VRHY. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Zdeněk Polák a Přemysl Šedivý. Úvod 2

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "VRHY. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Zdeněk Polák a Přemysl Šedivý. Úvod 2"

Transkript

1 VRHY Studijní tet pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Zdeněk Polák a Přemysl Šedivý Obsah Úvod 1 Matematická příprava 1.1 Některévlastnostiparaboly,kružniceaelipsy Některévztahymezigoniometrickýmifunkcemi Vrhvhomogennímtíhovémpolivevakuu 7.1 Obecnékinematickézákonyvrhuvevakuu Svislývrhvzhůrusnulovoupočátečnívýškou Vodorovnývrhzvýšky h Vrhšikmývzhůrusnulovoupočátečnívýškou Geometrické vlastnosti šikmého vrhu vzhůru s nulovou počáteční výškou Ochrannáparabola Přehleddůležitýchkřivek Vrh při nezanedbatelném odporu vzduchu 5 Literatura 3 Výsledky úloh 3

2 Úvod Vrhem rozumíme pohyb tělesa, na které po uvedení do pohybu v tíhovém poli Země působí jen tíhová síla a aerodynamická síla vzduchu. Je-li počáteční rychlost tělesa mnohem menší než první kosmická rychlost, jsou rozměry trajektorie velmi malé ve srovnání s poloměrem Země. Tíhové pole v oblasti vrhu můžeme považovat za homogenní a hustotu vzduchu za konstantní. Doba letu tělesa je v takovém případě velmi malá ve srovnání s periodou otáčení Země. Zemskou rotaci můžeme tedy zanedbat a vztažnou soustavu spojenou se Zemí považovat za inerciální. Aerodynamická síla působící na letící těleso závisí na jeho okamžité rychlosti, tvaru, rozměrech a vlastnostech povrchu. Významně se projevuje i případná vlastní rotace vrženého tělesa. Přesný matematický popis vrhu ve vzduchu by byl velmi složitý. Pokud však vržené těleso má velkou hmotnost při malých rozměrech a nepohybuje se příliš rychle, může být aerodynamická síla zanedbatelná v porovnání se silou tíhovou. Pohyb pak probíhá prakticky stejně jako vrh ve vakuu, jehož kinematické zákony se dají vyjádřit jednoduchými matematickými vztahy. V tomto studijním tetu zopakujeme a doplníme poznatky o různých typech vrhů ve vakuu. Vržené těleso budeme považovat za hmotný bod, na který působí během letu jen tíhová sílafg = mg. Pro tíhové zrychlení použijeme hodnotu g=9,8m s. Dále se budeme zabývat numerickými metodami modelování vrhu ve vzduchu v případě, že aerodynamická síla působí jako odpor prostředí proti směru okamžité rychlosti. V konkrétních případech porovnáme vrh ve vzduchu s vrhem ve vakuu a posoudíme, zda je možno odpor vzduchu zanedbat. Nejprve ale projdeme některé matematické vztahy a poučky, jejichž znalosti jsou potřebné pro hladké zvládnutí následující teorie. 1 Matematická příprava 1.1 Některé vlastnosti paraboly, kružnice a elipsy Parabola je geometrické místo bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost oddanéhobodu Faoddanépřímky d,kterátímtobodemneprochází(obr.1). Bod Fsenazýváohniskoparabolyapřímka djeřídicípřímkaparaboly.vzdálenost pohniskaodřídicípřímkynazývámepoloparametrparaboly 1 ).Průvodiče 1 Vněkterýchučebnicíchse pnazýváparametrparaboly.

3 bodu Xparabolyjsouúsečky XFa XQ,kde Qjepatakolmicezbodu Xna řídicí přímku. Podle definice XF = XQ. Osa paraboly o prochází ohniskem kolmo k řídicí přímce. Na ose leží vrchol paraboly V. Q Q v N P Q 1 M ε ε X t d V F o X d v V F o p Obr.1 Obr. Tečnuparabolyvjejímbodě Xsestrojímejakoosu túhlu FXQ.Vzdálenostkaždéhobodu M X přímky todřídicípřímkyjetotižmenšínež vzdálenostodohniska.podleobr.: MN < MQ = MF.Všechnybody přímky t kromě bodu X leží tedy na vnější straně paraboly. Ze shodnosti trojúhelníků PFVa PQ 1 Qpakplyne,žebod Ptečnypůlíúsečku V Q 1 navrcholové tečně v. Při studiu vrhů budeme pracovat s parabolami, jejichž osy jsou svislé a u kterých ohnisko leží pod vrcholem. Umístíme-li počátek soustavy souřadnic dovrcholuparaboly(obr.3),platíprokaždýjejíbod X[,y]; a <0 ( XF = + y p ( = XQ ) = y + p, ) + p 4 p y + y = p 4 + p y + y, =p y = py. (1) Jestližetečnavkterémkolivbodě Xparabolypůlíúheljehoprůvodičů,znamenáto,že světelné paprsky, které dopadají na parabolické zrcadlo ve směru optické osy, se po odrazu soustřeďují do ohniska. 3

4 Vztah(1) se nazývá vrcholová rovnice paraboly pro parabolu umístěnou podle obr. 3. Posuneme-livrcholparabolydobodu V[m,n](obr.4),změníserovnice paraboly na Po dosazení dostaneme: ( ) = py, kde = m, y = y n. ( m) = p(y n). () p/ p/ y=o V=O F Q d =v y y n O V[m,n] m X[, y] Obr.3 Obr.4 Kružnice se středem v počátku soustavy souřadnic a poloměrem r má rovnici + y = r. (3) Posuneme-li střed kružnice do bodu S[m, n](obr. 5), změní se rovnice kružnice na ( ) +(y ) =( m) +(y n) = r. (4) Elipsa je geometrické místo bodů v rovině, které mají od dvou pevných bodů F 1, F stálýsoučetvzdálenostía > F 1 F (obr.6).body F 1, F se nazývajíohniskaelipsy,přímka F 1 F jehlavníosaelipsy.střed Súsečky F 1 F je střed elipsy, kolmice vedená středem elipsy k hlavní ose se nazývá vedlejší osaelipsy.průsečíky A, B, C, Delipsysosamisenazývajívrcholyelipsy.Je-li Xbodelipsy,pakúsečky XF 1 a XF jsoujehoprůvodiče. 4

5 y y n r S[m, n] r O m Obr.5 Vtrojúhelníku F 1 SCje F 1 C =adélkahlavnípoloosy, SC =bjedélka vedlejšípoloosya SF 1 =ejeecentricitaelipsy.platí a C a = b + e. (5) a b B e S F A F 1 X D Obr. 6 Umístíme-li elipsu podle obr. 7, platí pro kterýkoliv bod X elipsy XF 1 + XF = (+e) + y + ( e) + y =a. Umocněním této rovnosti a algebraickou úpravou dojdeme ke vztahu (+e) + y ( e) + y =a ( + y + e ) a dalším umocněním a úpravou dojdeme ke vztahu (a e ) + a y = a (a e ), 5

6 který můžeme upravit na rovnici elipsy v osové poloze b a a + y y C b=1. (6) X A F 1 e S=O F B D Obr. 7 Posuneme-listředelipsydobodu S[m,n](obr.8),změníserovniceelipsyna a + y m) =( b a + y y (y n) b =1. (7) n a b S[m, n] O m Obr.8 Pokudelipsuještěotočímeokolojejíhostředuo90 tak,abyhlavníosabyla rovnoběžnásosou y,budemítjejírovnicetvar ( m) (y n) b + a =1. (8) 6

