3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY"

Transkript

1 3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY V této kapitole se dozvíte: jak je geometricky definována kuželosečka zvaná parabola; co je to ohnisko, řídící přímka, vrchol, osa, parametr paraboly; tvar vrcholové a obecné rovnice paraboly v normální poloze; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a paraboly a přímky a paraboly. Klíčová slova této kapitoly: kuželosečka, parabola, ohnisko, řídící přímka, vrchol, osa, parametr paraboly, normální poloha, vrcholová rovnice, obecná rovnice, vzájemná poloha paraboly a bodu, vzájemná poloha paraboly a přímky. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,5 + 0,5 hodiny (teorie + řešení příkladů)

2 Parabola patří mezi tzv. kuželosečky, jedná se tedy o rovinnou křivku, kterou je možné získat průnikem roviny a kuželové plochy (viz obrázek). Definice paraboly. Parabola P je množina všech bodů roviny, které mají od dané přímky d stejnou vzdálenost jako od daného bodu F. P = X Π : XF = d(x, d). Zápis: { } Takto definovaná křivka je souměrná podle osy, kolmé na přímku d (viz obrázek). Označení: F ohnisko paraboly, d řídící přímka (direktrix), o osa paraboly ( o d,f o), V = [ v1, v] vrchol paraboly. Číslo p = d(f, d) > 0 je tzv. parametr, který je roven vzdálenosti ohniska F od řídící přímky d. Rovnice paraboly v normální poloze. Vrcholová rovnice paraboly v normální poloze: a) Osa paraboly je rovnoběžná s osou x : ( y v ) p( x v ) =± 1. Je-li znaménko na pravé straně kladné, resp. záporné, je parabola otevřená doprava, resp. doleva. x v1 =± p y v. Je-li znaménko na pravé straně kladné, resp. záporné, je parabola otevřená nahoru, resp. dolů. b) Osa paraboly je rovnoběžná s osou y : ( ) ( ) Obecná rovnice paraboly: a) Osa paraboly je rovnoběžná s osou x : a y + a13x+ a3y+ a33 = 0. b) Osa paraboly je rovnoběžná s osou y : a x + a x+ a y+ a = V praxi ověříme, zda se jedná o rovnici paraboly v normální poloze, nejlépe tak, že se ji pokusíme převést na vrcholový tvar.

3 Vzájemná poloha bodu a paraboly. Nechť je dán bod X [ xy, ] a) X P d( X, d) = XF, kde ( X, ) b) X leží ve vnější oblasti paraboly P d( d) c) X leží ve vnitřní oblasti paraboly P d( d) Vzájemná poloha přímky a paraboly. = a parabola P v normální poloze. Mohou nastat tři případy: d d je vzdálenost bodu X od přímky d ; X, < XF ; X, > XF. Je dána přímka p a parabola P. Mohou nastat čtyři případy: 1. průnik p P je prázdný p je nesečnou P.. průnikem p P je jeden bod. a zároveň p není rovnoběžná s osou paraboly p je tečnou P. 3. průnikem p P je jeden bod. a zároveň p je rovnoběžná s osou paraboly p je sečnou P, rovnoběžnou s její osou. 4. průnikem p P jsou dva body p je sečnou P, různoběžnou s osou paraboly. Vyšetřit polohu přímky a paraboly tedy znamená určit počet řešení soustavy rovnic, tvořené rovnicemi obou útvarů a v případě, že vyjde jedno řešení, ještě zjistit, zda je přímka rovnoběžná s osou paraboly či nikoliv. Shrnutí kapitoly: Parabola patří mezi kuželosečky, tj. křivky, které lze získat průnikem roviny a pláště kužele. V rovinné geometrii se parabola definuje jako množina bodů, které mají stejnou vzdálenost od daného bodu roviny (ohniska) a dané přímky (řídící přímky). Kromě ohniska a řídící přímky jsou u paraboly dalšími důležitými pojmy vrchol paraboly, osa paraboly a tzv. parametr, což je vzdálenost ohniska od řídící přímky. Parabolu v normální poloze, kdy je hlavní osa rovnoběžná s osou x, popisujeme vrcholovou nebo obecnou rovnicí. Vrcholová rovnice má tvar ( y v ) =± p( x v ) nebo ( x v ) p( y v ) 1 =±, 1 podle toho, zda je osa paraboly rovnoběžná s osou x nebo y. Znaménko ± rozhoduje o směru, ve kterém se parabola rozevírá. Bod X je prvkem paraboly, pokud splňuje její rovnici, nebo-li pokud platí d X, d = XF. Pokud tomu tak není, může ležet uvnitř paraboly (platí-li ( ) d( X, d ) > XF ) nebo vně paraboly (platí-li ( ) d X, d < XF ). Přímka může být sečnou, tečnou nebo nesečnou paraboly. Rozhodnutí, který případ nastává, provedeme nejlépe pomocí průniku obou útvarů. Ale pozor! Jednobodový průnik neznamená vždy tečnu, může se jednat o sečnu rovnoběžnou s osou paraboly.

