Název: Nombres complexes 1 forme algébrique, plan complexe, relations vectorielles

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Iveta Kamila Holubová
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Náev: Nombres complexes 1 forme algébrque plan complexe relatons vectorelles utor: Mgr Hana Černá Náev škol: Gmnáum Jana Nerud škola hl města Prah Předmět mepředmětové vtah: matematka a její aplkace

1 Náev: Nombres complexes 1 forme algébrque plan complexe relatons vectorelles utor: Mgr Hana Černá Náev škol: Gmnáum Jana Nerud škola hl města Prah Předmět mepředmětové vtah: matematka a její aplkace Ročník: 4 ročník blngvní sekce Tématcký celek: fonctons usuelles Stručná anotace: Výukový materál je aměřen na opakování a procvčení učva o komplexních číslech Žák s procvčí algebracký tvar obraení v Gaussově rovně vjádření vektorů pomocí komplexních čísel Časová dotace: x 45 mn Tento výukový materál bl vtvořen v rámc projektu Přírodní věd praktck a v souvslostech novace výuk přírodovědných předmětů na Gmnáu Jana Nerud (číslo projektu Z17/3100/36047) fnancovaného Operačního programu Praha - daptablta

2 1 ompléter: coordonnées cartésennes a b forme algébrque : Dans les exercces suvants le plan est rapporté au repère orthonormal ompléter: Soent deux ponts et d affxes respectves et L affxe du vecteur est On pose x et x Détermner la forme algébrque de l affxe parte magnare du vecteur Précser la parte réelle et la Détermner la norme du vecteur en foncton de x x Détermner le module de la dfférence en foncton de x x Que peut-on constater? La norme du vecteur est à la des ponts et et se calcule comme le de

3 3 Soent ( 1 ) ( 3 4) (1) a) Placer et dans le plan b) Détermner l affxe des ponts I J K les mleux respectfs des segments c) alculer la longueur des segments En dédure la nature du trangle 4 Soent ( ) ( 1 ) ( 4) a) Placer et dans le plan b) Détermner l affxe des ponts I J K les mleux respectfs des segments c) alculer la longueur des segments En dédure la nature du trangle

4 5 ompléter le théorème par une relaton vectorelle Fare un dessn à la man pour llustrer la stuaton Le quadrlatère D est un parallélogramme s et seulement s Le pont K est smétrque de L par rapport à M s et seulement s 6 Soent ( 1 ) ( 3 4) (1) chaque fos fare un dessn à la man écrre le théorème fare le calcul et donner la soluton a) Détermner l affxe du pont D tel que D sot un parallélogramme b) Détermner l affxe du pont E tel que E sot un parallélogramme c) Détermner l affxe du pont F tel que F sot un parallélogramme

5 7 Soent ( 1 ) ( 3 4) (1) a) Détermner l affxe du pont G tel que G G G 0 omment est appelé le pont G qu vérfe cette relaton dans le trangle? G est appelé b) Détermner l affxe du pont H tel que H c) Détermner l affxe du pont I qu est smétrque de par rapport à d) Détermner l affxe du pont J qu est smétrque de par rapport à 8 On consdère les nombres complexes 1 et 3 a) Montrer que le trangle est rectangle socèle 3 b) Détermner l`affxe du pont D tel que D c) Détermner l`affxe du pont E l`mage de par la smétre centrale de centre

6 9 alculer: Parte Résoudre dans : _ 3 1) les équatons et ) le sstème d nconnues complexes 1 et : 1 11 Parte Dans le plan complexe mun d un repère orthonormal O ; u v d unté graphque 1cm on consdère les ponts D d affxes respectves : D 5 1) Placer les mages des affxes de D dans le plan complexe On complétera la fgure au fur et à mesure de l exercce ) Détermner la nature du quadrlatère D 3) Détermner l affxe du pont smétrque du pont par rapport à D 4) Détermner l affxe du pont vérfant D D D 5) Quelle est la nature du quadrlatère D?

7 1 ompléter: coordonnées cartésennes a b forme algébrque : a b Dans les exercces suvants le plan est rapporté au repère orthonormal ompléter: Soent deux ponts et d affxes respectves et L affxe du vecteur est On pose x et x Détermner la forme algébrque de l affxe parte magnare x x x x Re Im Détermner la norme du vecteur en foncton de x x x x Détermner le module de la dfférence x x du vecteur Précser la parte réelle et la en foncton de x x x x x x Que peut on constater? x x La norme du vecteur est égale à la dstance des ponts et et se calcule comme le module de la dfférence x x

8 3 Soent ( 1 ) ( 3 4) (1) a) Placer et dans le plan b) Détermner l affxe des ponts I J K les mleux respectfs des segments I J 1 K c) alculer la longueur des segments En dédure la nature du trangle x x x x 0 4 x x Soent ( ) ( 1 ) ( 4) a) Placer et dans le plan b) Détermner l affxe des ponts I J K les mleux respectfs des segments I J K

9 c) alculer la longueur des segments x x 3 13 x x 3 13 x x En dédure la nature du trangle alors le trangle est socele en lors donc d apres le théoreme de Pthagore le trangle est rectangle en DOnc le trangle est rectangle socele en 5 ompléter le théorème par une relaton vectorelle Fare un dessn à la man pour llustrer la stuaton Le quadrlatère D est un parallélogramme s et seulement s D Le pont K est smétrque de L par rapport à M s et seulement s MK ML LM MK ou 6 Soent ( 1 ) ( 3 4) (1) chaque fos fare un dessn à la man écrre le théorème fare le calcul et donner la soluton

10 a) Détermner l affxe du pont D tel que D sot un parallélogramme D est un parallélogramme ss D D 1 3 D 1 ( 3 4) 6 b) Détermner l affxe du pont E tel que E sot un parallélogramme E est un parallélogramme ss E E 1 5 E c) Détermner l affxe du pont F tel que F sot un parallélogramme F est un parallélogramme ss F F F Soent ( 1 ) ( 3 4) (1) a) Détermner l affxe du pont G tel que G G G 0 omment est appelé le pont G qu vérfe cette relaton dans le trangle? G est appelé centre de gravté G G G 0 G G 3 G 3 G G b) Détermner l affxe du pont H tel que H H H 0 3 ( 3 4) 31 3 H 8 c) Détermner l affxe du pont I qu est smétrque de par rapport à I est smétrque de par rapport à ss I I I I 13 d) Détermner l affxe du pont J qu est smétrque de par rapport à

11 J est smétrque de par rapport à ss J J J 1 3 J On consdère les nombres complexes 1 et 3 a) Montrer que le trangle est rectangle socèle 3 b) Détermner l`affxe du pont D tel que D c) Détermner l`affxe du pont E l`mage de par la smétre centrale de centre Pour montrer que est rectangle socele on va calculer les longueurs des cotés et les comparer et pus vérfer le theoreme de Pthagore x x x x x x alors le trangle est socele en

12 lors donc d apres le théoreme de Pthagore le trangle est rectangle en Donc le trangle est rectangle socèle en 9 alculer: Parte Résoudre dans : _ 3 1) les équatons et ) le sstème d nconnues complexes 1 et : 1 11 Parte Dans le plan complexe mun d un repère orthonormal O ; u v d unté graphque 1cm on consdère les ponts D d affxes respectves : D 5 1) Placer les mages des affxes de D dans le plan complexe On complétera la fgure au fur et à mesure de l exercce ) Détermner la nature du quadrlatère D 3) Détermner l affxe du pont smétrque du pont par rapport à D 4) Détermner l affxe du pont vérfant D D D 5) Quelle est la nature du quadrlatère D?

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