci funkce f obvykle značíme f místo f (3), u vyšších derivací už čárky k označení řádu derivace nepoužíváme, ale píšeme f (4), f (5) atd. 3 V důsledku vztahu (1) platí vztahy f f (x) f (a) (a) = lim, x a x a f (n) f (n 1) (x) f (n 1) (a) (a) = lim. x a x a

54 Vyšší derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Poznámky 1 Kromě n-tá derivace používáme také termínu derivace n-tého řádu. 2 Třetí derivaci funkce f obvykle značíme f místo f (3), u vyšších derivací už čárky k označení řádu derivace nepoužíváme, ale píšeme f (4), f (5) atd. 3 V důsledku vztahu (1) platí vztahy f f (x) f (a) (a) = lim, x a x a f (n) f (n 1) (x) f (n 1) (a) (a) = lim. x a x a

55 Vyšší derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Poznámky 1 Kromě n-tá derivace používáme také termínu derivace n-tého řádu. 2 Třetí derivaci funkce f obvykle značíme f místo f (3), u vyšších derivací už čárky k označení řádu derivace nepoužíváme, ale píšeme f (4), f (5) atd. 3 V důsledku vztahu (1) platí vztahy f f (x) f (a) (a) = lim, x a x a f (n) f (n 1) (x) f (n 1) (a) (a) = lim. x a x a

56 Vyšší derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Poznámky 1 Kromě n-tá derivace používáme také termínu derivace n-tého řádu. 2 Třetí derivaci funkce f obvykle značíme f místo f (3), u vyšších derivací už čárky k označení řádu derivace nepoužíváme, ale píšeme f (4), f (5) atd. 3 V důsledku vztahu (1) platí vztahy f f (x) f (a) (a) = lim, x a x a f (n) f (n 1) (x) f (n 1) (a) (a) = lim. x a x a

57 Vyšší derivace Motivační příklady Definice derivace funkce v bodě a na intervalu Rovnice tečny a normály ke grafu funkce Jednostranné a vyšší derivace Poznámky 1 Kromě n-tá derivace používáme také termínu derivace n-tého řádu. 2 Třetí derivaci funkce f obvykle značíme f místo f (3), u vyšších derivací už čárky k označení řádu derivace nepoužíváme, ale píšeme f (4), f (5) atd. 3 V důsledku vztahu (1) platí vztahy f f (x) f (a) (a) = lim, x a x a f (n) f (n 1) (x) f (n 1) (a) (a) = lim. x a x a

58 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Vzorce pro derivování početních operací s funkcemi Mají-li funkce u a v derivace na množině M, pak také funkce u ± v, u v pro v(x) 0 mají na množině M derivace a platí a u v (u + v) (x) = u (x) + v (x), (u v) (x) = u (x) v (x), (u v) (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x), ( u v ) (x) = u (x) v(x) u(x) v (x) [v(x)] 2.

59 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Vzorce pro derivování početních operací s funkcemi Mají-li funkce u a v derivace na množině M, pak také funkce u ± v, u v pro v(x) 0 mají na množině M derivace a platí a u v (u + v) (x) = u (x) + v (x), (u v) (x) = u (x) v (x), (u v) (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x), ( u v ) (x) = u (x) v(x) u(x) v (x) [v(x)] 2.

60 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Vzorce pro derivování početních operací s funkcemi Mají-li funkce u a v derivace na množině M, pak také funkce u ± v, u v pro v(x) 0 mají na množině M derivace a platí a u v (u + v) (x) = u (x) + v (x), (u v) (x) = u (x) v (x), (u v) (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x), ( u v ) (x) = u (x) v(x) u(x) v (x) [v(x)] 2.

61 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Vzorce pro derivování početních operací s funkcemi Mají-li funkce u a v derivace na množině M, pak také funkce u ± v, u v pro v(x) 0 mají na množině M derivace a platí a u v (u + v) (x) = u (x) + v (x), (u v) (x) = u (x) v (x), (u v) (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x), ( u v ) (x) = u (x) v(x) u(x) v (x) [v(x)] 2.

62 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Vzorce pro derivování početních operací s funkcemi Mají-li funkce u a v derivace na množině M, pak také funkce u ± v, u v pro v(x) 0 mají na množině M derivace a platí a u v (u + v) (x) = u (x) + v (x), (u v) (x) = u (x) v (x), (u v) (x) = u (x) v(x) + u(x) v (x), ( u v ) (x) = u (x) v(x) u(x) v (x) [v(x)] 2.