4 Otázky: Co jsou to kuželosečky? Jak je v rovinné geometrii definována parabola? Nakreslete parabolu a vyznačte její ohnisko, řídící přímku, vrchol, osu, parametr. Co rozumíme normální polohou paraboly? Formulujte vrcholovou a obecnou rovnici paraboly v normální poloze. Jakou vzájemnou polohu mohou mít bod a parabola? Jak určíme, zda bod leží na, uvnitř nebo vně paraboly? Jakou vzájemnou polohu mohou mít přímka a parabola? Jak ji určíme? Znamená jednobodový průnik automaticky tečnu? Příklad 1. Rozhodněte, zda se jedná o rovnici paraboly v normální poloze: a) b) x x y = 0; y x y = 0. Příklad. Napište rovnici paraboly s ohniskem F= [ 1, 1] a řídící přímkou d : y = 1. Návod. Na základě výše uvedeného obrázku paraboly a ze znalosti polohy ohniska a řídící přímky snadno naleznete vrchol paraboly a její parametr. Příklad 3. Určete vzájemnou polohu přímky p a paraboly P : ( ) ( ) P: x 3 = 4 y+, p: y+ = 0.

5 Řešení příkladů: 1a) ano, V= [ 3, 1], p = 1, F 5 [ 3, 4 ] 1b) ano, V= [ 1, ], p =, F [ 0, ] =, d : y = 3 4, otevřena dolů; =, d : x=, otevřena doleva. ) Rovnice paraboly: = 0. x x y 3) Tečna. Další zdroje: 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, ZÁVĚR: [Tady klepněte a pište]

3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE

3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE 3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE V této kapitole se dozvíte: jak popsat kružnici a kruh v rovině; jak určit vzájemnou polohu bodu nebo a kružnice, resp. bodu a kruhu; jakými metodami určit vzájemnou

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII 37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná

Více

3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE

3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE 3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: jak je definována eponenciální a logaritmická rovnice a nerovnice a jaká je základní strategie jejich řešení. Klíčová slova

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

1.4. VEKTOROVÝ SOUČIN

1.4. VEKTOROVÝ SOUČIN .4. VEKTOROVÝ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: definici vektorového (také vnějšího) součinu, jeho vlastnosti a geometrický význam; co rozumíme pravotočivou ortonormální nebo ortogonální bází; definici

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE nově vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.1017 III/2 - Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Analytická

Více

7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice

7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice 7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice Předpoklady: kružnice, 505, 7103, 730 Pedagogická poznámka: Pro tuto hodinu (a mnoho dalších hodin v kapitole o kuželosečkách) je rozhodující, aby studenti uměli

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

Kuželoseč ky. 1.1 Elipsa

Kuželoseč ky. 1.1 Elipsa Kuželoseč ky 1.1 Elipsa Definice: Elipsa je množina všech bodů v 2, které mají od dvou pevných (různých) bodů v 2, zvaných ohniska (značíme F 1, F 2 ), stálý součet vzdáleností rovný 2a, který je větší

Více

Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11].

Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie. Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. Konstruktivní geometrie Bod Axonometrie Úloha: V pravoúhlé axonometrii (XY = 10; XZ = 12; YZ = 11) zobrazte bod A[2; 3; 5] a bod V[9; 7.5; 11]. VŠB-TU Ostrava 1 Jana Bělohlávková Konstruktivní geometrie

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy

ROTAČNÍ PLOCHY. 1) Základní pojmy ROTAČNÍ PLOCHY 1) Základní pojmy Rotační plocha vznikne rotací tvořicí křivky k kolem osy o. Pro zobrazení a konstrukce bude výhodnější nechat rotovat jednotlivé body tvořicí křivky. Trajektorii rotujícího

Více

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Analytická geometrie (AG)

Analytická geometrie (AG) Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

8. Parametrické vyjádření a. Repetitorium z matematiky

8. Parametrické vyjádření a. Repetitorium z matematiky 8. Parametrické vyjádření a obecná rovnice přímky a roviny Repetitorium z matematiky Podzim 2012 Ivana Medková Osnova: 1 Geometrie v rovině 1. 1 Parametrické vyjádření přímky 1. 2 Obecná rovnice přímky

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

9.1 Definice a rovnice kuželoseček

9.1 Definice a rovnice kuželoseček 9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.001 SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou měření. Libovolný bod A na číselné ose

Více

KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE

KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KRUŽNICE,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost: 753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

