16.1 KMITÁNÍ 16.2 HARMONICKÝ POHYB 410 KAPITOLA 16 KMITY

Transkript

1 16 Kmity Stalo se to v roce 1989, v dobï, dy se v oolì San Francisa p ipravovalo zah jenì t etì Ë sti SvÏtov ch her. Oblast byla zasaûena seizmic mi vlnami ze 100 m vzd lenèho ohnisa zemït esenì poblìû Loma Prieta. ZemÏt esenì o sìle 7,1 stupú zp sobilo rozs hlè öody a zabilo 67 lidì. Na fotografii vidìme Ë st 1,4 m dlouhèho seu Nimitzovy d lnice, de doölo desìt m smrteln ch zranïnì, dyû se hornì betonov desa z Ìtila na spodnì a zas hla motoristy. P ÌËinou z ÌcenÌ byly nepochybnï prudè ot esy, vyvolanè seizmic mi vlnami. Avöa proë byl pr vï tento se ta v ûnï poöozen, jestliûe ostatnì sey d lnice s tèmï totoûnou onstrucì z ÌcenÌ unily?

2 410 KAPITOLA 16 KMITY 16.1 KMITÁNÍ Přílady mitání, opaujícího se pohybu, nás oblopují ze všech stran. Pozorujeme ývání lustrů, houpání zaotvených člunů, pulzující písty automobilových motorů. Známe chvění ytarových strun, bubnů, zvonů, membrán v telefonních sluchátách a v reprodutorech, řemenných rystalů v náramových hodinách. Méně evidentní je mitání moleul vzduchu, teré přenáší zvuové rozruchy, mitání atomů v pevné látce, zodpovědné za vjem teploty, a mitání eletronů v rádiových anténách a televizních vysílačích. Kmitání není omezeno na hmotné objety, jao jsou houslové struny a eletrony. Periodicý pohyb pozorujeme taé u jevů spojených s šířenímsvětla, rádiových vln, rentgenového záření a γ -záření. Tento druh oscilací budeme studovat v následujících apitolách. Budou námtamvelmi užitečné analogie s mitáním mechanicých systémů, na teré se zaměříme v této apitole. V reálnémsvětě je mitání obvyle tlumené: třecí síly postupně přeměňují mechanicou energii na teplo a pohyb ustává. Taové ztráty mechanicé energie nemůžeme nidy zcela vyloučit, energii vša můžeme doplňovat z vhodného zdroje. Napřílad děti na obr dovedou při houpání pumpovat, tj. švihnout nohama nebo se srčit podle oamžitého pohybu houpačy, a tím mitání udržují nebo i zvětšují. Přeměňují ta vlastně biochemicou energii na mechanicou energii mitajícího systému. x m v x m 0 v v v v +x m +x m x t = T/4 t = 0 t = T/4 t = T/2 t = 3T/4 t = T Obr Série snímů (vytvořených po uplynutí stejných časových intervalů) uazuje polohu částice, terá se pohybuje tama zpět olempočátu osy x. Krajními polohami jsou body x m a +x m. Dély šipe na obrázu jsou jednotně šálovány a uazují rychlost částice v daných bodech. V počátu má částice největší rychlost.v polohách ±x m je její rychlost nulová.jestliže zvolíme počáte odečítání času v poloze +x m,částicesedoní vrátí poprvé v čase t = T, de T je perioda pohybu. Pohyb, e terému došlo v průběhu právě uplynulé periody, se pa opauje. V tomto odstavci pohyb částice pouze popíšeme. Později budeme studovat, ja lze dané mitání vyvolat. Začneme zavedením důležitého parametru mitání, jeho frevence neboli mitočtu. Frevence udává počet mitů, teré jsou doončeny v průběhu aždé seundy. Frevenci označujeme symbolem f, její jednotou v soustavě SI je hertz (zrata Hz). Platí tedy Obr Dítě se brzy naučí dodávat houpačce energii a udržovat tímjejí pohyb HARMONICKÝ POHYB Obr předvádí sérii snímů mitajícího systému: částice se opaovaně pohybuje tama zpět olempočátu osy x. 1hertz= 1Hz= 1 mit za seundu = = 1s 1. (16.1) S frevencí souvisí perioda pohybu T. Ta udává dobu, za terou se usuteční jeden úplný mit (jeden cylus). To znamená T = 1 f. (16.2) Jaýoliv pohyb, terý se v pravidelných intervalech opauje, nazýváme pohyb periodicý. My zde budeme studovat zvláštní případ periodicého pohybu: opaující se úse

3 16.2 HARMONICKÝ POHYB 411 bude vždy odpovídat situaci na obr Pro tento případ je časová závislost výchyly částice určena funcí x(t) = x m cos(ωt + ϕ) (výchyla), (16.3) de x m, ω a ϕ jsou dané onstanty. Tento pohyb budeme nazývat jednoduchý harmonicý pohyb nebo prostě harmonicý pohyb. Veličina x m v rov. (16.3) je ladná onstanta, jejíž hodnota závisí na počátečních podmínách. Nazýváme ji amplituda; spodní index mznamená maximum. Amplituda výchyly totiž udává veliost největší možné výchyly částice v obou směrech od počátu. Funce osinus v rov. (16.3) se mění mezi rajními hodnotami ±1, taže výchyla x(t) se mění mezi rajními hodnotami ±x m.vidíme to i na obr Časově závislý výraz (ωt + ϕ) v rov. (16.3) se nazývá fáze pohybu, onstanta ϕ je počáteční fáze. Její hodnota závisí na výchylce a rychlosti částice v čase t = 0. Pro oba průběhy x(t) na obr. 16.3a je fázová onstanta nulová (srovnejme tyto průběhy a hodnoty zísané z rov. (16.3) pro t = 0). Zbývá vysvětlit onstantu ω. Po uplynutí jedné periody T se musí částice navrátit do svého výchozího stavu. Z toho plyne, že pro libovolné t se musí taé x(t) rovnat x(t + T). Položme pro jednoduchost v rov. (16.3) ϕ = 0. Z uvedené podmíny potom dostaneme x m cos(ωt) = x m cos ( ω(t + T) ). Funce osinus má periodu 2Ô rad. Předchozí rovnice tedy dává ωt + 2Ô = ω(t + T) a odtud ω. Uvážíme-li ještě rov. (16.2), máme celově ω = 2Ô T = 2Ôf. (16.4) Veličina ω se nazývá úhlová frevence (taé ruhová frevence či úhlový mitočet) pohybu; její jednota v soustavě SI je radián za seundu. (Máme-li být tedy důslední, musíme vyjadřovat fázi ϕ v radiánech.) Na obr jsou porovnány dva harmonicé pohyby, teré se liší bu jen svou amplitudou, nebo jen svou periodou (a tedy frevencí a úhlovou frevencí), anebo jen fázovou onstantou. výchyla výchyla výchyla x m x m 0 x m x m x m 0 x m 0 x x x T T T ϕ = 0 ϕ = Ô 4 (a) (b) čas t (c) Obr Modrá řiva je ve všech třech případech zareslena podle rov. (16.3) s ϕ = 0. (a) Červená řiva se liší od modré pouze tím, že pro ni je amplituda x m větší. (b) Červená řiva se liší od modré pouze tím, že pro ni je perioda T = T/2. (c) Červená řiva se liší od modré pouze tím, že pro ni je ϕ = Ô/4 rad a nioliv nula. KONTROLA 1: Částice vyonává harmonicý pohyb s periodou T (podobně jao na obr. 16.2). V čase t = 0 se nacházela na souřadnici x m. Rozhodněte, zda ji v čase (a) t = 2,00T,(b)t = 3,50T,(c)t = 5,25T nalezneme v bodě o souřadnici x m, o souřadnici x m, v počátu souřadnic, mezi x m a0, mezi 0 a x m. Rychlost harmonicého pohybu Rychlost částice dostaneme jao obvyle derivací výrazu pro souřadnici. V případě harmonicého pohybu jde t t