7 1. Některé vztahy mezi goniometrickými funkcemi V tomto studijním tetu použijeme následující goniometrické vzorce: Prokaždé α R: sin α+cos α=1 sinα=sinαcosα cosα=cos α sin α Pro α 90 + k 180, k Z: sinα cosα =tg α cos 1 α= 1+tg α Pro α k 180 cosα k Z: sinα =cotg α Pro α k 90 k Z: cotg α=tg(90 α) Pro všechny hodnoty α, β, pro které jsou funkce tangens a zlomek definovány: tg α+tg β tg(α+β)= 1 tg αtg β Vrhvhomogennímtíhovémpolivevakuu.1 Obecné kinematické zákony vrhu ve vakuu Hmotnýbod,kterémuvčase t=0udělímepočátečnírychlostv0anakterý pakpůsobíjentíhovásílafg= mg,sepohybujeskonstantnímtíhovýmzrychlenímg. Koná složený pohyb, při kterém současně probíhá rovnoměrný přímočarý pohyb stálou rychlostív0 a rovnoměrně zrychlený volný pád ve svislém směru. Oba pohyby jsou vzájemně nezávislé. Počáteční rychlostv0 svírá s vodorovnou rovinou elevační úhel α. Podle jeho velikosti rozlišujeme vrhsvislývzhůru(α=90 ), vrhšikmývzhůru(90 > α >0 ), vrhvodorovný(α=0 ), vrhšikmýdolů(0 > α > 90 ), vrhsvislýdolů(α= 90 ). Trajektorie šikmého nebo vodorovného vrhu leží ve svislé rovině určené počátečnímbodem X 0 avektorempočátečnírychlosti.propopispohybupoužíváme dvojrozměrnou soustavou souřadnic Oy, ve které obvykle volíme klad- 7

8 nou poloosu ve směru vodorovné složky počáteční rychlostiv0a kladnou poloosu y orientujeme svisle vzhůru(obr. 9). Polohahmotnéhobodupouplynutídoby todzačátkuvrhujeurčenapolohovýmvektorem r=r0+v0t+ 1 gt, (9) kterýjesoučtempolohovéhovektorupočátečníhobodu X 0,rovnoměrnéhoposunutí ve směru počáteční rychlosti a rovnoměrně zrychleného posunutí volného pádu. V souřadnicové soustavě Oy platí r0=( 0,y 0 )v0=(v 0 cosα,v 0 sinα)g=(0, g). Vektorový vztah(9) můžeme tedy rozepsat podle souřadnic a dostaneme soustavu dvou rovnic = 0 + v 0 tcosα, y= y 0 + v 0 tsinα 1 gt. (10) Okamžitá rychlost vrženého hmotného bodu je vektorovým součtem konstantní rychlostiv0 rovnoměrného pohybu a rychlosti volného pádu(obr. 9) v=v0+gt. (11) Rozepsáním podle souřadnic dostaneme soustavu rovnic v = v 0 = v 0 cosα, v y = v 0y gt=v 0 sinα gt. (1) Pokudje v y >0,hmotnýbodstoupá,pokudje v y <0,klesá.Vnejvyššímbodě trajektorieje v y =0.Vektorokamžitérychlostišikméhonebovodorovného vrhu má vždy směr tečny v příslušném bodě trajektorie. Jeho směrový úhel ϕ určíme pomocí vztahu tg ϕ= v y v = v 0sinα gt v 0 cosα. (13) Při svislém vrhu se hmotný bod nachází trvale na jediné svislé přímce. Tu volíme jako osu y soustavy souřadnic Oy a kladnou poloosu y orientujeme svisle vzhůru. Osu můžeme volit v libovolném vodorovném směru. Uplatní se jen svislé souřadnice kinematických veličin, vodorovné souřadnice jsou trvale nulové. 8

9 y g v0t r0 r O Obr.9 X 0 v0 α X vy D 1 gt v0 v ϕ vgt. Svislý vrh vzhůru s nulovou počáteční výškou Vyjdemezobr.10.Vtomtopřípadějer0=(0,0),v0=(0,v 0 ) akinematické zákony vrhu(10),(1) se zredukují na vztahy y= v 0 t 1 gt, v y = v 0 gt. (14) Usvisléhovrhuvzhůrunásnejčastějizajímádobavýstupu t v,dobaletu t d a výška výstupu H. V okamžiku dosažení nejvyššího bodu trajektorie platí t=t v, v y = v 0 gt v =0, t v = v 0 g, V okamžiku dopadu platí t=t d, y= v 0 t d 1 gt d= y= H= v 0 t v 1 gt v = v 0 g v 0 g = v 0 g. ( v 0 1 ) gt d t d =0, t d = v 0 g =t v. 9

10 v y V t=t v : v y =0, y= H Hv0 X 0 =O t=t d : y=0 Obr. 10 Vztah pro výpočet výšky svislého vrhu vzhůru odvodíme také jednoduše užitím zákona zachování energie: Kinetická energie hmotného bodu na počátku vrhu je stejná jako potenciální energie v nejvyšším bodě trajektorie. 1 mv 0 = mgh, H= v 0 g. (15) Úlohy 1. Předmět vymrštěný při výbuchu svisle vzhůru dopadl zpět za 5,5 s. Určete jeho počáteční rychlost a výšku výstupu. Odpor vzduchu zanedbejte..míčspadlzvýšky1,6maodrazilsedovýšky1,m.porovnejtevelikost rychlosti těsně před dopadem a těsně po odrazu. 10

11 .3 Vodorovnývrhzvýšky h Vyjdeme z obr. 11. Osu volíme v rovině dopadu, osa y prochází počátečním bodem X 0.Vtomtopřípaděplatír0 =(0,h),v0 =(v 0,0). Kinematické zákony(10),(1) se zredukují na vztahy y X 0 h v0 =v 0 t, y=h 1 gt, (16) v = v 0 v, v y = gt. (17) ϕ O d D v0 ϕ d vdgt d Obr. 11 Dobuletu t d adélkuvrhu durčímezpodmínky,ževčase t=t d platí y=0. h 1 gt d =0 t h d= g, d=v h 0t d = v 0 g. (18) Rychlost v okamžiku dopadu má velikost v d = v0 +(gt d) = v0 +gh. (19) Ke stejnému výsledku dojdeme i ze zákona zachování energie. Kinetická energie hmotného bodu v okamžiku dopadu je rovna součtu potenciální a kinetické energie na počátku vrhu: 1 mv d= 1 mv 0+ mgh v d = v 0 +gh. Pro směrový úhel vektoru rychlosti v okamžiku dopadu platí tg ϕ d = gt d v 0. (0) 11