63 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Poznámka (c v) (x) = (c) v(x) + c v (x) = c v (x) Poznámka Matematickou indukcí lze dokázat: (c 1 f 1 + c 2 f c n f n ) (x) = c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) c n f n(x) (f 1 f 2...f n ) (x) = f 1 (x) f 2(x)...f n (x) + f 1 (x) f 2 (x)f 3(x)...f n (x) f 1 (x) f 2 (x)...f n 1 (x) f n(x)

64 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Poznámka (c v) (x) = (c) v(x) + c v (x) = c v (x) Poznámka Matematickou indukcí lze dokázat: (c 1 f 1 + c 2 f c n f n ) (x) = c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) c n f n(x) (f 1 f 2...f n ) (x) = f 1 (x) f 2(x)...f n (x) + f 1 (x) f 2 (x)f 3(x)...f n (x) f 1 (x) f 2 (x)...f n 1 (x) f n(x)

65 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Poznámka (c v) (x) = (c) v(x) + c v (x) = c v (x) Poznámka Matematickou indukcí lze dokázat: (c 1 f 1 + c 2 f c n f n ) (x) = c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) c n f n(x) (f 1 f 2...f n ) (x) = f 1 (x) f 2(x)...f n (x) + f 1 (x) f 2 (x)f 3(x)...f n (x) f 1 (x) f 2 (x)...f n 1 (x) f n(x)

66 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady Pro každé x R: (2 + x 2 ) = (2) + (x 2 ) = 0 + 2x = 2x (6x 3 ) = (6) x (x 3 ) = 0 x x 2 = 18x 2 (x 2 sin x) = (x 2 ) sin x + x 2 (sin x) = 2x sin x + x 2 cos x Pro sin x 0: ( ) x 2 = (x 2 ) sin x x 2 (sin x) sin x sin 2 x = 2x sin x x 2 cos x sin 2 x

67 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady Pro každé x R: (2 + x 2 ) = (2) + (x 2 ) = 0 + 2x = 2x (6x 3 ) = (6) x (x 3 ) = 0 x x 2 = 18x 2 (x 2 sin x) = (x 2 ) sin x + x 2 (sin x) = 2x sin x + x 2 cos x Pro sin x 0: ( ) x 2 = (x 2 ) sin x x 2 (sin x) sin x sin 2 x = 2x sin x x 2 cos x sin 2 x

68 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady Pro každé x R: (2 + x 2 ) = (2) + (x 2 ) = 0 + 2x = 2x (6x 3 ) = (6) x (x 3 ) = 0 x x 2 = 18x 2 (x 2 sin x) = (x 2 ) sin x + x 2 (sin x) = 2x sin x + x 2 cos x Pro sin x 0: ( ) x 2 = (x 2 ) sin x x 2 (sin x) sin x sin 2 x = 2x sin x x 2 cos x sin 2 x

69 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady Pro každé x R: (2 + x 2 ) = (2) + (x 2 ) = 0 + 2x = 2x (6x 3 ) = (6) x (x 3 ) = 0 x x 2 = 18x 2 (x 2 sin x) = (x 2 ) sin x + x 2 (sin x) = 2x sin x + x 2 cos x Pro sin x 0: ( ) x 2 = (x 2 ) sin x x 2 (sin x) sin x sin 2 x = 2x sin x x 2 cos x sin 2 x

70 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady Pro každé x R: (2 + x 2 ) = (2) + (x 2 ) = 0 + 2x = 2x (6x 3 ) = (6) x (x 3 ) = 0 x x 2 = 18x 2 (x 2 sin x) = (x 2 ) sin x + x 2 (sin x) = 2x sin x + x 2 cos x Pro sin x 0: ( ) x 2 = (x 2 ) sin x x 2 (sin x) sin x sin 2 x = 2x sin x x 2 cos x sin 2 x

71 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta o derivaci složené funkce Nechť F = g f, tj F : y = F (x) = g[f (x)], je funkce definovaná v okolí U(a, δ) bodu a. Jestliže funkce f má v bodě a derivaci f (a) a funkce g má v bodě α = f (a) derivaci g (α), pak složená funkce F = g f má v bodě a derivaci F (a) a platí F (a) = (g f ) (a) = g [f (a)] f (a). Poznámka Složená funkce F = g f má v obecném bodě x derivaci F (x) = (g f )(x) = g (u) f (x), kde u = f (x).

72 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta o derivaci složené funkce Nechť F = g f, tj F : y = F (x) = g[f (x)], je funkce definovaná v okolí U(a, δ) bodu a. Jestliže funkce f má v bodě a derivaci f (a) a funkce g má v bodě α = f (a) derivaci g (α), pak složená funkce F = g f má v bodě a derivaci F (a) a platí F (a) = (g f ) (a) = g [f (a)] f (a). Poznámka Složená funkce F = g f má v obecném bodě x derivaci F (x) = (g f )(x) = g (u) f (x), kde u = f (x).