4 412 KAPITOLA 16 KMITY tedy o derivaci rov. (16.3): neboli v(t) = dx dt = d dt ( xm cos(ωt + ϕ) ) v(t) = ωx m sin(ωt + ϕ) (rychlost). (16.5) Na obr. 16.4a je graf funce odpovídající rov. (16.3) s ϕ = = 0. Obr. 16.4b uazuje rov. (16.5), rovněž pro ϕ = 0. Podobně jao jsme nazvali x m v rov. (16.3) amplitudou, nazveme nyní ladnou veličinu ωx m v rov. (16.5) amplitudou rychlosti v m. Na obr. 16.4b vidíme, ja se rychlost mitající částice mění mezi hodnotami ±v m (tj. ±ωx m ). Na tomto obrázu si taé všimněme, že řiva odpovídající v(t) je posunuta o čtvrtinu periody doleva vzhledeme řivce x(t): jestliže je veliost výchyly největší (tj. x(t) = x m ), je veliost rychlosti nejmenší (tj. v(t) = 0). A v oamžiu, dy je veliost výchyly nejmenší (tj. nulová), je veliost rychlosti největší (je rovna v m = ωx m ). výchyla rychlost zrychlení x +x m 0 x m v +ωx m 0 ωx m a +ω 2 x m 0 ω 2 x m T (a) (b) (c) čas t Obr (a) Výchyla částice x(t) pro harmonicý pohyb s fázovou onstantou ϕ rovnou nule. Perioda T ohraničuje jeden úplný mit. (b) Rychlost částice v(t) a (c) zrychleníčásticea(t) pro tento pohyb. Zrychlení harmonicého pohybu Derivací rychlosti dostaneme zrychlení částice. V případě harmonicého pohybu tedy derivujeme rov. (16.5) a dostaneme a(t) = dv dt = d dt ( ωxm sin(ωt + ϕ) ) t t neboli a(t) = ω 2 x m cos(ωt + ϕ) (zrychlení). (16.6) Na obr. 16.4c je graf funce odpovídající rov. (16.6), opět pro případ ϕ = 0. Kladná veličina ω 2 x m v rov. (16.6) se nazývá amplituda zrychlení a m. Zrychlení částice se tedy mění v rozmezí ±a m (tj. ±ω 2 x m ); vidíme to taé na obr. 16.4c. Navíc si všimněme, že řiva a(t) je posunuta vzhledeme řivce v(t) o čtvrtinu periody doleva. V této chvíli můžeme propojit rov. (16.3) a (16.6); dospějeme e vztahu a(t) = ω 2 x(t). (16.7) Tato rovnice je jaýmsi puncem harmonicého pohybu: zrychlení částice je úměrné výchylce a má opačné znaméno, přitom onstantou úměrnosti je druhá mocnina úhlové frevence. Největší ladná hodnota výchyly tedy odpovídá zápornému zrychlení s největší veliostí a naopa. Je-li výchyla částice nulová, je její zrychlení taé nulové. Tato tvrzení ilustruje obr Bod 16.1: Fáze RADY A NÁMĚTY Všimněte si, jaou roli hraje při reslení x(t) onstanta ϕ. Jestliže je ϕ = 0, graf funce x(t) bude vždy podobný řivce na obr. 16.4a, tj. typicé řivce pro funci osinus. Záporná hodnota ϕ posune řivu podél časové osy doprava (jao na obr. 16.3c), zatímco ladná hodnota ϕ ji posune doleva. Uvažme dva harmonicé pohyby, lišící se pouze v této onstantě. Říáme o nich, že mají fázový rozdíl, že jedna vůči druhé má fázový posuv, že jsou navzájem fázově posunuty neboli že jsou navzájem rozfázovány. Napřílad řivy na obr. 16.3c mají fázový rozdíl Ô/4rad. Harmonicý pohyb se opauje po uplynutí aždé periody T a funce osinus se opauje po aždých 2Ô rad. To znamená, že perioda T odpovídá fázovému rozdílu 2Ô rad. Na obr je řiva x(t) posunuta vzhledeme řivce v(t) o čtvrtinu periody doprava neboli je vzhledem ní fázově posunuta o Ô/2 rad. Současně je tato řiva posunuta vzhledem a(t) o polovinu periody doprava neboli je vzhledem a(t) posunuta o Ô rad. Fázový posuv 2Ô rad způsobí, že se daný harmonicý pohyb ztotožní sám se sebou jinými slovy, vůbec se nezmění POHYBOVÁ ROVNICE PRO HARMONICKÝ POHYB Nyní již víme, ja se zrychlení částice mění s časem. Druhý Newtonův záon námodpoví na otázu, jaá síla musí na

5 16.3 POHYBOVÁ ROVNICE PRO HARMONICKÝ POHYB 413 částici působit, aby jí bylo udělováno právě toto očeávané zrychlení. Z Newtonova záona a z rov. (16.6) dostaneme pro harmonicý pohyb F = ma = (mω 2 )x. (16.8) Síla je tedy přímo úměrná výchylce a opačně orientovaná: F = ma = x. (16.9) To odpovídá Hooovu záonu pro pružinu, jejíž tuhost je v danémpřípadě = mω 2. (16.10) Rov. (16.9) ta vlastně představuje alternativní definici harmonicého pohybu. Ta zní: Částice o hmotnosti m vyonává harmonicý pohyb, jestliže na ni působí síla přímo úměrná výchylce částice z rovnovážné polohy a orientovaná proti výchylce. Soustava pružina + těleso na obr se nazývá harmonicý, nědy též lineární oscilátor. Slovo lineární pouazuje na sutečnost, že síla F je úměrná první (a nioliv nějaé jiné) mocnině výchyly x. Jeho úhlová frevence ω souvisí vztahem(16.10) s tuhostí pružiny a s hmotností tělesa m. Dostaneme tedy ω = m (úhlová frevence). (16.11) Kombinací rov. (16.4) a (16.11) pa ihned zísáme periodu harmonicého oscilátoru na obr. 16.5: m (perioda). (16.12) Rov. (16.11) říá totéž, co rov. (16.12): velou hodnotu úhlové frevence (a tedy malou periodu) dostaneme v případě tuhé pružiny (velé ) a lehého tělesa (malé m). x m x = 0 m +x m bez tření Obr Harmonicý oscilátor. Jamile poněud vychýlíme těleso na stranu a poté je uvolníme, vznine podobně jao u částice na obr harmonicý pohyb. Výchyla tělesa je určena rov. (16.3). x U jaéhooliv mitajícího systému tohoto typu, a už je to harmonicý oscilátor na obr. 16.5, soansé prno nebo houslová struna,najdeme vždy jedna jistou tendenci návratu, jedna setrvačnost. V případě oscilátoru na obr jsou obě tyto tendence spojeny s odlišnými složami mitajícího systému: tendence návratu je reprezentována výhradně nehmotnou pružinou a setrvačnost je vázána výhradně na hmotné těleso. V případě houslové struny, ja uvidíme v ap. 17, jsou obě zmíněné tendence vázány na samotnou strunu. Jsou ovšem i jiné mechanismy mitů. Např. při relaxačních mitech se pro pohybující se předmět vždy v oolí rajní polohy změní pravidla hry, podobně u třecích tónů se pravidelně odtrhují víry od přeážy v proudění vzduchu. Zde je nebudeme podrobněji rozebírat. KONTROLA 2: Který z následujících vztahů mezi silou F, působící na částici, a polohou částice x, popisuje harmonicý pohyb: (a) F = 5x, (b)f = 400x 2, (c) F = 10x,(d)F = 3x 2? PŘÍKLAD 16.1 Těleso o hmotnosti m = 680 g je připojeno pružině tuhosti = 65 N m 1. Těleso, pohybující se na hladé podložce, vychýlíme o x = 11 cmz rovnovážné polohy x = 0. V nové poloze je těleso v lidu. Poté jej v čase t = 0 uvolníme. (a) Jaou silou působí v oamžiu uvolnění pružina na těleso? ŘEŠENÍ: Podle Hooova záona platí F = x = (65 N m 1 )(0,11 m) = = 7,2N. (Odpově ) Znaméno minus nám připomíná, že síla a výchyla mají opačnou orientaci. Sutečně, pružina působí na těleso silou, terá směřuje rovnovážné poloze, zatímco výchyla směřuje od rovnovážné polohy. (b) Jaá je úhlová frevence, frevence a perioda vznilého mitání? ŘEŠENÍ: Podle rov. (16.11) máme ω = m = (65 N m 1 ) = (0,68 g) = 9,78 rad s 1. = 9,8rad s 1. (Odpově ) Frevenci nyní dostaneme z rov. (16.4): f = ω = (9,78 rad s 1 ) = 2Ô 2Ô = 1,56 Hz =. 1,6Hz. (Odpově )

6 414 KAPITOLA 16 KMITY Perioda je převrácenou hodnotou frevence: (c) Určete amplitudu výchyly. T = 1 f = 1 (1,56 Hz) = = 0,64 s = 640 ms. (Odpově ) ŘEŠENÍ: V čl. 8.4 jsme zoumali mechanicou energii soustavy pružina + těleso, podobné lineárnímu oscilátoru na obr Poud neuvažujeme tření, mechanicá energie se běhempohybu zachovává. V našempřípadě je těleso uvolněno s nulovou počáteční rychlostí v oamžiu, dy je vzdáleno 11 cm od rovnovážné polohy. Má tedy v tomto oamžiu nulovou ineticou energii a má ji taé nulovou, dyoliv se později opět nachází 11 cmod rovnovážné polohy. Jeho největší možná vzdálenost od rovnovážné polohy je tedy 11 cm, tj. x m = 11 cm. (d) Určete maximální rychlost mitajícího tělesa. (Odpově ) ŘEŠENÍ: Amplituda rychlosti je určena rov. (16.5). V našempřípadě v m = ωx m = (9,78 rad s 1 )(0,11 m) = = 1,1m s 1. (Odpově ) Těleso má tuto největší možnou rychlost v oamžiu, dy právě míjí počáte osy x. Uazuje to taé srovnání obr. 16.4a a 16.4b; největší rychlost odpovídá x = 0. (e) Určete maximální zrychlení tělesa. ŘEŠENÍ: Amplituda zrychlení je určena rov. (16.6). V našempřípadě a m = ω 2 x m = (9,78 rad s 1 ) 2 (0,11 m) = = 11 m s 2. (Odpově ) Těleso má toto (co do veliosti) největší možné zrychlení, dyoliv se nachází v bodech obratu. V těchto bodech je taé největší síla, terou na těleso působí pružina. Uazuje to taé srovnání obr. 16.4a a 16.4c; výchyla a zrychlení nabývají svých největších i nejmenších hodnot současně. (f) Jaá je fázová onstanta pohybu ϕ? ŘEŠENÍ: V čase t = 0, tj. v oamžiu uvolnění tělesa, nabývala jeho výchyla x své maximální hodnoty x m. Rychlost v tělesa byla nulová. Tyto dvě relace se nazývají počáteční podmíny. Jestliže je uplatníme postupně v rov. (16.3) a (16.5), dostaneme 1 = cos ϕ a 0 = sin ϕ. Nejmenší úhel, terý splňuje obě tyto podmíny, je ϕ = 0. (Odpově ) (Podmíny jsou splněny taé pro libovolný celý násobe úhlu 2Ô rad.) PŘÍKLAD 16.2 Uvažujme harmonicý oscilátor na obr V čase t = 0je výchyla x(0) rovna 8,5 cm, rychlost v(0) je 0,920 m s 1 azrychlenía(0) je +47,0m s 2. (a) Určete úhlovou frevenci a frevenci mitání. ŘEŠENÍ: V rov. (16.3) položme t = 0. Dostaneme x(0) = x m cos ϕ. (16.13) Podobně po dosazení t = 0 do rov. (16.5) a (16.6) máme a v(0) = ωx m sin ϕ (16.14) a(0) = ω 2 x m cos ϕ. (16.15) Poslední tři rovnice obsahují tři neznámé, jmenovitě x m, ϕ a ω. Postupně je nalezneme všechny, v této části úolu hledáme pouze úhlovou frevenci ω. Sestavíme podíl rov. (16.15) a (16.13). Ze vznilého výrazu vypočteme ω = a(0) x(0) = (47,0m s 2 ) ( 0,085 0 m) = = 23,5rad s 1. (Odpově ) Frevence f je určena vztahem(16.4). V našempřípadě f = ω = (23,5rad s 1 ) = 3,74 Hz. (Odpově ) 2Ô 2Ô (b) Určete fázovou onstantu ϕ. ŘEŠENÍ: Nejprve sestavíme podíl rov. (16.14) a (16.13): v(0) x(0) = ωx m sin ϕ = ω tg ϕ. x m cos ϕ Z tohoto vztahu nyní vypočteme tg ϕ: tg ϕ = v(0) ωx(0) = ( 0,920 m s 1 ) (23,5rad s 1 )( 0,085 0 m) = = 0,461. Máme ta zatím dvě možná řešení ϕ = 25 a ϕ = 155. V následující části úlohy rozhodneme, terá z obou fázových onstant je správná. (c) Určete amplitudu mitání x m.

