VRHY. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Zdeněk Polák a Přemysl Šedivý. Úvod 2

Transkript

1 VRHY Studijní tet pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Zdeněk Polák a Přemysl Šedivý Obsah Úvod 1 Matematická příprava 1.1 Některévlastnostiparaboly,kružniceaelipsy Některévztahymezigoniometrickýmifunkcemi Vrhvhomogennímtíhovémpolivevakuu 7.1 Obecnékinematickézákonyvrhuvevakuu Svislývrhvzhůrusnulovoupočátečnívýškou Vodorovnývrhzvýšky h Vrhšikmývzhůrusnulovoupočátečnívýškou Geometrické vlastnosti šikmého vrhu vzhůru s nulovou počáteční výškou Ochrannáparabola Přehleddůležitýchkřivek Vrh při nezanedbatelném odporu vzduchu 5 Literatura 3 Výsledky úloh 3

2 Úvod Vrhem rozumíme pohyb tělesa, na které po uvedení do pohybu v tíhovém poli Země působí jen tíhová síla a aerodynamická síla vzduchu. Je-li počáteční rychlost tělesa mnohem menší než první kosmická rychlost, jsou rozměry trajektorie velmi malé ve srovnání s poloměrem Země. Tíhové pole v oblasti vrhu můžeme považovat za homogenní a hustotu vzduchu za konstantní. Doba letu tělesa je v takovém případě velmi malá ve srovnání s periodou otáčení Země. Zemskou rotaci můžeme tedy zanedbat a vztažnou soustavu spojenou se Zemí považovat za inerciální. Aerodynamická síla působící na letící těleso závisí na jeho okamžité rychlosti, tvaru, rozměrech a vlastnostech povrchu. Významně se projevuje i případná vlastní rotace vrženého tělesa. Přesný matematický popis vrhu ve vzduchu by byl velmi složitý. Pokud však vržené těleso má velkou hmotnost při malých rozměrech a nepohybuje se příliš rychle, může být aerodynamická síla zanedbatelná v porovnání se silou tíhovou. Pohyb pak probíhá prakticky stejně jako vrh ve vakuu, jehož kinematické zákony se dají vyjádřit jednoduchými matematickými vztahy. V tomto studijním tetu zopakujeme a doplníme poznatky o různých typech vrhů ve vakuu. Vržené těleso budeme považovat za hmotný bod, na který působí během letu jen tíhová sílafg = mg. Pro tíhové zrychlení použijeme hodnotu g=9,8m s. Dále se budeme zabývat numerickými metodami modelování vrhu ve vzduchu v případě, že aerodynamická síla působí jako odpor prostředí proti směru okamžité rychlosti. V konkrétních případech porovnáme vrh ve vzduchu s vrhem ve vakuu a posoudíme, zda je možno odpor vzduchu zanedbat. Nejprve ale projdeme některé matematické vztahy a poučky, jejichž znalosti jsou potřebné pro hladké zvládnutí následující teorie. 1 Matematická příprava 1.1 Některé vlastnosti paraboly, kružnice a elipsy Parabola je geometrické místo bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost oddanéhobodu Faoddanépřímky d,kterátímtobodemneprochází(obr.1). Bod Fsenazýváohniskoparabolyapřímka djeřídicípřímkaparaboly.vzdálenost pohniskaodřídicípřímkynazývámepoloparametrparaboly 1 ).Průvodiče 1 Vněkterýchučebnicíchse pnazýváparametrparaboly.

3 bodu Xparabolyjsouúsečky XFa XQ,kde Qjepatakolmicezbodu Xna řídicí přímku. Podle definice XF = XQ. Osa paraboly o prochází ohniskem kolmo k řídicí přímce. Na ose leží vrchol paraboly V. Q Q v N P Q 1 M ε ε X t d V F o X d v V F o p Obr.1 Obr. Tečnuparabolyvjejímbodě Xsestrojímejakoosu túhlu FXQ.Vzdálenostkaždéhobodu M X přímky todřídicípřímkyjetotižmenšínež vzdálenostodohniska.podleobr.: MN < MQ = MF.Všechnybody přímky t kromě bodu X leží tedy na vnější straně paraboly. Ze shodnosti trojúhelníků PFVa PQ 1 Qpakplyne,žebod Ptečnypůlíúsečku V Q 1 navrcholové tečně v. Při studiu vrhů budeme pracovat s parabolami, jejichž osy jsou svislé a u kterých ohnisko leží pod vrcholem. Umístíme-li počátek soustavy souřadnic dovrcholuparaboly(obr.3),platíprokaždýjejíbod X[,y]; a <0 ( XF = + y p ( = XQ ) = y + p, ) + p 4 p y + y = p 4 + p y + y, =p y = py. (1) Jestližetečnavkterémkolivbodě Xparabolypůlíúheljehoprůvodičů,znamenáto,že světelné paprsky, které dopadají na parabolické zrcadlo ve směru optické osy, se po odrazu soustřeďují do ohniska. 3

