V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více"

Transkript

1 9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více hodnot bez uspořádání), ordinálními (nabývají více hodnot s uspořádáním) a kardinálními (nabývají více hodnot s uspořádáním a lze měřit rozdíly mezi hodnotami). Pro různé typy dat je třeba používat různé matematické postupy vhodné pro zjišt ování souvislostí a závislostí. Úkolem statistiky je stanovit sílu a druh sledovaných závislostí. Sílu závislosti vyjadřujeme podle různých měr statistických závislostí. Statistická závislost však nevypovídá přímo o kauzalitě. Vysoký stupeň závislosti může ale nemusí odrážet příčinný vztah mezi sledovanými statistickými veličinami. Příčinné souvislosti čistě empirickými prostředky neodhalíme. Ke statistickým výsledkům je třeba přidat odborné znalosti, praktické zkušenosti a účelně kombinovat deduktivní a induktivní způsob uvažování. Existují i jednoznačné funkční závislosti mezi náhodnými veličinami, ty však obvykle nejsou hlavním cílem našeho statistického šetření (např. závislosti založené na fyzikálních zákonech - dodávané teplo zvyšuje energii). Druh statistické závislosti odhadujeme obvykle na základě grafické reprezentace dat. V případě závislosti dvou náhodných proměnných je vyjádřením druhu závislosti křivka, které se nejvíce hodí k napozorovaným hodnotám. Podle typu křivky pak mluvíme o závislosti lineární, logaritmické, exponenciální a podobně. Typ proměnné Nominální Ordinální Kardinální Nominální kontingenční tabulky kontingenční tabulky, loglineární probitová, logitová re- 2x2, nezávislost, homogenita modely grese, kontingenční ta- výběru, symetrie, bulky, kontingenční koeficienty rezidua, grafická reprezentace, znaménková schémata, míry asociace Ordinální Spearmanův korelační analýza rozptylu koeficient, Kendallovo τ Kardinální korelace, korelační koeficienty, regresní analýza 9.2 Kontingenční tabulky Kontingenční tabulka se užívá k přehledné vizualizaci vzájemného vztahu dvou statistických znaků. V praxi vzniká kontingenční tabulka tak, že se na statistických jednotkách sledují dva znaky. Řádky kontingenční tabulky odpovídají možným hodnotám prvního znaku, sloupce pak možným hodnotám druhého znaku. V příslušné buňce kontingenční tabulky je pak zařazen počet případů, kdy zároveň měl první znak hodnotu odpovídající příslušnému řádku a druhý znak hodnotu odpovídající příslušnému sloupci. 1

2 Je možné, aby jeden řádek či sloupec odpovídal více možným hodnotám znaku. To se děje v případě, kdy znak nabývá některých hodnot příliš zřídka, takže je vhodné spojit více možných hodnot. Součty (mezisoučty) všech hodnot v každém řádku, resp. sloupci nesou informaci o počtu výskytů jevů, při nichž nabyl první (resp. druhý znak) příslušné hodnoty bez ohledu na hodnotu druhého (resp. prvního) znaku. Kromě prostého popisu četností kombinací hodnot dvou znaků nabízí kontingenční tabulka možnost testovat, zda mezi oběma znaky existuje nějaký vztah. K tomu lze užít např. test dobré shody. Znaky užité k zobrazení v kontingenční tabulce pak musí představovat diskrétní hodnoty (je možné tedy využít kvalitativní, diskrétně kvantitativní či spojitě kvantitativní znaky, v posledním případě však pouze s rozdělením jednotlivých znaků do skupin tzv. skupinové třídění). Teoretickým základem kontingenčních tabulek jsou matice pravděpodobností pro dvourozměrné náhodné vektory. Kontingenční tabulka 1... c Σ 1 n n 1c n 1 2 n n 2c n r n r1... n rc n r Σ n 1 n 2 n c n Matice pravděpodobností 1... c Σ 1 p p 1c p 1 2 p p 2c p r p r1... p rc p r Σ p 1 p 2 p c 1 Necht náhodný vektor X = (X 1, X 2 ) má diskrétní rozdělení, přičemž veličina X 1 nabývá hodnot i = 1, 2,..., r a veličina X 2 nabývá hodnot j = 1, 2,..., s. Označme p ij = P (X 1 = i, X 2 = j) ; p i = j p ij ; p j = i p ij. Předpokládejme, že se uskutečnil náhodný výběr rozsahu n z tohoto rozdělení. Necht n ij je počet těch případů, kdy se ve výběru vyskytla dvojice (i, j). Náhodné veličiny n ij mají pak sdružené multinomické rozdělení s parametrem n a s pravděpodobnostmi p ij. Matice (p ij ),2,...,r;j=1,2,...,s se nazývá matice pravděpodobností a matice (n ij ),2,...,r;j=1,2,...,s tvoří základ kontingenční tabulky. Označme n i = n ij ; n j = n ij. j i Číslům p i a p j se říká marginální pravděpodobnosti a hodnotám n i a n j marginální četnosti. 2

