scintigrafických studií ledvin

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "scintigrafických studií ledvin"

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ DIPLOMOVÁ PRÁCE Ondřej Tichý

2 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA JADERNÁ A FYZIKÁLNĚ INŽENÝRSKÁ Katedra matematiky DIPLOMOVÁ PRÁCE Integrální modely dynamických scintigrafických studií ledvin ( Integral models for dynamic renal scintigraphy ) Ondřej Tichý Školitel: Ing. Václav Šmídl, Ph.D. Konzultant: Prof. MUDr. Martin Šámal, DrSc. Akademický rok: 9/

3 Sem dát zadání DP, jeden originál a dvě kopie...

4 Čestné prohlášení Prohlašuji na tomto místě, že jsem předloženou práci vypracoval samostatně a že jsem uvedl veškerou použitou literaturu. V Praze dne 7. května Ondřej Tichý

5 Poděkování Chtěl bych na tomto místě poděkovat svým rodičům za podporu v celém mém studiu a obzvláště pak tatínkovi Miroslavovi za korekturu textu. Dík patří také mému konzultantovi, prof. Šámalovi, za poskytnuté scintigrafické studie, pomoc s kapitolou o Scintigrafii a trpělivé konzultace, které usměrnily směr výzkumu. Největší poděkování však patří mému školiteli, Dr. Václavu Šmídlovi, za příkladné vedení této diplomové práce, hodiny konzultací, cenné nápady, připomínky a za výborné uvedení do celé problematiky.

6 Název práce: Integrální modely dynamických scintigrafických studií ledvin Autor: Ondřej Tichý Obor: Inženýrská informatika Druh práce: Diplomová práce Vedoucí práce: Ing. Václav Šmídl, Ph.D., Ústav teorie informace a automatizace AV ČR Konzultant: Prof. MUDr. Martin Šámal, DrSc., Ústav nukleární medicíny 1.lf UK v Praze Abstrakt: Tato práce se zabývá konvoluční parametrizací v modelu pro faktorovou analýzu ve scintigrafii ledvin. Součástí parametrů tohoto nového modelu jsou přímé diagnostické koeficienty, není tedy nutná následná analýza a interakce s odborným uživatelem. Po představení scintigrafie a Bayesovské teorie se práce věnuje popisu a řešení standardního modelu pro faktorovou analýzu a následně na reálné studii ukazuje jeho funkci. Protože však standardní model není založen na reálných biologických předpokladech, narážíme na jeho omezení při získávání diagnostických parametrů. Hlavním výsledkem této práce je navržení integrálního modelu, který respektuje biologická omezení a zároveň přímo odhaduje diagnostické koeficienty jako své parametry. Tento nový model je řešen pomocí Variačního Bayesova teorému a otestován na reálných scintigrafických studiích. Zabudování nových informací přineslo požadovanou automatizaci diagnostiky a je ukázáno velké zlepšení oproti standardnímu modelu pro faktorovou analýzu. Klíˇcová slova: scintigrafie, Bayesovská statistika, nukleární medicína, obrazová sekvence, konvoluční parametrizace Title: Integral models for dynamic renal scintigraphy Author: Ondřej Tichý Abstract: This work is concerned with a convolution based parametrization of model for factor analysis in renal scintigraphy. Diagnostic coefficients are used as parameter of the new integral model, hence their estimates are direct output of the estimation and no follow-up analysis and interaction with expert user is required. After introduction of the field of scintigraphy and Bayesian theory, the Variational Bayes solution of standard model for factor analysis is described in detail. Suitability of the model is tested on real data. It is shown that the estimated diagnostic coefficients are inadequate since the model do not respect properties of real biological systems. The main contribution of this work is the integral model and estimation of its parameters via the Variational Bayes approximation. The model is designed to respect biological constraints and its parameters are variables used as diagnostic coefficients. The resulting estimation algorithm is tested on real scintigraphic data. It is shown that resulting estimates are much more realistic that of the standard model. Moreover, the estimates of the diagnostic coefficient were achieved without any interaction with expert user. Key words: scintigraphy, Bayesian statistic, nuclear medicine, image sequence, convolutionbased parameterization

7 Obsah 1 Úvod 1 2 Scintigrafické vyšetření Scintigrafie Průběh vyšetření Radionuklidy Scintilační kamera Biologické předpoklady Tvary faktorových křivek Faktorové obrázky Současné metody funkcionální analýzy obrazové sekvence Oblasti zájmu Matematický pohled a vyhodnocení křivek Klinické vyhodnocení Zhodnocení Bayesovská teorie a aproximace Základy Bayesovské teorie Volba apriorního rozdělení Řešení pomocí aproximace EM (expectation minimalization) algoritmus Laplaceova aproximace Markov Chain Monte Carlo (MCMC) aproximace Variační Bayesova aproximace Faktorová analýza obrazových sekvencí Konstrukce standardního modelu pro sekvenci snímků Poznámka k maticové dekompozici VB metoda pro standardní model (4.1) Výsledky standardního modelu Faktorové obrázky a jejich křivky Tranzitní čas Relativní renální clearance Zhodnocení výsledků Integrální model pro funcionální analýzu obrazových sekvencí 32 ii