4 Vztah(1) se nazývá vrcholová rovnice paraboly pro parabolu umístěnou podle obr. 3. Posuneme-livrcholparabolydobodu V[m,n](obr.4),změníserovnice paraboly na Po dosazení dostaneme: ( ) = py, kde = m, y = y n. ( m) = p(y n). () p/ p/ y=o V=O F Q d =v y y n O V[m,n] m X[, y] Obr.3 Obr.4 Kružnice se středem v počátku soustavy souřadnic a poloměrem r má rovnici + y = r. (3) Posuneme-li střed kružnice do bodu S[m, n](obr. 5), změní se rovnice kružnice na ( ) +(y ) =( m) +(y n) = r. (4) Elipsa je geometrické místo bodů v rovině, které mají od dvou pevných bodů F 1, F stálýsoučetvzdálenostía > F 1 F (obr.6).body F 1, F se nazývajíohniskaelipsy,přímka F 1 F jehlavníosaelipsy.střed Súsečky F 1 F je střed elipsy, kolmice vedená středem elipsy k hlavní ose se nazývá vedlejší osaelipsy.průsečíky A, B, C, Delipsysosamisenazývajívrcholyelipsy.Je-li Xbodelipsy,pakúsečky XF 1 a XF jsoujehoprůvodiče. 4

5 y y n r S[m, n] r O m Obr.5 Vtrojúhelníku F 1 SCje F 1 C =adélkahlavnípoloosy, SC =bjedélka vedlejšípoloosya SF 1 =ejeecentricitaelipsy.platí a C a = b + e. (5) a b B e S F A F 1 X D Obr. 6 Umístíme-li elipsu podle obr. 7, platí pro kterýkoliv bod X elipsy XF 1 + XF = (+e) + y + ( e) + y =a. Umocněním této rovnosti a algebraickou úpravou dojdeme ke vztahu (+e) + y ( e) + y =a ( + y + e ) a dalším umocněním a úpravou dojdeme ke vztahu (a e ) + a y = a (a e ), 5

6 který můžeme upravit na rovnici elipsy v osové poloze b a a + y y C b=1. (6) X A F 1 e S=O F B D Obr. 7 Posuneme-listředelipsydobodu S[m,n](obr.8),změníserovniceelipsyna a + y m) =( b a + y y (y n) b =1. (7) n a b S[m, n] O m Obr.8 Pokudelipsuještěotočímeokolojejíhostředuo90 tak,abyhlavníosabyla rovnoběžnásosou y,budemítjejírovnicetvar ( m) (y n) b + a =1. (8) 6

7 1. Některé vztahy mezi goniometrickými funkcemi V tomto studijním tetu použijeme následující goniometrické vzorce: Prokaždé α R: sin α+cos α=1 sinα=sinαcosα cosα=cos α sin α Pro α 90 + k 180, k Z: sinα cosα =tg α cos 1 α= 1+tg α Pro α k 180 cosα k Z: sinα =cotg α Pro α k 90 k Z: cotg α=tg(90 α) Pro všechny hodnoty α, β, pro které jsou funkce tangens a zlomek definovány: tg α+tg β tg(α+β)= 1 tg αtg β Vrhvhomogennímtíhovémpolivevakuu.1 Obecné kinematické zákony vrhu ve vakuu Hmotnýbod,kterémuvčase t=0udělímepočátečnírychlostv0anakterý pakpůsobíjentíhovásílafg= mg,sepohybujeskonstantnímtíhovýmzrychlenímg. Koná složený pohyb, při kterém současně probíhá rovnoměrný přímočarý pohyb stálou rychlostív0 a rovnoměrně zrychlený volný pád ve svislém směru. Oba pohyby jsou vzájemně nezávislé. Počáteční rychlostv0 svírá s vodorovnou rovinou elevační úhel α. Podle jeho velikosti rozlišujeme vrhsvislývzhůru(α=90 ), vrhšikmývzhůru(90 > α >0 ), vrhvodorovný(α=0 ), vrhšikmýdolů(0 > α > 90 ), vrhsvislýdolů(α= 90 ). Trajektorie šikmého nebo vodorovného vrhu leží ve svislé rovině určené počátečnímbodem X 0 avektorempočátečnírychlosti.propopispohybupoužíváme dvojrozměrnou soustavou souřadnic Oy, ve které obvykle volíme klad- 7

8 nou poloosu ve směru vodorovné složky počáteční rychlostiv0a kladnou poloosu y orientujeme svisle vzhůru(obr. 9). Polohahmotnéhobodupouplynutídoby todzačátkuvrhujeurčenapolohovýmvektorem r=r0+v0t+ 1 gt, (9) kterýjesoučtempolohovéhovektorupočátečníhobodu X 0,rovnoměrnéhoposunutí ve směru počáteční rychlosti a rovnoměrně zrychleného posunutí volného pádu. V souřadnicové soustavě Oy platí r0=( 0,y 0 )v0=(v 0 cosα,v 0 sinα)g=(0, g). Vektorový vztah(9) můžeme tedy rozepsat podle souřadnic a dostaneme soustavu dvou rovnic = 0 + v 0 tcosα, y= y 0 + v 0 tsinα 1 gt. (10) Okamžitá rychlost vrženého hmotného bodu je vektorovým součtem konstantní rychlostiv0 rovnoměrného pohybu a rychlosti volného pádu(obr. 9) v=v0+gt. (11) Rozepsáním podle souřadnic dostaneme soustavu rovnic v = v 0 = v 0 cosα, v y = v 0y gt=v 0 sinα gt. (1) Pokudje v y >0,hmotnýbodstoupá,pokudje v y <0,klesá.Vnejvyššímbodě trajektorieje v y =0.Vektorokamžitérychlostišikméhonebovodorovného vrhu má vždy směr tečny v příslušném bodě trajektorie. Jeho směrový úhel ϕ určíme pomocí vztahu tg ϕ= v y v = v 0sinα gt v 0 cosα. (13) Při svislém vrhu se hmotný bod nachází trvale na jediné svislé přímce. Tu volíme jako osu y soustavy souřadnic Oy a kladnou poloosu y orientujeme svisle vzhůru. Osu můžeme volit v libovolném vodorovném směru. Uplatní se jen svislé souřadnice kinematických veličin, vodorovné souřadnice jsou trvale nulové. 8

