scintigrafických studií ledvin
|
|
- Naděžda Kovářová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ DIPLOMOVÁ PRÁCE Ondřej Tichý
2 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ Katedra matematiky DIPLOMOVÁ PRÁCE Integrální modely dynamických scintigrafických studií ledvin ( Integral models for dynamic renal scintigraphy ) Ondřej Tichý Školitel: Ing. Václav Šmídl, Ph.D. Konzultant: Prof. MUDr. Martin Šámal, DrSc. Akademický rok: 9/
3 Sem dát zadání DP, jeden originál a dvě kopie...
4 Čestné prohlášení Prohlašuji na tomto místě, že jsem předloženou práci vypracoval samostatně a že jsem uvedl veškerou použitou literaturu. V Praze dne 7. května Ondřej Tichý
5 Poděkování Chtěl bych na tomto místě poděkovat svým rodičům za podporu v celém mém studiu a obzvláště pak tatínkovi Miroslavovi za korekturu textu. Dík patří také mému konzultantovi, prof. Šámalovi, za poskytnuté scintigrafické studie, pomoc s kapitolou o Scintigrafii a trpělivé konzultace, které usměrnily směr výzkumu. Největší poděkování však patří mému školiteli, Dr. Václavu Šmídlovi, za příkladné vedení této diplomové práce, hodiny konzultací, cenné nápady, připomínky a za výborné uvedení do celé problematiky.
6 Název práce: Integrální modely dynamických scintigrafických studií ledvin Autor: Ondřej Tichý Obor: Inženýrská informatika Druh práce: Diplomová práce Vedoucí práce: Ing. Václav Šmídl, Ph.D., Ústav teorie informace a automatizace AV ČR Konzultant: Prof. MUDr. Martin Šámal, DrSc., Ústav nukleární medicíny 1.lf UK v Praze Abstrakt: Tato práce se zabývá konvoluční parametrizací v modelu pro faktorovou analýzu ve scintigrafii ledvin. Součástí parametrů tohoto nového modelu jsou přímé diagnostické koeficienty, není tedy nutná následná analýza a interakce s odborným uživatelem. Po představení scintigrafie a Bayesovské teorie se práce věnuje popisu a řešení standardního modelu pro faktorovou analýzu a následně na reálné studii ukazuje jeho funkci. Protože však standardní model není založen na reálných biologických předpokladech, narážíme na jeho omezení při získávání diagnostických parametrů. Hlavním výsledkem této práce je navržení integrálního modelu, který respektuje biologická omezení a zároveň přímo odhaduje diagnostické koeficienty jako své parametry. Tento nový model je řešen pomocí Variačního Bayesova teorému a otestován na reálných scintigrafických studiích. Zabudování nových informací přineslo požadovanou automatizaci diagnostiky a je ukázáno velké zlepšení oproti standardnímu modelu pro faktorovou analýzu. Klíˇcová slova: scintigrafie, Bayesovská statistika, nukleární medicína, obrazová sekvence, konvoluční parametrizace Title: Integral models for dynamic renal scintigraphy Author: Ondřej Tichý Abstract: This work is concerned with a convolution based parametrization of model for factor analysis in renal scintigraphy. Diagnostic coefficients are used as parameter of the new integral model, hence their estimates are direct output of the estimation and no follow-up analysis and interaction with expert user is required. After introduction of the field of scintigraphy and Bayesian theory, the Variational Bayes solution of standard model for factor analysis is described in detail. Suitability of the model is tested on real data. It is shown that the estimated diagnostic coefficients are inadequate since the model do not respect properties of real biological systems. The main contribution of this work is the integral model and estimation of its parameters via the Variational Bayes approximation. The model is designed to respect biological constraints and its parameters are variables used as diagnostic coefficients. The resulting estimation algorithm is tested on real scintigraphic data. It is shown that resulting estimates are much more realistic that of the standard model. Moreover, the estimates of the diagnostic coefficient were achieved without any interaction with expert user. Key words: scintigraphy, Bayesian statistic, nuclear medicine, image sequence, convolutionbased parameterization
7 Obsah 1 Úvod 1 2 Scintigrafické vyšetření Scintigrafie Průběh vyšetření Radionuklidy Scintilační kamera Biologické předpoklady Tvary faktorových křivek Faktorové obrázky Současné metody funkcionální analýzy obrazové sekvence Oblasti zájmu Matematický pohled a vyhodnocení křivek Klinické vyhodnocení Zhodnocení Bayesovská teorie a aproximace Základy Bayesovské teorie Volba apriorního rozdělení Řešení pomocí aproximace EM (expectation minimalization) algoritmus Laplaceova aproximace Markov Chain Monte Carlo (MCMC) aproximace Variační Bayesova aproximace Faktorová analýza obrazových sekvencí Konstrukce standardního modelu pro sekvenci snímků Poznámka k maticové dekompozici VB metoda pro standardní model (4.1) Výsledky standardního modelu Faktorové obrázky a jejich křivky Tranzitní čas Relativní renální clearance Zhodnocení výsledků Integrální model pro funcionální analýzu obrazových sekvencí 32 ii
