Metoda nejmenších čtverců.
|
|
- Ján Sedlák
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Metoda nejmenších čtverců. Robert Mařík 22. ledna 2006 Obsah 1 Motivace a geometrický význam 2 2 Vzorec 12 3 Příklad použití 13 4 Odvození vzorce 21 5 Otázky pozorného čtenáře 23 c Robert Mařík, 2006
2 1 Motivace a geometrický význam Předpokládejme, že teorie ukazuje na skutečnost, že mezi veličinami x a y je lineární vztah ve tvaru y = ax + b. Měřením byly pro konkrétní hodnoty veličiny x naměřeny odpovídající hodnoty veličiny y a výsledek byl zanesen do grafu. Body které jsme obdrželi však neleží na jedné přímce, protože měření je vždy zatíženo nějakou chybou a naše teorie navíc vždy nemusí odpovídat praxi stoprocentně. Máme tedy body v rovině, které leží přibližně v jedné přímce a chceme najít co nejpřesnější matematický model, tj. stanovit koeficienty a, b tak, abypřímka y = ax + bleželaconejblížebodůmzměření. y y = ax + b x c Robert Mařík, 2006
3 Metoda nejmenších čtverců Souborbodů x y c Robert Mařík, 2006
4 Metoda nejmenších čtverců Souborbodů x y Snažíme se vystihnout chování bodů pomocí lineární závislosti. Přímka nebude pochopitelně procházet všemi body, chceme tedy alespoň, aby procházela co nejblíže okolo nich. c Robert Mařík, 2006
5 Metoda nejmenších čtverců Souborbodů x y Snažíme se vystihnout chování bodů pomocí lineární závislosti. Přímka nebude pochopitelně procházet všemi body, chceme tedy alespoň, aby procházela co nejblíže okolo nich. Za optimální přímku považujeme tu, která minimalizuje součet ploch červených čtverců. c Robert Mařík, 2006
6 Metoda nejmenších čtverců Souborbodů x y Snažíme se vystihnout chování bodů pomocí lineární závislosti. Přímka nebude pochopitelně procházet všemi body, chceme tedy alespoň, aby procházela co nejblíže okolo nich. Za optimální přímku považujeme tu, která minimalizuje součet ploch červených čtverců. c Robert Mařík, 2006
7 Metoda nejmenších čtverců Souborbodů x y Snažíme se vystihnout chování bodů pomocí lineární závislosti. Přímka nebude pochopitelně procházet všemi body, chceme tedy alespoň, aby procházela co nejblíže okolo nich. Za optimální přímku považujeme tu, která minimalizuje součet ploch červených čtverců. c Robert Mařík, 2006
8 Metoda nejmenších čtverců Souborbodů x y Snažíme se vystihnout chování bodů pomocí lineární závislosti. Přímka nebude pochopitelně procházet všemi body, chceme tedy alespoň, aby procházela co nejblíže okolo nich. Za optimální přímku považujeme tu, která minimalizuje součet ploch červených čtverců. c Robert Mařík, 2006
9 Metoda nejmenších čtverců Souborbodů x y Snažíme se vystihnout chování bodů pomocí lineární závislosti. Přímka nebude pochopitelně procházet všemi body, chceme tedy alespoň, aby procházela co nejblíže okolo nich. Za optimální přímku považujeme tu, která minimalizuje součet ploch červených čtverců. c Robert Mařík, 2006
10 Metoda nejmenších čtverců Souborbodů x y Snažíme se vystihnout chování bodů pomocí lineární závislosti. Přímka nebude pochopitelně procházet všemi body, chceme tedy alespoň, aby procházela co nejblíže okolo nich. Za optimální přímku považujeme tu, která minimalizuje součet ploch červených čtverců. c Robert Mařík, 2006
11 Metoda nejmenších čtverců Souborbodů x y Snažíme se vystihnout chování bodů pomocí lineární závislosti. Přímka nebude pochopitelně procházet všemi body, chceme tedy alespoň, aby procházela co nejblíže okolo nich. Za optimální přímku považujeme tu, která minimalizuje součet ploch červených čtverců. Tahle přímka je optimální. Jak ji najít? c Robert Mařík, 2006
12 2 Vzorec Přímku proloženou metodou nejmenších čtverců hledáme za použití následující věty. K jejímu odvození je možné využít parciální derivace, jak je ukázáno ve dvou posledních kapitolách tohoto souboru, na straně 21. Studenti kteří jsou si jistí, že parciální derivace nemají v náplni svého kurzu(například LDF, 1. ročník), by toto odvození číst neměli. Věta[prokládání souboru bodů přímkou]. Přímka y = ax + b je přímka, proložená metodounejmenšíchčtvercůsouborembodů [x 1, y 1 ], [x 2, y 2 ],..., [x n, y n ],jestližepro koeficienty a, b platí a + b x i = x i y i, a x 2 i x i + b n = y i. (1) c Robert Mařík, 2006
13 3 Příklad použití Problém: Proložte přímku následujícím souborem bodů. x i y i y x Řešení:Bodyvsouborujsou [0, 5], [1, 3], [3, 3], [5, 2]a[6, 1].Celkemtedymámepětbodů, tj. n = 5. Výpočty potřebné pro nalezení koeficientů v soustavě provedeme v následující tabulce.
