KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU"

Zdeněk Růžička
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU 1. Periodický pohb, kineaika haronického kiání pohb příočarý, po kružnici, a a zpě vibrace, kiání, osciace kiání ůže bý nepravidené, se ae budee zabýva jen pravidený kiání, keréu říkáe HARMONICKÉ. Takové kiání je ožno popsa poocí veičin vhodného rovnoěrného pohbu po kružnici ( r =, T ) vjádři poocí rovnice: a = k zrchení a výchka od rovnovážné pooh v éže okažiku. Veičin popisující haronické kiání, fázorový diagra hp://fzika.jreich.co/index.php?sekce=browse&page=156 a) výchka ax r T T 4 π π 3T T 4 3π π rovn.pooha čas úhe π ω = π f = T = rsin ω = sinω Oázk: 1. Závaží upevněné na pružině kiá haronick s periodou sekund. Předpokádeje apiudu výchk 1 c a počáek ěření v okažiku, kd ěeso prochází rovnovážnou poohou sěre nahoru; určee okažiou výchku ěesa za jednu sekundu a 3 sekund.. Napiše rovnici = f() 5 c. s KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU

Takové kiání je ožno popsa poocí veičin vhodného rovnoěrného pohbu po kružnici ( r =, T ) vjádři poocí rovnice: a = k zrchení a výchka od rovnovážné pooh v éže okažiku.

2 b) rchos a zrchení a c ω rchos a zrchení ěesa vkonávajícího haronické ki jsou projekcí obdobných veičin popisujících vhodný rovnoěrný pohb po kružnici v v cos ω = ωrcosω = ωcosω = veikos a = a sinω = ω rsinω = ω sinω, ae á opačný sěr než výchka akže výsedně c a = ω sin ω = ω Rovnice ůžee odvodi jako první a druhou derivaci výchk pode času v = / = d d = a = v / = dv d = = d d výhoda jednoduché, znaénka +/- získáe přío derivací nevýhoda pouze aeaick, ne každý vidí spojení s reáný pohbe Oázk: 3. Srovneje s první rovnicí definující haronické ki, diskuuje. 4. Nakresee podobné obrázk pro II. IV. kvadran, srovneje sěr rchosi a sěr pohbu ěesa. Ze sěru rchosi a zrchení sanove, je-i pohb zpoaený nebo zrchený. Najděe ísa s nejvěší hodnoou rchosi (zrchení) a nuovou hodnoou sejných veičin. - - KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU

znaénka +/- získáe přío derivací nevýhoda pouze aeaick, ne každý vidí spojení s reáný pohbe Oázk: 3. Srovneje s první rovnicí definující haronické ki, diskuuje. 4. Nakresee podobné obrázk pro II. IV.

3 c) -, v-, a- graf I. II. III. IV. výchka čas/úhe rchos čas/úhe zrchení čas/úhe KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU

4 3. Počáeční fáze důežiá veičina, kdž nezačnee ěři čas v okažiku, kd ěeso prochází rovnovážnou poohou nahoru přísušný úhe/čas usíe přičís nebo odečís, abcho získai kopení sinusoidu nebo kosinusoidu φ ϕ = ω = sin( ω + ϕ ) v = a = je-i úhe odπ do π, počáeční fázi ůžee odečís: φ v = a = = sin( ω ϕ ) Oázk: 5. Urřee počáeční fázi, kdž: a) =.5 s, T = 4 s b) =.1 s, T = s L4/1-14, X15, KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU

sin( ω + ϕ ) v = a = je-i úhe odπ do π, počáeční fázi ůžee odečís: φ v = a = = sin( ω ϕ ) Oázk: 5.

5 4. Mechanický osciáor pružin se chovají pode Hookova zákona k... uhos pružin = sía, kerá způsobí její jednokové prodoužení (=1) F k = [ k ] = N 1 I. II. k g k(+) rovnovážná pooha g I. F = V F P = F G k = g II. F F V V = F P F G F V = k( + ) g = k + k k = k Výsedná sía způsobí zrchení pode. pohbového zákona veikosi: a = k, ae zrchení a výchka ají opačný sěr, akže: a = k k a = srovneje: a = ω a odud k ω = vezěe ω = π T T = π nebo k T, f... vasní perioda, frekvence Oázk: f = 1 π k 6. Na ehkou spiráovou pružinu zavěsíe závaží o honosi 5 g a dojde k jejíu prodoužení o 1 c. Uvažuje apiudu výchk 5 c, nuovou počáeční fázi a vpočíeje: a) periodu aých kiů ve svisé rovině b) rchos v rovnovážné pooze c) zrchení c nad rovnovážnou poohou d) za jak douho se závaží dosane c nad rovnovážnou poohu KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU

pohbového zákona veikosi: a = k, ae zrchení a výchka ají opačný sěr, akže: a = k k a = srovneje: a = ω a odud k ω = vezěe ω = π T T = π nebo k T, f... vasní perioda, frekvence Oázk: f = 1 π k 6.