3 Namísto dvou znaků lze sledovat obecně libovolné množství znaků. Kontingenční tabulka se pak tvoří pomocí stejného principu (v každém políčku je počet výskytů kombinací určitých hodnot jednotlivých znaků), avšak není již možné ji tak snadno znázornit. Ve vícerozměrné tabulce lze testovat mnohem víc typů závislostí mezi jednotlivými znaky, testování je však technicky mnohem komplikovanější než u dvojrozměrné tabulky V programu Excel máme možnost vytvořit kontingenční tabulku pomocí příkazu Testy nezávislosti Nejčastejší úlohou při analýze kontingenčních tabulek, je problém testování nezávislosti. Vzhledem k tomu, že dvě veličiny X, Y jsou nezávislé právě tehdy, když platí p ij = p i p j pro všechna i, j, formulujeme nulovou hypotézy testu nezávislosti v kontingenční tabulce ve tvaru H 0 : p ij = p i p j, i = 1, 2,..., r, j = 1, 2,..., s Testovací kritérium má tvar χ 2 = r ( s nij n in j j=1 a při platnosti nulové hypotézy ma asymptoticky rozdělení χ 2, jehož počet stupňů volnosti je roven ν = rs (r + s 2) = (r 1)(s 1). Pokud hodnota testovacího kritéria χ 2 χ 2 (r 1)(s 1)(α). zamítáme hypotézu o nezávislosti veličin X a Y. Ke shodě s limitním rozdělením se požaduje, aby teoretické četnosti n in j byly větší než n 5. Není-li tato podmínka splněna, je nutno sloučit některé sloupce, případně řádky v kontingenční tabulce. Analogicky postupu pro test nezávislosti v kontingenční lze postupovat v případě testování homogenity multinomického rozdělení. Tento přístup uplatníme v okamžiku, kdy marginální řádkové četnosti jsou pevně stanoveny a i t řádek v kontingenční tabulce má multinomické rozdělení s parametry n i, q i1, q i2,..., q is, kde q i1, q i2,... jsou nějaké pravděpodobnosti splňující podmínku q i1 +q i2 + +q is = 1. Hypotéza homogenity pak říká, že pravděpodobnosti q i1, q i2,... nezávisí na řádkovém indexu i. Testovací kritérium a kritické hodnoty jsou pro tento test identické s veličinami pro test nezávislosti. 9.3 Čtyřpolní tabulky n i n j n je-li r = s = 2 dostáváme čtyřpolní kontingenční tabulku následujícího tvaru n 11 n 12 n 1 n 21 n 22 n 2 n 1 n 2 n n ) 2 3

4 Testovací kritérium pro test nezávislosti a test homogenity v této čtyřpolní tabulce má tvar χ 2 = n (n 11n 22 n 12 n 21 ) 2 n 1 n 2 n 1 n 2 a pro ověření platnosti nulové hypotézy ji porovnáváme s kritickou hodnotou χ 2 ν=1(α) chi kvadrát rozdělení se stupni volnosti 1. Jiný pohled na čtyřpolní kontingenční tabulku je založen na poměru šancí. Označme s 1 = n 11 n 12 šanci mezi Y = y 1 a Y = y 2 při platnosti X = x 1 a s 2 = n 21 n 22 šanci mezi Y = y 1 a Y = y 2 při platnosti X = x 2, pak poměr těchto šancí s 1 s 2 označíme b a platí b = n 11n 22 n 12 n 21. Protože n ij n je odhadem pravděpodobnosti p ij je poměr šancí b odhadem teoretického poměru šancí β = p 11p 22 p 12 p 21. Ve čtyřpolní tabulce je β = 1 právě tehdy, když p ij = p i p j a závislost znaků X a Y bude tím větší, čím více se bude vzdálen od 1. Dříve se pro poměr šancí b resp. teoretický poměr šancí β používal též termín interakce, dnes je tento termín používán v logaritmicko-lineárních modelech v jiném významu. Nesymetrie hodnot β kolem bodu jedna vedla zřejmě k tomu, že se téměř výhradně používá logaritmická transformace hodnot b a β, která se obvykle označuje d = ln b δ = ln β. Pro testy používáme veličinu která má při platnosti nezávislosti asymptoticky normované normální rozdělení N(0; 1). Tato vlastnost nám umožňuje testovat též jednostranné alternativní hypotézy typu δ < 0, resp. δ > Fisherův faktoriálový test McNemarův test 9.4 Čtvercová kontingenční tabulka Testy symetrie Testy homogenity marginálních pravděpodobností 9.5 Kontingenční koeficienty Kontingenční koeficienty měří sílu (těsnost, intenzitu) závislosti dvou ordinálních proměnných. Nejužívanější kontingenční koeficienty jsou založeny na porovnání sdružených četností n ij s hypotetickými 4