14 i x i y i x 2 i x i y i Sestavíme soustavu lineárních rovnic Řešenímtétosoustavyje a = 5 13 aproximace souboru bodů je tedy přímka 71a + 15b = 28, 15a + 5b = 14.. = 0.538ab = y = 0.538x a x 2 i + b x i = x i y i a x i + b n = y i. = Nejlepší lineární
15 i x i y i x 2 i x i y i Sestavíme soustavu lineárních rovnic Řešenímtétosoustavyje a = 5 13 aproximace souboru bodů je tedy přímka 71a + 15b = 28, 15a + 5b = 14.. = 0.538ab = y = 0.538x a x 2 i + b x i = x i y i a x i + b n = y i. = Nejlepší lineární
16 i x i y i x 2 i x i y i Sestavíme soustavu lineárních rovnic Řešenímtétosoustavyje a = 5 13 aproximace souboru bodů je tedy přímka 71a + 15b = 28, 15a + 5b = 14.. = 0.538ab = y = 0.538x a x 2 i + b x i = x i y i a x i + b n = y i. = Nejlepší lineární
17 i x i y i x 2 i x i y i Sestavíme soustavu lineárních rovnic Řešenímtétosoustavyje a = 5 13 aproximace souboru bodů je tedy přímka 71a + 15b = 28, 15a + 5b = 14.. = 0.538ab = y = 0.538x a x 2 i + b x i = x i y i a x i + b n = y i. = Nejlepší lineární
18 i x i y i x 2 i x i y i Sestavíme soustavu lineárních rovnic Řešenímtétosoustavyje a = 5 13 aproximace souboru bodů je tedy přímka 71a + 15b = 28, 15a + 5b = 14.. = 0.538ab = y = 0.538x a x 2 i + b x i = x i y i a x i + b n = y i. = Nejlepší lineární
19 i x i y i x 2 i x i y i Sestavíme soustavu lineárních rovnic Řešenímtétosoustavyje a = 5 13 aproximace souboru bodů je tedy přímka 71a + 15b = 28, 15a + 5b = 14.. = 0.538ab = y = 0.538x = Nejlepší lineární
20 Graf souboru bodů a výsledná přímka jsou zachyceny na obrázku. y 5 y = ax + b x Obrázek 1: Metoda nejmenších čtverců
21 4 Odvození vzorce Uvažujmetřibody [x 1, y 1 ], [x 2, y 2 ]a[x 3, y 3 ].Svislévzdálenostitěchtobodůodpřímky y = ax + bjsou s 1 = ax 1 + b y 1, s 2 = ax 2 + b y 2, s 3 = ax 3 + b y 3 achceme minimalizovat funkci S(a, b) = (ax 1 + b y 1 ) 2 + (ax 2 + b y 2 ) 2 + (ax 3 + b y 3 ) 2. Lokální extrém diferencovatelné funkce může nastat pouze ve stacionárním bodě. Platí S a = 2(ax 1 + b y 1 )x 1 + 2(ax 2 + b y 2 )x 2 + 2(ax 3 + b y 3 )x 3 = 2a(x x2 2 + x2 3 ) + 2b(x 1 + x 2 + x 3 ) 2(x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 ) a S b = 2(ax 1 + b y 1 ) + 2(ax 2 + b y 2 ) + 2(ax 3 + b y 3 ) = 2a(x 1 + x 2 + x 3 ) + 2 3b 2(y 1 + y 2 + y 3 ). Položíme-li derivace rovny nule, dostáváme po vydělení dvěma a přesunu členů bez neznámých na pravou stranu rovnice a(x x2 2 + x2 3 ) + b(x 1 + x 2 + x 3 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3, a(x 1 + x 2 + x 3 ) + b 3 = y 1 + y 2 + y 3.
