VRHY. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Zdeněk Polák a Přemysl Šedivý. Úvod 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "VRHY. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku. Zdeněk Polák a Přemysl Šedivý. Úvod 2"

Transkript

1 VRHY Studijní tet pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Zdeněk Polák a Přemysl Šedivý Obsah Úvod 1 Matematická příprava 1.1 Některévlastnostiparaboly,kružniceaelipsy Některévztahymezigoniometrickýmifunkcemi Vrhvhomogennímtíhovémpolivevakuu 7.1 Obecnékinematickézákonyvrhuvevakuu Svislývrhvzhůrusnulovoupočátečnívýškou Vodorovnývrhzvýšky h Vrhšikmývzhůrusnulovoupočátečnívýškou Geometrické vlastnosti šikmého vrhu vzhůru s nulovou počáteční výškou Ochrannáparabola Přehleddůležitýchkřivek Vrh při nezanedbatelném odporu vzduchu 5 Literatura 3 Výsledky úloh 3

2 Úvod Vrhem rozumíme pohyb tělesa, na které po uvedení do pohybu v tíhovém poli Země působí jen tíhová síla a aerodynamická síla vzduchu. Je-li počáteční rychlost tělesa mnohem menší než první kosmická rychlost, jsou rozměry trajektorie velmi malé ve srovnání s poloměrem Země. Tíhové pole v oblasti vrhu můžeme považovat za homogenní a hustotu vzduchu za konstantní. Doba letu tělesa je v takovém případě velmi malá ve srovnání s periodou otáčení Země. Zemskou rotaci můžeme tedy zanedbat a vztažnou soustavu spojenou se Zemí považovat za inerciální. Aerodynamická síla působící na letící těleso závisí na jeho okamžité rychlosti, tvaru, rozměrech a vlastnostech povrchu. Významně se projevuje i případná vlastní rotace vrženého tělesa. Přesný matematický popis vrhu ve vzduchu by byl velmi složitý. Pokud však vržené těleso má velkou hmotnost při malých rozměrech a nepohybuje se příliš rychle, může být aerodynamická síla zanedbatelná v porovnání se silou tíhovou. Pohyb pak probíhá prakticky stejně jako vrh ve vakuu, jehož kinematické zákony se dají vyjádřit jednoduchými matematickými vztahy. V tomto studijním tetu zopakujeme a doplníme poznatky o různých typech vrhů ve vakuu. Vržené těleso budeme považovat za hmotný bod, na který působí během letu jen tíhová sílafg = mg. Pro tíhové zrychlení použijeme hodnotu g=9,8m s. Dále se budeme zabývat numerickými metodami modelování vrhu ve vzduchu v případě, že aerodynamická síla působí jako odpor prostředí proti směru okamžité rychlosti. V konkrétních případech porovnáme vrh ve vzduchu s vrhem ve vakuu a posoudíme, zda je možno odpor vzduchu zanedbat. Nejprve ale projdeme některé matematické vztahy a poučky, jejichž znalosti jsou potřebné pro hladké zvládnutí následující teorie. 1 Matematická příprava 1.1 Některé vlastnosti paraboly, kružnice a elipsy Parabola je geometrické místo bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost oddanéhobodu Faoddanépřímky d,kterátímtobodemneprochází(obr.1). Bod Fsenazýváohniskoparabolyapřímka djeřídicípřímkaparaboly.vzdálenost pohniskaodřídicípřímkynazývámepoloparametrparaboly 1 ).Průvodiče 1 Vněkterýchučebnicíchse pnazýváparametrparaboly.

3 bodu Xparabolyjsouúsečky XFa XQ,kde Qjepatakolmicezbodu Xna řídicí přímku. Podle definice XF = XQ. Osa paraboly o prochází ohniskem kolmo k řídicí přímce. Na ose leží vrchol paraboly V. Q Q v N P Q 1 M ε ε X t d V F o X d v V F o p Obr.1 Obr. Tečnuparabolyvjejímbodě Xsestrojímejakoosu túhlu FXQ.Vzdálenostkaždéhobodu M X přímky todřídicípřímkyjetotižmenšínež vzdálenostodohniska.podleobr.: MN < MQ = MF.Všechnybody přímky t kromě bodu X leží tedy na vnější straně paraboly. Ze shodnosti trojúhelníků PFVa PQ 1 Qpakplyne,žebod Ptečnypůlíúsečku V Q 1 navrcholové tečně v. Při studiu vrhů budeme pracovat s parabolami, jejichž osy jsou svislé a u kterých ohnisko leží pod vrcholem. Umístíme-li počátek soustavy souřadnic dovrcholuparaboly(obr.3),platíprokaždýjejíbod X[,y]; a <0 ( XF = + y p ( = XQ ) = y + p, ) + p 4 p y + y = p 4 + p y + y, =p y = py. (1) Jestližetečnavkterémkolivbodě Xparabolypůlíúheljehoprůvodičů,znamenáto,že světelné paprsky, které dopadají na parabolické zrcadlo ve směru optické osy, se po odrazu soustřeďují do ohniska. 3

4 Vztah(1) se nazývá vrcholová rovnice paraboly pro parabolu umístěnou podle obr. 3. Posuneme-livrcholparabolydobodu V[m,n](obr.4),změníserovnice paraboly na Po dosazení dostaneme: ( ) = py, kde = m, y = y n. ( m) = p(y n). () p/ p/ y=o V=O F Q d =v y y n O V[m,n] m X[, y] Obr.3 Obr.4 Kružnice se středem v počátku soustavy souřadnic a poloměrem r má rovnici + y = r. (3) Posuneme-li střed kružnice do bodu S[m, n](obr. 5), změní se rovnice kružnice na ( ) +(y ) =( m) +(y n) = r. (4) Elipsa je geometrické místo bodů v rovině, které mají od dvou pevných bodů F 1, F stálýsoučetvzdálenostía > F 1 F (obr.6).body F 1, F se nazývajíohniskaelipsy,přímka F 1 F jehlavníosaelipsy.střed Súsečky F 1 F je střed elipsy, kolmice vedená středem elipsy k hlavní ose se nazývá vedlejší osaelipsy.průsečíky A, B, C, Delipsysosamisenazývajívrcholyelipsy.Je-li Xbodelipsy,pakúsečky XF 1 a XF jsoujehoprůvodiče. 4

5 y y n r S[m, n] r O m Obr.5 Vtrojúhelníku F 1 SCje F 1 C =adélkahlavnípoloosy, SC =bjedélka vedlejšípoloosya SF 1 =ejeecentricitaelipsy.platí a C a = b + e. (5) a b B e S F A F 1 X D Obr. 6 Umístíme-li elipsu podle obr. 7, platí pro kterýkoliv bod X elipsy XF 1 + XF = (+e) + y + ( e) + y =a. Umocněním této rovnosti a algebraickou úpravou dojdeme ke vztahu (+e) + y ( e) + y =a ( + y + e ) a dalším umocněním a úpravou dojdeme ke vztahu (a e ) + a y = a (a e ), 5