5 (očekávanými) sdruženými četnostmi o ij = p ij n, odrážejícími představu o nezávislosti obou proměnných. Analogicky jako v kontingenčních tabulkách, pokud jsou rozdíly skutečných a očekávaných sdružených četností relativně malé, naznačují slabou závislost obou proměnných. Z relativně velkých rozdílů lze naopak usuzovat na závislost silnou. K měření síly závislosti se nejčastěji užívají Cramérův kontingenční koeficient a Pearsonův kontingenční koeficient. 9.6 Korelační koeficienty Korelační koeficienty se nejčastěji používají k měření síly (těsnosti) závislosti dvou číselných proměnných. Pearsonův korelační koeficient r xy je definovám vztahem Spearmanův korelační koeficient rs měří závislost dvou pořadí. 9.7 Regresní analýza Regrese je snad nečastěji používaná statistická metoda. Regrese se zabývá problémem vysvětlení změn jedné náhodné veličiny (vysvětlovaná, závislá, endogenní proměnná, regresand) na jedné nebo více jiných veličinách (regresory, vysvětlující proměnné, exogenní proměnné). V případě, že závislost je popsána lineárními vztahy, mluvíme o lineárním regresním modelu. Pokud modelujeme chování vysvětlovené proměnné pomocí jedné vysvětlující proměnné, mluvíme o jednoduché regresi, v opačném případě se jedná o regresi vícenásobnou. Označme X nezávisle proměnné a Y závislou proměnnou. Regresní funkcí se pak rozumí µ(x) = E (Y X = x). Regresní funkce tedy udává, jaká je střední hodnota náhodné veličiny Y při dané hodnotě x Jednorozměrný lineární regresní model y = β 0 + β 1 x + ε Předpokládejme, že máme k dispozici x i, i = 1, 2,..., n pevných (nenáhodných) hodnot proměnné X. Předpokládejme, že platí y i = f(x i, β 0, β 1,..., β k ) + ε i kde β 0, β 1..., β k jsou neznámé parametry modelu; ε i jsou náhodné veličiny, který modelují nesystematické chyby měření; y i jsou realizace náhodné veličiny Y s podmínkami X = x i. Cílem regresní analýzy je odhadnout parametry β 0, β 1..., β k tak, aby f(x i, β 0, β 1,..., β k ) co nejvíce odpovídala k empiricky naměřeným hodnotám y i. Funkce y i = f(x i, β 0, β 1,..., β k ) se nazývá teoretická regresní funkce závislosti proměnné y na x, její grafické vyjádření se nazývá teoretická regresní křivka. Regresní funkce, v níž jsou nahrazeny neznámé parametry β jejich odhady β (resp. b) se nazývá empirická regresní funkce a její grafické obraz je empirická regresní křivka. 5

6 Pro hodnoty x i můžeme na základě empirické regresní křivky určit hodnotu ŷ i = f(x i, β 0, β 1,..., β k ), tyto hodnoty nazýváme vyrovnanými hodnotami y i a rozdíl mezi y i ŷ i nazýváme rezidua (značíme e i ). Regresní funkce se nazývá lineární, je-li lineární funkcí neznámých parametrů, tj. pokud y i = β 0 + β 1 ϕ 1 (x) + β 2 ϕ 2 (x) + + β k ϕ k (x) kde ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ k (x) jsou funkce proměnné x. Příkladem lineárních regresních modelů jsou přímková regrese tvaru y i = β 0 + β 1 x i + ε i kvadratická regrese tvaru y i = β 0 + β 1 x i + β 2 x 2 i + ε i polynomická regrese tvaru y i = β 0 + β 1 x i + β 2 x 2 i + + β k x k i + ε i hyperbolická regrese tvaru y i = β 0 + β 1 1 x i + ε i Metoda nejmenších čtverců Princip metody nejmenších čtverců je založen na jednoduchém volbě optimalizačního kritéria, kdy minimalizuji kvadrát odchylek naměřených y i a vyrovnaných hodnot ŷ i. Y (x i, y i ) (x i, ŷ i ) Označme funkci Q(β 0, β 1, β 2,..., β k ) = X (y i f(x i, β 0, β 1, β 2,..., β k )) 2. Při metodě nejmenších čtverců (MNČ, LSQ) hledáme hodnoty b 0, b 1, b 2,..., b k, ve kterých je funkce Q minimální, tj. b 0, b 1,..., b k = argmin Q (β 0, β 1,..., β k ). β 0,β 1,...,β k V případě lineární regresní funkce má kriteriální funkce Q tvar Q(β 0, β 1,..., β k ) = (y i β 0 β 1 ϕ 1 (x i ) β k ϕ k (x i )) 2 6

7 a tato funkce nabývá svého minima v bodech, kdy derivace je rovna nule, tj. při hledání minima řešíme soustavu k + 1 lineárních rovnic tvaru Q β j = 0 pro j = 0, 1, 2,..., k βj =b j Soustava normálních rovnic má tedy tvar b 0 n +b 1 ϕ 1 (x i ) + + b k b 0 ϕ 1 (x i ) +b 1 ϕ 1 (x i )ϕ 1 (x i ) + + b k... ϕ k (x i ) = y i ϕ 1 (x i )ϕ k (x i ) = ϕ 1 (x i )y i b 0 ϕ k (x i ) +b 1 ϕ k (x i )ϕ 1 (x i ) + + b k ϕ k (x i )ϕ k (x i ) = ϕ k (x i )y i Přímková regrese Uvažujme tento základní jednoduchý model Y i = β 0 + β 1 x i + ε i. Derivace funkce Q(β 0, β 1 ) (y i β 0 β 1 x i ) 2 mají tvar b 0 n +b 1 b 0 x i +b 1 a řešením výše uvedených soustav dostáváme x i = (x i ) 2 = y i x i y i b 0 = y i b 1 = (x i ) 2 n x i ( n n (x i ) 2 n n n x i y i n ) 2 x i x i y i ( n n (x i ) 2 n x i y i ) 2. x i Nyní uvedeme několik vlastností empirické regresní přímky odhadnuté metodou nejmenších čtverců. 1. Jestliže chápeme pevně naměřené hodnoty x i jako realizace náhodné veličiny X, lze koeficient b 1 vyjádřit jako podíl výběrové kovariance s x y a výběrového rozptylu nezávisle proměnné s 2 x 7