9 y g v0t r0 r O Obr.9 X 0 v0 α X vy D 1 gt v0 v ϕ vgt. Svislý vrh vzhůru s nulovou počáteční výškou Vyjdemezobr.10.Vtomtopřípadějer0=(0,0),v0=(0,v 0 ) akinematické zákony vrhu(10),(1) se zredukují na vztahy y= v 0 t 1 gt, v y = v 0 gt. (14) Usvisléhovrhuvzhůrunásnejčastějizajímádobavýstupu t v,dobaletu t d a výška výstupu H. V okamžiku dosažení nejvyššího bodu trajektorie platí t=t v, v y = v 0 gt v =0, t v = v 0 g, V okamžiku dopadu platí t=t d, y= v 0 t d 1 gt d= y= H= v 0 t v 1 gt v = v 0 g v 0 g = v 0 g. ( v 0 1 ) gt d t d =0, t d = v 0 g =t v. 9

10 v y V t=t v : v y =0, y= H Hv0 X 0 =O t=t d : y=0 Obr. 10 Vztah pro výpočet výšky svislého vrhu vzhůru odvodíme také jednoduše užitím zákona zachování energie: Kinetická energie hmotného bodu na počátku vrhu je stejná jako potenciální energie v nejvyšším bodě trajektorie. 1 mv 0 = mgh, H= v 0 g. (15) Úlohy 1. Předmět vymrštěný při výbuchu svisle vzhůru dopadl zpět za 5,5 s. Určete jeho počáteční rychlost a výšku výstupu. Odpor vzduchu zanedbejte..míčspadlzvýšky1,6maodrazilsedovýšky1,m.porovnejtevelikost rychlosti těsně před dopadem a těsně po odrazu. 10

11 .3 Vodorovnývrhzvýšky h Vyjdeme z obr. 11. Osu volíme v rovině dopadu, osa y prochází počátečním bodem X 0.Vtomtopřípaděplatír0 =(0,h),v0 =(v 0,0). Kinematické zákony(10),(1) se zredukují na vztahy y X 0 h v0 =v 0 t, y=h 1 gt, (16) v = v 0 v, v y = gt. (17) ϕ O d D v0 ϕ d vdgt d Obr. 11 Dobuletu t d adélkuvrhu durčímezpodmínky,ževčase t=t d platí y=0. h 1 gt d =0 t h d= g, d=v h 0t d = v 0 g. (18) Rychlost v okamžiku dopadu má velikost v d = v0 +(gt d) = v0 +gh. (19) Ke stejnému výsledku dojdeme i ze zákona zachování energie. Kinetická energie hmotného bodu v okamžiku dopadu je rovna součtu potenciální a kinetické energie na počátku vrhu: 1 mv d= 1 mv 0+ mgh v d = v 0 +gh. Pro směrový úhel vektoru rychlosti v okamžiku dopadu platí tg ϕ d = gt d v 0. (0) 11

12 Příklad 1 Zvodorovnétrubkyzakončenévesvisléstěněvevýšce1,00mvytékávodaa dopadávevzdálenosti1,5modstěny.určeterychlostvodyvústítrubkya v místě dopadu. Řešte obecně a pro dané hodnoty. Odpor vzduchu zanedbejte. Řešení Vyjdeme ze vztahů(18),(19) a(0). Platí: h t d = g =0,45s, v 0= d =,77m s 1, t d v= v 0 +gh=5,m s 1 tg ϕ= gt d v 0 = 1,60, ϕ= 58. Všimněme si nyní některých geometrických vlastností trajektorie vodorovného vrhu. V rovnicích(16) můžeme vyloučit čas: t= v 0, y= h 1 g ( v 0 ). Úpravou dostaneme rovnici trajektorie vodorovného vrhu ve vrcholovém tvaru: = v 0 (h y)=p(h y). (1) g Vrcholparabolyležívbodě X 0 =[0,h],poloparametrje p= v 0 g. () Tečnu k trajektorii v bodě dopadu a ohnisko paraboly můžeme určit podle obr. 1. Platí tg ϕ d = gt d v 0 = gt d v 0 t d = h d = h d V P = PD 1 = d, V F = V P tg ϕ d = d d h = d 4h = v 0 t d gt = v 0 d g = p. 1

