Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

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Marian Müller
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1 Název: Kuželosečky Autor: Mgr. Jiří Bureš, Ph.D. Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 5. (3. ročník vyššího gymnázia, bilingvní sekce) Tématický celek: analytická geometrie kuželoseček - elipsa, astronomie - Keplerovy zákony Stručná anotace: Výukový materiál je zaměřen na základní využití kuželoseček v astronomii - popis dráhy planet v sluneční soustavě. Žák využije své poznatky o kuželosečkách v úlohách z astronomie a mechaniky... Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu Přírodní vědy prakticky a v souvislostech inovace výuky přírodovědných předmětů na Gymnáziu Jana Nerudy (číslo projektu CZ.2.17/3.1.00/36047) financovaného z Operačního programu Praha - Adaptabilita.

2 II. Ellipse, ellipse et droite (position relative) Fiche de travail Activité 1. Ellipse de centre O (étude avec Geogebra) 1) Créer deux curseurs a et b sur l'intervalle [0 ;5]. 2) Définir l'ellipse (E ) d'équation réduite x2 a 2 + y2 b 2 =1. 3) Déterminer les éléments caractéristiques de l'ellipse (en utilisant les commandes Sommet, Foyer, Axes, ExcentricitéLinéaire). 4) Répondre aux questions suivantes : a) Pour quelles valeurs de a et b l'axe des abscisses représente-t-il l'axe focal de l'ellipse? b) Pour quelles valeurs de a et b l'axe des ordonnées représente-t-il l'axe focal de l'ellipse? c) Lorsque a=b, que devient l'ellipse et ses foyers? d) Quelles sont les coordonnées des sommets et des foyers de l'ellipse en fonction des valeurs de a et b? Activité 2. Ellipse générale (étude avec Geogebra) 1) Créer quatre curseurs : a et b sur l'intervalle [0 ; 5] et m et n sur l'intervalle [ 5 ;5]. 2) Définir l'ellipse (E ) d'équation réduite (x m)2 + (y n)2 =1. a 2 b 2 3) Déterminer les éléments caractéristiques de l'ellipse (en utilisant les commandes Sommet, Foyer, Axes, ExcentricitéLinéaire). 4) Répondre aux questions suivantes : a) Pour quelles valeurs de a et b l'axe focal de l'ellipse est-il parallèle à l'axe des abscisses? b) Pour quelles valeurs de a et b l'axe focal de l'ellipse est-il parallèle à l'axe des ordonnées? c) Quelles sont les coordonnées des sommets et des foyers de l'ellipse en fonction des valeurs de a, b, m et n?

3 Activité 3. Ellipse et droite position relative (étude avec Geogebra) Fiche de travail On considère l'ellipse (E):9 x 2 +4 y 2 =36 et la famille de droites (D): y=2 x +m où m est un paramètre réel. Partie A. 1) Étudier graphiquement la position relative de (D) et (E) suivant les valeurs de m. 2) Étudier par le calcul la position relative de (D) et (E ) suivant les valeurs de m. Partie B. 1) On considère la droite (P) d'équation y = x +4. Vérifier par le calcul que la droite (P) est extérieure à (E ). 2) Déterminer l'équation de la droite (T ) parallèle à (P) qui est tangente à (E ).

4 Éléments de solution Activité 1. 1), 2), 3) voir le fichier Activité 1.ggb 4a) a> b 4b) a< b 4c) un cercle, les foyers deviennent le centre du cercle 4d) Pour a> b : Sommets : A( a,0),b(a, 0), C (0, b), D(0, b) ( e,0),f 2 (e,0) où e= a 2 b 2 Pour a< b : Sommets : A(0,b), B(0, b), C( a,0), D(a, 0) (0, e), F 2 (0, e) où e= b 2 a 2 Activité 2. 1), 2), 3) voir le fichier Activité 1.ggb 4a) a> b 4b) a< b 4c) Pour a> b : Sommets : A(m a, n),b(m+a, n), C (m, n+b),d (m,n b) (m e, n), F 2 (m+e, n) où e= a 2 b 2 Pour a< b : Sommets : A(m,n+b), B(m, n b), C (m a, n), D(m+a, n) (m, n+e), F 2 (m, n e) où e= b 2 a 2

5 Activité 3. Partie A. 1) Etude graphique : pour m= 5 et m=5, (D) est tangente à (E ) pour m ] 5,5[, (D) est sécante à (E ) pour m R [ 5,5], (D) est extérieure à (E ) 2) Calcul : Système d'équations (E):9 x 2 +4 y 2 =36 et (D): y=2 x +m 9 x x 2 +16mx+4m 2 36=0 25 x 2 +16mx+4 m 2 36=0 Δ=(16 m) (4m 2 36)=256m m = 144m = 144(m 2 25) Donc pour m= 5 et m=5, Δ=0 et (D) est tangente à (E ) pour m ] 5,5[, Δ> 0 et (D) est sécante à (E ) pour m R [ 5,5], Δ< 0 et (D) est extérieure à (E )

6 Partie B. 1) Système d'équations (E):9 x 2 +4 y 2 =36 et (P): y= x +4 9 x 2 +4( x +4) 2 =36 9 x 2 +4(x 2 8 x +16)=36 13 x 2 32 x +28=0 Δ=( 32) = = 432<0 donc le système n'a pas de solution et la droite (P) est extérieure à (E ). 2) Système d'équations (E):9 x 2 +4 y 2 =36 et (P): y= x +p où p est un paramètre réel. On cherche les valeurs de p telles que Δ=0. 9 x 2 +4( x +p) 2 =36 9 x 2 +4(x 2 2 px+p 2 )=36 13 x 2 8 px+4 p 2 36=0 Δ=( 8 p) (4 p 2 36)=64 p p = 144 p = 144(p 2 13) Δ=0 pour p= 13 ou p= 13 donc il existe deux droites tangentes à (E ) parallèles à (P) : (T 1 ):y= x + 13 et (T 2 ):y= x 13.

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