7 16.3 POHYBOVÁ ROVNICE PRO HARMONICKÝ POHYB 415 ŘEŠENÍ: Vyjdeme z rov. (16.13) a prozatímně dosadíme ϕ = 155 : x m = x(0) cos ϕ = ( 0,0850m) cos 155 = = 0,094 m = 9,4cm. (Odpově ) Podobně hodnota ϕ = 25 by vedla x m = 9,4cm. Avša amplituda výchyly musí být vždy ladná onstanta úhel ϕ = 25 musíme vyloučit. Správný výslede části (b) je tedy ϕ = 155. (Odpově ) PŘÍKLAD 16.3 Vliv onstantní síly na harmonicý oscilátor. Pružinu z obrázu 16.5 zavěsíme svisle dolů podle obr Osu y orientujme podél ní s počátem v poloze, de by byl onec nezatížené pružiny. Poté pružinu zatížíme tělesem hmotnosti m. (b) Těleso svisle vychýlíme a uvolníme. S jaou periodou bude mitat? Porovnejte tuto situaci s obr. 16.5, dy pružina není namáhána tíhou tělesa, a s obecným řešením vpř.16.1a,b. ŘEŠENÍ: Při výchylce y z rovnovážné polohy y r působí pružina na těleso silou F y = (y + y r ). (16.17) Na těleso působí romě této síly ještě onstantní tíhová síla G, taže výsledná síla F v působící na těleso je F v = F + mg. (16.18) Po dosazení rov. (16.16) a (16.17) do rov. (16.18) dostáváme F v, y = (y + mg ) + mg = y. (16.19) Odtud vša plyne, že výsledná síla je opět přímo úměrná výchylce z rovnovážné polohy, je opačně orientovaná a má stejný oeficient úměrnosti tuhost, jaý měla nezatížená pružina. Proto naše soustava mitá se stejnou frevencí, s jaou mitá soustava na obr řešená v př y y y r Obr Přílad Konec nezatížené pružiny je v počátu osy y. Rovnovážná poloha zatížené pružiny je y r. Výchyla z této rovnovážné polohy je y. (a) Jaé je protažení y r zatížené pružiny v rovnovážné poloze? ŘEŠENÍ: V rovnovážné poloze je výslednice sil působících na těleso, tj. síly pružnosti F a síly tíhové G, rovna nule. Jediné nenulové složy jsou y-ové a platí pro ně m F y + G y = y r + mg = 0. Odtud určíme hledanou rovnovážnou polohu y r = mg. (16.16) RADY A NÁMĚTY Bod 16.2: Určení typu mitání V případě libovolného harmonicého pohybu jsou zrychlení a a výchyla x vázány vztahemtvaru a = (ladná onstanta) x, terý říá: zrychlení je úměrné výchylce z rovnovážné polohy, ale je opačně orientované. Jamile již nalezneme v dané úloze taový vztah, můžeme jej oamžitě srovnat s rov. (16.7), tj. uvedenou ladnou onstantu můžeme identifiovat jao ω 2. Tím již vlastně máme úhlovou frevenci pohybu. Poté nalezneme pomocí rov. (16.4) periodu T a frevenci f. V př uvidíme, že tentýž postup lze použít určení harmonicých torzních mitů. V tomto případě jsou úhlové zrychlení ε a úhlová výchyla θ svázány relací tvaru ε = (ladná onstanta) θ, terá říá: úhlové zrychlení je úměrné úhlové výchylce z rovnovážné polohy, je vša orientované proti této výchylce. Podobně jao v předchozím případě můžeme ztotožnit ladnou onstantu s ω 2, a tímnajít postupně veličiny ω, T a f. V něterých úolech dospějete nejprve závislosti síly F na výchylce x. V případě harmonicého pohybu má tato závislost tvar F x = (ladná onstanta) x.

8 416 KAPITOLA 16 KMITY To znamená, že síla je úměrná výchylce, míří vša proti ní. Jamile již nalezneme taovou závislost, můžeme ji oamžitě srovnat s rov. (16.9), tj. ladnou onstantu můžeme identifiovat jao. Jestliže navíc známe hmotnost mitajícího tělesa, uplatníme postupně rov. (16.11), (16.12) a (16.4) určení úhlové frevence ω, periody T a frevencef. Podobně postupujeme pro torzní harmonicý pohyb. V tomto případě je vratný moment síly M vázán s úhlovou výchylou θ vztahemtypu M = (ladná onstanta) θ, terý říá: moment síly je úměrný úhlové výchylce z rovnovážné polohy, má vša opačný směr ENERGIE HARMONICKÉHO OSCILÁTORU V ap. 8 jsme si již povšimli, ja se energie harmonicého oscilátoru přelévá sema tammezi energií ineticou a energií potenciální, zatímco jejich součet celová mechanicá energie oscilátoru E zůstává onstantní. Podívejme se nyní na tuto situaci z vantitativního hledisa. Potenciální energie harmonicého oscilátoru na obrázu 16.5 je spojena výhradně s pružinou. Její veliost závisí na tom, o oli je pružina stlačena nebo protažena, tedy na výchylce x(t). Jestliže použijeme postupně rov. (8.11) a (16.3), dostaneme E p (t) = 1 2 x2 = 1 2 x2 m cos2 (ωt + ϕ). (16.20) Všimněme si zde pozorně výrazu cos 2 A: jeho významje (cos A) 2 a nelze jej zaměňovat s výrazem cos A 2, terý znamená cos(a 2 ). Kineticá energie systému je vázána výhradně na mitající hmotné těleso. Její veliost závisí na tom, ja rychle se těleso pohybuje, tedy na rychlosti v(t). Z rov. (16.5) dostaneme E (t) = 1 2 mv2 = 1 2 mω2 xm 2 sin2 (ωt + ϕ). (16.21) Podle rov. (16.11) můžeme za ω 2 dosadit /m, taže rov. (16.21) lze přepsat do tvaru E (t) = 1 2 mv2 = 1 2 x2 m sin2 (ωt + ϕ). (16.22) Celová mechanicá energie E je součtempříspěvů zísaných v rov. (16.20) a (16.22): E = E p + E = = 1 2 x2 m cos2 (ωt + ϕ) x2 m sin2 (ωt + ϕ) = = 1 2 m( x2 cos 2 (ωt + ϕ) + sin 2 (ωt + ϕ) ). Pro libovolný úhel α vša platí cos 2 α + sin 2 α = 1. Výraz ve velých závorách v rovnici pro energii E je tedy roven jedné a výslede zní E = E p + E = 1 2 x2 m. (16.23) Mechanicá energie harmonicého oscilátoru je tedy sutečně na čase nezávislá, je onstantní. Potenciální energie a ineticá energie lineárního oscilátoru jao funce času jsou znázorněny na obr. 16.7a a jao funce výchyly na obr. 16.7b. energie E 0 E x m E (t)+e p (t) T/2 T (a) energie E (x)+e p (x) E p (x) E (x) 0 +x m (b) E p (t) E (t) čas t výchyla x Obr (a) Potenciální energie E p (t), ineticá energie E (t) a celová mechanicá energie E harmonicého oscilátoru jao funce času. Všimněte si, že všechny energie jsou nezáporné a že během jedné periody dojde dvarát dosažení maxima ja u ineticé, ta u potenciální energie. (b) Potenciální energie E p (t), ineticá energie E (t) a celová mechanicá energie E harmonicého oscilátoru s amplitudou výchyly x m jao funce výchyly x. Pro x = 0 je vešerá mechanicá energie tvořena energií ineticou, pro x =±x m naopa energií potenciální. Nyní je již patrně pochopitelné, proč obvyle zahrnuje mitající systém jedna jistý element spojený s tendencí návratu do rovnovážné polohy, jedna jistý element setrvačnosti: první z nich na sebe váže potenciální energii a druhý energii ineticou.

