2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012
|
|
- Dominika Křížová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 2. Schurova věta Petr Tichý 3. října
2 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci tak, aby se řešení úlohy podstatně zjednodušilo či se stalo zjevným. Řešení úlohy pak spočívá v nalezení vhodné transformace úlohy. Schurova věta je ilustrativním příkladem. Uvažujme matici A C n n a úlohu nalezení jejího spektra. Podobnostní transformace pomocí regulární matice S, B = S 1 A S, zachovává Jordanův kanonický tvar, tj. i spektrum. Jak volit regulární matici transformace S? 3
3 Praktické výpočty Vstupní data zatížena chybami. A obsahuje kromě původních dat  rovněž chyby reprezentované maticí chyb E, A =  + E. Pak ve skutečnosti hledáme podobnostní transformaci B = S 1 A S = S 1  S + S 1 E S B je podobná  až na transformovanou matici chyb S 1 ES. Její normu pro jednoduchost charakterizujeme odhadem S 1 E S κ(s) E Je-li κ(s) = S S 1 1, může podobnostní transformace výrazně zvětšit chyby obsažené ve vstupních datech. 4
4 Jaké podobnostní transformace používat? ortogonální, unitární B = S 1 A S. Při κ(s) 1 může dojít k výraznému zvětšení chyb na úkor vlastních dat vypovídajících o dané úloze. Vlastní čísla matice B se v takovém případě mohou lišit od vlastních čísel matice  mnohem podstatněji, než by odpovídalo původním chybám dat E. Je velice důležité používat pouze takové podobnostní transformace, které velikosti chyb výrazně nezvětší, κ(s) 1. Příkladem takových transformací jsou unitární transformace. 5
5 Unitární (ortogonální) transformace Řekneme, že čtvercová matice U je unitární, jestliže U U = UU = I, kde I je jednotková matice. Unitární transformace jsou transformace realizované unitárními maticemi. Transformace  + E pomocí unitární matice S, platí S 1 ES = S ES = E. Výpočetní postup by neměl zvyšovat neurčitost výsledku nad neurčitost vstupních dat. V kapitole o singulárním rozkladu ukážeme, že κ(s) = 1 S je násobek unitární matice. 6
6 Na jaký tvar transformovat matici A abychom mohli z tvaru vyčíst vlastní čísla? B = S 1 AS Jordanův kanonický tvar podstatný praktický problém: transformace může být velmi špatně podmíněna. Postačí, když B bude v horním trojúhelníkovém tvaru vlastní čísla jsou na diagonále. Dva požadavky: 1 Transformace musí vynulovat všechny poddiagonální prvky. 2 Transformace nesmí zvýšit neurčitost výsledku nad neurčitost obsaženou v původních datech: omezení se na unitární podobnostní transformace. Lze obecnou matici transformovat pomocí unitárních podobnostních transformací na matici v horním trojúhelníkovém tvaru? 7
7 Schurova věta Schurova věta Pro libovolnou čtvercovou matici A existuje unitární matice U tak, že matice R = U A U je horní trojúhelníková s vlastními čísly matice A na diagonále v libovolném předepsaném pořadí. Důkaz: Indukcí podle řádu matice A. Pro matice řádu n = 1 věta platí. n n + 1: Nechť A C (n+1) (n+1), nechť je dáno uspořádání vlastních čísel matice A. Označme λ první vlastní číslo v tomto uspořádání, nechť x je odpovídající normalizovaný vlastní vektor, Ax = λx, x = 1. 9
8 Důkaz Schurovy věty Doplňme x na čtvercovou unitární matici, H = [x, X]. Platí [ ] [ ] H x A H = Ax x AX λ b X Ax X =, AX 0 C neboť x Ax = λx x = λ a X Ax = λx x je nulový vektor. Dle indukčího předpokladu existuje unitární matice V taková, že V CV je horní trojúhelníková matice s vlastními čísly na diagonále v předepsaném pořadí. Položíme-li [ ] 1 0 U = [x, XV ] = H, 0 V pak R = U AU = je hledaný rozklad. [ V ] [ λ b 0 C ] [ V ] = [ λ b V 0 V CV ] 10