12 Příklad 1 Zvodorovnétrubkyzakončenévesvisléstěněvevýšce1,00mvytékávodaa dopadávevzdálenosti1,5modstěny.určeterychlostvodyvústítrubkya v místě dopadu. Řešte obecně a pro dané hodnoty. Odpor vzduchu zanedbejte. Řešení Vyjdeme ze vztahů(18),(19) a(0). Platí: h t d = g =0,45s, v 0= d =,77m s 1, t d v= v 0 +gh=5,m s 1 tg ϕ= gt d v 0 = 1,60, ϕ= 58. Všimněme si nyní některých geometrických vlastností trajektorie vodorovného vrhu. V rovnicích(16) můžeme vyloučit čas: t= v 0, y= h 1 g ( v 0 ). Úpravou dostaneme rovnici trajektorie vodorovného vrhu ve vrcholovém tvaru: = v 0 (h y)=p(h y). (1) g Vrcholparabolyležívbodě X 0 =[0,h],poloparametrje p= v 0 g. () Tečnu k trajektorii v bodě dopadu a ohnisko paraboly můžeme určit podle obr. 1. Platí tg ϕ d = gt d v 0 = gt d v 0 t d = h d = h d V P = PD 1 = d, V F = V P tg ϕ d = d d h = d 4h = v 0 t d gt = v 0 d g = p. 1

13 p y V=X 0 Fgv0 ϕ d d P D 1 ϕ d h p D K vd Obr. 1 V okolí vrcholu můžeme parabolu velmi přesně nahradit obloukem oskulační kružnice. Určeme její poloměr, který nazýváme poloměr křivosti ve vrcholu. Tíhová síla na počátku vodorovného vrhu působí kolmo k vektoru rychlosti. Pohyb v malém počátečním úseku tedy probíhá jako rovnoměrný pohyb po kružnici a tíhové zrychlení se uplatní jako zrychlení dostředivé: a d = v 0 = g, = v 0 g = p. (3) Poloměr oskulační kružnice ve vrcholu paraboly je roven jejímu poloparametru. Střed křivosti K leží ve dvojnásobné vzdálenosti od vrcholu než ohnisko F (obr.1). Úloha 3. Nakreslete ve vhodném měřítku přibližně tvar trajektorie vody v příkladu 1. Postupujte přitom podle obr. 1: Sestrojte tečnu k trajektorii v bodě dopadu. Nalezněte ohnisko a střed oskulační kružnice ve vrcholu. Sestrojte obloukoskulačníkružnice.pomocívhodnéhokřivítka,nebo odruky nakreslete křivku, která v blízkosti vrcholu bude splývat s oskulační kružnicí avbodědopadusebudedotýkattečny. 13

14 .4 Vrh šikmý vzhůru s nulovou počáteční výškou Vyjdemezobr.13.Volíme O=X 0 akinematickézákony(10),(1)sezjednoduší na =v 0 tcosα, y= v 0 tsinα 1 gt, (4) v = v 0 cosα, v y = v 0 v sinα gt. (5) y Vv0 ϕ h O=X 0 v0yv0v0 α d D ϕd Obr. 13 vd Vrcholutrajektorie V dosáhnehmotnýbodzadobuvýstupu t v.včase t=t v platí v y = v 0 sinα gt v =0 t v = v 0sinα. (6) g Souřadnice vrcholu jsou V = v 0 t v cosα= v 0 g sinαcosα= v 0 sinα, (7) g y V = v 0 t v sinα 1 gt v= v 0sin α g v 0sin α g = v 0 g sin α. (8) Výraz v 0 g = H jerovenvýšcesvisléhovrhuvzhůruspočátečnírychlostí v 0. Zavedením této substituce dostaneme V = Hsinα, y V = Hsin α. (9) Zvětšujeme-lielevačníúhel,výškašikméhovrhuvzhůru h=y V Pro α=90 jesinα=1, h=h. sezvětšuje. 14

15 Vokamžikudopaduje t=t d, y=v 0 t d sinα 1 gt d = t d ( v 0 sinα 1 ) gt d =0, Délka šikmého vrhu je t d = v 0 g sinα=t v. (30) d= D = v 0 t d cosα= v 0 g sinαcosα=hsinα. (31) Zvětšujeme-li elevační úhel, délka šikmého vrhu se nejprve zvětšuje, až pro sinα=1,tj.pro α=45 dosáhnemaima d ma =H.Přidalšímzvětšování elevačního úhlu se délka vrhu zmenšuje(obr. 14). H y ,5H O 15 H Obr. 14 Vztah pro výpočet výšky vrhu můžeme také odvodit užitím zákona zachování energie. Počáteční kinetická energie hmotného bodu se rovná součtu kinetické a potenciální energie v libovolném bodě trajektorie: 1 mv 0= mgy+ 1 mv. (3) Vevrcholutrajektorie,kde y=h, v y =0, v= v = v 0 cosα dostaneme 1 mv 0 = mgh+1 mv 0 cos α, h= v 0 g (1 cos α)=hsin α. 15

16 Vztah(3) také umožňuje určit velikost rychlosti vrženého hmotného bodu v libovolné výšce y: ( ) v v = v0 gy=g 0 g y =g(h y), v= g(h y). (33) Hmotnýbod mátedy vevýšce y stejně velkourychlost,jakokdybypadal volnýmpádemzvýšky Haprolétldráhu H y. Směr okamžité rychlosti hmotného bodu závisí na jeho vodorovné souřadnici podle vztahu tg ϕ= v y = v 0sinα gt =tg α v v 0 cosα g v 0 cos α =tg α Hcos α (34) Příklad Míč ležící na fotbalovém hřišti byl vykopnut do vzdálenosti 5 m, kam dopadl zadobu1,9s.určetevelikostasměrjehopočátečnírychlostiavýšku,dokteré během letu vystoupil. Řešte obecně a pak pro dané hodnoty. Odpor vzduchu zanedbejte. Řešení Vyjdeme ze vztahů(8),(30) a(31). Platí: t d d = Úlohy 4v 0 sin α g v 0 sinαcosα g h d = = tg α g v 0 sin α g v 0 sinαcosα g = tg α 4, tg α= gt d d =0,7076, α=35,3,, h= dtg α 4 v 0 = gt d sinα =16,1m s 1. = gt d 8 =4,4m, 4.Kámenvystřelenýzprakusvislevzhůruvystoupildovýše40m.Podjakým elevačním úhlem bychom museli kámen vystřelit stejně velkou počáteční rychlostí, aby zasáhl cíl ležící ve vodorovné rovině procházející místem výstřelu a vzdálený 50 m? Odpor vzduchu zanedbejte. 5. Jaký musí být elevační úhel šikmého vrhu s nulovou počáteční výškou, aby délka a výška vrhu byly stejné? 16

17 .5 Geometrické vlastnosti trajektorie šikmého vrhu vzhůru s nulovou počáteční výškou V rovnicích(4) vyloučíme čas a získaný vztah upravíme: t= ( ) v 0 cosα, y= v 0sinα v 0 cosα 1 g, v 0 cosα y=tg α g 1 v0 cos α = tg α 4Hcos α, (35) 4Hsinαcosα= 4Hycos α, ( Hsinαcosα) = 4Hycos α+4h sin αcos α, ( Hsinα) = 4Hcos α(y Hsin α)= p(y Hsin α). (36) Dostalijsmevrcholovourovniciparabolysvrcholem V =[Hsinα,Hsin α] (viz také vztahy(9)) a poloparametrem p=hcos α. (37) y d H H H O S α v0 k f e K V F p p p D E Obr