13 p y V=X 0 Fgv0 ϕ d d P D 1 ϕ d h p D K vd Obr. 1 V okolí vrcholu můžeme parabolu velmi přesně nahradit obloukem oskulační kružnice. Určeme její poloměr, který nazýváme poloměr křivosti ve vrcholu. Tíhová síla na počátku vodorovného vrhu působí kolmo k vektoru rychlosti. Pohyb v malém počátečním úseku tedy probíhá jako rovnoměrný pohyb po kružnici a tíhové zrychlení se uplatní jako zrychlení dostředivé: a d = v 0 = g, = v 0 g = p. (3) Poloměr oskulační kružnice ve vrcholu paraboly je roven jejímu poloparametru. Střed křivosti K leží ve dvojnásobné vzdálenosti od vrcholu než ohnisko F (obr.1). Úloha 3. Nakreslete ve vhodném měřítku přibližně tvar trajektorie vody v příkladu 1. Postupujte přitom podle obr. 1: Sestrojte tečnu k trajektorii v bodě dopadu. Nalezněte ohnisko a střed oskulační kružnice ve vrcholu. Sestrojte obloukoskulačníkružnice.pomocívhodnéhokřivítka,nebo odruky nakreslete křivku, která v blízkosti vrcholu bude splývat s oskulační kružnicí avbodědopadusebudedotýkattečny. 13

14 .4 Vrh šikmý vzhůru s nulovou počáteční výškou Vyjdemezobr.13.Volíme O=X 0 akinematickézákony(10),(1)sezjednoduší na =v 0 tcosα, y= v 0 tsinα 1 gt, (4) v = v 0 cosα, v y = v 0 v sinα gt. (5) y Vv0 ϕ h O=X 0 v0yv0v0 α d D ϕd Obr. 13 vd Vrcholutrajektorie V dosáhnehmotnýbodzadobuvýstupu t v.včase t=t v platí v y = v 0 sinα gt v =0 t v = v 0sinα. (6) g Souřadnice vrcholu jsou V = v 0 t v cosα= v 0 g sinαcosα= v 0 sinα, (7) g y V = v 0 t v sinα 1 gt v= v 0sin α g v 0sin α g = v 0 g sin α. (8) Výraz v 0 g = H jerovenvýšcesvisléhovrhuvzhůruspočátečnírychlostí v 0. Zavedením této substituce dostaneme V = Hsinα, y V = Hsin α. (9) Zvětšujeme-lielevačníúhel,výškašikméhovrhuvzhůru h=y V Pro α=90 jesinα=1, h=h. sezvětšuje. 14

15 Vokamžikudopaduje t=t d, y=v 0 t d sinα 1 gt d = t d ( v 0 sinα 1 ) gt d =0, Délka šikmého vrhu je t d = v 0 g sinα=t v. (30) d= D = v 0 t d cosα= v 0 g sinαcosα=hsinα. (31) Zvětšujeme-li elevační úhel, délka šikmého vrhu se nejprve zvětšuje, až pro sinα=1,tj.pro α=45 dosáhnemaima d ma =H.Přidalšímzvětšování elevačního úhlu se délka vrhu zmenšuje(obr. 14). H y ,5H O 15 H Obr. 14 Vztah pro výpočet výšky vrhu můžeme také odvodit užitím zákona zachování energie. Počáteční kinetická energie hmotného bodu se rovná součtu kinetické a potenciální energie v libovolném bodě trajektorie: 1 mv 0= mgy+ 1 mv. (3) Vevrcholutrajektorie,kde y=h, v y =0, v= v = v 0 cosα dostaneme 1 mv 0 = mgh+1 mv 0 cos α, h= v 0 g (1 cos α)=hsin α. 15

16 Vztah(3) také umožňuje určit velikost rychlosti vrženého hmotného bodu v libovolné výšce y: ( ) v v = v0 gy=g 0 g y =g(h y), v= g(h y). (33) Hmotnýbod mátedy vevýšce y stejně velkourychlost,jakokdybypadal volnýmpádemzvýšky Haprolétldráhu H y. Směr okamžité rychlosti hmotného bodu závisí na jeho vodorovné souřadnici podle vztahu tg ϕ= v y = v 0sinα gt =tg α v v 0 cosα g v 0 cos α =tg α Hcos α (34) Příklad Míč ležící na fotbalovém hřišti byl vykopnut do vzdálenosti 5 m, kam dopadl zadobu1,9s.určetevelikostasměrjehopočátečnírychlostiavýšku,dokteré během letu vystoupil. Řešte obecně a pak pro dané hodnoty. Odpor vzduchu zanedbejte. Řešení Vyjdeme ze vztahů(8),(30) a(31). Platí: t d d = Úlohy 4v 0 sin α g v 0 sinαcosα g h d = = tg α g v 0 sin α g v 0 sinαcosα g = tg α 4, tg α= gt d d =0,7076, α=35,3,, h= dtg α 4 v 0 = gt d sinα =16,1m s 1. = gt d 8 =4,4m, 4.Kámenvystřelenýzprakusvislevzhůruvystoupildovýše40m.Podjakým elevačním úhlem bychom museli kámen vystřelit stejně velkou počáteční rychlostí, aby zasáhl cíl ležící ve vodorovné rovině procházející místem výstřelu a vzdálený 50 m? Odpor vzduchu zanedbejte. 5. Jaký musí být elevační úhel šikmého vrhu s nulovou počáteční výškou, aby délka a výška vrhu byly stejné? 16

17 .5 Geometrické vlastnosti trajektorie šikmého vrhu vzhůru s nulovou počáteční výškou V rovnicích(4) vyloučíme čas a získaný vztah upravíme: t= ( ) v 0 cosα, y= v 0sinα v 0 cosα 1 g, v 0 cosα y=tg α g 1 v0 cos α = tg α 4Hcos α, (35) 4Hsinαcosα= 4Hycos α, ( Hsinαcosα) = 4Hycos α+4h sin αcos α, ( Hsinα) = 4Hcos α(y Hsin α)= p(y Hsin α). (36) Dostalijsmevrcholovourovniciparabolysvrcholem V =[Hsinα,Hsin α] (viz také vztahy(9)) a poloparametrem p=hcos α. (37) y d H H H O S α v0 k f e K V F p p p D E Obr

