Regresní a korelační analýza

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Regresní a korelační analýza"

Transkript

1 Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel

2 Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu) této závislosti pomocí vhodné funkce vystihnout pomocí regresní funkce průběh (trend) závislosti mezi X a Y na základě znalosti dvojic empirických hodnot [x i, y i ], kde i = 1, 2,..., n.

3 Regresní analýza Hledáme regresní funkci Y = f (X, β 0, β 1,..., β p ) = E(Y X ), kde β j, j = 0, 1,..., p jsou regresní parametry. Regresní funkce charakterizuje závislost podmíněných středních hodnot náhodné veličiny Y na hodnotách náhodné veličiny X. Na Y působí kromě X i další vlivy, proto se budou empirické hodnoty y i více či méně lišit od teoretické hodnoty Y i, tj. platí Lineární regresní funkce má tvar y i = Y i + ɛ i, i = 1, 2,..., n. Y = β 0 f 0 (X ) + β 1 f 1 (X ) + + β p f p (X ), kde f j (X ), j = 0, 1,..., p se nazývají regresory (obvykle f 0 (X ) = 1 konstanta), počet regresorů je obecně c = p + 1.

4 Regresní analýza Některé typy lineárních regresních funkcí: přímková regrese Y = β 0 + β 1 X, hyperbolická regrese Y = β 0 + β1 X, logaritmická regrese Y = β 0 + β 1 ln X, parabolická regrese Y = β 0 + β 1 X + β 2 X 2 polynomická regrese Y = β 0 + β 1 X + + β p X p Některé typy nelineárních regresních funkcí: exponenciální regrese Y = β 0 β X 1, mocninná regrese Y = β 0 X β1.

5 Regresní analýza Označíme-li odhady parametrů β 0, β 1,..., β p jako b 0, b 1,..., b p, dostaneme odhady lineárních regresních modelů ve tvaru ŷ = f (x, b 0, b 1,..., b p ), nazveme je výběrová regresní funkce. (např. pro přímkovou regresi má výběrová regresní funkce tvar ŷ = b 0 + b 1 x) S využitím této výběrové regresní funkce, tzv. vyrovnané hodnoty, můžeme vztah y = Y + ɛ vyjádřit ve tvaru y = ŷ + e, kde e = y ŷ je tzv. reziduum, resp. ve tvaru y i = ŷ i + e i, i = 1,..., n, kde e i = y i ŷ i je reziduum pro i-té měření.

6 Klasický regresní model Nejjednodušší z lineárních regresních modelů je tzv. klasický regresní model hodnoty X jsou volené - nastavované (X není náhodná veličina), regresní funkce je lineární vzhledem k parametrům, soustava normálních rovnic má právě 1 řešení matice hodnot regresorů f j (x), j = 0, 1, 2,..., p, má hodnost p + 1 sloupce matice hodnot regresorů jsou lineárně nezávislé náhodné složky ɛ i jsou nezávislé a mají normální rozdělení N(0, σ 2 ) E(ɛ i ) = 0, D(ɛ i ) = σ 2, i = 1, 2,..., n. Poznámka: z předpokladu o rozdělení náhodných složek ɛ i vyplývá, že v klasickém regresním modelu mají pozorované hodnoty y i vysvětlované proměnné Y normální rozdělení se středními hodnotami µ i = E(y i x i ) s rozptylem σ 2 = D(ɛ i ) = D(y i x i ), hodnoty y i jsou navzájem nezávislé.

7 Odhady regresních parametrů Cílem metod určení parametrů je odhad parametrů zvolené regresní funkce tak, aby se hodnoty ŷ i (tzv. vyrovnané hodnoty) náhodné veličiny Y ležící na této regresní funkci co nejtěsněji přimykaly pozorovaným (empirickým) hodnotám y i pro dané hodnoty x i náhodné veličiny X.

8 Odhady regresních parametrů Základní metodou určení parametrů regresní funkce je metoda nejmenších čtverců (MNČ). Tato metoda vychází z požadavku, aby součet čtverců odchylek empirických hodnot y i a vyrovnaných hodnot ŷ i (reziduí) reziduální součet čtverců S R byl minimální, tj. min S r = min (y i ŷ i ) 2 = min ei 2. Z matematiky je známo, že nutnou podmínkou pro existenci extrému funkce 2 a více proměnných je nulovost prvních parciálních derivací, tj. S R β 0 = S R β 1 = = S R β p = 0, podmínku postačující pro minimum nemusíme vyšetřovat, neboť funkce S R je ryze konvexní. Dostáváme p + 1 rovnic (tzv. normálních rovnic), jejichž řešením obdržíme odhady parametrů regresní funkce b 0 = ˆβ 0, b 1 = ˆβ 1,..., b p = ˆβ p.

