Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0."

Transkript

1 Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin + >, + a, neboli < Definiční obor funkce f = f = cos cosh + 3 a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech [;? a [ π 3 ;? Funkce f je definována předpisem f = e cosh lncos + 3 Proto je její definiční obor určen vztahem cos > Tedy D f = 4k π, 4k + π k Z Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Pro naší funkce je f = cos cosh sinh lncos cosh tg + 3 Pro bod = je y = a f = 3 Tedy rovnice tečny je v tomto případě y = 3, neboli 3 y + = Bod = π 3 není prvkem definičního oboru funkce f Určete definiční obor funkce f = sin + 3 cos [ π a nalezněte rovnici normál ke grafu této funkce v bodech ;? a [ 4π 3 ;? Funkce f je definována předpisem f = e lnsin + 3 cos Proto je její definiční obor určen vztahem sin > Tedy D f = kπ, k + π k Z Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě Pro naší funkce je f = sin lnsin + cotg 3 sin Pro bod = π π je y = a f = 3 Tedy rovnice normály je v tomto případě 3y = π, neboli 3y + 3 π = Bod = 4π 3 není prvkem definičního oboru funkce f Určete definiční obor funkce f = sin + Typeset by AMS-TEX

2 [ π [ 7 a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech ;? a 4 π;? Funkce f je definována předpisem f = e lnsin + vztahem sin > Tedy D f = kπ, k + π k Z Proto je její definiční obor určen Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Pro naší funkce je f = sin lnsin + cotg + Pro bod = π je y = + π π 4 a f π π, neboli π y + π 4 = Bod = 7 π není prvkem definičního oboru funkce f 4 = π Tedy rovnice tečny je v tomto případě y π 4 = Určete definiční obor funkce f = sin + [ π [ 6 a nalezněte její diferenciál v bodech ;? a 5 π;? Funkce f je definována předpisem f = e lnsin + vztahem sin > Tedy D f = kπ, k + π k Z Proto je její definiční obor určen Diferenciál funkce y = f v bodě =, ve kterém má funkce f derivaci f, je lineární funkce proměnné h definovaná vztahem df ; h = f h Pro naší funkce je f = sin lnsin + cotg + Pro bod = π π π je f = Tedy diferenciál je v tomto případě df ; h = h Bod = 6 π není prvkem definičního oboru funkce f 5 Nalezněte rovnice tečen ke grafu funkce v jejích infleních bodech f = ln + Definiční obor funkce f je celá množina R První dvě derivace této funkce jsou f = + a f = + Protože f > pro, a f < pro,, +, je funkce f konvení na intervalu, a konkávní na intervalech, a, + tedy její inflení body jsou = ± Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Protože pro = je y = ln a f =, má rovnice tečny v bodě [; ln rovnici y ln =, neboli y + ln = Protože pro = je y = ln a f =, má rovnice tečny v bodě [ ; ln rovnici y ln = +, neboli + y + ln =

3 Určete definiční obor funkce f = sin + [ π [ 5 a nalezněte její diferenciál v bodech ;? a 3 π;? Protože je funkce f definována předpisem f = e lnsin +, je její definiční obor určen podmínkou sin > Je to tedy množina D f = k Z kπ, k + π Diferenciál funkce f, která má v bodě derivaci, je lineární funkce proměnné h definovaná vztahem df ; h = f h, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace dané funkce je f = sin lnsin + cotg + π π Protože f = je df ; h = h Bod = 5 π není prvkem definičního oboru funkce f 3 Určete definiční obor funkce f = ln [ a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech ;? a [ ;? Definiční obor D f funkce f = ln je určen nerovnostmi > a > Tedy D f =, Tečna ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f je dána rovnicí y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace funkce f v obecném bodě je f = + = V bodě = je y = ln 3 a f 8 = 3 Rovnice tečny ke grafu funkce f = ln v [ bodě ; ln 3 je y + ln 3 = 8, neboli 8 3y 4 3 ln 3 = 3 Bod = Určete definiční obor funkce není prvkem definičního oboru funkce f f = ln a nalezněte rovnice tečen ke grafu této funkce v bodech [;?, [;? Definiční obor funkce f je určen nerovností > Tedy D f =, 3, 3 Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je f = 9 3 Bod = není prvkem definičního oboru funkce f Pro = je y = ln 3 a f = 4 Tedy v tomto případě má tečna rovnici y ln = 4, 3 neboli 4 + y 4 ln 3 = 3