18 Nyníjižpodleobr.15snadnourčímesouřadniceohniska Fastředuoskulační kružnice K: F = K = V = Hsinα, (38) y F = y V p = H(sin α cos α)= Hcosα, (39) y K = y V p=h(sin α cos α)=h(3sin α ). (40) Rovnice řídicí přímky d je pak y= y V + p = H(sin α+cos α)=h. (41) Výsledek nezávisí na elevačním úhlu α. Všechny paraboly, které dostaneme pro určitouvelikostpočátečnírychlosti v 0 arůznéelevačníúhly,majítedytutéž řídicí přímku. Příklad 3 Pro všechny parabolické trajektorie vrhů s nulovou počáteční výškou a stejně velkou počáteční rychlostí určete a) geometrické místo ohnisek, b) geometrické místo vrcholů, c) geometrické místo středů oskulačních kružnic ve vrcholech. Řešení a) Souřadnice ohnisek splňují vztah F+ y F= H (sin α+cos α)=h, (4) cožjerovnicekružnice f opoloměru H sestředemvpočátkusoustavy souřadnic. b) Souřadnice vrcholů V splňují vztahy: V = H sin α=4h sin αcos α, y V = Hsin α, V 4y V = Hcos α, V 4y V + y V = H(cos α+sin α)=h, V+4yV=4Hy v, V+4y V 4Hy V + H = H, ( y V H ) V H + ( ) =1, (43) H 18

19 Dostalijsmerovnicielipsy v,jejížstředležívbodě S[0, H ],hlavnípoloosa mádélku H ajerovnoběžnásosou,vedlejšípoloosamádélku H aje rovnoběžná s osou y. c) Souřadnice středů K vrcholových oskulačních kružnic splňují vztahy: y K +H 3 = Hsin α, K = H sin α=4h sin αcos α, 3 K 4(y K +H) = Hcos α, y K +H K 4(y K +H) = H, 4(y K +H) +9 K =1H(y K+H), 9 K+4y K+4y K H+ H =9H, ( y K + H ) K H + ) =1, (44) ( 3H Dostalijsmerovnicielipsy e,jejížstředležívbodě E[0, H ],hlavnípoloosa mádélku 3H ajerovnoběžnásosou y,vedlejšípoloosamádélku Haje rovnoběžná s osou. Geometrická místa, která jsme určili v tomto příkladě, jsou zakreslena jako křivky f, va enaobr.15anaobr.19.hmotnýbodovšemproběhnevrcholem parabolické trajektorie jen při šikmém vrhu vzhůru a při vodorovného vrhu, tedypro0 α<90.tomutointervaluodpovídajípravépolovinyzískaných křivek včetně jejich dolních bodů, ale bez společného horního bodu. Vlevo od osy y se nacházejí vrcholy, ohniska a středy oskulačních kružnic parabolických trajektoriíproelevačníúhlyvintervalu0>α> 90,kdysejednáošikmý vrh dolů a vrcholová část paraboly už není součástí trajektorie. Úloha 6. Určete poloměr křivosti ve vrcholu trajektorie šikmého vrhu vzhůru s elevačnímúhlem60,jehožpočátečnírychlostmávelikost10m s 1. 19

20 .6 Ochranná parabola Prozkoumejme nyní množinu bodů ve svislé rovině, které můžeme zasáhnout hmotným bodem vrženým z počátku soustavy souřadnic při dané velikosti počátečnírychlosti v 0.Abychomzasáhlinějakýbod X[,y],musímezvolitvhodný elevační úhel α. Trajektorie vrhu musí splňovat rovnici(35), kterou upravíme tak, aby obsahovala jedinou goniometrickou funkci úhlu α: y= tg α 4Hcos α = tg α 1+tg α 4H, (45) tg α 4Htg α+4hy+ =0. (46) Dostali jsme kvadratickou rovnici s neznámou tg α, jejíž diskriminant je D=4 (4H 4Hy ). (47) Jestliže D <0,nemárovnice(46)reálnéřešeníabod Xnelzezasáhnout.Pro D >0,eistujídvěhodnotyúhlu αprokterévrženýhmotnýbodprojdebodem Xaplatí tg α 1, = H ± 4H 4Hy. (48) Jediné řešení dostaneme, jestliže y D=0 = 4H(y H). (49) H D=0 D<0 D>0 v O H Obr. 16 0

