Název: Suites récurrentes étude à l'aide d'une suite auxiliaire

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1 Název: Suites récurrentes étude à l'aide d'une suite auxiliaire Autor: Mgr. Jiří Bureš, Ph.D. Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 6. (4. ročník vyššího gymnázia, bilingvní sekce) Tématický celek: rekurentně definované posloupnosti a jejich aplikace Stručná anotace: Pracovní list je zaměřen na studium rekurentně zadaných posloupností. Je určen jako studijní materiál pro zopakování a využití vlastností rekurentně zadaných posloupností. Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu Přírodní vědy prakticky a v souvislostech inovace výuky přírodovědných předmětů na Gymnáziu Jana Nerudy (číslo projektu CZ.2.17/3.1.00/36047) financovaného z Operačního programu Praha - Adaptabilita.

2 Étude d'une suite définie par récurrence Le but de cette activité est de présenter l'étude complète d'une suite définie par récurrence à l'aide d'une suite auxiliaire (souvent géométrique ou arithmétique) dont les propriétés sont plus simples à démontrer. On considère la suite définie par u 0 =1 et n N:u n+1 = 1 2 u n +3. 1) On calcule quelques premiers termes pour se faire l'idée sur les propriétés de la suite et pourvoir faire de bonnes hypothèses. On obtient u 1 = 5 2, u 2 = 7 4, u 3 = 17 8 etc. Les premiers termes permettent d'affirmer a) La suite (u n ) n'est pas arithmétique car u 2 u 1 = =u 1 u 0 ni géométrique car u 2 u 1 = = u 1 u 0 Hypothèses : b) La suite semble être non monotone (le sens des inégalités parmi les termes voisins alterne). c) La suite semble être bornée par u 0 et u 1. d) Il semble que la limite de la suite égale 2. Note : Les hypothèses pourraient être énoncées aussi à l'aide de la représentation graphique en chemin. 2) Recherche d'une suite auxiliaire Pour démontrer les propriétés de la suite, on utilise souvent une suite auxiliaire qui est plus simple et dont les propriétés sont plus faciles à étudier (par exemple une suite arithmétique ou géométrique). Cas des suites définies par récurrence par une fonction affine : on crée souvent une suite géométrique en soustrayant la limite de la suite. Ici, on définit la suite (v n ) telle que v n 2 et on montre que la suite est géométrique. 1. On exprime v n+1 : v n = 1 2 u n +3 2= 1 2 u n La suite (v n ) est géométrique ssi n N: v n+1 v n =qoùq R *.

3 Donc 1 v n+1 2 u +1 n = v n u n 2 = 1 (u n 2) 2 u n 2 = 1 2 et la suite (v n ) est géométrique de raison 1 2. On calcule v 0 : v 0 =u 0 2=1 2= 1 et on peut définir la suite (v n ) par le terme général : v n =v 0 q = 1 ( n 1 n 2 ) 3) Utilisation de (v n ) pour l'étude de (u n ) 1. Définition de (u n ) par le terme général. Comme v n 2, on a u n =v n +2= 1 ( 1 n +2 2 ) 2. Monotonie Comme q<0, la suite (v n ) n'est pas monotone donc la suite (u n ) n'est pas monotone non plus. 3. Limite Limite de (v n ): lim (v n )=0 car (v n ) est une suite géométrique de raison q <1. n + D'où lim (u n )= lim (v n +2)=0+2=2. n + n + 4) Représentation graphique d'une suite récurrente On utilise la fonction f ( x) telle que u n+1 = f (u n ), donc f ( x)= 1 2 x +5. On construit (C f ), la droite y=x et on place u 0 sur l'axe des abscisses. La démarche : On construit u 1 l'image de u 0 sur l'axe des ordonnées à l'aide de (C f ), puis on utilise la droite y=x pour placer u 1 sur l'axe des abscisses. On répète cette démarche pour obtenir u 2, u 3 etc. Ainsi on obtient la ligne brisée infinie qui représente l'évolution des termes de la suite (voir la figure ci dessous). Les termes de la suite peuvent être représentés sur les deux axes du repère.

