3.4.2 Rovnováha Rovnováha u centrální rovinné silové soustavy nastává v případě, že výsledná síla nahrazující soustavu je rovna nule. Tedy. Obr.17.

Transkript

1 Obr.17. F F 1x = F.cos α1,..., Fnx = F. cos 1y = F.sin α1,..., Fny = F. sin α α n n. Původní soustava je nyní nahrazena děma soustavami sil ve směru osy x a ve směru osy y. Tutu soustavu nahradíme dvěma vzájemně kolmými silami, pro které platí F x = Fix, Fy = F. iy Potom síly F x a F y nahradíme výslednicí r r F = F x r + F y. Velikost síly F a její směr určíme stejnými vztahy jako v případě početního řešení nahrazení dvou sil různých směrů Rovnováha Rovnováha u centrální rovinné silové soustavy nastává v případě, že výsledná síla nahrazující soustavu je rovna nule. Tedy F r = r. Pro grafické řešení to znamená, že silový obrazec tvoří n-úhelník, šipky sil se sledují po obvodě. Pro početní řešení platí F =, F. ix iy = Rovinná centrální soustava sil je v rovnováze, je-li algebraický součet složek všech sil ve dvou vzájemně kolmých směrech roven nule.

2 Všechny případy znázorněné na obr.18. lze uvolněním převést na rovinnou centrální soustavu sil. Obr.18. Grafické řešení provedeme na základě vektorové rovnice 3.5 Uložení bodu v rovině r r r r F + A + B =. Bod může být v rovině uložen pohyblivě nebo nepohyblivě. Pohyblivost bodu závisí na počtu vazebních ploch. Volný bod v rovině má dva stupně volnosti. Počet stupňů volnosti určujeme počtem nezávislých souřadnic, kterými je určena jednoznačně poloha bodu. Obr.19. Podle obr.19. při volbě pravoúhlého souřadnicového systému jsou to souřadnoce x a y, při použití polárních souřadnic parametry α, r. V obou případech je k určení polohy bodu zapotřebí dvou souřadnic.

3 3.5.1 Vazba bodu na plochu Vazbou bodu na plochu ztrácí bod jeden stupeň volnosti Vazevní plochy obr.2. se v pracovní rovině zobrazují jako křivky. Obr Vazba bodu na dvě plochy V tomto případě ztrácí bod dva stupně volnosti. Bod je vázán na křivku, křivka neleží v pracovní rovině, ale protíná ji v bodě. Bod je v pracovní rovině nepohyblivý obr.21. Obr.21. V rovině existuje: a) bod volný b) bod vázaný na plochu na křivku na tři plochy 2 volnosti pohyblivý, 1 volnosti pohyblivý, volnosti nepohyblivý, 1 volnosti nepohyblivý.

4 Obr.22. Na obr.22. je bod uložen na třech plochách, má tedy 1 volnosti. Obr.23. Na obr.23. je bod uložen na čtyřech plochách, má 2 volnosti. 3.6 Moment síly k bodu V technických aplikacích používáme veličinu moment síly k bodu. Tento pojem přísluší jedině rovinným úlohám. Na obr.24. je dána síla F a bod A. Kolmici z bodu A na nositelku síly F označíme p a nazveme ji ramenem síly F k bodu A. Momentem síly F k bodu A nazveme součin ze síly F a ramene p. Tento součin označíme znaménkem + otáčí-li síla F rovinu obrazu v předem určeném kladném smyslu proti směru hodinových ručiček, nebo naopak. Obr Moment síly F k bodu A označíme M A. Rozměr [ ] M A = Nm = kg.m. s.

5 Při určování momentu síl F 1, F 2, F 3 ( obr.25. ), které leží v jedné rovině je moment k bodu A dán součinem jednotlivých momentů ( kladný směr momentu zvolíme proti směru hodinových ručiček ) = M A = p.f1 + p.f 2 p.f3 M i. Obr.25. Obr.26. Často je výhodné rozložit sílu v libovolném bodě její nositelky do složek vzájemně kolmých. Ke vztažnému bodu O se pak moment vyjádří jako součet momentů složek obr.26. M M O O = x.f = F y M O = F.p. y. F x ( x. sinα y. cosα ) Někdy je výhodné rozložit sílu na radiální složku F r a tečnou složku F t, neboť radiální složka F r nemá žádný moment k bodu O - obr.27. Obr.27. Platí F t a moment síly F k bodu O je dán vztahem = F. cosα M O = r.f t = r.f.cos α.