9 Odhady regresních parametrů Regresní funkce určená metodou nejmenších čtverců má tyto vlastnosti: n (y i ŷ i ) = 0 prochází vždy bodem [x, y] odhad regresní funkce MNČ je nejlepším nestranným odhadem

10 Odhady regresních parametrů Regresní přímka: ŷ = b 0 + b 1 x S r = (y i ŷ i ) 2 = (y i (b 0 + b 1 x i )) 2 = S r b 0 = 2 S r b 1 = 2 (y i b 0 b 1 x i ) 2 (y i b 0 b 1 x i )( 1) = 0 (y i b 0 b 1 x i )( x i ) = 0 dostáváme soustavu normálních rovnic b 0 n + b 1 x i = b 0 x i + b 1 x 2 i = y i x i y i

11 Odhady regresních parametrů Soustavu vyřešíme např. Cramerovým pravidlem a dostaneme odhady parametrů n b 0 = y n i x i 2 n x n i x iy i n n x i 2 ( n x ) 2 i b 1 = n n x iy i n x n i y i n n x i 2 ( n x ) 2 i

12 Odhady regresních parametrů maticové vyjádření Regresní model je možné zapsat ve tvaru Y = Xβ + ɛ kde Y = (Y 1, Y 2... Y n ), β = (β 0, β 1,..., β p ), ɛ = (ɛ 1, ɛ 2,..., ɛ n ), f 0 (x 1 ) f 1 (x 1 )... f p (x 1 ) f 0 (x 2 ) f 1 (x 2 )... f p (x 2 ) X =.... f 0 (x n ) f 1 (x n )... f p (x n ) je matice regresorů. V případě přímkové regrese je matice regresorů rovna 1 x 1 1 x 2 X =.. 1 x n

13 Odhady regresních parametrů maticové vyjádření Odhady parametrů získané MNČ mají tvar b = (X X) 1 X Y

14 Odhady b 0, b 1,..., b p parametrů β 0, β 1,..., β p získané MNČ jsou jejich nestranné odhady, tedy platí E(b j ) = β j pro j = 0, 1,..., p. Představu o tom, jaké chyby můžeme při bodových odhadech očekávat, poskytují směrodatné odchylky směrodatné chyby těchto bodových odhadů s(b j ). K jejich určení potřebujeme znát rozptyl náhodných složek D(ɛ i ) = σ 2, který je neznámý. Odhadneme jej pomocí reziduálního rozptylu sr 2 = S R n c = 1 (y i ŷ i ) 2, n c kde c je počet neznámých (odhadovaných) regresních parametrů, S R je reziduální součet čtverců. Maticově S R = Y Y b X Y.

15 Pro regresní přímku je potom S r = (y i b 0 b 1 x) = = ( sr 2 = 1 yi 2 b 0 n 2 y 2 i b 0 y i b 1 y i b 1 ) x i y i. x i y i,

16 Intervalové odhady Regresní analýza Jsou-li splněny předpoklady klasického regresního modelu, mají potom regresní koeficienty b j normální rozdělení, tedy platí kde rozptyly D(b j ) jsou rovny b j N(β j, D(b j )), D(b 0 ) = σ 2 h 00, D(b 1 ) = σ 2 h 11,..., D(b p ) = σ 2 h pp, pričemž h 00, h 11,..., h pp jsou prvky na hlavní diagonále matice H = (X X) 1. Rozptyly odhadů regresních parametrů musíme odhadnout ˆD(b j ) = sr 2 h jj s(b j ) = sr 2 h jj

17 Intervalové odhady Regresní analýza Pro regresní přímku ŷ = b 0 + b 1 x dostaneme n s(b 0 ) = s x i 2 R n n x i 2 ( n x i n s(b 1 ) = s R n n x i 2 ( n x i ) 2 ) 2

18 Intervaly spolehlivosti pro regresní parametry β j Východiskem pro konstrukci intervalů spolehlivosti parametrů β j při platnosti předpokladů klasického regresního modelu jsou statistiky t j = b j β j s(b j ) t(n c) pro j = 0, 1,... p, kde b j je bodový odhad parametru β j, s(b j ) je směrodatná chyba tohoto odhadu. Oboustranný interval spolehlivosti má potom tvar b j t 1 α/2 (n c) s(b j ) < β j < b j + t 1 α/2 (n c) s(b j ). Pokud tento interval pro určitý parametr obsahuje nulu, lze usoudit na hladině významnosti α, že tento parametr je statisticky nevýznamný.

19 Testy hypotéz o významnosti regresních parametrů β Statisticky významným parametrem β j se rozumí nenulový parametr, proto budeme testovat Testovým kritériem je statistika H : β j = 0 A : β j 0. t j = b j β j s(b j ), kritický obor je W α : t j t 1 α/2 (n c)

20 Intervalové odhady pro regresní funkci Intervaly spolehlivosti pro regresní funkci Y i (podmíněné střední hodnoty) jsou založené na tom, že při platnosti předpokladů klasického regresního modelu jsou statistiky t i = ŷi Y i s(ŷ i ) t(n c) pro i = 1, 2,..., n, kde ŷ i je bodový odhad podmíněné střední hodnoty Y i pro hodnotu x i, s(ŷ i ) je směrodatná chyba (odchylka) bodového odhadu ŷ i. Odtud lze klasicky odvodit vztah pro oboustranný intervalový odhad. ŷ i t 1 α/2 (n c) s(ŷ i ) < Y i < ŷ i + t 1 α/2 (n c) s(ŷ i ).

