Frédéric Bertrand Myriam Maumy-Bertrand Master /2019

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1 Frédérc Bertrad Myram Maumy-Bertrad Master 1 018/019

2 Référeces «Aalyse de régresso applquée» de Y. Dodge et V. Rousso, aux édtos Duod, 004. «Régresso o léare et applcatos» de A. Atoads, J. Berruyer, R. Carmoa, édtos Ecoomca, 199. M1 018/019

3 Itroducto But : rechercher ue relato stochastque qu le deux ou pluseurs varables Domaes : Physque, chme, astroome Bologe, médece Géographe Ecoome M1 018/019 3

4 1. Relato etre deux varables Cosdéros X et Y deux varables. Exemple : la talle (X) et le pods (Y) But : savor commet Y vare e focto de X Das la pratque : Échatllo de dvdus Relevé de la talle et du pods pour l dvdu Tableau d observatos ou doées parées. M1 018/019 4

5 1. Relato etre deux varables Observatos Talle Pods , ,5 7,7 Pods (kg) , ,4 74,1 Talle (cm) ,6 7 1 M1 018/019 5

6 . Relato détermste Das certas cas, la relato est exacte. Exemples : X e euros, Y e dollars X dstace ferrovare, Y prx du bllet. Y = f(x) où f est ue focto détermée. Exemples pour f : foctos léares, foctos affes... M1 018/019 6

7 . Relato détermste Remarque mportate : Nous utlseros le terme de focto «léare» pour désger ue focto «affe» f 0 1 ( X ) = b + b X où b 0 et b 1 sot des réels fxés. M1 018/019 7

8 . Relato détermste Exemple : X e Celsus, Y e Farehet Y=3 + 9/5 X. Ic ous avos e detfat : b 0 = 3 et b 1 = 9/5. Souvet ous savos que la relato etre X et Y est léare mas les coeffcets sot cous. M1 018/019 8

9 . Relato détermste E pratque commet fasos-ous? Échatllo de doées Vérfer que les doées sot algées. S ce cas est vérfé, alors ous avos : u modèle léare détermste. M1 018/019 9

10 . Relato détermste S ce cas est pas vérfé, alors ous allos chercher : la drote qu ajuste le meux l échatllo, c est-àdre ous allos chercher u modèle léare o détermste. Les observatos vot permettre de vérfer s la drote caddate est adéquate. M1 018/019 10

11 3. Relato stochastque La plupart des cas e sot pas des modèles léares détermstes! (la relato etre X et Y est pas exacte) Exemple : X la talle et Y le pods. A 180 cm peuvet correspodre pluseurs pods : 75 kg, 85 kg, Les doées e sot plus algées. Pour deux pods detques, ous avos deux talles dfféretes. M1 018/019 11

12 3. Relato stochastque Ue hypothèse rasoable : X et Y sot lés Das l exemple précédet : plus u dvdu est grad, plus l est lourd e Y 0 1 = b + b X + e : est ue varable qu représete le comportemet dvduel. M1 018/019 1

13 3. Relato stochastque Exemple : 70 dvdus qu sot réparts de la faço suvate : 10 dvdus/talle 7 talles (de 160 à 190 cm, pas de 5 cm). M1 018/019 13

14 3. Relato stochastque Observatos Talle Pods ,9 58,9 63,3 56,8 66,8 64,5 67,1 58,0 6,9 57,7 68,5 69,8 58,5 66,3 pods ,8 M1 018/ talle

15 3. Relato stochastque Commetares : Pluseurs Y pour ue même valeur de X. Modèle léare détermste adéquat. Cepedat Y augmete quad X augmete. Modèle léare stochastque evsageable. M1 018/019 15

16 3. Relato stochastque Défto du modèle léare stochastque : µ ( x) = b + b x Y 0 1 µ Y (x) : moyee de Y mesurée sur tous les dvdus pour lesquels X vaut x. M1 018/019 16

17 3. Relato stochastque Remarques : Comme ε, μ Y (x) est observable, calculable. Pour calculer μ Y (x), l faudrat receser tous les dvdus de la populato. M1 018/019 17

18 3. Relato stochastque Das la pratque : Nous estmos la moyee théorque μ Y (x) par la moyee emprque de Y défe par : y ( x) = 1 å = 1 y ( x) M1 018/019 18

19 3. Relato stochastque Retour à l exemple : Talle Pods , , ,34 69,9 Pods moye , ,58 77, Talle M1 018/019 19

20 3. Relato stochastque La drote que ous veos de tracer s appelle : la drote de régresso. X et Y e jouet pas u rôle detque. X explque Y X est ue varable dépedate (ou explcatve) et Y est ue varable dépedate (ou explquée). M1 018/019 0

21 3. Relato stochastque E aalyse de régresso léare : x est fxé y est aléatore la composate aléatore d u y est le ε correspodat. M1 018/019 1

22 3. Relato stochastque Pour l stat, la drote de régresso est coue. Tout le problème est d estmer β 0 et β 1 à partr d u échatllo de doées. M1 018/019

23 3. Relato stochastque Chox des paramètres : drote qu approche le meux les doées troducto de ˆ b et ˆb qu sot des 0 1 estmateurs de β 0 et de β 1. L estmato de la drote de régresso : ˆ( x) = ˆ b + ˆ b x y 0 1 M1 018/019 3

24 3. Relato stochastque Remarques : yˆ ( x) est u estmateur de μ Y (x) S le modèle est bo, y ( x) = yˆ ( x) 1 å = 1 est plus précs que y ( x) M1 018/019 4