22 4 Odvození vzorce Uvažujmetřibody [x 1, y 1 ], [x 2, y 2 ]a[x 3, y 3 ].Svislévzdálenostitěchtobodůodpřímky y = ax + bjsou s 1 = ax 1 + b y 1, s 2 = ax 2 + b y 2, s 3 = ax 3 + b y 3 achceme minimalizovat funkci S(a, b) = (ax 1 + b y 1 ) 2 + (ax 2 + b y 2 ) 2 + (ax 3 + b y 3 ) 2. Lokální extrém diferencovatelné funkce může nastat pouze ve stacionárním bodě. Platí S a = 2(ax 1 + b y 1 )x 1 + 2(ax 2 + b y 2 )x 2 + 2(ax 3 + b y 3 )x 3 = 2a(x x2 2 + x2 3 ) + 2b(x 1 + x 2 + x 3 ) 2(x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 ) a S b = 2(ax 1 + b y 1 ) + 2(ax 2 + b y 2 ) + 2(ax 3 + b y 3 ) = 2a(x 1 + x 2 + x 3 ) + 2 3b 2(y 1 + y 2 + y 3 ). Položíme-li derivace rovny nule, dostáváme po vydělení dvěma a přesunu členů bez neznámých na pravou stranu rovnice a(x x2 2 + x2 3 ) + b(x 1 + x 2 + x 3 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3, a(x 1 + x 2 + x 3 ) + b 3 = y 1 + y 2 + y 3.
23 4 Odvození vzorce Uvažujmetřibody [x 1, y 1 ], [x 2, y 2 ]a[x 3, y 3 ].Svislévzdálenostitěchtobodůodpřímky y = ax + bjsou s 1 = ax 1 + b y 1, s 2 = ax 2 + b y 2, s 3 = ax 3 + b y 3 achceme minimalizovat funkci S(a, b) = (ax 1 + b y 1 ) 2 + (ax 2 + b y 2 ) 2 + (ax 3 + b y 3 ) 2. Lokální extrém diferencovatelné funkce může nastat pouze ve stacionárním bodě. Platí S a = 2(ax 1 + b y 1 )x 1 + 2(ax 2 + b y 2 )x 2 + 2(ax 3 + b y 3 )x 3 = 2a(x x2 2 + x2 3 ) + 2b(x 1 + x 2 + x 3 ) 2(x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 ) a S b = 2(ax 1 + b y 1 ) + 2(ax 2 + b y 2 ) + 2(ax 3 + b y 3 ) = 2a(x 1 + x 2 + x 3 ) + 2 3b 2(y 1 + y 2 + y 3 ). Položíme-li derivace rovny nule, dostáváme po vydělení dvěma a přesunu členů bez neznámých na pravou stranu rovnice a(x x2 2 + x2 3 ) + b(x 1 + x 2 + x 3 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3, a(x 1 + x 2 + x 3 ) + b 3 = y 1 + y 2 + y 3.
24 Proobecnýpřípadmnožiny nbodů [x 1, y 1 ],..., [x n, y n ]jecenováfunkce S(a, b) = (ax i + b y i ) 2 aparciálníderivacejsou Protože rovnic ( ) S a = 2 (ax i + b y i )x i = 2 a x 2 i + b x i x i y i, ( ) S b = 2 (ax i + b y i ) = 2 a x i + b 1 y i. 1 = } {{ + 1 } = n, získáváme nulováním parciálních derivací soustavu n-krát a + b x i = x i y i, a x 2 i x i + b n = y i. Po dosazení získáváme soustavu lineárních rovnic s neznámými a, b, kterou vyřešíme a získámekoeficientydorovnicepřímky y = ax + b. (2)
25 Proobecnýpřípadmnožiny nbodů [x 1, y 1 ],..., [x n, y n ]jecenováfunkce S(a, b) = (ax i + b y i ) 2 aparciálníderivacejsou Protože rovnic ( ) S a = 2 (ax i + b y i )x i = 2 a x 2 i + b x i x i y i, ( ) S b = 2 (ax i + b y i ) = 2 a x i + b 1 y i. 1 = } {{ + 1 } = n, získáváme nulováním parciálních derivací soustavu n-krát a + b x i = x i y i, a x 2 i x i + b n = y i. Po dosazení získáváme soustavu lineárních rovnic s neznámými a, b, kterou vyřešíme a získámekoeficientydorovnicepřímky y = ax + b. (2)
26 5 Otázky pozorného čtenáře Pozorný čtenář si všiml, že jsme hledání lokálního extrému cenové funkce S(a, b) poněkud odbyli a napadnou ho hned dvě otázky. Našlijsmestacionárníbodyfunkce S(a, b).kdejevšakdokázáno,žesejednáominimum? Ano, otázku zda ve stacionárním bodě skutečně nastává extrém a jaký jsme neřešili. Z povahy úlohy je totiž zřejmé, že nějaká optimální přímka bude existovat a protože nám vyšel jediný stacionární bod, jedná se právě o toto optimální řešení, tj. minimum cenové funkce. Má nalezená soustava(2) skutečně řešení?(vím, že řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých existovat nemusí, nebo jich může být nekonečně mnoho.) Podrobnější rozbor ukazuje, že případ kdy řešení systému(2) není určeno jednoznačně nebo neexistuje nastane pokud všechny body mají stejnou x-ovou souřadnici. Toto je zcela zřejmě případ, který zůstává stranou rozumných aplikací této metody. V praktických případech je tedy jednoznačná řešitelnost systému(2) zaručena.
