Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0."

Transkript

1 Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin + >, + a, neboli < Definiční obor funkce f = f = cos cosh + 3 a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech [;? a [ π 3 ;? Funkce f je definována předpisem f = e cosh lncos + 3 Proto je její definiční obor určen vztahem cos > Tedy D f = 4k π, 4k + π k Z Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Pro naší funkce je f = cos cosh sinh lncos cosh tg + 3 Pro bod = je y = a f = 3 Tedy rovnice tečny je v tomto případě y = 3, neboli 3 y + = Bod = π 3 není prvkem definičního oboru funkce f Určete definiční obor funkce f = sin + 3 cos [ π a nalezněte rovnici normál ke grafu této funkce v bodech ;? a [ 4π 3 ;? Funkce f je definována předpisem f = e lnsin + 3 cos Proto je její definiční obor určen vztahem sin > Tedy D f = kπ, k + π k Z Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě Pro naší funkce je f = sin lnsin + cotg 3 sin Pro bod = π π je y = a f = 3 Tedy rovnice normály je v tomto případě 3y = π, neboli 3y + 3 π = Bod = 4π 3 není prvkem definičního oboru funkce f Určete definiční obor funkce f = sin + Typeset by AMS-TEX

2 [ π [ 7 a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech ;? a 4 π;? Funkce f je definována předpisem f = e lnsin + vztahem sin > Tedy D f = kπ, k + π k Z Proto je její definiční obor určen Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Pro naší funkce je f = sin lnsin + cotg + Pro bod = π je y = + π π 4 a f π π, neboli π y + π 4 = Bod = 7 π není prvkem definičního oboru funkce f 4 = π Tedy rovnice tečny je v tomto případě y π 4 = Určete definiční obor funkce f = sin + [ π [ 6 a nalezněte její diferenciál v bodech ;? a 5 π;? Funkce f je definována předpisem f = e lnsin + vztahem sin > Tedy D f = kπ, k + π k Z Proto je její definiční obor určen Diferenciál funkce y = f v bodě =, ve kterém má funkce f derivaci f, je lineární funkce proměnné h definovaná vztahem df ; h = f h Pro naší funkce je f = sin lnsin + cotg + Pro bod = π π π je f = Tedy diferenciál je v tomto případě df ; h = h Bod = 6 π není prvkem definičního oboru funkce f 5 Nalezněte rovnice tečen ke grafu funkce v jejích infleních bodech f = ln + Definiční obor funkce f je celá množina R První dvě derivace této funkce jsou f = + a f = + Protože f > pro, a f < pro,, +, je funkce f konvení na intervalu, a konkávní na intervalech, a, + tedy její inflení body jsou = ± Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Protože pro = je y = ln a f =, má rovnice tečny v bodě [; ln rovnici y ln =, neboli y + ln = Protože pro = je y = ln a f =, má rovnice tečny v bodě [ ; ln rovnici y ln = +, neboli + y + ln =

3 Určete definiční obor funkce f = sin + [ π [ 5 a nalezněte její diferenciál v bodech ;? a 3 π;? Protože je funkce f definována předpisem f = e lnsin +, je její definiční obor určen podmínkou sin > Je to tedy množina D f = k Z kπ, k + π Diferenciál funkce f, která má v bodě derivaci, je lineární funkce proměnné h definovaná vztahem df ; h = f h, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace dané funkce je f = sin lnsin + cotg + π π Protože f = je df ; h = h Bod = 5 π není prvkem definičního oboru funkce f 3 Určete definiční obor funkce f = ln [ a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech ;? a [ ;? Definiční obor D f funkce f = ln je určen nerovnostmi > a > Tedy D f =, Tečna ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f je dána rovnicí y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace funkce f v obecném bodě je f = + = V bodě = je y = ln 3 a f 8 = 3 Rovnice tečny ke grafu funkce f = ln v [ bodě ; ln 3 je y + ln 3 = 8, neboli 8 3y 4 3 ln 3 = 3 Bod = Určete definiční obor funkce není prvkem definičního oboru funkce f f = ln a nalezněte rovnice tečen ke grafu této funkce v bodech [;?, [;? Definiční obor funkce f je určen nerovností > Tedy D f =, 3, 3 Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je f = 9 3 Bod = není prvkem definičního oboru funkce f Pro = je y = ln 3 a f = 4 Tedy v tomto případě má tečna rovnici y ln = 4, 3 neboli 4 + y 4 ln 3 = 3

