a vlastních vektorů Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové (A λ i I) v = 0.

Transkript

1 Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů S pojmem vlastního čísla jsme se již setkali například u iteračních metod pro řešení soustavy lineárních algebraických rovnic. Velikosti vlastních čísel iterační matice rozhodovaly o konvergenci příslušné iterační metody. S úlohou na vlastní čísla se setkáme i v aplikacích při řešení řady technických a fyzikálních problémů. Úlohu na vlastní čísla si připomeneme na příkladu. Příklad: Stanovte taková čísla λ, pro která má homogenní soustava Av = λv nenulové řešení, a určete toto řešení, kde matice 2 A = Řešíme tedy soustavu (A λi) v = 2 λ λ v v 2 v 3 = Aby homogenní soustava měla nenulové řešení, musí být determinant soustavy nulový. Hledáme proto taková λ, aby det(a λi) = λ 3 + 6λ 2 λ + 6 =. Dostali jsme algebraickou rovnici stupně 3 a pouze pro její kořeny = 3, λ 2 = 2, λ 3 = nazývané vlastní čísla matice A, bude mít uvažovaná soustava nenulové řešení. Ke každému vlastnímu číslu λ i můžeme najít nenulové řešení homogennísoustavy Např. pro = 3 řešíme soustavu (A λ i I) v =. 2 Matice soustavy je samozřejmě singulární a proto bude existovat celý systém řešení v závislosti na parametru r IR. Každý vektor, r, r] T řeší danou soustavu. Ze systému vybereme jednoho zástupce, např. v () =,, ] T, a říkáme, že v () je vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu. Podobně bychom nalezli vlastní vektory odpovídající vlastním číslům λ 2 a λ 3. v v 2 v 3 =..

2 Definice: Je dána čtvercová matice A řádu n. Vlastní čísla, λ 2,..., λ n jsou kořeny charakteristické rovnice p A (λ) = det(a λi) =. Ke každému vlastnímu číslu λ i existuje alespoň jedno nenulové řešení soustavy rovnic Av = λ i v. Toto řešení v nazveme vlastním vektorem. Poznámka: Charakteristický polynom je stupně n n vlastních čísel. Definice: Matici Λ = diag(, λ 2,..., λ n ) nazýváme spektrální maticí matice A. Poznámka: Vlastní čísla horní trojúhelníkové matice jsou rovna jejím diagonálním prvkům, neboť charakteristický polynom má tvar: p A (λ) = (a λ)(a 22 λ)... (a nn λ). Úlohy na nalezení vlastních čísel rozdělíme do dvou skupin: Úplný problém vl. čísel úloha najít všechna vlastní čísla Částečný problém vl. čísel úloha najít pouze některá vl. čísla (obvykle s nejmenší nebo největší abs. hodnotou). Příklad: Určete vlastní čísla a vlastní vektory těchto matic: A = C = , B =, D = ,. Řešení: Všechny zadané matice mají stejný charakteristický polynom p A (λ) = p B (λ) = p C (λ) = p D (λ) = (2 λ) 3, Vidíme, že λ = 2 je trojnásobné vl. číslo všech čtyř matic. 2

3 Vlastní vektory A: v () = (,, ) T v (2) = (,, ) T v (3) = (,, ) T B: v () = (,, ) T v (3) = (,, ) T Pozn.: B λi = C: v () = (,, ) T v (2) = (,, ) T Pozn.: matice A λi je nulová, tj. systém všech řešení rovnice A λi = je lin. kombinací v (), v (2), v (3). D: v () = (,, ) T Pozn.: D λi = Poznámka: Počet lineárně nezávislých vlastních vektorů může být menší než je řád matice. Věnujme se nejprve metodám na řešení úplného problému. Metody rozdělíme takto: ) metody založené na výpočtech vlastních čísel pomocí charakteristického polynomu Nevýhodné pro velká n (řád matice A), protože je obtížné vypočítat p A (λ) = det(a λi) z definice determinantu. 2) metody využívající podobnosti matic Tato kategorie metod využívá faktu, že podobné matice mají stejná vlastní čísla. Princip: konstruujeme posloupnost navzájem podobných matic, která konverguje k matici, jejíž vlastní čísla se dají jednoduchým způsobem určit. 3) smíšené metody založené na převodu obecné matice na matici třídiagonální (např. Givensova, Householderova a Lanczosova metoda) a následný efektivní výpočet kořenů charakteristického polynomu této upravené matice. 3