8 5.1 Konstrukce modelu Základní model dat Model chyb měření Modelování matice obrázků Modelování impulzních retenčních funkcí Model křivky krve Odhadované a závislé proměnné Řešení integrálního modelu VB metodou Sestrojení modelu Výpočet logaritmu sdruženého rozdělení Výpočet VB-marginál Identifikace standardních forem Odhad indexových množin aprioren obrazové a přírůstkové matice Formulace VB-momentů Shrnutí výpočtu Inicializace výpočtu Konvergence výpočtu Výsledky integrálního modelu Popis odhadovaných parametrů Tranzitní čas Relativní renální clearance Vyhodnocení dalších studií Studie Studie Zhodnocení výsledků Závěr a možnosti dalšího pokračování 7.1 Hlavní přínos práce Možnosti dalšího pokračování Zhodnocení A Matematický dodatek 63 A.1 Stopa matice, operátor vec(), Kroneckerův a Hadamardův součin A.2 Normální rozdělení A.2.1 Vícerozměrné normální rozdělení A.2.2 Maticové normální rozdělení A.2.3 Vektorizace v maticovém normálním rozdělení A.2.4 Ořezané normální rozdělení A.3 Gamma rozdělení A.4 Exponenciální rozdělení A.4.1 Ořezané exponenciální rozdělení A.5 Rovnoměrné rozdělení iii
9 B Výpočet logaritmu sdruženého rozdělení 68 C Obrazové sekvence 7 Literatura 72 iv
10 Použité značení Lineární algebra R množina reálných čísel A R p n A je reálná matice rozměru p n; matice budeme obvykle značit velkými písmeny A transpozice matice A A 1 inverze matice A a i i-tý sloupec matice A a i,j resp. (A) i,j člen v i-tém sloupci a j-tém řádku v matici A g i i-tý prvek vektoru g diag(a) diagonála čtvercové matice A, výsledkem je tedy vektor s diagonálními prvky matice A diag(a) čtvercová matice s prvky vektoru a na diagonále tr(a) stopa matice A (viz A.1) vec(a) vektorizace matice A (viz A.1) A B Kroneckerův součin matic A a B o libovolném rozměru (viz A.1) A B Hadamardův součin matic A R p n a B R p n (viz A.1) I n čtvercová jednotková matice rozměru n, tedy (I n ) i,j = 1, pokud i = j a (I n ) i,j =, pokud i j 1 p,q matice jedniček o rozměrech p r p,q matice nul o rozměrech p r Matematická analýza erf(x) Γ(x) χ (a,b) ln(..) exp(..) error funkce (viz A.2.4) gamma funkce (viz A.3) charakteristická funkce intervalu (a, b) (viz A.2.4) přirozený logaritmus argumentu; je-li argumentem matice, rozumí se logaritmus po prvcích exponenciela argumentu; je-li argument matice, rozumí se exponenciela po prvcích Pravděpodobnostní počet E f(x) (..) Â N x (µ, σ) N x (µ, Σ) N X (M, Σ p Σ n ) očekávaná hodnota argumentu vzhledem k funkci f(x) bodový odhad parametru A normální rozdělení skaláru x se střední hodnotou µ a variancí σ vícerozměrné (vektorové) normální rozdělení vektoru x se střední hodnotou µ a Σ (viz A.2.1) maticové normální rozdělení matice X R p n se středního hodnotou M a kovariančními maticemi Σ p a Σ n (viz A.2.2) v
11 tn x (µ, σ, a, b) tn x (µ, σ) G x (α, β) Exp x (λ) t Exp x (λ) U x (a, b) ořezané normální rozdělení skaláru x se střední hodnotou µ a variancí Σ na intervalu (a, b] (viz A.2.4) ořezané normální rozdělení skaláru x se střední hodnotou µ a variancí Σ na intervalu (, + ) gamma rozdělení s parametry α, β (viz A.3) exponenciální rozdělení skaláru x s parametrem λ (viz A.4) ořezané exponenciální rozdělení skaláru x s parametrem λ na intervalu (, + ) (viz A.4.1) rovnoměrné rozdělení skaláru x na intervalu (a, b) (viz A.5) vi
12 1 Úvod Významnou úlohu v lékařské diagnostice zaujímá jedna z metod nukleární medicíny, scintigrafie. Ta je založena na snímání distribuce radiofarmaka, aplikovaného do těla pacienta, díky čemuž lze získat nejen tvar, ale i funkci jednotlivých struktur v těle. Základním úkolem následné analýzy je rozlišit na sekvenci snímků jednotlivé obrázky a průběh kontrastní tekutiny v nich, dohromady tzv. faktory. Svojí podstatou však scintigrafie dává relativně málo kvalitní snímky. To je způsobeno nízkým rozlišením scintigrafické kamery (až o řád horší než magnetická rezonance) a problémům se šumem (z okolí, z krevního řečiště, z tkání, atd.). Neexistuje proto žádná automatická metoda, která by provedla celkovou diagnostiku ze získané sekvence. Současné metody jsou značně závislé na zručnosti odborné obsluhy, mnohdy se výsledky mohou značně lišit [1]. Úkolem předkládané práce bude tento nedostatek odstranit. Hlavní úlohou, kterou zastává matematika ve zpracování sekvencí snímků ve scintigrafii, je analýza této sekvence a správné určení diagnostických koeficientů. Protože se analyzuje reálný biologický systém, není