4 Určete definiční obor funkce f = ln [ a nalezněte rovnice tečen ke grafu této funkce v bodech ;?, [;? Definiční obor D f funkce f = ln je určen nerovnostmi > a > Tedy D f =, Tečna ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f je dána rovnicí y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace funkce f v obecném bodě je f = + = V bodě = je y = ln 3 a f 8 = 3 Rovnice tečny ke grafu funkce f = ln v [ bodě ; ln 3 je y + ln 3 = 8, neboli 8 3y 4 3 ln 3 = 3 Bod = není prvkem definičního oboru funkce f Určete definiční obor funkce f = sin + 3 cos [ π a nalezněte rovnice tečen ke grafu této funkce v bodech,?, [π,? Funkce f je definována předpisem f = e lnsin + 3 cos Proto je její definiční obor určen nerovností sin > Tedy D f = k Z kπ, k + π Tečna ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f je dána rovnicí y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace funkce f v obecném bodě jejího definičního oboru je f = sin lnsin + cotg 3 sin Pro = π π π je y = f = a f = 3 Tedy rovnice tečny v bodě 3 π, neboli 3 + y 3 π = Bod = π není prvkem definičního oboru funkce f [ π ; je y = Určete definiční obor funkce f = cos cosh + 3 a nalezněte rovnici normál ke grafu této funkce v bodech [;? a [π;? Protože je funkce f definována předpisem f = e cosh lncos +3, je definiční obor této funkce určen vztahem cos > Tedy D f = k Z 4k π, 4k + π 4

5 Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je derivace funkce f v obecném bodě definičního oboru rovna f = cos cosh sinh lncos cosh tg + 3 V bodě =, je y = a f = 3 Tedy rovnice normály ke grafu funkce f v bodě [ ; je 3y =, neboli + 3y 3 = Bod = π není prvkem D f Nalezněte definiční obor funkce a její diferenciál v bodech = a = 3 f = e cosh + e 4 Funkce je definována předpisem f = e cosh ln e + e 4 Proto je definiční obor D f této funkce určen nerovností e > Tedy D f = e, e Diferenciál funkce f v bodě, která má v tomto bodě derivaci, je lineární funkce proměnné h definovaná vztahem df ; h = f h, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace dané funkce je f = e cosh sinh ln e + V bodě = je f = 4 Tedy df; h = 4h Bod = 3 není prvkem definičního oboru funkce f Určete definiční obor funkce f = 4 sin a nalezněte rovnice tečen ke grafu této funkce v bodech [ 3;?, [;? cosh e + 4e 4, Protože funkce f je definována předpisem f = e sin ln4, je její definiční obor určen nerovností 4 >, tj, Tečna ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f je dána rovnicí y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je f = 4 sin cos ln4 sin 4 Bod = 3 není prvkem definičního oboru funkce f Pro bod = je y = f = a f = ln 4 Tedy rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [; je y = ln 4, neboli ln 4 y + = Nalezněte ity v krajních bodech definičního oboru funkce f = ln4 9 Definiční obor funkce f je určen vztahy 4 > a 9 Tedy D f =, 3 3, 3 3, 4 Čili máme najít ity v bodech = 4, = ±3 a = 5

6 ln4 4 9 = + Pro 3 se jedná o itu typu K jejímu výpočtu použijeme l Hospitalovo pravidlo To dává ln4 3 9 = 3 4 = 6 ln4 ln4 Protože = + a 3 9 =, ita v bodě = 3 neeistuje Pro se jedná o itu typu proto můžeme pro výpočet této ity použít l Hospitalovo pravidlo Z něj plyne ln4 9 = 4 = Nalezněte asymptoty ke grafu funkce f = ln Definiční obor funkce f je D f =,, + Proto budeme hledat asymptoty v bodech =, = a = + Protože =, nemá funkce f v bodě = svislou asymptotu + ln Protože = je přímka = svislou asymptotou ke grafu funkce f f = ln + + Protože Protože + + ln = f = + = +, nemá funkce f v bodě = + vodorovnou asymptotu + =, nemá funkce f v bodě = + ani šikmou asymptotu ln Nalezněte ity v krajních bodech definičního oboru funkce f = ln + Definiční obor funkce f je určen vztahy + > a Tedy D f =,,, + Čili máme najít ity v bodech =, = ± a = + ln + + = Pro se jedná o itu typu K jejímu výpočtu použijeme l Hospitalovo pravidlo To dává ln + = + = ln + ln + Protože + = + a =, ita v bodě = neeistuje Pro + se jedná o itu typu proto můžeme pro výpočet této ity použít l Hospitalovo pravidlo Z něj plyne ln + + = + Dokažte, že derivace sudé funkce je funkce lichá + = 6