73 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = sin 3 x: u = sin x, y = u 3 (u 3 ) = 3u 2, (sin x) = cos x y = 3u 2 cos x = 3 sin 2 x cos x pro každé x R y = sin(x 2 + 1): u = x 2 + 1, y = sin u (sin u) = cos u a (x 2 + 1) = 2x y = (cos u) 2x = 2x cos(x 2 + 1) pro každé x R

74 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = sin 3 x: u = sin x, y = u 3 (u 3 ) = 3u 2, (sin x) = cos x y = 3u 2 cos x = 3 sin 2 x cos x pro každé x R y = sin(x 2 + 1): u = x 2 + 1, y = sin u (sin u) = cos u a (x 2 + 1) = 2x y = (cos u) 2x = 2x cos(x 2 + 1) pro každé x R

75 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Poznámka u = f (x), v = g(u), y = h(v) F = h g f : y = h{g[f (x)]} V obecném bodě x platí F (x) = (h g f ) (x) = h (v) g (u) f (x), kde u = f (x) a v = g(u).

76 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Poznámka u = f (x), v = g(u), y = h(v) F = h g f : y = h{g[f (x)]} V obecném bodě x platí F (x) = (h g f ) (x) = h (v) g (u) f (x), kde u = f (x) a v = g(u).

77 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklad f : y = sin 3 (x 2 + 5) : u = x 2 + 5, v = sin u, y = v 3 y = 3 v 2, v = cos u, u = 2x y = 3v 2 (cos u) 2x = 6x sin 2 u cos u = 6x sin 2 (x 2 + 5) cos(x 2 + 5) pro každé x R

78 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta o derivaci inverzní funkce Má-li funkce f : y = f (x) v bodě a derivaci f (a) 0, pak inverzní funkce f 1 : x = f 1 (y) má v bodě α = f (a) derivaci (f 1 ) (α) = 1 f (a).

79 Obecná pravidla pro derivování funkcí Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklad f : y = arcsin x, x 1, 1 f 1 : x = sin y, y π 2, π 2, (sin y) = cos y y = (arcsin x) = pro každé x ( 1, 1) 1 (sin y) = 1 cos y = 1 1 sin 2 y = 1 1 x 2

80 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro každé x R platí (c) = 0, kde c R, (x n ) = n x n 1, kde n N. Poznámka n Z, n < 0 n = k N : (x n ) = (x k ) = ( ) 1 x k = k x k 1 x 2k = k x k 1 = n x n 1 pro x 0

81 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro každé x R platí (c) = 0, kde c R, (x n ) = n x n 1, kde n N. Poznámka n Z, n < 0 n = k N : (x n ) = (x k ) = ( ) 1 x k = k x k 1 x 2k = k x k 1 = n x n 1 pro x 0

82 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro každé x R platí (c) = 0, kde c R, (x n ) = n x n 1, kde n N. Poznámka n Z, n < 0 n = k N : (x n ) = (x k ) = ( ) 1 x k = k x k 1 x 2k = k x k 1 = n x n 1 pro x 0

83 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro každé x R platí (c) = 0, kde c R, (x n ) = n x n 1, kde n N. Poznámka n Z, n < 0 n = k N : (x n ) = (x k ) = ( ) 1 x k = k x k 1 x 2k = k x k 1 = n x n 1 pro x 0

84 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = x 6 + 3x 4 6x 2 + 5x y = 6x x 3 6 2x + 5 = 6x x 3 12x + 5 pro všechna x R y = 1 x 3 5 x 2 y = (x 3 5x 2 ) = 3x 4 5 ( 2)x 3 = 3 x x 3 pro všechna x R, x 0

85 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = x 6 + 3x 4 6x 2 + 5x y = 6x x 3 6 2x + 5 = 6x x 3 12x + 5 pro všechna x R y = 1 x 3 5 x 2 y = (x 3 5x 2 ) = 3x 4 5 ( 2)x 3 = 3 x x 3 pro všechna x R, x 0

86 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = (x 3 + 6x) 7 : u = x 3 + 6x, y = u 7 y = (u 7 ) (x 3 + 6x) = 7u 6 (3x 2 + 6) = 7(x 3 + 6x) 6 (3x 2 + 6) pro všechna x R y = 1 x pro všechna x R y = (1) (x 4 + 1) 1 (x 4 + 1) (x 4 + 1) 2 = 4x 3 (x 4 + 1) 2

87 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = (x 3 + 6x) 7 : u = x 3 + 6x, y = u 7 y = (u 7 ) (x 3 + 6x) = 7u 6 (3x 2 + 6) = 7(x 3 + 6x) 6 (3x 2 + 6) pro všechna x R y = 1 x pro všechna x R y = (1) (x 4 + 1) 1 (x 4 + 1) (x 4 + 1) 2 = 4x 3 (x 4 + 1) 2

88 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace goniometrických funkcí platí (sin x) = cos x pro každé x R, (cos x) = sin x pro každé x R, (tg x) = 1 cos 2 x pro každé x R, x (2k + 1) π 2, k Z, (cotg x) = 1 sin 2 x pro každé x R, x k π, k Z.