6 5. Maeaické kvado drobné ěeso o honosi zavěšené na vei ehké neeasické vákno dék z pevného bodu pouze pro aé úh (éně než 5 supňů), kd ůžee kiání považova za příočarý pohb íha ěesa... g g cos Θ... její ahová sožka vrovnaná siou vákna g sinθ... její ečná sožka vrací ěeso k rovnovážné pooze, není vrovnaná. pohbový zákon! Najděe o sí v násedující obrázku: srovneje: g sin Θ = a g = a g a = pro veikosi, ae zrchení a výchka ají opačný sěr, akže: g a = a = ω a odud g ω = vezěe ω = π T Θ T = π nebo g f = 1 π g T, f... vasní perioda, frekvence Oázk: 7. Vsvěee proč perioda aeaického kvada nezáeží na honosi. Dokaže! 8. Kuička o honosi 4 g visí na 5 c douhé sruně. Pak ji srčíe a začne kia s apiudou výchk c. Pokud začnee ěři čas, kdž je nejdá od rovnovážné pooh, spočíeje: a) frekvenci kiání b) za jak douho se dosane do rovnovážné pooh c) při jaké výchce je okažiá rchos právě poovina axiání rchosi d) načrněe graf závisosi výchk na čase L4/9-34, KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU

Najděe o sí v násedující obrázku: srovneje: g sin Θ = a g = a g a = pro veikosi, ae zrchení a výchka ají opačný sěr, akže: g a = a = ω a odud g ω = vezěe ω = π T Θ T = π nebo g f = 1 π g T, f.

7 6. Dnaika haronického kiání I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í haronické kiání je pohb se zrchení a = ω zrchení způsobuje výsedná sía působící na kiající ěeso (. pohbový zákon) F = a = ω rose spou s výchkou, ae á vžd sěr k rovnovážné pooze! Oázk: 9. Diskuuje F v obou předchozích příkadech haronického kiání a) Keré sí působí na echanický osciáor (aeaické kvado) a jaká je jejich výsednice? b) Jaký je vzah ezi veikosí výsednice a výchkou? 1. Podíveje se na všechn předchozí úoh, a pokud áe dos inforací, spočíeje nejvěší výsednou síu a síu v daných výchkách. Pokud o neze, určee, keré údaje vá chbí. 7. Energie osciáorů předpokádeje vasní - neuené ki, kde se echanická energie neění na jiné druh ceková echanická energie zůsává sejná, pouze poenciání a kineická energie se ohou ěni v souadu s násedující rovnicí E = E + E ech k p v rovnovážneé pooze kineická energie je...(ěeso á nejvěší rchos ), poenciání energie je nua v nejvzdáenější pooze kineická energie je... (ěeso se zasaví), poenciání energie je nejvšší ožná 1 1 E kax = v = ω r = Epax = E ech graf závisosi energie na pooze graf závisosi energie na čase energie... energie energie... energie... energie... energie... energie... energie čas -r r Na časové ose vznače násobk a dí period (předpokádeje nuovou počáeční fázi) KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU

Diskuuje F v obou předchozích příkadech haronického kiání a) Keré sí působí na echanický osciáor (aeaické kvado) a jaká je jejich výsednice? b) Jaký je vzah ezi veikosí výsednice a výchkou? 1.

8 8. Vasní, uené a nucené kiání, rezonance vasní (neuené) kiání echanická energie se zachovává pouze ideání siuace uené kiání echanická energie se ění na jiné druh reáná siuace - apiuda kiání se posupně zenšuje, PERIODA ZŮSTÁVÁ STEJNÁ (viz rovnice) hp:// hp://paws.keering.edu/~drusse/deos/sho/dap.h - ehké uení aeaické kvado ve vzduchu - siné uení nekiá, ěeso se pouze vráí do rovnovážné pooh - kriické uení = siné v nejkraší ožné čase T/4 uiče hp://en.wikipedia.org/wiki/shock_absorber hp://auo.howsuffworks.co/car-suspension.h KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU

9 nucené kiání reáná siuace, kd se vnější siou snažíe udrže kiání např. houpačka nebo Baronova kvada veikos působící sí není jedinou důežiou veičinou, sía usí působi ve vhodných časových inervaech (řídící frekvence) ab práce ba iniání (in. energie je řeba k udržení kiání) = rezonance apiuda kiání f řídící frekvence řídící kvado Oázk: 11. Podíveje se na všechn předchozí úoh, a pokud áe dos inforací, spočíeje cekovou echanickou energii kiajícího ěesa, nejvěší kineickou a nejvěší poenciání energii. Předpokádeje vasní kiání. Pokud o neze, určee, keré údaje vá chbí. L4/66 Odpovědi: 1. a) b).,5sin(157) 5. a),5 rad = 45º b),1 rad = 18º 6. a),63 s; b).5 s -1 ; c) s - ; d),4 s 8. a),7 Hz; b),36 s; c) ±1,73 c 1. 6.,5 N;,1 N 8. 15,5 N; 13,4 N ,5 J 8.,15 J KMITÁNÍ MECHANICKÉHO OSCILÁTORU

energie je řeba k udržení kiání) = rezonance apiuda kiání f řídící frekvence řídící kvado Oázk: 11.

Podobné dokumenty

Hlavní body. Úvod do nauky o kmitech Harmonické kmity

Hlavní body. Úvod do nauky o kmitech Harmonické kmity Harmonické kmiy Úvod do nauky o kmiech Harmonické kmiy Hlavní body Pohybová rovnice a její řešení Časové závislosi výchylky, rychlosi, zrychlení, Poenciální, kineická a celková energie Princip superpozice