21 Body,kterésplňujítutopodmínku,ležínaparabolesvrcholem[0,H]apoloparametrem p = H. Její ohnisko se nachází v počátku soustavy souřadnic ařídicípřímkamárovnici y=4h. Tatokřivkaohraničujeoblast,kterou můžeme zasáhnout, a nazývá se ochranná parabola(obr. 16, 19). Leží-libod Xuvnitřelipsyvrcholů v,pakpřivolběvětšíhoúhlu α 1,který dostanemezevztahu(48),jebod Xzasaženvrženýmtělesempřisestupuapři volběmenšíhoúhlu α jezasaženpřivýstupu.leží-libod Xnakřivce v,je přivolběvětšíhoúhlu α 1 zasaženpřisestupuapřivolběmenšíhoúhlu α je zasažen ve vodorovném směru. Pokud leží vně elipsy vrcholů, ale ještě uvnitř ochranné paraboly, je v obou případech zasažen při sestupu. Hmotnýbodvrženýpodúhlem αsedotkneochrannéparabolyvbodě T o souřadnicích d= T = H tg α, h=y T= H H tg α. (50) Vbodě Tmárychlosthmotnéhobodusměrtečnykochrannéparaboleiktrajektorii vrhu(obr. 17). v y T v0 h α d Obr. 17 Znalost ochranné paraboly umožňuje jednoduše řešit problémy maimálního délky vrhu, maimální výšky výstupu, minimální rychlosti potřebné k zasažení zvoleného bodu apod., které jinak vedou k použití diferenciálního počtu. Příklad 4. Zalévání terasovité zahrady Natočíme-lizahradníhadicisvislevzhůru,stříkávodadovýše H=9,5mnad ústí hadice. Zahradník bude zalévat vodorovný záhon, který se nachází ve výšce h=1,5mnadústímhadice. a) Stanovte maimální vodorovnou vzdálenost d místa dopadu vody na záhon od ústí hadice. 1

22 b) Určete pro tento případ elevační úhel α vytékající vody. c)určeteprotentopřípadvelikost vasměrovýúhel ϕrychlostivodyvmístě dopadu. Úlohu řešte nejprve obecně, pak pro dané hodnoty. Odpor vzduchu zanedbejte. Řešení a) Počátek soustavy souřadnic zvolíme v ústí hadice. Situaci znázorňuje obr. 17. Nejvzdálenější bod dopadu na záhoně nalezneme jako průsečík ochranné parabolyspřímkou y= h: = 4H(y H) y= h =d>0, d= H(H h)=17,4m. b) Příslušný elevační úhel určíme pomocí vztahu(50): d= H tg α tg α= H d = 1 1 h H =1,0897, α=47,5. c) Velikost rychlosti dopadu určíme podle vztahu(33): v= g(h h)=1,5m s 1. Pro úhel dopadu platí podle vztahu(34): tg ϕ=tg α d Hcos α =tg α 1 tg αcos α = sinα cosα 1 sinαcosα, tg ϕ= sin α 1 sinαcosα = cotg α, ϕ= (90 α)= 4,5. Příklad 5 Protirovnémusvahusesklonem βhodímekámenrychlostíovelikosti v 0. a) Určete největší vzdálenost L ve směru spádnice, do které může doletět. b)ověřte,ževtomtopřípaděmusímezvolitelevačníúhel α=β/+45. Počáteční vzdálenost kamene od roviny svahu a odpor vzduchu zanedbejte.

23 Řešení a)vyjdemezobr.18.boddopadubude průsečíkem roviny svahu s ochrannou parabolou. Ze vztahů y H =4H(H y), =Lcosβ, y= Lsinβ dostáváme kvadratickou rovnici (Lcosβ) +4HLsinβ 4H =0. Řešením úlohy je kladný kořen β L Obr. 18 L= 4Hsinβ+ 16H sin β+16h cos β cos β L= H 1+sinβ. b)elevačníúhelsplňujevztah(50).znějplyne Současně platí Úloha tg α= H Lcosβ =1+sinβ cosβ. = H(1 sinβ) 1 sin β ( ) tg β β +tg45 tg β +1 sin β +cos β tg +45 = 1 tg β = tg45 1 tg β = cos β sin β = = ( sin β +cos β ) cos β β sin tg α=tg = sin β +sin β cos β β +cos cosβ ( ) β +45 α= β +45., = 1+sinβ cosβ 7. Určete maimální vodorovnou vzdálenost, do které můžeme hodit kámen zbalkonu,je-lipočátečníbodhoduvevýšce15mapočátečnírychlost kamenemávelikost0m s 1.Jakýelevačníúhelmusímezvolit?Odpor vzduchu zanedbejte. 3

24 .7 Přehled důležitých křivek y H d H c v H S 45 O H b a H f H E H e H Obr.19:a)parabolickátrajektorieproelevačníúhel45, b) ochranná parabola, c) řídící přímka všech parabolických trajektorií, d) řídící přímka ochranné paraboly, e) elipsa středů křivosti, f) kružnice ohnisek, v) elipsa vrcholů 4