21 Intervalové odhady pro regresní funkci Rozptyl vyrovnaných hodnot je D(ŷ i ) = σ 2 x ihx i. kde x i = (1, f 1 (x i ), f 2 (x i ),..., f p (x i )) je vektor hodnot regresorů pro hodnotu x i. Pro rozptyl resp. směrodatnou chybu odhadu podmíněné střední hodnoty Y i, tj. pro s 2 (ŷ i ) platí s 2 (ŷ i ) = s 2 Rx ihx i s(ŷ i ) = s R x i Hx i.

22 Intervalové odhady pro regresní funkci Pro regresní přímku ŷ = b 0 + b 1 x dostáváme s(ŷ i ) = s R x i Hx i = s R 1 n + ( x i n x 2 i P n ) 2 xi n (P n xi)2 n

23 Intervalové odhady pro individuální předpovědi Pro rozptyl individuálních hodnot platí, že je o σ 2 větší než rozptyl vyrovnaných hodnot, tedy platí D(ŷ i0 ) = σ 2 + σ 2 x ihx i = σ 2 (1 + x ihx i ). Při určování odhadů individuálních hodnot Y i0 při určování odhadů individuálních hodnot ŷ i0 ve tvaru s 2 (ŷ i0 ) = σ 2 R(1 + x ihx i ) s(ŷ i0 ) = s R 1 + x i Hx i. Interval spolehlivosti pro individuální předpověď Y i0 je ŷ i0 t 1 α/2 (n c) s(ŷ i0 ) < Y i0 < ŷ i0 + t 1 α/2 (n c) s(ŷ i0 )

24 Intervalové odhady pro individuální předpovědi Pro regresní přímku ŷ = b 0 + b 1 x dostáváme s(ŷ i0 ) = s R 1 + x i Hx i = s R n + ( x i n x 2 i P n ) 2 xi n (P n xi)2 n

25 Test o významnosti regresního modelu Zřejmě platí, že y i y = (y i ŷ i ) + (ŷ i y). Lze ukázat, že také platí (y i y) 2 = (y i ŷ i ) 2 + (ŷ i y) 2 S Y = S R + S T, kde celkový součet čtverců S Y = y y ny 2 S Y = (y i y) 2 = n s 2 (y), kde s 2 (y) = 1 n (y i y) 2 reziduální součet čtverců S R = y y b X y S R = (y i ŷ i ) 2 = (n c) sr(y), 2 kde sr(y) 2 = 1 n c teoretický součet čtverců S T = b X y ny 2 S T = (ŷ i y) 2 = n s 2 (ŷ), kde s 2 (ŷ) = 1 n (y i ŷ i ) 2 (ŷ i y) 2

26 Test o významnosti regresního modelu Pro regresní přímku ŷ = b 0 + b 1 x dostáváme S R = = S T = (y i ŷ i ) 2 = y 2 i b 0 (y i b 0 b 1 x i ) 2 = = y i b 1 (ŷ i ŷ i ) 2 = = b 0 y i + b 1 x i y i ( b 0 + b 1 x i 1 n ( ) 2 x i y i 1 y i n S Y = S R + S T = = y 2 i ( ) 2 1 y i n y 2 i ) = =

27 Test o významnosti regresního modelu teoretický součet čtverců S T je ta část celkového součtu čtverců S Y, která je vysvětlená zvolenou regresní funkcí reziduální součet čtverců S R je ta část celkového součtu čtverců S Y, která zvolenou regresní funkcí vysvětlená není

28 Test o významnosti regresního modelu Test o významnosti modelu celkový F -test H : β 0 = k, k 0, β 1 = β 2 = = β p = 0 A : β j 0 pro alespoň jedno j = 1, 2,..., p Testové kritérium je statistika F = S T (y) c 1 S R (y) n c F (c 1, n c), kde c = p + 1 je počet odhadovaných parametrů. Kritický obor je W α : F > F 1 α (c 1, n c).

29 Test o významnosti regresního modelu Jsou-li celkový F -test i všechny t-testy jsou statisticky významné, model se považuje za vhodný k vystižení variability proměnné Y (to však ještě neznamená, že je model správně navržen). Jsou-li celkový F -test i všechny t-testy jsou statisticky nevýznamné, model se považuje za nevhodný, protože nevystihuje variabilitu proměnné Y. Je-li celkový F -test statisticky významný, ale některé t-testy vychází nevýznamné, model se považuje za vhodný, ale provádí se zpravidla vypuštění nevýznamných parametrů. Je-li celkový F -test statisticky významný, ale všechny t-testy vychází nevýznamné paradox: formálně model jako celek vyhovuje, ale žádný člen modelu sám o sobě významný není jde o důsledek tzv. multikolinearity, tj. lineární závislosti mezi jednotlivými regresory.