9 Schurův rozklad, Schurova transformace R = U AU A = UR U. Definice: Rozklad A = UR U budeme nazývat Schurovým rozkladem matice A. Matici R nazveme výsledkem Schurovy transformace matice A. Schurův rozklad velmi důležitý, základ algoritmů pro výpočet vlastních čísel matic, funkcí matic aj. Lze jej spočíst (aproximovat) numericky stabilním způsobem (používáme unitární transformace). 11
10 Výpočet Schurova rozkladu Schurův rozklad nelze obecně vypočítat konečným algoritmem Problém hledání vlastních čísel matice lze převést na problém hledání kořenů polynomu. Vlastní čísla matice lze nalézt jako kořeny jejího charakteristického polynomu a naopak, pro každý polynom existuje jeho přidružená (companion) matice taková, že její vlastní čísla jsou rovna kořenům daného polynomu. Existuje vzorec, který pro obecný polynom libovolného řádu určí s použitím +,,, / a jeho kořeny? Věta (Abel, Galois) Obecná polynomiální rovnice n-tého stupně není pro n 5 řešitelná v radikálech. Důsledek: Vlastní čísla matice řádu n 5 nelze obecně na počítači spočíst v konečném počtu kroků. Následkem toho nelze ani Schurův rozklad obecně vypočítat konečným algoritmem. 12
11 Důsledky Schurovy věty Spektrální rozklad pro normální matice Definice: Čtvercová matice A se nazývá normální, komutuje-li se svojí maticí hermitovsky sdruženou, tj. platí-li A A = A A Věta (Spektrální věta pro normální matice) Matice A je normální právě tehdy, když existuje unitární matice U a diagonální matice D tak, že U A U = D, neboli A = UD U. Důkaz: Pokud A = UD U pak A je normální: A A = UD U UD U = UD D U = A A. Indukcí: n n + 1. Dle Schurovy věty existuje unitární matice V a horní trojúhelníková matice R tak, že A = V R V, tj. A = V R V. 14
12 Spektrální věta pro normální matice Důkaz, část II A A = AA R R = R R, tedy R je rovněž normální matice. Označme [ ] ρ r T R =, 0 R 1 kde ρ C, r C n, R 1 C n n. Potom R R = R R [ ] [ ] [ ] [ ] ρ r T ρ 0 ρ 0 ρ r T 0 R 1 r R1 = r R1. 0 R 1 Prvek na pozici (1, 1) ρ 2 + r 2 = ρ 2 r = 0. Prvky na (blokové) pozici (2, 2): R 1 R1 = R1R 1 R 1 je normální. 15
13 Spektrální věta pro normální matice Důkaz, část III Podle indukčního předpokladu existuje unitární matice V 1 tak, že V1 R 1V 1 je diagonální matice D 1. Matici R lze tedy napsat ve tvaru R = [ ρ 0 0 V 1 D 1 V 1 ] = [ V 1 ] [ ρ 0 0 D 1 ] [ V 1 ]. Označíme-li [ 1 0 ] [ ρ 0 ] U V 0 V 1, D 0 D 1, zřejmě platí A = V R V = V [ V 1 ] [ ρ 0 0 D 1 ] [ V 1 ] V = UD U, což dává hledaný rozklad. 16
14 Důsledky A je normální právě tehdy, pokud existují unitární matice U a diagonální matice D tak, že A U = UD. Označme D = diag(λ 1,..., λ n ). Rozepíšeme-li maticovou rovnost po sloupcích, dostaneme Au j = λ j u j, j = 1,..., n. Sloupce matice U jsou normalizované vlastní vektory matice A a prvky na diagonále matice D jsou vlastní čísla matice A. Vlastnosti spektrálního rozkladu normální matice Matice A C n n je normální právě tehdy, pokud existuje ortogonální báze prostoru C n složená z vlastních vektorů matice A. 17
15 Dyadický rozklad (rozvoj) normální matice Součin dvou matic lze zapsat pomocí vnějšího součinu. Potom n A = UD U = λ i u i u i, i=1... dyadický rozklad (rozvoj) normální matice A. Z definice spektrální normy platí λ i u i u i = λ i, i = 1,..., n. Pro Frobeniovu normu normální matice platí n A 2 F = λ i 2 (cvičení). i=1 18