6 který můžeme upravit na rovnici elipsy v osové poloze b a a + y y C b=1. (6) X A F 1 e S=O F B D Obr. 7 Posuneme-listředelipsydobodu S[m,n](obr.8),změníserovniceelipsyna a + y m) =( b a + y y (y n) b =1. (7) n a b S[m, n] O m Obr.8 Pokudelipsuještěotočímeokolojejíhostředuo90 tak,abyhlavníosabyla rovnoběžnásosou y,budemítjejírovnicetvar ( m) (y n) b + a =1. (8) 6

7 1. Některé vztahy mezi goniometrickými funkcemi V tomto studijním tetu použijeme následující goniometrické vzorce: Prokaždé α R: sin α+cos α=1 sinα=sinαcosα cosα=cos α sin α Pro α 90 + k 180, k Z: sinα cosα =tg α cos 1 α= 1+tg α Pro α k 180 cosα k Z: sinα =cotg α Pro α k 90 k Z: cotg α=tg(90 α) Pro všechny hodnoty α, β, pro které jsou funkce tangens a zlomek definovány: tg α+tg β tg(α+β)= 1 tg αtg β Vrhvhomogennímtíhovémpolivevakuu.1 Obecné kinematické zákony vrhu ve vakuu Hmotnýbod,kterémuvčase t=0udělímepočátečnírychlostv0anakterý pakpůsobíjentíhovásílafg= mg,sepohybujeskonstantnímtíhovýmzrychlenímg. Koná složený pohyb, při kterém současně probíhá rovnoměrný přímočarý pohyb stálou rychlostív0 a rovnoměrně zrychlený volný pád ve svislém směru. Oba pohyby jsou vzájemně nezávislé. Počáteční rychlostv0 svírá s vodorovnou rovinou elevační úhel α. Podle jeho velikosti rozlišujeme vrhsvislývzhůru(α=90 ), vrhšikmývzhůru(90 > α >0 ), vrhvodorovný(α=0 ), vrhšikmýdolů(0 > α > 90 ), vrhsvislýdolů(α= 90 ). Trajektorie šikmého nebo vodorovného vrhu leží ve svislé rovině určené počátečnímbodem X 0 avektorempočátečnírychlosti.propopispohybupoužíváme dvojrozměrnou soustavou souřadnic Oy, ve které obvykle volíme klad- 7

8 nou poloosu ve směru vodorovné složky počáteční rychlostiv0a kladnou poloosu y orientujeme svisle vzhůru(obr. 9). Polohahmotnéhobodupouplynutídoby todzačátkuvrhujeurčenapolohovýmvektorem r=r0+v0t+ 1 gt, (9) kterýjesoučtempolohovéhovektorupočátečníhobodu X 0,rovnoměrnéhoposunutí ve směru počáteční rychlosti a rovnoměrně zrychleného posunutí volného pádu. V souřadnicové soustavě Oy platí r0=( 0,y 0 )v0=(v 0 cosα,v 0 sinα)g=(0, g). Vektorový vztah(9) můžeme tedy rozepsat podle souřadnic a dostaneme soustavu dvou rovnic = 0 + v 0 tcosα, y= y 0 + v 0 tsinα 1 gt. (10) Okamžitá rychlost vrženého hmotného bodu je vektorovým součtem konstantní rychlostiv0 rovnoměrného pohybu a rychlosti volného pádu(obr. 9) v=v0+gt. (11) Rozepsáním podle souřadnic dostaneme soustavu rovnic v = v 0 = v 0 cosα, v y = v 0y gt=v 0 sinα gt. (1) Pokudje v y >0,hmotnýbodstoupá,pokudje v y <0,klesá.Vnejvyššímbodě trajektorieje v y =0.Vektorokamžitérychlostišikméhonebovodorovného vrhu má vždy směr tečny v příslušném bodě trajektorie. Jeho směrový úhel ϕ určíme pomocí vztahu tg ϕ= v y v = v 0sinα gt v 0 cosα. (13) Při svislém vrhu se hmotný bod nachází trvale na jediné svislé přímce. Tu volíme jako osu y soustavy souřadnic Oy a kladnou poloosu y orientujeme svisle vzhůru. Osu můžeme volit v libovolném vodorovném směru. Uplatní se jen svislé souřadnice kinematických veličin, vodorovné souřadnice jsou trvale nulové. 8

9 y g v0t r0 r O Obr.9 X 0 v0 α X vy D 1 gt v0 v ϕ vgt. Svislý vrh vzhůru s nulovou počáteční výškou Vyjdemezobr.10.Vtomtopřípadějer0=(0,0),v0=(0,v 0 ) akinematické zákony vrhu(10),(1) se zredukují na vztahy y= v 0 t 1 gt, v y = v 0 gt. (14) Usvisléhovrhuvzhůrunásnejčastějizajímádobavýstupu t v,dobaletu t d a výška výstupu H. V okamžiku dosažení nejvyššího bodu trajektorie platí t=t v, v y = v 0 gt v =0, t v = v 0 g, V okamžiku dopadu platí t=t d, y= v 0 t d 1 gt d= y= H= v 0 t v 1 gt v = v 0 g v 0 g = v 0 g. ( v 0 1 ) gt d t d =0, t d = v 0 g =t v. 9

10 v y V t=t v : v y =0, y= H Hv0 X 0 =O t=t d : y=0 Obr. 10 Vztah pro výpočet výšky svislého vrhu vzhůru odvodíme také jednoduše užitím zákona zachování energie: Kinetická energie hmotného bodu na počátku vrhu je stejná jako potenciální energie v nejvyšším bodě trajektorie. 1 mv 0 = mgh, H= v 0 g. (15) Úlohy 1. Předmět vymrštěný při výbuchu svisle vzhůru dopadl zpět za 5,5 s. Určete jeho počáteční rychlost a výšku výstupu. Odpor vzduchu zanedbejte..míčspadlzvýšky1,6maodrazilsedovýšky1,m.porovnejtevelikost rychlosti těsně před dopadem a těsně po odrazu. 10

11 .3 Vodorovnývrhzvýšky h Vyjdeme z obr. 11. Osu volíme v rovině dopadu, osa y prochází počátečním bodem X 0.Vtomtopřípaděplatír0 =(0,h),v0 =(v 0,0). Kinematické zákony(10),(1) se zredukují na vztahy y X 0 h v0 =v 0 t, y=h 1 gt, (16) v = v 0 v, v y = gt. (17) ϕ O d D v0 ϕ d vdgt d Obr. 11 Dobuletu t d adélkuvrhu durčímezpodmínky,ževčase t=t d platí y=0. h 1 gt d =0 t h d= g, d=v h 0t d = v 0 g. (18) Rychlost v okamžiku dopadu má velikost v d = v0 +(gt d) = v0 +gh. (19) Ke stejnému výsledku dojdeme i ze zákona zachování energie. Kinetická energie hmotného bodu v okamžiku dopadu je rovna součtu potenciální a kinetické energie na počátku vrhu: 1 mv d= 1 mv 0+ mgh v d = v 0 +gh. Pro směrový úhel vektoru rychlosti v okamžiku dopadu platí tg ϕ d = gt d v 0. (0) 11