8 5.1 Konstrukce modelu Základní model dat Model chyb měření Modelování matice obrázků Modelování impulzních retenčních funkcí Model křivky krve Odhadované a závislé proměnné Řešení integrálního modelu VB metodou Sestrojení modelu Výpočet logaritmu sdruženého rozdělení Výpočet VB-marginál Identifikace standardních forem Odhad indexových množin aprioren obrazové a přírůstkové matice Formulace VB-momentů Shrnutí výpočtu Inicializace výpočtu Konvergence výpočtu Výsledky integrálního modelu Popis odhadovaných parametrů Tranzitní čas Relativní renální clearance Vyhodnocení dalších studií Studie Studie Zhodnocení výsledků Závěr a možnosti dalšího pokračování 7.1 Hlavní přínos práce Možnosti dalšího pokračování Zhodnocení A Matematický dodatek 63 A.1 Stopa matice, operátor vec(), Kroneckerův a Hadamardův součin A.2 Normální rozdělení A.2.1 Vícerozměrné normální rozdělení A.2.2 Maticové normální rozdělení A.2.3 Vektorizace v maticovém normálním rozdělení A.2.4 Ořezané normální rozdělení A.3 Gamma rozdělení A.4 Exponenciální rozdělení A.4.1 Ořezané exponenciální rozdělení A.5 Rovnoměrné rozdělení iii

9 B Výpočet logaritmu sdruženého rozdělení 68 C Obrazové sekvence 7 Literatura 72 iv

10 Použité značení Lineární algebra R množina reálných čísel A R p n A je reálná matice rozměru p n; matice budeme obvykle značit velkými písmeny A transpozice matice A A 1 inverze matice A a i i-tý sloupec matice A a i,j resp. (A) i,j člen v i-tém sloupci a j-tém řádku v matici A g i i-tý prvek vektoru g diag(a) diagonála čtvercové matice A, výsledkem je tedy vektor s diagonálními prvky matice A diag(a) čtvercová matice s prvky vektoru a na diagonále tr(a) stopa matice A (viz A.1) vec(a) vektorizace matice A (viz A.1) A B Kroneckerův součin matic A a B o libovolném rozměru (viz A.1) A B Hadamardův součin matic A R p n a B R p n (viz A.1) I n čtvercová jednotková matice rozměru n, tedy (I n ) i,j = 1, pokud i = j a (I n ) i,j =, pokud i j 1 p,q matice jedniček o rozměrech p r p,q matice nul o rozměrech p r Matematická analýza erf(x) Γ(x) χ (a,b) ln(..) exp(..) error funkce (viz A.2.4) gamma funkce (viz A.3) charakteristická funkce intervalu (a, b) (viz A.2.4) přirozený logaritmus argumentu; je-li argumentem matice, rozumí se logaritmus po prvcích exponenciela argumentu; je-li argument matice, rozumí se exponenciela po prvcích Pravděpodobnostní počet E f(x) (..) Â N x (µ, σ) N x (µ, Σ) N X (M, Σ p Σ n ) očekávaná hodnota argumentu vzhledem k funkci f(x) bodový odhad parametru A normální rozdělení skaláru x se střední hodnotou µ a variancí σ vícerozměrné (vektorové) normální rozdělení vektoru x se střední hodnotou µ a Σ (viz A.2.1) maticové normální rozdělení matice X R p n se středního hodnotou M a kovariančními maticemi Σ p a Σ n (viz A.2.2) v

11 tn x (µ, σ, a, b) tn x (µ, σ) G x (α, β) Exp x (λ) t Exp x (λ) U x (a, b) ořezané normální rozdělení skaláru x se střední hodnotou µ a variancí Σ na intervalu (a, b] (viz A.2.4) ořezané normální rozdělení skaláru x se střední hodnotou µ a variancí Σ na intervalu (, + ) gamma rozdělení s parametry α, β (viz A.3) exponenciální rozdělení skaláru x s parametrem λ (viz A.4) ořezané exponenciální rozdělení skaláru x s parametrem λ na intervalu (, + ) (viz A.4.1) rovnoměrné rozdělení skaláru x na intervalu (a, b) (viz A.5) vi

12 1 Úvod Významnou úlohu v lékařské diagnostice zaujímá jedna z metod nukleární medicíny, scintigrafie. Ta je založena na snímání distribuce radiofarmaka, aplikovaného do těla pacienta, díky čemuž lze získat nejen tvar, ale i funkci jednotlivých struktur v těle. Základním úkolem následné analýzy je rozlišit na sekvenci snímků jednotlivé obrázky a průběh kontrastní tekutiny v nich, dohromady tzv. faktory. Svojí podstatou však scintigrafie dává relativně málo kvalitní snímky. To je způsobeno nízkým rozlišením scintigrafické kamery (až o řád horší než magnetická rezonance) a problémům se šumem (z okolí, z krevního řečiště, z tkání, atd.). Neexistuje proto žádná automatická metoda, která by provedla celkovou diagnostiku ze získané sekvence. Současné metody jsou značně závislé na zručnosti odborné obsluhy, mnohdy se výsledky mohou značně lišit [1]. Úkolem předkládané práce bude tento nedostatek odstranit. Hlavní úlohou, kterou zastává matematika ve zpracování sekvencí snímků ve scintigrafii, je analýza této sekvence a správné určení diagnostických koeficientů. Protože se analyzuje reálný biologický systém, není možné očekávat teoreticky přesné výsledky. Výhodné metody pro práci s tímto systémem nám přináší Bayesovská statistika. Umožňuje uvlivňovat výpočet dle požadovaných předpokladů a zavádět apriorní předpoklady. Cenou za tyto možnosti je ovšem analytická neřešitelnost [2], je nutno přistoupit k různým formám aproximace. V této práci je použita aproximace pomocí Variačního Bayesova teorému. Problémem současných přístupů v této oblasti je nedostatečné respektování biologických předpokladů, které ovšem nelze opomenout, chceme-li dospět ke správným reálným výsledkům. V předchozí práci autora [3] je naznačeno modelování křivek faktorů jako konvoluce krve s konvolučními jádry jednotlivých faktorů. To je v této práci rozvinuto a zdokonaleno. Práce se dále věnuje vytvoření integrálního modelu pro analýzu scintigrafických obrazových sekvencí, tzn. zabudování potřebných diagnostických koeficientů přímo do výpočtu. To vede k odstranění chyby lidského faktoru, která je v této oblasti nezanedbatelná, a zároveň ke zjednodušení a urychlení celé diagnostiky v praxi. Na závěr je celý postup a nový model otestován na reálných scintigrafických studiích ledvin. 1