4 Určete definiční obor funkce f = ln [ a nalezněte rovnice tečen ke grafu této funkce v bodech ;?, [;? Definiční obor D f funkce f = ln je určen nerovnostmi > a > Tedy D f =, Tečna ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f je dána rovnicí y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace funkce f v obecném bodě je f = + = V bodě = je y = ln 3 a f 8 = 3 Rovnice tečny ke grafu funkce f = ln v [ bodě ; ln 3 je y + ln 3 = 8, neboli 8 3y 4 3 ln 3 = 3 Bod = není prvkem definičního oboru funkce f Určete definiční obor funkce f = sin + 3 cos [ π a nalezněte rovnice tečen ke grafu této funkce v bodech,?, [π,? Funkce f je definována předpisem f = e lnsin + 3 cos Proto je její definiční obor určen nerovností sin > Tedy D f = k Z kπ, k + π Tečna ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f je dána rovnicí y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace funkce f v obecném bodě jejího definičního oboru je f = sin lnsin + cotg 3 sin Pro = π π π je y = f = a f = 3 Tedy rovnice tečny v bodě 3 π, neboli 3 + y 3 π = Bod = π není prvkem definičního oboru funkce f [ π ; je y = Určete definiční obor funkce f = cos cosh + 3 a nalezněte rovnici normál ke grafu této funkce v bodech [;? a [π;? Protože je funkce f definována předpisem f = e cosh lncos +3, je definiční obor této funkce určen vztahem cos > Tedy D f = k Z 4k π, 4k + π 4

5 Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je derivace funkce f v obecném bodě definičního oboru rovna f = cos cosh sinh lncos cosh tg + 3 V bodě =, je y = a f = 3 Tedy rovnice normály ke grafu funkce f v bodě [ ; je 3y =, neboli + 3y 3 = Bod = π není prvkem D f Nalezněte definiční obor funkce a její diferenciál v bodech = a = 3 f = e cosh + e 4 Funkce je definována předpisem f = e cosh ln e + e 4 Proto je definiční obor D f této funkce určen nerovností e > Tedy D f = e, e Diferenciál funkce f v bodě, která má v tomto bodě derivaci, je lineární funkce proměnné h definovaná vztahem df ; h = f h, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace dané funkce je f = e cosh sinh ln e + V bodě = je f = 4 Tedy df; h = 4h Bod = 3 není prvkem definičního oboru funkce f Určete definiční obor funkce f = 4 sin a nalezněte rovnice tečen ke grafu této funkce v bodech [ 3;?, [;? cosh e + 4e 4, Protože funkce f je definována předpisem f = e sin ln4, je její definiční obor určen nerovností 4 >, tj, Tečna ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f je dána rovnicí y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je f = 4 sin cos ln4 sin 4 Bod = 3 není prvkem definičního oboru funkce f Pro bod = je y = f = a f = ln 4 Tedy rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [; je y = ln 4, neboli ln 4 y + = Nalezněte ity v krajních bodech definičního oboru funkce f = ln4 9 Definiční obor funkce f je určen vztahy 4 > a 9 Tedy D f =, 3 3, 3 3, 4 Čili máme najít ity v bodech = 4, = ±3 a = 5

6 ln4 4 9 = + Pro 3 se jedná o itu typu K jejímu výpočtu použijeme l Hospitalovo pravidlo To dává ln4 3 9 = 3 4 = 6 ln4 ln4 Protože = + a 3 9 =, ita v bodě = 3 neeistuje Pro se jedná o itu typu proto můžeme pro výpočet této ity použít l Hospitalovo pravidlo Z něj plyne ln4 9 = 4 = Nalezněte asymptoty ke grafu funkce f = ln Definiční obor funkce f je D f =,, + Proto budeme hledat asymptoty v bodech =, = a = + Protože =, nemá funkce f v bodě = svislou asymptotu + ln Protože = je přímka = svislou asymptotou ke grafu funkce f f = ln + + Protože Protože + + ln = f = + = +, nemá funkce f v bodě = + vodorovnou asymptotu + =, nemá funkce f v bodě = + ani šikmou asymptotu ln Nalezněte ity v krajních bodech definičního oboru funkce f = ln + Definiční obor funkce f je určen vztahy + > a Tedy D f =,,, + Čili máme najít ity v bodech =, = ± a = + ln + + = Pro se jedná o itu typu K jejímu výpočtu použijeme l Hospitalovo pravidlo To dává ln + = + = ln + ln + Protože + = + a =, ita v bodě = neeistuje Pro + se jedná o itu typu proto můžeme pro výpočet této ity použít l Hospitalovo pravidlo Z něj plyne ln + + = + Dokažte, že derivace sudé funkce je funkce lichá + = 6