12 Příklad 1 Zvodorovnétrubkyzakončenévesvisléstěněvevýšce1,00mvytékávodaa dopadávevzdálenosti1,5modstěny.určeterychlostvodyvústítrubkya v místě dopadu. Řešte obecně a pro dané hodnoty. Odpor vzduchu zanedbejte. Řešení Vyjdeme ze vztahů(18),(19) a(0). Platí: h t d = g =0,45s, v 0= d =,77m s 1, t d v= v 0 +gh=5,m s 1 tg ϕ= gt d v 0 = 1,60, ϕ= 58. Všimněme si nyní některých geometrických vlastností trajektorie vodorovného vrhu. V rovnicích(16) můžeme vyloučit čas: t= v 0, y= h 1 g ( v 0 ). Úpravou dostaneme rovnici trajektorie vodorovného vrhu ve vrcholovém tvaru: = v 0 (h y)=p(h y). (1) g Vrcholparabolyležívbodě X 0 =[0,h],poloparametrje p= v 0 g. () Tečnu k trajektorii v bodě dopadu a ohnisko paraboly můžeme určit podle obr. 1. Platí tg ϕ d = gt d v 0 = gt d v 0 t d = h d = h d V P = PD 1 = d, V F = V P tg ϕ d = d d h = d 4h = v 0 t d gt = v 0 d g = p. 1

13 p y V=X 0 Fgv0 ϕ d d P D 1 ϕ d h p D K vd Obr. 1 V okolí vrcholu můžeme parabolu velmi přesně nahradit obloukem oskulační kružnice. Určeme její poloměr, který nazýváme poloměr křivosti ve vrcholu. Tíhová síla na počátku vodorovného vrhu působí kolmo k vektoru rychlosti. Pohyb v malém počátečním úseku tedy probíhá jako rovnoměrný pohyb po kružnici a tíhové zrychlení se uplatní jako zrychlení dostředivé: a d = v 0 = g, = v 0 g = p. (3) Poloměr oskulační kružnice ve vrcholu paraboly je roven jejímu poloparametru. Střed křivosti K leží ve dvojnásobné vzdálenosti od vrcholu než ohnisko F (obr.1). Úloha 3. Nakreslete ve vhodném měřítku přibližně tvar trajektorie vody v příkladu 1. Postupujte přitom podle obr. 1: Sestrojte tečnu k trajektorii v bodě dopadu. Nalezněte ohnisko a střed oskulační kružnice ve vrcholu. Sestrojte obloukoskulačníkružnice.pomocívhodnéhokřivítka,nebo odruky nakreslete křivku, která v blízkosti vrcholu bude splývat s oskulační kružnicí avbodědopadusebudedotýkattečny. 13

14 .4 Vrh šikmý vzhůru s nulovou počáteční výškou Vyjdemezobr.13.Volíme O=X 0 akinematickézákony(10),(1)sezjednoduší na =v 0 tcosα, y= v 0 tsinα 1 gt, (4) v = v 0 cosα, v y = v 0 v sinα gt. (5) y Vv0 ϕ h O=X 0 v0yv0v0 α d D ϕd Obr. 13 vd Vrcholutrajektorie V dosáhnehmotnýbodzadobuvýstupu t v.včase t=t v platí v y = v 0 sinα gt v =0 t v = v 0sinα. (6) g Souřadnice vrcholu jsou V = v 0 t v cosα= v 0 g sinαcosα= v 0 sinα, (7) g y V = v 0 t v sinα 1 gt v= v 0sin α g v 0sin α g = v 0 g sin α. (8) Výraz v 0 g = H jerovenvýšcesvisléhovrhuvzhůruspočátečnírychlostí v 0. Zavedením této substituce dostaneme V = Hsinα, y V = Hsin α. (9) Zvětšujeme-lielevačníúhel,výškašikméhovrhuvzhůru h=y V Pro α=90 jesinα=1, h=h. sezvětšuje. 14

15 Vokamžikudopaduje t=t d, y=v 0 t d sinα 1 gt d = t d ( v 0 sinα 1 ) gt d =0, Délka šikmého vrhu je t d = v 0 g sinα=t v. (30) d= D = v 0 t d cosα= v 0 g sinαcosα=hsinα. (31) Zvětšujeme-li elevační úhel, délka šikmého vrhu se nejprve zvětšuje, až pro sinα=1,tj.pro α=45 dosáhnemaima d ma =H.Přidalšímzvětšování elevačního úhlu se délka vrhu zmenšuje(obr. 14). H y ,5H O 15 H Obr. 14 Vztah pro výpočet výšky vrhu můžeme také odvodit užitím zákona zachování energie. Počáteční kinetická energie hmotného bodu se rovná součtu kinetické a potenciální energie v libovolném bodě trajektorie: 1 mv 0= mgy+ 1 mv. (3) Vevrcholutrajektorie,kde y=h, v y =0, v= v = v 0 cosα dostaneme 1 mv 0 = mgh+1 mv 0 cos α, h= v 0 g (1 cos α)=hsin α. 15

16 Vztah(3) také umožňuje určit velikost rychlosti vrženého hmotného bodu v libovolné výšce y: ( ) v v = v0 gy=g 0 g y =g(h y), v= g(h y). (33) Hmotnýbod mátedy vevýšce y stejně velkourychlost,jakokdybypadal volnýmpádemzvýšky Haprolétldráhu H y. Směr okamžité rychlosti hmotného bodu závisí na jeho vodorovné souřadnici podle vztahu tg ϕ= v y = v 0sinα gt =tg α v v 0 cosα g v 0 cos α =tg α Hcos α (34) Příklad Míč ležící na fotbalovém hřišti byl vykopnut do vzdálenosti 5 m, kam dopadl zadobu1,9s.určetevelikostasměrjehopočátečnírychlostiavýšku,dokteré během letu vystoupil. Řešte obecně a pak pro dané hodnoty. Odpor vzduchu zanedbejte. Řešení Vyjdeme ze vztahů(8),(30) a(31). Platí: t d d = Úlohy 4v 0 sin α g v 0 sinαcosα g h d = = tg α g v 0 sin α g v 0 sinαcosα g = tg α 4, tg α= gt d d =0,7076, α=35,3,, h= dtg α 4 v 0 = gt d sinα =16,1m s 1. = gt d 8 =4,4m, 4.Kámenvystřelenýzprakusvislevzhůruvystoupildovýše40m.Podjakým elevačním úhlem bychom museli kámen vystřelit stejně velkou počáteční rychlostí, aby zasáhl cíl ležící ve vodorovné rovině procházející místem výstřelu a vzdálený 50 m? Odpor vzduchu zanedbejte. 5. Jaký musí být elevační úhel šikmého vrhu s nulovou počáteční výškou, aby délka a výška vrhu byly stejné? 16