89 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace goniometrických funkcí platí (sin x) = cos x pro každé x R, (cos x) = sin x pro každé x R, (tg x) = 1 cos 2 x pro každé x R, x (2k + 1) π 2, k Z, (cotg x) = 1 sin 2 x pro každé x R, x k π, k Z.

90 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace goniometrických funkcí platí (sin x) = cos x pro každé x R, (cos x) = sin x pro každé x R, (tg x) = 1 cos 2 x pro každé x R, x (2k + 1) π 2, k Z, (cotg x) = 1 sin 2 x pro každé x R, x k π, k Z.

91 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace goniometrických funkcí platí (sin x) = cos x pro každé x R, (cos x) = sin x pro každé x R, (tg x) = 1 cos 2 x pro každé x R, x (2k + 1) π 2, k Z, (cotg x) = 1 sin 2 x pro každé x R, x k π, k Z.

92 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace goniometrických funkcí platí (sin x) = cos x pro každé x R, (cos x) = sin x pro každé x R, (tg x) = 1 cos 2 x pro každé x R, x (2k + 1) π 2, k Z, (cotg x) = 1 sin 2 x pro každé x R, x k π, k Z.

93 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = sin x cos x y = (sin x) cos x + sin x(cos x) = cos 2 x sin 2 x = cos 2x pro všechna x R y = sin x 1 cos x y = (sin x) (1 cos x) sin x(1 cos x) (1 cos x) 2 = = cos x (1 cos x) sin x sin x 1 (1 cos x) 2 = cos x 1 pro každé x R, pro něž je cos x 1

94 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = sin x cos x y = (sin x) cos x + sin x(cos x) = cos 2 x sin 2 x = cos 2x pro všechna x R y = sin x 1 cos x y = (sin x) (1 cos x) sin x(1 cos x) (1 cos x) 2 = = cos x (1 cos x) sin x sin x 1 (1 cos x) 2 = cos x 1 pro každé x R, pro něž je cos x 1

95 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = 5 cos 2 x : u = cos x, y = 5u 2 y = (5u 2 ) (cos x) = 10u ( sin x) = 10 cos x sin x. pro všechna x R y = tg(2x π 2 ) : u = 2x π 2, y = tg u y = (tg u) ( 2x π 2 pro všechna x, pro něž je cos ( 2x π 2 ) 0 ) 1 = cos 2 u 2 = 2 cos ( ) 2 2x π 2

96 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = 5 cos 2 x : u = cos x, y = 5u 2 y = (5u 2 ) (cos x) = 10u ( sin x) = 10 cos x sin x. pro všechna x R y = tg(2x π 2 ) : u = 2x π 2, y = tg u y = (tg u) ( 2x π 2 pro všechna x, pro něž je cos ( 2x π 2 ) 0 ) 1 = cos 2 u 2 = 2 cos ( ) 2 2x π 2

97 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace cyklometrických funkcí platí (arcsin x) = 1 1 x 2 (arccos x) 1 = 1 x 2 pro každé x ( 1, 1), pro každé x ( 1, 1), (arctg x) = x 2 pro každé x R, (arccotg x) = x 2 pro každé x R.

98 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace cyklometrických funkcí platí (arcsin x) = 1 1 x 2 (arccos x) 1 = 1 x 2 pro každé x ( 1, 1), pro každé x ( 1, 1), (arctg x) = x 2 pro každé x R, (arccotg x) = x 2 pro každé x R.

99 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace cyklometrických funkcí platí (arcsin x) = 1 1 x 2 (arccos x) 1 = 1 x 2 pro každé x ( 1, 1), pro každé x ( 1, 1), (arctg x) = x 2 pro každé x R, (arccotg x) = x 2 pro každé x R.

100 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace cyklometrických funkcí platí (arcsin x) = 1 1 x 2 (arccos x) 1 = 1 x 2 pro každé x ( 1, 1), pro každé x ( 1, 1), (arctg x) = x 2 pro každé x R, (arccotg x) = x 2 pro každé x R.

101 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace cyklometrických funkcí platí (arcsin x) = 1 1 x 2 (arccos x) 1 = 1 x 2 pro každé x ( 1, 1), pro každé x ( 1, 1), (arctg x) = x 2 pro každé x R, (arccotg x) = x 2 pro každé x R.

102 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = arccos 2 x: u = arccos x, y = u 2 y = (u 2 ) (arccos x) 1 = 2u 1 x 2 = 2 arccos x 1 x 2 pro všechna x ( 1, 1) y = arctg(x 3 1): u = x 3 1, y = arctg u pro všechna x R y = (arctg u) (x 3 1) = u 2 3x 2 = 3x 2 = 1 + (x 3 1) 2 = 3x 2 x 6 2x 3 + 2

103 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = arccos 2 x: u = arccos x, y = u 2 y = (u 2 ) (arccos x) 1 = 2u 1 x 2 = 2 arccos x 1 x 2 pro všechna x ( 1, 1) y = arctg(x 3 1): u = x 3 1, y = arctg u pro všechna x R y = (arctg u) (x 3 1) = u 2 3x 2 = 3x 2 = 1 + (x 3 1) 2 = 3x 2 x 6 2x 3 + 2

104 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace exponenciálních a logaritmických funkcí platí (e x ) = e x pro každé x R, (a x ) = a x ln a pro každé x R, (ln x) = 1 x (log a x) = 1 x ln a pro každé x R +, pro každé x R +, (x s ) = s x s 1 pro každé x R +, s R.

