Statistick anal 0 5za kompozi 0 0n ͺch tabulek

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Statistick anal 0 5za kompozi 0 0n ͺch tabulek"

Luboš Vopička
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 Statistick anal 0 5za kompozi 0 0n ͺch tabulek Kamila Fa 0 0evicov, Karel Hron Katedra matematick anal 0 5zy a aplikac ͺ matematiky, Univerzita Palack ho v Olomouci

2 Od kontingen 0 0n ͺch ke kompozi 0 0n ͺch tabulk m 6 1 Kontingen 0 0n ͺ tabulky: vztah dvou faktor 0 1 zachycen 0 5 v tabulce s diskr tn ͺmi vstupy. Test nez vislosti Φ 2 = I Ζ i=1 j=1 ( J Ζ nij 6Σ1 n i.n.j n i. n.j n n ) Kompozi 0 0n ͺ tabulky: spojit analogie kompozi 0 0n ͺch tabulek. Umo 0 6 Ύuj ͺ anal 0 5zu vztahu mezi faktory na z klad v 0 5b ru n tabulek.

Test nez vislosti Φ 2 = I Ζ i=1 j=1 ( J Ζ nij 6Σ1 n i.n.j n i. n.j n n ) 2.

3 I Α J kompozi 0 0n ͺ tabulky 6 1 Speci ln ͺ p 0 0 ͺpad I J-slo 0 6kov 0 5ch kompozi 0 0n ͺch dat x = C(x 11,..., x 1J,..., x I 1,..., x IJ ), kter jsou p 0 0euspo 0 0 d ny do tabulky o rozm ru I Α J 6χ2 x 11 x 1J 6χ0 x = C 6χ x I 1 x IJ 6χ3 6χ Nesou informaci o vztahu mezi 0 0 dkov 0 5m a sloupcov 0 5m faktorem. 6 1 P 0 0 ͺklad: v k\ BMI podv ha norm ln ͺ v. nadv ha obezita 25 6Σ Σ Σ Tabulka : Rozd len ͺ populace 0 9esk republiky v roce 2008 podle v ku a hodnoty BMI indexu.

$6 1 Nesou informaci o vztahu mezi 0 0 dkov 0 5m a sloupcov 0 5m faktorem. 6 1 P 0 0 ͺklad: v k\ BMI podv ha norm ln ͺ v. nadv ha obezita 25 6Σ1 44 0.$

4 I Α J kompozi 0 0n ͺ tabulky 6 1 Operace uz v ru: C(x) = 6χ0 6χ1 Κ x 11 Ζ I,J i,j=1 x ij. Κ x I 1 Ζ I,J i,j=1 x ij Κ x 1J Ζ I,J i,j=1 x ij.... Κ x IJ Ζ I,J i,j=1 x ij 6χ2 6χ3 6χ V 0 5b rov 0 5m prostorem je I J-slo 0 6kov 0 5 simplex dimenze I J 6Σ1 1 S IJ = {x = (x 11,..., x 1J,..., x IJ ) x ij > 0, i = 1, 2,..., I, j = 1, 2,..., J; Ζ I,J i,j=1 x ij = Κ}.

6 1 V 0 5b rov 0 5m prostorem je I J-slo 0 6kov 0 5 simplex dimenze I J 6Σ1 1 S IJ = {x =

5 Z kladn ͺ operace s kompozi 0 0n ͺmi tabulkami - Aitchisonova geometrie 6 1 Perturbace: 6χ0 x y = C 6χ1 6χ2 x 11 y 11 x 1J y 1J χ3.. 6χ4. x I 1 y I 1 x IJ y IJ 6 1 Mocninn transformace: 6χ0 Α Ρ x = C 6χ1 x11 Α x1j Α 6χ χ3.. 6χ4. xi Α 1 xij Α 6 1 Skal rn ͺ sou 0 0in: x, y a = 1 2IJ Ζ Ζ i,j k,l ln x ij x kl ln y ij y kl. 6 1 Aitchisonova d lka a vzd lenost: x a = Μ x, x a a d a(x, y) = x 6έ2 y a.

x I 1 y I 1 x IJ y IJ 6 1 Mocninn transformace: 6χ0 Α Ρ x = C 6χ1 x11 Α x1j Α 6χ2..... 6χ3.. 6χ4.