17 .5 Geometrické vlastnosti trajektorie šikmého vrhu vzhůru s nulovou počáteční výškou V rovnicích(4) vyloučíme čas a získaný vztah upravíme: t= ( ) v 0 cosα, y= v 0sinα v 0 cosα 1 g, v 0 cosα y=tg α g 1 v0 cos α = tg α 4Hcos α, (35) 4Hsinαcosα= 4Hycos α, ( Hsinαcosα) = 4Hycos α+4h sin αcos α, ( Hsinα) = 4Hcos α(y Hsin α)= p(y Hsin α). (36) Dostalijsmevrcholovourovniciparabolysvrcholem V =[Hsinα,Hsin α] (viz také vztahy(9)) a poloparametrem p=hcos α. (37) y d H H H O S α v0 k f e K V F p p p D E Obr

18 Nyníjižpodleobr.15snadnourčímesouřadniceohniska Fastředuoskulační kružnice K: F = K = V = Hsinα, (38) y F = y V p = H(sin α cos α)= Hcosα, (39) y K = y V p=h(sin α cos α)=h(3sin α ). (40) Rovnice řídicí přímky d je pak y= y V + p = H(sin α+cos α)=h. (41) Výsledek nezávisí na elevačním úhlu α. Všechny paraboly, které dostaneme pro určitouvelikostpočátečnírychlosti v 0 arůznéelevačníúhly,majítedytutéž řídicí přímku. Příklad 3 Pro všechny parabolické trajektorie vrhů s nulovou počáteční výškou a stejně velkou počáteční rychlostí určete a) geometrické místo ohnisek, b) geometrické místo vrcholů, c) geometrické místo středů oskulačních kružnic ve vrcholech. Řešení a) Souřadnice ohnisek splňují vztah F+ y F= H (sin α+cos α)=h, (4) cožjerovnicekružnice f opoloměru H sestředemvpočátkusoustavy souřadnic. b) Souřadnice vrcholů V splňují vztahy: V = H sin α=4h sin αcos α, y V = Hsin α, V 4y V = Hcos α, V 4y V + y V = H(cos α+sin α)=h, V+4yV=4Hy v, V+4y V 4Hy V + H = H, ( y V H ) V H + ( ) =1, (43) H 18

19 Dostalijsmerovnicielipsy v,jejížstředležívbodě S[0, H ],hlavnípoloosa mádélku H ajerovnoběžnásosou,vedlejšípoloosamádélku H aje rovnoběžná s osou y. c) Souřadnice středů K vrcholových oskulačních kružnic splňují vztahy: y K +H 3 = Hsin α, K = H sin α=4h sin αcos α, 3 K 4(y K +H) = Hcos α, y K +H K 4(y K +H) = H, 4(y K +H) +9 K =1H(y K+H), 9 K+4y K+4y K H+ H =9H, ( y K + H ) K H + ) =1, (44) ( 3H Dostalijsmerovnicielipsy e,jejížstředležívbodě E[0, H ],hlavnípoloosa mádélku 3H ajerovnoběžnásosou y,vedlejšípoloosamádélku Haje rovnoběžná s osou. Geometrická místa, která jsme určili v tomto příkladě, jsou zakreslena jako křivky f, va enaobr.15anaobr.19.hmotnýbodovšemproběhnevrcholem parabolické trajektorie jen při šikmém vrhu vzhůru a při vodorovného vrhu, tedypro0 α<90.tomutointervaluodpovídajípravépolovinyzískaných křivek včetně jejich dolních bodů, ale bez společného horního bodu. Vlevo od osy y se nacházejí vrcholy, ohniska a středy oskulačních kružnic parabolických trajektoriíproelevačníúhlyvintervalu0>α> 90,kdysejednáošikmý vrh dolů a vrcholová část paraboly už není součástí trajektorie. Úloha 6. Určete poloměr křivosti ve vrcholu trajektorie šikmého vrhu vzhůru s elevačnímúhlem60,jehožpočátečnírychlostmávelikost10m s 1. 19

20 .6 Ochranná parabola Prozkoumejme nyní množinu bodů ve svislé rovině, které můžeme zasáhnout hmotným bodem vrženým z počátku soustavy souřadnic při dané velikosti počátečnírychlosti v 0.Abychomzasáhlinějakýbod X[,y],musímezvolitvhodný elevační úhel α. Trajektorie vrhu musí splňovat rovnici(35), kterou upravíme tak, aby obsahovala jedinou goniometrickou funkci úhlu α: y= tg α 4Hcos α = tg α 1+tg α 4H, (45) tg α 4Htg α+4hy+ =0. (46) Dostali jsme kvadratickou rovnici s neznámou tg α, jejíž diskriminant je D=4 (4H 4Hy ). (47) Jestliže D <0,nemárovnice(46)reálnéřešeníabod Xnelzezasáhnout.Pro D >0,eistujídvěhodnotyúhlu αprokterévrženýhmotnýbodprojdebodem Xaplatí tg α 1, = H ± 4H 4Hy. (48) Jediné řešení dostaneme, jestliže y D=0 = 4H(y H). (49) H D=0 D<0 D>0 v O H Obr. 16 0

21 Body,kterésplňujítutopodmínku,ležínaparabolesvrcholem[0,H]apoloparametrem p = H. Její ohnisko se nachází v počátku soustavy souřadnic ařídicípřímkamárovnici y=4h. Tatokřivkaohraničujeoblast,kterou můžeme zasáhnout, a nazývá se ochranná parabola(obr. 16, 19). Leží-libod Xuvnitřelipsyvrcholů v,pakpřivolběvětšíhoúhlu α 1,který dostanemezevztahu(48),jebod Xzasaženvrženýmtělesempřisestupuapři volběmenšíhoúhlu α jezasaženpřivýstupu.leží-libod Xnakřivce v,je přivolběvětšíhoúhlu α 1 zasaženpřisestupuapřivolběmenšíhoúhlu α je zasažen ve vodorovném směru. Pokud leží vně elipsy vrcholů, ale ještě uvnitř ochranné paraboly, je v obou případech zasažen při sestupu. Hmotnýbodvrženýpodúhlem αsedotkneochrannéparabolyvbodě T o souřadnicích d= T = H tg α, h=y T= H H tg α. (50) Vbodě Tmárychlosthmotnéhobodusměrtečnykochrannéparaboleiktrajektorii vrhu(obr. 17). v y T v0 h α d Obr. 17 Znalost ochranné paraboly umožňuje jednoduše řešit problémy maimálního délky vrhu, maimální výšky výstupu, minimální rychlosti potřebné k zasažení zvoleného bodu apod., které jinak vedou k použití diferenciálního počtu. Příklad 4. Zalévání terasovité zahrady Natočíme-lizahradníhadicisvislevzhůru,stříkávodadovýše H=9,5mnad ústí hadice. Zahradník bude zalévat vodorovný záhon, který se nachází ve výšce h=1,5mnadústímhadice. a) Stanovte maimální vodorovnou vzdálenost d místa dopadu vody na záhon od ústí hadice. 1