105 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace exponenciálních a logaritmických funkcí platí (e x ) = e x pro každé x R, (a x ) = a x ln a pro každé x R, (ln x) = 1 x (log a x) = 1 x ln a pro každé x R +, pro každé x R +, (x s ) = s x s 1 pro každé x R +, s R.

106 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace exponenciálních a logaritmických funkcí platí (e x ) = e x pro každé x R, (a x ) = a x ln a pro každé x R, (ln x) = 1 x (log a x) = 1 x ln a pro každé x R +, pro každé x R +, (x s ) = s x s 1 pro každé x R +, s R.

107 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace exponenciálních a logaritmických funkcí platí (e x ) = e x pro každé x R, (a x ) = a x ln a pro každé x R, (ln x) = 1 x (log a x) = 1 x ln a pro každé x R +, pro každé x R +, (x s ) = s x s 1 pro každé x R +, s R.

108 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace exponenciálních a logaritmických funkcí platí (e x ) = e x pro každé x R, (a x ) = a x ln a pro každé x R, (ln x) = 1 x (log a x) = 1 x ln a pro každé x R +, pro každé x R +, (x s ) = s x s 1 pro každé x R +, s R.

109 Obecná pravidla pro derivování funkcí Věta Pro derivace exponenciálních a logaritmických funkcí platí (e x ) = e x pro každé x R, (a x ) = a x ln a pro každé x R, (ln x) = 1 x (log a x) = 1 x ln a pro každé x R +, pro každé x R +, (x s ) = s x s 1 pro každé x R +, s R.

110 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = e 3x 9 : u = 3x 9, y = e u y = (e u ) (3x 9) = e u 3 = 3 e 3x 9 pro všechna x R y = e x 1: u = e x 1, y = u = u 1 2 y = ( ) u 1 2 (e x 1) = 1 2 u 1 2 e x = ex 2 u = e x 2 e x 1 pro každé x R, pro něž je e x 1 > 0 neboli x > 0

111 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = e 3x 9 : u = 3x 9, y = e u y = (e u ) (3x 9) = e u 3 = 3 e 3x 9 pro všechna x R y = e x 1: u = e x 1, y = u = u 1 2 y = ( ) u 1 2 (e x 1) = 1 2 u 1 2 e x = ex 2 u = e x 2 e x 1 pro každé x R, pro něž je e x 1 > 0 neboli x > 0

112 Příklady y = ln 3 x: u = ln x, y = u 3 pro každé x R + Obecná pravidla pro derivování funkcí y = (u 3 ) (ln x) = 3u 2 1 x = 3 ln2 x x y = ln x 2 x + 2 : u = x 2 x + 2, y = ln u ( ) x 2 y = (ln u) = 1 (x 2) (x + 2) (x 2)(x + 2) x + 2 u (x + 2) 2 = = 1 u x + 2 x + 2 (x + 2) 2 = x + 2 x 2 4 (x + 2) 2 = 4 (x 2)(x + 2) = 4 x 2 4 pro každé x (, 2) (2, + )

113 Příklady y = ln 3 x: u = ln x, y = u 3 pro každé x R + Obecná pravidla pro derivování funkcí y = (u 3 ) (ln x) = 3u 2 1 x = 3 ln2 x x y = ln x 2 x + 2 : u = x 2 x + 2, y = ln u ( ) x 2 y = (ln u) = 1 (x 2) (x + 2) (x 2)(x + 2) x + 2 u (x + 2) 2 = = 1 u x + 2 x + 2 (x + 2) 2 = x + 2 x 2 4 (x + 2) 2 = 4 (x 2)(x + 2) = 4 x 2 4 pro každé x (, 2) (2, + )

114 Obecná pravidla pro derivování funkcí Příklady y = 5 x 1 3 x 2 y = (5x 1 2 pro každé x R + x 2 3 ) = 5 1 ( 2 x ) x = 3 = 5 2 x x 5 3 = x x 5

115 Obecná pravidla pro derivování funkcí Přehled vzorců pro derivování (c) = 0 (x n ) = nx n 1 (sin x) = cos x (arcsin x) = 1 1 x 2 (cos x) = sin x (tg x) = 1 cos 2 x (cotg x) = 1 sin 2 x (arccos x) 1 = 1 x 2 (arctg x) = x 2 (arccotg x) = x 2 (e x ) = e x (ln x) = 1 x (a x ) = a x ln a (log a x) = 1 x ln a