13 2 Scintigrafické vyšetření Při vniknutí některých farmak do organismu dochází k jejich nahromadění na konkrétních místech tkáně nebo orgánů, takže pokud by byla dotyčná látka označkována radionuklidem, můžeme toho využít k diagnostice [4]. Těmto látkám se říká radiofarmaka. Měření probíhá typicky na živém organismu (měření in vivo) v relativně hluboko uložených orgánech, proto musí daný radionuklid vyzařovat dostatečně tvrdé záření gamma. Poté lze třírozměrnou distribuci radionuklidu v organismu transformovat na dvourozměrný obraz ve stupních šedi. Signálem při vyšetření je tedy elektromagnetické záření gamma, ostatní doprovodná záření jsou pro nás nežádoucí. 2.1 Scintigrafie Scintigrafie 1 je popsána v [5] takto: Scintigrafie je fyzikálnˇe-elektronická metoda zobrazení distribuce radioindikátoru v organismu na základˇe zevní detekce vycházejícího záˇrení gama. Do metabolismu či krevního oběhu aplikujeme chemickou látku s navázaným radionuklidem. Ta se poté rozloží v organismu podle farmakokinetiky daného radiofarmaka. Jak moc se v konkrétním místě látka koncentruje, záleží na mnoha faktorech, především na intenzitě metabolických a funkčních dějů v orgánech a tkáních. Scintigrafii můžeme rozdělit na dva druhy [6]: Statická: danou oblast zájmu sejmeme jednou či několikrát z různých úhlů, nezáleží tedy na čase (obdoba fotografie). Dynamická: pomocí radioindikátoru sledujeme děj v organismu v čase, vzniká tak sekvence statických snímků (obdoba videa). To nám umožňuje dělat matematickou analýzu měření a sledovat funkce orgánů. Poznamenejme, že nás bude v této práci zajímat především planární scintigrafie, tedy dvojrozměrné zobrazení (naproti tomu tomografická scintigrafie, kde získáváme trojrozměrné zobrazení). Cílem scintigrafického vyšetření je kvantitativní zobrazení distribuce radiofarmak v těle pacienta (viz obrázek 2.1). Na rozdíl od radiodiagnostických metod zobrazujících anatomii vyšetřované části těla, scintigrafie poskytuje diagnostické informace především o funkci orgánů a tkání. 1 Přesněji spíše gamagrafie 2

14 Obrázek 2.1: Sekvence snímků a jejich analýza (převzato z [2]) Průběh vyšetření Názornou ukázku, jak scintigrafie probíhá, vidíme na obr V této kapitole projdeme postupně jednotlivé kroky znázorněné na tomto nákresu a vysvětlíme na nich základní fakta, principy a postupy. Na obr. 2.3 pak vidíme časový průběh vyšetření pomocí dynamické scintigrafie Radionuklidy Radionuklidem nazýváme prvek, jehož atomy mají schopnost se spontálně měnit na atomy jiných prvků (radioaktivní rozpad). Rychlost rozpadu různých prvků je různá, pro každý prvek je však konstantní. Radionuklidy jsou v nukleární medicíně navázany na nosnou látka, farmakum, dohromady tvoří radiofarmaka. Neradioaktivní část radiofarmaka umožňuje sledovat vyšetřovanou funkci tkáně nebo má léčebný účinek. Radionuklid umožňuje sledovat chování označeného farmaka v organismu, případně může mít také vlastní léčebný efekt (terapie radionuklidy). Pro značení diagnostických přípravků se používají zdroje záření gama. 3

15 Obrázek 2.2: Schéma scintigrafického vyšetření (převzato z [5]) Zákon rozpadu Počet rozpadlých jader za jednotku času je přímo úměrný počtu dosud nerozpadlých jader, tedy: dn dt = λn, (2.1) kde N je počet nerozpadlých jader a λ je rozpadová konstanta. Řešením této rovnice dostaneme tvar rozpadového zákona jako: N t = N e λt, (2.2) kde N t je počet zbývajících (nerozpadlých) jader radionuklidu a N je počet jader radionuklidu v čase t =. Poločasem rozpadu pak označíme dobu, za kterou se rozpadne právě polovina jader látky. Statistický pohled Rozpad radionuklidu je spontální děj, má náhodný charakter. Počet vyzářených částic kolísá kolem určité hodnoty a má určitý rozptyl. Děj je popsán Poissonovým zákonem, pro velký počet vyzářených částic (v praxi N > ) lze od Poissonova rozdělení přejít ke Gaussovu normálnímu rozdělení. Vliv pozadí Při detekci záření z radionuklidu si musíme uvědomit další vlivy, které naše měření zkreslují. Nepříznivě ho ovlivňuje například radiace v měřící místnosti, kosmické záření, stopy radionuklidů na detektoru, okolní tkáň atd. Toho si při zpracování snímků vytvořených pomocí scintigrafie musíme být vědomi a neopomenout tuto skutečnost zahrnout do matematického modelu. 4