7 Nechť f je sudá funkce To znamená, že pro každé D f je f = f Nechť je bod D f, f + h f ve kterém eistuje derivace funkce f, tj eistuje konečná ita = f h h Protože je funkce f sudá, platí pro takové vztah f f + h f f h f = = = h h h h f h f = = f h h Tedy pro každý bod D f je f = f, což znamená, že funkce f je lichá Napište rovnici normály ke grafu funkce f = ln rovnoběžné s přímkou p y + 3 = Definiční obor funkce f je interval D f =, + Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě Tedy normála má směrnici k = f V našem případě je f = ln + Protože přímka p má směrnici k p = a normála má být rovnoběžná s touto přímkou, musí pro ovou souřadnici průsečíku normály s grafem funkce platit vztah f = ln + = Tedy souřadnice tohoto bodu jsou = e a y = e Proto je rovnice hledané normály y + e = e, neboli y 3e = Určete rovnici tečen k parabole y = +, které prochází bodem B = [; Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je f = Tedy rovnice tečny, která prochází bodem [ ; y, kde y = + je y = Protože hledáme tečnu, která prochází bodem [;, musí splňovat rovnici = Její řešení jsou = + 6 a = 6 Tedy body dotyku jsou [ + 6; nebo [ 6; 7 6 Dostali jsme tedy dvě řešení Tečna, která prochází bodem [ + 6; 7+ 6, má rovnici y 7 6 = + 6 6, neboli + 6 y 3 6 = a tečna, která prochází bodem [ 6; 7 6, má rovnici y 7+ 6 = 6 + 6, neboli 6 +y +3 6 = Je dána funkce f = sin Vypočtěte f K výpočtu této derivace je výhodné použít Leibnizův vzorec n n n f g = f k g n k, k k= kde f a g jsou funkce, které mají derivace do řádu n včetně Jestliže zvolíme f = a g = sin, platí: f =, f = a f k = pro k > a pro každé k N je g 4k = g 4k+ = sin a g 4k+ = g 4k+3 = cos Z Leibnizova vzorce tedy dostáváme sin = sin 7 cos sin =

8 = 38 sin 4 cos Dokažte, že derivace liché funkce je funkce sudá Nechť f je lichá funkce To znamená, že pro každé D f je f = f Nechť je bod D f, f + h f ve kterém eistuje derivace funkce f, tj eistuje konečná ita = f h h Protože je funkce f lichá, platí pro takové vztah f f + h f f h + f = = = h h h h f h f = = f h h Tedy pro každý bod D f je f = f, což znamená, že funkce f je sudá Ve kterých bodech má graf funkce f = + 3 sin tečny rovnoběžné s osou y? Definiční obor funkce f je celá množina R Naším úkolem je najít body R, ve kterých je f + h f = ± Protože derivace funkce f, f = + h h 3 cos je pro kπ, sin /3 k Z konečná, stačí zkoumat pouze body = kπ V těchto bodech je h + 3 sinkπ + h = + k 3 sin h h h h h = + k h /3 h h /3 Protože tato ita je pro sudá k rovna + a pro lichá k rovna, jsou tečny ke grafu funkce f = + 3 sin v bodech = kπ, k Z, rovny = kπ, a tedy rovnoběžné s osou Oy Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou p y = 4 Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě a je rovna směrnici této tečny V našem případě je f = 3 + Protože směrnice přímky p je k p = 4 a tato přímka má být rovnoběžná s tečnou, budeme hledat na grafu funkce y = 3 + body, pro které je f = 3 + = 4 Takto získáme dva body dotyku [; a [ ; 4 Tedy v bodě [; je rovnice tečny y = 4, neboli 4 y 4 =, a v bodě [ ; 4 je rovnice tečny y + 4 = 4 +, čili 4 y = Určete rovnici tečny ke grafu funkce y =, která je rovnoběžná s přímkou p y = Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Tato derivace je rovna směrnici tečny Protože směrnice přímky y = je rovna nule, máme na grafu funkce y = f = najít body, ve kterých je f = Protože f = 4, jsou to body =, = a = Protože f = f = a f =, eistují dvě tečny s danými vlastnostmi Jejich rovnice jsou y = a y = 8

9 Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = , která je kolmá k přímce p 6y + = Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Tato derivace je rovna směrnici tečny V našem případě je derivace funkce rovna f = Protože přímka p má směrnici k = 3 a má být kolmá na hledanou tečnu, musí v bodě platit rovnost = 3 tedy = Pro toto je y = 3 a f = 3 Tedy rovnice hledané tečny je y + 3 = 3 +, neboli 3 + y + 6 = Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = + 5, která je kolmá k dané přímce p y = + 3 Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Tato derivace je rovna směrnici tečny V našem případě je f = Protože směrnice přímky p je k p = a tato přímka má být kolmá na tečnu, budeme hledat na grafu funkce y = +5 body, pro které je f = = Takto získáme bod dotyku [ 3 ; 7 4 Tedy rovnice tečny je y 7 4 = 3, neboli 4 4y + = Určete rovnici tečny ke grafu funkce y = ln, která je kolmá k přímce p y = Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Tato derivace je rovna směrnici tečny V našem případě je derivace funkce rovna f = Protože přímka p má směrnici k p = a má být kolmá na hledanou tečnu, musí v bodě platit rovnost = tedy = Pro toto je y = ln a f = Tedy rovnice hledané tečny je y ln =, neboli y + ln = Napište rovnice tečen hyperboly 7 y = 4, které jsou kolmé na přímku + 4y 3 = Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Tato derivace je rovna směrnici tečny Protože přímka má směrnici k p = a hledáme tečnu kolmou na tuto přímku, musí být směrnice tečny rovna k = Označme y = f Na dané hyperbole máme najít najít bod, ve které je y = f = Protože funkce f splňuje rovnici 7 f = 4, dostaneme jejím derivováním rovnici 4 4ff = Tedy v bodě dotyku [ ; y musí být splněny rovnice 7 4y = a 7 y = 4 Řešení této soustavy rovnic nám dá dva body dotyku [4; 7 a [ 4; 7 Tedy eistují dvě tečny s danou vlastností Je-li bod dotyku [4; 7 je rovnice tečny y 7 = 4, tj y =, a je-li bod dotyku [ 4; 7 je rovnice tečny y + 7 = + 4, tj y + = Veďte tečny ke grafu funkce y = tak, aby procházely bodem B = [; 3 9