4 Metoda LU-rozkladu (LR-transformace, LR-algoritmus) A = LU... rozklad matice A na dolní trojúhelníkovou matici L a horní trojúhelníkovou matici U, kde na diagonále matice L jsou pro jednoznačnost rokladu jednotky. Sestrojíme matici B, která bude podobná matici A. B = UL (U = L A B = UL = L AL). Postup: Sestrojíme posloupnost matic A k : (i) A = A, k = (ii) provedeme LU rozklad matice A k = L k U k (iii) sestrojíme matici A k+ = U k L k (iv) je-li matice A k+ horní trojúhelníková konec, jinak k = k + a jdi na (ii) Poznámka: Dá se ukázat, že když matice B k = L L... L k konvergují k regulární matici, potom matice A k také konvergují, a to k horní trojúhelníkové matici s vlastními čísly na diagonále. Platí A k+ = L k A k L k U k a tedy A k+ = L k L k... L A L L... L } {{ k } B B k+ k+ Poznámka: Je-li matice A symetrická a pozitivně definitní, provádíme LU-rozklad ve smyslu Choleského rozkladu, tj. A = LL T. Potom lze ukázat, že A k konverguje k diagonální matici. Nevýhody: - pomalá konvergence posloupnosti A k - velký počet operací pro matice větších řádů - nelze realizovat pro obecné matice A Poznámka: Jestliže pro dostatečně velké k je A k horní trojúhelníková matice, potom vlastní vektory jsou (přibližně) sloupce matice B k = L L... L k. 4

5 Metody ortogonálních transformací Použijeme podobný princip jako v předchozím případě, tj. sestrojíme posloupnost podobných matic A, A, A 2... tak, že A k+ = Q T k A k Q k, k =,, Požadujeme, aby posloupnost A k konvergovala k matici, jejíž vlastní čísla lehce určíme. Ortogonální matici Q k vybíráme speciálním postupem. Výhodou tohoto algoritmu je numerická stabilita. Poznámka: Pro obecnou matici používáme metodu QU-rozkladu (QR-transformace). A = QU Q... ortogonální matice (QQ T = I, tj. Q T = Q ) B = UQ U... horní trojúhelníková matice (U = Q A B = Q AQ B = Q T AQ). Motivační příklad: Příkladem ortogonální matice je matice rovinné rotace o úhel α: ] cos α sin α Q(α) = sin α cos α ozn = ] c s. s c Pro matici A = 2 3 ] stanovte matici B = Q T (α)aq(α) tak, aby b 2 =. Řešení: Rozepíšeme si prvky matice B: b b 2 b 2 b 22 ] = c s ] s c 2 3 ] ] c s = s c ] ] 2c + s c + 3s c s = = 2s + c s + 3c s c 2c = 2 + cs + cs + 3s 2 2cs s 2 + c 2 ] + 3cs 2cs + c 2 s 2 + 3cs 2s 2 cs cs + 3c 2. Pro splnění podmínky b 2 = musí platit 2cs s 2 + c 2 + 3cs = cs s 2 + c 2 =, 5

6 tj. cos } α{{ sin α} sin 2 α + cos 2 α =. 2 sin 2α + cos 2α cos 2α = sin 2α 2 2 = tan 2α α =., 5535 Po dosazení dostaneme, že B = 3, 68, 389 ]. B je diagonální matice s vlastními čísly na diagonále a stejná vlastní čísla má i matice A. Poznámka: Podobně jako v předchozí metodě, pro dostatečně velké k je A k horní trojúhelníková matice a vlastní vektory jsou (přibližně) sloupce matice Q Q... Q k. Poznámka: Pro symetrickou matici A vede uvedený postup na tzv. metodu Jacobiovy diagonalizace. 6

7 Speciální případ QR-transformace Jacobiova diagonalizace Věta: Je-li A reálná symetrická matice, potom existuje ortogonální matice Q tak, že Q T AQ = Λ (diagonální matice s vlastními čísly na diagonále spektrální matice). Princip: Matici Q získáme součinem matic Q p,q (α), kde Q p,q (α) =... cos α sin α sin α cos α... p-tý řádek q-tý řádek p-tý sloupec q-tý sloupec a α volíme tak, abychom vynulovali prvek v pozici p, q a tedy i v pozici q, p. Q = p,q Q p,q (α) postupně vynulujeme všechny nediagonální prvky. Poznámka: Při výpočtech nemusíme určovat úhel α, ale lze odvodit přímé vzorce. Poznámka: Zbývá zvolit strategii na volbu indexů p a q. Nejjednodušší je postupně nulovat všechny mimodiagonální prvky (podobně jako v Gaussově eliminační metodě pro řešení soustavy lineárních rovnic). Uvědomme si ale, že se získané nuly z předchozího kroku obecně nezachovají. Další možností je nulovat vždy mimodiagonální prvek, který je největší v absolutní hodnotě (zde je třeba v každé iteraci vyhledat tento prvek, což zpomalí výpočet). Iterační proces zastavíme, je-li norma trojúhelníkové matice pod diagonálou menší než zadaná tolerance. 7