7 Nechť f je sudá funkce To znamená, že pro každé D f je f = f Nechť je bod D f, f + h f ve kterém eistuje derivace funkce f, tj eistuje konečná ita = f h h Protože je funkce f sudá, platí pro takové vztah f f + h f f h f = = = h h h h f h f = = f h h Tedy pro každý bod D f je f = f, což znamená, že funkce f je lichá Napište rovnici normály ke grafu funkce f = ln rovnoběžné s přímkou p y + 3 = Definiční obor funkce f je interval D f =, + Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě Tedy normála má směrnici k = f V našem případě je f = ln + Protože přímka p má směrnici k p = a normála má být rovnoběžná s touto přímkou, musí pro ovou souřadnici průsečíku normály s grafem funkce platit vztah f = ln + = Tedy souřadnice tohoto bodu jsou = e a y = e Proto je rovnice hledané normály y + e = e, neboli y 3e = Určete rovnici tečen k parabole y = +, které prochází bodem B = [; Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je f = Tedy rovnice tečny, která prochází bodem [ ; y, kde y = + je y = Protože hledáme tečnu, která prochází bodem [;, musí splňovat rovnici = Její řešení jsou = + 6 a = 6 Tedy body dotyku jsou [ + 6; nebo [ 6; 7 6 Dostali jsme tedy dvě řešení Tečna, která prochází bodem [ + 6; 7+ 6, má rovnici y 7 6 = + 6 6, neboli + 6 y 3 6 = a tečna, která prochází bodem [ 6; 7 6, má rovnici y 7+ 6 = 6 + 6, neboli 6 +y +3 6 = Je dána funkce f = sin Vypočtěte f K výpočtu této derivace je výhodné použít Leibnizův vzorec n n n f g = f k g n k, k k= kde f a g jsou funkce, které mají derivace do řádu n včetně Jestliže zvolíme f = a g = sin, platí: f =, f = a f k = pro k > a pro každé k N je g 4k = g 4k+ = sin a g 4k+ = g 4k+3 = cos Z Leibnizova vzorce tedy dostáváme sin = sin 7 cos sin =

8 = 38 sin 4 cos Dokažte, že derivace liché funkce je funkce sudá Nechť f je lichá funkce To znamená, že pro každé D f je f = f Nechť je bod D f, f + h f ve kterém eistuje derivace funkce f, tj eistuje konečná ita = f h h Protože je funkce f lichá, platí pro takové vztah f f + h f f h + f = = = h h h h f h f = = f h h Tedy pro každý bod D f je f = f, což znamená, že funkce f je sudá Ve kterých bodech má graf funkce f = + 3 sin tečny rovnoběžné s osou y? Definiční obor funkce f je celá množina R Naším úkolem je najít body R, ve kterých je f + h f = ± Protože derivace funkce f, f = + h h 3 cos je pro kπ, sin /3 k Z konečná, stačí zkoumat pouze body = kπ V těchto bodech je h + 3 sinkπ + h = + k 3 sin h h h h h = + k h /3 h h /3 Protože tato ita je pro sudá k rovna + a pro lichá k rovna, jsou tečny ke grafu funkce f = + 3 sin v bodech = kπ, k Z, rovny = kπ, a tedy rovnoběžné s osou Oy Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou p y = 4 Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě a je rovna směrnici této tečny V našem případě je f = 3 + Protože směrnice přímky p je k p = 4 a tato přímka má být rovnoběžná s tečnou, budeme hledat na grafu funkce y = 3 + body, pro které je f = 3 + = 4 Takto získáme dva body dotyku [; a [ ; 4 Tedy v bodě [; je rovnice tečny y = 4, neboli 4 y 4 =, a v bodě [ ; 4 je rovnice tečny y + 4 = 4 +, čili 4 y = Určete rovnici tečny ke grafu funkce y =, která je rovnoběžná s přímkou p y = Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Tato derivace je rovna směrnici tečny Protože směrnice přímky y = je rovna nule, máme na grafu funkce y = f = najít body, ve kterých je f = Protože f = 4, jsou to body =, = a = Protože f = f = a f =, eistují dvě tečny s danými vlastnostmi Jejich rovnice jsou y = a y = 8

9 Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = , která je kolmá k přímce p 6y + = Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Tato derivace je rovna směrnici tečny V našem případě je derivace funkce rovna f = Protože přímka p má směrnici k = 3 a má být kolmá na hledanou tečnu, musí v bodě platit rovnost = 3 tedy = Pro toto je y = 3 a f = 3 Tedy rovnice hledané tečny je y + 3 = 3 +, neboli 3 + y + 6 = Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = + 5, která je kolmá k dané přímce p y = + 3 Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Tato derivace je rovna směrnici tečny V našem případě je f = Protože směrnice přímky p je k p = a tato přímka má být kolmá na tečnu, budeme hledat na grafu funkce y = +5 body, pro které je f = = Takto získáme bod dotyku [ 3 ; 7 4 Tedy rovnice tečny je y 7 4 = 3, neboli 4 4y + = Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = ln, která je kolmá k přímce p y = Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Tato derivace je rovna směrnici tečny V našem případě je derivace funkce rovna f = Protože přímka p má směrnici k p = a má být kolmá na hledanou tečnu, musí v bodě platit rovnost = tedy = Pro toto je y = ln a f = Tedy rovnice hledané tečny je y ln =, neboli y + ln = Napište rovnice tečen hyperboly 7 y = 4, které jsou kolmé na přímku + 4y 3 = Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Tato derivace je rovna směrnici tečny Protože přímka má směrnici k p = a hledáme tečnu kolmou na tuto přímku, musí být směrnice tečny rovna k = Označme y = f Na dané hyperbole máme najít najít bod, ve které je y = f = Protože funkce f splňuje rovnici 7 f = 4, dostaneme jejím derivováním rovnici 4 4ff = Tedy v bodě dotyku [ ; y musí být splněny rovnice 7 4y = a 7 y = 4 Řešení této soustavy rovnic nám dá dva body dotyku [4; 7 a [ 4; 7 Tedy eistují dvě tečny s danou vlastností Je-li bod dotyku [4; 7 je rovnice tečny y 7 = 4, tj y =, a je-li bod dotyku [ 4; 7 je rovnice tečny y + 7 = + 4, tj y + = Veďte tečny ke grafu funkce y = tak, aby procházely bodem B = [; 3 9