6 Rozklad kompozi 0 0n ͺch tabulek 6 1 Pomoc ͺ projekc ͺ mohou b 0 5t kompozi 0 0n ͺ tabulky rozd leny na nez vislou a interak 0 0n ͺ 0 0 st. 6 1 Nez visl tabulka: x ind = 6χ1x ind ij = x = x ind x int. ( I Η J Η k=1 l=1 x kj x il ) 1 IJ 6χ2 6χ4 I,J i,j=1 Popisuj ͺ jen vztah mezi 0 0 dky nebo sloupci. Analogie s p 0 0 ͺpadem nez vislosti v kontingen 0 0n ͺch tabulk ch. 6 1 Interak 0 0n ͺ tabulka: x int = 6χ1x int ij = ( I Η J Η k=1 l=1 x ij x kj x il ) 1 IJ Popisuj ͺ vztah mezi r 0 1zn 0 5mi 0 0 dky a sloupci. 6χ2 6χ4 I,J i,j=1..

( I Η J Η k=1 l=1 x kj x il ) 1 IJ 6χ2 6χ4 I,J i,j=1 Popisuj ͺ jen vztah mezi 0 0 dky nebo sloupci.

7 Anal 0 5za vztahu mezi faktory Pokud jsou 0 0 dkov 0 5 a sloupcov 0 5 faktor nez visl, pak 6 1 ve 0 8ker informace o tabulce x je obsa 0 6ena v jej ͺ nez visl 0 0 sti (x = x ind ), 6 1 interak 0 0n ͺ tabulka je neutr ln ͺ prvek (v 0 8echny prvky jsou si rovny), 6 1 v 0 8echny ilr sou 0 0adnice tabulky x int jsou nulov.

visl 0 0 sti (x = x ind ), 6 1 interak 0 0n ͺ tabulka je neutr ln ͺ prvek (v 0

8 Vyj d 0 0en ͺ kompozi 0 0n ͺ tabulky v sou 0 0adnic ͺch Sou 0 0adnice D-slo 0 6kov 0 5ch kompozi 0 0n ͺch dat p 0 0edstavuj ͺ D 6Σ1 1-rozm rn 0 5 re ln 0 5 vektor z = h(x) = ( x, e 1 a,..., x, e D 6Σ11 a ) = (z 1, z 2,..., z D 6Σ11 ), kde e i = C(e i1,..., e i,d ), i = 1,..., D 6Σ1 1 tvo 0 0 ͺ ortonorm ln ͺ b zi D-slo 0 6kov ho simplexu. Pro tyto sou 0 0adnice plat ͺ, 0 6e h( Α Ρ x 1 Β Ρ x 2 ) = Α z 1 + Β z 2, x 1, x 2 a = z 1, z 2. Mezi r 0 1zn 0 5mi syst my sou 0 0adnic existuje ortogon ln ͺ vztah.

.., e i,d ), i = 1,..., D 6Σ1 1 tvo 0 0 ͺ ortonorm ln ͺ b zi D-slo 0 6kov ho simplexu.

9 Vyj d 0 0en ͺ kompozi 0 0n ͺ tabulky v sou 0 0adnic ͺch Interak 0 0n ͺ tabulku lze p 0 0ev st do sou 0 0adnic pomoc ͺ: 6 1 Postupn ho bin rn ͺho d len ͺ 6Ν0 I J 6Σ1 1 obecn nenulov 0 5ch sou 0 0adnic. 6 1 Vztahu r 6Σ11 1 Η s 6Σ11 Η Μ ln r s (r 6Σ1 1) (s 6Σ1 1) i=1 j=1 x ij x rs x is x rj (1) pro r = 2, 3,..., I a s = 2, 3,..., J 6Ν0 (I 6Σ1 1)(J 6Σ1 1) obecn nenulov 0 5ch sou 0 0adnic, zb 0 5vaj ͺc ͺ nulov. 6 1 Permutac ͺ 0 0 dk 0 1 nebo sloupc 0 1 tabulky a pou 0 6it ͺm vztahu (1) 6Ν0 (I 6Σ1 1)(J 6Σ1 1) obecn nenulov 0 5ch sou 0 0adnic s novou interpretac ͺ.