25 3 Vrh při nezanedbatelném odporu vzduchu Působení vzduchu na letící těleso může být velmi komplikované, zvláště když se jedná o těleso nepravidelného tvaru, nebo těleso, které se během letu otáčí. Uplatnísesamozřejměipohybvzduchu vítr.myseomezímenanejjednodušší případ, kdy vrženým tělesem je koule, která se neotáčí, a vzduch je v klidu vzhledem ke zvolené vztažné soustavě. Aerostatickou vztlakovou sílu zanedbáme. Pokud je rychlost koulevpodstatně menší než rychlost zvuku ve vzduchu, platí pro velikost odporu vzduchu Newtonův vzorec F o = 1 CS v, (51) kde S = πr jeobsahstředovéhořezukoule, = 1,15kg m 3 jehustota vzduchu za obvyklých podmínek a C = 0,48 je součinitel odporu. Síla odporu vzduchu má opačný směr než okamžitá rychlost koule, což můžeme vyjádřit vektorovýmvztahem Fo= 1 CS vv. (5) Pohyb koule jako hmotného bodu letícího v klidném vzduchu v homogenním tíhovém poli se řídí pohybovou rovnicí ma=fg+fo= mg 1 CS vv, a=g CS v (53) mv. Z této rovnice nedovedeme odvodit jednoduché kinematické zákony, jaké popisují vrh ve vakuu. Průběh pohybu však můžeme s potřebnou přesností popsat pomocí numerického modelování. Při numerickém modelování určíme nejprve rychlost a polohu hmotného boduvčasech t 0, t 1, t, t 3,...,kterétvoříaritmetickouposloupnostskonstantnídiferencí t=t i+1 t i.ztabulekvypočtenýchhodnotpaksestrojíme grafy časových závislostí některých kinematických veličin, nebo v určitém měřítku zobrazíme trajektorii pohybu, na které můžeme můžeme vyznačit posloupnost okamžitých poloh hmotného bodu. Eistuje řada metod numerického modelování, se kterými se můžete seznámitnapř.vestudijníchtetech[9]a[11].myzdepoužijemejednuznejjednodušších. Zvolíme-lidostatečněmalýčasovýkrok,můžemevintervalu t i, t i+1 považovat výslednou sílu, která na hmotný bod působí, a tedy i jeho zrychlení, za konstantní. Za tohoto předpokladu platí ri+1 =ri+vi t+ 1 ai( t), (54) 5

26 vi+1 =vi+ai t, (55) kdeai,vi,rijsouzrychlení,rychlostapolohovývektorvčase t i, vi+1,ri+1jsourychlostapolohovývektorvčase t i+1 = t i + t. Zrychleníai na začátku intervalu určíme z pohybové rovnice. Naše úvaha vede k postupnému cyklickému výpočtu jednotlivých polohových vektorů a okamžitých rychlostí, který lze snadno naprogramovat pro osobní počítač. Ten postupně provede výpočty: r1 =r0+v0 t+ 1 a0( t), v1 =v0+a0 t, r =r1+v1 t+ 1 a1( t), v =v1+a1 t,. Přesnost výpočtů závisí na volbě časového kroku t čím menší časový krok zvolíme, tím menší jsou relativní chyby dílčích výpočtů a tím lépe získané posloupnosti vypočtených hodnot popisují pohyb tělesa. Modelování pohybů právě popsaným způsobem velmi usnadňuje výpočetní a grafický systém FAMULUS, který zjednodušuje práci s přípravou grafů a tabulek a dovoluje uživateli, aby se soustředil na přípravu algoritmu výpočtu vycházejícího z pohybové rovnice. Další možnost numerického modelování poskytuje tabulkový kalkulátor EXCEL. Cyklické výpočty zde provádíme kopírováním skupiny buněk s příslušnými vzorci. Oběma způsoby pomocí systému FAMULUS i v EXCELu vyřešíme následující příklad. Příklad 6 a) Modelujte vrh lehkoatletické koule vržené z výšky,0 m pod elevačním úhlem40 rychlostíovelikosti14,0m s 1.Koulemáhmotnost7,6kga poloměr 6,0 cm. Model pohybu v klidném vzduchu získaný metodou numerického modelování porovnejte s modelem vrhu ve vakuu získaným užitím vzorců(10) a posuďte, jak ovlivní odpor vzduchu délku vrhu. b)stejnouúlohuřeštepromíčeknastolnítenisohmotnosti3,0gapoloměru 14mm. Řešení v systému FAMULUS Výpis programu pro FAMULUS a modely pohybů jsou na následujících stránkách(obr. 0, 1). Program cyklicky opakuje výpočty v části model, vypočtené polohyhmotnéhobodupřivrhuvevzduchuavevakuuzapisujedotabulky a ve zvoleném měřítku vynáší do soustavy souřadnic Oy. Zablokováním 4. řádkuprogramuauvolněním5.řádkupřejdemeodúkolua)kúkolub). 6

27 Z modelu na obr. 0 zjistíme, že lehkoatletická koule ve vzduchu dopadne za,034svevzdálenosti1,70m,zatímcovevakuubydopadlaza,037s ve vzdálenosti 1,85 m. Výsledky se liší jen nepatrně a trajektorie koule ve vzduchu, balistická křivka, téměř splývá s trajektorií ve vakuu. Z toho je zřejmé, že při vrhu lehkoatletické koule můžeme odpor vzduchu prakticky zanedbat a vztahy(10) dostatečně přesně popisují i pohyb koule ve vzduchu. Podstatnějinýjemodelvrhumíčkuprostolnítenisnaobr.1.Míčekdopadneužza1,815svevzdálenosti1,56majehobalistickákřivkajenesouměrná, značně odlišná od paraboly. Účinek odporu vzduchu už nemůžeme zanedbat a při popisu pohybu míčku dáme přednost numerickému modelu. Výpis programu pro FAMULUS Porovnání vrhu koule ve vakuu a ve vzduchu proměnné, konstanty, procedury a funkce g=9.8; C=0.48; ro=1.15 r=0.06; m=7.6! lehkoatletická koule! r=0.014; m=0.0030! míček na stol. tenis L=0.5*C*ro*pi*r^/m dt= počáteční hodnoty t=0; v0=14; al=40; 0=0; y0= =0; y=y0; 1=0; y1=y0 v=v0*cos(al*pi/180); vy=v0*sin(al*pi/180) DISP model v=sqrt(v^+vy^) a=-l*v*v; ay=-g-l*v*vy =+v*dt+a*dt^; y=y+vy*dt+ay*dt^ v=v+a*dt; vy=vy+ay*dt t=t+dt 1=v0*cos(al*pi/180)*t; y1=y0+v0*sin(al*pi/180)*t-g*t^/