22 b) Určete pro tento případ elevační úhel α vytékající vody. c)určeteprotentopřípadvelikost vasměrovýúhel ϕrychlostivodyvmístě dopadu. Úlohu řešte nejprve obecně, pak pro dané hodnoty. Odpor vzduchu zanedbejte. Řešení a) Počátek soustavy souřadnic zvolíme v ústí hadice. Situaci znázorňuje obr. 17. Nejvzdálenější bod dopadu na záhoně nalezneme jako průsečík ochranné parabolyspřímkou y= h: = 4H(y H) y= h =d>0, d= H(H h)=17,4m. b) Příslušný elevační úhel určíme pomocí vztahu(50): d= H tg α tg α= H d = 1 1 h H =1,0897, α=47,5. c) Velikost rychlosti dopadu určíme podle vztahu(33): v= g(h h)=1,5m s 1. Pro úhel dopadu platí podle vztahu(34): tg ϕ=tg α d Hcos α =tg α 1 tg αcos α = sinα cosα 1 sinαcosα, tg ϕ= sin α 1 sinαcosα = cotg α, ϕ= (90 α)= 4,5. Příklad 5 Protirovnémusvahusesklonem βhodímekámenrychlostíovelikosti v 0. a) Určete největší vzdálenost L ve směru spádnice, do které může doletět. b)ověřte,ževtomtopřípaděmusímezvolitelevačníúhel α=β/+45. Počáteční vzdálenost kamene od roviny svahu a odpor vzduchu zanedbejte.

23 Řešení a)vyjdemezobr.18.boddopadubude průsečíkem roviny svahu s ochrannou parabolou. Ze vztahů y H =4H(H y), =Lcosβ, y= Lsinβ dostáváme kvadratickou rovnici (Lcosβ) +4HLsinβ 4H =0. Řešením úlohy je kladný kořen β L Obr. 18 L= 4Hsinβ+ 16H sin β+16h cos β cos β L= H 1+sinβ. b)elevačníúhelsplňujevztah(50).znějplyne Současně platí Úloha tg α= H Lcosβ =1+sinβ cosβ. = H(1 sinβ) 1 sin β ( ) tg β β +tg45 tg β +1 sin β +cos β tg +45 = 1 tg β = tg45 1 tg β = cos β sin β = = ( sin β +cos β ) cos β β sin tg α=tg = sin β +sin β cos β β +cos cosβ ( ) β +45 α= β +45., = 1+sinβ cosβ 7. Určete maimální vodorovnou vzdálenost, do které můžeme hodit kámen zbalkonu,je-lipočátečníbodhoduvevýšce15mapočátečnírychlost kamenemávelikost0m s 1.Jakýelevačníúhelmusímezvolit?Odpor vzduchu zanedbejte. 3

24 .7 Přehled důležitých křivek y H d H c v H S 45 O H b a H f H E H e H Obr.19:a)parabolickátrajektorieproelevačníúhel45, b) ochranná parabola, c) řídící přímka všech parabolických trajektorií, d) řídící přímka ochranné paraboly, e) elipsa středů křivosti, f) kružnice ohnisek, v) elipsa vrcholů 4

25 3 Vrh při nezanedbatelném odporu vzduchu Působení vzduchu na letící těleso může být velmi komplikované, zvláště když se jedná o těleso nepravidelného tvaru, nebo těleso, které se během letu otáčí. Uplatnísesamozřejměipohybvzduchu vítr.myseomezímenanejjednodušší případ, kdy vrženým tělesem je koule, která se neotáčí, a vzduch je v klidu vzhledem ke zvolené vztažné soustavě. Aerostatickou vztlakovou sílu zanedbáme. Pokud je rychlost koulevpodstatně menší než rychlost zvuku ve vzduchu, platí pro velikost odporu vzduchu Newtonův vzorec F o = 1 CS v, (51) kde S = πr jeobsahstředovéhořezukoule, = 1,15kg m 3 jehustota vzduchu za obvyklých podmínek a C = 0,48 je součinitel odporu. Síla odporu vzduchu má opačný směr než okamžitá rychlost koule, což můžeme vyjádřit vektorovýmvztahem Fo= 1 CS vv. (5) Pohyb koule jako hmotného bodu letícího v klidném vzduchu v homogenním tíhovém poli se řídí pohybovou rovnicí ma=fg+fo= mg 1 CS vv, a=g CS v (53) mv. Z této rovnice nedovedeme odvodit jednoduché kinematické zákony, jaké popisují vrh ve vakuu. Průběh pohybu však můžeme s potřebnou přesností popsat pomocí numerického modelování. Při numerickém modelování určíme nejprve rychlost a polohu hmotného boduvčasech t 0, t 1, t, t 3,...,kterétvoříaritmetickouposloupnostskonstantnídiferencí t=t i+1 t i.ztabulekvypočtenýchhodnotpaksestrojíme grafy časových závislostí některých kinematických veličin, nebo v určitém měřítku zobrazíme trajektorii pohybu, na které můžeme můžeme vyznačit posloupnost okamžitých poloh hmotného bodu. Eistuje řada metod numerického modelování, se kterými se můžete seznámitnapř.vestudijníchtetech[9]a[11].myzdepoužijemejednuznejjednodušších. Zvolíme-lidostatečněmalýčasovýkrok,můžemevintervalu t i, t i+1 považovat výslednou sílu, která na hmotný bod působí, a tedy i jeho zrychlení, za konstantní. Za tohoto předpokladu platí ri+1 =ri+vi t+ 1 ai( t), (54) 5