možné očekávat teoreticky přesné výsledky. Výhodné metody pro práci s tímto systémem nám přináší Bayesovská statistika. Umožňuje uvlivňovat výpočet dle požadovaných předpokladů a zavádět apriorní předpoklady. Cenou za tyto možnosti je ovšem analytická neřešitelnost [2], je nutno přistoupit k různým formám aproximace. V této práci je použita aproximace pomocí Variačního Bayesova teorému. Problémem současných přístupů v této oblasti je nedostatečné respektování biologických předpokladů, které ovšem nelze opomenout, chceme-li dospět ke správným reálným výsledkům. V předchozí práci autora [3] je naznačeno modelování křivek faktorů jako konvoluce krve s konvolučními jádry jednotlivých faktorů. To je v této práci rozvinuto a zdokonaleno. Práce se dále věnuje vytvoření integrálního modelu pro analýzu scintigrafických obrazových sekvencí, tzn. zabudování potřebných diagnostických koeficientů přímo do výpočtu. To vede k odstranění chyby lidského faktoru, která je v této oblasti nezanedbatelná, a zároveň ke zjednodušení a urychlení celé diagnostiky v praxi. Na závěr je celý postup a nový model otestován na reálných scintigrafických studiích ledvin. 1
13 2 Scintigrafické vyšetření Při vniknutí některých farmak do organismu dochází k jejich nahromadění na konkrétních místech tkáně nebo orgánů, takže pokud by byla dotyčná látka označkována radionuklidem, můžeme toho využít k diagnostice [4]. Těmto látkám se říká radiofarmaka. Měření probíhá typicky na živém organismu (měření in vivo) v relativně hluboko uložených orgánech, proto musí daný radionuklid vyzařovat dostatečně tvrdé záření gamma. Poté lze třírozměrnou distribuci radionuklidu v organismu transformovat na dvourozměrný obraz ve stupních šedi. Signálem při vyšetření je tedy elektromagnetické záření gamma, ostatní doprovodná záření jsou pro nás nežádoucí. 2.1 Scintigrafie Scintigrafie 1 je popsána v [5] takto: Scintigrafie je fyzikálnˇe-elektronická metoda zobrazení distribuce radioindikátoru v organismu na základˇe zevní detekce vycházejícího záˇrení gama. Do metabolismu či krevního oběhu aplikujeme chemickou látku s navázaným radionuklidem. Ta se poté rozloží v organismu podle farmakokinetiky daného radiofarmaka. Jak moc se v konkrétním místě látka koncentruje, záleží na mnoha faktorech, především na intenzitě metabolických a funkčních dějů v orgánech a tkáních. Scintigrafii můžeme rozdělit na dva druhy [6]: Statická: danou oblast zájmu sejmeme jednou či několikrát z různých úhlů, nezáleží tedy na čase (obdoba fotografie). Dynamická: pomocí radioindikátoru sledujeme děj v organismu v čase, vzniká tak sekvence statických snímků (obdoba videa). To nám umožňuje dělat matematickou analýzu měření a sledovat funkce orgánů. Poznamenejme, že nás bude v této práci zajímat především planární scintigrafie, tedy dvojrozměrné zobrazení (naproti tomu tomografická scintigrafie, kde získáváme trojrozměrné zobrazení). Cílem scintigrafického vyšetření je kvantitativní zobrazení distribuce radiofarmak v těle pacienta (viz obrázek 2.1). Na rozdíl od radiodiagnostických metod zobrazujících anatomii vyšetřované části těla, scintigrafie poskytuje diagnostické informace především o funkci orgánů a tkání. 1 Přesněji spíše gamagrafie 2
14 Obrázek 2.1: Sekvence snímků a jejich analýza (převzato z [2]) Průběh vyšetření Názornou ukázku, jak scintigrafie probíhá, vidíme na obr V této kapitole projdeme postupně jednotlivé kroky znázorněné na tomto nákresu a vysvětlíme na nich základní fakta, principy a postupy. Na obr. 2.3 pak vidíme časový průběh vyšetření pomocí dynamické scintigrafie Radionuklidy Radionuklidem nazýváme prvek, jehož atomy mají schopnost se spontálně měnit na atomy jiných prvků (radioaktivní rozpad). Rychlost rozpadu různých prvků je různá, pro každý prvek je však konstantní. Radionuklidy jsou v nukleární medicíně navázany na nosnou látka, farmakum, dohromady tvoří radiofarmaka. Neradioaktivní část radiofarmaka umožňuje sledovat vyšetřovanou funkci tkáně nebo má léčebný účinek. Radionuklid umožňuje sledovat chování označeného farmaka v organismu, případně může mít také vlastní léčebný efekt (terapie radionuklidy). Pro značení diagnostických přípravků se používají zdroje záření gama. 3