116 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Definice Nechť funkce f : y = f (x) je spojitá v okolí U(a, δ) bodu a a nechť existuje f (a). Pak diferenciálem funkce f v bodě a pro přírůstek h rozumíme výraz df (a) = f (a) h, kde h je přírůstek argumentu x v bodě a takový, že bod a + h = x leží v okolí U(a, δ). Poznámka Jestliže místo pevného bodu a uvažujeme obecný bod x z intervalu I, v němž existuje f, pak diferenciál funkce f v bodě x pro přírůstek h je funkcí dvou proměnných x I a h R. Zapisujeme ho ve tvaru df (x) = f (x) h.

117 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Definice Nechť funkce f : y = f (x) je spojitá v okolí U(a, δ) bodu a a nechť existuje f (a). Pak diferenciálem funkce f v bodě a pro přírůstek h rozumíme výraz df (a) = f (a) h, kde h je přírůstek argumentu x v bodě a takový, že bod a + h = x leží v okolí U(a, δ). Poznámka Jestliže místo pevného bodu a uvažujeme obecný bod x z intervalu I, v němž existuje f, pak diferenciál funkce f v bodě x pro přírůstek h je funkcí dvou proměnných x I a h R. Zapisujeme ho ve tvaru df (x) = f (x) h.

118 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Příklady f : y = 2x 2 2, a = 3, h = 0,01: y = 4x, y (3) = 12 df (3) = f (3)h = 12 0,01 = 0,12 f : y = x sin x, y = sin x + x cos x df (x) = (sin x + x cos x) h, pro x, h R

119 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Příklady f : y = 2x 2 2, a = 3, h = 0,01: y = 4x, y (3) = 12 df (3) = f (3)h = 12 0,01 = 0,12 f : y = x sin x, y = sin x + x cos x df (x) = (sin x + x cos x) h, pro x, h R

120 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Jiné vyjádření pro derivaci funkce Je-li f : y = x, pak f (x) = 1 a df (x) = dx = 1 h = h, tj. dx = h. Pak přírůstek h lze pokládat za diferenciál proměnné x a platí df (x) = f (x) dx. Odtud dostaneme pro derivaci funkce f vyjádření f (x) = df (x) dx nebo stručně y = dy dx. Derivace f (x) je podíl dvou diferenciálů, a to diferenciálu závisle proměnné y a diferenciálu nezávisle proměnné x.

121 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Jiné vyjádření pro derivaci funkce Je-li f : y = x, pak f (x) = 1 a df (x) = dx = 1 h = h, tj. dx = h. Pak přírůstek h lze pokládat za diferenciál proměnné x a platí df (x) = f (x) dx. Odtud dostaneme pro derivaci funkce f vyjádření f (x) = df (x) dx nebo stručně y = dy dx. Derivace f (x) je podíl dvou diferenciálů, a to diferenciálu závisle proměnné y a diferenciálu nezávisle proměnné x.

122 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Jiné vyjádření pro derivaci funkce Je-li f : y = x, pak f (x) = 1 a df (x) = dx = 1 h = h, tj. dx = h. Pak přírůstek h lze pokládat za diferenciál proměnné x a platí df (x) = f (x) dx. Odtud dostaneme pro derivaci funkce f vyjádření f (x) = df (x) dx nebo stručně y = dy dx. Derivace f (x) je podíl dvou diferenciálů, a to diferenciálu závisle proměnné y a diferenciálu nezávisle proměnné x.

123 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Jiné vyjádření pro derivaci funkce Je-li f : y = x, pak f (x) = 1 a df (x) = dx = 1 h = h, tj. dx = h. Pak přírůstek h lze pokládat za diferenciál proměnné x a platí df (x) = f (x) dx. Odtud dostaneme pro derivaci funkce f vyjádření f (x) = df (x) dx nebo stručně y = dy dx. Derivace f (x) je podíl dvou diferenciálů, a to diferenciálu závisle proměnné y a diferenciálu nezávisle proměnné x.

124 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Geometrický význam diferenciálu Pro diferenciál funkce f v bodě a platí df (a) = f (a)(x a), kde x a = h. Pro tečnu ke grafu funkce f v bodě A = [a, f (a)] platí y f (a) = f (a)(x a). Odtud df (a) = y f (a). Diferenciál df (a) funkce f v bodě a představuje přírustek y-ové souřadnice bodu na tečně t ke grafu funkce f v bodě A = [a, f (a)] při změně x-ové souřadnice z hodnoty a na hodnotu a + h.

125 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Geometrický význam diferenciálu Pro diferenciál funkce f v bodě a platí df (a) = f (a)(x a), kde x a = h. Pro tečnu ke grafu funkce f v bodě A = [a, f (a)] platí y f (a) = f (a)(x a). Odtud df (a) = y f (a). Diferenciál df (a) funkce f v bodě a představuje přírustek y-ové souřadnice bodu na tečně t ke grafu funkce f v bodě A = [a, f (a)] při změně x-ové souřadnice z hodnoty a na hodnotu a + h.