9 16.5 TORZNÍ KMITY 417 KONTROLA 3: Těleso na obr má v jistém oamžiu výchylu x = +2,0 cm. V tomto oamžiu je jeho ineticá energie 3 J a pružina má potenciální energii pružnosti o veliosti 2 J. (a) Ja je velá ineticá energie tělesa při x = 0? Jaé jsou hodnoty potenciální energie pružnosti při (b) x = 2,0cm, a při (c) x = x m? upevněný onec závěsné vláno referenční rysa PŘÍKLAD 16.4 (a) Jaá je mechanicá energie oscilátoru z příladu 16.1? ŘEŠENÍ: Dosadíme údaje z př do rov. (16.23): E = 1 2 x2 m = 1 2 (65 N m 1 )(0,11 m) 2 = = 0,393 J. = 0,39 J. (Odpově ) Tato hodnota zůstává běhempohybu onstantní. (b) Jaá je potenciální energie tohoto oscilátoru v oamžiu, dy se těleso nachází na polovině cesty bodu obratu, tj. jestliže x =±x m /2? ŘEŠENÍ: Pro libovolnou výchylu je potenciální energie určena vztahem E p = 1 2 x2. V našempřípadě E p = 1 2 x2 = 1 2 ( 1 2 x ) 2 ( m = 1 1 ) 4 2 x2 m = = 1 4 E = 1 4 (0,393 J) = 0,098 J. (Odpově ) (c) Jaá je ineticá energie oscilátoru při x = x m /2? ŘEŠENÍ: Kineticou energii nalezneme prostým odčítáním: E = E E p = = 0,393 J 0,098 J. = 0,30 J. (Odpově ) Jestliže se tedy dyoliv běhemmitání těleso nachází v bodě x = x m /2, má 25 % jeho mechanicé energie formu energie potenciální a 75 % formu ineticé energie TORZNÍ KMITY Na obr vidíme jinou variantu harmonicého oscilátoru. Na rozdíl od předchozích příladů, de hybnou silou bylo protažení či stlačení pružiny, zde působí roucení závěsného vlána. Uvedené zařízení se nazývá torzní yvadlo, slovo torze znamená roucení. Jestliže pootočíme dis na obr vzhledem jeho rovnovážné poloze (v ní uazuje rysa na značu 0) a pa uvolníme, začne rysa mitat olem rovnovážné polohy; θ m 0 +θ m Obr Torzní yvadlo je otáčivá varianta lineárního harmonicého oscilátoru z obr Dis mitá ve vodorovné rovině; referenční rysa se vychyluje s úhlovou amplitudou θ m. V průběhu roucení na sebe závěsné vláno váže potenciální energii, podobně jao ji dříve vázala pružina. Kroucenímse současně vytváří vratný točivý moment. dojde torzním mitům. Při úhlové výchylce rysy θ v libovolném z obou směrů vzniá vratný silový moment, určený vztahem M = ϰθ. (16.24) Konstanta ϰ (řecé písmeno appa) se jmenuje torzní tuhost neboli tuhost ve zrutu. Její veliost závisí na délce závěsného vlána, na jeho průměru a na materiálu, z něhož je vláno vyrobeno. Při srovnání rov. (16.24) a (16.9) začínáte tušit, že rov. (16.24) je vlastně torzní varianta Hooova záona. Pousíme se tedy transformovat rov. (16.12), udávající periodu lineárního oscilátoru, na rovnici pro periodu torzního oscilátoru. V rov. (16.12) předně nahradíme tuhost pružiny veličinou, terá nyní měří veliost vratné tendence; tou je podle rov. (16.24) torzní tuhost ϰ. Dále nahradíme v rov. (16.12) hmotnost m veličinou, terá jí nyní odpovídá, tj. terá nyní vyjadřuje setrvačnou tendenci při otáčení disu; tou je moment setrvačnosti I mitajícího disu. Tyto dvě substituce nás již přivádějí e vztahu I (torzní yvadlo) (16.25) ϰ pro periodu torzního oscilátoru neboli torzního yvadla. PŘÍKLAD 16.5 Na obr. 16.9a vidíme tenou tyč dély L = 12,4cmohmotnosti m = 135 g, zavěšenou uprostřed na dlouhémvláně. Pro tento torzní oscilátor jsme změřili periodu T a = 2,53 s. Na obr. 16.9b je znázorněno nepravidelné těleso X, zavěšené

10 418 KAPITOLA 16 KMITY na stejném vláně. Pro tento torzní oscilátor jsme naměřili periodu T b = 4,76 s. závěsné vláno L tyč Sestavíme opět podíl druhého a prvního výrazu a dosadíme I c = I a + I b.dostanemeta T c = T a I c = (2,53 s) = T a I a I a + I b I a = T a 1 + I b I a = 1 + (6, g m 2 ) (1, g m 2 ) = = 5,39 s. (Odpově ) těleso X (a) (b) (c) Obr Přílad Tři zobrazená torzní yvadla jsou tvořena závěsnýmvlánema (a) tyčí, (b) nepravidelnýmtělesema (c) tyčí pevně spojenou s nepravidelnýmtělesem. (a) Jaý je moment setrvačnosti tělesa X vzhledem ose, určené závěsnýmvlánem? ŘEŠENÍ: Podle tab. 11.2e je moment setrvačnosti tené tyče vzhledem ose, procházející středemtyče olmo na její osu, roven 1 12 ml2. Máme tedy I a = 1 12 ml2 = 1 12 (0,135 g)(0,124 m)2 = = 1, g m 2. Napišme nyní dvarát rov. (16.25); jednou pro tyč a podruhé pro těleso X: T a = 2Ô Ia ϰ a T b = 2Ô Ib Spodní indexy zde odpovídají po řadě obr. 16.9a a 16.9b. Torzní onstanta ϰ vyjadřuje vlastnosti vlána a to je na obou obrázcích stejné. Liší se pouze momenty setrvačnosti aperiody. Nyní obě uvedené rovnice umocníme a druhou z nich vydělíme rovnicí první. Výsledný vztah představuje rovnici pro I b. Jejímřešenímdostaneme I b = I a T 2 b T 2 a ϰ. = (1, g m 2 (4,76 s)2 ) (2,53 s) 2 = = 6, g m 2. (Odpově ) (b) Jaá by byla perioda mitů torzního oscilátoru na obr. 16.9c, vznilého spojenímobou uvažovaných těles a jejich zavěšenímna uvažované vláno? ŘEŠENÍ: Opět napíšeme dvarát rov. (16.25), avša tentorát jao T a = 2Ô Ia ϰ a T c = 2Ô Ic ϰ KYVADLA Nyní se zaměříme na jistou třídu harmonicých oscilátorů, u nichž je vratný element spojen s gravitační silou, a nioliv s elasticými vlastnostmi vlána při jeho roucení, popřípadě se stlačeníma protaženímpružiny. Matematicé yvadlo Upevněme dlouhé vláno na nosní a zavěsme na jeho spodní onec jablo. Když jablo slabě vychýlíme a pa uvolníme, bude jeho další pohyb periodicý. Avša je toto ývání harmonicý pohyb? V idealizované situaci budeme uvažovat matematicé yvadlo, abstratní objet, tvořený bodovou částicí o hmotnosti m (závaží yvadla) a nehmotnýmpevnýmvlánemdély L. Vše je znázorněno na obr a: závaží se volně houpe tama zpět v rovině strány,tj. doleva a doprava od svislé přímy vedené bodem závěsu. m L θ (a) m mg cosθ θ F n mg (b) L θ s = Lθ mg sinθ Obr (a) Matematicé yvadlo. (b) Na závaží působí dvě síly: tíhová síla mg a síla vlána F n. Tečná složa tíhové síly mg sin θ představuje vratnou sílu: snaží se vrátit závaží do rovnovážné polohy. Setrvačný element tohoto yvadla je spojen s částicí hmotnosti m. Vratný element spočívá v přitažlivém působení mezi částicí a Zemí. Změna potenciální energie je