10 Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, y = f, ve kterém je funkce f diferencovatelná, má tvar y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je pro, y = a f = 4 Rovnice tečny tedy je y + = 4 Protože tečna má procházet bodem [; 3, musí splňovat rovnici 4 = 4 Tato rovnice má dvě řešení = ± Pro = + je y = + 8 a f + = 4 + Rovnice tečny, která se dotýká grafu funkce v tomto bodě je y 8 = 4 +, neboli 4 + y 3 8 = Pro = je y = 8 a f = 4 Rovnice tečny, která se dotýká grafu funkce v tomto bodě je y +8 = 4 +, neboli 4 y 3+8 = Určete rovnici normály ke grafu funkce y = 4 + 5, která je rovnoběžná s přímkou p + 4y 4 = Normála ke grafu funkce = f v bodě [ ; y, kde y = f, která je v tomto bodě diferencovatelná, má rovnici f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě Její směrnice je tedy k n = f Protože přímka p má směrnici k p =, máme na grafu 4 funkce y = najít body, pro které je f = 4 Protože f = 4, eistuje pouze jeden takový bod Jeho souřadnice jsou = 4 a y = 5 Tedy rovnice hledané normály je 4y 5 = 4, neboli + 4y 4 = Určete rovnici normály ke grafu funkce y = 6 + 6, která je kolmá k dané přímce p y = Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě Tedy normála má směrnici k = f V našem případě je f = 6 Protože přímka p má směrnici k p = a normála má být kolmá na tuto přímku, musí pro ovou souřadnici průsečíku normály s grafem funkce platit vztah f = 6 = Tedy souřadnice tohoto bodu jsou = 5 a y = Proto je rovnice 4 hledané normály y + 4 = 5, neboli y 4 = Určete rovnici normály ke grafu funkce y = +, která je kolmá k přímce p y = + Definiční obor funkce f je D f =, + Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě Tedy normála má směrnici k = f Směrnice přímky p je k p = Protože má být normála kolmá na přímku p, musí mít směrnici k = = Protože f = k p máme na grafu funkce y = + najít bod [ ; y, ve kterém je = To je bod [; tedy rovnice hledané normály je y =, neboli y = Veďte tečny ke grafu funkce y = tak, aby procházely bodem B = [;

11 Definiční obor funkce f je D f =, 5 5, + Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je f 4 = + 5 Tedy rovnice tečný, která prochází bodem [ ; y, kde y = je y = Protože hledáme tečnu, která prochází bodem [;, musí splňovat rovnici = Její řešení jsou = 3 a = 5 Tedy [ body dotyku jsou [ 3; 3 nebo 5; 3 5 Dostali jsme tedy dvě řešení Tečna, která prochází bodem [ 3; 3, má rovnici y 3 = + 3 neboli + y = a tečna, která prochází bodem + 5y = [ 5; 3 5, má rovnici y 3 5 = + 5, neboli 5 Veďte tečny ke grafu funkce y = tak, aby procházely bodem B = [ ; Definiční obor funkce f je D f =,, + Rovnice tečny ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě V našem případě je f = Tedy rovnice tečny v bodě [ ; y, kde y =, je y = Protože hledáme tečnu, která prochází bodem [ ;, musí splňovat rovnici = Tato rovnice má dvě řešení = ± Tedy body dotyku jsou [ + ; a [, Tečna, která prochází bodem [ + ;, má rovnici y + = 3 a tečna, která prochází bodem [ + ;, má rovnici y + + = Vypočtěte itu arctg 3 Protože se jedná o itu typu, lze k jejímu výpočtu použít l Hospitalova pravidla To dává arctg 3 = 3 + = 3 Vypočtěte itu π arctg +