10 Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, y = f, ve kterém je funkce f diferencovatelná, má tvar y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je pro, y = a f = 4 Rovnice tečny tedy je y + = 4 Protože tečna má procházet bodem [; 3, musí splňovat rovnici 4 = 4 Tato rovnice má dvě řešení = ± Pro = + je y = + 8 a f + = 4 + Rovnice tečny, která se dotýká grafu funkce v tomto bodě je y 8 = 4 +, neboli 4 + y 3 8 = Pro = je y = 8 a f = 4 Rovnice tečny, která se dotýká grafu funkce v tomto bodě je y +8 = 4 +, neboli 4 y 3+8 = Určete rovnici normály ke grafu funkce y = 4 + 5, která je rovnoběžná s přímkou p + 4y 4 = Normála ke grafu funkce = f v bodě [ ; y, kde y = f, která je v tomto bodě diferencovatelná, má rovnici f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě Její směrnice je tedy k n = f Protože přímka p má směrnici k p =, máme na grafu 4 funkce y = najít body, pro které je f = 4 Protože f = 4, eistuje pouze jeden takový bod Jeho souřadnice jsou = 4 a y = 5 Tedy rovnice hledané normály je 4y 5 = 4, neboli + 4y 4 = Určete rovnici normály ke grafu funkce y = 6 + 6, která je kolmá k dané přímce p y = Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě Tedy normála má směrnici k = f V našem případě je f = 6 Protože přímka p má směrnici k p = a normála má být kolmá na tuto přímku, musí pro ovou souřadnici průsečíku normály s grafem funkce platit vztah f = 6 = Tedy souřadnice tohoto bodu jsou = 5 a y = Proto je rovnice 4 hledané normály y + 4 = 5, neboli y 4 = Určete rovnici normály ke grafu funkce y = +, která je kolmá k přímce p y = + Definiční obor funkce f je D f =, + Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě Tedy normála má směrnici k = f Směrnice přímky p je k p = Protože má být normála kolmá na přímku p, musí mít směrnici k = = Protože f = k p máme na grafu funkce y = + najít bod [ ; y, ve kterém je = To je bod [; tedy rovnice hledané normály je y =, neboli y = Veďte tečny ke grafu funkce y = tak, aby procházely bodem B = [;

11 Definiční obor funkce f je D f =, 5 5, + Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je f 4 = + 5 Tedy rovnice tečný, která prochází bodem [ ; y, kde y = je y = Protože hledáme tečnu, která prochází bodem [;, musí splňovat rovnici = Její řešení jsou = 3 a = 5 Tedy [ body dotyku jsou [ 3; 3 nebo 5; 3 5 Dostali jsme tedy dvě řešení Tečna, která prochází bodem [ 3; 3, má rovnici y 3 = + 3 neboli + y = a tečna, která prochází bodem + 5y = [ 5; 3 5, má rovnici y 3 5 = + 5, neboli 5 Veďte tečny ke grafu funkce y = tak, aby procházely bodem B = [ ; Definiční obor funkce f je D f =,, + Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je f = Tedy rovnice tečny v bodě [ ; y, kde y =, je y = Protože hledáme tečnu, která prochází bodem [ ;, musí splňovat rovnici = Tato rovnice má dvě řešení = ± Tedy body dotyku jsou [ + ; a [, Tečna, která prochází bodem [ + ;, má rovnici y + = 3 a tečna, která prochází bodem [ + ;, má rovnici y + + = Vypočtěte itu arctg 3 Protože se jedná o itu typu, lze k jejímu výpočtu použít l Hospitalova pravidla To dává arctg 3 = 3 + = 3 Vypočtěte itu π arctg +

12 Jedná se o itu typu l Hospitalova pravidla To dává Proto výraz nejprve upravíme na itu typu a použijeme π arctg = + π arctg + = + + = Vypočtěte itu + cotg Jedná se o itu typu proto výraz nejprve upravíme na podíl Platí cos sin cos = sin sin l Hospitalovo pravidlo Pomocí něj dostaneme cotg = Protože nyní již jde o itu typu, lze k jejímu výpočtu použít + cotg sin cos = = + sin sin cos = + + sin = sin = + Vypočtěte itu + e Jedná se o itu typu Ale protože + e = + e = =, je + e e e = + + Vypočtěte itu cos + Jedná se o itu typu Protože cos = ep ln cos a funkce y = e je spojitá na celém R, stačí najít itu ln cos To je ita typu proto ji upravíme na itu typu Tedy + a použijeme l Hospitalovo pravidlo Takto dostaneme ln cos ln cos y sin y = + y + y = y + y cos y = cos = e / +