11 16.6 KYVADLA 419 určena změnou výšy částice nad povrchem Země; na vertiální pohyb závaží můžeme pohlížet jao na změnu dély gravitační pružiny. Na závaží působí dvě síly, obě jsou zobrazeny na obr b: tíhová síla mg a síla vlána F n. Tíhovou sílu rozložíme na radiální složu mg cos θ a na složu mg sin θ tečnou dráze částice, a ta právě představuje vratnou sílu. Působí totiž vždy proti výchylce částice a snaží se ji vrátit do rovnovážné polohy (θ = 0), de by byla, dyby nemitala. Napišme tedy vratnou sílu ve tvaru F = mg sin θ, (16.26) ve terémzáporné znamení upozorňuje, že síla působí proti výchylce. Předpoládejme nyní, že úhel θ na obr je malý. Výraz sin θ je tedy přibližně roven úhlu θ, vyjádřenému v radiánech. (Napřílad pro θ = 5,00, tj. pro θ = 0,087 3 rad, dostaneme sin θ = 0,087 2 odchyla činí pouze něco olem0,1 %.) Dále, výchylu částice s budeme měřit podél její oblouové trajetorie; je tedy rovna Lθ. Celově nabývá rov. (16.26) pro malá θ tvar F mgθ. (16.27) Letmý pohled zpáty na rov. (16.9) nám uazuje, že zde máme opět tvar podobný Hooovu záonu. Roli výchyly x hraje nyní úhlová výchyla θ. Jestliže je tedy úhlová výchyla matematicého yvadla malá, můžeme jej poládat za harmonicý oscilátor, podobný soustavě pružina + těleso na obr Jinými slovy, ývání závaží je harmonicý pohyb. Amplitudou úhlové výchyly θ je nyní úhlová amplituda θ m, tj. největší úhel při ývání. Roli tuhosti pružiny hraje veličina mg/l, tuhost efetivní gravitační pružiny yvadla. Periodu mitů matematicého yvadla zísáme z rovnice (16.12), jestliže v ní za dosadíme mg/l: m m = 2Ô mg/l, (16.28) tedy celově L g (matematicé yvadlo). (16.29) Rov. (16.29) platí pouze v případě, že úhlová amplituda mitání θ m je malá (poud nebude řečeno jina, považujeme tuto podmínu v úolech této apitoly za splněnou). Může se zdát, že v rov. (16.29) chybí element setrvačnosti, protože perioda námvyšla nezávislá na hmotnosti částice. Příčina je vša patrná z rov. (16.28): vratná tendence, měřená tuhostí efetivní gravitační pružiny mg/l,je sama o sobě úměrná hmotnosti částice. Obě hmotnosti se tedy v rov. (16.28) naonec zrátí. I zde se běhemaždého cylu mění ineticá energie yvadla v potenciální a naopa (obr. 8.7). Fyzicé yvadlo Sutečná yvadla se většinou výrazně odlišují od yvadla matematicého. Na obr vidíme obecné fyzicé yvadlo; ta budeme nazývat sutečná yvadla, de hmota není soustředěna do jediného bodu. Tíhová síla mg působí v těžišti T. Obr Fyzicé yvadlo. Vratný silový moment je (mg sin θ)(h). Při θ = 0 se těžiště T nachází přímo pod bodemzávěsu O. mg cosθ T θ h mg θ O mg sinθ Když vychýlíme yvadlo na obr z rovnovážné polohy v libovolnémsměru o úhel θ, vznine vratný silový moment M. Tento moment působí vzhledem ose procházející bodemzávěsu O a platí: M = (mg sin θ)(h). (16.30) Zde mg sin θ je tečná složa tíhové síly mg a h (déla úsečy OT) je rameno síly pro tuto tečnou složu. Znaméno minus vyznačuje, že daný silový moment působí proti výchylce. Jinými slovy, silový moment se vždy snaží zmenšit úhel θ na nulu. Nyní opět omezíme naše úvahy na případ malých výchyle, vezmeme tedy sin θ θ. Rov. (16.30) ta nabývá tvar M (mgh)θ. (16.31) Srovnání s rov. (16.24) uazuje, že jde o analogicý případ. V případě malé úhlové amplitudy θ m vyonává fyzicé yvadlo harmonicý pohyb. Výraz mgh v rov. (16.31) hraje nyní roli torzní onstanty ϰ z rov. (16.24). Jestliže tedy provedeme tuto substituci v rov. (16.25), dostaneme pro

12 420 KAPITOLA 16 KMITY periodu fyzicého yvadla vztah (stále za podmíny malé úhlové amplitudy θ m ) I mgh (fyzicé yvadlo). (16.32) Zde I je moment setrvačnosti yvadla vzhledem ose, terá prochází bodemzávěsu olmo rovině ývání, a h je vzdálenost bodu závěsu od těžiště. Intuitivně je jasné, že se fyzicé yvadlo nebude ývat, jestliže jej zavěsíme v těžišti; bude se ovšem otáčet. Náš vzorec pro dobu mitu totiž platí jen pro malou výchylu, tj. malý úhel θ. V případě h 0 vša i sebemenší podnět způsobí, že tato podmína nebude splněna a že místo (malých) yvů dojde prostě otáčení olemosy podobně jao dybychomdo yvadla s většímh velmi prudce vrazili. I frevenci těchto otáče lze ovšemspočítat, ale nioli podle vzorce (16.32) platného pro malé úhlové amplitudy. Každému fyzicému yvadlu, teré mitá olem bodu závěsu O s periodou T, odpovídá matematicé yvadlo jisté dély L 0 mitající se stejnou periodou T.Tutotzv.reduovanou délu L 0 lze zjistit z rov. (16.29). Pro daný bod závěsu O fyzicého yvadla můžeme ta vždy určit tzv. střed yvu bod O, ležící na spojnici bodu závěsu O a těžiště ve vzdálenosti L 0 od bodu závěsu ve směru těžišti. Necháme-li poté toto yvadlo ývat olem středu yvu O (jao tzv. reverzní yvadlo), zjistíme, že se ývá se stejnou periodou T, jao dyž bylo zavěšeno v bodě O. Naopa, experimentálním nalezením bodů O, O s touto vlastností lze určit L 0 aznějazperiodyt vypočítat velmi přesně hodnotu tíhového zrychlení g. Poznamenejme ještě, že matematicé yvadlo lze poládat za speciální případ fyzicého yvadla na obr Sutečně, v případě matematicého yvadla je vzdálenost h na obr jednoduše jeho déla L amoment setrvačnosti I je ml 2. Když tyto dvě veličiny dosadíme do rov. (16.32), vyjde nám I mgh = ml 2 2Ô mgl = 2Ô L g, což je přesně rov. (16.29), tj. vztah pro periodu matematicého yvadla. Měření tíhového zrychlení Fyzicýmyvadlemlze měřit tíhové zrychlení g tisíce taových měření bylo provedeno během geologicých průzumů. Uvažme pro jednoduchost yvadlo tvořené homogenní tyčí dély L, zavěšenou na jednomonci. Pro taové yvadlo je veličina h v rov. (16.32), tj. vzdálenost mezi bodem závěsu a těžištěm, rovna 1 2L. Dále potřebujeme znát moment setrvačnosti tyče vzhledem ose otáčení. Ta je olmá ose tyče a prochází jejím oncem; z tab. 11.2f zjistíme I = 1 3 ml2. Naonec dosadíme h = 1 2 L a I = 1 3 ml2 do rov. (16.32) a řešíme tuto rovnici vzhledem e g. Výslede je g = 8Ô2 L 3T 2. (16.33) Jestliže tedy změříme délu tyče L a periodu mitů T,můžeme vypočítat hodnotu g. (Pro zvýšení přesnosti měření se provádí celá řada vylepšení, napřílad yvadlo se pohybuje ve vauové omoře). K ONTROLA 4: Tři fyzicá yvadla hmotností m 0,2m 0, a3m 0 (z různých materiálů), mají stejný tvar, veliost a bod závěsu. Seřa te je sestupně podle jejich period mitů. PŘÍKLAD 16.6 Metrová tyč na obr a, zavěšená na jednomonci, tvoří fyzicé yvadlo. (a) Jaá je jeho perioda mitání? ŘEŠENÍ: Z tab. 11.2f zjistíme moment setrvačnosti tyče vzhledem ose otáčení, terá je olmá ose tyče a prochází jejímoncem: I = 1 3 ml2. Vzdálenost h bodu závěsu od těžiště, teré je v bodě T na obr a, je 1 2 L. Po dosazení těchto dvou veličin do rov. (16.32) dostaneme I mgh = ml 2 /3 2Ô mg(l/2) = 2L = 2Ô 3g = 2(1,00 m) 2Ô 3(9,8m s 2 ) = = 1,64 s. (Odpově ) (16.34) (b) Uvažme opět metrovou tyč na obr a. Jaá je reduovaná déla L 0 mezi bodem závěsu O a středemyvu? ŘEŠENÍ: K určení středu yvu tyče potřebujeme znát délu L 0 matematicého yvadla (obr b), jehož perioda se shoduje s periodou mitů tyče. Musí se tedy shodovat pravé strany rov. (16.29) a (16.34): L 0 g = 2Ô 2L 3g. Tato podmína již dává požadovanou délu L 0 = 2 3 L = 2 (100 cm) = 66,7cm. (Odpově ) 3

13 16.6 KYVADLA 421 Vypočtená déla je rovna vzdálenosti bodu P na obr a od bodu závěsu O. Bod P je tedy středemyvu daného fyzicého yvadla vzhledem danému bodu závěsu. O V rov. (16.32) tedy uplatníme I = 3 4 mr2 a h = 1 2 R: I mgh = 2Ô 3mR 2 /4 mg(r/2) = 2Ô 3R 2g. Naonec tuto rovnici vyřešíme vzhledem e g: h T L 0 g = 6Ô2 R T 2 = 6Ô 2 (0,125 m) (0,871 s) 2 = = 9,76 m s 2. (Odpově ) P (a) Obr Přílad (a) Metrová tyč, zavěšená na jednomonci, tvoří fyzicé yvadlo. (b) Matematicé yvadlo, jehož déla L 0 je zvolena z podmíny rovnosti period obou yvadel. Vzdálenost bodu P původního yvadla (a) a bodu závěsu je L 0.BodP je tedy střed yvu původního yvadla vzhledem danému bodu závěsu. PŘÍKLAD 16.7 Kotouč o poloměru R = 12,5 cmse otáčí olembodu O, umístěného ve vzdálenosti h od jeho středu T (obr ). Při h = R/2 má vznilé fyzicé yvadlo periodu T = 0,871 s. Jaé gravitační zrychlení g je v místě, ve terém se yvadlo nachází? (b) PŘÍKLAD 16.8 Tučňá na obr se určitě vyzná ve vodních sportech. Právě se chystá e sou z homogenního soansého prna, teré se vlevo volně otáčí olemčepu a vpravo je pevně spojeno s pružinou. Déla prna je L = 2,0m, jeho hmotnost m = 12 g, tuhost pružiny činí N m 1 ajejí hmotnost je zanedbatelná. So tučňáa vyvolá mitání prna a pružiny s malou amplitudou. Předpoládejme, že prno je dostatečně pevné, taže se při mitání neprohýbá. Nalezněte periodu mitání T. ŘEŠENÍ: Pružina působí na prno proměnným momentem síly M (vzhledem ose otáčení prna). Prno se proto v čepu otáčí s proměnnýmúhlovýmzrychlenímε. Součástí úlohy je pružina a napadne nás, že vznilé mitání by mohl být harmonicý pohyb. Ponechme vša prozatím tuto otázu otevřenou. Místo toho použijeme nejprve rov. (11.30) spolu s rov. (11.35): M = LF sin 90 = Iε. (16.35) R h θ Obr Přílad Fyzicé yvadlo je tvořeno homogenním disem, volně pohyblivým olem bodu závěsu O. Vzdálenost bodu závěsu O od těžiště T je rovna polovině poloměru disu. ŘEŠENÍ: Moment setrvačnosti otouče vzhledem ose, procházející jeho těžištěm ve směru olmém rovině disu, má hodnotu I T = 1 2 mr2. Podle Steinerovy věty je moment setrvačnosti vůči ose, procházející bodem O a rovnoběžné s popsanou těžiš ovou osou I = I T + mh 2 = 1 2 mr2 + m ( 1 2 R) 2 = 3 4 mr2. T O Zde I je moment setrvačnosti soansého prna při jeho otáčení olemčepu, F je síla, terou působí pružina na pravý onec prna, a 90 je úhel, terý svírá podélná osa prna se směrem síly F. Prno představuje v podstatě tenou tyč upevněnou na jednom onci, taže podle tab. 11.2f máme I = ml 2 /3. Pružina vytváří sílu F = x, dex je svislá lineární výchyla pravého once prna. Tyto výrazy pro F a I dosadíme do druhého a třetího členu v rov. (16.35). Máme tedy Lx = ml2 ε. (16.36) 3 Poslední rovnice představuje ombinaci lineární svislé výchyly x a úhlového zrychlení ε při rotaci prna olemčepu. Můžeme ji vša přepsat do tvaru, terý obsahuje pouze úhlové veličiny. Podle rov. (11.15) totiž platí s = θr.