25 3. Relato stochastque Lorsque x = x, alors ˆ, c est-à-dre : ˆ yˆ ( x ) = y ˆ ˆ y = b + b x 0 1 ŷ est appelée la valeur estmée par le modèle. M1 018/019 5

26 3. Relato stochastque Ces valeurs estmet les quattés observables : e = b 0 - b x par les quattés observables : y - 1 e = y - yˆ M1 018/019 6

27 3. Relato stochastque Ces quattés e = les résdus du modèle. La plupart des méthodes d estmato : estmer la drote de régresso par ue drote qu mmse ue focto de résdus. La plus coue : la méthode des modres carrés ordares. M1 018/019 7

28 4. Méthode des modres carrés ordares å å å = = = - - = - = x y y y e ) ˆ ˆ ( ) ˆ ( b b M1 018/019 8 Méthode : Défr des estmateurs qu mmset la somme des carrés des résdus

29 4. Méthode des modres carrés ordares Les estmateurs sot doc les coordoées du mmum de la focto à deux varables : z ( b0, b1) = ( y -b 0 - b1x ) = 1 = f å Cette focto est appelée la focto objectf. M1 018/019 9

30 4. Méthode des modres carrés ordares Les estmateurs correspodet aux valeurs aulat les dérvées partelles de cette focto : z b z b 1 0 = - = - å( y - b0 - b x ) 1 å x ( y - b0 - b x 1 ) M1 018/019 30

31 4. Méthode des modres carrés ordares Les estmateurs sot les solutos du système : Soet : - å( y - b0 - b 1x ) = x ( y - b - b x ) - å 0 1 = ( 4.1) å y ˆ b0 + ˆ b1 å x = å y b0 x + ˆ b å ( 4.) 1 ˆ å = x x 0 0 M1 018/019 31

32 4. Méthode des modres carrés ordares Nous otos : x å x = et y = D après (4.1), ous avos : ˆ b = - bˆ 0 y 1x å y 3 Frédérc Bertrad et Myram Maumy- Bertrad - M1 018/019

33 4. Méthode des modres carrés ordares A partr de (4.), ous avos : ) ( ˆ ˆ ˆ x y x y x x y x x b b b + - = - = å å å 1 ) ( ˆ x x y x y x - - = å å b Frédérc Bertrad et Myram Maumy- Bertrad - M1 018/ As ous obteos :

34 4. Méthode des modres carrés ordares Comme ous avos : ) ( ) ( ) )( ( x x x x y x y x y y x x - = - - = - - å å å å å å = 1 ) ( ) )( ( ˆ x x y y x x b Frédérc Bertrad et Myram Maumy- Bertrad - M1 018/ As ous obteos :

35 4. Méthode des modres carrés ordares Das la pratque, ous calculos ˆ b 1 pus ˆ b 0 Nous obteos ue estmato de la drote de régresso, appelée la drote des modres carrés ordares : yˆ ( x) = ˆ b + ˆ b x Frédérc Bertrad et Myram Maumy- Bertrad - M1 018/019

36 4. Méthode des modres carrés ordares Coeffcets de la drote de modres carrés : pete=0,44 ; ordoée à l orge=-8,01 Pods moye Talle 36 Frédérc Bertrad et Myram Maumy- Bertrad - M1 018/019

37 5. Varato explquée et explquée But d u modèle de régresso léare : explquer ue parte de la varato de la varable explquée Y. La varato de Y vet du fat de sa dépedace à la varable explcatve X. Varato explquée par le modèle. M1 018/019 37

38 5. Varato explquée et explquée Das l exemple «talle-pods», ous avos remarqué que lorsque ous mesuros Y avec ue même valeur de X, ous observos ue certae varato sur Y. Varato explquée par le modèle. M1 018/019 38

39 5. Varato explquée et explquée Varato totale de Y = Varato explquée par le modèle + Varato explquée par le modèle M1 018/019 39

40 5. Varato explquée et explquée Pour mesurer la varato de Y : ous trodusos y ( y - y ) = ( yˆ - y ) + ( y - yˆ ) Dfférece explquée par le modèle Dfférece explquée par le modèle ou résdu du modèle M1 018/019 40

41 5. Varato explquée et explquée Pourquo la méthode des modres carrés? U proprété remarquable : elle coserve ue telle décomposto e cosdérat la somme des carrés de ces dfféreces : å å y - = - + å y) ( y y) ( y - ˆ ( yˆ ) M1 018/019 41

42 5. Varato explquée et explquée å y - y ) = å( yˆ - y ) + å( y - ( yˆ ) Somme des carrés totale (SC tot ) Somme des carrés due à la régresso (SC reg ) Somme des carrés des résdus (SC res ) M1 018/019 4

43 5. Varato explquée et explquée Mesure du pourcetage de la varato totale explquée par le modèle : Itroducto d u coeffcet de détermato R = Varato explquée Varato totale = SC SC reg tot 43 Frédérc Bertrad et Myram Maumy- Bertrad - M1 018/019

44 5. Varato explquée et explquée Quelques remarques : R est comprs etre 0 et 1. R =1 : cas où les doées sot parfatemet algées (comme c est le cas pour u modèle détermste). R =0 : cas où la varato de Y est pas due à la varato de X. Les doées e sot pas du tout algées. Plus R est proche de 1, plus les doées sot algées sur la drote de régresso. M1 018/019 44

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