Michal Zamboj. December 23, 2016

Michal Zamboj. December 23, 2016 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení 1. Rozhodněte, zda kuželosečka k je regulární nebo singulární: a) k : x 2 0 + 2x 0x 1 x 0 x 2 + x 2 1 2x 1x 2 + x 2 2 = 0; b) k : x 2 0 + x2 1 + x2 2 + 2x 0x 1 = 0;

Více

4.2. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE

4.2. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE 4.. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE V této kapitole se dozvíte: jak jsou definovány cyklometrické funkce a jaký je jejich vztah k funkcím goniometrickým; základní vlastnosti cyklometrických funkcí; nejdůležitější

Více

9. Soustava lineárních rovnic

9. Soustava lineárních rovnic @097 9. Soustava lineárních rovnic Definice: Nechť x, y, z, t,... jsou reálné proměnné, a, b, c, d,... jsou reálné konstanty. Kombinace proměnných a konstant tvaru ax+b=0, ax+by+c=0, ax+by+cz+d=0, ax+by+cz+dt+e=0,

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Analytická geometrie. Hyperbola VY_32_INOVACE_M0119.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Analytická geometrie. Hyperbola VY_32_INOVACE_M0119. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová Kuželosečk Copright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Kuželosečk 3 1.1 Kružnice... 3 1.1.1 Tečnakekružnici..... 3 1.2 lipsa.... 4 1.2.1 Rovniceelips...... 5 1.2.2 Tečnakelipse... 7 1.2.3 Konstrukceelips.....

Více

Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Přírodovědecké fakulty Masarykovy Univerzity v Brně. 14. května 2007

Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Přírodovědecké fakulty Masarykovy Univerzity v Brně. 14. května 2007 Rychlotest-řešení Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Přírodovědecké fakulty Masarykovy Univerzity v Brně 14. května 2007 Příklad 1 Mějme funkci y = sin x rozhodněte zda směrnice tečny k dané křivce

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek

Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Konstruktivní geometrie (KG-L) Zadání domácích úkolů a zápočtových písemek Sestrojte elipsu, je-li dáno a = 5cm a b = 3cm. V libovolném bodě sestrojte její tečnu. Tento úkol je na krásu, tj. udělejte oskulační

Více

Funkce více proměnných - úvod

Funkce více proměnných - úvod Funkce více proměnných - úvod Helena Říhová FBMI 14. července 2014 Helena Říhová (ČVUT) Funkce více proměnných - úvod 14. července 2014 1 / 16 Obsah 1 Úvod Grafy funkcí dvou proměnných Eukleidovská vzdálenost

Více

Deskriptivní geometrie pro střední školy

Deskriptivní geometrie pro střední školy Deskriptivní geometrie pro střední školy Mongeovo promítání 1. díl Ivona Spurná Nakladatelství a vydavatelství R www.computermedia.cz Obsah TEMATICKÉ ROZDĚLENÍ DÍLŮ KNIHY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE 1. díl

Více

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika (MAT) Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Kvarta 4 hodiny týdně Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] 1 Parametricke vyjadreni primky Priklad 16 Priklad 17 Priklad 18 jestlize Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] Urci,

Více

KULOVÁ ZRCADLA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - Septima

KULOVÁ ZRCADLA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - Septima KULOVÁ ZRCADLA Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - Septima Zakřivená zrcadla Zrcadla, která nejsou rovinná Platí pro ně zákon odrazu, deformují obraz My se budeme zabývat speciálním typem zakřivených

Více

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci.

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Znáš pojmy A. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Tenká spojka při zobrazování stačí k popisu zavést pouze ohniskovou vzdálenost a její střed. Znaménková

Více

Analytická geometrie v prostoru

Analytická geometrie v prostoru Analytická geometrie v prostoru Jméno autora: Ivana Dvořáková VY_32_INOVACE_MAT_182 Období vytvoření: listopad 2012 Ročník: 4. ročník střední odborné školy Tematická oblast: Matematické vzdělávání Předmět:

Více

Analytická geometrie v prostoru

Analytická geometrie v prostoru Analytická geometrie v prostoru Jméno autora: Ivana Dvořáková Období vytvoření: prosinec 2012 Ročník: 4. ročník střední odborné školy Tematická oblast: Matematické vzdělávání Předmět: Matematika 4. ročník

Více

4. GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE 4.1. GONIOMETRICKÉ FUNKCE

4. GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE 4.1. GONIOMETRICKÉ FUNKCE GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: GONIOMETRICKÉ FUNKCE vztah mezi stupňovou a obloukovou mírou; jak jsou definovány čtyři základní goniometrické funkce:

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY

2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY 2. ZÁKLADY MAICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: jak je definována reálná nebo komplexní matice a co rozumíme jejím typem; co jsou to prvky matice, co vyjadřují jejich indexy