14 422 KAPITOLA 16 KMITY Zde θ je úhlová výchyla prna při jeho rotaci olemčepu, r = L je poloměr této rotace a s značí délu oblouu, po terémse pohybuje pravý onec prna. Pro malé úhlové výchyly θ můžeme délu oblouu s aproximovat svislou výchylou x. Napíšeme tedy x = θla dosadíme do rov. (16.36): LθL = ml2 ε. 3 Po jednoduché úpravě naonec máme ε = 3 θ. (16.37) m Tato rovnice je úhlová varianta záladní rov. (16.7). Říá nám, že prno sutečně vyonává harmonicé mity s úhlovýmzrychlenímε a s úhlovou výchylou θ. Srovnání rov. (16.37) a (16.7) navíc posytuje úhlovou frevenci pro tento oscilátor: ω 2 = 3 m, to znamená ω = 3/m. Naonec uplatníme rov. (16.4), podle teré ω = 2Ô/T,atedy m 3 = (12 g) 2Ô 3(1 300 N m 1 ) = = 0,35 s. (Odpově ) S převapenímzjiš ujeme, že výsledná perioda nezávisí na délce prna L. Kdybychomuvažovali působení tíhové síly prna, dostali bychomstejný výslede, avša rovnovážná poloha by byla níž (viz přílad 16.3). L Obr Přílad So tučňáa vyvolá mitání pružiny a soansého prna. Na levémonci se prno otáčí olemčepu KMITÁNÍ A ROVNOMĚRNÝ KRUHOVÝ POHYB V roce 1610 objevil Galileo s použitímsvého nově sestrojeného daleohledu čtyři hlavní měsíce planety Jupiter. Při pozorování, prováděnémv průběhu něolia týdnů, se aždý z měsíců pohyboval tam a zpět v oolí planety. Dnes bychomasi řeli,že pohyb aždého měsíce se jevil jao harmonicý pohyb olem disu Jupitera coby rovnovážné polohy. Záznamy těchto pozorování, psané Galileovou vlastní ruou, jsou dodnes poučné. A. P. French, pracovní MIT, sestrojil na záladě Galileových záznamů časovou závislost zdánlivé polohy měsíce Callisto vzhledem Jupiteru. Výslednou řivu vidíme na obr : malé roužy znázorňují přímo Galileovy hodnoty a samotná řiva předstaúhel (minuty v oblouové míře) západ východ počet nocí I II III. Obr Úhel mezi Jupiterem a jeho měsícem Callisto, měřený při pozorování ze Země. Malé roužy odpovídají Galileově pozorování z rou Proložená řiva silně připomíná časovou závislost výchyly pro harmonicý pohyb. Ze známé střední vzdálenosti Jupitera od Země spočteme, že 10 úhlových minut odpovídá oblouu dély zhruba m. (Převzato z nihy A. P. French, Newtonian Mechanics, W.W. Norton& Comp.,NewYor,1971,p.288.) vuje nejlepší aproximaci těchto hodnot, zísanou vhodnými numericými metodami. Křiva silně připomíná výchylu pro harmonicý pohyb, určenou rov. (16.3). Perioda pohybu, odečtená přímo z grafu, činí přibližně 16,8 dnů. Ve sutečnosti vša rouží Callisto olemjupitera s praticy onstantní rychlostí po praticy ruhové dráze. Jeho sutečný pohyb tedy není ani zdalea harmonicý; je to rovnoměrný ruhový pohyb. A to, co Galileo viděl, byla projece rovnoměrného ruhového pohybu na přímu, ležící v rovině pohybu. Pozoruhodná Galileova měření nás ta přivádějí závěru, že rovnoměrný ruhový pohyb, pozorovaný ze strany, dává harmonicý pohyb. Řečeno formálněji: Projecí rovnoměrného ruhového pohybu na průměr ružnice, po níž ruhový pohyb probíhá, vzniá harmonicý pohyb. Na obr a vidíme přílad taové projece. Referenční částice P vyonává rovnoměrný ruhový pohyb; pohybuje se (onstantní) úhlovou rychlostí ω po referenční

15 16.8 TLUMENÝ OSCILÁTOR 423 ružnici. Poloměr ružnice x m udává současně veliost polohového vetoru částice. Úhel, terý svírá průvodič částice sosoux v čase t, je roven ωt + ϕ, de ϕ je veliost tohoto úhlu v čase t = 0. O y x m ωt +ϕ x(t) P P x To je přesně rov. (16.3). Náš závěr je tedy správný: jestliže referenční částice P vyonává rovnoměrný ruhový pohyb, vyonává projetovaná částice P harmonicý pohyb. Tento vztah vrhá nové světlo na úhlovou frevenci ω harmonicého pohybu. Uazuje nám, odud se vzalo adjetivum úhlová. Veličina ω je jednoduše onstantní úhlová rychlost pohybu referenční částice P po referenční ružnici; fázová onstanta ϕ je určena polohou referenční částice P na referenční ružnici v čase t = 0. Na obr b vidíme rychlost referenční částice P. Veliost vetoru rychlosti je ωx m,jehoprojecínaosux dostaneme v(t) = ωx m sin(ωt + ϕ), (a) ωt +ϕ O y v ωx m ωt +ϕ P x v(t) P což je přesně rov. (16.5). Rychlost částice P na obr b míří doleva, vesměru lesajícívýchyly x. Tomu odpovídá záporné znaméno v uvedeném vzorci pro rychlost. Obr c uazuje zrychlení referenční částice P. Veliost vetoru zrychlení ω 2 x m ajehoprojecenaosux má tvar a(t) = ω 2 x m cos(ωt + ϕ), (b) ωt +ϕ O y (c) ω 2 x m a P a(t) P Obr (a) Referenční částice P se rovnoměrně pohybuje po referenční ružnici o poloměru x m. Polohu částice P zísáme projecí polohy P na osu x. Částice P vyonává harmonicý pohyb. (b) Projecí vetoru rychlosti v referenční částice dostaneme rychlost harmonicého pohybu. (c) Projecí vetoru zrychlení a referenční částice dostaneme zrychlení harmonicého pohybu. Projecí polohy částice P na osu x dostaneme novou polohu. Řeněme, že se v ní nachází jiná částice, částice P. Jinými slovy, projecí polohy částice P na osu x dostaneme polohu x(t) částice P. Snadno vidíme, že platí x(t) = x m cos(ωt + ϕ). x tedy přesně tvar rov. (16.6). A už tedy zoumáme výchylu, rychlost nebo zrychlení, projecí rovnoměrného ruhového pohybu dostaneme vsutu harmonicý pohyb TLUMENÝ OSCILÁTOR Kyvadlo ponořené do vody se patrně vůbec ývat nebude; bude se třít o vodu natoli, že se jeho pohyb rychle utlumí. Lepší je to u yvadla ve vzduchu, ale i zde se pohyb po čase zastaví, protože vzduch opět působí na yvadlo třecí silou, a tím mu odebírá mechanicou energii. Tření působí taé v bodě závěsu yvadla. Jestliže vnější síla tlumí pohyb oscilátoru, hovoříme o tlumeném oscilátoru, popřípadě o tlumeném mitání. Idealizovaný přílad tlumeného oscilátoru vidíme na obr : těleso o hmotnosti m mitá na pružině tuhosti. Těleso je spojeno tyčí s pístem, ponořeným v apalině (hmotu tyče i pístu zanedbáme). Při pohybu pístu nahoru a dolů působí na něj (a tedy na celý mitající systém) apalina brzdnou třecí silou. V průběhu času se mechanicá energie soustavy pružina + těleso zmenšuje, její část se spotřebuje na zahřátí apaliny a pístu. Předpoládejme, že brzdná síla F b, terou působí apalina na píst, je úměrná rychlosti v pístu a tělesa (tento předpolad splněn, poud se píst pohybuje pomalu). Je tedy F b = bv, (16.38)