16 Příklady normálních matic Unitární a hermitovské matice Důležité třídy normálních matic: unitární a hermitovské. Věta o unitárních a hermitovských maticích (cvičení) Matice A je unitární právě tehdy, je-li normální a její vlastní čísla leží na jednotkové kružnici. Matice A je hermitovská právě tehdy, je-li normální a všechna její vlastní čísla jsou reálná. Třída normálních matic je totožná s třídou matic, které lze unitární podobnostní transformací převést na diagonální tvar. Nepožadujeme-li, aby matice realizující podobnostní transformaci byla unitární, dostaneme třídu diagonalizovatelných matic: Matici A nazveme diagonalizovatelnou, jestliže existuje regulární matice S taková, že S 1 A S = D, kde D je diagonální matice. 19
17 Diagonalizovatelné matice tj. S 1 A S = D, A S = SD. S regulární Vlastní vektory rovněž tvoří bázi prostoru C n. Tato báze může být špatně podmíněná. Není-li matice diagonalizovatelná defektní matice. Lze každou matici libovolně blízko aproximovat pomocí matice diagonalizovatelé? Ano. Množina diagonalizovatelných matic je hustá v C n n. 20
18 Aproximace libovolné matice pomocí diagonalizovatelné Věta o hustotě diagonalizovatelných matic Pro libovolnou matici A C n n a pro libovolně malé ǫ > 0 existuje diagonalizovatelná matice A ǫ C n n s navzájem různými vlastními čísly tak, že A A ǫ < ǫ. Důkaz: Pomocí Schurovy věty. A = UR U. Není-li matice A diagonalizovatelná alespoň jedno násobné vlastní číslo. Stačí porušit diagonálu matice R pomocí diagonální matice D ǫ tak, aby na perturbované diagonále byly různé hodnoty a zároveň Zvolíme-li D ǫ < ǫ a R ǫ = R + D ǫ. A ǫ UR ǫ U, má matice A ǫ různá vlastní čísla diagonalizovatelná a platí A A ǫ = UR U U(R+D ǫ )U = UD ǫ U = D ǫ < ǫ. 21
19 Třídy matic v C n n 22
20 Reálný Schurův rozklad Schurův rozklad obecně komplexní i pro reálné matice. Motivace přechod do komplexní aritmetiky co nejvíce oddálit. Pro reálné matice - snaha přiblížit se Schurovu rozkladu a zároveň dosáhnout toho, aby výsledné faktory zůstaly reálné. Pro reálné symetrické matice lze přímo Schurův rozklad volit reálný. Definice: Řekneme, že čtvercová reálná matice U je ortogonální, jestliže U T U = UU T = I, kde I je jednotková matice. Ortogonální transformace jsou transformace realizované ortogonálními maticemi. 24
21 Věta o spektrálním rozkladu pro reálné symetrické matice Nechť A je reálná symetrická matice. Potom existují ortogonální matice U a reálná diagonální matice D takové, že D = U T AU. Definice: Čtvercová matice T je horní kvazi-trojúhelníková, pokud je blokově horní trojúhelníková, kde každý blok na hlavní diagonále je buď 1 1 nebo 2 2, T 1,1 T 1,2... T 1,m 0 T 2,2 T 2,m T = T m,m Reálný Schurův rozklad pro obecné pro reálné matice Nechť A je reálná čtvercová matice. Potom existují ortogonální matice U a reálná kvazi-trojúhelníková matice T takové, že T = U T AU. Navíc vlastní čísla každého 2 2 diagonálního bloku matice T tvoří komplexně sdružený pár. 25
22 Funkce matic pro normální matice Jak vhodně zobecnit funkci f : C C na funkci, která dané matici A C n n přiřadí matici f(a) stejné dimenze? Nechť A je normální ( A = UDU, D = diag(λ 1,..., λ n )) a f je analytická. Pak je možné definovat funkci matice pomocí Taylorovy řady f (i) (0) f(z) = z i, i! i=0 kde za proměnnou z dosadíme matici A, tj. ( f (i) (0) f(a) A i f (i) (0) = U i! i! i=0 i=0 = Uf(D)U = U f(λ 1 ) D i )... f(λn) U U. 27