126 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Geometrický význam diferenciálu Pro diferenciál funkce f v bodě a platí df (a) = f (a)(x a), kde x a = h. Pro tečnu ke grafu funkce f v bodě A = [a, f (a)] platí y f (a) = f (a)(x a). Odtud df (a) = y f (a). Diferenciál df (a) funkce f v bodě a představuje přírustek y-ové souřadnice bodu na tečně t ke grafu funkce f v bodě A = [a, f (a)] při změně x-ové souřadnice z hodnoty a na hodnotu a + h.

127 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Geometrický význam diferenciálu Pro diferenciál funkce f v bodě a platí df (a) = f (a)(x a), kde x a = h. Pro tečnu ke grafu funkce f v bodě A = [a, f (a)] platí y f (a) = f (a)(x a). Odtud df (a) = y f (a). Diferenciál df (a) funkce f v bodě a představuje přírustek y-ové souřadnice bodu na tečně t ke grafu funkce f v bodě A = [a, f (a)] při změně x-ové souřadnice z hodnoty a na hodnotu a + h.

128 Definice diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Geometrický význam diferenciálu y f(x) f t f(a) f(a) A h df(a) 0 a x x

129 Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Přibližné vyjádření funkce pomocí diferenciálu Pro dostatečně malá h platí f (a) df (a). Přibližný výpočet funkčních hodnot provádíme pomocí rovnice f (x) = f (a + h) = f (a) + f (a) f (a) + df (a), odkud f (a + h) f (a) + df (a).

130 Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Přibližné vyjádření funkce pomocí diferenciálu Pro dostatečně malá h platí f (a) df (a). Přibližný výpočet funkčních hodnot provádíme pomocí rovnice f (x) = f (a + h) = f (a) + f (a) f (a) + df (a), odkud f (a + h) f (a) + df (a).

131 Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Příklad A = arctg 0,99 =? f (x) = arctg x, a = 1, h = 0,01 A = f (a + h) f (a) + df (a) f (a) = arctg 1 = π 4 f (x) = x 2, f (a) = 1 2 df (a) = f (a) h = 1 ( 0,01) = 0,005 2 A π 0,005 0, ,005 = 0,

132 Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Příklad A = arctg 0,99 =? f (x) = arctg x, a = 1, h = 0,01 A = f (a + h) f (a) + df (a) f (a) = arctg 1 = π 4 f (x) = x 2, f (a) = 1 2 df (a) = f (a) h = 1 ( 0,01) = 0,005 2 A π 0,005 0, ,005 = 0,

133 Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Příklad A = arctg 0,99 =? f (x) = arctg x, a = 1, h = 0,01 A = f (a + h) f (a) + df (a) f (a) = arctg 1 = π 4 f (x) = x 2, f (a) = 1 2 df (a) = f (a) h = 1 ( 0,01) = 0,005 2 A π 0,005 0, ,005 = 0,

134 Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Příklad A = arctg 0,99 =? f (x) = arctg x, a = 1, h = 0,01 A = f (a + h) f (a) + df (a) f (a) = arctg 1 = π 4 f (x) = x 2, f (a) = 1 2 df (a) = f (a) h = 1 ( 0,01) = 0,005 2 A π 0,005 0, ,005 = 0,

135 Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Příklad A = arctg 0,99 =? f (x) = arctg x, a = 1, h = 0,01 A = f (a + h) f (a) + df (a) f (a) = arctg 1 = π 4 f (x) = x 2, f (a) = 1 2 df (a) = f (a) h = 1 ( 0,01) = 0,005 2 A π 0,005 0, ,005 = 0,

136 Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu funkce Aplikace diferenciálu funkce Definice diferenciálu n-tého řádu funkce Příklad A = arctg 0,99 =? f (x) = arctg x, a = 1, h = 0,01 A = f (a + h) f (a) + df (a) f (a) = arctg 1 = π 4 f (x) = x 2, f (a) = 1 2 df (a) = f (a) h = 1 ( 0,01) = 0,005 2 A π 0,005 0, ,005 = 0,

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

VII. Limita a spojitost funkce

VII. Limita a spojitost funkce VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná

Více

Matematika 1. Matematika 1

Matematika 1. Matematika 1 5. přednáška Elementární funkce 24. října 2012 Logaritmus a exponenciální funkce Věta 5.1 Existuje právě jedna funkce (značíme ji ln a nazýváme ji přirozeným logaritmem), s následujícími vlastnostmi: D(ln)

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim 3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011 Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!.