13 Vypočtěte itu cotg sin + Jedná se o itu typu sin Protože cotg = e sin ln cotg a funkce y = e je spojitá na celém R, stačí najít itu sin ln cotg, což je ita typu Tu převedeme na itu + typu a použijeme l Hospitalovo pravidlo Tak dostaneme sin ln cotg ln cotg = + = + sin + tg cos = Tedy + cotg sin = e = Dokažte, že polynom P s reálnými koeficienty má tuto vlastnost: Mezi každými dvěma reálnými kořeny polynomu P leží kořen polynomu P Nechť a, <, jsou nulové body polynomu P Protože každý polynom má na celé reálné ose derivace všech řádů a P = P =, jsou na intervalu, splněny předpoklady Rollovy věty o střední hodnotě Podle ní eistuje bod, takový, že P = Nalezněte hodnotu k a interval, ve kterém platí uvedená rovnost arctg + arccotg = k Definiční obor funkce f = arctg + arccotg je celá reálná osa Protože je funkce f diferencovatelná v celém R a její derivace je f = + =, je funkce f na celém R + konstantní Protože f = arctg + arccotg = π, je arctg + arccotg = π pro každé R Nalezněte hodnotu k a interval, ve kterém platí rovnosti arctg + arctg + = k Označme f = arctg + arctg + Definiční obor této funkce je D f =,, + Diferencovatelná funkce y = f se konstantní na intervalu právě tehdy, když je na tomto intervalu f = Protože je f + = =, je funkce f konstantní na + intervalech, a, + Konstantu určíme pomocí funkční hodnoty v libovolném bodě každého z těchto intervalů Protože f = π, platí na intervalu, + rovnost arctg + arctg 4 + = π 4 Protože arctg + arctg = π, 3

14 je na intervalu, funkce arctg + arctg + = 3 4 π Nalezněte hodnotu k a interval, ve kterém platí rovnost arctg + arcsin + = k Uvažujme funkci f = arctg + arcsin Definiční obor této funkce je dán nerovností +, a tedy je to celá množina R + Diferencovatelná funkce je na intervalu konstantní právě tehdy, když je na tomto intervalu f = Derivace funkce f je f = = + + Tedy f = pro <, tj pro,, + Tedy funkce f = arctg + arcsin je na intervalech, a, + konstantní + Tuto konstantu lze na každém z těchto intervalů určit tak, že dosadíme libovolný bod příslušného intervalu Protože arctg + arcsin + + = π a arctg + arcsin + + = π je arctg + arcsin = π + pro, + arctg + arcsin = π + pro, Nalezněte hodnotu k a interval, ve kterém platí rovnost arctg arccos + = k Označme f = arctg arccos Definiční obor funkce f je určen nerovností + + Z toho plyne, že D f = R Derivace funkce f je rovna f = = + + Diferencovatelná funkce f je konstantní na intervalu právě tehdy, když je její derivace rovna nule V našem případě je f = pro, +, a tedy je na tomto intervalu rovna konstantě Protože f =, je arctg arccos = pro, + + 4

15 Vypočtěte itu sin π ln Jedná se o itu typu Proto lze k jejímu výpočtu použít l Hospitalovo pravidlo To dává sin π ln = π cos π = π Vypočtěte itu e e sin Protože se jedná o itu typu, je možné použít k výpočtu této ity l Hospitalovo pravidlo To dává e e e + e = = sin cos Vypočtěte itu sin 3 Jedná se o itu typu Proto lze použít l Hospitalovo pravidlo To dává sin cos sin 3 = 3 = 6 = 6 Vypočtěte itu ln Protože se jedná o itu typu, lze použít l Hospitalovo pravidlo To dává ln = = Vypočtěte itu tg sin 5

16 Jedná se o itu typu Proto lze k jejímu výpočtu použít l Hospitalovo pravidlo Pak dostaneme tg sin = cos cos cos = + cos cos = Vypočtěte itu Jedná se o itu typu l Hospitalovo pravidlo To dává π tg Proto výraz nejprve převedeme na ity typu a použijeme π tg = cotg π/ = π sin π/ = π Vypočtěte itu e/ Protože e / = a e / = + e y y + y = y + ey = +, e / neeistuje Vypočtěte itu sin Jedná se o itu typu Ale jestliže oba zlomky sečteme, získáme itu typu, pro jejíž výpočet již můžeme použít l Hospitalovo pravidlo takto dostaneme sin = sin sin = sin sin = cos sin = = = Vypočtěte itu e Jedná se o itu typu Proto nejprve výraz upravíme sečteme zlomky na itu typu Pak už můžeme použít l Hospitalovo pravidlo To dává e e = e = e e + e = e e + e = 6

17 Vypočtěte itu cotg Jedná se o itu typu Proto převedeme výraz na zlomek Platí cotg = cos sin = sin cos sin = sin + cos sin cos 3 = sin Hledanou itu najdeme jako součin tří it, které jsou vesměs typu Proto lze pro výpočet každé z nich použít l Hospitalovo pravidlo Tedy sin + cos sin cos cotg = 3 sin = sin = 3 = 3 Vypočtěte itu / Jedná se o itu typu Proto vyjádříme funkci pomocí eponenciály, tj napíšeme / = ln ep Protože je funkce f = e spojitá, platí / = ep ln = ep = e Vypočtěte itu + ln + Jedná se o itu typu Protože je + ln = e ln ln+ a funkce y = e je spojitá na celém R, je + ln = ep ln ln + = + + ln ln + = ep = e = + + Vypočtěte itu sin π/ tg 7