8 b 1 = s x y s 2 x = x i y i n (x i ) 2 n x i y i n n 2 x i n kde s xy = 1 n s 2 x = 1 n (x i x) (y i y) = 1 n (x i x) 2 = 1 n x i y i x y = xy x y (x i ) 2 (x) 2 2. Koeficient b 0 lze vyjádřit jako b 0 = (y b 1 x) 3. Pro empirickou regresní přímku platí ŷ = b 0 + b 1 x = (y b 1 x) + b 1 x = y + b 1 (x x) ŷ = y + s xy (x x) x 2 x tj. empirická regresní přímka prochází bodem [x; y] 4. Předpokládejme, že pro všechna i platí x i x pak i b 1 = (x i x) (y i y) (x i x) 2 (y i y) j (x j x) 2 = i j (x j x) 2 (x i x) = i w i tgα i kde váha w i je (x i x) 2 j (x j x) 2 ; úhel α i je úhel, který s vodorovnou osou svírá přímka spojující body (x i, y i ) a (x, y) Tedy koeficient směrnice regresní přímky je vážený průměrem směrnic přímek, které prochází bodem (x i, y i ) a težištem bodů (x, y). 5. Sdružení regresní přímky jsou přímky tvaru y i = b 0 + b 1 x i a x i = a 0 + a 1 y i, tyto regresní přímky se protínají v bodě [x; y] a jejich směrnice sdružených regresních přímek má stejné znaménko 8

9 Y x = a 0 + a 1 y ŷ = b 0 + b 1 x X Odhady parametrů regresní přímky a sdružené regresní přímky získáme podle předcházejících vztahů b 1 = s xy s 2 x b 0 = y b 1 x a 1 = s xy s 2 y a 0 = x a 1 y Úhel, který svírají sdružené regresní přímky pokud X a Y jsou lineárně nezávislé, pak s xy = 0 regresní přímky mají tvar ŷ = y a x = x a svírají úhel α = π 2 pokud X a Y jsou deterministicky lineárně závislé (Y = AX + B), pak s 2 y = A 2 s 2 x, s xy = As 2 x regresní přímky mají tvar ŷ = y + A (x x) a x = x + 1 (y y) A a svírají úhel α = 0, tj. přímky splývají pokud X a Y jsou stochasticky lineárně závislé, pak regresní přímky svírají úhel α takový, že tg(α) = b 1 a 1 1 a 1 b Vícerozměrný lineární regresní model y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x β k x k + ε a jeho maticový zápis Pro vícerozměrný lineární model je vhodné použít maticový zápis modelu y 1 x (0)1 x (1)1... x (k)1 β 0 y 2. = x (0)2 x (1)2... x (k)2 β ɛ 2. y n x (0)n x (1)n... x (k)n β k ɛ 1 ɛ n 9

10 y = (y 1, y 2,..., y n ) T je vektor naměřených hodnot vysvětlované proměnné je matice typu n (k + 1) naměřených hodnot vysvětlujících proměn- X = [ x (i)j ]j=1,...,n; i=0,...,k ných β = (β 0, β 2,..., β k ) T je vektor hledaných k + 1 neznámých parametrů ɛ = (ɛ 1, ɛ 2,..., ɛ n ) T je vektor náhodné složky Stejně jako v jednorozměrném případě musíme specifikovat předpoklady řešení modelu pomocí metody nejmenších čtverců E (ɛ) = 0 E ( ɛɛ T ) = σ 2 I n X je nestochastická matice, takže E ( X T ɛ ) = 0 X má plnou hodnost k + 1 = p Za výše uvedených předpokladů pak neznámé parametry modelu β 0, β 1,..., β k, σ 2 následovně odhadneme b = ( X T X ) 1 X T y ( e T e ) s 2 = n p = (y Xb)T (y Xb) n p Kvalita regresní funkce a intenzita závislosti Jedním z důležitých kroků v regresní analýze je tzv. regresní diagnostika. Ta slouží k hodnocení kvality regresní funkce a k ověřování splnění předpokladů použité metody nejmenších čtverců. V rámci metody nejmenších čtverců pracujeme s následujícími součty čtverců, resp. rozptyly, které v sobě zahrnují variabilitu empirických hodnot, odhadnutých teoretických hodnot a residuí. celkový součet čtverců S 2 T = (y i y) 2 rozptyl empirických (skutečně zjištěných) hodnot s 2 y = vysvětlený součet čtverců S 2 V = (ŷ i y) 2 rozptyl vyrovnaných (teoretických) hodnot s 2 ŷ = S2 V n 1 S2 T n 1 10

11 residuální součet čtverců RSS = e T e = e 2 = rozptyl skutečně zjištěných hodnot kolem regresní čáry, residuální rozptyl s 2 R = RSS n p, kde p = k + 1 (y i ŷ i ) 2 Při použití metody nejmenších čtverců platí ST 2 = SV 2 + RSS. Při přímkové regresi (k = 1) platí s 2 y = s 2 ŷ + s 2 R Graficky jsou jednotlivé odchylky znázorněny na obrázku Y ŷ y ŷ y y i ŷ y i y x Koeficient (index) determinace pro vícenásobnou regresi s absolutním členem Ze vztahu jednotlivých součtů čtverců je odvozen koeficient R 2. Tento koeficient vyjadřuje z kolika procent se nám podařilo vysvětlit veličinu y pomocí veličin x 1, x 2,.... R 2 = S2 V S 2 T = 1 RSS S 2 T Pro koeficient determinace platí následující vlastnosti R 2 0; 1 = 1 (n p) s2 R (n 1) s 2 y pokud x a y jsou deterministicky závislé, pak y i = ŷ i a s 2 R = 0, s 2 y = s 2 ŷ, tedy R 2 = 1 pokud x a y jsou nezávislé, pak s 2 V = 0, s 2 y = s 2 R, tedy R 2 = 0 koeficient (index) korelace R = R 2 X 11