15 Obrázek 2.2: Schéma scintigrafického vyšetření (převzato z [5]) Zákon rozpadu Počet rozpadlých jader za jednotku času je přímo úměrný počtu dosud nerozpadlých jader, tedy: dn dt = λn, (2.1) kde N je počet nerozpadlých jader a λ je rozpadová konstanta. Řešením této rovnice dostaneme tvar rozpadového zákona jako: N t = N e λt, (2.2) kde N t je počet zbývajících (nerozpadlých) jader radionuklidu a N je počet jader radionuklidu v čase t =. Poločasem rozpadu pak označíme dobu, za kterou se rozpadne právě polovina jader látky. Statistický pohled Rozpad radionuklidu je spontální děj, má náhodný charakter. Počet vyzářených částic kolísá kolem určité hodnoty a má určitý rozptyl. Děj je popsán Poissonovým zákonem, pro velký počet vyzářených částic (v praxi N > ) lze od Poissonova rozdělení přejít ke Gaussovu normálnímu rozdělení. Vliv pozadí Při detekci záření z radionuklidu si musíme uvědomit další vlivy, které naše měření zkreslují. Nepříznivě ho ovlivňuje například radiace v měřící místnosti, kosmické záření, stopy radionuklidů na detektoru, okolní tkáň atd. Toho si při zpracování snímků vytvořených pomocí scintigrafie musíme být vědomi a neopomenout tuto skutečnost zahrnout do matematického modelu. 4
16 Obrázek 2.3: Časových průběh scintigrafického vyšetření (převzato z [7]) Požadavky na vlastnosti radionuklidů Z uvedeného je zřejmé, že použitelné pro náš účel budou jen některé radionuklidy se specifickými vlastnostmi, především: Poločas rozpadu musí být dostatečně dlouhý, aby byla látka aktivní během celé doby vyšetření, na druhé straně je zbytková radiace po ukončení vyšetření v organismu značně nežádoucí. Emise energie radionuklidu by se měly pohybovat pouze v užitečných hodnotách, obvykle v rozmezí kev až řádově stovky kev (nejvyšší používané záření je 511keV ). Jakékoliv jiné záření si nepřejeme, protože zbytečně zvyšuje radiační zátěž pacienta. Orgán, který chceme vyšetřit, by měl selektivně zachycovat nosnou látku s radionuklidem. Toto zachycení v zájmové oblasti by mělo proběhnout co nejrychleji. Vzhledem k aplikovanému množství musí být zajištěna netoxičnost. Protože výsledné koncentrace radiofarmak ve tkáních jsou nano až pikomolární toxicita většinou nehrozí. Některé používané radionuklidy Prvním radionuklidem užitým v klinické medicíně byl radiojód 131 J s poločasem rozpadu 8 dnů a energií γ 364keV. Jeho klíčový význam je především v diagnostice a léčbě štítné žlázy. Nejdůležitějším radionuklidem pro nukleární medicínu je technicium 99m Tc s poločasem rozpadu 6 hodin a energií γ 1keV [8]. 99m Tc splňuje skoro všechny základní požadované vlastnosti pro scintigrafii a byl proto impulzem pro další rozvoj nukleární medicíny. Z 99m Tc 5
17 navíc vzniká 99 Tc s poločasem rozpadu 2 5 let, takže jej lze považovat za prakticky stabilní. Energie záření je ideální pro clonění kolimátorem i pro detekci a snadno se získává ve formě aniontu technecistanu 99m TcO 4, který se dále dobře váže na biologické látky. Jako další lze uvést: thalium 1 Tl (perfuze myokardu), galium 67 Ga (scintigrafie nádorů a zánětlivých ložisek) a krypton 81m Kr (ventilační scintigrafie plic) Scintilační kamera K popisu scintilační kamery opět užijeme [5]: Scintilaˇcní kamera je pˇrístroj, který snímá fotony záˇrení γ souˇcasnˇe z celého zorného pole, pˇrevádí je na elektrické impulsy a pomocí nich pak na displeji vytváˇrí scintigrafický obraz distribuce radioindikátoru v tomto zorném poli. Jedná se tedy o značně složité zařízení jak konstrukcí, tak principem. Naším úkolem není scintilační kameru dokonale popsat, spíše nám půjde o pochopení, jak funguje. Ve vyšetřovaném objektu se pohybují radionuklidy, které izotropně vyzařují záření gama. Abychom zachytili částice letící pouze v jednom směru a získali tak dvourozměrnou projekci, vložíme záření do cesty olověnou desku (někdy wolframovou) s maticí otvorů. Ta odstíní částice, které nejdou přesně ve směru osy otvorů. Za olověnou maticí je pak velkoplošný scintilační krystal, který při dopadu fotonu vyvolá v daném místě záblesk, který je snímám a převedem na elektrický impulz ve fotonásobiči. Pro další zpracování je pak důležitá digitalizace scintigrafických snímků a jejich uložení do paměti počítače. 2.2 Biologické předpoklady Rozeberme základní vlastnosti měřených a odhadovaných křivek. V první řadě si musíme uvědomit, jaké faktory snímáme scintigrafickou kamerou při vyšetření ledvin. Ledvina se skládá ze dvou hlavních částí, parenchymu a pánvičky (pelvis). Tyto dvě části se překrývají, a prolínají, pro správnou analýzu je však důležité je umět oddělit. Základní snímané části ve scintigrafii ledvin jsou: srdce krevní pozadí parenchym pánvička tkáňové pozadí další orgány. 6