6 1 Vztahu r 6Σ11 1 Η s 6Σ11 Η Μ ln r s (r 6Σ1 1) (s 6Σ1 1) i=1 j=1 x ij x rs x is x rj (1) pro r = 2, 3,..., I a s = 2, 3,.

10 Srovn n ͺ metod pro p 0 0evod interak 0 0n ͺ tabulky do sou 0 0adnic Postupn bin rn ͺ d len ͺ Nov metoda + Interpretace pomoc ͺ bilanc ͺ + Souvislost s pom ry 0 8anc ͺ v tabulce x. 6Σ1 Zdlouhav 0 5 v 0 5po 0 0et o n kolika kroc ͺch. + Rychl 0 5 v 0 5po 0 0et p 0 0 ͺmo z tabulky x. 6Σ1 V ͺce nenulov 0 5ch sou 0 0adnic, ne 0 6 je + Po 0 0et nenulov 0 5ch sou 0 0adnic je dimenze prostoru S I ΑJ (x int ). roven dimenzi prostoru S I ΑJ (x int ). 6Σ1 Vede k probl m 0 1m se singularitou + Probl m se singularitou je sou 0 0adnic. eliminov n. Tabulka : Srovn n ͺ metod pro vyj d 0 0en ͺ tabulky x int v sou 0 0adnic ͺch.

6Σ1 V ͺce nenulov 0 5ch sou 0 0adnic, ne 0 6 je + Po 0 0et nenulov 0 5ch sou 0 0adnic je dimenze prostoru S I ΑJ (x int ).

11 P 0 0 ͺklad - vztah mezi v kem a indexem BMI 6 1 Zab 0 5v me se vztahem mezi v kem a BMI. 6 1 K dispozici m me v 0 5b r kompozi 0 0n ͺch tabulek typu 3 Α 4 popisuj ͺc ͺch rozd len ͺ populace 18-ti evropsk 0 5ch zem ͺ podle v ku a BMI v roce Faktor v k m 3 ²rovn : 25 6Σ1 44, 45 6Σ1 64 a 65 6Σ1 84 let. 6 1 Faktor BMI m 4 ²rovn : podv ha, norm ln ͺ v ha, nadv ha a obezita. v k\ BMI podv ha norm ln ͺ v. nadv ha obezita 25 6Σ Σ Σ

$6 1 Faktor BMI m 4 ²rovn : podv ha, norm ln ͺ v ha, nadv ha a obezita. v k\ BMI podv ha norm ln ͺ v. nadv ha obezita 25 6Σ1 44 0.0144 0.$

12 P 0 0 ͺklad - rozklad na nez vislou a interak 0 0n ͺ tabulku 6 1 Nez visl tabulka pro 0 9eskou republiku: 6χ x ind = 6χ χ Interak 0 0n ͺ tabulka pro 0 9eskou republiku: 6χ x int = 6χ χ Pr 0 1m rn tabulka (ve smyslu Aitchisonovy geometrie): χ x int = 6χ χ Prvky si nejsou rovny 6Ν0 sv d 0 0 ͺ proti nez vislosti faktor 0 1.

0483 0.0387 x int = 6χ1 0.0444 0.0707 0.0967 0.1085 6χ4 0.0541 0.0632 0.0930 0.1037 6 1 Pr 0 1m rn tabulka (ve smyslu Aitchisonovy geometrie): 0.

13 P 0 0 ͺklad - p 0 0evod interak 0 0n ͺ tabulky do sou 0 0adnic z22 int = 1 x11x22 2 ln x 12x 21 z int 23 = 1 Μ 12 ln x11x12x 2 23 x 21x 22x 2 13 z int 24 = 1 Μ 24 ln x11x12x13x 3 24 x 21x 22x 23x 3 14 z int 32 = 1 Μ 12 ln x11x21x 2 32 x 2 31 x12x22 z int 33 = 1 Μ 36 ln x11x12x21x22x 4 33 x 2 31 x 2 32 x 2 13 x 2 23 z int 34 = 1 Μ 72 ln x11x12x13x21x22x23x 6 34 x 2 31 x 2 32 x 2 33 x 3 14 x 3 24