12 pro přímkovou regresi platí ŷ i = y + b 1 (x i x), kde b 1 = s xy, pak s 2 x 1 (ŷ R 2 = s2 n 1 i y) 2 1 b 1 (x n 1 i x) 2 ŷ = = = s2 xy s 2 x = s2 xy s 2 y s 2 y s 2 y s 2 x s 2 x s 2 y s 2 x s 2 y tedy koeficient korelace R = r x y odpovídá výběrovému korelačnímu koeficientu náhodného vektoru (x, y) Regresní analýza v Excelu funkce LINREGRESE (DATA-Y;DATA-X1-DATA-X2-...-DATA-XN;B;STAT), kde DATA-Y je závislá proměnná DATA-X1;DATA-X2;... ;DATA-XN jsou nezávislé proměnné, B =PRAVDA - parametr β 0 se odhaduje, NEPRAVDA - parametr β 0 se neodhaduje (rovnice prochází nulou), STAT=PRAVDA - počítají se doplňující charakteristiky modelu (SE i;r 2 ;SE y;f;df;ss(reg);ss(resid)) funkce LINTREND (DATA-Y;DATA-X;DATA-X-NOVA;B), kde DATA-Y je závislá proměnná, DATA- X jsou nezávislé proměnné, DATA-X-NOVA je nezávislá proměnná, nová ( například pokračování data-x) B =PRAVDA - parametr β 0 se odhaduje, NEPRAVDA - parametr β 0 se neodhaduje funkce FORECAST (X;DATA-Y;DATA-X) pro odhad y(x) na základě znalostí DATA-X a DATA-Y funkce INTERCEPT (DATA-Y;DATA-X) pro odhad β 0 na základě znalostí DATA-X a DATA-Y funkce SLOPE (DATA-Y;DATA-X) pro odhad parametru beta 1 lineární regrese funkce STEYX (DATA-Y;DATA-X) pro standardní chybu odhadu y funkce LOGLINREGRESE (DATA-Y;DATA-X1-DATA-X2-...-DATA-XN;B;STAT) pro logaritmický regresní model z grafu : vytvořit XY graf a přidat spojnici trendu pomocí NÁSTROJE=>ANALÝZA DAT=>REGRESE Další vícerozměrné metody a grafy lze v Excelu naprogramovat

13 Zpracování vícerozměrných statistických dat v MATLABu Grafické zpracování a základní deskriptivní statistiky boxplot vícerozměrný histogram hist3 plotmatrix gscatter gplotmatrix souhrnné statistiky [means,sem,counts,name]=grpstats(data,data(:,2)) korelace a kovariance corr, corrcoef, cov Regresní analýza maticově b = ( X T X ) 1 X T y, atd funkce [b,bint,r,rint,stats] = regress(y,x,alpha) regresní diagnostika a grafy - rcoplot robusní odhady - robustfit Lze využít též další nástroje pro vícerozměrnou analýzu -ANOVA, MANOVA, shluková analýza - cluster analysis, metoda hlavních komponent, faktorová analýza atd

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více 10 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 10.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěma, případně

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

VÍCEROZMĚRNÝ STATISTICKÝ SOUBOR

VÍCEROZMĚRNÝ STATISTICKÝ SOUBOR KORELACE A REGRESE 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/..00/8.001)

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 8

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 8 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 8 analýza závislostí kontingenční tabulky test závislosti v kontingenční tabulce analýza rozptylu regresní analýza lineární regrese Analýza závislostí Budeme ověřovat existenci

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 10. Mgr. David Fiedor 27. dubna 2015 Nelineární závislost - korelační poměr užití v případě, kdy regresní čára není přímka, ale je vyjádřena složitější matematickou funkcí

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

Dynamické metody pro predikci rizika

Dynamické metody pro predikci rizika Dynamické metody pro predikci rizika 1 Úvod do analýzy časových řad Časová řada konečná posloupnost reálných hodnot určitého sledovaného ukazatele měřeného v určitých časových intervalech okamžikové např

Více

Literatura učebnice z minulého semestru Jarošová, Pecáková sbírka příkladů pro statistiku B (2000 a novější)

Literatura učebnice z minulého semestru Jarošová, Pecáková sbírka příkladů pro statistiku B (2000 a novější) 1. přednáška Literatura učebnice z minulého semestru Jarošová, Pecáková sbírka příkladů pro statistiku B (2000 a novější) 1. Testování hypotéz H0 testovaná (nulová) hypotéza H1 alternativní hypotéza (dvoustranná,

Více

Zpracování studie týkající se průzkumu vlastností statistických proměnných a vztahů mezi nimi.