18 2.2.1 Tvary faktorových křivek Srdce je orgán, k jehož naplnění konstrastní látkou dojde jako první, je-li, jako v našem případě, aplikováno radiofarmakum do krve ([9]). Z krevního oběhu je tato látka čištěna ledvinami, teoreticky se dá očekávat exponenciální tvar křivky krve, jak je ukázáno na obrázku 2.4. y 5 15 čas [min] Obrázek 2.4: Typický průběh křivky krve (srdce a krevní pozadí) Ze srdce se poté látka krví distribuuje do celého těla, nejprve do velkých cév a poté do celého krevního řečiště. Radiofarmakum je vytvářeno tak, aby bylo selektivně zachytáváno v cílovém orgánu, v ledvině. V počátku celé sekvence však můžeme pozorovat i další orgány, do kterých se radiofarmakum dostalo přes krev. Tento fakt ztěžuje celou analýzu, pomoci nám může to, že průběh křivky v nich je poměrně rychlý a tedy je šance tyto orgány detekovat a tím automaticky odečíst z výsledných snímků. Další problém s detekcí krevního pozadí nám vyvstává v tom, že probíhá přirozená difuze mezi krví a tkáněmi. Tím vniká další typ pozadí, tzv. tkáňové pozadí, které přebírá a zase vypouští radiofarmakum z a do krve. Lokálně se tedy může stát, že je křivka krve v jedné chvíli mírně rostoucí, globálně by však mělo docházet k poklesu aktivity v krvi. V dynamické scintigrafii ledvin dochází k největší selekci radiofarmaka v ledvinách, zaměříme se tedy nyní na tento orgán. Ledvinu musíme rozdělit na dvě hlavní části, na parenchym a pánvičku. Ty jsou navzájem propojeny a každá má rozdílnou dynamiku. Také jejich oddělení je jedním z hlavních úkolů analýzy. Parenchym tvoří větší část ledviny a v něm dochází k zachytávání kontrastní látky z krve. Pánvička je menší a k jejímu plnění a z našeho pohledu tedy k její aktivaci dochází později, nebot do ní přitéká tekutina z parenchymu. Tento bod nastává typicky po 2 až 3 minutách, v závislosti na věku a použité kontrastní látce ([]). Pánvička je však již určitě aktivovaná ve 7
19 y parenchym pelvis čas [min] Obrázek 2.5: Typický průběh křivky parenchymu a pánvičky chvíli, kdy má křivka parenchymu své maximum. V tomto bodě je přítok do pánvičky a přítok do parenchymu vyrovnán. Typické průběhy parenchymu a pánvičky u zdravé ledviny vidíme na obrázku 2.5. Každá křivka faktoru (x) je dána výsledkem konvoluce svého konvolučního jádra (u) s křivkou krve (b) ([11], [12], [13]). Dohromady tedy: x t = t b t m+1 u m. (2.3) m=1 Tato konvoluční jádra (nazývaná v nukleární medicíně impulzní retenˇcní funkce) mají typický teoretický tvar, který je znázorněn na obrázku 2.6. Pakliže je faktor aktivní hned od počátku sekvence, začíná konstantní plato od nuly, pokud tomu tak není (např. pánvička), je jeho začátek posunut Faktorové obrázky Faktorové obrázky získané ve scintigrafii představují ve většině případů nějaké orgány, případně jejich části. Typicky jsou tedy kompaktní a omezené. Díky předpokladům: snímaná tkáň se vzhledem ke scintigrafické kameře nehýbe orgány nemění svůj tvar během měření změna objemu kapaliny uvnitř orgánu je lineárně úměrná počtu vyzářovaných částic 8
20 y krev parenchym pelvis tkáňové pozadí čas [min] Obrázek 2.6: Teoretický tvar konvolučních jader jednotlivých faktorů (u zdravého pacienta) můžeme naměřená data modelovat jako lineární kombinaci jednotlivých orgánů (nebo jejich částí). Naším základním úkolem je pak zjistit tvar jednotlivých orgánů a průběh průtoku kontrastní tekutiny v nich (viz obrázek 2.1). Každý snímek sekvence (index t) lze matematicky vyjádřit jako d t = r a t x t + e t, (2.4) kde r je počet faktorů, a t je faktorový obrázek, x t je faktorová křivka a e t představuje šum. Tyto předpoklady by měl respektovat i matematický model, který správně odhadne jednotlivé faktorové obrázky a jejich křivky. 2.3 Současné metody funkcionální analýzy obrazové sekvence Podívejme se nyní na celý problém analýzy obrazové sekvence z matematického hlediska. Pokusíme se popsat základní biologické předpoklady, které na jednotlivé výsledné i pomocné křivky klademe. To bude mít vliv na následnout faktorovou analýzu a získání diagnostických 9
21 koeficientů. Dodejme ještě, že v současné době provádí analýzu expert (lékař či laborant) pomocí vizuálního dojmu, zda daný faktor obsahuje nebo neobsahuje konkrétní pixel je zcela na něm. Obdobné je to např. s určením, kde daná křivka začíná a končí (viz např. obrázky 2. a 2.11). Vytvoření a vyřešení matematického modelu, který vysvětluje data, snímaná scintigrafickou kamerou, ještě nemusí znamenat, že jsme nalezli biologicky správné řešení. Výsledek může být velice vzdálen biologickým předpokladům. Již sestavením modelu totiž vtiskáváme případnému řešení námi danou podobu, která může být v podstatě libovolná. Jako příklad uved me následující: mějme za úkol rozložit číslo d na a x. Náš matematický model tedy bude mít tvar d = ax. Ovšem pokud nespecifikujeme vlastnosti tohoto rozkladu, pak je možných řešení nekonečně mnoho, protože např. 12 = 3 4, ale i 2 6 atd. (pro další viz [2], [14]). Velký vliv na řešení celého problému má tedy již konstrukce modelu, ve kterém můžeme říci, jak si přejeme data rozložit. S ohledem na to musíme konstruovat naše modely i v následujících kapitolách Oblasti zájmu Jedním ze základních kroků při analýze obrazových sekvencí vzniklých scintigrafií je definování tzv. oblastí zájmů (region of interest - ROI). Ty poté slouží k měření aktivity v označené oblasti, výsledkem je časová křivka, které se využívá k výpočtu kvantitativních diagnostických parametrů. Problém s tím spojený vysvětlíme na příkladu. Na obrázku 2.7 vidíme snímek dutiny břišní. My dokážeme pouhým pohledem rozlišit tři základní struktury, které se na obrázku nacházejí, konkrétně dvě ledviny a v horní části srdce. Počítač ovšem tyto struktury tak snadno nedetekuje, v klinické praxi jsou proto skoro vždy určovány uživatelem, tedy lékařem. Obrázek 2.7: Snímek dutiny břišní