30 Regresní analýza Těsností závislosti rozumíme stupeň, s jakým se zkoumaná závislost blíží k funkční závislosti. Vztah mezi proměnnými X a Y může mít různou intenzitu, od úplné nezávislosti až po pevnou (funkční) závislost. Představu o síle závislosti můžeme získat z bodového diagramu (podle rozložení bodů okolo regresní křivky) pomoci měr těsnosti závislosti

31 Regresní analýza Poměr determinace p 2 yx (viz ANOVA) p 2 yx = S M(y) S C (y), p2 yx 0, 1 udává, jaké procento variability proměnné Y je vysvětlené proměnnou X (jaké procento meziskupinové variability se podílí na celkové variabilitě). Tento poměr není závislý na zvolené regresní funkci, ale vyžaduje roztříděná data (korelační tabulka).

32 Regresní analýza Index determinace i 2 yx i 2 yx = S T (y) S Y (y), i 2 yx 0, 1 udává, jaké procento variability proměnné Y lze vysvětlit zvoleným regresním modelem. Tento poměr vychází ze zvolené regresní funkce. V případě, kdy regresní funkce je přímka, použijeme název koeficient determinace a značíme jej r 2 yx.

33 Regresní analýza Čím více se i 2 blíží k 1, tím považujeme danou závislost za silnější, a tedy dobře vystiženou použitou regresní funkcí; naopak čím více se bude blížit k 0, tím považujeme danou závislost za slabší a regresní funkci za méně výstižnou. Nízká hodnota i 2 ještě nemusí znamenat nízký stupeň závislosti mezi proměnnými, ale může to signalizovat chybnou volbu regresní funkce. Kritéria vhodnosti použité regresní funkce pro popis závislosti: čím je i 2 blíže k 1, tím vhodnější je použitý model obecně platí i 2 p 2, potom čím je i 2 blíže p 2 tím je použitý model lepší

34 Regresní analýza i 2 yx představuje výběrový index determinace, který lze použít jako odhad teoretického indexu determinace I 2 yx (Î 2 yx = i 2 yx). Tento odhad je asymptoticky nestranný, navíc ale tento odhad pro malé výběry nadhodnocuje skutečnou těsnost závislosti, záleží i na počtu parametrů regresní funkce. Provádíme proto korekci tento odhad je již nestranný. i 2 kor = 1 (1 i 2 ) n 1 n c,

35 Regresní analýza Regresní model obsahující více než jednu vysvětlující proměnnou se nazývá model vícenásobné regrese. Omezíme se na model regrese se dvěma nezávisle proměnnými. Nechť Y i = β 0 + β 1 x i + β 2 z i + ɛ i, i = 1,..., n. Matice regresorů má tvar 1 x 1 z 1 1 x 2 z 2 X = x n z n

36 Regresní analýza Odhady určíme podle vztahu b = (X X) 1 X Y, s 2 R = 1 n c (Y Y b X Y), kde Y = (Y 1, Y 2,..., Y n ). Testy hypotéz o významnosti regresních koeficientů a celkového modelu se provádějí podobně jako u lineární regrese s jednou vysvětlující proměnou.

37 Regresní analýza Korelační koeficient Koeficient mnohonásobné korelace V regresní analýze jsme se doposud zabývali jednostrannými závislostmi a popisovali jsme formu závislosti vysvětlované proměnné Y na vysvětlující (ale nenáhodné, pevné, nastavené) proměnné X. Oboustrannými závislostmi mezi náhodnými veličinami X a Y se věnuje korelační analýza.

38 Korelační koeficient Regresní analýza Korelační koeficient Koeficient mnohonásobné korelace Definice Korelační koeficient náhodných veličin X a Y je definován vztahem ρ(x, Y ) = C(X, Y ) = C(X, Y ) D(X ) D(Y ) σ(x )σ(y ). Pro korelační koeficient platí: 1 ρ(x, Y ) 1, jestliže jsou X a Y nezávislé, pak ρ(x, Y ) = 0, ρ(x, Y ) = 1 právě když Y = ax + b, kde a > 0, ρ(x, Y ) = 1 právě když Y = ax + b, kde a < 0.

39 Dvourozměrné normální rozdělení Korelační koeficient Koeficient mnohonásobné korelace Definice Má-li náhodný vektor X = (X, Y ) sdruženou hustotu pravděpodobnosti 1 f (x, y) = p 2πσ 1σ 2 1 ρ 2 j 1 (x µ1) 2 exp + 2(1 ρ 2 ) σ 2 1 (y µ2)2 σ 2 2 «ff 2ρ(x µ1)(y µ2) σ 1σ 2 pro x, y R, pak říkáme, že má dvourozměrné normální rozdělení s parametry µ 1, µ 2, σ 1, σ 2, ρ. Věta Nechť X = (X, Y ) má dvourozměrné normální rozdělení s parametry µ 1, µ 2, σ 1, σ 2, ρ, potom X N(µ 1, σ 2 1 ) a Y N(µ 2, σ 2 2 ), ρ je korelační koeficient X a Y.