Zpracování studie týkající se průzkumu vlastností statistických proměnných a vztahů mezi nimi. SEMINÁRNÍ PRÁCE Zadání: Data: Statistické metody: Zpracování studie týkající se průzkumu vlastností statistických proměnných a vztahů mezi nimi. Minimálně 6 proměnných o 30 pozorováních (z toho 2 proměnné

Více

Regresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Regresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Statistika II Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu) této závislosti pomocí vhodné funkce

Více

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Mějme kategoriální proměnné X a Y. Vytvoříme tzv. kontingenční tabulku. Budeme tedy testovat hypotézu

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testy dobré shody Vedoucí diplomové práce: RNDr. PhDr. Ivo

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 2: Metoda nejmenších čtverců LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Doplnění a opakování z

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Pro bodový odhad při základním krigování by soustava rovnic v maticovém tvaru vypadala následovně:

Pro bodový odhad při základním krigování by soustava rovnic v maticovém tvaru vypadala následovně: KRIGING Krigování (kriging) označujeme interpolační metody, které využívají geostacionární metody odhadu. Těchto metod je celá řada, zde jsou některé příklady. Pro krigování se používá tzv. Lokální odhad.

Více

Analýza rozptylu. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Analýza rozptylu. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. ANOVA Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz ANOVA ANOVA je nástroj pro zkoumání vztahu mezi vysvětlovanými a vysvětlujícími proměnnými.

Více

Analýza rozptylu. Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE. Jiří Neubauer

Analýza rozptylu. Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE. Jiří Neubauer ANOVA Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz ANOVA ANOVA je nástroj pro zkoumání vztahu mezi vysvětlovanými a vysvětlujícími

Více

Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty

Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty Bohumír Procházka, SZÚ Praha 1 Co můžeme sledovat Pro charakteristiku nebo vlastnost, kterou chceme sledovat zvolíme termín jev.

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

STATISTICA Téma 8. Regresní a korelační analýza, regrese prostá

STATISTICA Téma 8. Regresní a korelační analýza, regrese prostá STATISTICA Téma 8. Regresní a korelační analýza, regrese prostá 1) Lineární i nelineární regrese prostá, korelace Naeditujeme data viz obr. 1. Obr. 1 V menu Statistika zvolíme submenu Pokročilé lineární/nelineární

Více

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) 1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde

Více

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Výsledky vstupních testů z matematiky a úspěšnost studia

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Bakalářská práce. Výsledky vstupních testů z matematiky a úspěšnost studia Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Bakalářská práce Výsledky vstupních testů z matematiky a úspěšnost studia Plzeň, 2014 Zuzana Rábová Prohlášení Prohlašuji, že

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie LS 2014/15 Cvičení 4: Statistické vlastnosti MNČ LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Upřesnění k pojmům a značení

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Lineární algebra 10. přednáška: Ortogonalita II Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text byl vytvořen

Více

Cvičení ze statistiky - 3. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 3. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 3 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dokončili jsme základní statistiky, typy proměnných a začali analýzu kvalitativních dat Tyhle termíny by měly být známé: Histogram, krabicový graf

Více

(n, m) (n, p) (p, m) (n, m)

(n, m) (n, p) (p, m) (n, m) 48 Vícerozměrná kalibrace Podobně jako jednorozměrná kalibrace i vícerozměrná kalibrace se používá především v analytické chemii Bude vysvětlena na příkladu spektroskopie: cílem je popis závislosti mezi

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

a) Základní informace o souboru Statistika: Základní statistika a tabulky: Popisné statistiky: Detaily

a) Základní informace o souboru Statistika: Základní statistika a tabulky: Popisné statistiky: Detaily Testování hypotéz Testování hypotéz jsou klasické statistické úsudky založené na nějakém apriorním předpokladu. Vyslovíme-li předpoklad o hodnotě neznámého parametru nebo o zákonu rozdělení sledované náhodné

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ

ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LII 6 Číslo 3, 2004 Gasser-Müllerův odhad J. Poměnková Došlo: 8.

Více

Zpracování a vyhodnocování analytických dat

Zpracování a vyhodnocování analytických dat Zpracování a vyhodnocování analytických dat naměřená data Zpracování a statistická analýza dat analytické výsledky Naměř ěřená data jedna hodnota 5,00 mg (bod 1D) navážka, odměřený objem řada dat 15,8;

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity

+ ω y = 0 pohybová rovnice tlumených kmitů. r dr dt. B m. k m. Tlumené kmity Tlumené kmit V praxi téměř vžd brání pohbu nějaká brzdicí síla, jejíž původ je v třecích silách mezi reálnými těles. Matematický popis těchto sil bývá dosti komplikovaný. Velmi často se vsktuje tzv. viskózní

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

skladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi):

skladbu obou směsí ( v tunách komponenty na 1 tunu směsi): Klíčová slova: simplexová metoda 1 Simplexová metoda Postup výpočtu: 1. Nalezení výchozího řešení. 2. Test optima: pokud je řešení optimální výpočet končí, jinak krok 3. 3. Iterační krok, poté opět test

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie

Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);

Více

LINEÁRNÍ REGRESE. Lineární regresní model

LINEÁRNÍ REGRESE. Lineární regresní model LINEÁRNÍ REGRESE Chemometrie I, David MILDE Lineární regresní model 1 Typy závislosti 2 proměnných FUNKČNÍ VZTAH: 2 závisle proměnné: určité hodnotě x odpovídá jediná hodnota y. KORELACE: 2 náhodné (nezávislé)

Více

Využití statistických metod v medicíně (teorie informace pro aplikace VaV, vícerozměrné metody, atd.)