22 Problém s jakýmkoliv implicitním nastavením je ilustrován na obrázcích 2.8 a 2.9. Okřídlené tvrzení, že neexistují dva stejní lidé platí i v tomto případě. Pokud by šlo předpokládat, že rozmístění orgánů bude vždy stejné, mohli bychom je hledat v určitých typických oblastech (viz obr. 2.8). Jak však vidíme, v tomto případě jsou ledviny rozmístěny jinak a levá ledvina není ve své ROI zahrnuta celá, což by mohlo vést ke značně zkresleným výsledkům. Proto je nutno interakce s lékařem, který vyznačí ROI přesně dle konkrétního pacienta (obr. 2.9). Obrázek 2.8: Základní nastavení Obrázek 2.9: Konkrétní ROI Uvědomme si, že určování ROI je slabým článkem celého vyšetření, nebot interakce s uživatelem zanáší téměř vždy nepřesnost. Klasické metody zpracování však ROI využívají a jsou tedy do značné míry závislé i na zkušenostech a zručnosti obsluhy Matematický pohled a vyhodnocení křivek Podaří-li se nám získat výsledné tvary křivek jednotlivých faktorů, je třeba je dále analyzovat. Uved me některé základní přístupy. Patlak-Rutlandův graf Prvním možným přístupem je sestrojení tzv. Patlak-Rutlandova grafu [15]. Tato metoda předpokládá, že kontrastní látka do orgánů vstupuje a setrvává v nich. Orgány jsou tedy něco jako integrátory vstupní aktivity. Je však nutné určit polohu orgánu, případně oblast zájmu, ve které orgán leží. Necht počet dopadů částic v oblasti zájmu je dán funkcír(t) a aktivita v krvi funkcí B(t). Potom R(t) = a B(t) dt + bb(t), (2.5) kde konstanta a určuje schopnost absorbce kontrastní látky orgánem a konstanta b vyjadřuje vliv pozadí. 11
23 Tento model analyzujeme vydělením celé rovnice funkcí krve B(t) a dostáváme R(t) B(t) dt B(t) = a + b, (2.6) B(t) což je graf závislosti R(t). Výsledkem je tedy přímka se směrnicí a a vertikálním B(t) posunem b, ze které vyčteme potřebné informace. Úskalí tohoto přístupu je v tom, jak přesně zvládneme naměřit či vypočítat zmíněné funkce. Výsledek je také závislý na zručnosti odborné obsluhy [16], jak vidíme na obrázcích 2. a Volba délky lineárního úseku je častá chyba lidského faktoru. Zároveň si můžeme všimnout, že jsme celá data transformovali na jedinou křivku, čímž dochází ke ztrátě části informace. B(t) na R B(t) dt.5 Patlak Rutland plot 3 Patlak Rutland plot R(t)/P(t) R(t)/P(t) pseudo time P(t)/P(t) Obrázek 2.: Ihned zřejmý tvar Patlak- Rutlandova grafu (z [16] ) pseudo time P(t)/P(t) Obrázek 2.11: Problematický tvar Patlak- Rutlandova grafu (z [16] ) Dekonvoluce Druhý přístup je založen na předpokladu, že křivka každého faktoru je modelována jako konvoluce křivky krve a konvolučního jádra každého faktoru ([11], [], [15], [12]), jak bylo diskutováno již výše. Naším cílem je určit impulzní retenční funkci H(t). Výjimečně však můžeme aplikovat radiofarmakum přímo do vyšetřovaného orgánu, častěji je aplikováno do krve a z něj teprve přechází dále. Množství kontrastní látky v orgánu, Q(t) je tedy dáno konvolucí H(t) a vstupní funkcí orgánu, I(t), což můžeme zapsat jako Q(t) = T I(T t)h(t) dt (2.7) a měřit hodnoty I(t) a Q(t). Vyřešením uvedené konvoluční rovnice pak dostaneme hodnoty H(t), ze kterých opět vyčteme potřebné informace. 12
24 Tento postup je v principu jednoduchý, v praxi však nařáží na mnohé problémy, především určení správné vstupní křivky a na šum. Poznamenejme, že porovnání Patlak-Rutlandova grafu a dekonvoluce nalezneme v [13]. Oba jsou do značné míry závislé na správném určení a odečtení šumu (který tvoří samotný princip metody), krevního a tkáňového pozadí atd. Možností, jak tento šum odstranit je to, že vezmeme nějaké referenční pozadí a to pak od celého orgánu odečteme. Narážíme tím však na problém, jak takové referenční pozadí volit a zda tím neodečítáme moc velkou nebo malou hodnotu. Jak je ukázáno v [1], rozdíl výsledku oproti skutečnosti může být až 25% v závislosti na volbě referenčního pozadí, což je enormně velké číslo. Analýza hlavních komponent Analýza hlavních komponent (též Principal Component Analysis, PCA) je obecně postup sloužící k dekorelaci dat. Důležitým předpokladem