16 Obrázek 2.3: Časových průběh scintigrafického vyšetření (převzato z [7]) Požadavky na vlastnosti radionuklidů Z uvedeného je zřejmé, že použitelné pro náš účel budou jen některé radionuklidy se specifickými vlastnostmi, především: Poločas rozpadu musí být dostatečně dlouhý, aby byla látka aktivní během celé doby vyšetření, na druhé straně je zbytková radiace po ukončení vyšetření v organismu značně nežádoucí. Emise energie radionuklidu by se měly pohybovat pouze v užitečných hodnotách, obvykle v rozmezí kev až řádově stovky kev (nejvyšší používané záření je 511keV ). Jakékoliv jiné záření si nepřejeme, protože zbytečně zvyšuje radiační zátěž pacienta. Orgán, který chceme vyšetřit, by měl selektivně zachycovat nosnou látku s radionuklidem. Toto zachycení v zájmové oblasti by mělo proběhnout co nejrychleji. Vzhledem k aplikovanému množství musí být zajištěna netoxičnost. Protože výsledné koncentrace radiofarmak ve tkáních jsou nano až pikomolární toxicita většinou nehrozí. Některé používané radionuklidy Prvním radionuklidem užitým v klinické medicíně byl radiojód 131 J s poločasem rozpadu 8 dnů a energií γ 364keV. Jeho klíčový význam je především v diagnostice a léčbě štítné žlázy. Nejdůležitějším radionuklidem pro nukleární medicínu je technicium 99m Tc s poločasem rozpadu 6 hodin a energií γ 1keV [8]. 99m Tc splňuje skoro všechny základní požadované vlastnosti pro scintigrafii a byl proto impulzem pro další rozvoj nukleární medicíny. Z 99m Tc 5

17 navíc vzniká 99 Tc s poločasem rozpadu 2 5 let, takže jej lze považovat za prakticky stabilní. Energie záření je ideální pro clonění kolimátorem i pro detekci a snadno se získává ve formě aniontu technecistanu 99m TcO 4, který se dále dobře váže na biologické látky. Jako další lze uvést: thalium 1 Tl (perfuze myokardu), galium 67 Ga (scintigrafie nádorů a zánětlivých ložisek) a krypton 81m Kr (ventilační scintigrafie plic) Scintilační kamera K popisu scintilační kamery opět užijeme [5]: Scintilaˇcní kamera je pˇrístroj, který snímá fotony záˇrení γ souˇcasnˇe z celého zorného pole, pˇrevádí je na elektrické impulsy a pomocí nich pak na displeji vytváˇrí scintigrafický obraz distribuce radioindikátoru v tomto zorném poli. Jedná se tedy o značně složité zařízení jak konstrukcí, tak principem. Naším úkolem není scintilační kameru dokonale popsat, spíše nám půjde o pochopení, jak funguje. Ve vyšetřovaném objektu se pohybují radionuklidy, které izotropně vyzařují záření gama. Abychom zachytili částice letící pouze v jednom směru a získali tak dvourozměrnou projekci, vložíme záření do cesty olověnou desku (někdy wolframovou) s maticí otvorů. Ta odstíní částice, které nejdou přesně ve směru osy otvorů. Za olověnou maticí je pak velkoplošný scintilační krystal, který při dopadu fotonu vyvolá v daném místě záblesk, který je snímám a převedem na elektrický impulz ve fotonásobiči. Pro další zpracování je pak důležitá digitalizace scintigrafických snímků a jejich uložení do paměti počítače. 2.2 Biologické předpoklady Rozeberme základní vlastnosti měřených a odhadovaných křivek. V první řadě si musíme uvědomit, jaké faktory snímáme scintigrafickou kamerou při vyšetření ledvin. Ledvina se skládá ze dvou hlavních částí, parenchymu a pánvičky (pelvis). Tyto dvě části se překrývají, a prolínají, pro správnou analýzu je však důležité je umět oddělit. Základní snímané části ve scintigrafii ledvin jsou: srdce krevní pozadí parenchym pánvička tkáňové pozadí další orgány. 6