Využití statistických metod v medicíně (teorie informace pro aplikace VaV, vícerozměrné metody, atd.) Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Masarykova univerzita Brno Využití statistických metod v medicíně (teorie informace pro aplikace VaV, vícerozměrné metody, atd.) doc. RNDr. PhMr. Karel

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými

Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými Testování hypotéz a měření asociace mezi proměnnými Testování hypotéz Nulová a alternativní hypotéza většina statistických analýz zahrnuje různá porovnání, hledání vztahů, efektů Tvrzení, že efekt je nulový,

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE VYUŽITÍ LOGISTICKÉ REGRESE VE VÝZKUMU TRHU

VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE VYUŽITÍ LOGISTICKÉ REGRESE VE VÝZKUMU TRHU VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Fakulta informatiky a statistiky Studijní program: Kvantitativní metody v ekonomice Studijní obor: Statistické a pojistné inženýrství Diplomant: Hana Brabcová Vedoucí diplomové

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu:

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu: FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Matematika 3 Garant předmětu: RNDr. Břetislav Fajmon, PhD Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Břetislav Fajmon, PhD

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2008 2009

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2008 2009 FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2008 2009 OBOR: POZEMNÍ STAVBY (S) A. MATEMATIKA TEST. Hladina významnosti testu α při testování nulové hypotézy

Více

Zobecněná analýza rozptylu, více faktorů a proměnných

Zobecněná analýza rozptylu, více faktorů a proměnných Zobecněná analýza rozptylu, více faktorů a proměnných Menu: QCExpert Anova Více faktorů Zobecněná analýza rozptylu (ANalysis Of VAriance, ANOVA) umožňuje posoudit do jaké míry ovlivňují kvalitativní proměnné

Více

Rozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení.

Rozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení. Rozptyl Základní vlastnosti disperze Var(konst) = 0 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) (nezávislé proměnné) Lineární změna jednotek Y = rx + s, například z C na F. Jak vypočítám střední hodnotu a rozptyl? Pozn.:

Více

Příklad 2: Určení cihlářských surovin na základě chemické silikátové analýzy

Příklad 2: Určení cihlářských surovin na základě chemické silikátové analýzy Příklad 2: Určení cihlářských surovin na základě chemické silikátové analýzy Zadání: Deponie nadložních jílových sedimentů SHP byla testována za účelem využití v cihlářské výrobě. Z deponie bylo odebráno

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

PROJEKT DO STATISTIKY PRŮZKUM V TECHNICKÉ MENZE

PROJEKT DO STATISTIKY PRŮZKUM V TECHNICKÉ MENZE PROJEKT DO STATISTIKY PRŮZKUM V TECHNICKÉ MENZE Náplní tohoto projektu byl prvotní průzkum, následné statistické zpracování dat a vyhodnocení. Data jsme získaly skrze internetový dotazník, který jsme rozeslaly

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 7: Časově řady, autokorelace LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Časové řady Data: HDP.wf1

Více

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru.

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. Varianta I 1. Definujte pravděpodobnostní funkci. 2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. 3. Definujte Fisher-Snedecorovo rozdělení.

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chb v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tto slid berte pouze jako doplňkový materiál není v nich

Více

Modul Analýza síly testu Váš pomocník při analýze dat.

Modul Analýza síly testu Váš pomocník při analýze dat. 6..0 Modul Analýza síly testu Váš pomocník při analýze dat. Power Analysis and Interval Estimation Analýza síly testu Odhad velikosti vzorku Pokročilé techniky pro odhad intervalu spolehlivosti Rozdělení

Více

3. Matice a determinanty

3. Matice a determinanty . Matice a determinanty Teorie matic a determinantů představuje úvod do lineární algebry. Nejrozsáhlejší aplikace mají matice a determinanty při řešení systémů lineárních rovnic. Pojem determinantu zavedl

Více

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek)

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek) Mária adloňová Fajn MATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (vorek) 0 Mgr. Mária adloňová FajnMATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (reklamní vorek) Mgr. Mária adloňová, 0 Vydavatel

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

Tématické celky { kontrolní otázky.

Tématické celky { kontrolní otázky. Tématické celky kontrolní otázky. Základy teorie pravdìpodobnosti..pravdìpodobnostní míra základní pojmy... Vysvìtlete pojem náhody, náhodného pokusu, náhodného jevu a jeho mno- ¾inovou interpretaci. Popi¹te

Více

Písemná práce k modulu Statistika

Písemná práce k modulu Statistika The Nottingham Trent University B.I.B.S., a. s. Brno BA (Hons) in Business Management Písemná práce k modulu Statistika Číslo zadání: 144 Autor: Zdeněk Fekar Ročník: II., 2005/2006 1 Prohlašuji, že jsem

Více

Statistické metody v ekonomii

Statistické metody v ekonomii Statistické metody v ekonomii vyučující: Mgr. David Zapletal, Ph.D. Výuka probíhá v počítačové učebně Univerzity Pardubice min počet účastníků pro otevření kurzu - 16 osob Testování hypotéz - běžné parametrické

Více

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY

GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO GRAFY A GRAFOVÉ ALGORITMY ARNOŠT VEČERKA VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ

Více

Informační technologie a statistika 1

Informační technologie a statistika 1 Informační technologie a statistika 1 přednášející: konzul. hodiny: e-mail: Martin Schindler KAP, tel. 48 535 2836, budova G po dohodě martin.schindler@tul.cz naposledy upraveno: 21. září 2015, 1/33 Požadavek

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (13 15 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14.června

Více

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení

6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení 6 Spojitá rozdělení 6.1 Normální (Gaussovo) rozdělení Ze spojitých rozdělení se v praxi setkáme nejčastěji s normálním rozdělením. Toto rozdělení je typické pro mnoho náhodných veličin z rozmanitých oborů

Více

2.8 ZÁKLADY VYTVÁŘENÍ TESTOVÝCH SYSTÉMŮ

2.8 ZÁKLADY VYTVÁŘENÍ TESTOVÝCH SYSTÉMŮ 2.8 ZÁKLADY VYTVÁŘENÍ TESTOVÝCH SYSTÉMŮ Vytváření testových systémů pro jednotlivé potřeby tělovýchovné praxe patří mezi hlavní otázky teorie konstrukce testů. Protože však v testové baterii nebo profilu

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

Analýza rozptylu. Podle počtu analyzovaných faktorů rozlišujeme jednofaktorovou, dvoufaktorovou a vícefaktorovou analýzu rozptylu.