12 Jedná se o itu typu l Hospitalova pravidla To dává Proto výraz nejprve upravíme na itu typu a použijeme π arctg = + π arctg + = + + = Vypočtěte itu + cotg Jedná se o itu typu proto výraz nejprve upravíme na podíl Platí cos sin cos = sin sin l Hospitalovo pravidlo Pomocí něj dostaneme cotg = Protože nyní již jde o itu typu, lze k jejímu výpočtu použít + cotg sin cos = = + sin sin cos = + + sin = sin = + Vypočtěte itu + e Jedná se o itu typu Ale protože + e = + e = =, je + e e e = + + Vypočtěte itu cos + Jedná se o itu typu Protože cos = ep ln cos a funkce y = e je spojitá na celém R, stačí najít itu ln cos To je ita typu proto ji upravíme na itu typu Tedy + a použijeme l Hospitalovo pravidlo Takto dostaneme ln cos ln cos y sin y = + y + y = y + y cos y = cos = e / +

13 Vypočtěte itu cotg sin + Jedná se o itu typu sin Protože cotg = e sin ln cotg a funkce y = e je spojitá na celém R, stačí najít itu sin ln cotg, což je ita typu Tu převedeme na itu + typu a použijeme l Hospitalovo pravidlo Tak dostaneme sin ln cotg ln cotg = + = + sin + tg cos = Tedy + cotg sin = e = Dokažte, že polynom P s reálnými koeficienty má tuto vlastnost: Mezi každými dvěma reálnými kořeny polynomu P leží kořen polynomu P Nechť a, <, jsou nulové body polynomu P Protože každý polynom má na celé reálné ose derivace všech řádů a P = P =, jsou na intervalu, splněny předpoklady Rollovy věty o střední hodnotě Podle ní eistuje bod, takový, že P = Nalezněte hodnotu k a interval, ve kterém platí uvedená rovnost arctg + arccotg = k Definiční obor funkce f = arctg + arccotg je celá reálná osa Protože je funkce f diferencovatelná v celém R a její derivace je f = + =, je funkce f na celém R + konstantní Protože f = arctg + arccotg = π, je arctg + arccotg = π pro každé R Nalezněte hodnotu k a interval, ve kterém platí rovnosti arctg + arctg + = k Označme f = arctg + arctg + Definiční obor této funkce je D f =,, + Diferencovatelná funkce y = f se konstantní na intervalu právě tehdy, když je na tomto intervalu f = Protože je f + = =, je funkce f konstantní na + intervalech, a, + Konstantu určíme pomocí funkční hodnoty v libovolném bodě každého z těchto intervalů Protože f = π, platí na intervalu, + rovnost arctg + arctg 4 + = π 4 Protože arctg + arctg = π, 3

14 je na intervalu, funkce arctg + arctg + = 3 4 π Nalezněte hodnotu k a interval, ve kterém platí rovnost arctg + arcsin + = k Uvažujme funkci f = arctg + arcsin Definiční obor této funkce je dán nerovností +, a tedy je to celá množina R + Diferencovatelná funkce je na intervalu konstantní právě tehdy, když je na tomto intervalu f = Derivace funkce f je f = = + + Tedy f = pro <, tj pro,, + Tedy funkce f = arctg + arcsin je na intervalech, a, + konstantní + Tuto konstantu lze na každém z těchto intervalů určit tak, že dosadíme libovolný bod příslušného intervalu Protože arctg + arcsin + + = π a arctg + arcsin + + = π je arctg + arcsin = π + pro, + arctg + arcsin = π + pro, Nalezněte hodnotu k a interval, ve kterém platí rovnost arctg arccos + = k Označme f = arctg arccos Definiční obor funkce f je určen nerovností + + Z toho plyne, že D f = R Derivace funkce f je rovna f = = + + Diferencovatelná funkce f je konstantní na intervalu právě tehdy, když je její derivace rovna nule V našem případě je f = pro, +, a tedy je na tomto intervalu rovna konstantě Protože f =, je arctg arccos = pro, + + 4

15 Vypočtěte itu sin π ln Jedná se o itu typu Proto lze k jejímu výpočtu použít l Hospitalovo pravidlo To dává sin π ln = π cos π = π Vypočtěte itu e e sin Protože se jedná o itu typu, je možné použít k výpočtu této ity l Hospitalovo pravidlo To dává e e e + e = = sin cos Vypočtěte itu sin 3 Jedná se o itu typu Proto lze použít l Hospitalovo pravidlo To dává sin cos sin 3 = 3 = 6 = 6 Vypočtěte itu ln Protože se jedná o itu typu, lze použít l Hospitalovo pravidlo To dává ln = = Vypočtěte itu tg sin 5