26 vi+1 =vi+ai t, (55) kdeai,vi,rijsouzrychlení,rychlostapolohovývektorvčase t i, vi+1,ri+1jsourychlostapolohovývektorvčase t i+1 = t i + t. Zrychleníai na začátku intervalu určíme z pohybové rovnice. Naše úvaha vede k postupnému cyklickému výpočtu jednotlivých polohových vektorů a okamžitých rychlostí, který lze snadno naprogramovat pro osobní počítač. Ten postupně provede výpočty: r1 =r0+v0 t+ 1 a0( t), v1 =v0+a0 t, r =r1+v1 t+ 1 a1( t), v =v1+a1 t,. Přesnost výpočtů závisí na volbě časového kroku t čím menší časový krok zvolíme, tím menší jsou relativní chyby dílčích výpočtů a tím lépe získané posloupnosti vypočtených hodnot popisují pohyb tělesa. Modelování pohybů právě popsaným způsobem velmi usnadňuje výpočetní a grafický systém FAMULUS, který zjednodušuje práci s přípravou grafů a tabulek a dovoluje uživateli, aby se soustředil na přípravu algoritmu výpočtu vycházejícího z pohybové rovnice. Další možnost numerického modelování poskytuje tabulkový kalkulátor EXCEL. Cyklické výpočty zde provádíme kopírováním skupiny buněk s příslušnými vzorci. Oběma způsoby pomocí systému FAMULUS i v EXCELu vyřešíme následující příklad. Příklad 6 a) Modelujte vrh lehkoatletické koule vržené z výšky,0 m pod elevačním úhlem40 rychlostíovelikosti14,0m s 1.Koulemáhmotnost7,6kga poloměr 6,0 cm. Model pohybu v klidném vzduchu získaný metodou numerického modelování porovnejte s modelem vrhu ve vakuu získaným užitím vzorců(10) a posuďte, jak ovlivní odpor vzduchu délku vrhu. b)stejnouúlohuřeštepromíčeknastolnítenisohmotnosti3,0gapoloměru 14mm. Řešení v systému FAMULUS Výpis programu pro FAMULUS a modely pohybů jsou na následujících stránkách(obr. 0, 1). Program cyklicky opakuje výpočty v části model, vypočtené polohyhmotnéhobodupřivrhuvevzduchuavevakuuzapisujedotabulky a ve zvoleném měřítku vynáší do soustavy souřadnic Oy. Zablokováním 4. řádkuprogramuauvolněním5.řádkupřejdemeodúkolua)kúkolub). 6

27 Z modelu na obr. 0 zjistíme, že lehkoatletická koule ve vzduchu dopadne za,034svevzdálenosti1,70m,zatímcovevakuubydopadlaza,037s ve vzdálenosti 1,85 m. Výsledky se liší jen nepatrně a trajektorie koule ve vzduchu, balistická křivka, téměř splývá s trajektorií ve vakuu. Z toho je zřejmé, že při vrhu lehkoatletické koule můžeme odpor vzduchu prakticky zanedbat a vztahy(10) dostatečně přesně popisují i pohyb koule ve vzduchu. Podstatnějinýjemodelvrhumíčkuprostolnítenisnaobr.1.Míčekdopadneužza1,815svevzdálenosti1,56majehobalistickákřivkajenesouměrná, značně odlišná od paraboly. Účinek odporu vzduchu už nemůžeme zanedbat a při popisu pohybu míčku dáme přednost numerickému modelu. Výpis programu pro FAMULUS Porovnání vrhu koule ve vakuu a ve vzduchu proměnné, konstanty, procedury a funkce g=9.8; C=0.48; ro=1.15 r=0.06; m=7.6! lehkoatletická koule! r=0.014; m=0.0030! míček na stol. tenis L=0.5*C*ro*pi*r^/m dt= počáteční hodnoty t=0; v0=14; al=40; 0=0; y0= =0; y=y0; 1=0; y1=y0 v=v0*cos(al*pi/180); vy=v0*sin(al*pi/180) DISP model v=sqrt(v^+vy^) a=-l*v*v; ay=-g-l*v*vy =+v*dt+a*dt^; y=y+vy*dt+ay*dt^ v=v+a*dt; vy=vy+ay*dt t=t+dt 1=v0*cos(al*pi/180)*t; y1=y0+v0*sin(al*pi/180)*t-g*t^/

28 Obr. 0 Model letu lehkoatletické koule Obr.1Modelvrhumíčkunastolnítenis 8

29 Řešení v EXCELu Listsvýpočtemjenaobr..Prvnídvařádkyjsouvěnoványvloženíkonstant g, C,, r, mavýpočtupomocnékonstanty L =0,5C πr.načtvrtéma pátémřádkujsouvloženypočátečníhodnoty 0, y 0, v 0, αačasovýkrokdt. Pro přehlednější zápis vzorců přiřadíme buňkám s hodnotami zadaných veličin akonstanty LnázvypříkazemVložit Název Definovat.Názvyfungují jako absolutní adresy. Vlastní tabulka numerického výpočtu modelu pohybu ve vzduchu a výpočtu pohybu ve vakuu pomocí kinematických zákonů začíná záhlavím na sedmém řádku. Na osmém řádku v buňkách A8 až E8 jsou dopočteny počáteční hodnoty t=0, = 0, y=y 0, v 0 = v 0 cosα, v y0 = v 0 sinα.vbuňkáchh8a I8 jsou kinematické vzorce pro výpočet pohybu ve vakuu. Vzorce pro cyklický výpočetmodelupohybuvevzduchuzačínajívbuňkáchf8 ag8apokračujína devátém řádku v buňkách A9 až E9. Přehled použitých vzorců je v následující tabulce: Buňka Vzorec Význam H =0,5*C*D*PI()*E^/F L=0,5C πr /m D8 =v0*cos(al*pi()/180) v 0 = v 0 cosα E8 =v0*sin(al*pi()/180) v 0y = v 0 sinα F8 =-L*D8*(D8^+E8^)^0,5 a i = Lv i v i G8 =-g-l*e8*(d8^+e8^)^0,5 a yi = g Lv yi v i H8 =$D$8*A8 =v 0 t I8 =y0+$e$8*a8-0,5*g*a8^ y= y 0 + v 0y t 0,5gt A9 =A8+dt t i+1 = t i + t B9 =B8+D8*dt+0,5*F8*dt^ i+1 = i + v i t+0,5a i ( t) C9 =C8+E8*dt+0,5*G8*dt^ y i+1 = y i + v yi t+0,5a yi ( t) D9 =D8+F8*dt v (i+1) = v i + a i t E9 =E8+G8*dt v y(i+1) = v yi + a yi t Po vypsání vzorců nejprve vybereme kurzorem oblast F8:I8 a zkopírujeme ji o řádek níže do oblasti F9:I9. Kurzor posuneme do pravého dolního rohu buňky I8, kde se změní ve vyplňovací táhlo, které má podobu černého křížku. Stiskneme levé tlačítko myši a vyplňovací táhlo posuneme do pravého dolního rohu buňky I9. Podobně postupujeme při následujícím výpočtu. Vybereme kurzorem na devátém řádku oblast A9:I9, vytvoříme vyplňovací táhlo v pravém dolním rohu buňky I9, stiskneme levé tlačítko myši a táhneme myš dolů. Vzorce v buňkách se kopírují na další řádky, přičemž se mění jejich relativní adresy. Vzápětí se provedouvýpočtyvzorců.vesloupcíchbažgvznikámodelvrhuvevzduchu,vesloupcíchhaimodelvrhuvevakuu.pohybkurzoruzastavíme,když 9