18 Funkce f je definována předpisem f = e tg lnsin Proto je její definiční obor určen podmínkou sin > a k + π Tedy D f = [ kπ, 4k + 4k + π π, k + π k Z Protože funkce y = e je spojitá v celém R, stačí najít itu tg lnsin Protože se jedná π/ o itu typu, převedeme tento výraz na itu typu a použijeme l Hospitalovo pravidlo Platí tg lnsin = lnsin π/ π/ cotg = cotg π/ sin = Proto je π/ tg sin = e = Vypočtěte itu + e e Protože se jedná o itu typu, lze k jejímu výpočtu použít l Hospitalovo pravidlo Pomocí něj dostaneme e + e = e e + e = Vypočtěte itu 3 Jedná se o itu typu Proto je možné použít l Hospitalovo pravidlo Pomocí něj dostaneme 3 = 3 ln 3 ln = ln 3 Najděte cos t dt Jedná se o itu typu proto lze k jejímu výpočtu použít l Hospitalovo pravidlo Pomocí něj dostaneme cos t dt = cos = 8

19 Najděte + arctg t dt + + Protože + arctg = π 4, integrál arctg t dt diverguje k + Jedná se tedy o itu typu Proto lze použít l Hospitalovo pravidlo To dává + arctg t dt + = + + arctg = π 4 Najděte + e t dt e t dt Protože integrály + e t dt a + k jejímu výpočtu použít l Hospitalovo pravidlo To dává + e t dt e t dt e t dt divergují do +, jedná se o itu typu Proto lze = + e e t dt e = = + e e = + e t dt e = Najděte + cos t t dt Protože pro t, platí nerovnost cos t t cos t > a integrál dt t = +, jedná se o itu t cos t dt cos t typu Jestliže píšeme + t dt = +, dostaneme itu typu Proto lze pro výpočet této ity použít l Hospitalovo pravidlo Tedy platí cos t + t dt = + t cos t dt = + cos = 9

20 Najděte + + t4 dt 3 Protože je + 4 = +, integrál t4 dt diverguje k + Jedná se tedy o itu Proto lze k výpočtu této itu použít l Hospitalovo pravidlo To dává + + t4 dt 3 = = 3 Najděte + + t e t dt ln/ + e t Protože integrál t použít l Hospitalovo pravidlo To dává dt diverguje k +, jedná se o itu typu Proto lze k jejímu výpočtu + + t e t dt ln/ = + e = Najděte α ft dt, + tα+ kde α > a ft je spojitá funkce na intervalu, ft Jestliže je f, integrál dt diverguje k nekonečnu Proto se v tomto případě jedná o tα+ itu typu Proto převedeme tento výraz na zlomek a dostaneme itu typu K jejímu výpočtu lze použít l Hospitalovo pravidlo Tímto způsobem dostaneme α ft dt = + tα+ + t α ft dt α α f = + α α = f α Jestliže je f =, pak ke každému ε > eistuje δ > takové, že pro každé, δ je f < ε Proto je pro < < δ + δ α t α ft dt α f dt + α t α ft dt + + δ

21 δ ε α dt + t α+ = ε α Protože tato rovnost platí pro každé ε >, je v tomto případě ita rovna α t α ft dt = + Tedy v obou případech je α ft f dt = + tα+ α Najděte definiční obor funkce f = e cosh + e 4 a její diferenciály v bodech = a = 4 Funkce je definována předpisem f = e cosh ln e +e 4 Proto je definiční obor D f této funkce určen nerovností e > Tedy D f = e, e Diferenciál funkce f, která má v bodě derivaci, je lineární funkce proměnné h definovaná vztahem df ; h = f h, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace dané funkce je f = e cosh sinh ln e Protože v bodě = je f = 4, je df; h = 4h Bod = 4 není prvkem definičního oboru dané funkce Najděte definiční obor funkce f = a = 3 Funkce f je definována vztahem f = ep cosh e + 4e 4 cosh 7 3 tgh a její diferenciály v bodech = 3 [ 7 3 ln cosh tgh Proto je její 3 definiční obor D f =, 3 3, + Diferenciál funkce f, která má v bodě derivaci, je lineární funkce proměnné h definovaná vztahem df ; h = f h, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace dané funkce je f = cosh 7 3 [ 3 ln cosh 3 3 Protože v bodě = je f =, je df; h = h Bod = 3 není prvkem definičního oboru funkce f Najděte definiční obor funkce f = = a = 67 3 tgh 3 3 cosh cosh + e a rovnici normál k jejímu grafu v bodech Protože je funkce f definována předpisem f = e cosh ln + e, je definiční obor této funkce určen podmínkou > Tedy D f =, Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, ve kterém je funkce f diferencovatelná, má tvar f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě

22 V našem případě je f = cosh sinh ln + cosh + e Bod = není prvkem definičního oboru funkce f Pro = je y = a f = Tedy rovnice hledané normály je y =, neboli + y 4 = Najděte definiční obor funkce f = 3 cos + sin = π a = π a rovnici normál k jejímu grafu v bodech Funkce f je definována předpisem f = 3 cos + e lnsin Proto je její definiční obor určen vztahem sin > Tedy D f = kπ, k + π k Z Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě Pro naší funkce je f = 3 sin + sin lnsin + cotg Pro bod = π π je y = a f = 3 Tedy rovnice normály je v tomto případě 3y = π, neboli 3y + 3 π = Bod = π není prvkem definičního oboru funkce f Najděte definiční obor funkce f = cos arctg 3 = π a = a rovnici tečen k jejímu grafu v bodech Funkce f je definována předpisem f = e lncos arctg Proto je její definiční obor určen 3 nerovností cos > Tedy D f = 4k π, 4k + π k Z Tečna ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f je dána rovnicí y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Pro naši funkce je f = cos 3 lncos tg 9 + Bod = π není prvkem D f Pro bod = je y = f = a f = 3 Tedy tečna v bodě [ ; je y =, neboli 3 + 3y 3 = Najděte definiční obor funkce f = 3 + cos cosh a rovnici normál k jejímu grafu v bodech = π a = Protože je funkce f definována předpisem f = 3+e cosh lncos, je definiční obor této funkce určen vztahem cos > Tedy D f = k Z 4k 4 π, 4k + 4 Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě π

23 V našem případě je derivace funkce f v obecném bodě definičního oboru rovna f = 3 + cosh cos sinh lncos cosh tg Bod = π není prvkem D f V bodě =, je y = a f = 3 Tedy rovnice normály ke grafu funkce f v bodě [ ; je 3y =, neboli + 3y 3 = + Nalezněte ity v hraničních bodech definičního oboru funkce f = + Funkce f je definována předpisem f = = ep ln + Proto je její definiční obor D f určen nerovností + > Tedy D f =,, + + Pro ± je = + 4 = e 4 ± ± + Pro je daný výraz typu, a tedy = Pro + je daný výraz typu, a tedy = Nalezněte rovnice všech asymptot ke grafu funkce f = ln6 Funkce f je definována předpisem / ln ln6 f = ln6 = ep Proto je definiční obor této funkce určen vztahy ln6 > a Tedy D f =,, 5 Asymptoty ke grafu dané funkce budeme hledat v krajních bodech jejího definičního oboru, tj v bodech = 5, = a = / 5 Protože ln6 =, nemá funkce f v bodě = 5/ asymptotu Protože f = Protože / ln6 = +, je přímka = svislá asymptota ke grafu funkce f + ln ln6 je ep funkce f v bodě = ln ln6 = 3 ln6 =, = e = Tedy přímka y = je vodorovná asymptota ke grafu Nalezněte definiční obor funkce f = 9 3 cosh a napište rovnici normál k jejímu grafu v bodech = a = 4 cosh ln9 3 Funkce f je definována předpisem f = ep Proto je její definiční obor určen vztahy 9 3 > a Tedy D f =,, 3 3

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

MATEMATIKA 1. Sbírka úloh ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 1. Sbírka úloh ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs, Krupkova: Matematika.

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Z MATEMATIKY. Tomáš Mikulenka. březen 2012

Z MATEMATIKY. Tomáš Mikulenka. březen 2012 VYBRANÉ PARTIE Z MATEMATIKY Tomáš Mikulenka březen 0 Tento výukový materiál vznikl jako součást grantového projektu Gymnázia Kroměříž s názvem Beznákladové ICT pro učitele realizovaného v letech 009 0.

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Kružnice, kruh, tečny, obsahy, goniometrické funkce, integrace

Více

Zimní semestr akademického roku 2013/2014. 3. září 2014

Zimní semestr akademického roku 2013/2014. 3. září 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 03/04 3. září 04 Předmluva ii Rozjezd

Více

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná.

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná. Matmatika I část II Graf funkc.. Graf funkc Výklad Chcm-li určit graf funkc můžm vužít přdchozích znalostí a určit vlastnosti funkc ktré shrnm do níž uvdných bodů. Můž s stát ž funkc něktrou z vlastností

Více

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Příklady z matematiky(pro ITS)

Příklady z matematiky(pro ITS) Příklady z matematikypro ITS) František Mošna Definiční obor: Zjistěte maimální definiční obor funkce:. f)=ln 2 8 9 ) + +2 Df= 2, ) 9, ).2 f)=ln 2 4 5 ) 36 2 Df= 6, ) 5,6.3 f)=ln 2 7 8 ) 00 2 Df= 0, 9)

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Matematika I Reálná funkce jedné promìnné

Matematika I Reálná funkce jedné promìnné Matematika I Reálná funkce jedné promìnné RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Reálná funkce Def. Zobrazení f nazveme

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost: 753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů

Více

RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady

RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I. Řešené příklady RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I Řešené příklady Uváděné řešené příklady jsou vybrány a řazeny v návaznosti na orientační učební pomůcku Doc.RNDr.Ing. Josef Nedoma, CSc.: MATEMATIKA I. Tato sbírka