této metody je, že pozorujeme superpozici jednotlivých faktorů. To je přesně náš případ, nebot ve scintigrafii sledujeme transformaci třírozměrného prostoru na dvourozměrný snímek, který je lineární kombinací jednotlivých faktorů. Základní princip je následující: mějme datovou (výstup experimentu) matici D a tu rozložme jako D = P ΛP, (2.8) kde Λ je diagonální matice vlastních čísel matice D a P je matice vlastních vektorů příslušných k matici Λ, přičemž platí, že P P je rovno jednotkové matici. Prvních r největších vlastních čísel a k nim příslušných vlastních vektorů jsou nejvýznamější faktory v datech D. Obecnější případ pak řeší tzv. Singular value decomposition. Nepříjemností při tomto rozkladu je opět šum. Použití této techniky je demonstrováno např. v [17]. Model faktorové analýzy Faktorová analýza vychází z předchozí podkapitoly (PCA) a z kapitoly Datová matice D zde obsahuje ve sloupcích všechny snímky sekvence. D se pak snažíme rozložit na matice A a X, kde A obsahuje ve sloupcích jednotlivé faktorové obrázky a X obsahuje ve sloupcích jednotlivé křivky. Model lze zapsat jako: D = AX + E, (2.9) kde E představuje šum. Poznamenejme, že toto bude základní model dat pro celou tuto práci Klinické vyhodnocení K určení správné diagnózy pacienta by vzhledem k výše popsaným přístupům bylo zapotřebí matematika - lékaře. To je v praxi náročný požadavek, proto je potřeba výsledek analýzy kvantifikovat a transformovat ideálně na jedno číslo, jehož hodnota by byla dosatečně vypovídající 13
Konvoluční model dynamických studií ledvin. seminář AS UTIA
Konvoluční model dynamických studií ledvin Ondřej Tichý seminář AS UTIA.. Obsah prezentace Scintigrafická obrazová sekvence a její analýza Konstrukce standardního modelu a jeho řešení Experiment Ovlivnění
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceVYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ
VYUŽITÍ PRAVDĚPODOBNOSTNÍ METODY MONTE CARLO V SOUDNÍM INŽENÝRSTVÍ Michal Kořenář 1 Abstrakt Rozvoj výpočetní techniky v poslední době umožnil také rozvoj výpočetních metod, které nejsou založeny na bázi
VíceStavový model a Kalmanův filtr
Stavový model a Kalmanův filtr 2 prosince 23 Stav je veličina, kterou neznáme, ale chtěli bychom znát Dozvídáme se o ní zprostředkovaně prostřednictvím výstupů Příkladem může býapř nějaký zašuměný signál,
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Více1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11
LU dekompozice Jedná se o rozklad matice A na dvě trojúhelníkové matice L a U, A=LU. Matice L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a matice U je horní trojúhelníková. a a2 a3 a 2 a 22 a 23
Vícečasovém horizontu na rozdíl od experimentu lépe odhalit chybné poznání reality.
Modelování dynamických systémů Matematické modelování dynamických systémů se využívá v různých oborech přírodních, technických, ekonomických a sociálních věd. Použití matematického modelu umožňuje popsat
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Základní pojmy diagnostiky a statistických metod vyhodnocení Učební text Ivan Jaksch Liberec 2012 Materiál vznikl
Vícescintigrafických obrazových sekvencí
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ VÝZKUMNÝ ÚKOL 2009 Ondřej Tichý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ Katedra matematiky
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceMATEMATIKA V MEDICÍNĚ
MATEMATIKA V MEDICÍNĚ Tomáš Oberhuber Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze Matematika pro život TOMÁŠ OBERHUBER (FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ MATEMATIKA
Více2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení
2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceOdhady - Sdružené rozdělení pravděpodobnosti
Odhady - Sdružené rozdělení pravděpodobnosti 4. listopadu 203 Kdybych chtěl znát maximum informací o náhodné veličině, musel bych znát všechny hodnoty, které mohou padnout, a jejich pravděpodobnosti. Tedy
Více2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití
2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí definovat funkci přežití, rizikovou funkci a kumulativní rizikovou funkci a zná funkční vazby mezi nimi 2. Student
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
Více2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
VíceNormální (Gaussovo) rozdělení
Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceFREDHOLMOVA ALTERNATIVA
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceVícerozměrná rozdělení
Vícerozměrná rozdělení 7. září 0 Učivo: Práce s vícerozměrnými rozděleními. Sdružené, marginální, podmíněné rozdělení pravděpodobnosti. Vektorová střední hodnota. Kovariance, korelace, kovarianční matice.