5 Suites récurrentes (fiche de travail) Exercice 1. Soit (u n ) définie par u 0 =4 et n N:u n+1 =0,5u n Construire la représentation graphique en chemin de (u n ). (u n ) semble-t-elle être monotone? majorée? minorée? convergente? 2. Soit (v n ) la suite définie par v n +6. Montrer que cette suite est géométrique et préciser ses éléments caractéristiques. 3. Exprimer v n en fonction de n. En déduire une expression de u n en fonction de n. 4. En utilisant les résultats précédents, démontrer les hypothèses de 1. Exercice 2. Soit (u n ) définie par u 0 =1 et n N:u n+1 =2u n Construire la représentation graphique en chemin de (u n ). 2. Soit (v n ) une suite définie pour tout par v n +a,a R. Déterminer la valeur de a telle que (v n ) soit une suite géométrique. 3. Exprimer (v n ) par le terme général. En déduire l expression de (u n ) par le terme général. 4. Déterminer la limite de la suite (u n ). La suite (u n ) est elle majorée? Justifier. 5. Déterminer par le calcul un rang N tel que, pour tout n>n, u n Exercice 3. Soit (u n ) définie par u 0 =10 et n N:u n+1 = 0,4u n Construire la représentation graphique en chemin de (u n ). (u n ) semble-t-elle être monotone? Majorée? Minorée? 2. Soit (v n ) une suite définie pour tout par v n Montrer que (v ) n est une suite géométrique et préciser ses éléments caractéristiques. 3. Exprimer v n puis u n en fonction de n.. 4. Montrer que (u n ) est majorée par 10 et minorée par Justifier que (u n ) n'est pas monotone.

Éléments de solution : Exercice 1. 1. D'après le graphique, (u n ) semble être strictement décroissante, majorée par 4, minorée par -6 et convergente vers -6. 2.

6 Éléments de solution : Exercice D'après le graphique, (u n ) semble être strictement décroissante, majorée par 4, minorée par -6 et convergente vers v n =0,5u n 3+6=0,5(v n 6)+3=0,5v n donc (v n ) est géométrique de raison 0,5 et de premier terme v 0 =u 0 +6= v n =10 0,5 n donc u n =10 0,5 n 6 4. Comme (v n ) est strictement décroissante (suite géométrique de raison 0,5 [ 0 ;1[ ), (u n ) est aussi strictement décroissante et, en plus, majorée par son premier terme u 0 =4. Comme (v n ) est minorée par 0 (suite géométrique de raison strictement décroissante), (u n ) est minorée par 6. 0,5 [ 0 ;1[, positive et lim (10 0,5 n 6)=10 0 6= 6 car n + 0,5 [ 0 ;1[ ) lim 0,5 n =0 (suite géométrique de raison n +

Exercice 2. 1. 2. v n+1 +1 +a=2u n +1+a=2(v n a)+1+a=2v n a+1 donc, pour que (v n ) soit une suite géométrique, a+1=0 et a=1, v 0 =q=2 sont ses éléments caractéristiques.

7 Exercice v n a=2u n +1+a=2(v n a)+1+a=2v n a+1 donc, pour que (v n ) soit une suite géométrique, a+1=0 et a=1, v 0 =q=2 sont ses éléments caractéristiques. 3. v n =2 2 n =2 n+1 donc u n =2 n lim (2 n+1 1)=+ donc (u n ) n'est pas majorée. n + 5. u n n n n ln(500,5) n 8,9 donc N=8. ln 2

Exercice 3. 1. (u n ) semble être non monotone, majorée par 10 et minorée par -2. 2.

8 Exercice (u n ) semble être non monotone, majorée par 10 et minorée par v n = 0,4u n = 0,4 ( v n ) = 0,4v n = 0,4v n donc (v n ) est une suite géométrique de raison 0,4 et de premier terme v 0 =u = v n = 10 7 ( 0,4)n donc u n = 10 7 ( 0,4)n ( 0,4)n [( 0,4)n +1] 1 ( 0,4) n 6 vrai donc (u n ) est majorée par ( 0,4)n ( 0,4)n 12 = 2,4 vrai 5 car la suite ( 0,4) n est strictement croissante donc (u n ) est minorée par On a u 0 =10, u 1 = 2 et u 2 =2,8, d'où u 0 >u 1 et u 1 <u 2 et (u n ) n'est pas monotone.

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