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Funkce. Logaritmická funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Digitální učební materiály, Gymnázium Uherské Hradiště

Funkce. Logaritmická funkce. Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Digitální učební materiály, Gymnázium Uherské Hradiště Funkce Logaritmická funkce Mgr. Tomáš Pavlica, Ph.D. Gymnázium Uherské Hradiště Digitální učební materiály, 01-1 Obsah Logaritmická funkce 1 Logaritmická funkce předpis funkce a ukázky grafů srovnání grafů

Více

Modelování sestav. Autodesk INVENTOR. Ing. Richard Strnka, 2012

Modelování sestav. Autodesk INVENTOR. Ing. Richard Strnka, 2012 Modelování sestav Autodesk INVENTOR Ing. Richard Strnka, 2012 Modelování sestavy přepínače Příprava modelování sestavy Z určeného adresáře překopírujte soubory sestavy 1-4 do vašeho pracovního adresáře.

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou

Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí

Více

Rychlotest-internet. Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Přírodovědecké fakulty Masarykovy Univerzity v Brně. 14. května 2007

Rychlotest-internet. Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Přírodovědecké fakulty Masarykovy Univerzity v Brně. 14. května 2007 Rychlotest-internet Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Přírodovědecké fakulty Masarykovy Univerzity v Brně 14. května 2007 Na vyřešení testu by Vám mělo stačit 25 minut. K jeho řešení nebudete potřebovat

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura:

8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: 8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura: (1)Poláček, J., Doležal, M.: Základy deskriptivní a konstruktivní geometrie, díl 5, Křivky a plochy

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

Kuželosečky. Klasické definice. Základní vlastnosti. Alča Skálová

Kuželosečky. Klasické definice. Základní vlastnosti. Alča Skálová Kuželosečky Alča Skálová Klasické definice Elipsa je množina všech bodů v rovině, majících od dvou pevně daných různých bodů E, F(ohnisek)konstantnísoučetvzdáleností2a,kde2a > EF =2e. Parabola je množina

Více

Podpora rozvoje praktické výchovy ve fyzice a chemii

Podpora rozvoje praktické výchovy ve fyzice a chemii DUTÁ ZRCADLA ) Duté zrcadlo má ohniskovou vzdálenost 25 cm. Jaký je jeho poloměr křivosti? f = 25 cm = 0,25 m r =? (m) Ohnisko dutého zrcadla leží přesně uprostřed mezi jeho vrcholem a středem křivosti,

Více

Mongeovo zobrazení. Osová afinita

Mongeovo zobrazení. Osová afinita Mongeovo zobrazení Osová afinita nechť je v prostoru dána průmětna π, obecná rovina ρ a v této rovině libovolný trojúhelník ABC, promítneme-li trojúhelník kolmo do průmětny π, dostaneme trojúhelník A

Více

Maturitní nácvik 2008/09

Maturitní nácvik 2008/09 Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],

Více

Klínové plochy. Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE

Klínové plochy. Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Klínové plochy Vypracoval: Vojtěch Kolář Třída: 4.C Školní rok:2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem svou ročníkovou

Více

Maticová optika. Lenka Přibylová. 24. října 2010

Maticová optika. Lenka Přibylová. 24. října 2010 Maticová optika Lenka Přibylová 24. října 2010 Maticová optika Při průchodu světla optickými přístroji dochází k transformaci světelného paprsku, vlnový vektor mění úhel, který svírá s optickou osou, paprsek

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

Kapitola 8. prutu: rovnice paraboly z = k x 2 [m], k = z a x 2 a. [m 1 ], (8.1) = z b x 2 b. rovnice sklonu střednice prutu (tečna ke střednici)

Kapitola 8. prutu: rovnice paraboly z = k x 2 [m], k = z a x 2 a. [m 1 ], (8.1) = z b x 2 b. rovnice sklonu střednice prutu (tečna ke střednici) Kapitola 8 Vnitřní síly rovinně zakřiveného prutu V této kapitole bude na příkladech vysvětleno řešení vnitřních sil rovinně zakřivených nosníků, jejichž střednici tvoří oblouk ve tvaru kvadratické paraboly[1].

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Základy matematiky pracovní listy

Základy matematiky pracovní listy Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ..07/..00/6.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Mocninné funkce Autor: Pomykalová Eva

Více

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 07_10_Zobrazování optickými soustavami 1

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 07_10_Zobrazování optickými soustavami 1 Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 07_10_Zobrazování optickými soustavami 1 Ing. Jakub Ulmann Zobrazování optickými soustavami 1. Optické

Více

ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptylkách. PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk

ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptylkách. PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptlkách PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk Optická soustava - je soustava optických prostředí a jejich rozhraní, která mění směr chodu světelných

Více