16 Jedná se o itu typu Proto lze k jejímu výpočtu použít l Hospitalovo pravidlo Pak dostaneme tg sin = cos cos cos = + cos cos = Vypočtěte itu Jedná se o itu typu l Hospitalovo pravidlo To dává π tg Proto výraz nejprve převedeme na ity typu a použijeme π tg = cotg π/ = π sin π/ = π Vypočtěte itu e/ Protože e / = a e / = + e y y + y = y + ey = +, e / neeistuje Vypočtěte itu sin Jedná se o itu typu Ale jestliže oba zlomky sečteme, získáme itu typu, pro jejíž výpočet již můžeme použít l Hospitalovo pravidlo takto dostaneme sin = sin sin = sin sin = cos sin = = = Vypočtěte itu e Jedná se o itu typu Proto nejprve výraz upravíme sečteme zlomky na itu typu Pak už můžeme použít l Hospitalovo pravidlo To dává e e = e = e e + e = e e + e = 6

17 Vypočtěte itu cotg Jedná se o itu typu Proto převedeme výraz na zlomek Platí cotg = cos sin = sin cos sin = sin + cos sin cos 3 = sin Hledanou itu najdeme jako součin tří it, které jsou vesměs typu Proto lze pro výpočet každé z nich použít l Hospitalovo pravidlo Tedy sin + cos sin cos cotg = 3 sin = sin = 3 = 3 Vypočtěte itu / Jedná se o itu typu Proto vyjádříme funkci pomocí eponenciály, tj napíšeme / = ln ep Protože je funkce f = e spojitá, platí / = ep ln = ep = e Vypočtěte itu + ln + Jedná se o itu typu Protože je + ln = e ln ln+ a funkce y = e je spojitá na celém R, je + ln = ep ln ln + = + + ln ln + = ep = e = + + Vypočtěte itu sin π/ tg 7

18 Funkce f je definována předpisem f = e tg lnsin Proto je její definiční obor určen podmínkou sin > a k + π Tedy D f = [ kπ, 4k + 4k + π π, k + π k Z Protože funkce y = e je spojitá v celém R, stačí najít itu tg lnsin Protože se jedná π/ o itu typu, převedeme tento výraz na itu typu a použijeme l Hospitalovo pravidlo Platí tg lnsin = lnsin π/ π/ cotg = cotg π/ sin = Proto je π/ tg sin = e = Vypočtěte itu + e e Protože se jedná o itu typu, lze k jejímu výpočtu použít l Hospitalovo pravidlo Pomocí něj dostaneme e + e = e e + e = Vypočtěte itu 3 Jedná se o itu typu Proto je možné použít l Hospitalovo pravidlo Pomocí něj dostaneme 3 = 3 ln 3 ln = ln 3 Najděte cos t dt Jedná se o itu typu proto lze k jejímu výpočtu použít l Hospitalovo pravidlo Pomocí něj dostaneme cos t dt = cos = 8

19 Najděte + arctg t dt + + Protože + arctg = π 4, integrál arctg t dt diverguje k + Jedná se tedy o itu typu Proto lze použít l Hospitalovo pravidlo To dává + arctg t dt + = + + arctg = π 4 Najděte + e t dt e t dt Protože integrály + e t dt a + k jejímu výpočtu použít l Hospitalovo pravidlo To dává + e t dt e t dt e t dt divergují do +, jedná se o itu typu Proto lze = + e e t dt e = = + e e = + e t dt e = Najděte + cos t t dt Protože pro t, platí nerovnost cos t t cos t > a integrál dt t = +, jedná se o itu t cos t dt cos t typu Jestliže píšeme + t dt = +, dostaneme itu typu Proto lze pro výpočet této ity použít l Hospitalovo pravidlo Tedy platí cos t + t dt = + t cos t dt = + cos = 9

20 Najděte + + t4 dt 3 Protože je + 4 = +, integrál t4 dt diverguje k + Jedná se tedy o itu Proto lze k výpočtu této itu použít l Hospitalovo pravidlo To dává + + t4 dt 3 = = 3 Najděte + + t e t dt ln/ + e t Protože integrál t použít l Hospitalovo pravidlo To dává dt diverguje k +, jedná se o itu typu Proto lze k jejímu výpočtu + + t e t dt ln/ = + e = Najděte α ft dt, + tα+ kde α > a ft je spojitá funkce na intervalu, ft Jestliže je f, integrál dt diverguje k nekonečnu Proto se v tomto případě jedná o tα+ itu typu Proto převedeme tento výraz na zlomek a dostaneme itu typu K jejímu výpočtu lze použít l Hospitalovo pravidlo Tímto způsobem dostaneme α ft dt = + tα+ + t α ft dt α α f = + α α = f α Jestliže je f =, pak ke každému ε > eistuje δ > takové, že pro každé, δ je f < ε Proto je pro < < δ + δ α t α ft dt α f dt + α t α ft dt + + δ