6 3.7 Silová dvojice Silová dvojice je veličina, která je prvkem silových soustav. Je určena dvěma rovnoběžnými silami stejných velikostí, opačných smyslů. Silová dvojice je určena směrem, velikostí a smyslem - obr.28. Obr.28. Směr silové dvojice - určen nositelkami sil dvojice, které určují rovinu na kterou je směr silové dvojice kolmý. Velikost silové dvojice - dána součinem ze síly dvojice a kolmé vzdálenosti obou nositelek, ktrou nazýváme ramenem silové dvojice. Smysl silové dvojice - je kladný, otáčí-li síly dvojice proti smyslu otáčení hodinových ručiček. Dvojice sil je vektorová veličina, kterou zobrazujeme vektorem M r, kolmým na rovinu silové dvojice. Moment silové dvojice je dán výrazem 2 2 M = F.p, rozměr [ M] = N.m = kg.m.s. Vektor M r silové dvojice je volný vektor, lze ho umístit na libovolnou přímku, která je kolmá na rovinu silové dvojice. Smysl točení vektoru je dán jako v elektrotechnice pravidlem pravé ruky. Je-li rovina silové dvojice totožná s rovinou nákresny, pak vektor dvojice je kolmý na nákresnu a zobrazujeme jej částí kruhového oblouku, který je opatřen šipkou - obr.29. Obr.29.

7 3.8 Nahrazování soustavy silových dvojic, které leží v jedné rovině Silová soustava na obr.3. je vytvořena dvojicemi M 1, M 2, M i,..m n. Tyto silové dvojice zobrazíme vektory, které umístíme na jedinou nositelku, protože je možné je v rovině libovolně posouvat. S vektory, které leží na společné nositelce můžeme pracovat jako se skaláry. Platí a tedy Obr.3. M = M1 + M M i M M = Výsledná silová dvojice nahrazující soustavu dvojic, které leží v jedné rovině, je algebraickým součtem dvojic soustavy. n i= Přeložení síly na rovnoběžnou nositelku Síla je vektor, který je vázán na nositelku. Nezáleží na její poloze na nositelce, můžeme ji na nositelce posouvat, můžeme ji umístit do libovolné polohy na nositelce. Nemůžeme ji tedy bez porušení statických účinků přeložit na jinou nositelku. Budeme hledat takový statický útvar, který by obsahoval přeloženou sílu na rovnoběžnou nositelku a byl s původní silou ekvivalentní a měl stejné statické účinky. Takovým útvarem je silová dvojice obr.31. M. i n, Obr.31.

8 Přeložíme sílu F ležící na nositelce n na nositelku n 1, kteráje s nositelkou n rovnoběžná. Připojíme na nositelku n 1 síly F 1, F 2, pro které platí F = F = 1 F2. Síly F 1 a F 2 jsou v rovnováze. Protože síly F a F 2 tvoří silovou dvojici o momentu M = F.p, můžeme sílu přeložit na rovnoběžnou nositelku, ale musíme připojit silovou dvojici M. Sílu lze tedy nahradit stejnou silou na rovnoběžné nositelce a silovou dvojicí. V rovině je silová dvojice určena jedním parametrem. Její nositelka je kolmá na rovinu dvojice, čímž je určen její směr. zbývá určit její velilost obr.32. Obr Obecná rovinná soustava sil Obecnou rovinnou soustavu sil tvoří síly a silové dvojice. Nositelky všech sil soustavy leží v jedné rovině, nositelky silových dvojic jsou na rovinu kolmé.

9 3.1.1 Nahrazení a) Grafické řešení Grafické řešení provedeme pro soustavu tvořenou třemi silami F 1, F 2, F n obr.33. Obr.33. Síly F 1, F 2, F n nahradíme výslednicí, kterou získáme řešením vektorové rovnice r r r F = F + F 1 Polohu nositelky výslednice odvodíme následujícím způsobem. K soustavě sil připojíme síly -F a F ( v bodě π ). Tyto síly jsou v rovnováze a soustavu neovlivňují. Jejich směra velikost volíme libovolně. Sílu F a F 1 nahradíme částečnou výslednicí 1. Částečnou výslednici 1 a sílu F 2 nahradíme částečnou výslednicí 2. Částečnou výslednici 2 a sílu F 3 nahradíme čásrečnou výslednicí 3. Nyní je obecná rovinná soustava sil tvořena silami -F a 3. Tyto síly nahradíme výslednicí F. Výslednice F prochází průsečíkem nositelek 3 a F. Průsečík π nazveme pólem, lomenou čáru mezi silami soustavy částečné výslednice 1, 2, pólovými paprsky, ( levá část obrázku ) vláknovým obrazcem. 2 r + F n.

10 Obsahuje-li silová soustava kromě sil také silové dvojice ( síly F 3, F 4 ) - obr.34, pracujeme se silami dvojic jako s jinými silami soustavy. Obr.34. Při nahrazování silové soustavy může být výslednice soustavy rovna nule. Potom první a poslední vlákno vláknového obrazce (, 4 ) je totožné - obr.35. Silová soustava je v rovnováze. Obr.35.