28 Obr. 0 Model letu lehkoatletické koule Obr.1Modelvrhumíčkunastolnítenis 8

29 Řešení v EXCELu Listsvýpočtemjenaobr..Prvnídvařádkyjsouvěnoványvloženíkonstant g, C,, r, mavýpočtupomocnékonstanty L =0,5C πr.načtvrtéma pátémřádkujsouvloženypočátečníhodnoty 0, y 0, v 0, αačasovýkrokdt. Pro přehlednější zápis vzorců přiřadíme buňkám s hodnotami zadaných veličin akonstanty LnázvypříkazemVložit Název Definovat.Názvyfungují jako absolutní adresy. Vlastní tabulka numerického výpočtu modelu pohybu ve vzduchu a výpočtu pohybu ve vakuu pomocí kinematických zákonů začíná záhlavím na sedmém řádku. Na osmém řádku v buňkách A8 až E8 jsou dopočteny počáteční hodnoty t=0, = 0, y=y 0, v 0 = v 0 cosα, v y0 = v 0 sinα.vbuňkáchh8a I8 jsou kinematické vzorce pro výpočet pohybu ve vakuu. Vzorce pro cyklický výpočetmodelupohybuvevzduchuzačínajívbuňkáchf8 ag8apokračujína devátém řádku v buňkách A9 až E9. Přehled použitých vzorců je v následující tabulce: Buňka Vzorec Význam H =0,5*C*D*PI()*E^/F L=0,5C πr /m D8 =v0*cos(al*pi()/180) v 0 = v 0 cosα E8 =v0*sin(al*pi()/180) v 0y = v 0 sinα F8 =-L*D8*(D8^+E8^)^0,5 a i = Lv i v i G8 =-g-l*e8*(d8^+e8^)^0,5 a yi = g Lv yi v i H8 =$D$8*A8 =v 0 t I8 =y0+$e$8*a8-0,5*g*a8^ y= y 0 + v 0y t 0,5gt A9 =A8+dt t i+1 = t i + t B9 =B8+D8*dt+0,5*F8*dt^ i+1 = i + v i t+0,5a i ( t) C9 =C8+E8*dt+0,5*G8*dt^ y i+1 = y i + v yi t+0,5a yi ( t) D9 =D8+F8*dt v (i+1) = v i + a i t E9 =E8+G8*dt v y(i+1) = v yi + a yi t Po vypsání vzorců nejprve vybereme kurzorem oblast F8:I8 a zkopírujeme ji o řádek níže do oblasti F9:I9. Kurzor posuneme do pravého dolního rohu buňky I8, kde se změní ve vyplňovací táhlo, které má podobu černého křížku. Stiskneme levé tlačítko myši a vyplňovací táhlo posuneme do pravého dolního rohu buňky I9. Podobně postupujeme při následujícím výpočtu. Vybereme kurzorem na devátém řádku oblast A9:I9, vytvoříme vyplňovací táhlo v pravém dolním rohu buňky I9, stiskneme levé tlačítko myši a táhneme myš dolů. Vzorce v buňkách se kopírují na další řádky, přičemž se mění jejich relativní adresy. Vzápětí se provedouvýpočtyvzorců.vesloupcíchbažgvznikámodelvrhuvevzduchu,vesloupcíchhaimodelvrhuvevakuu.pohybkurzoruzastavíme,když 9

30 oběhodnotyveličin yay 1 klesnoupodnulu.vnašempříkladětonastanena řádku045.ztabulkypakvyčteme,zevevzduchukouledopadneza,034sve vzdálenosti1,69m,zatímcovevakuubyletěla,037sadopadlabyvevzdálenosti 1,85 m. Dostali jsme prakticky stejné výsledky jako při použití systému FAMULUS. Nepatrná odchylka u numerického modelu pohybu ve vzduchu je způsobena různým zaokrouhlováním čísel při dílčích výpočtech.. Obr. Výpočet letu lehkoatletické koule v EXCELu 30

31 Ktabulcenaobr.můžemevEXCELusnadnosestrojitigrafzobrazující v určitém měřítku obě trajektorie a posoudit, do jaké míry se shodují(obr. 3). Nejprve vytvoříme XY bodový graf z dat v oblasti B8:C047, který zobrazuje pohybvevzduchuapakpomocínabídkyzdrojovádata Řada Přidat doplníme průběh vrhu ve vakuu vložením dat z oblasti H8:I047. \P [P Obr. 3 Chceme-li modelovat pohyb míčku na stolní tenis, stačí změnit příslušným způsobemhodnotyvbuňkácheaf. Úloha 8. Vraťte se k příkladu 6 a porovnejte počáteční velikost odporu vzduchu a tíhovou sílu při vrhu lehkoatletické koule i při vrhu míčku na stolní tenis. 9.Golfovýmíčekmápoloměr1mmahmotnost45g.Součinitelodporuje 0,45. Modelujte jeho šikmý vrh ve vzduchu při nulové počáteční výšce a elevačnímúhlu45.prorůznévelikostipočátečnírychlostijejporovnejte s pohybem ve vakuu. Zjistěte, při které velikosti počáteční rychlosti je délka vrhuvevzduchuo10%menšíneždélkavrhuvevakuu. 31