16 424 KAPITOLA 16 KMITY pevný nosní pružnost, setrvačnost, m píst tlumení, b Obr Idealizovaný přílad tlumeného harmonicého oscilátoru. Píst ponořený do apaliny působí na mitající těleso tlumící silou. de b je součinitel útlumu. Tato onstanta závisí na vlastnostech pístu a apaliny. Její jednota v soustavě SI je g s 1. Záporné znaméno uazuje, že třecí síla působí vždy proti rychlosti. Na hmotné těleso ta působí výsledná síla F v = x bv neboli, jestliže položíme v = dx/dt, F v = x b dx dt. (16.39) Tuto celovou sílu dosadíme do druhého Newtonova záona. Výsledemje diferenciální rovnice jejímž řešením je funce m d 2 x dt 2 + b dx + x = 0, dt x(t) = x m e bt/(2m) cos(ω t + ϕ), (16.40) de úhlová frevence ω tlumeného oscilátoru je dána výrazem ω = m b2 4m 2. (16.41) Jestliže tlumení úplně chybí, tj. jestliže b = 0, reduuje se rov. (16.41) na rov. (16.11) a dostáváme známý výraz ω = /m pro úhlovou frevenci netlumeného oscilátoru. Podobně se v tomto případě rov. (16.40) reduuje na rov. (16.3) pro výchylu netlumeného oscilátoru. Jestliže je tlumení slabé, přesněji jestliže b m, platí ω. = ω. Jestliže je naopa tlumení silné, bude při jisté riticé hodnotě součinitelu útlumu b c = 2 m výraz pod odmocninou v rov. (16.41) nulový a při ještě většímtlumení doonce záporný. Řešení diferenciální rovnice se pa valitativně mění. Rozborem tohoto aperiodicého pohybu se nebudeme dále zabývat. Funce v rov. (16.40) se chová jao oscilující funce s postupně lesající amplitudou x m e bt/(2m). Tento závěr je taé naznačen na obr Ja jsme viděli dříve, v případě netlumeného oscilátoru je mechanicá energie onstantní a je dána rov. (16.23): E = 1 2 x2 m. U tlumeného oscilátoru mechanicá energie s časem lesá. Pro slabé tlumení můžeme amplitudu x m v rov. (16.23) nahradit výrazem x m e bt/(2m). Zísáme ta závislost E(t) 1 2 x2 m e bt/m, (16.42) terá nám říá,že mechanicá energie tlumeného oscilátoru lesá exponenciálně s časem. +x m 0 x m x x m e bt/(2m) x(t) x m e bt/(2m) t(s) Obr Časová závislost výchyly tlumeného oscilátoru na obr Použité parametry odpovídají hodnotám v př Amplituda mitání, určená výrazem x m e bt/(2m),lesáexponenciálně s časem. PŘÍKLAD 16.9 Tlumený oscilátor na obr je popsán parametry m = = 250 g, = 85 N m 1 a b = 70 g s 1. (a) Určete periodu mitání. ŘEŠENÍ: Protože platí b m = 4,6g s 1,perioda je přibližně určena výrazempro netlumený oscilátor. Z rov. (16.12) dostaneme m = (0,25 g) 2Ô (85 N m 1 ) = = 0,34 s. (Odpově ) (b) Za ja dlouho se zmenší amplituda mitání na polovinu své počáteční veliosti?

17 16.9 NUCENÉ KMITY A REZONANCE 425 ŘEŠENÍ: Závislost amplitudy na čase t je určena rovnicí (16.40). Amplituda lesá podle vztahu x m e bt/(2m).její počáteční veliost v čase t = 0jex m. Hledáme tedy taový čas t, terý splňuje rovnici x m e bt/(2m) = 1 2 x m. Obě strany rovnice dělíme x m a srovnáme přirozený logaritmus obou stran nové rovnice: neboli ln 1 2 = ln(e bt/(2m) ) = bt 2m 2m ln(1/2) 2(0,25 g)( ln(1/2)) t = = b (0,070 g s 1 = ) = 5,0s. (Odpově ) Na záladě výsledu části (a) můžeme taé říci, že za vypočtenou dobu proběhne přibližně 15 mitů. (c) Za ja dlouho se zmenší mechanicá energie oscilátoru na polovinu své počáteční veliosti? ŘEŠENÍ: Vyjdeme z rov. (16.42): mechanicá energie v čase t je rovna 1 2 x2 m e bt/m, její veliost v čase t = 0 byla. Hledáme tedy taový čas t, terý splňuje rovnici 1 2 x2 m 1 2 x2 m e bt/m = 1 ( 1 ) 2 2 x2 m. Obě strany rovnice dělíme 1 2 x2 m a novou rovnici řešíme vzhledem neznámé t, podobně jao v části (b). Naonec dostaneme m ln(1/2) (0,25 g)(ln(1/2)) t = = b (0,070 g s 1 = ) = 2,5s. (Odpově ) Výsledemje tedy přesně polovina doby, vypočtené v části (b) úlohy, tj. přibližně 7,5 period. Naonec poznamenejme, že číselné hodnoty parametrů z této vzorové úlohy byly použity na obr KONTROLA 5: Uvažme tři tlumené oscilátory podle obr Jejich parametry jsou zadány v následující tabulce.ve druhémsloupci tabuly je tuhost pružiny,ve třetímonstanta útlumu a ve čtvrtémhmotnost tělesa. oscilátor b 0 m 0 oscilátor 2 0 6b 0 4m 0 oscilátor b 0 m 0 Uspořádejte oscilátory sestupně podle doby, za terou lesne jejich mechanicá energie na jednu čtvrtinu své počáteční hodnoty NUCENÉ KMITY A REZONANCE Když se nědo pasivně houpá na houpačce, je to přílad volného mitání. Jestliže nějaá další osoba houpaču navíc periodicy tahá nebo tlačí, jao na obr , probíhá nucené mitání. V tomto případě se musíme zabývat dvěma úhlovými frevencemi. (1) Vlastní úhlová frevence ω je úhlová frevence systému náhle vyvedeného z rovnováhy a pa ponechaného volně mitat. (2) Úhlová frevence ω b vnější budicí síly. Obr Z fyziálního hledisa jsou na obraze Niolase Lancreta naznačeny dvě frevence: (1) vlastní frevence, tj. frevence, s jaou by se slečna houpala, dyby byla ponechána sama o sobě, a (2) frevence, s jaou tahá její přítel za provaz. Rezonance nastane, jsou-li tyto frevence shodné. K představě nuceného mitání harmonicého oscilátoru použijeme opět obr Musíme ovšem předpoládat, že se pevný nosní nyní pohybuje harmonicy nahoru a dolů s námi určenou úhlovou frevencí ω b. U taového oscilátoru se naonec ustaví nucené mity s úhlovou frevencí ω b budicí síly a s výchylou x(t) = x m cos(ω b t + ϕ), (16.43) de x m je amplituda nucených mitů. Veliost amplitudy výchyly x m je dána poměrně ompliovanou funcí proměnných ω a ω b. Jednodušší je popsat amplitudu rychlosti nucených mitů v m : amplituda rychlosti je největší, jestliže splníme podmínu ω b = ω (rezonance). (16.44) Tato podmína rezonance je současně přibližnou podmínou pro největší amplitudu nucených mitů x m. Jestliže stráme houpaču s frevencí rovnou její vlastní frevenci, dosáhneme velé amplitudy výchyly i amplitudy rychlosti. Děti tomu dospějí velmi rychle metodou zouše

18 426 KAPITOLA 16 KMITY a omylů. Jestliže stráme s jinou frevencí, bu vyšší, nebo nižší, amplitudy výchyly a rychlosti nucených mitů budou malé. Na obr je zobrazena závislost amplitudy výchyly nucených mitů na úhlové frevenci budicí síly pro tři hodnoty onstanty útlumu b. Všimněte si, že ve všech třech případech je amplituda nucených mitů největší přibližně pro ω b /ω = 1, to znamená přibližně při splnění rezonanční podmíny rov. (16.44). Z řive na obr je patrna i následující závislost: čímje tlumení slabší, tím je rezonanční vrchol vyšší a užší. úhlové frevenci horizontálních onstručních dílů dálnice. Příčina toho, že e zřícení došlo právě jen v uvedeném úseu, je patrna na obr : dálnice zde byla postavena na volně členěnémjílovitémpodloží, teré běhemotřesů vyazovalo přinejmenším pětrát větší amplitudu rychlosti, než tomu bylo u salnatého podloží v ostatních úsecích dálnice. most přes záliv zřícený úse b = 50g s 1 (nejmenší tlumení) San Francisco 0 2m Nimitzova dálnice Oaland amplituda b = 70g s 1 jílovité usazeniny usazené horniny vodní plocha b = 140g s 1 Obr Geologicá strutura části Oalandu v oolí zálivu San Francisco s vyznačenímzříceného úseu Nimitzovy dálnice. (Převzato z článu Sediment-Induced Amplification and the Collapse of the Nimitz Freeway autorů S. E. Hougha a ostatních, uveřejněného v časopise Nature 26. dubna 1990). 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 ω b /ω Obr Amplituda výchyly nucených mitů x m se mění v závislosti na úhlové frevenci ω b budicí síly. Amplituda je největší přibližně při ω b /ω = 1, tj. přibližně při splnění rezonanční podmíny. Křivy na obrázu odpovídají třem různým hodnotámonstanty útlumu b. Všechny mechanicé soustavy vyazují jednu nebo více vlastních frevencí. Když na ně působí velá vnější budicí síla s frevencí, terá je v blízosti jedné z vlastních frevencí soustavy, mohou vzniající nucené mity způsobit mechanicé porušení. Napřílad letečtí onstrutéři musí zajistit, aby se vlastní frevence řídel lišila od frevence pístů při letových otáčách motoru. Bylo by pochopitelně nebezpečné, dyby se při určitých otáčách motoru začalo řídlo divoce třepat. Přílademdestrutivního působení rezonance je i zřícení 1,4 m dlouhého úseu Nimitzovy dálnice, teré jsme viděli na úvodní fotografii této apitoly. Při průchodu seizmicých vln danou oblastí došlo e mitání podloží s největší amplitudou rychlosti na úhlové frevenci oolo 9rad s 1. Tato frevence odpovídá téměř přesně vlastní Parametricá rezonance Slečna z obr , ale houpající se sama bez pomoci přítele, stejně jao samostatně se houpající děti na obr jsou přílademnového jevu není to výše popsaná rezonance při působení vnější budící síly, ale tzv. parametricá rezonance. Při ní se soustava udržuje v mitání tím, že se pravidelně mění její vhodný vnitřní parametr. V tomto případě se ývánímnohama vsedě anebo porčovánímnohou vestoje mění moment setrvačnosti houpačy s pasažérem vůči ose rotace. Oproti obyčejné rezonanci jsou zde něteré pozoruhodné rozdíly. Jeden úplný mit houpačy je, řeněme, od levé rajní polohy přes nejnižší polohu, pravou rajní polohu, opět nejnižší polohu a zpět do výchozí levé rajní polohy. Běhemněj se ale dítě srčí dvarát jde do olen vždy, dyž jde houpača dolů do nejnižší polohy! Rezonanční frevence ω p tohoto mechanismu houpání je tedy zřejmě dvojnásobná oproti vlastní frevenci ω houpačy; platí ω p = 2ω. Další zvláštní odchylou od nucených mitů je to, že parametricou rezonancí lze sice zesílit už existující mity, ale nelze se s ní rozhoupat z naprostého lidu. Matematicé vyšetřování taových mitů je vša i v nejjednoduššímpřípadě mnohemnáročnější.