40 Dvourozměrné normální rozdělení Korelační koeficient Koeficient mnohonásobné korelace Obrázek: Graf dvourozměrného normálního rozdělení

41 Korelační koeficient Regresní analýza Korelační koeficient Koeficient mnohonásobné korelace Empirickým protějškem korelačního koeficientu ρ výběrový korelační koeficient (koeficient korelace) r r = s xy s x s y, kde s xy = 1 n 1 n (x i x)(y i y) je výběrová kovariance, s x a s y jsou výběrové směrodatné odchylky. Korelační koeficient r lze vyjádřit ve tvaru r = n n x iy i n x n i y i n n x i 2 ( n x i ) 2 n n y i 2 ( n y i ) 2

42 Korelační koeficient Regresní analýza Korelační koeficient Koeficient mnohonásobné korelace Koeficient determinace je pro závislost popsanou regresní přímkou zvláštním případem indexu determinace, tedy platí ryx 2 = S T S Y. Tato míra těsnosti závislosti má zcela stejné vlastnosti jako iyx. 2 Výběrový koeficient determinace ryx 2 lze použít jako odhad teoretického koeficientu determinace ρ 2 v základním souboru. Úpravou získáme nestranný odhad ρ 2. r 2 kor = 1 (1 r 2 ) n 1 n 2

43 Korelační koeficient Koeficient mnohonásobné korelace Test významnosti korelačního koeficientu Testové kritérium je statistika Kritický obor je dán t = H : ρ = 0 A : ρ 0 r 1 r 2 n 2 t(n 2). W α : t > t 1 α/2 (n 2). Pokud hodnota testového kritéria padne do kritického oboru, podařila se prokázat lineární závislost mezi sledovanými proměnnými.

44 Korelační koeficient Koeficient mnohonásobné korelace Koeficient mnohonásobné korelace Koeficient mnohonásobné korelace vyjadřuje společné působení nezávisle proměnných X 1, X 2,... X k na závisle proměnnou Y a určuje spolehlivost regresního odhadu. Výběrový koeficient mnohonásobné korelace pro případ regrese se dvěma nezávisle proměnnými (Y i = β 0 + β 1 x i + β 2 z i + ɛ i ) je roven r y,xz = ryx 2 + ryz 2 + 2r yx r yz r xz 1 rxz 2, kde r yx je výběrový korelační koeficient mezi hodnotami y i a x i, r yz je výběrový korelační koeficient mezi y i a z i a r yx je výběrový korelační koeficient mezi x i a z i. Jeho druhou mocninou je index determinace.

45 Regresní analýza užívá řadu dalších funkcí, které nejsou lineární vzhledem k parametrům nelineární regresní modely: nelineární regresní funkce, které lze linearizovat, např. regresní exponenciální funkce Y = β 0β1 X ; Y = β 0e β 1X regresní mocninná funkce Y = β 0X β 1 Törnquistova křivka I Y = β 0X β 1 +X nelineární regresní funkce, které nelze linearizovat, např. regresní exponenciální funkce Y = β 0β1 X + β 2; Y = β 0e β1x + β 2 regresní mocninná funkce Y = β 0X β 1 + β2 Törnquistovy křivka II a III Y = β 0(X β 1 ) β 2 ; Y = β 0X (X β 1 ) +X β 2 +X Odhad parametrů těchto a dalších nelineárních regresních funkcí nelze provádět metodou nejmenších čtverců. Postupuje se tak, že se nejprve najde vhodný tzv. počáteční odhad, který se dále numerickými (iteračními) metodami postupně zlepšuje.

46 Linearizující transformace Linearizující transformace spočívá v tom, že se vhodnou transformací převede nelineární funkce Y na lineární funkci Y. Parametry lineární funkce Y se odhadnou metodou nejmenších čtverců a zpětnou transformací obdržíme odhady parametrů původní funkce Y. Příklad 1: transformace: ln ŷ = ln b 0 + x ln b 1 lineární model: y = b 0 + b 1 x substituce: y = ln ŷ, x = x b 0 = ln b 0 b 0 = e b 0 b 1 = ln b 1 b 1 = e b 1 Y = β 0 β X 1 ŷ = b 0 b x 1

47 Linearizující transformace Příklad 2: Y = transformace: 1 ŷ = b1+x b 0x = b1 lineární model: y = b0 + b 1 x substituce: y = 1 ŷ, x = 1 x b0 = 1 b 0 b 0 = 1 b0 b1 = b1 b 0 b 1 = b 0 b1 β 0X β 1 + X ŷ = b 0x b 1 + x b 0 1 x + 1 b 0

48 Poznánka: Je třeba si uvědomit, že vlastnosti, které platí pro odhad regresní funkce získaný klasickou metodou nejmenších čtverců, platí pouze pro transformovanou funkci. Důsledkem toho je, že odhady jednotlivých regresních koeficientů užitého modelu nesplňují podmínku nestrannosti. V případě, že linearizující transformace není možná, je třeba použít jiných metod, např. metodu vybraných bodů apod.