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Víceoddělení Inteligentní Datové Analýzy (IDA)
Vytěžování dat Filip Železný Katedra počítačů oddělení Inteligentní Datové Analýzy (IDA) 22. září 2014 Filip Železný (ČVUT) Vytěžování dat 22. září 2014 1 / 25 Odhad rozdělení Úloha: Vstup: data D = {
VíceBayesovské metody. Mnohorozměrná analýza dat
Mnohorozměrná analýza dat Podmíněná pravděpodobnost Definice: Uvažujme náhodné jevy A a B takové, že P(B) > 0. Podmíněnou pravěpodobností jevu A za podmínky, že nastal jev B, nazýváme podíl P(A B) P(A
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Vícea vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
VíceNáhodné chyby přímých měření
Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
Více2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012
2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
Více4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceRegresní analýza 1. Regresní analýza
Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceAVDAT Mnohorozměrné metody metody redukce dimenze
AVDAT Mnohorozměrné metody metody redukce dimenze Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování vlastní čísla a vlastní vektory A je čtvercová matice řádu n. Pak
VíceOdhad - Problémy se sdruženým rozdělením pravděpodobnosti
Odhad - Problémy se sdruženým rozdělením pravděpodobnosti 20. listopadu 203 V minulém materiálu jsme si ukázali, jak získat sdružené rozdělení pravděpodobnosti. Bylo to celkem jednoduché: Věrohodnostní
VíceMatematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
Více7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
VíceAproximace funkcí. Numerické metody 6. května FJFI ČVUT v Praze
Aproximace funkcí Numerické metody 6. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Dělení Interpolace 1D Více dimenzí Minimalizace Důvody 1 Dělení Dělení - Získané data zadané data 2 Dělení - Získané data Obecně
VíceGlobální matice konstrukce
Globální matice konstrukce Z matic tuhosti a hmotnosti jednotlivých prvků lze sestavit globální matici tuhosti a globální matici hmotnosti konstrukce, které se využijí v řešení základní rovnice MKP: [m]{
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceÚloha - rozpoznávání číslic
Úloha - rozpoznávání číslic Vojtěch Franc, Tomáš Pajdla a Tomáš Svoboda http://cmp.felk.cvut.cz 27. listopadu 26 Abstrakt Podpůrný text pro cvičení předmětu X33KUI. Vysvětluje tři způsoby rozpoznávání
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceAVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších
AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model y i = β 0 + β 1 x i1 + + β k x ik + ε i (1) kde y i
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou
VíceLingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
VíceMarkov Chain Monte Carlo. Jan Kracík.
Markov Chain Monte Carlo Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Princip Monte Carlo integrace Cílem je (přibližný) výpočet integrálu I(g) = E f [g(x)] = g(x)f (x)dx. (1) Umíme-li generovat nezávislé vzorky x (1),
VíceTeorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy
Teorie informace a kódování (KMI/TIK) Reed-Mullerovy kódy Lukáš Havrlant Univerzita Palackého 10. ledna 2014 Primární zdroj Jiří Adámek: Foundations of Coding. Strany 137 160. Na webu ke stažení, heslo:
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceTeorie náhodných matic aneb tak trochu jiná statistika
Teorie náhodných matic aneb tak trochu jiná statistika B. Vlková 1, M.Berg 2, B. Martínek 3, O. Švec 4, M. Neumann 5 Gymnázium Uničov 1, Gymnázium Václava Hraběte Hořovice 2, Mendelovo gymnázium Opava
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
VíceJasové transformace. Karel Horák. Rozvrh přednášky:
1 / 23 Jasové transformace Karel Horák Rozvrh přednášky: 1. Úvod. 2. Histogram obrazu. 3. Globální jasová transformace. 4. Lokální jasová transformace. 5. Bodová jasová transformace. 2 / 23 Jasové transformace
Vícestránkách přednášejícího.
Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceVšechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
1 / 40 regula Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague regula 1 2 3 4 5 regula 6 7 8 2 / 40 2 / 40 regula Iterační pro nelineární e Bud f reálná funkce
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VíceKlasifikace a rozpoznávání. Lineární klasifikátory
Klasifikace a rozpoznávání Lineární klasifikátory Opakování - Skalární součin x = x1 x 2 w = w T x = w 1 w 2 x 1 x 2 w1 w 2 = w 1 x 1 + w 2 x 2 x. w w T x w Lineární klasifikátor y(x) = w T x + w 0 Vyber
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
VíceCvičení 5 - Inverzní matice
Cvičení 5 - Inverzní matice Pojem Inverzní matice Buď A R n n. A je inverzní maticí k A, pokud platí, AA = A A = I n. Matice A, pokud existuje, je jednoznačná. A stačí nám jen jedna rovnost, aby platilo,
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Bayesovské odhady
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bayesovské odhady Bayesovské odhady - úvod Klasický bayesovský přístup: Klasický přístup je založen na opakování pokusech sledujeme rekvenci nastoupení zvolených jevů Bayesovský
VíceNáhodné (statistické) chyby přímých měření
Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
Více2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2
Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací
VíceTeorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceDefinice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
VíceSOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ALGEBRAICKÝCH ROVNIC Pojm: Algebraická rovnice... rovnice obsahující pouze celé nezáporné mocnin neznámé, tj. a n n + a n 1 n 1 +... + a 2 2 + a 1 + a 0 = 0, kde n je přirozené číslo.
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceUsuzování za neurčitosti
Usuzování za neurčitosti 25.11.2014 8-1 Usuzování za neurčitosti Hypotetické usuzování a zpětná indukce Míry postačitelnosti a nezbytnosti Kombinace důkazů Šíření pravděpodobnosti v inferenčních sítích
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceNumerické metody a programování. Lekce 4
Numerické metody a programování Lekce 4 Linarní algebra soustava lineárních algebraických rovnic a 11 a 12 x 2 a 1, N x N = b 1 a 21 a 22 x 2 a 2, N x N = b 2 a M,1 a M,2 x 2 a M,N x N = b M zkráceně A
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceAVDAT Nelineární regresní model
AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných
VíceFyzikální korespondenční seminář MFF UK
Úloha I.S... náhodná 10 bodů; průměr 7,04; řešilo 45 studentů a) Zkuste vlastními slovy popsat, co je to náhodná veličina a jaké má vlastnosti (postačí vlastními slovy objasnit následující pojmy: náhodná
Více