8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!. 8. Elementární funkce I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k = k!. Vlastnosti exponenciální funkce: a) řada ( ) konverguje absolutně

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x),

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Matematika I (KMI/PMATE)

Matematika I (KMI/PMATE) Přednáška první aneb Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Úvod do matematické analýzy Osnova přednášky pojem funkce definice funkce graf funkce definiční obor funkce obor hodnot funkce

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost

Více

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

4.2. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE

4.2. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE 4.. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE V této kapitole se dozvíte: jak jsou definovány cyklometrické funkce a jaký je jejich vztah k funkcím goniometrickým; základní vlastnosti cyklometrických funkcí; nejdůležitější

Více

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

2.6. Limita funkce. Nechť c R jevnitřnínebokrajníbodintervaludefiničníhooborufunkce

2.6. Limita funkce. Nechť c R jevnitřnínebokrajníbodintervaludefiničníhooborufunkce 2.6. Limita funkce Nechť c R jevnitřnínebokrajníbod intervalu definičního oboru funkce f.(funkce v něm může, ale nemusí být definovaná.) Jestliže vzorům x blízkým bodu c, ale různýmod c, (tedy x (c d,

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

4. Diferenciál a Taylorova věta

4. Diferenciál a Taylorova věta 4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik

MATEMATIKA. Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik MATEMATIKA Robert Mařík Ústav matematiky, LDF, MZLU 5. patro, budova B marik@mendelu.cz user.mendelu.cz/marik P. Rádl, B. Černá, L. Stará: Základy vyšší matematiky, skriptum MZLU Text přednášky na user.mendelu.cz/marik,

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina Instrukce: Příklady řešte výhradně elementárně, bez použití nástrojů z diferenciálního a integrálního počtu. Je-li součástí řešení úlohy podmnožina reálných čísel, vyjádřete ji jako disjunktní sjednocení

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA, FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A INFORMATIKY Matematická analýza 1 Cvičení Martina Litschmannová 2015 / 2016 Definice, věty i mnohé příklady jsou převzaty z: KUBEN, Jaromír a

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce 4 Cyklometrické funkce V minulé kapitole jsme zkoumali první funkci inverzní ke funkci goniometrické (tyto funkce se nazývají cyklometrické) funkci y = arcsin x (inverzní k funkci y = sin x ) Př: Nakresli

Více

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7

Více

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 2. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 17. února 2010 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

Matematika I: Pracovní listy do cvičení

Matematika I: Pracovní listy do cvičení Matematika I: Pracovní listy do cvičení Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Pro FAST upravil Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita

Více

1 ÚVOD. 1.1 Kontaktní informace. 1.2 Předpokládané znalosti ze střední školy. Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. A829,

1 ÚVOD. 1.1 Kontaktní informace. 1.2 Předpokládané znalosti ze střední školy. Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. A829, 1 ÚVOD 1.1 Kontaktní informace Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. iveta.cholevova@vsb.cz A829, 597 324 146 Mgr. Arnošt Žídek, Ph. D. arnost.zidek@vsb.cz A832, 597 324 177 1.2 Předpokládané znalosti ze střední

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212

Matematika I. Funkce jedné proměnné. Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 Matematika I Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Matematika I 1 / 212 1. Množiny a zobrazení Funkce jedné proměnné Matematika I 2 / 212 Množiny Definice 1.1.1: Množinou rozumíme soubor prvků se

Více

Matematika II Limita a spojitost funkce, derivace

Matematika II Limita a spojitost funkce, derivace Matematika II Limita a spojitost funkce, derivace RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Prstencové a kruhové okolí bodu

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 12. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 216/21 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 1 / 15 Integrování jako inverzní operace příklady inverzních

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2, 4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

BMA2. Zdeněk Svoboda

BMA2. Zdeněk Svoboda BMA Zdeněk Svoboda Jiří Vítovec Tento text byl vytvořen v rámci realizace projektu CZ..07/..00/5.056, Inovace výuky matematických předmětů v rámci studijních programů FEKT a FIT VUT v Brně, realizovaném

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M05, GA01 M04 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M05, GA0 M04 DIFERENCIÁLNÍ POČET I LIMITA A SPOJITOST FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2

Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2 Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel

Více

VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce

VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce Anotace: Prezentace zavádí pojmy lin. funkce, její definiční obor a obor hodnot funkce. Dále vysvětluje typy funkcí

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

ELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE SPECIÁLNÍ ELEMENTÁRNÍ FUNKCE

ELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE SPECIÁLNÍ ELEMENTÁRNÍ FUNKCE ELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE Všechny základní reálné funkce reálné proměnné, s kterými jste se seznámili na začátku tohoto kurzu, lze rozšířit i na komplexní funkce komplexní proměnné. U některých je rozšíření

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005 () Určete rovnici kručnice o poloměru

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

VI. Derivace složené funkce.

VI. Derivace složené funkce. VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie

MATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy

Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Drsná matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: Inverzní a implicitně definovaná zobrazení, vázané extrémy Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 10. 2011 Obsah přednášky 1 Literatura

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace

Více