18 2.2.1 Tvary faktorových křivek Srdce je orgán, k jehož naplnění konstrastní látkou dojde jako první, je-li, jako v našem případě, aplikováno radiofarmakum do krve ([9]). Z krevního oběhu je tato látka čištěna ledvinami, teoreticky se dá očekávat exponenciální tvar křivky krve, jak je ukázáno na obrázku 2.4. y 5 15 čas [min] Obrázek 2.4: Typický průběh křivky krve (srdce a krevní pozadí) Ze srdce se poté látka krví distribuuje do celého těla, nejprve do velkých cév a poté do celého krevního řečiště. Radiofarmakum je vytvářeno tak, aby bylo selektivně zachytáváno v cílovém orgánu, v ledvině. V počátku celé sekvence však můžeme pozorovat i další orgány, do kterých se radiofarmakum dostalo přes krev. Tento fakt ztěžuje celou analýzu, pomoci nám může to, že průběh křivky v nich je poměrně rychlý a tedy je šance tyto orgány detekovat a tím automaticky odečíst z výsledných snímků. Další problém s detekcí krevního pozadí nám vyvstává v tom, že probíhá přirozená difuze mezi krví a tkáněmi. Tím vniká další typ pozadí, tzv. tkáňové pozadí, které přebírá a zase vypouští radiofarmakum z a do krve. Lokálně se tedy může stát, že je křivka krve v jedné chvíli mírně rostoucí, globálně by však mělo docházet k poklesu aktivity v krvi. V dynamické scintigrafii ledvin dochází k největší selekci radiofarmaka v ledvinách, zaměříme se tedy nyní na tento orgán. Ledvinu musíme rozdělit na dvě hlavní části, na parenchym a pánvičku. Ty jsou navzájem propojeny a každá má rozdílnou dynamiku. Také jejich oddělení je jedním z hlavních úkolů analýzy. Parenchym tvoří větší část ledviny a v něm dochází k zachytávání kontrastní látky z krve. Pánvička je menší a k jejímu plnění a z našeho pohledu tedy k její aktivaci dochází později, nebot do ní přitéká tekutina z parenchymu. Tento bod nastává typicky po 2 až 3 minutách, v závislosti na věku a použité kontrastní látce ([]). Pánvička je však již určitě aktivovaná ve 7

19 y parenchym pelvis čas [min] Obrázek 2.5: Typický průběh křivky parenchymu a pánvičky chvíli, kdy má křivka parenchymu své maximum. V tomto bodě je přítok do pánvičky a přítok do parenchymu vyrovnán. Typické průběhy parenchymu a pánvičky u zdravé ledviny vidíme na obrázku 2.5. Každá křivka faktoru (x) je dána výsledkem konvoluce svého konvolučního jádra (u) s křivkou krve (b) ([11], [12], [13]). Dohromady tedy: x t = t b t m+1 u m. (2.3) m=1 Tato konvoluční jádra (nazývaná v nukleární medicíně impulzní retenˇcní funkce) mají typický teoretický tvar, který je znázorněn na obrázku 2.6. Pakliže je faktor aktivní hned od počátku sekvence, začíná konstantní plato od nuly, pokud tomu tak není (např. pánvička), je jeho začátek posunut Faktorové obrázky Faktorové obrázky získané ve scintigrafii představují ve většině případů nějaké orgány, případně jejich části. Typicky jsou tedy kompaktní a omezené. Díky předpokladům: snímaná tkáň se vzhledem ke scintigrafické kameře nehýbe orgány nemění svůj tvar během měření změna objemu kapaliny uvnitř orgánu je lineárně úměrná počtu vyzářovaných částic 8

20 y krev parenchym pelvis tkáňové pozadí čas [min] Obrázek 2.6: Teoretický tvar konvolučních jader jednotlivých faktorů (u zdravého pacienta) můžeme naměřená data modelovat jako lineární kombinaci jednotlivých orgánů (nebo jejich částí). Naším základním úkolem je pak zjistit tvar jednotlivých orgánů a průběh průtoku kontrastní tekutiny v nich (viz obrázek 2.1). Každý snímek sekvence (index t) lze matematicky vyjádřit jako d t = r a t x t + e t, (2.4) kde r je počet faktorů, a t je faktorový obrázek, x t je faktorová křivka a e t představuje šum. Tyto předpoklady by měl respektovat i matematický model, který správně odhadne jednotlivé faktorové obrázky a jejich křivky. 2.3 Současné metody funkcionální analýzy obrazové sekvence Podívejme se nyní na celý problém analýzy obrazové sekvence z matematického hlediska. Pokusíme se popsat základní biologické předpoklady, které na jednotlivé výsledné i pomocné křivky klademe. To bude mít vliv na následnout faktorovou analýzu a získání diagnostických 9

21 koeficientů. Dodejme ještě, že v současné době provádí analýzu expert (lékař či laborant) pomocí vizuálního dojmu, zda daný faktor obsahuje nebo neobsahuje konkrétní pixel je zcela na něm. Obdobné je to např. s určením, kde daná křivka začíná a končí (viz např. obrázky 2. a 2.11). Vytvoření a vyřešení matematického modelu, který vysvětluje data, snímaná scintigrafickou kamerou, ještě nemusí znamenat, že jsme nalezli biologicky správné řešení. Výsledek může být velice vzdálen biologickým předpokladům. Již sestavením modelu totiž vtiskáváme případnému řešení námi danou podobu, která může být v podstatě libovolná. Jako příklad uved me následující: mějme za úkol rozložit číslo d na a x. Náš matematický model tedy bude mít tvar d = ax. Ovšem pokud nespecifikujeme vlastnosti tohoto rozkladu, pak je možných řešení nekonečně mnoho, protože např. 12 = 3 4, ale i 2 6 atd. (pro další viz [2], [14]). Velký vliv na řešení celého problému má tedy již konstrukce modelu, ve kterém můžeme říci, jak si přejeme data rozložit. S ohledem na to musíme konstruovat naše modely i v následujících kapitolách Oblasti zájmu Jedním ze základních kroků při analýze obrazových sekvencí vzniklých scintigrafií je definování tzv. oblastí zájmů (region of interest - ROI). Ty poté slouží k měření aktivity v označené oblasti, výsledkem je časová křivka, které se využívá k výpočtu kvantitativních diagnostických parametrů. Problém s tím spojený vysvětlíme na příkladu. Na obrázku 2.7 vidíme snímek dutiny břišní. My dokážeme pouhým pohledem rozlišit tři základní struktury, které se na obrázku nacházejí, konkrétně dvě ledviny a v horní části srdce. Počítač ovšem tyto struktury tak snadno nedetekuje, v klinické praxi jsou proto skoro vždy určovány uživatelem, tedy lékařem. Obrázek 2.7: Snímek dutiny břišní