19 PŘEHLED & SHRNUTÍ 427 PŘEHLED & SHRNUTÍ Frevence Libovolný periodicý pohyb (libovolné mitání) má svou frevenci f, určující počet mitů za jednu seundu. V systému SI je jednotou frevence hertz: 1hertz= 1Hz= 1 mit za seundu = 1s 1. (16.1) Perioda Perioda T je čas potřebný provedení jednoho úplného mitu (jednoho úplného cylu pohybu). Perioda souvisí s frevencí vztahem T = 1 f. (16.2) Harmonicý pohyb V případě harmonicého pohybu je výchyla částice z rovnovážné polohy popsána vztahem x(t) = x m cos(ωt + ϕ) (výchyla), (16.3) ve terém x m je amplituda výchyly, veličina (ωt + ϕ) je fáze pohybu a ϕ je fázová onstanta. Úhlová frevence ω souvisí s periodou a s frevencí pohybu vztahy ω = 2Ô T = 2Ôf (úhlová frevence). (16.4) První a druhá derivace rov. (16.3) určují časovou závislost rychlosti a zrychlení částice běhemharmonicého pohybu: v(t) = ωx m sin(ωt + ϕ) (rychlost), (16.5) a(t) = ω 2 x m cos(ωt + ϕ) (zrychlení). (16.6) Kladná veličina ωx m v rov. (16.5) se nazývá amplituda rychlosti pohybu v m. Kladná veličina ω 2 x m v rov. (16.6) se nazývá amplituda zrychlení pohybu a m. Harmonicý oscilátor Jestliže částici o hmotnosti m vrací do rovnovážné polohy síla úměrná výchylce, tj. F = x, dojde harmonicému mitání s parametry ω a T, de a ω = m m (úhlová frevence) (16.11) Taový systémse nazývá harmonicý oscilátor. (perioda). (16.12) Energie Částice, terá vyonává harmonicý pohyb, má v libovolném čase ineticou energii E = 1 2 mv2 a polohovou energii E p = 1 2 x2. Jestliže neuvažujeme tření, zůstává celová mechanicá energie E = E + E p běhempohybu onstantní, zatímco E a E p se mění. Kyvadla Harmonicý pohyb vyazují napřílad torzní yvadlo na obrázu 16.8, matematicé yvadlo na obr a fyzicé yvadlo na obr V případě malých výchyle je pro tyto systémy perioda určena po řadě vztahy a I ϰ L g I mgh (torzní yvadlo), (16.25) (matematicé yvadlo) (16.29) (fyzicé yvadlo). (16.32) Ve všech případech se ve výrazu pro periodu objevuje podíl setrvačného členu a vratného členu. Vratný člen vyjadřuje veliost tendence návratu do rovnovážné polohy. Kmitání a rovnoměrný ruhový pohyb Harmonicý pohyb vzniá taé projecí rovnoměrného ruhového pohybu na průměr ružnice, po níž ruhový pohyb probíhá. Obr uazuje, ja všechny parametry rovnoměrného ruhového pohybu (poloha, rychlost a zrychlení) přecházejí uvedenou projecí na odpovídající hodnoty pro harmonicý pohyb. Tlumený oscilátor U reálných mitajících systémů se mechanicá energie E během pohybu postupně zmenšuje, protože působí brzdné třecí síly, teré převádějí mechanicou energii na teplo. Říáme, že pohyb reálného oscilátoru je tlumený. V případě, dy je brzdná síla určena vztahem F b = bv, de v je rychlost oscilátoru a b je onstanta útlumu, má časová závislost výchyly oscilátoru tvar x(t) = x m e bt/2m cos(ω t + ϕ), (16.40) de ω je úhlová frevence tlumeného oscilátoru,určená vztahem ω = m b2 4m 2. (16.41) Pro malou hodnotu onstanty útlumu (b m) tedy máme ω. = ω, de ω je úhlová frevence netlumeného oscilátoru. Pro

20 428 KAPITOLA 16 KMITY malá b ubývá mechanicá energie oscilátoru podle vztahu E(t) 1 2 x2 m e bt/m. (16.42) Nucené mity a rezonance Jestliže na systéms vlastní úhlovou frevencí ω působí vnější budicí síla s úhlovou frevencí ω b, systémse rozmitá s úhlovou frevencí ω b. Amplituda rychlosti nucených mitů je přitom největší při splnění podmíny rezonance ω b = ω. (16.44) Při malém tlumení je za téže podmíny největší amplituda výchyly x m. OTÁZKY 1. Který z následujících vztahů mezi zrychlením a a polohou částice x impliuje harmonicý pohyb: (a) a = 0,5x, (b)a = = 400x 2,(c)a = 20x a(d)a = 3x 2? 2. Na obr je vynesena časová závislost zrychlení a(t) pro částici, terá vyonává harmonicý pohyb. (a) Kterému z číslovaných bodů odpovídá poloha x m? (b) Je rychlost částice v bodě 4 ladná, záporná, nebo nulová? (c) Odpovídá bodu 5 poloha částice x m, +x m, 0, mezi x m a 0, nebo mezi 0 a +x m? 1 a t (a) bodu A na grafu a (b) bodu B na grafu je v lidu, pohybuje se směrem bodu x m, nebo se pohybuje směrem bodu x m. Dále určete, zda se částice s rychlostí odpovídající (c) bodu A na grafu a (d) bodu B na grafu nachází v bodě x m, v bodě x m, v bodě 0, mezi x m a 0, nebo mezi 0 a x m. Naonec rozhodněte, zda se rychlost odpovídající (e) bodu A na grafu a (f) bodu B zvětšuje, nebo zmenšuje. 6. Na obr vidíme čtyři oscilátory s vesměs stejně tuhými pružinami a stejně hmotnými tělesy. Jaý je fázový rozdíl dvou oscilátorů (a) na obr a a (b) na obr b? (c) Jaý je fázový rozdíl červeného oscilátoru na obr a a zeleného oscilátoru na obr b? v v Obr Otáza 2 3. Výchyla mitající částice je popsána vztahem x = x m cos(ωt + ϕ). Určete, zda se částice v čase t = 0 nachází v x m,v+x m, v počátu, mezi x m a 0, nebo mezi 0 a +x m, jestliže je ϕ rovno (a) Ô/2, (b) Ô/3, (c) 3Ô/4a(d)3Ô/4. 4. Která z následujících relací popisuje fázovou onstantu ϕ pro harmonicý pohyb na obr a: (a) Ô <ϕ< Ô/2, (b) Ô <ϕ<3ô/2, nebo (c) 3Ô/2 <ϕ< Ô? x (a) t Obr Otázy 4 a 5 5. Na obr b vidíme rychlost částice, terá vyonává harmonicý pohyb. Určete, zda částice s rychlostí odpovídající v B A (b) t x = x m x =+x m x = 0 (a) (b) Obr Otáza 6 7. Pružina a těleso tvoří harmonicý oscilátor umístěný (1) na vodorovné hladé podložce jao na obr. 16.5, (2) na naloněné hladé podložce, svírající 45 s vodorovnou rovinou (těleso je připevněno e spodnímu onci pružiny), a (3) svisle s pružinou upevněnou na stropě a tělesemzavěšenýmna pružině. Uspořádejte oscilátory v sestupnémsmyslu podle (a) protažení pružiny v rovnovážné poloze oscilátoru, (b) frevence mitání. 8. Tři pružiny jsou upevněny na stropě a na jejich spodní once jsou zavěšena tři tělesa. Hmotnosti těles jsou m 1 >m 2 >m 3. V lidovémstavu jsou protažení pružin vesměs stejná. U aždé soustavy vyvoláme harmonicý pohyb ve svislém směru. Uspořádejte soustavy v sestupném smyslu podle periody mitů. 9. Na obr vidíme tři zařízení složená z tělesa a identicých pružin. Centrální poloha tělesa odpovídá nezatížené délce pružin. Seřa te zařízení sestupně podle frevence mitů. 10. Těleso hmotnosti m je zavěšeno na pružině tuhosti.usoustavy vyvoláme harmonicý pohyb ve svislém směru. Poté pružinu rozpůlíme a na jednu její polovinu zavěsíme totéž těleso.