21 δ ε α dt + t α+ = ε α Protože tato rovnost platí pro každé ε >, je v tomto případě ita rovna α t α ft dt = + Tedy v obou případech je α ft f dt = + tα+ α Najděte definiční obor funkce f = e cosh + e 4 a její diferenciály v bodech = a = 4 Funkce je definována předpisem f = e cosh ln e +e 4 Proto je definiční obor D f této funkce určen nerovností e > Tedy D f = e, e Diferenciál funkce f, která má v bodě derivaci, je lineární funkce proměnné h definovaná vztahem df ; h = f h, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace dané funkce je f = e cosh sinh ln e Protože v bodě = je f = 4, je df; h = 4h Bod = 4 není prvkem definičního oboru dané funkce Najděte definiční obor funkce f = a = 3 Funkce f je definována vztahem f = ep cosh e + 4e 4 cosh 7 3 tgh a její diferenciály v bodech = 3 [ 7 3 ln cosh tgh Proto je její 3 definiční obor D f =, 3 3, + Diferenciál funkce f, která má v bodě derivaci, je lineární funkce proměnné h definovaná vztahem df ; h = f h, kde f je derivace funkce f v bodě Derivace dané funkce je f = cosh 7 3 [ 3 ln cosh 3 3 Protože v bodě = je f =, je df; h = h Bod = 3 není prvkem definičního oboru funkce f Najděte definiční obor funkce f = = a = 67 3 tgh 3 3 cosh cosh + e a rovnici normál k jejímu grafu v bodech Protože je funkce f definována předpisem f = e cosh ln + e, je definiční obor této funkce určen podmínkou > Tedy D f =, Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, ve kterém je funkce f diferencovatelná, má tvar f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě

22 V našem případě je f = cosh sinh ln + cosh + e Bod = není prvkem definičního oboru funkce f Pro = je y = a f = Tedy rovnice hledané normály je y =, neboli + y 4 = Najděte definiční obor funkce f = 3 cos + sin = π a = π a rovnici normál k jejímu grafu v bodech Funkce f je definována předpisem f = 3 cos + e lnsin Proto je její definiční obor určen vztahem sin > Tedy D f = kπ, k + π k Z Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě Pro naší funkce je f = 3 sin + sin lnsin + cotg Pro bod = π π je y = a f = 3 Tedy rovnice normály je v tomto případě 3y = π, neboli 3y + 3 π = Bod = π není prvkem definičního oboru funkce f Najděte definiční obor funkce f = cos arctg 3 = π a = a rovnici tečen k jejímu grafu v bodech Funkce f je definována předpisem f = e lncos arctg Proto je její definiční obor určen 3 nerovností cos > Tedy D f = 4k π, 4k + π k Z Tečna ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f je dána rovnicí y y = f, kde f je derivace funkce f v bodě Pro naši funkce je f = cos 3 lncos tg 9 + Bod = π není prvkem D f Pro bod = je y = f = a f = 3 Tedy tečna v bodě [ ; je y =, neboli 3 + 3y 3 = Najděte definiční obor funkce f = 3 + cos cosh a rovnici normál k jejímu grafu v bodech = π a = Protože je funkce f definována předpisem f = 3+e cosh lncos, je definiční obor této funkce určen vztahem cos > Tedy D f = k Z 4k 4 π, 4k + 4 Rovnice normály ke grafu funkce y = f v bodě [ ; y, kde y = f, v němž má funkce f derivaci, je f y y =, kde f je derivace funkce f v bodě π

23 V našem případě je derivace funkce f v obecném bodě definičního oboru rovna f = 3 + cosh cos sinh lncos cosh tg Bod = π není prvkem D f V bodě =, je y = a f = 3 Tedy rovnice normály ke grafu funkce f v bodě [ ; je 3y =, neboli + 3y 3 = + Nalezněte ity v hraničních bodech definičního oboru funkce f = + Funkce f je definována předpisem f = = ep ln + Proto je její definiční obor D f určen nerovností + > Tedy D f =,, + + Pro ± je = + 4 = e 4 ± ± + Pro je daný výraz typu, a tedy = Pro + je daný výraz typu, a tedy = Nalezněte rovnice všech asymptot ke grafu funkce f = ln6 Funkce f je definována předpisem / ln ln6 f = ln6 = ep Proto je definiční obor této funkce určen vztahy ln6 > a Tedy D f =,, 5 Asymptoty ke grafu dané funkce budeme hledat v krajních bodech jejího definičního oboru, tj v bodech = 5, = a = / 5 Protože ln6 =, nemá funkce f v bodě = 5/ asymptotu Protože f = Protože / ln6 = +, je přímka = svislá asymptota ke grafu funkce f + ln ln6 je ep funkce f v bodě = ln ln6 = 3 ln6 =, = e = Tedy přímka y = je vodorovná asymptota ke grafu Nalezněte definiční obor funkce f = 9 3 cosh a napište rovnici normál k jejímu grafu v bodech = a = 4 cosh ln9 3 Funkce f je definována předpisem f = ep Proto je její definiční obor určen vztahy 9 3 > a Tedy D f =,, 3 3

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0. Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Management rekreace a sportu. 10. Derivace Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