Analýza rozptylu. Podle počtu analyzovaných faktorů rozlišujeme jednofaktorovou, dvoufaktorovou a vícefaktorovou analýzu rozptylu. Analýza rozptylu Analýza rozptylu umožňuje ověřit významnost rozdílu mezi výběrovými průměry většího počtu náhodných výběrů, umožňuje posoudit vliv různých faktorů. Podle počtu analyzovaných faktorů rozlišujeme

Více

1 Lineární stochastický systém a jeho vlastnosti. 2 Kovarianční funkce, výkonová spektrální hustota, spektrální faktorizace,

1 Lineární stochastický systém a jeho vlastnosti. 2 Kovarianční funkce, výkonová spektrální hustota, spektrální faktorizace, Lineární stochastický systém a jeho vlastnosti. Kovarianční funkce, výkonová spektrální hustota, spektrální faktorizace, tvarovací filtr šumu, bělicí filtr. Kalmanův filtr, formulace problemu, vlastnosti.

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA

STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA Poslední aktualizace: 29. května 200 STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA PŘÍKLADY Pro zdárné absolvování předmětu doporučuji věnovat pozornost zejména příkladům označenými hvězdičkou. Příklady

Více

Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Fakulta regionálního rozvoje a mezinárodních studií

Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Fakulta regionálního rozvoje a mezinárodních studií Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Fakulta regionálního rozvoje a mezinárodních studií STATISTIKA pro TZP Modul : Pravděpodobnost a náhodné veličiny Prof

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

Maticový a tenzorový počet

Maticový a tenzorový počet Maticový a tenzorový počet Doc. RNDr. Martin Kovár, Ph.D. Ústav matematiky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Obsah. Test vstupních znalostí............................. 5 Matice

Více

Poznámky z matematiky

Poznámky z matematiky Poznámky z matematiky Verze: 14. dubna 2015 Petr Hasil hasil@mendelu.cz http://user.mendelu.cz/hasil/ Ústav matematiky Lesnická a dřevařská fakulta Mendelova univerzita v Brně Vytvořeno s podporou projektu

Více

Analýza rozptylu dvojného třídění

Analýza rozptylu dvojného třídění StatSoft Analýza rozptylu dvojného třídění V tomto příspěvku si ukážeme konkrétní práci v softwaru STATISTICA a to sice při detekci vlivu jednotlivých faktorů na chování laboratorních krys v bludišti.

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Závslost příčnná (kauzální). Závslostí pevnou se označuje případ, kdy výskytu jednoho jevu nutně odpovídá výskyt druhé jevu (a často naopak). Z pravděpodobnostního hledska

Více

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a

Více

Organizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Přehled témat. Co je statistika?

Organizační pokyny k přednášce. Matematická statistika. Přehled témat. Co je statistika? Organizační pokyny k přednášce Matematická statistika 2012 2013 Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta UK hudecova@karlin.mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/

Více

ZX510 Pokročilé statistické metody geografického výzkumu. Téma: Měření síly asociace mezi proměnnými (korelační analýza)

ZX510 Pokročilé statistické metody geografického výzkumu. Téma: Měření síly asociace mezi proměnnými (korelační analýza) ZX510 Pokročilé statistické metody geografického výzkumu Téma: Měření síly asociace mezi proměnnými (korelační analýza) Měření síly asociace (korelace) mezi proměnnými Vztah mezi dvěma proměnnými existuje,

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY

Více

Stav Svobodný Rozvedený Vdovec. Svobodná 37 10 6. Rozvedená 8 12 8. Vdova 5 8 6

Stav Svobodný Rozvedený Vdovec. Svobodná 37 10 6. Rozvedená 8 12 8. Vdova 5 8 6 1. Příklad Byly sledovány rodinné stavy nevěst a ženichů při uzavírání sňatků a byla vytvořena následující tabulka četností. Stav Svobodný Rozvedený Vdovec Svobodná 37 10 6 Rozvedená 8 12 8 Vdova 5 8 6

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

{ } ( 2) Příklad: Test nezávislosti kategoriálních znaků

{ } ( 2) Příklad: Test nezávislosti kategoriálních znaků Příklad: Test nezávislosti kategoriálních znaků Určete na hladině významnosti 5 % na základě dat zjištěných v rámci dotazníkového šetření ve Šluknově, zda existuje závislost mezi pohlavím respondenta a

Více

Odhalení skryté struktury a vnitřních vazeb dat vícerozměrnou statistickou analýzou pitné vody

Odhalení skryté struktury a vnitřních vazeb dat vícerozměrnou statistickou analýzou pitné vody Odhalení skryté struktury a vnitřních vazeb dat vícerozměrnou statistickou analýzou pitné vody Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc, Katedra analytické chemie, Univerzita Pardubice, 532 10 Pardubice, milan.

Více