23 Funkce matic pro obecné matice Lze definovat např. pomocí Jordanova kanonického tvaru s r bloky velikosti n 1,..., n r jako f(a) Sf(J)S 1 = S diag(f(j n1 (λ 1 )),..., f(j nr (λ r ))) S 1. V případě, že A není diagonalizovatelná, zbývá definovat vhodně funkci Jordanova bloku f(j nj (λ j )) pro j = 1,..., r. S využitím Taylorovy řady rozvinuté v λ j lze ukázat f(λ j ) f (λ j )... (n j 1)!. f(λ j )... f(j nj (λ j )) =... f (λ j ) f(λ j ) f (n j 1) (λ j ). 28
24 Cvičení 2.4 Nechť U C n n je unitární matice. Dokažte, že pro všechny vektory x C n, y C n platí Ux, Uy = x, y, Ux = x. 2.5 Dokažte větu: Čtvercová matice je unitární právě tehdy, když je normální a její vlastní čísla leží na jednotkové kružnici. Čtvercová matice je hermitovská právě tehdy, když je normální a všechna její vlastní čísla jsou reálná. 2.6 Dokažte přímo z definice generované maticové normy, že pro matice λ i u i u i, platí λ iu i u i = λ i. Jak vypadají prvky matice u i u i a jaká je její hodnost? 30
25 Cvičení 2.7 Ukažte pomocí spektrální věty o normálních maticích aplikované na matici A A, že spektrální normu libovolné matice A C n m lze vypočítat pomocí vzorce A = (A A) 1/2, kde (B) označuje spektrální poloměr matice B. 2.9 Ukažte, že pro unitární matici U C n n a libovolnou matici A C n n platí U = 1, U = 1, UA = A, AU = A, UA F = A F, AU F = A F Dokažte, že pro normální matici A platí n A 2 F = λ i 2, kde sp(a) = {λ 1,..., λ n }. i=1 31
Podobnostní transformace
Schurova věta 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci tak, aby se řešení úlohy
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceSingulární rozklad. Petr Tichý. 31. října 2013
Singulární rozklad Petr Tichý 31. října 2013 1 Outline 1 Úvod a motivace 2 Zavedení singulárního rozkladu a jeho vlastnosti 3 Výpočet a náklady na výpočet singulárního rozkladu 4 Moor-Penroseova pseudoinverze
Více2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro
Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceArnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
Více2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 11 Vlastní čísla a vlastní vektory Základní motivace pro studium vlastních čísel a vektorů pochází z teorie řešení diferenciálních rovnic Tato teorie říká, že obecné řešení lineární diferenciální
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
Více5. Singulární rozklad
5. Singulární rozklad Petr Tichý 31. října 2012 1 Singulární rozklad matice Jeden z nejdůležitějších teoretických i praktických nástrojů maticových výpočtů. Umožňuje určit hodnost či normu matice, ortogonální
Více1 Vektorové prostory a podprostory
Pro nahrazení účasti v jednotlivých cvičeních (resp. pro studenty kombinované formy) je dostačující vypracování a odevzdání tučně vyznačených příkladů. 1 Vektorové prostory a podprostory Definujte vektorový
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
Více[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceLineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace
Lineární algebra : Vlastní čísla, vektory a diagonalizace (14. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 21. dubna 2014, 19:37 1 2 14.1 Vlastní čísla a vlastní vektory Nechť je
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Více(2) [B] Nechť G je konečná grupa tvořena celočíselnými maticemi roměru 2 2 s operací násobení. Nalezněte všechny takové grupy až na izomorfizmus.