Aplikace derivace ( )

Aplikace derivace ( ) Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické

Více

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze Asymptoty funkce 1 Asymptota bez směrnice 6 Máme dvě funkce f 1 : y a 3 f : y 3 Člověk nemusí být matematický génius, aby pochopil, že do předpisu obou funkcí lze dosadit za libovolné reálné číslo kromě

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematika 1 pro PEF PaE Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY JIŘÍ BOUCHALA Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 3 Předmluva Cílem této sbírky je poskytnout studentům vhodné

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty

soubor FUNKCÍ příručka pro studenty soubor FUNKCÍ příručka pro studenty 1 Obsah Poznámky 6 lineární funkce mocninné funkce s přirozeným exponentem o sudým o lichým s celým záporným exponentem o sudým o lichým s racionálním exponentem o druhá

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) = Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL BA0 M06, GA0 M05 DIFERENCIÁLNÍ POČET I DERIVACE FUNKCE STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA 0 Typeset by L

Více

Funkce pro učební obory

Funkce pro učební obory Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

Seminární práce z matematiky

Seminární práce z matematiky Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Seminární práce z matematiky Vyšetřování průběhu funkcí Autor: Vyučující: Ondřej Vejpustek RNDr Eva Davidová Ostrava, 0 Taylorův polynom pro

Více

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost .7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce

Více

Mocninná funkce: Příklad 1

Mocninná funkce: Příklad 1 Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.

Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε. LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!.

8. Elementární funkce. I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k k!. 8. Elementární funkce I. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem ( ) e z z k = k!. Vlastnosti exponenciální funkce: a) řada ( ) konverguje absolutně

Více

Elementární funkce. Polynomy

Elementární funkce. Polynomy Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.

Více

3.3. Derivace základních elementárních a elementárních funkcí

3.3. Derivace základních elementárních a elementárních funkcí Přdpokládané znalosti V násldujících úvahách budm užívat vztahy známé z střdní školy a vztahy uvdné v přdcházjících kapitolách tohoto ttu Něktré z nich připomnm Eponnciální funkc Výklad Pro odvozní vzorců

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005 () Určete rovnici kručnice o poloměru

Více

MATEMATIKA 1. Sbírka úloh ÚSTAV MATEMATIKY

MATEMATIKA 1. Sbírka úloh ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs, Krupkova: Matematika.

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že

V této chvíli je obtížné exponenciální funkci přesně definovat. Můžeme však říci, že .5. Cíle Uvedeme nní několik unkcí, z nichž většinu studenti znají již ze střední škol. Nazveme je základní elementární unkce. Konečným počtem sčítání, odčítání, násobení, dělení, skládání a případně invertování

Více

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Užití derivací. x, x a, b : x x f x f x MATA P12. Funkce rostoucí a klesající: Definice rostoucí a klesající funkce MATA P1 Užití derivací Funkce rostoucí a klesající: Deinice rostoucí a klesající unkce Funkce je rostoucí v intervalu (a,b), právě když platí: ( ) ( ) ( ), a, b : 1 1 1 Funkce je klesající v intervalu

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I

CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Slezská univerzita v Opavě Filozoficko-přírodovědecká fakulta Ústav fyziky CVIČENÍ Z MATEMATIKY I Sbírka příkladů Andrea Kotrlová Opava Obsah Příklady k opakování středoškolské látky. Úprava algebraických

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika AA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika AA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2005 () Jsou dány matice A = AB BA. [ AB BA

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b, Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální

Více

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2 Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a

Více

13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET

13. DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET . DIFERENCIÁLNÍ A INTEGRÁLNÍ POČET Dovednosti: Chápat pojem limita funkce v bodě a ovládat výpočet jednoduchých limit.. Na základě daného grafu funkce umět odhadnout limity v nevlastních bodech a nevlastní

Více

Goniometrické a hyperbolické funkce

Goniometrické a hyperbolické funkce Kapitola 5 Goniometrické a hyperbolické funkce V této kapitole budou uvedeny základní poznatky týkající se goniometrických funkcí - sinus, kosinus, tangens, kotangens a hyperbolických funkcí - sinus hyperbolický,

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

Z MATEMATIKY. Tomáš Mikulenka. březen 2012

Z MATEMATIKY. Tomáš Mikulenka. březen 2012 VYBRANÉ PARTIE Z MATEMATIKY Tomáš Mikulenka březen 0 Tento výukový materiál vznikl jako součást grantového projektu Gymnázia Kroměříž s názvem Beznákladové ICT pro učitele realizovaného v letech 009 0.

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

Limita ve vlastním bodě

Limita ve vlastním bodě Výpočty it Definice (a případné věty) jsou z knihy [] příklady z [] [] a []. Počítám u zkoušky dvacátou itu hlavu mám dávno už do čista vymytu papír se značkami skvěje z čela mi pot v proudech leje než

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více