18 Nyníjižpodleobr.15snadnourčímesouřadniceohniska Fastředuoskulační kružnice K: F = K = V = Hsinα, (38) y F = y V p = H(sin α cos α)= Hcosα, (39) y K = y V p=h(sin α cos α)=h(3sin α ). (40) Rovnice řídicí přímky d je pak y= y V + p = H(sin α+cos α)=h. (41) Výsledek nezávisí na elevačním úhlu α. Všechny paraboly, které dostaneme pro určitouvelikostpočátečnírychlosti v 0 arůznéelevačníúhly,majítedytutéž řídicí přímku. Příklad 3 Pro všechny parabolické trajektorie vrhů s nulovou počáteční výškou a stejně velkou počáteční rychlostí určete a) geometrické místo ohnisek, b) geometrické místo vrcholů, c) geometrické místo středů oskulačních kružnic ve vrcholech. Řešení a) Souřadnice ohnisek splňují vztah F+ y F= H (sin α+cos α)=h, (4) cožjerovnicekružnice f opoloměru H sestředemvpočátkusoustavy souřadnic. b) Souřadnice vrcholů V splňují vztahy: V = H sin α=4h sin αcos α, y V = Hsin α, V 4y V = Hcos α, V 4y V + y V = H(cos α+sin α)=h, V+4yV=4Hy v, V+4y V 4Hy V + H = H, ( y V H ) V H + ( ) =1, (43) H 18

19 Dostalijsmerovnicielipsy v,jejížstředležívbodě S[0, H ],hlavnípoloosa mádélku H ajerovnoběžnásosou,vedlejšípoloosamádélku H aje rovnoběžná s osou y. c) Souřadnice středů K vrcholových oskulačních kružnic splňují vztahy: y K +H 3 = Hsin α, K = H sin α=4h sin αcos α, 3 K 4(y K +H) = Hcos α, y K +H K 4(y K +H) = H, 4(y K +H) +9 K =1H(y K+H), 9 K+4y K+4y K H+ H =9H, ( y K + H ) K H + ) =1, (44) ( 3H Dostalijsmerovnicielipsy e,jejížstředležívbodě E[0, H ],hlavnípoloosa mádélku 3H ajerovnoběžnásosou y,vedlejšípoloosamádélku Haje rovnoběžná s osou. Geometrická místa, která jsme určili v tomto příkladě, jsou zakreslena jako křivky f, va enaobr.15anaobr.19.hmotnýbodovšemproběhnevrcholem parabolické trajektorie jen při šikmém vrhu vzhůru a při vodorovného vrhu, tedypro0 α<90.tomutointervaluodpovídajípravépolovinyzískaných křivek včetně jejich dolních bodů, ale bez společného horního bodu. Vlevo od osy y se nacházejí vrcholy, ohniska a středy oskulačních kružnic parabolických trajektoriíproelevačníúhlyvintervalu0>α> 90,kdysejednáošikmý vrh dolů a vrcholová část paraboly už není součástí trajektorie. Úloha 6. Určete poloměr křivosti ve vrcholu trajektorie šikmého vrhu vzhůru s elevačnímúhlem60,jehožpočátečnírychlostmávelikost10m s 1. 19

20 .6 Ochranná parabola Prozkoumejme nyní množinu bodů ve svislé rovině, které můžeme zasáhnout hmotným bodem vrženým z počátku soustavy souřadnic při dané velikosti počátečnírychlosti v 0.Abychomzasáhlinějakýbod X[,y],musímezvolitvhodný elevační úhel α. Trajektorie vrhu musí splňovat rovnici(35), kterou upravíme tak, aby obsahovala jedinou goniometrickou funkci úhlu α: y= tg α 4Hcos α = tg α 1+tg α 4H, (45) tg α 4Htg α+4hy+ =0. (46) Dostali jsme kvadratickou rovnici s neznámou tg α, jejíž diskriminant je D=4 (4H 4Hy ). (47) Jestliže D <0,nemárovnice(46)reálnéřešeníabod Xnelzezasáhnout.Pro D >0,eistujídvěhodnotyúhlu αprokterévrženýhmotnýbodprojdebodem Xaplatí tg α 1, = H ± 4H 4Hy. (48) Jediné řešení dostaneme, jestliže y D=0 = 4H(y H). (49) H D=0 D<0 D>0 v O H Obr. 16 0

21 Body,kterésplňujítutopodmínku,ležínaparabolesvrcholem[0,H]apoloparametrem p = H. Její ohnisko se nachází v počátku soustavy souřadnic ařídicípřímkamárovnici y=4h. Tatokřivkaohraničujeoblast,kterou můžeme zasáhnout, a nazývá se ochranná parabola(obr. 16, 19). Leží-libod Xuvnitřelipsyvrcholů v,pakpřivolběvětšíhoúhlu α 1,který dostanemezevztahu(48),jebod Xzasaženvrženýmtělesempřisestupuapři volběmenšíhoúhlu α jezasaženpřivýstupu.leží-libod Xnakřivce v,je přivolběvětšíhoúhlu α 1 zasaženpřisestupuapřivolběmenšíhoúhlu α je zasažen ve vodorovném směru. Pokud leží vně elipsy vrcholů, ale ještě uvnitř ochranné paraboly, je v obou případech zasažen při sestupu. Hmotnýbodvrženýpodúhlem αsedotkneochrannéparabolyvbodě T o souřadnicích d= T = H tg α, h=y T= H H tg α. (50) Vbodě Tmárychlosthmotnéhobodusměrtečnykochrannéparaboleiktrajektorii vrhu(obr. 17). v y T v0 h α d Obr. 17 Znalost ochranné paraboly umožňuje jednoduše řešit problémy maimálního délky vrhu, maimální výšky výstupu, minimální rychlosti potřebné k zasažení zvoleného bodu apod., které jinak vedou k použití diferenciálního počtu. Příklad 4. Zalévání terasovité zahrady Natočíme-lizahradníhadicisvislevzhůru,stříkávodadovýše H=9,5mnad ústí hadice. Zahradník bude zalévat vodorovný záhon, který se nachází ve výšce h=1,5mnadústímhadice. a) Stanovte maimální vodorovnou vzdálenost d místa dopadu vody na záhon od ústí hadice. 1

22 b) Určete pro tento případ elevační úhel α vytékající vody. c)určeteprotentopřípadvelikost vasměrovýúhel ϕrychlostivodyvmístě dopadu. Úlohu řešte nejprve obecně, pak pro dané hodnoty. Odpor vzduchu zanedbejte. Řešení a) Počátek soustavy souřadnic zvolíme v ústí hadice. Situaci znázorňuje obr. 17. Nejvzdálenější bod dopadu na záhoně nalezneme jako průsečík ochranné parabolyspřímkou y= h: = 4H(y H) y= h =d>0, d= H(H h)=17,4m. b) Příslušný elevační úhel určíme pomocí vztahu(50): d= H tg α tg α= H d = 1 1 h H =1,0897, α=47,5. c) Velikost rychlosti dopadu určíme podle vztahu(33): v= g(h h)=1,5m s 1. Pro úhel dopadu platí podle vztahu(34): tg ϕ=tg α d Hcos α =tg α 1 tg αcos α = sinα cosα 1 sinαcosα, tg ϕ= sin α 1 sinαcosα = cotg α, ϕ= (90 α)= 4,5. Příklad 5 Protirovnémusvahusesklonem βhodímekámenrychlostíovelikosti v 0. a) Určete největší vzdálenost L ve směru spádnice, do které může doletět. b)ověřte,ževtomtopřípaděmusímezvolitelevačníúhel α=β/+45. Počáteční vzdálenost kamene od roviny svahu a odpor vzduchu zanedbejte.