22 Problém s jakýmkoliv implicitním nastavením je ilustrován na obrázcích 2.8 a 2.9. Okřídlené tvrzení, že neexistují dva stejní lidé platí i v tomto případě. Pokud by šlo předpokládat, že rozmístění orgánů bude vždy stejné, mohli bychom je hledat v určitých typických oblastech (viz obr. 2.8). Jak však vidíme, v tomto případě jsou ledviny rozmístěny jinak a levá ledvina není ve své ROI zahrnuta celá, což by mohlo vést ke značně zkresleným výsledkům. Proto je nutno interakce s lékařem, který vyznačí ROI přesně dle konkrétního pacienta (obr. 2.9). Obrázek 2.8: Základní nastavení Obrázek 2.9: Konkrétní ROI Uvědomme si, že určování ROI je slabým článkem celého vyšetření, nebot interakce s uživatelem zanáší téměř vždy nepřesnost. Klasické metody zpracování však ROI využívají a jsou tedy do značné míry závislé i na zkušenostech a zručnosti obsluhy Matematický pohled a vyhodnocení křivek Podaří-li se nám získat výsledné tvary křivek jednotlivých faktorů, je třeba je dále analyzovat. Uved me některé základní přístupy. Patlak-Rutlandův graf Prvním možným přístupem je sestrojení tzv. Patlak-Rutlandova grafu [15]. Tato metoda předpokládá, že kontrastní látka do orgánů vstupuje a setrvává v nich. Orgány jsou tedy něco jako integrátory vstupní aktivity. Je však nutné určit polohu orgánu, případně oblast zájmu, ve které orgán leží. Necht počet dopadů částic v oblasti zájmu je dán funkcír(t) a aktivita v krvi funkcí B(t). Potom R(t) = a B(t) dt + bb(t), (2.5) kde konstanta a určuje schopnost absorbce kontrastní látky orgánem a konstanta b vyjadřuje vliv pozadí. 11

23 Tento model analyzujeme vydělením celé rovnice funkcí krve B(t) a dostáváme R(t) B(t) dt B(t) = a + b, (2.6) B(t) což je graf závislosti R(t). Výsledkem je tedy přímka se směrnicí a a vertikálním B(t) posunem b, ze které vyčteme potřebné informace. Úskalí tohoto přístupu je v tom, jak přesně zvládneme naměřit či vypočítat zmíněné funkce. Výsledek je také závislý na zručnosti odborné obsluhy [16], jak vidíme na obrázcích 2. a Volba délky lineárního úseku je častá chyba lidského faktoru. Zároveň si můžeme všimnout, že jsme celá data transformovali na jedinou křivku, čímž dochází ke ztrátě části informace. B(t) na R B(t) dt.5 Patlak Rutland plot 3 Patlak Rutland plot R(t)/P(t) R(t)/P(t) pseudo time P(t)/P(t) Obrázek 2.: Ihned zřejmý tvar Patlak- Rutlandova grafu (z [16] ) pseudo time P(t)/P(t) Obrázek 2.11: Problematický tvar Patlak- Rutlandova grafu (z [16] ) Dekonvoluce Druhý přístup je založen na předpokladu, že křivka každého faktoru je modelována jako konvoluce křivky krve a konvolučního jádra každého faktoru ([11], [], [15], [12]), jak bylo diskutováno již výše. Naším cílem je určit impulzní retenční funkci H(t). Výjimečně však můžeme aplikovat radiofarmakum přímo do vyšetřovaného orgánu, častěji je aplikováno do krve a z něj teprve přechází dále. Množství kontrastní látky v orgánu, Q(t) je tedy dáno konvolucí H(t) a vstupní funkcí orgánu, I(t), což můžeme zapsat jako Q(t) = T I(T t)h(t) dt (2.7) a měřit hodnoty I(t) a Q(t). Vyřešením uvedené konvoluční rovnice pak dostaneme hodnoty H(t), ze kterých opět vyčteme potřebné informace. 12