30 oběhodnotyveličin yay 1 klesnoupodnulu.vnašempříkladětonastanena řádku045.ztabulkypakvyčteme,zevevzduchukouledopadneza,034sve vzdálenosti1,69m,zatímcovevakuubyletěla,037sadopadlabyvevzdálenosti 1,85 m. Dostali jsme prakticky stejné výsledky jako při použití systému FAMULUS. Nepatrná odchylka u numerického modelu pohybu ve vzduchu je způsobena různým zaokrouhlováním čísel při dílčích výpočtech.. Obr. Výpočet letu lehkoatletické koule v EXCELu 30

31 Ktabulcenaobr.můžemevEXCELusnadnosestrojitigrafzobrazující v určitém měřítku obě trajektorie a posoudit, do jaké míry se shodují(obr. 3). Nejprve vytvoříme XY bodový graf z dat v oblasti B8:C047, který zobrazuje pohybvevzduchuapakpomocínabídkyzdrojovádata Řada Přidat doplníme průběh vrhu ve vakuu vložením dat z oblasti H8:I047. \P [P Obr. 3 Chceme-li modelovat pohyb míčku na stolní tenis, stačí změnit příslušným způsobemhodnotyvbuňkácheaf. Úloha 8. Vraťte se k příkladu 6 a porovnejte počáteční velikost odporu vzduchu a tíhovou sílu při vrhu lehkoatletické koule i při vrhu míčku na stolní tenis. 9.Golfovýmíčekmápoloměr1mmahmotnost45g.Součinitelodporuje 0,45. Modelujte jeho šikmý vrh ve vzduchu při nulové počáteční výšce a elevačnímúhlu45.prorůznévelikostipočátečnírychlostijejporovnejte s pohybem ve vakuu. Zjistěte, při které velikosti počáteční rychlosti je délka vrhuvevzduchuo10%menšíneždélkavrhuvevakuu. 31

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

R5.1 Vodorovný vrh. y A

R5.1 Vodorovný vrh. y A Fyzika pro střední školy I 20 R5 G R A V I T A Č N Í P O L E Včlánku5.3jsmeuvedli,ževrhyjsousloženépohybyvtíhovémpoliZemě, které mají dvě složky: rovnoměrný přímočarý pohyb a volný pád. Podle směru obou

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY

BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY BIOMECHANIKA DYNAMIKA NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY, VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ SÍLY ČASOVÝ A DRÁHOVÝ ÚČINEK SÍLY ROTAČNÍ POHYB TĚLESA, MOMENT SÍLY, MOMENT SETRVAČNOSTI DYNAMIKA Na rozdíl od kinematiky, která se zabývala

Více

KATEGORIE D. Na první list řešení každé úlohy napište záhlaví podle následujícího vzoru:

KATEGORIE D. Na první list řešení každé úlohy napište záhlaví podle následujícího vzoru: KATEGORIE D Na první list řešení každé úlohy napište záhlaví podle následujícího vzoru: Jméno a příjmení: Kategorie: D Třída: Školní rok: Škola: I. kolo: Vyučující fyziky: Posudek: Okres: Posuzovali: Úloha

Více

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s

mechanická práce W Studentovo minimum GNB Mechanická práce a energie skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s 1 Mechanická práce mechanická práce W jednotka: [W] = J (joule) skalární veličina a) síla rovnoběžná s vektorem posunutí F s s dráha, kterou těleso urazilo 1 J = N m = kg m s -2 m = kg m 2 s -2 vyjádření

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Newtonův gravitační zákon Gravitační a tíhové zrychlení při povrchu Země Pohyby těles Gravitační pole Slunce

Newtonův gravitační zákon Gravitační a tíhové zrychlení při povrchu Země Pohyby těles Gravitační pole Slunce Gavitační pole Newtonův gavitační zákon Gavitační a tíhové zychlení při povchu Země Pohyby těles Gavitační pole Slunce Úvod V okolí Země existuje gavitační pole. Země působí na každé těleso ve svém okolí

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

1.7.4. Skládání kmitů

1.7.4. Skládání kmitů .7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

Shrnutí kinematiky. STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA a STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ, Česká Lípa, 28. října 2707, příspěvková organizace

Shrnutí kinematiky. STŘEDNÍ ODBORNÁ ŠKOLA a STŘEDNÍ ODBORNÉ UČILIŠTĚ, Česká Lípa, 28. října 2707, příspěvková organizace Název školy: Číslo a název projektu: Číslo a název šablony klíčové aktivity: Označení materiálu: Typ materiálu: Předmět, ročník, obor: Číslo a název sady: Téma: Jméno a příjmení autora: Datum vytvoření:

Více

Úvod. 1 Převody jednotek

Úvod. 1 Převody jednotek Úvod 1 Převody jednotek Násobky a díly jednotek: piko p 10-12 nano n 10-9 mikro μ 10-6 mili m 10-3 centi c 10-2 deci d 10-1 deka da 10 1 hekto h 10 2 kilo k 10 3 mega M 10 6 giga G 10 9 tera T 10 12 Ve

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9

3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie... 6 3.3 Potenciální energie... 6. 3.4 Zákon zachování mechanické energie... 9 Obsah 1 Mechanická práce 1 2 Výkon, příkon, účinnost 2 3 Mechanická energie 5 3.1 Kinetická energie......................... 6 3.2 Potenciální energie........................ 6 3.3 Potenciální energie........................

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Práce, energie a další mechanické veličiny

Práce, energie a další mechanické veličiny Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Projekt ŠABLONY NA GVM registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 III-2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT 1. Mechanika 1. 3. Newtonovy zákony 1 Autor: Jazyk: Aleš Trojánek čeština

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu Otázky z optiky Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu ) o je světlo z fyzikálního hlediska? Jaké vlnové délky přísluší viditelnému záření? - elektromagnetické záření (viditelné záření) o vlnové délce

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso

Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso DUM Základy přírodních věd DUM III/2-T3-16 Téma: Práce a energie Střední škola Rok: 2012 2013 Varianta: A Zpracoval: Mgr. Pavel Hrubý TEST Test jednotky, veličiny, práce, energie, tuhé těleso 1 Účinnost

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí

Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí Může kulová nádoba naplněná vodou sloužit jako optická čočka? Exponát demonstruje zaostření světla procházejícího skrz vodní kulovou čočku. Pohyblivý světelný

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ÚLOHY

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL

VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL VÝUKOVÝ MATERIÁL Identifikační údaje školy Číslo projektu Název projektu Číslo a název šablony Vyšší odborná škola a Střední škola, Varnsdorf, příspěvková organizace Bratislavská

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

Mechanická práce a. Výkon a práce počítaná z výkonu Účinnost stroje, Mechanická energie Zákon zachování mechanické energie

Mechanická práce a. Výkon a práce počítaná z výkonu Účinnost stroje, Mechanická energie Zákon zachování mechanické energie Mechanická práce a energie Mechanická práce Výkon a práce počítaná z výkonu Účinnost stroje, Mechanická energie Zákon zachování mechanické energie Mechanická práce Mechanickou práci koná každé těleso,