23 Řešení a)vyjdemezobr.18.boddopadubude průsečíkem roviny svahu s ochrannou parabolou. Ze vztahů y H =4H(H y), =Lcosβ, y= Lsinβ dostáváme kvadratickou rovnici (Lcosβ) +4HLsinβ 4H =0. Řešením úlohy je kladný kořen β L Obr. 18 L= 4Hsinβ+ 16H sin β+16h cos β cos β L= H 1+sinβ. b)elevačníúhelsplňujevztah(50).znějplyne Současně platí Úloha tg α= H Lcosβ =1+sinβ cosβ. = H(1 sinβ) 1 sin β ( ) tg β β +tg45 tg β +1 sin β +cos β tg +45 = 1 tg β = tg45 1 tg β = cos β sin β = = ( sin β +cos β ) cos β β sin tg α=tg = sin β +sin β cos β β +cos cosβ ( ) β +45 α= β +45., = 1+sinβ cosβ 7. Určete maimální vodorovnou vzdálenost, do které můžeme hodit kámen zbalkonu,je-lipočátečníbodhoduvevýšce15mapočátečnírychlost kamenemávelikost0m s 1.Jakýelevačníúhelmusímezvolit?Odpor vzduchu zanedbejte. 3

24 .7 Přehled důležitých křivek y H d H c v H S 45 O H b a H f H E H e H Obr.19:a)parabolickátrajektorieproelevačníúhel45, b) ochranná parabola, c) řídící přímka všech parabolických trajektorií, d) řídící přímka ochranné paraboly, e) elipsa středů křivosti, f) kružnice ohnisek, v) elipsa vrcholů 4

25 3 Vrh při nezanedbatelném odporu vzduchu Působení vzduchu na letící těleso může být velmi komplikované, zvláště když se jedná o těleso nepravidelného tvaru, nebo těleso, které se během letu otáčí. Uplatnísesamozřejměipohybvzduchu vítr.myseomezímenanejjednodušší případ, kdy vrženým tělesem je koule, která se neotáčí, a vzduch je v klidu vzhledem ke zvolené vztažné soustavě. Aerostatickou vztlakovou sílu zanedbáme. Pokud je rychlost koulevpodstatně menší než rychlost zvuku ve vzduchu, platí pro velikost odporu vzduchu Newtonův vzorec F o = 1 CS v, (51) kde S = πr jeobsahstředovéhořezukoule, = 1,15kg m 3 jehustota vzduchu za obvyklých podmínek a C = 0,48 je součinitel odporu. Síla odporu vzduchu má opačný směr než okamžitá rychlost koule, což můžeme vyjádřit vektorovýmvztahem Fo= 1 CS vv. (5) Pohyb koule jako hmotného bodu letícího v klidném vzduchu v homogenním tíhovém poli se řídí pohybovou rovnicí ma=fg+fo= mg 1 CS vv, a=g CS v (53) mv. Z této rovnice nedovedeme odvodit jednoduché kinematické zákony, jaké popisují vrh ve vakuu. Průběh pohybu však můžeme s potřebnou přesností popsat pomocí numerického modelování. Při numerickém modelování určíme nejprve rychlost a polohu hmotného boduvčasech t 0, t 1, t, t 3,...,kterétvoříaritmetickouposloupnostskonstantnídiferencí t=t i+1 t i.ztabulekvypočtenýchhodnotpaksestrojíme grafy časových závislostí některých kinematických veličin, nebo v určitém měřítku zobrazíme trajektorii pohybu, na které můžeme můžeme vyznačit posloupnost okamžitých poloh hmotného bodu. Eistuje řada metod numerického modelování, se kterými se můžete seznámitnapř.vestudijníchtetech[9]a[11].myzdepoužijemejednuznejjednodušších. Zvolíme-lidostatečněmalýčasovýkrok,můžemevintervalu t i, t i+1 považovat výslednou sílu, která na hmotný bod působí, a tedy i jeho zrychlení, za konstantní. Za tohoto předpokladu platí ri+1 =ri+vi t+ 1 ai( t), (54) 5

26 vi+1 =vi+ai t, (55) kdeai,vi,rijsouzrychlení,rychlostapolohovývektorvčase t i, vi+1,ri+1jsourychlostapolohovývektorvčase t i+1 = t i + t. Zrychleníai na začátku intervalu určíme z pohybové rovnice. Naše úvaha vede k postupnému cyklickému výpočtu jednotlivých polohových vektorů a okamžitých rychlostí, který lze snadno naprogramovat pro osobní počítač. Ten postupně provede výpočty: r1 =r0+v0 t+ 1 a0( t), v1 =v0+a0 t, r =r1+v1 t+ 1 a1( t), v =v1+a1 t,. Přesnost výpočtů závisí na volbě časového kroku t čím menší časový krok zvolíme, tím menší jsou relativní chyby dílčích výpočtů a tím lépe získané posloupnosti vypočtených hodnot popisují pohyb tělesa. Modelování pohybů právě popsaným způsobem velmi usnadňuje výpočetní a grafický systém FAMULUS, který zjednodušuje práci s přípravou grafů a tabulek a dovoluje uživateli, aby se soustředil na přípravu algoritmu výpočtu vycházejícího z pohybové rovnice. Další možnost numerického modelování poskytuje tabulkový kalkulátor EXCEL. Cyklické výpočty zde provádíme kopírováním skupiny buněk s příslušnými vzorci. Oběma způsoby pomocí systému FAMULUS i v EXCELu vyřešíme následující příklad. Příklad 6 a) Modelujte vrh lehkoatletické koule vržené z výšky,0 m pod elevačním úhlem40 rychlostíovelikosti14,0m s 1.Koulemáhmotnost7,6kga poloměr 6,0 cm. Model pohybu v klidném vzduchu získaný metodou numerického modelování porovnejte s modelem vrhu ve vakuu získaným užitím vzorců(10) a posuďte, jak ovlivní odpor vzduchu délku vrhu. b)stejnouúlohuřeštepromíčeknastolnítenisohmotnosti3,0gapoloměru 14mm. Řešení v systému FAMULUS Výpis programu pro FAMULUS a modely pohybů jsou na následujících stránkách(obr. 0, 1). Program cyklicky opakuje výpočty v části model, vypočtené polohyhmotnéhobodupřivrhuvevzduchuavevakuuzapisujedotabulky a ve zvoleném měřítku vynáší do soustavy souřadnic Oy. Zablokováním 4. řádkuprogramuauvolněním5.řádkupřejdemeodúkolua)kúkolub). 6