24 Tento postup je v principu jednoduchý, v praxi však nařáží na mnohé problémy, především určení správné vstupní křivky a na šum. Poznamenejme, že porovnání Patlak-Rutlandova grafu a dekonvoluce nalezneme v [13]. Oba jsou do značné míry závislé na správném určení a odečtení šumu (který tvoří samotný princip metody), krevního a tkáňového pozadí atd. Možností, jak tento šum odstranit je to, že vezmeme nějaké referenční pozadí a to pak od celého orgánu odečteme. Narážíme tím však na problém, jak takové referenční pozadí volit a zda tím neodečítáme moc velkou nebo malou hodnotu. Jak je ukázáno v [1], rozdíl výsledku oproti skutečnosti může být až 25% v závislosti na volbě referenčního pozadí, což je enormně velké číslo. Analýza hlavních komponent Analýza hlavních komponent (též Principal Component Analysis, PCA) je obecně postup sloužící k dekorelaci dat. Důležitým předpokladem této metody je, že pozorujeme superpozici jednotlivých faktorů. To je přesně náš případ, nebot ve scintigrafii sledujeme transformaci třírozměrného prostoru na dvourozměrný snímek, který je lineární kombinací jednotlivých faktorů. Základní princip je následující: mějme datovou (výstup experimentu) matici D a tu rozložme jako D = P ΛP, (2.8) kde Λ je diagonální matice vlastních čísel matice D a P je matice vlastních vektorů příslušných k matici Λ, přičemž platí, že P P je rovno jednotkové matici. Prvních r největších vlastních čísel a k nim příslušných vlastních vektorů jsou nejvýznamější faktory v datech D. Obecnější případ pak řeší tzv. Singular value decomposition. Nepříjemností při tomto rozkladu je opět šum. Použití této techniky je demonstrováno např. v [17]. Model faktorové analýzy Faktorová analýza vychází z předchozí podkapitoly (PCA) a z kapitoly Datová matice D zde obsahuje ve sloupcích všechny snímky sekvence. D se pak snažíme rozložit na matice A a X, kde A obsahuje ve sloupcích jednotlivé faktorové obrázky a X obsahuje ve sloupcích jednotlivé křivky. Model lze zapsat jako: D = AX + E, (2.9) kde E představuje šum. Poznamenejme, že toto bude základní model dat pro celou tuto práci Klinické vyhodnocení K určení správné diagnózy pacienta by vzhledem k výše popsaným přístupům bylo zapotřebí matematika - lékaře. To je v praxi náročný požadavek, proto je potřeba výsledek analýzy kvantifikovat a transformovat ideálně na jedno číslo, jehož hodnota by byla dosatečně vypovídající 13

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0. Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného)

Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného) Vyhodnocení 2D rychlostního pole metodou PIV programem Matlab (zpracoval Jan Kolínský, dle programu ing. Jana Novotného) 1 Obecný popis metody Particle Image Velocimetry, nebo-li zkráceně PIV, je měřící

Více

vzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291

vzorek1 0.0033390 0.0047277 0.0062653 0.0077811 0.0090141... vzorek 30 0.0056775 0.0058778 0.0066916 0.0076192 0.0087291 Vzorová úloha 4.16 Postup vícerozměrné kalibrace Postup vícerozměrné kalibrace ukážeme na úloze C4.10 Vícerozměrný kalibrační model kvality bezolovnatého benzinu. Dle následujících kroků na základě naměřených

Více

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty

Více

Neuronové časové řady (ANN-TS)

Neuronové časové řady (ANN-TS) Neuronové časové řady (ANN-TS) Menu: QCExpert Prediktivní metody Neuronové časové řady Tento modul (Artificial Neural Network Time Series ANN-TS) využívá modelovacího potenciálu neuronové sítě k predikci

Více

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy

10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy 10. Předpovídání - aplikace regresní úlohy Regresní úloha (analýza) je označení pro statistickou metodu, pomocí nichž odhadujeme hodnotu náhodné veličiny (tzv. závislé proměnné, cílové proměnné, regresandu

Více

Jméno a příjmení. Ročník. Měřeno dne. 21.3.2012 Příprava Opravy Učitel Hodnocení

Jméno a příjmení. Ročník. Měřeno dne. 21.3.2012 Příprava Opravy Učitel Hodnocení FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM Ústav fyziky FEKT VUT BRNO Jméno a příjmení Vojtěch Přikryl Ročník 1 Předmět IFY Kroužek 35 ID 143762 Spolupracoval Měřeno dne Odevzdáno dne Daniel Radoš 7.3.2012 21.3.2012 Příprava

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Matematické modelování dopravního proudu

Matematické modelování dopravního proudu Matematické modelování dopravního proudu Ondřej Lanč, Alena Girglová, Kateřina Papežová, Lucie Obšilová Gymnázium Otokara Březiny a SOŠ Telč lancondrej@centrum.cz Abstrakt: Cílem projektu bylo seznámení

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

Numerické metody a programování

Numerické metody a programování Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským

Více

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel. Výpočet budeme demonstrovat

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

Stanovení radiační zátěže z vyšetření tlustého střeva pomocí 67. Ga-citrátu. Mihalová P., Vrba T., Buncová M. XXXIII. Dni radiačnej ochrany, Vyhne

Stanovení radiační zátěže z vyšetření tlustého střeva pomocí 67. Ga-citrátu. Mihalová P., Vrba T., Buncová M. XXXIII. Dni radiačnej ochrany, Vyhne Stanovení radiační zátěže z vyšetření tlustého střeva pomocí 67 Ga-citrátu Mihalová P., Vrba T., Buncová M. Obsah prezentace Algoritmus vyšetření Odhad radiační zátěže pro jednotlivé diagnózy Výpočet z

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Rainer Scharf, Félix M. Izrailev, 1990 rešerše: Pavla Cimrová, 28. 2. 2012 1 Náhodné matice Náhodné matice v současnosti nacházejí

Více

Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie

Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie Univerzita Pardubice Chemicko-technologická fakulta Katedra analytické chemie 12. licenční studium PYTHAGORAS Statistické zpracování dat 3.1 Matematické principy vícerozměrných metod statistické analýzy

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Aktualizovaná databáze dynamické scintigrafie ledvin

Aktualizovaná databáze dynamické scintigrafie ledvin Aktualizovaná databáze dynamické scintigrafie ledvin Martin Šámal, Jiří Valoušek Ústav nukleární medicíny 1. LF UK a VFN v Praze M.G.P. s.r.o. Zlín www.dynamicrenalstudy.org 1 Nálezy dynamické scintigrafie