(1 [B] Nechť A : R 6 R 6 je lineární zobrazební takové, že A 26 = I. Najděte lineární prostory V 1, V 2 a V 3 takové, že R 6 = V 1 V 2 V 3 dim V 1 = dim V 2 = dim V 3 AV 1 V 1, AV 2 V 2 a AV 3 V 3 (2 [B]
VícePodobnost matic. Definice 8.6. Dány matice A, B M n (C). Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak,
Podobnost matic Definice 84 Dány matice A, B M n (C) Jestliže existuje regulární matice P M n (C) tak, že B = P 1 AP, pak říkáme, že matice B je podobná matici A a píšeme A B Takto zavedená binární relace
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
VíceMatematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceDefinice : Definice :
KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceOrtogonální transformace a QR rozklady
Ortogonální transformace a QR rozklady Petr Tichý 9. října 2013 1 Úvod Unitární (ortogonální) transformace, Gram-Schmidtova ortogonalizace Příklad Schurovy věty unitární transformace nezvětšují chyby ve
VíceFP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
FP - SEMINÁŘ Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci OBSAH A CÍLE SEMINÁŘE: Opakování a procvičení vybraných
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceVšechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních
VíceOrtogonální transformace a QR rozklady
Ortogonální transformace a QR rozklady 1 Úvod Unitární (ortogonální) transformace, Gram-Schmidtova ortogonalizace Příklad Schurovy věty unitární transformace nezvětšují chyby ve vstupních datech. Tato
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceDnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda
Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceCHARAKTERISTICKÉ VEKTORY
Kapitola 3 CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY Nyní se budeme zabývat vlastnostmi matic lineárních zobrazení A: V V, kde V je vektorový prostor dimenze n Protože každý komplexní n -dimenzionální vektorový prostor
VíceSoustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
VíceNumerické metody a programování. Lekce 4
Numerické metody a programování Lekce 4 Linarní algebra soustava lineárních algebraických rovnic a 11 a 12 x 2 a 1, N x N = b 1 a 21 a 22 x 2 a 2, N x N = b 2 a M,1 a M,2 x 2 a M,N x N = b M zkráceně A
VíceNumerické metody a programování
Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským
VíceMatice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
Vícea vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.
Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
Více1. Jordanův kanonický tvar
. Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceSoustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
VíceUspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru
1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Více4. LU rozklad a jeho numerická analýza
4 LU rozklad a jeho numerická analýza Petr Tichý 24 října 2012 1 Úvod Nechť A je regulární matice Řešíme Ax = b LU rozklad (Gaussova eliminace) je jeden z nejdůležitějších nástrojů pro problém řešení soustav
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
Více19. Druhý rozklad lineární transformace
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Úmluva. Všude P = C. Vpřednášce o vlastních vektorech jsme se seznámili s diagonalizovatelnými
VíceMatice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
VíceSymetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
Více)(x 2 + 3x + 4),
3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem
VíceSoustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Více1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11
LU dekompozice Jedná se o rozklad matice A na dvě trojúhelníkové matice L a U, A=LU. Matice L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a matice U je horní trojúhelníková. a a2 a3 a 2 a 22 a 23
VíceSVD rozklad a pseudoinverse
SVD rozklad a pseudoinverse Odpřednesenou látku naleznete v kapitole 12 skript Abstraktní a konkrétní lineární algebra. Jiří Velebil: Lineární algebra 19.12.2016: SVD rozklad a pseudoinverse 1/21 Cíle
Vícestránkách přednášejícího.
Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
VíceMKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Kapitola 15 Vlastní čísla a vlastní vektory V této a následujících kapitolách budeme zkoumat jeden z nejdůležitějších pojmů tohoto kurzu. Definice15.1 Buď A:V Vlineárnízobrazení,Vvektorovýprostornad tělesem
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina
VíceSkalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceMichal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Více2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vlastní čísla a vektory Google Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
Více4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20
4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
VíceDMA Přednáška Rekurentní rovnice. takovou, že po dosazení odpovídajících členů do dané rovnice dostáváme pro všechna n n 0 + m pravdivý výrok.
DMA Přednáška Rekurentní rovnice Rekurentní rovnice či rekurzivní rovnice pro posloupnost {a n } je vztah a n+1 = G(a n, a n 1,..., a n m ), n n 0 + m, kde G je nějaká funkce m + 1 proměnných. Jejím řešením
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
VíceNěkolik aplikací. Kapitola 12
Kapitola 12 Několik aplikací Diskrétní a rychlá Fourierova transformace Diskrétní Fourierova transformace spočívá ve změně reprezentace polynomu s koeficienty v nějakém tělese T Obvyklá reprezentace polynomu
Více