27 Z modelu na obr. 0 zjistíme, že lehkoatletická koule ve vzduchu dopadne za,034svevzdálenosti1,70m,zatímcovevakuubydopadlaza,037s ve vzdálenosti 1,85 m. Výsledky se liší jen nepatrně a trajektorie koule ve vzduchu, balistická křivka, téměř splývá s trajektorií ve vakuu. Z toho je zřejmé, že při vrhu lehkoatletické koule můžeme odpor vzduchu prakticky zanedbat a vztahy(10) dostatečně přesně popisují i pohyb koule ve vzduchu. Podstatnějinýjemodelvrhumíčkuprostolnítenisnaobr.1.Míčekdopadneužza1,815svevzdálenosti1,56majehobalistickákřivkajenesouměrná, značně odlišná od paraboly. Účinek odporu vzduchu už nemůžeme zanedbat a při popisu pohybu míčku dáme přednost numerickému modelu. Výpis programu pro FAMULUS Porovnání vrhu koule ve vakuu a ve vzduchu proměnné, konstanty, procedury a funkce g=9.8; C=0.48; ro=1.15 r=0.06; m=7.6! lehkoatletická koule! r=0.014; m=0.0030! míček na stol. tenis L=0.5*C*ro*pi*r^/m dt= počáteční hodnoty t=0; v0=14; al=40; 0=0; y0= =0; y=y0; 1=0; y1=y0 v=v0*cos(al*pi/180); vy=v0*sin(al*pi/180) DISP model v=sqrt(v^+vy^) a=-l*v*v; ay=-g-l*v*vy =+v*dt+a*dt^; y=y+vy*dt+ay*dt^ v=v+a*dt; vy=vy+ay*dt t=t+dt 1=v0*cos(al*pi/180)*t; y1=y0+v0*sin(al*pi/180)*t-g*t^/

28 Obr. 0 Model letu lehkoatletické koule Obr.1Modelvrhumíčkunastolnítenis 8

29 Řešení v EXCELu Listsvýpočtemjenaobr..Prvnídvařádkyjsouvěnoványvloženíkonstant g, C,, r, mavýpočtupomocnékonstanty L =0,5C πr.načtvrtéma pátémřádkujsouvloženypočátečníhodnoty 0, y 0, v 0, αačasovýkrokdt. Pro přehlednější zápis vzorců přiřadíme buňkám s hodnotami zadaných veličin akonstanty LnázvypříkazemVložit Název Definovat.Názvyfungují jako absolutní adresy. Vlastní tabulka numerického výpočtu modelu pohybu ve vzduchu a výpočtu pohybu ve vakuu pomocí kinematických zákonů začíná záhlavím na sedmém řádku. Na osmém řádku v buňkách A8 až E8 jsou dopočteny počáteční hodnoty t=0, = 0, y=y 0, v 0 = v 0 cosα, v y0 = v 0 sinα.vbuňkáchh8a I8 jsou kinematické vzorce pro výpočet pohybu ve vakuu. Vzorce pro cyklický výpočetmodelupohybuvevzduchuzačínajívbuňkáchf8 ag8apokračujína devátém řádku v buňkách A9 až E9. Přehled použitých vzorců je v následující tabulce: Buňka Vzorec Význam H =0,5*C*D*PI()*E^/F L=0,5C πr /m D8 =v0*cos(al*pi()/180) v 0 = v 0 cosα E8 =v0*sin(al*pi()/180) v 0y = v 0 sinα F8 =-L*D8*(D8^+E8^)^0,5 a i = Lv i v i G8 =-g-l*e8*(d8^+e8^)^0,5 a yi = g Lv yi v i H8 =$D$8*A8 =v 0 t I8 =y0+$e$8*a8-0,5*g*a8^ y= y 0 + v 0y t 0,5gt A9 =A8+dt t i+1 = t i + t B9 =B8+D8*dt+0,5*F8*dt^ i+1 = i + v i t+0,5a i ( t) C9 =C8+E8*dt+0,5*G8*dt^ y i+1 = y i + v yi t+0,5a yi ( t) D9 =D8+F8*dt v (i+1) = v i + a i t E9 =E8+G8*dt v y(i+1) = v yi + a yi t Po vypsání vzorců nejprve vybereme kurzorem oblast F8:I8 a zkopírujeme ji o řádek níže do oblasti F9:I9. Kurzor posuneme do pravého dolního rohu buňky I8, kde se změní ve vyplňovací táhlo, které má podobu černého křížku. Stiskneme levé tlačítko myši a vyplňovací táhlo posuneme do pravého dolního rohu buňky I9. Podobně postupujeme při následujícím výpočtu. Vybereme kurzorem na devátém řádku oblast A9:I9, vytvoříme vyplňovací táhlo v pravém dolním rohu buňky I9, stiskneme levé tlačítko myši a táhneme myš dolů. Vzorce v buňkách se kopírují na další řádky, přičemž se mění jejich relativní adresy. Vzápětí se provedouvýpočtyvzorců.vesloupcíchbažgvznikámodelvrhuvevzduchu,vesloupcíchhaimodelvrhuvevakuu.pohybkurzoruzastavíme,když 9

30 oběhodnotyveličin yay 1 klesnoupodnulu.vnašempříkladětonastanena řádku045.ztabulkypakvyčteme,zevevzduchukouledopadneza,034sve vzdálenosti1,69m,zatímcovevakuubyletěla,037sadopadlabyvevzdálenosti 1,85 m. Dostali jsme prakticky stejné výsledky jako při použití systému FAMULUS. Nepatrná odchylka u numerického modelu pohybu ve vzduchu je způsobena různým zaokrouhlováním čísel při dílčích výpočtech.. Obr. Výpočet letu lehkoatletické koule v EXCELu 30

31 Ktabulcenaobr.můžemevEXCELusnadnosestrojitigrafzobrazující v určitém měřítku obě trajektorie a posoudit, do jaké míry se shodují(obr. 3). Nejprve vytvoříme XY bodový graf z dat v oblasti B8:C047, který zobrazuje pohybvevzduchuapakpomocínabídkyzdrojovádata Řada Přidat doplníme průběh vrhu ve vakuu vložením dat z oblasti H8:I047. \P [P Obr. 3 Chceme-li modelovat pohyb míčku na stolní tenis, stačí změnit příslušným způsobemhodnotyvbuňkácheaf. Úloha 8. Vraťte se k příkladu 6 a porovnejte počáteční velikost odporu vzduchu a tíhovou sílu při vrhu lehkoatletické koule i při vrhu míčku na stolní tenis. 9.Golfovýmíčekmápoloměr1mmahmotnost45g.Součinitelodporuje 0,45. Modelujte jeho šikmý vrh ve vzduchu při nulové počáteční výšce a elevačnímúhlu45.prorůznévelikostipočátečnírychlostijejporovnejte s pohybem ve vakuu. Zjistěte, při které velikosti počáteční rychlosti je délka vrhuvevzduchuo10%menšíneždélkavrhuvevakuu. 31

POHYBY TĚLESA V ODPORUJÍCÍM PROSTŘEDÍ

POHYBY TĚLESA V ODPORUJÍCÍM PROSTŘEDÍ POHYBY TĚLESA V ODPORUJÍCÍM PROSTŘEDÍ Studijní text pro řešitele FO, kat. B Ivo Volf, Přemysl Šedivý Úvod Základní zákon klasické mechaniky, zákon síly, který obvykle zapisujeme vetvaru F= m a, (1) umožňuje

Více

BIOMECHANIKA KINEMATIKA

BIOMECHANIKA KINEMATIKA BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti

Více

[GRAVITAČNÍ POLE] Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles.

[GRAVITAČNÍ POLE] Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles. 5. GRAVITAČNÍ POLE 5.1. NEWTONŮV GRAVITAČNÍ ZÁKON Gravitace Gravitace je všeobecná vlastnost těles. Newtonův gravitační zákon Znění: Dva hmotné body se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII 37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie

Více

1. Pro rovnoměrný přímočarý pohyb platí: A) t=s/v B) v=st C) s=v/t D) t=v/s 2. Při pohybu rovnoměrném přímočarém je velikost rychlosti:

1. Pro rovnoměrný přímočarý pohyb platí: A) t=s/v B) v=st C) s=v/t D) t=v/s 2. Při pohybu rovnoměrném přímočarém je velikost rychlosti: 1. Pro rovnoměrný přímočarý pohyb platí: A) t=s/v B) v=st C) s=v/t D) t=v/s 2. Při pohybu rovnoměrném přímočarém je velikost rychlosti: 3. V pravoúhlých souřadnicích je rychlost rovnoměrného přímočarého

Více

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení

Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úloha č. 3 Rychlost, zrychlení, tíhové zrychlení Úkoly měření: 1. Sestavte nakloněnou rovinu a změřte její sklon.. Změřte závislost polohy tělesa na čase a stanovte jeho rychlost a zrychlení. 3. Určete

Více

Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky

Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Klára Švarcová klara.svarcova@tiscali.cz 1 Obsah 1 Průlet tělesa skrz Zemi 3 1.1 Zadání................................. 3 1. Řešení.................................

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. RNDr. Zdeněk Chobola,CSc., Vlasta Juránková,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P03 MECHANIKA TUHÝCH TĚLES STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í

I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í DYNAMIKA SÍLA 1. Úvod dynamos (dynamis) = síla; dynamika vysvětluje, proč se objekty pohybují, vysvětluje změny pohybu. Nepopisuje pohyb, jak to dělá... síly mohou měnit pohybový stav těles nebo mohou

Více

KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník

KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Kinematika hmotného bodu Kinematika = obor fyziky zabývající se pohybem bez ohledu na jeho příčiny Hmotný bod - zastupuje

Více

4. Práce, výkon, energie a vrhy

4. Práce, výkon, energie a vrhy 4. Práce, výkon, energie a vrhy 4. Práce Těleso koná práci, jestliže působí silou na jiné těleso a posune jej po určité dráze ve směru síly. Příklad: traktor táhne přívěs, jeřáb zvedá panel Kdy se práce

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamika zkoumá příčiny pohybu těles Nejdůležitější pojmem dynamiky je síla Základem dynamiky jsou tři Newtonovy pohybové zákony Síla se projevuje vždy při

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony

Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony Připravil: Roman Pavlačka, Markéta Sekaninová Dynamika, Newtonovy zákony OPVK CZ.1.07/2.2.00/28.0220, "Inovace studijních programů zahradnických oborů s důrazem na jazykové a odborné dovednosti a konkurenceschopnost

Více

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK

Fyzikální vzdělávání. 1. ročník. Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník. Implementace ICT do výuky č. CZ.1.07/1.1.02/ GG OP VK Fyzikální vzdělávání 1. ročník Učební obor: Kuchař číšník Kadeřník 1 1 Mechanika 1.1 Pohyby přímočaré, pohyb rovnoměrný po kružnici 1.2 Newtonovy pohybové zákony, síly v přírodě, gravitace 1.3 Mechanická

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

PRÁCE, VÝKON, ENERGIE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika

PRÁCE, VÝKON, ENERGIE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika PRÁCE, VÝKON, ENERGIE Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika Mechanická práce Závisí na velikosti síly, kterou působíme na těleso, a na dráze, po které těleso posuneme Pokud má síla stejný

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

MECHANIKA POHYBY V HOMOGENNÍM A RADIÁLNÍM POLI Implementace ŠVP

MECHANIKA POHYBY V HOMOGENNÍM A RADIÁLNÍM POLI Implementace ŠVP Projekt Efektivní Učení Reformou oblastí ymnaziálního vzdělávání je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. MECHANIKA POHYBY V HOMOGENNÍM A RADIÁLNÍM POLI Implementace

Více

Pohyby HB v některých význačných silových polích

Pohyby HB v některých význačných silových polích Pohyby HB v některých význačných silových polích Pohyby HB Gravitační pole Gravitační pole v blízkém okolí Země tíhové pole Pohyb v gravitačním silovém poli Keplerova úloha (podrobné řešení na semináři)

Více

Výpočet nového stavu je závislý na bezprostředně předcházejícím stavu (může jich být i více, zde se však omezíme na jeden).

Výpočet nového stavu je závislý na bezprostředně předcházejícím stavu (může jich být i více, zde se však omezíme na jeden). Počáteční úloha Při simulace vývoje systému v čase používáme jednoduché zásady: Spojitý čas nahradíme posloupností časových okamžiků t 0, t 1, t 2, t 3,, t i,. Interval mezi následujícími časovými okamžiky

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P02 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ PRŮVODCE GB01-P02 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Prof. Ing. Bohumil Koktavý,CSc. FYZIKA PRŮVODCE GB01-P02 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 2 OBSAH

Více

F - Mechanika tuhého tělesa

F - Mechanika tuhého tělesa F - Mechanika tuhého tělesa Učební text pro studenty dálkového studia a shrnující text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje);

Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje); Newtonovy pohybové zákony: Hmotný bod - model (modelové těleso), který je na dané rozlišovací úrovni přiřazen reálnému objektu (součástce, části stroje); předpokládáme soustředění hmoty tělesa a všech

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s 1 Mechanická práce mechanická práce W jednotka: [W] = J (joule) skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s s dráha, kterou těleso urazilo 1 J = N m = kg m s -2 m = kg m 2 s -2 vyjádření

Více

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA

MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA. Základní teze tuhé těleso ideální těleso, které nemůže být deformováno působením žádné (libovolně velké) vnější síly druhy pohybu tuhého tělesa a) translace (posuvný pohyb) všechny

Více

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

1 Tuhé těleso a jeho pohyb

1 Tuhé těleso a jeho pohyb 1 Tuhé těleso a jeho pohyb Tuhé těleso (TT) působením vnějších sil se nemění jeho tvar ani objem nedochází k jeho deformaci neuvažuje se jeho částicová struktura, těleso považujeme za tzv. kontinuum spojité

Více

2. Kinematika bodu a tělesa

2. Kinematika bodu a tělesa 2. Kinematika bodu a tělesa Kinematika bodu popisuje těleso nebo také bod, který se pohybuje po nějaké trajektorii, křivce nebo jinak definované dráze v závislosti na poloze bodu na dráze, rychlosti a

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT 1. Mechanika 1. 6. Energie 1 Autor: Jazyk: Aleš Trojánek čeština Datum vyhotovení:

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Řešení úloh 1. kola 49. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie C

Řešení úloh 1. kola 49. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie C Řešení úloh. kola 49. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie C Autořiúloh:J.Jírů(),P.Šedivý(2,3,4,5,6),I.VolfaM.Jarešová(7)..Označme v 0souřadnicirychlostikuličkyohmotnosti3mbezprostředněpředrázem a v

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika (MAT) Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Kvarta 4 hodiny týdně Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Veličiny charakterizující geometrii ploch

Veličiny charakterizující geometrii ploch Veličiny charakterizující geometrii ploch Jedná se o veličiny charakterizující geometrii průřezu tělesa. Obrázek 1: Těleso v rovině. Těžiště plochy Souřadnice těžiště plochy, na které je hmota rovnoměrně

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Fyzika - Kvinta, 1. ročník

Fyzika - Kvinta, 1. ročník - Fyzika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence k řešení problémů Kompetence komunikativní Kompetence sociální a personální Kompetence občanská Kompetence k podnikavosti Kompetence k učení Učivo fyzikální

Více

4.3.2 Goniometrické nerovnice

4.3.2 Goniometrické nerovnice 4 Goniometrické nerovnice Předpoklady: 40 Pedagogická poznámka: Nerovnice je stejně jako rovnice možné řešit grafem i jednotkovou kružnicí Oba způsoby mají své výhody i nevýhody a jsou v podstatě rovnocenné

Více

6 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

6 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 6 6 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Pohyblivost mechanické soustavy charakterizujeme počtem stupňů volnosti. Je to číslo, které udává, kolika nezávislými parametry je určena poloha jednotlivých členů soustavy

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT 1. Mechanika 1. 2. Kinematika Autor: Jazyk: Aleš Trojánek čeština Datum vyhotovení:

Více

Kinematika II. Vrhy , (2.1) . (2.3) , (2.4)

Kinematika II. Vrhy , (2.1) . (2.3) , (2.4) Kinematika II Vrhy Galileo Galilei již před čtyřmi staletími, kdy studoval pád různých těles ze šikmé věže v Pise, zjistil, že všechna tělesa se pohybují se stálým zrychlením směřujícím svisle dolů můžemeli

Více

Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u

Více

Měření tíhového zrychlení reverzním kyvadlem

Měření tíhového zrychlení reverzním kyvadlem 43 Kapitola 7 Měření tíhového zrychlení reverzním kyvadlem 7.1 Úvod Tíhové zrychlení je zrychlení volného pádu ve vakuu. Závisí na zeměpisné šířce a nadmořské výšce. Jako normální tíhové zrychlení g n

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

R5.1 Vodorovný vrh. y A

R5.1 Vodorovný vrh. y A Fyzika pro střední školy I 20 R5 G R A V I T A Č N Í P O L E Včlánku5.3jsmeuvedli,ževrhyjsousloženépohybyvtíhovémpoliZemě, které mají dvě složky: rovnoměrný přímočarý pohyb a volný pád. Podle směru obou

Více

Fyzika 2 - rámcové příklady Magnetické pole - síla na vodič, moment na smyčku

Fyzika 2 - rámcové příklady Magnetické pole - síla na vodič, moment na smyčku Fyzika 2 - rámcové příklady Magnetické pole - síla na vodič, moment na smyčku 1. Určete skalární a vektorový součin dvou obecných vektorů a a popište, jak závisí výsledky těchto součinů na úhlu mezi vektory.

Více

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci.

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Znáš pojmy A. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Tenká spojka při zobrazování stačí k popisu zavést pouze ohniskovou vzdálenost a její střed. Znaménková

Více

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY 3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY V této kapitole se dozvíte: jak je geometricky definována kuželosečka zvaná parabola; co je to ohnisko, řídící přímka, vrchol, osa, parametr paraboly; tvar vrcholové

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ TĚŽIŠTĚ

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ TĚŽIŠTĚ Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 2.10 TĚŽIŠTĚ Těžiště (hmotný střed) je působiště tíhové síly působící na těleso. Těžiště zavádíme jako působiště

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

KATEGORIE D. Na první list řešení každé úlohy napište záhlaví podle následujícího vzoru:

KATEGORIE D. Na první list řešení každé úlohy napište záhlaví podle následujícího vzoru: KATEGORIE D Na první list řešení každé úlohy napište záhlaví podle následujícího vzoru: Jméno a příjmení: Kategorie: D Třída: Školní rok: Škola: I. kolo: Vyučující fyziky: Posudek: Okres: Posuzovali: Úloha

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

KULOVÁ ZRCADLA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - Septima

KULOVÁ ZRCADLA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - Septima KULOVÁ ZRCADLA Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - Septima Zakřivená zrcadla Zrcadla, která nejsou rovinná Platí pro ně zákon odrazu, deformují obraz My se budeme zabývat speciálním typem zakřivených

Více

Okamžitý výkon P. Potenciální energie E p (x, y, z) E = x E = E = y. F y. F x. F z

Okamžitý výkon P. Potenciální energie E p (x, y, z) E = x E = E = y. F y. F x. F z 5. Práce a energie 5.1. Základní poznatky Práce W jestliže se hmotný bod pohybuje po trajektorii mezi body (1) a (), je práce definována křivkovým integrálem W = () () () F dr = Fx dx + Fy dy + (1) r r

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Digitální učební materiál CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

5. Statika poloha střediska sil

5. Statika poloha střediska sil 5. Statika poloha střediska sil 5.1 Rovnoběžné sily a jejich střed Uvažujeme soustavu vzájemně rovnoběžných sil v prostoru s pevnými působišti. Každá síla má působiště dané polohovým vektorem. Všechny

Více

Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují

Více

1) Jakou práci vykonáme při vytahování hřebíku délky 6 cm, působíme-li na něj průměrnou silou 120 N?

1) Jakou práci vykonáme při vytahování hřebíku délky 6 cm, působíme-li na něj průměrnou silou 120 N? MECHANICKÁ PRÁCE 1) Jakou práci vykonáme při vytahování hřebíku délky 6 cm, působíme-li na něj průměrnou silou 120 N? l = s = 6 cm = 6 10 2 m F = 120 N W =? (J) W = F. s W = 6 10 2 120 = 7,2 W = 7,2 J

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

Příklad 3 (25 bodů) Jakou rychlost musí mít difrakčním úhlu 120? -částice, abychom pozorovali difrakční maximum od rovin d hkl = 0,82 Å na

Příklad 3 (25 bodů) Jakou rychlost musí mít difrakčním úhlu 120? -částice, abychom pozorovali difrakční maximum od rovin d hkl = 0,82 Å na Přijímací zkouška z fyziky 01 - Nav. Mgr. - varianta A Příklad 1 (5 bodů) Koule o poloměru R=10 cm leží na vodorovné rovině. Z jejího nejvyššího bodu vypustíme s nulovou počáteční rychlostí bod o hmotností

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

TUHÉ TĚLESO. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník

TUHÉ TĚLESO. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník TUHÉ TĚLESO Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Tuhé těleso Tuhé těleso je ideální těleso, jehož objem ani tvar se účinkem libovolně velkých sil nemění. Pohyb tuhého tělesa: posuvný

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

Magnetické pole drátu ve tvaru V

Magnetické pole drátu ve tvaru V Magnetické pole drátu ve tvaru V K prvním úspěchům získaným Ampèrem při využívání magnetických jevů patří výpočet indukce magnetického pole B, vytvořeného elektrickým proudem procházejícím vodiči. Srovnáme

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

Pohyb tělesa po nakloněné rovině

Pohyb tělesa po nakloněné rovině Pohyb tělesa po nakloněné rovině Zadání 1 Pro vybrané těleso a materiál nakloněné roviny zjistěte závislost polohy tělesa na čase při jeho pohybu Výsledky vyneste do grafu a rozhodněte z něj, o jakou křivku

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více