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014

Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014 Harmonogram výuky předmětu Rovnice matematické fyziky cvičení pro akademický školní rok 2013-2014 Vedoucí cvičení: ing. Václav Klika, Ph.D. & MSc. Karolína Korvasová & & ing. Matěj Tušek, Ph.D. Katedra

Více

EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy

EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy EKONOMETRIE 7. přednáška Fáze ekonometrické analýzy Ekonometrická analýza proces, skládající se z následujících fází: a) specifikace b) kvantifikace c) verifikace d) aplikace Postupné zpřesňování jednotlivých

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Dosah γ záření ve vzduchu

Dosah γ záření ve vzduchu Dosah γ záření ve vzduchu Intenzita bodového zdroje γ záření se mění podobně jako intenzita bodového zdroje světla. Ve dvojnásobné vzdálenosti, paprsek pokrývá dvakrát větší oblast povrchu, což znamená,

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální

Více

7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém

7. přednáška Systémová analýza a modelování. Přiřazovací problém Přiřazovací problém Přiřazovací problémy jsou podtřídou logistických úloh, kde lze obecně říci, že m dodavatelů zásobuje m spotřebitelů. Dalším specifikem je, že kapacity dodavatelů (ai) i požadavky spotřebitelů

Více

Počítačový model plazmatu. Vojtěch Hrubý listopad 2007

Počítačový model plazmatu. Vojtěch Hrubý listopad 2007 Počítačový model plazmatu Vojtěch Hrubý listopad 2007 Situace Zajímá nás, co se děje v okolí kovové sondy ponořené do plazmatu. Na válcovou sondu přivedeme napětí U Očekáváme, že se okolo sondy vytvoří

Více

Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu. Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011

Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu. Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011 Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011 Cíle doktorandské práce Seminář 10. 11. 2010 Najít, implementovat, ověřit a do praxe

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

StatSoft Jak vyzrát na datum

StatSoft Jak vyzrát na datum StatSoft Jak vyzrát na datum Tento článek se věnuje podrobně možnostem práce s proměnnými, které jsou ve formě datumu. A že jich není málo. Pokud potřebujete pracovat s datumem, pak se Vám bude tento článek

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

13 Barvy a úpravy rastrového

13 Barvy a úpravy rastrového 13 Barvy a úpravy rastrového Studijní cíl Tento blok je věnován základním metodám pro úpravu rastrového obrazu, jako je např. otočení, horizontální a vertikální překlopení. Dále budo vysvětleny různé metody

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Numerické řešení variačních úloh v Excelu

Numerické řešení variačních úloh v Excelu Numerické řešení variačních úloh v Excelu Miroslav Hanzelka, Lenka Stará, Dominik Tělupil Gymnázium Česká Lípa, Gymnázium Jírovcova 8, Gymnázium Brno MirdaHanzelka@seznam.cz, lenka.stara1@seznam.cz, dtelupil@gmail.com

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

Kalibrace a limity její přesnosti

Kalibrace a limity její přesnosti Univerzita Pardubice Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium chemometrie Statistické zpracování dat Kalibrace a limity její přesnosti Zdravotní ústav se sídlem v Ostravě

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35

1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný

Více

UČENÍ BEZ UČITELE. Václav Hlaváč

UČENÍ BEZ UČITELE. Václav Hlaváč UČENÍ BEZ UČITELE Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz, http://cmp.felk.cvut.cz/~hlavac 1/22 OBSAH PŘEDNÁŠKY ÚVOD Učení

Více

Popisná statistika kvantitativní veličiny

Popisná statistika kvantitativní veličiny StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

Zákony hromadění chyb.

Zákony hromadění chyb. Zákony hromadění chyb. Zákon hromadění skutečných chyb. Zákon hromadění středních chyb. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Přírodovědecká fakulta Univerzity Karlovy v Praze, Katedra aplikované geoinformatiky

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Abychom obdrželi všechna data za téměř konstantních podmínek, schopných opakování:

Abychom obdrželi všechna data za téměř konstantních podmínek, schopných opakování: 1.0 Vědecké přístupy a získávání dat Měření probíhalo v reálném čase ve snaze získat nejrelevantnější a pravdivá data impulzivní dynamické síly. Bylo rozhodnuto, že tato data budou zachycována přímo z

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Protokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání:

Protokol č. 1. Tloušťková struktura. Zadání: Protokol č. 1 Tloušťková struktura Zadání: Pro zadané výčetní tloušťky (v cm) vypočítejte statistické charakteristiky a slovně interpretujte základní statistické vlastnosti tohoto souboru tloušťek. Dále

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

BAYESOVSKÉ ODHADY. Michal Friesl V NĚKTERÝCH MODELECH. Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni

BAYESOVSKÉ ODHADY. Michal Friesl V NĚKTERÝCH MODELECH. Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni BAYESOVSKÉ ODHADY V NĚKTERÝCH MODELECH Michal Friesl Katedra matematiky Fakulta aplikovaných věd Západočeská univerzita v Plzni Slunce Řidiči IQ Regrese Přežití Obvyklý model Pozorování X = (X 1,..., X

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem.

Algoritmus. Přesné znění definice algoritmu zní: Algoritmus je procedura proveditelná Turingovým strojem. Algoritmus Algoritmus je schematický postup pro řešení určitého druhu problémů, který je prováděn pomocí konečného množství přesně definovaných kroků. nebo Algoritmus lze definovat jako jednoznačně určenou

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více