8 Pro řešení Částečného problému si uvedeme dvě metody. Mocninná metoda Chceme určit vl. číslo matice A s největší absolutní hodnotou (dominantní vlastní číslo). Předpoklady:. A má n-lineárně nezávislých vlastních vektorů 2. existuje jediné dominantní vlastní číslo 3. vlastní čísla lze seřadit: > λ 2 λ 3... λ n. Odvození:. Zvolíme y () jako lin. kombinaci vl. vektorů y () = α v + α 2 v α n v n. 2. Sestrojíme posloupnost y (k) = Ay (k ), tj. y (k) = A k y (). y (k) = α A k v + α 2 A k v α n A k v n. 3. Platí: Av i = λ i v i, potom y (k) = α λ k v + α 2 λ k }{{} 2v α n λ k nv n. dominantní vl. číslo (vytkneme) 4. dostaneme: y (k) = λ k α v + k λi α i v i ε k ]. 5. analogicky pro y (k+) 6. vybereme j-tou složku y (k) a y (k+), vydělíme je a provedeme limitní přechod y (k+) j lim k y (k) j = lim k λ k+ (α v,j + ε k+,j ) λ k (α v,j + ε k,j ) }{{} = 8

9 Příklad: Mocninnou metodou stanovte dominantní vlastní číslo matice A, kde A = a y () =,, ] T. Řešení: Použijeme iterační formuli y (k+) = Ay (k), pro k =,,... y () = 2; 3; 2] T λ () = y() 2 y () 2 = 3, y (2) = 5; 7; 5] T λ (2) = 7 3 2, 3333, y (3) = 2; 7; 2] T λ (3) = 7 7 2, 4285, y (4) = 29; 4; 29] T λ (4) = 4 7 2, 47, y (5) = 7; 99; 7] T λ (5) = , 446. Poznámka: Zastavovací podmínka použijeme ve tvaru λ (k+) λ (k) < δ. Poznámka: Nejlepší aproximaci dostaneme, dělíme-li složky, které mají největší absolutní hodnotu. Poznámka: Abychom zamezili přetečení, resp. podtečení při zobrazení čísel v počítači je vhodné v každém kroku normovat vektor y (k) (norma y (k) roste, resp. klesá pro vlastní číslo v absolutní hodnotě větší, resp. menší než ). Poznámka: Nevýhody mocninné metody: - odhad chyby - konvergence (obvykle v praxi nevíme, zda jsou splněny předpoklady mocninné metody) - volba y () (bude-li vektor y () takovou lineární kombinací vlastních vektorů, že koeficient u vlastního vektoru odpovídajícího dominantnímu vlastnímu číslu bude roven, potom mocninná metoda nevypočte dominantní vlastní číslo) 9

10 Metoda Rayleighova podílu Pro použití metody Rayleighova podílu budeme navíc předpokládat, že matice A je symetrická (reálná). Potom musí být vlastní vektory ortonormální, tj. ( v T i v j = pro i j a v T i v i = ). Odvození: 6. krok z odvození mocninné metody nahradíme vyjádřením součinu y (k)t y (k) y (k)t y (k) = λ k a součinu y (k)t y (k+)t y (k)t y (k+) = λ k Dostáváme: α v T + α v T + y (k)t Ay (k) lim k y (k)t y (k) ε T k k ] λi α i v T i. λ k α v + 2k ] = λ 2k α 2 + αi 2 λi ε T k ε k ε T k k ] λi α i v T i. λ k+ α v + 2k+ ] = λ 2k+ α 2 + αi 2 λi ε T k ε k+ = lim k y (k)t y (k+) y (k)t y (k) = λ2k+ λ 2k ε k k ] λi α i v i = ε k+ k+ ] λi α i v i = ε T k ε k+ ) (α 2 + (α 2 + ε T k ε k ) =. Poznámka: Součin ε T k ε k konverguje k nule (pro k ) zhruba dvakrát rychleji než ε k k nulovému vektoru metoda Rayleighova podílu bude rychlejší než mocninná metoda.

11 Příklad: Metodou Rayleighova podílu určete dominantní vlastní číslo matice A, kde A = a y () = ; ; ] T. Řešení: y () = 2; 3; 2] T λ () = y()t y () y ()T y () = 7 3 y (2) = 5; 7; 5] T λ (2) = 4 7 2, 47, 2, 3333, y (3) = 2; 7; 2] T λ (3) = = , 447.