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 9. srpna 05 Materiál je v aktuální

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. 3 arctg x 1+x 2 dx 2. (x 2 + 2x + 17)e x dx 3. 1 x 3 x dx Vypočtěte integrál: 3 arctg x 1 + x 2 dx Příklad 1. Řešení: Použijeme substituci: arctg x = t 3 arctg x dx = 1 dx = dt 1+x 2

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

4.2.15 Funkce kotangens

4.2.15 Funkce kotangens 4..5 Funkce kotangens Předpoklady: 44 Pedagogická poznámka: Pokud nemáte čas, doporučuji nechat tuto hodinu studentům na domácí práci. Nedá se na tom nic zkazit a v budoucnu to není nikde příliš potřeba.

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

Derivace a průběh funkce.

Derivace a průběh funkce. Derivace a průběh funkce. Robert Mařík 14. října 2008 Obsah 1 Základní myšlenky. 2 2 Přesné věty a definice 10 3 Okolí nevlastních bodů. 16 4 Sestrojení grafu funkce. 19 1 Základní myšlenky. y x Uvažujme

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Pracovní materiál pro

Pracovní materiál pro Pracovní materiál pro Úvodní kurz pro FELÁKY Temešvár u Písku, září 01 Úvodem Tento text má sloužit jako přehled středoškolských znalostí a dovedností, které jsou nezbytné při studiu matematiky na vysoké

Více

7.[4body] Jedánautonomnísystém. 8.[4 body] Integrál

7.[4body] Jedánautonomnísystém. 8.[4 body] Integrál Písemná část zkoušky z Inženýrské matematiky, 9.2.20(60 minut) Body Jméno:... 2 3 4 5 6 7 8 První příklad vypočítejte na samostatný podepsaný papír a odevzdejte po 5 minutách..[povinný] Pro mytí autobusů

Více

6. F U N K C E 6.1 F U N K C E. Sbírka úloh z matematiky pro SOU a SOŠ RNDr. Milada Hudcová, Mgr. Libuše Kubičíková 181/1 190/24 25

6. F U N K C E 6.1 F U N K C E. Sbírka úloh z matematiky pro SOU a SOŠ RNDr. Milada Hudcová, Mgr. Libuše Kubičíková 181/1 190/24 25 6. F U N K C E 6.1 F U N K C E Funkce (definice, značení) Způsoby zadání funkce (tabulka, funkční předpis, slovní popis, graf) 181/1 190/24 25 80/1 2 82/3 6.2 D E F I N I Č N Í O B O R, O B O R H O D N

Více

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006 rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Vyšetování prbhu funkce V tomto tetu je vzorov vyešeno nkolik úloh na vyšetení prbhu funkce. i ešení úlohy jsou využity základní vlastnosti diferenciálního potu.. ešený píklad

Více

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat? Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab K práci budeme potřebovat následující příkazy pro 1. Co budeme potřebovat? (a) zadání jednotlivých výrazů symbolicky (obecně) (b) řešení rovnice f()=0,

Více

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, 549 31 Hronov Protokol SADA DUM Číslo sady DUM: VY_4_INOVACE_MA_ Název sady DUM: Funkce a rovnice I. Název a adresa školy: Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 90, 549 3 Hronov Registrační číslo projektu: Číslo

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL.

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Jméno a příjmení(čitelně): varianta č. 90 Přezdívka(nepovinné): Zde pište své výsledky Napište rovnici přímky procházející

Více

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol,

Více

Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu.

Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno. Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Poznámka 1.1. A) první část hodiny (cca 50 minut): představení všech tří metod při řešení jednoho příkladu. Na jiných příkladech je téma podrobně zpracováno ve skriptech

Více

7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH... 83. 7.1. Definiční oblasti... 83 Úlohy k samostatnému řešení... 83

7. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH... 83. 7.1. Definiční oblasti... 83 Úlohy k samostatnému řešení... 83 Sbírka úloh z matematik 7 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ DVOU PROMĚNNÝCH 8 7 Definiční oblasti 8 Úloh k samostatnému řešení 8 7 Parciální derivace 8 Úloh k samostatnému řešení 8 7 Tečná rovina a normála 8

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován:

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován: 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou :. ) Určete, pro která R není daný výraz definován: 3) Určete obor hodnot funkce Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) f : y 4 3. 4 8 5 1 4) Vyšetřete vzájemnou

Více

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout.

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout. Etrém funkc 4. PRŮBĚH FUNKCE Průvodc studim V matmatic, al i v fzic a tchnických oborch s často vsktn požadavk na sstrojní grafu funkc K nakrslní grafu funkc lz dns většinou použít vhodný matmatický softwar.

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN

ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN ROZKLAD MNOHOČLENU NA SOUČIN Rozkladedem mnohočlenu na součin rozumíme rozklad mnohočlenu na součin jednodušších mnohočlenů, které z pravidla již nejsou dále rozložitelné. Pro rozklad mnohočlenu na součin

Více