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 10. Mgr. David Fiedor 27. dubna 2015 Nelineární závislost - korelační poměr užití v případě, kdy regresní čára není přímka, ale je vyjádřena složitější matematickou funkcí

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,

Více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více 9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Regresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Regresní analýza. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Statistika II Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu) této závislosti pomocí vhodné funkce

Více

Dynamické metody pro predikci rizika

Dynamické metody pro predikci rizika Dynamické metody pro predikci rizika 1 Úvod do analýzy časových řad Časová řada konečná posloupnost reálných hodnot určitého sledovaného ukazatele měřeného v určitých časových intervalech okamžikové např

Více

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz Budeme předpokládat, že X a Y jsou kvalitativní náhodné veličiny, obor hodnot X obsahuje r hodnot (kategorií,

Více

VÍCEROZMĚRNÝ STATISTICKÝ SOUBOR

VÍCEROZMĚRNÝ STATISTICKÝ SOUBOR KORELACE A REGRESE 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/..00/8.001)

Více

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Mějme kategoriální proměnné X a Y. Vytvoříme tzv. kontingenční tabulku. Budeme tedy testovat hypotézu

Více

Tématické celky { kontrolní otázky.

Tématické celky { kontrolní otázky. Tématické celky kontrolní otázky. Základy teorie pravdìpodobnosti..pravdìpodobnostní míra základní pojmy... Vysvìtlete pojem náhody, náhodného pokusu, náhodného jevu a jeho mno- ¾inovou interpretaci. Popi¹te

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)

1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) 1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde

Více

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel

Regresní analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel Regresní analýza Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Regresní analýza 1 / 23

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Prostá regresní a korelační analýza 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Problematika závislosti V podstatě lze rozlišovat mezi závislostí nepodstatnou, čili náhodnou

Více

Analýza rozptylu. Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE. Jiří Neubauer

Analýza rozptylu. Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE. Jiří Neubauer ANOVA Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz ANOVA ANOVA je nástroj pro zkoumání vztahu mezi vysvětlovanými a vysvětlujícími

Více

Analýza rozptylu. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Analýza rozptylu. Statistika II. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. ANOVA Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz ANOVA ANOVA je nástroj pro zkoumání vztahu mezi vysvětlovanými a vysvětlujícími proměnnými.

Více

odpovídá jedna a jen jedna hodnota jiných

odpovídá jedna a jen jedna hodnota jiných 8. Regresní a korelační analýza Problém: hledání, zkoumání a hodnocení souvislostí, závislostí mezi dvěma a více statistickými znaky (veličinami). Typy závislostí: pevné a volné Pevná závislost každé hodnotě

Více

Pro bodový odhad při základním krigování by soustava rovnic v maticovém tvaru vypadala následovně:

Pro bodový odhad při základním krigování by soustava rovnic v maticovém tvaru vypadala následovně: KRIGING Krigování (kriging) označujeme interpolační metody, které využívají geostacionární metody odhadu. Těchto metod je celá řada, zde jsou některé příklady. Pro krigování se používá tzv. Lokální odhad.

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

Rozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení.

Rozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení. Rozptyl Základní vlastnosti disperze Var(konst) = 0 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) (nezávislé proměnné) Lineární změna jednotek Y = rx + s, například z C na F. Jak vypočítám střední hodnotu a rozptyl? Pozn.:

Více

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Matice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a

Více

AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších

AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model y i = β 0 + β 1 x i1 + + β k x ik + ε i (1) kde y i

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 8

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 8 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 8 analýza závislostí kontingenční tabulky test závislosti v kontingenční tabulce analýza rozptylu regresní analýza lineární regrese Analýza závislostí Budeme ověřovat existenci

Více

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Regresní a korelační analýza Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Regresní a korelační analýza Úvod do problému Roman Biskup Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta (Zemědělská fakulta) Katedra aplikované matematiky a informatiky 2008/2009

Více

Modely diskrétní náhodné veličiny. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.

Modely diskrétní náhodné veličiny. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Po(λ) je možné použít jako model náhodné veličiny, která nabývá hodnot 0, 1, 2,... a udává buď počet událostí,

Více

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH

MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 10 Mgr. Petr Otipka Ostrava 01 Mgr. Petr Otipka Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava ISBN

Více

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model Mějme lineární regresní model (LRM) Y = Xβ + e, kde y 1 e 1 β y 2 Y =., e

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

Matematická statistika

Matematická statistika Matematická statistika Daniel Husek Gymnázium Rožnov pod Radhoštěm, 8. A8 Dne 12. 12. 2010 v Rožnově pod Radhoštěm Osnova Strana 1) Úvod 3 2) Historie matematické statistiky 4 3) Základní pojmy matematické

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9téma Princip testování hypotéz, jednovýběrové testy V minulé hodině jsme si ukázali, jak sestavit intervalové odhady pro některé číselné charakteristiky normálního

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 7: Časově řady, autokorelace LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Časové řady Data: HDP.wf1

Více

LINEÁRNÍ REGRESE. Lineární regresní model

LINEÁRNÍ REGRESE. Lineární regresní model LINEÁRNÍ REGRESE Chemometrie I, David MILDE Lineární regresní model 1 Typy závislosti 2 proměnných FUNKČNÍ VZTAH: 2 závisle proměnné: určité hodnotě x odpovídá jediná hodnota y. KORELACE: 2 náhodné (nezávislé)

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Lineární algebra 10. přednáška: Ortogonalita II Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/la1 Text byl vytvořen

Více

Literatura učebnice z minulého semestru Jarošová, Pecáková sbírka příkladů pro statistiku B (2000 a novější)

Literatura učebnice z minulého semestru Jarošová, Pecáková sbírka příkladů pro statistiku B (2000 a novější) 1. přednáška Literatura učebnice z minulého semestru Jarošová, Pecáková sbírka příkladů pro statistiku B (2000 a novější) 1. Testování hypotéz H0 testovaná (nulová) hypotéza H1 alternativní hypotéza (dvoustranná,

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Zpracování studie týkající se průzkumu vlastností statistických proměnných a vztahů mezi nimi.