14 z int 32 = 1 Μ 12 ln x11x21x 2 32 x 2 31 x12x22 z int 33 = 1 Μ 36 ln x11x12x21x22x 4 33 x 2 31 x

14 P 0 0 ͺklad - v 0 5b rov charakteristiky z int z 22 z 23 z 24 z 32 z 33 z 34 V. pr 0 1m r V. s. odchylka Op t sv d 0 0 ͺ proti nez vislosti v ku a BMI. 6 1 Nejv ͺce jsou od nuly vzd leny sou 0 0adnice z 23 a z 24 (pom ry 0 8anc ͺ agreguj ͺc ͺ podv hu a norm ln ͺ v hu, resp. podv hu, norm ln ͺ v hu a nadv hu). 6 1 V p 0 0 ͺpad n hodn ho v 0 5b ru (nez vislosti kompozi 0 0n ͺch tabulek) lze nez vislost d le ov 0 0it pomoc ͺ testov n ͺ nulovosti sou 0 0adnic z int.

6 1 Nejv ͺce jsou od nuly vzd leny sou 0 0adnice z 23 a z 24 (pom ry 0 8anc ͺ agreguj ͺc ͺ podv hu a norm ln ͺ v hu, resp.

15 P 0 0 ͺklad - grafick reprezentace sou 0 0adnic Interaction table 6Σ PC 2 (18 %) 6Σ10.6 6Σ10.4 6Σ int33 int32 SK int34 GR CY BG int23 int24 int22 CZ AT SI HU LT PL ES EE DK FR BE MT RO TR 6Σ Σ10.6 6Σ10.4 6Σ PC 1 (67.8 %)

16 Co najdete na posteru 6 1 Definici kompozi 0 0n ͺch tabulek jako spojit analogie kontingen 0 0n ͺch tabulek. 6 1 Metodu anal 0 5zy vztahu mezi dv ma faktory s vyu 0 6it ͺm v 0 5b ru n tabulek. 6 1 Rozklad tabulek na interak 0 0n ͺ a nez vislou 0 0 st. 6 1 Vztah pro v 0 5po 0 0et sou 0 0adnic interak 0 0n ͺ tabulky. 6 1 Interpretaci sou 0 0adnic ve smyslu pom ru 0 8anc ͺ. 6 1 P 0 0 ͺklad pou 0 6it ͺ metody pro anal 0 5zu vztahu mezi v kem a BMI.

6 1 Rozklad tabulek na interak 0 0n ͺ a nez vislou 0 0 st.

17 Reference 6 1 J. Aitchison (1986) The Statistical Analysis of Compositional Data. Chapman and Hall, London. 6 1 J.J. Egozcue, V. Pawlowsky-Glahn, G. Mateu-Figueras, C. Barcel -Vidal (2003) Isometric logratio transformations for compositional data analysis. Mathematical Geology 35(3), 279 C J.J. Egozcue, J.L. D ͺaz-Barrero, V. Pawlowsky-Glahn (2008) Compositional analysis of bivariate discrete probabilities. In: J. Daunis-i-Estadella, J.A. Mart ͺn-Fern ndez, eds, Proceedings of CODAWORK 08, University of Girona, Spain. 6 1 K. Fa 0 0evicov, K. Hron, V. Todorov, D. Guo, M. Templ (2013) Logratio approach to statistical analysis of 2 Α 2 compositional tables. Journal of Applied Statistics, DOI: / K. Fa 0 0evicov, K. Hron, V. Todorov (2014) Compositional tables analysis in coordinates. V p 0 0 ͺprav.

Pawlowsky-Glahn (2008) Compositional analysis of bivariate discrete probabilities. In: J. Daunis-i-Estadella, J.A. Mart ͺn-Fern ndez, eds, Proceedings of CODAWORK 08, University of Girona, Spain.

Podobné dokumenty

Alternativní přístup k analýze vícefaktorových dat

Alternativní přístup k analýze vícefaktorových dat Kamila Fačevicová 1, Peter Filzmoser 2, Karel Hron 1 1 Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého