VRHY. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Zdeněk Polák a Přemysl Šedivý. Úvod 2

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "VRHY. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Zdeněk Polák a Přemysl Šedivý. Úvod 2"

Transkript

1 VRHY Studijní tet pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Zdeněk Polák a Přemysl Šedivý Obsah Úvod 1 Matematická příprava 1.1 Některévlastnostiparaboly,kružniceaelipsy Některévztahymezigoniometrickýmifunkcemi Vrhvhomogennímtíhovémpolivevakuu 7.1 Obecnékinematickézákonyvrhuvevakuu Svislývrhvzhůrusnulovoupočátečnívýškou Vodorovnývrhzvýšky h Vrhšikmývzhůrusnulovoupočátečnívýškou Geometrické vlastnosti šikmého vrhu vzhůru s nulovou počáteční výškou Ochrannáparabola Přehleddůležitýchkřivek Vrh při nezanedbatelném odporu vzduchu 5 Literatura 3 Výsledky úloh 3

2 Úvod Vrhem rozumíme pohyb tělesa, na které po uvedení do pohybu v tíhovém poli Země působí jen tíhová síla a aerodynamická síla vzduchu. Je-li počáteční rychlost tělesa mnohem menší než první kosmická rychlost, jsou rozměry trajektorie velmi malé ve srovnání s poloměrem Země. Tíhové pole v oblasti vrhu můžeme považovat za homogenní a hustotu vzduchu za konstantní. Doba letu tělesa je v takovém případě velmi malá ve srovnání s periodou otáčení Země. Zemskou rotaci můžeme tedy zanedbat a vztažnou soustavu spojenou se Zemí považovat za inerciální. Aerodynamická síla působící na letící těleso závisí na jeho okamžité rychlosti, tvaru, rozměrech a vlastnostech povrchu. Významně se projevuje i případná vlastní rotace vrženého tělesa. Přesný matematický popis vrhu ve vzduchu by byl velmi složitý. Pokud však vržené těleso má velkou hmotnost při malých rozměrech a nepohybuje se příliš rychle, může být aerodynamická síla zanedbatelná v porovnání se silou tíhovou. Pohyb pak probíhá prakticky stejně jako vrh ve vakuu, jehož kinematické zákony se dají vyjádřit jednoduchými matematickými vztahy. V tomto studijním tetu zopakujeme a doplníme poznatky o různých typech vrhů ve vakuu. Vržené těleso budeme považovat za hmotný bod, na který působí během letu jen tíhová sílafg = mg. Pro tíhové zrychlení použijeme hodnotu g=9,8m s. Dále se budeme zabývat numerickými metodami modelování vrhu ve vzduchu v případě, že aerodynamická síla působí jako odpor prostředí proti směru okamžité rychlosti. V konkrétních případech porovnáme vrh ve vzduchu s vrhem ve vakuu a posoudíme, zda je možno odpor vzduchu zanedbat. Nejprve ale projdeme některé matematické vztahy a poučky, jejichž znalosti jsou potřebné pro hladké zvládnutí následující teorie. 1 Matematická příprava 1.1 Některé vlastnosti paraboly, kružnice a elipsy Parabola je geometrické místo bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost oddanéhobodu Faoddanépřímky d,kterátímtobodemneprochází(obr.1). Bod Fsenazýváohniskoparabolyapřímka djeřídicípřímkaparaboly.vzdálenost pohniskaodřídicípřímkynazývámepoloparametrparaboly 1 ).Průvodiče 1 Vněkterýchučebnicíchse pnazýváparametrparaboly.

3 bodu Xparabolyjsouúsečky XFa XQ,kde Qjepatakolmicezbodu Xna řídicí přímku. Podle definice XF = XQ. Osa paraboly o prochází ohniskem kolmo k řídicí přímce. Na ose leží vrchol paraboly V. Q Q v N P Q 1 M ε ε X t d V F o X d v V F o p Obr.1 Obr. Tečnuparabolyvjejímbodě Xsestrojímejakoosu túhlu FXQ.Vzdálenostkaždéhobodu M X přímky todřídicípřímkyjetotižmenšínež vzdálenostodohniska.podleobr.: MN < MQ = MF.Všechnybody přímky t kromě bodu X leží tedy na vnější straně paraboly. Ze shodnosti trojúhelníků PFVa PQ 1 Qpakplyne,žebod Ptečnypůlíúsečku V Q 1 navrcholové tečně v. Při studiu vrhů budeme pracovat s parabolami, jejichž osy jsou svislé a u kterých ohnisko leží pod vrcholem. Umístíme-li počátek soustavy souřadnic dovrcholuparaboly(obr.3),platíprokaždýjejíbod X[,y]; a <0 ( XF = + y p ( = XQ ) = y + p, ) + p 4 p y + y = p 4 + p y + y, =p y = py. (1) Jestližetečnavkterémkolivbodě Xparabolypůlíúheljehoprůvodičů,znamenáto,že světelné paprsky, které dopadají na parabolické zrcadlo ve směru optické osy, se po odrazu soustřeďují do ohniska. 3

4 Vztah(1) se nazývá vrcholová rovnice paraboly pro parabolu umístěnou podle obr. 3. Posuneme-livrcholparabolydobodu V[m,n](obr.4),změníserovnice paraboly na Po dosazení dostaneme: ( ) = py, kde = m, y = y n. ( m) = p(y n). () p/ p/ y=o V=O F Q d =v y y n O V[m,n] m X[, y] Obr.3 Obr.4 Kružnice se středem v počátku soustavy souřadnic a poloměrem r má rovnici + y = r. (3) Posuneme-li střed kružnice do bodu S[m, n](obr. 5), změní se rovnice kružnice na ( ) +(y ) =( m) +(y n) = r. (4) Elipsa je geometrické místo bodů v rovině, které mají od dvou pevných bodů F 1, F stálýsoučetvzdálenostía > F 1 F (obr.6).body F 1, F se nazývajíohniskaelipsy,přímka F 1 F jehlavníosaelipsy.střed Súsečky F 1 F je střed elipsy, kolmice vedená středem elipsy k hlavní ose se nazývá vedlejší osaelipsy.průsečíky A, B, C, Delipsysosamisenazývajívrcholyelipsy.Je-li Xbodelipsy,pakúsečky XF 1 a XF jsoujehoprůvodiče. 4

5 y y n r S[m, n] r O m Obr.5 Vtrojúhelníku F 1 SCje F 1 C =adélkahlavnípoloosy, SC =bjedélka vedlejšípoloosya SF 1 =ejeecentricitaelipsy.platí a C a = b + e. (5) a b B e S F A F 1 X D Obr. 6 Umístíme-li elipsu podle obr. 7, platí pro kterýkoliv bod X elipsy XF 1 + XF = (+e) + y + ( e) + y =a. Umocněním této rovnosti a algebraickou úpravou dojdeme ke vztahu (+e) + y ( e) + y =a ( + y + e ) a dalším umocněním a úpravou dojdeme ke vztahu (a e ) + a y = a (a e ), 5

6 který můžeme upravit na rovnici elipsy v osové poloze b a a + y y C b=1. (6) X A F 1 e S=O F B D Obr. 7 Posuneme-listředelipsydobodu S[m,n](obr.8),změníserovniceelipsyna a + y m) =( b a + y y (y n) b =1. (7) n a b S[m, n] O m Obr.8 Pokudelipsuještěotočímeokolojejíhostředuo90 tak,abyhlavníosabyla rovnoběžnásosou y,budemítjejírovnicetvar ( m) (y n) b + a =1. (8) 6

7 1. Některé vztahy mezi goniometrickými funkcemi V tomto studijním tetu použijeme následující goniometrické vzorce: Prokaždé α R: sin α+cos α=1 sinα=sinαcosα cosα=cos α sin α Pro α 90 + k 180, k Z: sinα cosα =tg α cos 1 α= 1+tg α Pro α k 180 cosα k Z: sinα =cotg α Pro α k 90 k Z: cotg α=tg(90 α) Pro všechny hodnoty α, β, pro které jsou funkce tangens a zlomek definovány: tg α+tg β tg(α+β)= 1 tg αtg β Vrhvhomogennímtíhovémpolivevakuu.1 Obecné kinematické zákony vrhu ve vakuu Hmotnýbod,kterémuvčase t=0udělímepočátečnírychlostv0anakterý pakpůsobíjentíhovásílafg= mg,sepohybujeskonstantnímtíhovýmzrychlenímg. Koná složený pohyb, při kterém současně probíhá rovnoměrný přímočarý pohyb stálou rychlostív0 a rovnoměrně zrychlený volný pád ve svislém směru. Oba pohyby jsou vzájemně nezávislé. Počáteční rychlostv0 svírá s vodorovnou rovinou elevační úhel α. Podle jeho velikosti rozlišujeme vrhsvislývzhůru(α=90 ), vrhšikmývzhůru(90 > α >0 ), vrhvodorovný(α=0 ), vrhšikmýdolů(0 > α > 90 ), vrhsvislýdolů(α= 90 ). Trajektorie šikmého nebo vodorovného vrhu leží ve svislé rovině určené počátečnímbodem X 0 avektorempočátečnírychlosti.propopispohybupoužíváme dvojrozměrnou soustavou souřadnic Oy, ve které obvykle volíme klad- 7

8 nou poloosu ve směru vodorovné složky počáteční rychlostiv0a kladnou poloosu y orientujeme svisle vzhůru(obr. 9). Polohahmotnéhobodupouplynutídoby todzačátkuvrhujeurčenapolohovýmvektorem r=r0+v0t+ 1 gt, (9) kterýjesoučtempolohovéhovektorupočátečníhobodu X 0,rovnoměrnéhoposunutí ve směru počáteční rychlosti a rovnoměrně zrychleného posunutí volného pádu. V souřadnicové soustavě Oy platí r0=( 0,y 0 )v0=(v 0 cosα,v 0 sinα)g=(0, g). Vektorový vztah(9) můžeme tedy rozepsat podle souřadnic a dostaneme soustavu dvou rovnic = 0 + v 0 tcosα, y= y 0 + v 0 tsinα 1 gt. (10) Okamžitá rychlost vrženého hmotného bodu je vektorovým součtem konstantní rychlostiv0 rovnoměrného pohybu a rychlosti volného pádu(obr. 9) v=v0+gt. (11) Rozepsáním podle souřadnic dostaneme soustavu rovnic v = v 0 = v 0 cosα, v y = v 0y gt=v 0 sinα gt. (1) Pokudje v y >0,hmotnýbodstoupá,pokudje v y <0,klesá.Vnejvyššímbodě trajektorieje v y =0.Vektorokamžitérychlostišikméhonebovodorovného vrhu má vždy směr tečny v příslušném bodě trajektorie. Jeho směrový úhel ϕ určíme pomocí vztahu tg ϕ= v y v = v 0sinα gt v 0 cosα. (13) Při svislém vrhu se hmotný bod nachází trvale na jediné svislé přímce. Tu volíme jako osu y soustavy souřadnic Oy a kladnou poloosu y orientujeme svisle vzhůru. Osu můžeme volit v libovolném vodorovném směru. Uplatní se jen svislé souřadnice kinematických veličin, vodorovné souřadnice jsou trvale nulové. 8

9 y g v0t r0 r O Obr.9 X 0 v0 α X vy D 1 gt v0 v ϕ vgt. Svislý vrh vzhůru s nulovou počáteční výškou Vyjdemezobr.10.Vtomtopřípadějer0=(0,0),v0=(0,v 0 ) akinematické zákony vrhu(10),(1) se zredukují na vztahy y= v 0 t 1 gt, v y = v 0 gt. (14) Usvisléhovrhuvzhůrunásnejčastějizajímádobavýstupu t v,dobaletu t d a výška výstupu H. V okamžiku dosažení nejvyššího bodu trajektorie platí t=t v, v y = v 0 gt v =0, t v = v 0 g, V okamžiku dopadu platí t=t d, y= v 0 t d 1 gt d= y= H= v 0 t v 1 gt v = v 0 g v 0 g = v 0 g. ( v 0 1 ) gt d t d =0, t d = v 0 g =t v. 9

10 v y V t=t v : v y =0, y= H Hv0 X 0 =O t=t d : y=0 Obr. 10 Vztah pro výpočet výšky svislého vrhu vzhůru odvodíme také jednoduše užitím zákona zachování energie: Kinetická energie hmotného bodu na počátku vrhu je stejná jako potenciální energie v nejvyšším bodě trajektorie. 1 mv 0 = mgh, H= v 0 g. (15) Úlohy 1. Předmět vymrštěný při výbuchu svisle vzhůru dopadl zpět za 5,5 s. Určete jeho počáteční rychlost a výšku výstupu. Odpor vzduchu zanedbejte..míčspadlzvýšky1,6maodrazilsedovýšky1,m.porovnejtevelikost rychlosti těsně před dopadem a těsně po odrazu. 10

11 .3 Vodorovnývrhzvýšky h Vyjdeme z obr. 11. Osu volíme v rovině dopadu, osa y prochází počátečním bodem X 0.Vtomtopřípaděplatír0 =(0,h),v0 =(v 0,0). Kinematické zákony(10),(1) se zredukují na vztahy y X 0 h v0 =v 0 t, y=h 1 gt, (16) v = v 0 v, v y = gt. (17) ϕ O d D v0 ϕ d vdgt d Obr. 11 Dobuletu t d adélkuvrhu durčímezpodmínky,ževčase t=t d platí y=0. h 1 gt d =0 t h d= g, d=v h 0t d = v 0 g. (18) Rychlost v okamžiku dopadu má velikost v d = v0 +(gt d) = v0 +gh. (19) Ke stejnému výsledku dojdeme i ze zákona zachování energie. Kinetická energie hmotného bodu v okamžiku dopadu je rovna součtu potenciální a kinetické energie na počátku vrhu: 1 mv d= 1 mv 0+ mgh v d = v 0 +gh. Pro směrový úhel vektoru rychlosti v okamžiku dopadu platí tg ϕ d = gt d v 0. (0) 11

12 Příklad 1 Zvodorovnétrubkyzakončenévesvisléstěněvevýšce1,00mvytékávodaa dopadávevzdálenosti1,5modstěny.určeterychlostvodyvústítrubkya v místě dopadu. Řešte obecně a pro dané hodnoty. Odpor vzduchu zanedbejte. Řešení Vyjdeme ze vztahů(18),(19) a(0). Platí: h t d = g =0,45s, v 0= d =,77m s 1, t d v= v 0 +gh=5,m s 1 tg ϕ= gt d v 0 = 1,60, ϕ= 58. Všimněme si nyní některých geometrických vlastností trajektorie vodorovného vrhu. V rovnicích(16) můžeme vyloučit čas: t= v 0, y= h 1 g ( v 0 ). Úpravou dostaneme rovnici trajektorie vodorovného vrhu ve vrcholovém tvaru: = v 0 (h y)=p(h y). (1) g Vrcholparabolyležívbodě X 0 =[0,h],poloparametrje p= v 0 g. () Tečnu k trajektorii v bodě dopadu a ohnisko paraboly můžeme určit podle obr. 1. Platí tg ϕ d = gt d v 0 = gt d v 0 t d = h d = h d V P = PD 1 = d, V F = V P tg ϕ d = d d h = d 4h = v 0 t d gt = v 0 d g = p. 1

13 p y V=X 0 Fgv0 ϕ d d P D 1 ϕ d h p D K vd Obr. 1 V okolí vrcholu můžeme parabolu velmi přesně nahradit obloukem oskulační kružnice. Určeme její poloměr, který nazýváme poloměr křivosti ve vrcholu. Tíhová síla na počátku vodorovného vrhu působí kolmo k vektoru rychlosti. Pohyb v malém počátečním úseku tedy probíhá jako rovnoměrný pohyb po kružnici a tíhové zrychlení se uplatní jako zrychlení dostředivé: a d = v 0 = g, = v 0 g = p. (3) Poloměr oskulační kružnice ve vrcholu paraboly je roven jejímu poloparametru. Střed křivosti K leží ve dvojnásobné vzdálenosti od vrcholu než ohnisko F (obr.1). Úloha 3. Nakreslete ve vhodném měřítku přibližně tvar trajektorie vody v příkladu 1. Postupujte přitom podle obr. 1: Sestrojte tečnu k trajektorii v bodě dopadu. Nalezněte ohnisko a střed oskulační kružnice ve vrcholu. Sestrojte obloukoskulačníkružnice.pomocívhodnéhokřivítka,nebo odruky nakreslete křivku, která v blízkosti vrcholu bude splývat s oskulační kružnicí avbodědopadusebudedotýkattečny. 13

14 .4 Vrh šikmý vzhůru s nulovou počáteční výškou Vyjdemezobr.13.Volíme O=X 0 akinematickézákony(10),(1)sezjednoduší na =v 0 tcosα, y= v 0 tsinα 1 gt, (4) v = v 0 cosα, v y = v 0 v sinα gt. (5) y Vv0 ϕ h O=X 0 v0yv0v0 α d D ϕd Obr. 13 vd Vrcholutrajektorie V dosáhnehmotnýbodzadobuvýstupu t v.včase t=t v platí v y = v 0 sinα gt v =0 t v = v 0sinα. (6) g Souřadnice vrcholu jsou V = v 0 t v cosα= v 0 g sinαcosα= v 0 sinα, (7) g y V = v 0 t v sinα 1 gt v= v 0sin α g v 0sin α g = v 0 g sin α. (8) Výraz v 0 g = H jerovenvýšcesvisléhovrhuvzhůruspočátečnírychlostí v 0. Zavedením této substituce dostaneme V = Hsinα, y V = Hsin α. (9) Zvětšujeme-lielevačníúhel,výškašikméhovrhuvzhůru h=y V Pro α=90 jesinα=1, h=h. sezvětšuje. 14

15 Vokamžikudopaduje t=t d, y=v 0 t d sinα 1 gt d = t d ( v 0 sinα 1 ) gt d =0, Délka šikmého vrhu je t d = v 0 g sinα=t v. (30) d= D = v 0 t d cosα= v 0 g sinαcosα=hsinα. (31) Zvětšujeme-li elevační úhel, délka šikmého vrhu se nejprve zvětšuje, až pro sinα=1,tj.pro α=45 dosáhnemaima d ma =H.Přidalšímzvětšování elevačního úhlu se délka vrhu zmenšuje(obr. 14). H y ,5H O 15 H Obr. 14 Vztah pro výpočet výšky vrhu můžeme také odvodit užitím zákona zachování energie. Počáteční kinetická energie hmotného bodu se rovná součtu kinetické a potenciální energie v libovolném bodě trajektorie: 1 mv 0= mgy+ 1 mv. (3) Vevrcholutrajektorie,kde y=h, v y =0, v= v = v 0 cosα dostaneme 1 mv 0 = mgh+1 mv 0 cos α, h= v 0 g (1 cos α)=hsin α. 15

16 Vztah(3) také umožňuje určit velikost rychlosti vrženého hmotného bodu v libovolné výšce y: ( ) v v = v0 gy=g 0 g y =g(h y), v= g(h y). (33) Hmotnýbod mátedy vevýšce y stejně velkourychlost,jakokdybypadal volnýmpádemzvýšky Haprolétldráhu H y. Směr okamžité rychlosti hmotného bodu závisí na jeho vodorovné souřadnici podle vztahu tg ϕ= v y = v 0sinα gt =tg α v v 0 cosα g v 0 cos α =tg α Hcos α (34) Příklad Míč ležící na fotbalovém hřišti byl vykopnut do vzdálenosti 5 m, kam dopadl zadobu1,9s.určetevelikostasměrjehopočátečnírychlostiavýšku,dokteré během letu vystoupil. Řešte obecně a pak pro dané hodnoty. Odpor vzduchu zanedbejte. Řešení Vyjdeme ze vztahů(8),(30) a(31). Platí: t d d = Úlohy 4v 0 sin α g v 0 sinαcosα g h d = = tg α g v 0 sin α g v 0 sinαcosα g = tg α 4, tg α= gt d d =0,7076, α=35,3,, h= dtg α 4 v 0 = gt d sinα =16,1m s 1. = gt d 8 =4,4m, 4.Kámenvystřelenýzprakusvislevzhůruvystoupildovýše40m.Podjakým elevačním úhlem bychom museli kámen vystřelit stejně velkou počáteční rychlostí, aby zasáhl cíl ležící ve vodorovné rovině procházející místem výstřelu a vzdálený 50 m? Odpor vzduchu zanedbejte. 5. Jaký musí být elevační úhel šikmého vrhu s nulovou počáteční výškou, aby délka a výška vrhu byly stejné? 16

17 .5 Geometrické vlastnosti trajektorie šikmého vrhu vzhůru s nulovou počáteční výškou V rovnicích(4) vyloučíme čas a získaný vztah upravíme: t= ( ) v 0 cosα, y= v 0sinα v 0 cosα 1 g, v 0 cosα y=tg α g 1 v0 cos α = tg α 4Hcos α, (35) 4Hsinαcosα= 4Hycos α, ( Hsinαcosα) = 4Hycos α+4h sin αcos α, ( Hsinα) = 4Hcos α(y Hsin α)= p(y Hsin α). (36) Dostalijsmevrcholovourovniciparabolysvrcholem V =[Hsinα,Hsin α] (viz také vztahy(9)) a poloparametrem p=hcos α. (37) y d H H H O S α v0 k f e K V F p p p D E Obr

18 Nyníjižpodleobr.15snadnourčímesouřadniceohniska Fastředuoskulační kružnice K: F = K = V = Hsinα, (38) y F = y V p = H(sin α cos α)= Hcosα, (39) y K = y V p=h(sin α cos α)=h(3sin α ). (40) Rovnice řídicí přímky d je pak y= y V + p = H(sin α+cos α)=h. (41) Výsledek nezávisí na elevačním úhlu α. Všechny paraboly, které dostaneme pro určitouvelikostpočátečnírychlosti v 0 arůznéelevačníúhly,majítedytutéž řídicí přímku. Příklad 3 Pro všechny parabolické trajektorie vrhů s nulovou počáteční výškou a stejně velkou počáteční rychlostí určete a) geometrické místo ohnisek, b) geometrické místo vrcholů, c) geometrické místo středů oskulačních kružnic ve vrcholech. Řešení a) Souřadnice ohnisek splňují vztah F+ y F= H (sin α+cos α)=h, (4) cožjerovnicekružnice f opoloměru H sestředemvpočátkusoustavy souřadnic. b) Souřadnice vrcholů V splňují vztahy: V = H sin α=4h sin αcos α, y V = Hsin α, V 4y V = Hcos α, V 4y V + y V = H(cos α+sin α)=h, V+4yV=4Hy v, V+4y V 4Hy V + H = H, ( y V H ) V H + ( ) =1, (43) H 18

19 Dostalijsmerovnicielipsy v,jejížstředležívbodě S[0, H ],hlavnípoloosa mádélku H ajerovnoběžnásosou,vedlejšípoloosamádélku H aje rovnoběžná s osou y. c) Souřadnice středů K vrcholových oskulačních kružnic splňují vztahy: y K +H 3 = Hsin α, K = H sin α=4h sin αcos α, 3 K 4(y K +H) = Hcos α, y K +H K 4(y K +H) = H, 4(y K +H) +9 K =1H(y K+H), 9 K+4y K+4y K H+ H =9H, ( y K + H ) K H + ) =1, (44) ( 3H Dostalijsmerovnicielipsy e,jejížstředležívbodě E[0, H ],hlavnípoloosa mádélku 3H ajerovnoběžnásosou y,vedlejšípoloosamádélku Haje rovnoběžná s osou. Geometrická místa, která jsme určili v tomto příkladě, jsou zakreslena jako křivky f, va enaobr.15anaobr.19.hmotnýbodovšemproběhnevrcholem parabolické trajektorie jen při šikmém vrhu vzhůru a při vodorovného vrhu, tedypro0 α<90.tomutointervaluodpovídajípravépolovinyzískaných křivek včetně jejich dolních bodů, ale bez společného horního bodu. Vlevo od osy y se nacházejí vrcholy, ohniska a středy oskulačních kružnic parabolických trajektoriíproelevačníúhlyvintervalu0>α> 90,kdysejednáošikmý vrh dolů a vrcholová část paraboly už není součástí trajektorie. Úloha 6. Určete poloměr křivosti ve vrcholu trajektorie šikmého vrhu vzhůru s elevačnímúhlem60,jehožpočátečnírychlostmávelikost10m s 1. 19

20 .6 Ochranná parabola Prozkoumejme nyní množinu bodů ve svislé rovině, které můžeme zasáhnout hmotným bodem vrženým z počátku soustavy souřadnic při dané velikosti počátečnírychlosti v 0.Abychomzasáhlinějakýbod X[,y],musímezvolitvhodný elevační úhel α. Trajektorie vrhu musí splňovat rovnici(35), kterou upravíme tak, aby obsahovala jedinou goniometrickou funkci úhlu α: y= tg α 4Hcos α = tg α 1+tg α 4H, (45) tg α 4Htg α+4hy+ =0. (46) Dostali jsme kvadratickou rovnici s neznámou tg α, jejíž diskriminant je D=4 (4H 4Hy ). (47) Jestliže D <0,nemárovnice(46)reálnéřešeníabod Xnelzezasáhnout.Pro D >0,eistujídvěhodnotyúhlu αprokterévrženýhmotnýbodprojdebodem Xaplatí tg α 1, = H ± 4H 4Hy. (48) Jediné řešení dostaneme, jestliže y D=0 = 4H(y H). (49) H D=0 D<0 D>0 v O H Obr. 16 0

21 Body,kterésplňujítutopodmínku,ležínaparabolesvrcholem[0,H]apoloparametrem p = H. Její ohnisko se nachází v počátku soustavy souřadnic ařídicípřímkamárovnici y=4h. Tatokřivkaohraničujeoblast,kterou můžeme zasáhnout, a nazývá se ochranná parabola(obr. 16, 19). Leží-libod Xuvnitřelipsyvrcholů v,pakpřivolběvětšíhoúhlu α 1,který dostanemezevztahu(48),jebod Xzasaženvrženýmtělesempřisestupuapři volběmenšíhoúhlu α jezasaženpřivýstupu.leží-libod Xnakřivce v,je přivolběvětšíhoúhlu α 1 zasaženpřisestupuapřivolběmenšíhoúhlu α je zasažen ve vodorovném směru. Pokud leží vně elipsy vrcholů, ale ještě uvnitř ochranné paraboly, je v obou případech zasažen při sestupu. Hmotnýbodvrženýpodúhlem αsedotkneochrannéparabolyvbodě T o souřadnicích d= T = H tg α, h=y T= H H tg α. (50) Vbodě Tmárychlosthmotnéhobodusměrtečnykochrannéparaboleiktrajektorii vrhu(obr. 17). v y T v0 h α d Obr. 17 Znalost ochranné paraboly umožňuje jednoduše řešit problémy maimálního délky vrhu, maimální výšky výstupu, minimální rychlosti potřebné k zasažení zvoleného bodu apod., které jinak vedou k použití diferenciálního počtu. Příklad 4. Zalévání terasovité zahrady Natočíme-lizahradníhadicisvislevzhůru,stříkávodadovýše H=9,5mnad ústí hadice. Zahradník bude zalévat vodorovný záhon, který se nachází ve výšce h=1,5mnadústímhadice. a) Stanovte maimální vodorovnou vzdálenost d místa dopadu vody na záhon od ústí hadice. 1

22 b) Určete pro tento případ elevační úhel α vytékající vody. c)určeteprotentopřípadvelikost vasměrovýúhel ϕrychlostivodyvmístě dopadu. Úlohu řešte nejprve obecně, pak pro dané hodnoty. Odpor vzduchu zanedbejte. Řešení a) Počátek soustavy souřadnic zvolíme v ústí hadice. Situaci znázorňuje obr. 17. Nejvzdálenější bod dopadu na záhoně nalezneme jako průsečík ochranné parabolyspřímkou y= h: = 4H(y H) y= h =d>0, d= H(H h)=17,4m. b) Příslušný elevační úhel určíme pomocí vztahu(50): d= H tg α tg α= H d = 1 1 h H =1,0897, α=47,5. c) Velikost rychlosti dopadu určíme podle vztahu(33): v= g(h h)=1,5m s 1. Pro úhel dopadu platí podle vztahu(34): tg ϕ=tg α d Hcos α =tg α 1 tg αcos α = sinα cosα 1 sinαcosα, tg ϕ= sin α 1 sinαcosα = cotg α, ϕ= (90 α)= 4,5. Příklad 5 Protirovnémusvahusesklonem βhodímekámenrychlostíovelikosti v 0. a) Určete největší vzdálenost L ve směru spádnice, do které může doletět. b)ověřte,ževtomtopřípaděmusímezvolitelevačníúhel α=β/+45. Počáteční vzdálenost kamene od roviny svahu a odpor vzduchu zanedbejte.

23 Řešení a)vyjdemezobr.18.boddopadubude průsečíkem roviny svahu s ochrannou parabolou. Ze vztahů y H =4H(H y), =Lcosβ, y= Lsinβ dostáváme kvadratickou rovnici (Lcosβ) +4HLsinβ 4H =0. Řešením úlohy je kladný kořen β L Obr. 18 L= 4Hsinβ+ 16H sin β+16h cos β cos β L= H 1+sinβ. b)elevačníúhelsplňujevztah(50).znějplyne Současně platí Úloha tg α= H Lcosβ =1+sinβ cosβ. = H(1 sinβ) 1 sin β ( ) tg β β +tg45 tg β +1 sin β +cos β tg +45 = 1 tg β = tg45 1 tg β = cos β sin β = = ( sin β +cos β ) cos β β sin tg α=tg = sin β +sin β cos β β +cos cosβ ( ) β +45 α= β +45., = 1+sinβ cosβ 7. Určete maimální vodorovnou vzdálenost, do které můžeme hodit kámen zbalkonu,je-lipočátečníbodhoduvevýšce15mapočátečnírychlost kamenemávelikost0m s 1.Jakýelevačníúhelmusímezvolit?Odpor vzduchu zanedbejte. 3

24 .7 Přehled důležitých křivek y H d H c v H S 45 O H b a H f H E H e H Obr.19:a)parabolickátrajektorieproelevačníúhel45, b) ochranná parabola, c) řídící přímka všech parabolických trajektorií, d) řídící přímka ochranné paraboly, e) elipsa středů křivosti, f) kružnice ohnisek, v) elipsa vrcholů 4

25 3 Vrh při nezanedbatelném odporu vzduchu Působení vzduchu na letící těleso může být velmi komplikované, zvláště když se jedná o těleso nepravidelného tvaru, nebo těleso, které se během letu otáčí. Uplatnísesamozřejměipohybvzduchu vítr.myseomezímenanejjednodušší případ, kdy vrženým tělesem je koule, která se neotáčí, a vzduch je v klidu vzhledem ke zvolené vztažné soustavě. Aerostatickou vztlakovou sílu zanedbáme. Pokud je rychlost koulevpodstatně menší než rychlost zvuku ve vzduchu, platí pro velikost odporu vzduchu Newtonův vzorec F o = 1 CS v, (51) kde S = πr jeobsahstředovéhořezukoule, = 1,15kg m 3 jehustota vzduchu za obvyklých podmínek a C = 0,48 je součinitel odporu. Síla odporu vzduchu má opačný směr než okamžitá rychlost koule, což můžeme vyjádřit vektorovýmvztahem Fo= 1 CS vv. (5) Pohyb koule jako hmotného bodu letícího v klidném vzduchu v homogenním tíhovém poli se řídí pohybovou rovnicí ma=fg+fo= mg 1 CS vv, a=g CS v (53) mv. Z této rovnice nedovedeme odvodit jednoduché kinematické zákony, jaké popisují vrh ve vakuu. Průběh pohybu však můžeme s potřebnou přesností popsat pomocí numerického modelování. Při numerickém modelování určíme nejprve rychlost a polohu hmotného boduvčasech t 0, t 1, t, t 3,...,kterétvoříaritmetickouposloupnostskonstantnídiferencí t=t i+1 t i.ztabulekvypočtenýchhodnotpaksestrojíme grafy časových závislostí některých kinematických veličin, nebo v určitém měřítku zobrazíme trajektorii pohybu, na které můžeme můžeme vyznačit posloupnost okamžitých poloh hmotného bodu. Eistuje řada metod numerického modelování, se kterými se můžete seznámitnapř.vestudijníchtetech[9]a[11].myzdepoužijemejednuznejjednodušších. Zvolíme-lidostatečněmalýčasovýkrok,můžemevintervalu t i, t i+1 považovat výslednou sílu, která na hmotný bod působí, a tedy i jeho zrychlení, za konstantní. Za tohoto předpokladu platí ri+1 =ri+vi t+ 1 ai( t), (54) 5

26 vi+1 =vi+ai t, (55) kdeai,vi,rijsouzrychlení,rychlostapolohovývektorvčase t i, vi+1,ri+1jsourychlostapolohovývektorvčase t i+1 = t i + t. Zrychleníai na začátku intervalu určíme z pohybové rovnice. Naše úvaha vede k postupnému cyklickému výpočtu jednotlivých polohových vektorů a okamžitých rychlostí, který lze snadno naprogramovat pro osobní počítač. Ten postupně provede výpočty: r1 =r0+v0 t+ 1 a0( t), v1 =v0+a0 t, r =r1+v1 t+ 1 a1( t), v =v1+a1 t,. Přesnost výpočtů závisí na volbě časového kroku t čím menší časový krok zvolíme, tím menší jsou relativní chyby dílčích výpočtů a tím lépe získané posloupnosti vypočtených hodnot popisují pohyb tělesa. Modelování pohybů právě popsaným způsobem velmi usnadňuje výpočetní a grafický systém FAMULUS, který zjednodušuje práci s přípravou grafů a tabulek a dovoluje uživateli, aby se soustředil na přípravu algoritmu výpočtu vycházejícího z pohybové rovnice. Další možnost numerického modelování poskytuje tabulkový kalkulátor EXCEL. Cyklické výpočty zde provádíme kopírováním skupiny buněk s příslušnými vzorci. Oběma způsoby pomocí systému FAMULUS i v EXCELu vyřešíme následující příklad. Příklad 6 a) Modelujte vrh lehkoatletické koule vržené z výšky,0 m pod elevačním úhlem40 rychlostíovelikosti14,0m s 1.Koulemáhmotnost7,6kga poloměr 6,0 cm. Model pohybu v klidném vzduchu získaný metodou numerického modelování porovnejte s modelem vrhu ve vakuu získaným užitím vzorců(10) a posuďte, jak ovlivní odpor vzduchu délku vrhu. b)stejnouúlohuřeštepromíčeknastolnítenisohmotnosti3,0gapoloměru 14mm. Řešení v systému FAMULUS Výpis programu pro FAMULUS a modely pohybů jsou na následujících stránkách(obr. 0, 1). Program cyklicky opakuje výpočty v části model, vypočtené polohyhmotnéhobodupřivrhuvevzduchuavevakuuzapisujedotabulky a ve zvoleném měřítku vynáší do soustavy souřadnic Oy. Zablokováním 4. řádkuprogramuauvolněním5.řádkupřejdemeodúkolua)kúkolub). 6

27 Z modelu na obr. 0 zjistíme, že lehkoatletická koule ve vzduchu dopadne za,034svevzdálenosti1,70m,zatímcovevakuubydopadlaza,037s ve vzdálenosti 1,85 m. Výsledky se liší jen nepatrně a trajektorie koule ve vzduchu, balistická křivka, téměř splývá s trajektorií ve vakuu. Z toho je zřejmé, že při vrhu lehkoatletické koule můžeme odpor vzduchu prakticky zanedbat a vztahy(10) dostatečně přesně popisují i pohyb koule ve vzduchu. Podstatnějinýjemodelvrhumíčkuprostolnítenisnaobr.1.Míčekdopadneužza1,815svevzdálenosti1,56majehobalistickákřivkajenesouměrná, značně odlišná od paraboly. Účinek odporu vzduchu už nemůžeme zanedbat a při popisu pohybu míčku dáme přednost numerickému modelu. Výpis programu pro FAMULUS Porovnání vrhu koule ve vakuu a ve vzduchu proměnné, konstanty, procedury a funkce g=9.8; C=0.48; ro=1.15 r=0.06; m=7.6! lehkoatletická koule! r=0.014; m=0.0030! míček na stol. tenis L=0.5*C*ro*pi*r^/m dt= počáteční hodnoty t=0; v0=14; al=40; 0=0; y0= =0; y=y0; 1=0; y1=y0 v=v0*cos(al*pi/180); vy=v0*sin(al*pi/180) DISP model v=sqrt(v^+vy^) a=-l*v*v; ay=-g-l*v*vy =+v*dt+a*dt^; y=y+vy*dt+ay*dt^ v=v+a*dt; vy=vy+ay*dt t=t+dt 1=v0*cos(al*pi/180)*t; y1=y0+v0*sin(al*pi/180)*t-g*t^/

28 Obr. 0 Model letu lehkoatletické koule Obr.1Modelvrhumíčkunastolnítenis 8

29 Řešení v EXCELu Listsvýpočtemjenaobr..Prvnídvařádkyjsouvěnoványvloženíkonstant g, C,, r, mavýpočtupomocnékonstanty L =0,5C πr.načtvrtéma pátémřádkujsouvloženypočátečníhodnoty 0, y 0, v 0, αačasovýkrokdt. Pro přehlednější zápis vzorců přiřadíme buňkám s hodnotami zadaných veličin akonstanty LnázvypříkazemVložit Název Definovat.Názvyfungují jako absolutní adresy. Vlastní tabulka numerického výpočtu modelu pohybu ve vzduchu a výpočtu pohybu ve vakuu pomocí kinematických zákonů začíná záhlavím na sedmém řádku. Na osmém řádku v buňkách A8 až E8 jsou dopočteny počáteční hodnoty t=0, = 0, y=y 0, v 0 = v 0 cosα, v y0 = v 0 sinα.vbuňkáchh8a I8 jsou kinematické vzorce pro výpočet pohybu ve vakuu. Vzorce pro cyklický výpočetmodelupohybuvevzduchuzačínajívbuňkáchf8 ag8apokračujína devátém řádku v buňkách A9 až E9. Přehled použitých vzorců je v následující tabulce: Buňka Vzorec Význam H =0,5*C*D*PI()*E^/F L=0,5C πr /m D8 =v0*cos(al*pi()/180) v 0 = v 0 cosα E8 =v0*sin(al*pi()/180) v 0y = v 0 sinα F8 =-L*D8*(D8^+E8^)^0,5 a i = Lv i v i G8 =-g-l*e8*(d8^+e8^)^0,5 a yi = g Lv yi v i H8 =$D$8*A8 =v 0 t I8 =y0+$e$8*a8-0,5*g*a8^ y= y 0 + v 0y t 0,5gt A9 =A8+dt t i+1 = t i + t B9 =B8+D8*dt+0,5*F8*dt^ i+1 = i + v i t+0,5a i ( t) C9 =C8+E8*dt+0,5*G8*dt^ y i+1 = y i + v yi t+0,5a yi ( t) D9 =D8+F8*dt v (i+1) = v i + a i t E9 =E8+G8*dt v y(i+1) = v yi + a yi t Po vypsání vzorců nejprve vybereme kurzorem oblast F8:I8 a zkopírujeme ji o řádek níže do oblasti F9:I9. Kurzor posuneme do pravého dolního rohu buňky I8, kde se změní ve vyplňovací táhlo, které má podobu černého křížku. Stiskneme levé tlačítko myši a vyplňovací táhlo posuneme do pravého dolního rohu buňky I9. Podobně postupujeme při následujícím výpočtu. Vybereme kurzorem na devátém řádku oblast A9:I9, vytvoříme vyplňovací táhlo v pravém dolním rohu buňky I9, stiskneme levé tlačítko myši a táhneme myš dolů. Vzorce v buňkách se kopírují na další řádky, přičemž se mění jejich relativní adresy. Vzápětí se provedouvýpočtyvzorců.vesloupcíchbažgvznikámodelvrhuvevzduchu,vesloupcíchhaimodelvrhuvevakuu.pohybkurzoruzastavíme,když 9

30 oběhodnotyveličin yay 1 klesnoupodnulu.vnašempříkladětonastanena řádku045.ztabulkypakvyčteme,zevevzduchukouledopadneza,034sve vzdálenosti1,69m,zatímcovevakuubyletěla,037sadopadlabyvevzdálenosti 1,85 m. Dostali jsme prakticky stejné výsledky jako při použití systému FAMULUS. Nepatrná odchylka u numerického modelu pohybu ve vzduchu je způsobena různým zaokrouhlováním čísel při dílčích výpočtech.. Obr. Výpočet letu lehkoatletické koule v EXCELu 30

31 Ktabulcenaobr.můžemevEXCELusnadnosestrojitigrafzobrazující v určitém měřítku obě trajektorie a posoudit, do jaké míry se shodují(obr. 3). Nejprve vytvoříme XY bodový graf z dat v oblasti B8:C047, který zobrazuje pohybvevzduchuapakpomocínabídkyzdrojovádata Řada Přidat doplníme průběh vrhu ve vakuu vložením dat z oblasti H8:I047. \P [P Obr. 3 Chceme-li modelovat pohyb míčku na stolní tenis, stačí změnit příslušným způsobemhodnotyvbuňkácheaf. Úloha 8. Vraťte se k příkladu 6 a porovnejte počáteční velikost odporu vzduchu a tíhovou sílu při vrhu lehkoatletické koule i při vrhu míčku na stolní tenis. 9.Golfovýmíčekmápoloměr1mmahmotnost45g.Součinitelodporuje 0,45. Modelujte jeho šikmý vrh ve vzduchu při nulové počáteční výšce a elevačnímúhlu45.prorůznévelikostipočátečnírychlostijejporovnejte s pohybem ve vakuu. Zjistěte, při které velikosti počáteční rychlosti je délka vrhuvevzduchuo10%menšíneždélkavrhuvevakuu. 31

POHYBY TĚLESA V ODPORUJÍCÍM PROSTŘEDÍ

POHYBY TĚLESA V ODPORUJÍCÍM PROSTŘEDÍ POHYBY TĚLESA V ODPORUJÍCÍM PROSTŘEDÍ Studijní text pro řešitele FO, kat. B Ivo Volf, Přemysl Šedivý Úvod Základní zákon klasické mechaniky, zákon síly, který obvykle zapisujeme vetvaru F= m a, (1) umožňuje

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

1 Rozdělení mechaniky a její náplň

1 Rozdělení mechaniky a její náplň 1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla

Dynamika. Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamis = řecké slovo síla Dynamika Dynamika zkoumá příčiny pohybu těles Nejdůležitější pojmem dynamiky je síla Základem dynamiky jsou tři Newtonovy pohybové zákony Síla se projevuje vždy při

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

1 Tuhé těleso a jeho pohyb

1 Tuhé těleso a jeho pohyb 1 Tuhé těleso a jeho pohyb Tuhé těleso (TT) působením vnějších sil se nemění jeho tvar ani objem nedochází k jeho deformaci neuvažuje se jeho částicová struktura, těleso považujeme za tzv. kontinuum spojité

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s 1 Mechanická práce mechanická práce W jednotka: [W] = J (joule) skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s s dráha, kterou těleso urazilo 1 J = N m = kg m s -2 m = kg m 2 s -2 vyjádření

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Řešení úloh 1. kola 49. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie C

Řešení úloh 1. kola 49. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie C Řešení úloh. kola 49. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie C Autořiúloh:J.Jírů(),P.Šedivý(2,3,4,5,6),I.VolfaM.Jarešová(7)..Označme v 0souřadnicirychlostikuličkyohmotnosti3mbezprostředněpředrázem a v

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

R5.1 Vodorovný vrh. y A

R5.1 Vodorovný vrh. y A Fyzika pro střední školy I 20 R5 G R A V I T A Č N Í P O L E Včlánku5.3jsmeuvedli,ževrhyjsousloženépohybyvtíhovémpoliZemě, které mají dvě složky: rovnoměrný přímočarý pohyb a volný pád. Podle směru obou

Více

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci.

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Znáš pojmy A. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Tenká spojka při zobrazování stačí k popisu zavést pouze ohniskovou vzdálenost a její střed. Znaménková

Více

Kinematika II. Vrhy , (2.1) . (2.3) , (2.4)

Kinematika II. Vrhy , (2.1) . (2.3) , (2.4) Kinematika II Vrhy Galileo Galilei již před čtyřmi staletími, kdy studoval pád různých těles ze šikmé věže v Pise, zjistil, že všechna tělesa se pohybují se stálým zrychlením směřujícím svisle dolů můžemeli

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

KULOVÁ ZRCADLA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - Septima

KULOVÁ ZRCADLA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - Septima KULOVÁ ZRCADLA Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - Septima Zakřivená zrcadla Zrcadla, která nejsou rovinná Platí pro ně zákon odrazu, deformují obraz My se budeme zabývat speciálním typem zakřivených

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

Okamžitý výkon P. Potenciální energie E p (x, y, z) E = x E = E = y. F y. F x. F z

Okamžitý výkon P. Potenciální energie E p (x, y, z) E = x E = E = y. F y. F x. F z 5. Práce a energie 5.1. Základní poznatky Práce W jestliže se hmotný bod pohybuje po trajektorii mezi body (1) a (), je práce definována křivkovým integrálem W = () () () F dr = Fx dx + Fy dy + (1) r r

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

1) Jakou práci vykonáme při vytahování hřebíku délky 6 cm, působíme-li na něj průměrnou silou 120 N?

1) Jakou práci vykonáme při vytahování hřebíku délky 6 cm, působíme-li na něj průměrnou silou 120 N? MECHANICKÁ PRÁCE 1) Jakou práci vykonáme při vytahování hřebíku délky 6 cm, působíme-li na něj průměrnou silou 120 N? l = s = 6 cm = 6 10 2 m F = 120 N W =? (J) W = F. s W = 6 10 2 120 = 7,2 W = 7,2 J

Více

TUHÉ TĚLESO. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník

TUHÉ TĚLESO. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník TUHÉ TĚLESO Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Tuhé těleso Tuhé těleso je ideální těleso, jehož objem ani tvar se účinkem libovolně velkých sil nemění. Pohyb tuhého tělesa: posuvný

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Magnetické pole drátu ve tvaru V

Magnetické pole drátu ve tvaru V Magnetické pole drátu ve tvaru V K prvním úspěchům získaným Ampèrem při využívání magnetických jevů patří výpočet indukce magnetického pole B, vytvořeného elektrickým proudem procházejícím vodiči. Srovnáme

Více

Newtonův gravitační zákon Gravitační a tíhové zrychlení při povrchu Země Pohyby těles Gravitační pole Slunce

Newtonův gravitační zákon Gravitační a tíhové zrychlení při povrchu Země Pohyby těles Gravitační pole Slunce Gavitační pole Newtonův gavitační zákon Gavitační a tíhové zychlení při povchu Země Pohyby těles Gavitační pole Slunce Úvod V okolí Země existuje gavitační pole. Země působí na každé těleso ve svém okolí

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

GRAVITAČNÍ POLE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník

GRAVITAČNÍ POLE. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník GRAVITAČNÍ POLE Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Mechanika - 1. ročník Gravitace Vzájemné silové působení mezi každými dvěma hmotnými body. Liší se od jiných působení. Působí vždy přitažlivě. Působí

Více

KATEGORIE D. Na první list řešení každé úlohy napište záhlaví podle následujícího vzoru:

KATEGORIE D. Na první list řešení každé úlohy napište záhlaví podle následujícího vzoru: KATEGORIE D Na první list řešení každé úlohy napište záhlaví podle následujícího vzoru: Jméno a příjmení: Kategorie: D Třída: Školní rok: Škola: I. kolo: Vyučující fyziky: Posudek: Okres: Posuzovali: Úloha

Více

Shrnutí kinematiky. STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA a STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ, Česká Lípa, 28. října 2707, příspěvková organizace

Shrnutí kinematiky. STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA a STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ, Česká Lípa, 28. října 2707, příspěvková organizace Název školy: Číslo a název projektu: Číslo a název šablony klíčové aktivity: Označení materiálu: Typ materiálu: Předmět, ročník, obor: Číslo a název sady: Téma: Jméno a příjmení autora: Datum vytvoření:

Více

DYNAMIKA ROTAČNÍ POHYB

DYNAMIKA ROTAČNÍ POHYB DYNAMIKA ROTAČNÍ POHYB Dynamika rotačního pohybu hmotného bodu kolem pevné osy - při rotační pohybu hmotného bodu kolem stálé osy stálými otáčkami kolem pevné osy (pak hovoříme o rovnoměrném rotačním pohybu)

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL.

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Jméno a příjmení(čitelně): varianta č. 90 Přezdívka(nepovinné): Zde pište své výsledky Napište rovnici přímky procházející

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

(2) 2 b. (2) Řešení. 4. Platí: m = Ep

(2) 2 b. (2) Řešení. 4. Platí: m = Ep (1) 1. Zaveďte slovy fyzikální veličinu účinnost 2. Vyjádřete 1 Joule v základních jednotkách SI. 3. Těleso přemístíme do vzdálenosti 8,1 m, přičemž na ně působíme silou o velikosti 158 N. Jakou práci

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT 1. Mechanika 1. 3. Newtonovy zákony 1 Autor: Jazyk: Aleš Trojánek čeština

Více

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU

MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU Úloha č 5 MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU ÚKOL MĚŘENÍ: Určete moment setrvačnosti ruhové a obdélníové desy vzhledem jednotlivým osám z doby yvu Vypočtěte moment setrvačnosti ruhové a obdélníové

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 05_2_Kinematika hmotného bodu Ing. Jakub Ulmann 2 Kinematika hmotného bodu Nejstarším odvětvím fyziky,

Více

Geometrická optika. předmětu. Obrazový prostor prostor za optickou soustavou (většinou vpravo), v němž může ležet obraz - - - 1 -

Geometrická optika. předmětu. Obrazový prostor prostor za optickou soustavou (většinou vpravo), v němž může ležet obraz - - - 1 - Geometrická optika Optika je část fyziky, která zkoumá podstatu světla a zákonitosti světelných jevů, které vznikají při šíření světla a při vzájemném působení světla a látky. Světlo je elektromagnetické

Více

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová Kuželosečk Copright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Kuželosečk 3 1.1 Kružnice... 3 1.1.1 Tečnakekružnici..... 3 1.2 lipsa.... 4 1.2.1 Rovniceelips...... 5 1.2.2 Tečnakelipse... 7 1.2.3 Konstrukceelips.....

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Funkce. Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin.

Funkce. Úkol: Uveďte příklady závislosti dvou veličin. Funkce Pojem funkce Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Funkce vyjadřuje závislost

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Katedra fyziky, Studentská 2, 461 17 Liberec

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Katedra fyziky, Studentská 2, 461 17 Liberec TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Katedra fyziky, Studentká, 6 7 Liberec POŽADAVKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z FYZIKY Akademický rok: 0/0 Fakulta mechatroniky Studijní obor: Nanomateriály Tématické okruhy. Kinematika

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika

DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 1. ročník - Mechanika Dynamika Obor mechaniky, který se zabývá příčinami změn pohybového stavu těles, případně jejich deformací dynamis = síla

Více

MATEMATIKA MAIZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA MAIZD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST MAIZD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN!

2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám TESTOVÝ SEŠIT NEOTVÍREJTE, POČKEJTE NA POKYN! MATEMATIKA DIDAKTICKÝ TEST Maimální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je

Více

1.7.4. Skládání kmitů

1.7.4. Skládání kmitů .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát

Více

SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH

SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH SBÍRKA ŘEŠENÝCH FYZIKÁLNÍCH ÚLOH MECHANIKA MOLEKULOVÁ FYZIKA A TERMIKA ELEKTŘINA A MAGNETISMUS KMITÁNÍ A VLNĚNÍ OPTIKA FYZIKA MIKROSVĚTA ODRAZ A LOM SVĚTLA 1) Index lomu vody je 1,33. Jakou rychlost má

Více

ELEKTRICKÉ STROJE - POHONY

ELEKTRICKÉ STROJE - POHONY ELEKTRICKÉ STROJE - POHONY Ing. Petr VAVŘIŇÁK 2013 2.1 OBECNÉ ZÁKLADY EL. POHONŮ 2. ELEKTRICKÉ POHONY Pod pojmem elektrický pohon rozumíme soubor elektromechanických vazeb a vztahů mezi elektromechanickou

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB Pomůcky: LabQuest, sonda čidlo polohy (sonar), nakloněná rovina, vozík, který se může po nakloněné rovině pohybovat Postup: Nakloněnou rovinu umístíme tak, aby svírala s vodorovnou

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ÚLOHY

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9 Obsah 1 Mechanická práce 1 2 Výkon, příkon, účinnost 2 3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie......................... 6 3.2 Potenciální energie........................ 6 3.3 Potenciální energie........................

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Úvod. 1 Převody jednotek

Úvod. 1 Převody jednotek Úvod 1 Převody jednotek Násobky a díly jednotek: piko p 10-12 nano n 10-9 mikro μ 10-6 mili m 10-3 centi c 10-2 deci d 10-1 deka da 10 1 hekto h 10 2 kilo k 10 3 mega M 10 6 giga G 10 9 tera T 10 12 Ve

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Test Matematika Var: 101

Test Matematika Var: 101 Test Matematika Var: 101 Pokyny: Vyplňte příslušné kolečko odpovídající správné odpovědi u každé otázky ve zvláštním odpovědním formuláři, který Vám byl rozdán spolu se zadáním testu. 1. Přímky p: y =

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

3.1 Magnetické pole ve vakuu a v látkovén prostředí

3.1 Magnetické pole ve vakuu a v látkovén prostředí 3. MAGNETSMUS 3.1 Magnetické pole ve vakuu a v látkovén prostředí 3.1.1 Určete magnetickou indukci a intenzitu magnetického pole ve vzdálenosti a = 5 cm od velmi dlouhého přímého vodiče, jestliže jím protéká

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

2. Mechanika - kinematika

2. Mechanika - kinematika . Mechanika - kinematika. Co je pohyb a klid Klid nebo pohyb těles zjišťujeme pouze vzhledem k jiným tělesům, proto mluvíme o relativním klidu nebo relativním pohybu. Jak poznáme, že je těleso v pohybu

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL

VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská

Více

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu

Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I. Mechanika hmotného bodu Elektronický učební text pro podporu výuky klasické mechaniky pro posluchače učitelství I Mechanika hmotného bodu Autor: Kateřina Kárová Text vznikl v rámci bakalářské práce roku 2006. Návod na práci s

Více

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol,

Více

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-16 Téma: Práce a energie Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TEST Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso 1 Účinnost

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu Otázky z optiky Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu ) o je světlo z fyzikálního hlediska? Jaké vlnové délky přísluší viditelnému záření? - elektromagnetické záření (viditelné záření) o vlnové délce

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Magnetická síla a moment sil

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Magnetická síla a moment sil ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Magnetická síla a moment sil Peter Dourmashkin MIT 006, překlad: Jan Pacák (007) Obsah 6. MAGNETICKÁ SÍLA A MOMENT SIL 3 6.1 ÚKOLY 3 ÚLOHA 1: HMOTNOSTNÍ

Více

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ NOVÁ MTURITNÍ ZKOUŠK Ilustrační test 2008 Základní úroveň obtížnosti MVCZMZ08DT MTEMTIK ZÁKLDNÍ ÚROVEŇ DIDKTICKÝ TEST Testový sešit obsahuje 8 úloh. Na řešení úloh máte 90 minut. Úlohy řešte v testovém

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro

Více

Určete velikost zrychlení, kterým se budou tělesa pohybovat. Vliv kladky zanedbejte.

Určete velikost zrychlení, kterým se budou tělesa pohybovat. Vliv kladky zanedbejte. Určete velikost zrychlení, kterým se budou tělesa pohybovat. Vliv kladky zanedbejte. Pozn.: Na konci je uvedena stručná verze výpočtu, aby se vešla na jednu stránku. Začneme silovým rozborem. Na první

Více

6 Pohyb částic v magnetickém poli

6 Pohyb částic v magnetickém poli Pohb částic v magnetickém poli V této části si ukážeme, jak homogenní magnetické pole ovlivňuje pohb částic. Soustavu souřadnic volíme vžd tak, ab vektor magnetickéindukce Bsměřovalposměruos (obr.).. Lorentova

Více

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA ILUSTRAČNÍ TEST MAIZD4C0T0 Pokyny k hodnocení MATEMATIKA Pokyny k hodnocení úlohy Vyznačte na číselné ose obraz čísla 0,6. 0,6 3 apod. NEDOSTATEČNÉ ŘEŠENÍ Chybně vyznačený obraz, resp. není zřejmé, kde

Více