Zpracování studie týkající se průzkumu vlastností statistických proměnných a vztahů mezi nimi. SEMINÁRNÍ PRÁCE Zadání: Data: Statistické metody: Zpracování studie týkající se průzkumu vlastností statistických proměnných a vztahů mezi nimi. Minimálně 6 proměnných o 30 pozorováních (z toho 2 proměnné

Více

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium Management systému jakosti

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium Management systému jakosti Univerzita Pardubice Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium Management systému jakosti 2.1 Tvorba lineárních regresních modelů při analýze dat Autor práce: Přednášející:

Více

Diskrétní rozdělení Náhodná veličina má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, jestliže existuje seznam hodnot

Diskrétní rozdělení Náhodná veličina má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, jestliže existuje seznam hodnot Rozdělení Náhodná veličina Náhodná veličina je vyjádření výsledku náhodného pokusu číselnou hodnotou. Jde o reálnou funkci definovanou na množině. Rozdělení náhodné veličiny udává jakých hodnot a s jakou

Více

STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA

STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA Poslední aktualizace: 29. května 200 STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA PŘÍKLADY Pro zdárné absolvování předmětu doporučuji věnovat pozornost zejména příkladům označenými hvězdičkou. Příklady

Více

Zpracování a vyhodnocování analytických dat

Zpracování a vyhodnocování analytických dat Zpracování a vyhodnocování analytických dat naměřená data Zpracování a statistická analýza dat analytické výsledky Naměř ěřená data jedna hodnota 5,00 mg (bod 1D) navážka, odměřený objem řada dat 15,8;

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Statistika II. Jiří Neubauer

Statistika II. Jiří Neubauer Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou

Více

Lineární Regrese Hašovací Funkce

Lineární Regrese Hašovací Funkce Hašovací Funkce Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v

Více

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A skupina A 0 pro x < 1, ae x pro x 1, ), Pravděpodobnost P (X ) a P (X =.). E (X) a E ( X 1). Hustotu transformované náhodné veličiny Y = (X + 1). F(x) = x 3 pro x (0, 9), Hustotu f(x). Pravděpodobnost

Více

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie LS 2014/15 Cvičení 7: Autokorelace LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Autokorelace - teorie Zopakujte si G-M

Více

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru.

2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. Varianta I 1. Definujte pravděpodobnostní funkci. 2. Je dáno jevové pole (Ω;A) a na něm nezáporná normovaná funkce. Definujte distrubuční funkci náhodného vektoru. 3. Definujte Fisher-Snedecorovo rozdělení.

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie LS 2014/15 Cvičení 4: Statistické vlastnosti MNČ LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Upřesnění k pojmům a značení

Více

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testy dobré shody Vedoucí diplomové práce: RNDr. PhDr. Ivo

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

2. RBF neuronové sítě

2. RBF neuronové sítě 2. RBF neuronové sítě Kapitola pojednává o neuronových sítích typu RBF. V kapitole je popsána základní struktura tohoto typu neuronové sítě. Poté následuje definice a charakteristika jednotlivých radiálně

Více

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je =

Parametry hledáme tak, aby součet čtverců odchylek byl minimální. Řešením podle teorie je = Příklad 1 Metodou nejmenších čtverců nalezněte odhad lineární regresní funkce popisující závislost mezi výnosy pšenice a množstvím použitého hnojiva na základě hodnot výběrového souboru uvedeného v tabulce.

Více

Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty

Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty Bohumír Procházka, SZÚ Praha 1 Co můžeme sledovat Pro charakteristiku nebo vlastnost, kterou chceme sledovat zvolíme termín jev.

Více

Statistická analýza jednorozměrných dat

Statistická analýza jednorozměrných dat Statistická analýza jednorozměrných dat Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Univerzita Pardubice, Pardubice 31.ledna 2011 Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

STATISTICA Téma 8. Regresní a korelační analýza, regrese prostá

STATISTICA Téma 8. Regresní a korelační analýza, regrese prostá STATISTICA Téma 8. Regresní a korelační analýza, regrese prostá 1) Lineární i nelineární regrese prostá, korelace Naeditujeme data viz obr. 1. Obr. 1 V menu Statistika zvolíme submenu Pokročilé lineární/nelineární

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad

Základy teorie odhadu parametrů bodový odhad Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Odhady parametrů Úkolem výběrového šetření je podat informaci o neznámé hodnotě charakteristiky základního souboru

Více

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola

Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6. Základní aproximační úlohu lze popsat následovně: Jsou dány body [x 0, y 0 ], [x 1, y 1 ],..., [x n, y n

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Závislost náhodných veličin Úvod Předchozí přednášky: - statistické charakteristiky jednoho výběrového nebo základního souboru - vztahy mezi výběrovým a základním souborem - vztahy statistických charakteristik

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2008 2009

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2008 2009 FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ DO MNSP STAVEBNÍ INŽENÝRSTVÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2008 2009 OBOR: POZEMNÍ STAVBY (S) A. MATEMATIKA TEST. Hladina významnosti testu α při testování nulové hypotézy

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé. 1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,

Více

Využití statistických metod v medicíně (teorie informace pro aplikace VaV, vícerozměrné metody, atd.)