Více

Excel tabulkový procesor

Excel tabulkový procesor Pozice aktivní buňky Excel tabulkový procesor Označená aktivní buňka Řádek vzorců zobrazuje úplný a skutečný obsah buňky Typ buňky řetězec, číslo, vzorec, datum Oprava obsahu buňky F2 nebo v řádku vzorců,

Více

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB

ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ POHYB Pomůcky: LabQuest, sonda čidlo polohy (sonar), nakloněná rovina, vozík, který se může po nakloněné rovině pohybovat Postup: Nakloněnou rovinu umístíme tak, aby svírala s vodorovnou

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

KINEMATIKA I FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY

KINEMATIKA I FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: FYZIKA PRVNÍ MGR. JÜTTNEROVÁ 24. 7. 212 Název zpracovaného celku: KINEMATIKA I FYZIKÁLNÍ VELIČINY A JEDNOTKY Fyzikální veličiny popisují vlastnosti, stavy a změny hmotných

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

1 Newtonův gravitační zákon

1 Newtonův gravitační zákon Studentovo minimum GNB Gravitační pole 1 Newtonův gravitační zákon gravis latinsky těžký každý HB (planeta, těleso, částice) je zdrojem tzv. gravitačního pole OTR (obecná teorie relativity Albert Einstein,

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

Fyzikální korespondenční škola 2. dopis: experimentální úloha

Fyzikální korespondenční škola 2. dopis: experimentální úloha Fyzikální korespondenční škola 2. dopis: experimentální úloha Uzávěrka druhého kola FKŠ je 28. 2. 2010 Kde udělal Aristotelés chybu? Aristotelés, jeden z největších učenců starověku, z jehož knih vycházela

Více

2. Mechanika - kinematika

2. Mechanika - kinematika . Mechanika - kinematika. Co je pohyb a klid Klid nebo pohyb těles zjišťujeme pouze vzhledem k jiným tělesům, proto mluvíme o relativním klidu nebo relativním pohybu. Jak poznáme, že je těleso v pohybu

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Měření součinitele smykového tření dynamickou metodou

Měření součinitele smykového tření dynamickou metodou Měření součinitele smykového tření dynamickou metodou Online: http://www.sclpx.eu/lab1r.php?exp=6 Měření smykového tření na nakloněné rovině pomocí zvukové karty řešil např. Sedláček [76]. Jeho konstrukce

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Numerické řešení variačních úloh v Excelu

Numerické řešení variačních úloh v Excelu Numerické řešení variačních úloh v Excelu Miroslav Hanzelka, Lenka Stará, Dominik Tělupil Gymnázium Česká Lípa, Gymnázium Jírovcova 8, Gymnázium Brno MirdaHanzelka@seznam.cz, lenka.stara1@seznam.cz, dtelupil@gmail.com

Více

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ]

Aplikované úlohy Solid Edge. SPŠSE a VOŠ Liberec. Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] Aplikované úlohy Solid Edge SPŠSE a VOŠ Liberec Ing. Jan Boháček [ÚLOHA 27 NÁSTROJE KRESLENÍ] 1 CÍL KAPITOLY V této kapitole si představíme Nástroje kreslení pro tvorbu 2D skic v modulu Objemová součást

Více

pracovní list studenta

pracovní list studenta Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Dynamika Vojtěch Beneš žák měří vybrané veličiny vhodnými metodami, zpracuje a vyhodnotí výsledky měření, určí v konkrétních situacích síly působící na

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny.

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny. 1. Auto zrychlí rovnoměrně zrychleným pohybem z 0 km h -1 na 72 km h -1 za 10 sekund. 2. Auto zastaví z rychlosti 64,8 km h -1 rovnoměrně zrychleným (zpomaleným) pohybem za 9 sekund. V obou případech nakreslete

Více

(3) Vypočítejte moment setrvačnosti kvádru vzhledem k zadané obecné ose rotace.

(3) Vypočítejte moment setrvačnosti kvádru vzhledem k zadané obecné ose rotace. STUDUM OTÁčENÍ TUHÉHO TěLESA TEREZA ZÁBOJNÍKOVÁ 1. Pracovní úkol (1) Změřte momenty setrvačnosti kvádru vzhledem k hlavním osám setrvačnosti. (2) Určete složky jednotkového vektoru ve směru zadané obecné

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel 3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel Rovnováha mechanické soustavy Uvažujme dvě různé nehmotné lineární pružiny P 1 a P 2 připevněné na pevné horizontální tyči splývající s osou x podle obrázku: (0,0)

Více

1.6.9 Keplerovy zákony

1.6.9 Keplerovy zákony 1.6.9 Keplerovy zákony Předpoklady: 1608 Pedagogická poznámka: K výkladu této hodiny používám freewareový program Celestia (3D simulátor vesmíru), který umožňuje putovat vesmírem a sledovat ho z různých

Více

Testové otázky za 2 body

Testové otázky za 2 body Přijímací zkoušky z fyziky pro obor PTA K vypracování písemné zkoušky máte k dispozici 90 minut. Kromě psacích potřeb je povoleno používání kalkulaček. Pro úspěšné zvládnutí zkoušky je třeba získat nejméně

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

tj. veličina kurzívou a jednotka obyčejným písmem umístěná v oblých resp. hranatých závorkách *).

tj. veličina kurzívou a jednotka obyčejným písmem umístěná v oblých resp. hranatých závorkách *). MS OFFICE Může se zdát, že užití kancelářského balíku MS Office při výuce fyziky nepřesahuje běžné aplikace a standardní funkce, jak jsou popsány v mnoha příručkách ke všem jednotlivým částem tohoto balíku.

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 22 úloh. Časový limit pro

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 19. 11. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_14_FY_B

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 19. 11. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_14_FY_B Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 19. 11. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_14_FY_B Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh:

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVDC0T03 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

ZOBRAZOVÁNÍ ROVINNÝM ZRCADLEM

ZOBRAZOVÁNÍ ROVINNÝM ZRCADLEM ZOBRAZOVÁNÍ ROVINNÝM ZRCADLEM Pozorně se podívejte na obrázky. Kterou rukou si nevěsta maluje rty? Na které straně cesty je automobil ve zpětném zrcátku? Zrcadla jsou vyleštěné, zpravidla kovové plochy

Více

Optické zobrazení - postup, kterým získáváme optické obrazy bodů a předmětů

Optické zobrazení - postup, kterým získáváme optické obrazy bodů a předmětů Optické soustav a optická zobrazení Přímé vidění - paprsek od zobrazovaného předmětu dopadne přímo do oka Optická soustava - soustava optických prostředí a jejich rozhraní, která mění chod paprsků Optické

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAMVD11C0T04 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový

Více

5. Kvadratická funkce

5. Kvadratická funkce @063 5. Kvadratická funkce Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě. Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, a

Více

STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem

STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem 1) Otevření datového souboru Program Statistika.cz otevíráme z ikony Start, nabídka Programy, podnabídka Statistika Cz 6. Ze dvou nabídnutých možností vybereme

Více