Využití statistických metod v medicíně (teorie informace pro aplikace VaV, vícerozměrné metody, atd.) Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Masarykova univerzita Brno Využití statistických metod v medicíně (teorie informace pro aplikace VaV, vícerozměrné metody, atd.) doc. RNDr. PhMr. Karel

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOS A SAISIKA Regresní analýza - motivace Základní úlohou regresní analýzy je nalezení vhodného modelu studované závislosti. Je nutné věnovat velkou pozornost tomu aby byla modelována REÁLNÁ

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 2: Metoda nejmenších čtverců LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Doplnění a opakování z

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

a) Základní informace o souboru Statistika: Základní statistika a tabulky: Popisné statistiky: Detaily

a) Základní informace o souboru Statistika: Základní statistika a tabulky: Popisné statistiky: Detaily Testování hypotéz Testování hypotéz jsou klasické statistické úsudky založené na nějakém apriorním předpokladu. Vyslovíme-li předpoklad o hodnotě neznámého parametru nebo o zákonu rozdělení sledované náhodné

Více

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu

MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu

Více

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek)

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek) Mária adloňová Fajn MATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (vorek) 0 Mgr. Mária adloňová FajnMATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (reklamní vorek) Mgr. Mária adloňová, 0 Vydavatel

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie Predikce Multikolinearita Cvičení 4 Zuzana Dlouhá Aplikace EM predikce obecně ekonomické prognózování, předpověď, předvídání hlavním cílem je odhad hodnot vysvětlované proměnné

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?

Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických

Více

Vícerozměrná rozdělení

Vícerozměrná rozdělení Vícerozměrná rozdělení 7. září 0 Učivo: Práce s vícerozměrnými rozděleními. Sdružené, marginální, podmíněné rozdělení pravděpodobnosti. Vektorová střední hodnota. Kovariance, korelace, kovarianční matice.

Více

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami.

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami. Maticové operace Definice Skalár Představme si nějakou množinu, jejíž prvky lze sčítat a násobit. Pěkným vzorem jsou čísla, která už známe od mala. Prvky takové množiny nazýváme skaláry. Matice Matice

Více

Regresní analýza. Eva Jarošová

Regresní analýza. Eva Jarošová Regresní analýza Eva Jarošová 1 Obsah 1. Regresní přímka 2. Možnosti zlepšení modelu 3. Testy v regresním modelu 4. Regresní diagnostika 5. Speciální využití Lineární model 2 1. Regresní přímka 3 nosnost

Více

Ekonometrie. Jiří Neubauer

Ekonometrie. Jiří Neubauer Úvod do analýzy časových řad Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Úvod do analýzy

Více

9. Úvod do teorie PDR

9. Úvod do teorie PDR 9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Matice študenti MFF 15. augusta 2008 1 12 Matice Požadavky Matice a jejich hodnost Operace s maticemi a jejich vlastnosti Inversní matice Regulární matice,

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic 7 Matice. Determinant Soustavy lineárních rovnic 7.1 Matice Definice 1. Matice typu (m, n) jesoustavam n reálných čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců a 11, a 12, a 13,..., a 1n a 21, a 22, a 23,...,

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.

10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457. 0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

2.8 ZÁKLADY VYTVÁŘENÍ TESTOVÝCH SYSTÉMŮ

2.8 ZÁKLADY VYTVÁŘENÍ TESTOVÝCH SYSTÉMŮ 2.8 ZÁKLADY VYTVÁŘENÍ TESTOVÝCH SYSTÉMŮ Vytváření testových systémů pro jednotlivé potřeby tělovýchovné praxe patří mezi hlavní otázky teorie konstrukce testů. Protože však v testové baterii nebo profilu

Více

Regrese. používáme tehdy, jestliže je vysvětlující proměnná kontinuální pokud je kategoriální, jde o ANOVA

Regrese. používáme tehdy, jestliže je vysvětlující proměnná kontinuální pokud je kategoriální, jde o ANOVA Regrese používáme tehd, jestliže je vsvětlující proměnná kontinuální pokud je kategoriální, jde o ANOVA Specifikace modelu = a + bx a závisle proměnná b x vsvětlující proměnná Cíl analýz Odhadnout hodnot

Více

3. Polynomy Verze 338.

3. Polynomy Verze 338. 3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci

Více

Statistika II. Jiří Neubauer

Statistika II. Jiří Neubauer Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Časová řada konečná posloupnost reálných hodnot určitého sledovaného ukazatele měřeného v určitých

Více