27 5 Otázky pozorného čtenáře Pozorný čtenář si všiml, že jsme hledání lokálního extrému cenové funkce S(a, b) poněkud odbyli a napadnou ho hned dvě otázky. Našlijsmestacionárníbodyfunkce S(a, b).kdejevšakdokázáno,žesejednáominimum? Ano, otázku zda ve stacionárním bodě skutečně nastává extrém a jaký jsme neřešili. Z povahy úlohy je totiž zřejmé, že nějaká optimální přímka bude existovat a protože nám vyšel jediný stacionární bod, jedná se právě o toto optimální řešení, tj. minimum cenové funkce. Má nalezená soustava(2) skutečně řešení?(vím, že řešení soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých existovat nemusí, nebo jich může být nekonečně mnoho.) Podrobnější rozbor ukazuje, že případ kdy řešení systému(2) není určeno jednoznačně nebo neexistuje nastane pokud všechny body mají stejnou x-ovou souřadnici. Toto je zcela zřejmě případ, který zůstává stranou rozumných aplikací této metody. V praktických případech je tedy jednoznačná řešitelnost systému(2) zaručena.
Aplikovaná matematika I
Metoda nejmenších čtverců Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 1 / 8 Obsah 1 Formulace problému 2 Princip metody nejmenších čtverců 3
VíceMetoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012
Metoda nejmenších čtverců Michal Čihák 26. listopadu 2012 Metoda nejmenších čtverců Matematicko-statistická metoda používaná zejména při zpracování nepřesných dat (typicky experimentálních empirických
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
Vícef(x) = ax + b mocnin (čili čtverců, odtud název metody) odchylek proložených hodnot od naměřených hodnot byl co (ax i + b y i ) 2 2(ax i + b y i ).
Úvod Metoda nejmenších čtverců Metodu nejmenších čtverců používáme, chceme-li naměřenými (nebo jinak získanými) body proložit křivku, např. přímku. Tedy hledáme taková reálná čísla a, b, aby graf funkce
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz
VíceVZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK p: a x b y c 0 q: a x b y c 0 ROVNOBĚŽNÉ PŘÍMKY (RŮZNÉ) nemají žádný společný bod, můžeme určit jejich vzdálenost, jejich odchylka je 0. Normálové
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
VíceŘešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,
Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v
VíceTéma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany
3 Metoda nejmenších čtverců 3 Metoda nejmenších čtverců Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6, strany 73-80. Jedná se o třetí možnou metodu aproximace,
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceMatematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3
3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
Vícex 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
VícePolynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení
Polynomy a interpolace text neobsahuje přesné matematické definice, pouze jejich vysvětlení Polynom nad R = zobrazení f : R R f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, kde a i R jsou pevně daná
VíceMatematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
VíceFunkce dvou a více proměnných
Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:
VíceAPLIKACE. Poznámky Otázky
APLIKACE Následující úlohy lze zhruba rozdělit na geometrické, algebraické a úlohy popisující různé stavy v některých oblastech jiných věd, např. fyziky nebo ekonomie. GEOMETRICKÉ ÚLOHY Mezi typické úlohy
Více9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty
Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme
Víceverze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový
1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec
VíceMatematika (a fyzika) schovaná za GPS. Global Positioning system. Michal Bulant. Brno, 2011
Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Michal Bulant Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky Brno, 2011 Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Brno,
Více1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU
VíceDiferenciál a Taylorův polynom
Diferenciál a Taylorův polynom Základy vyšší matematiky lesnictví LDF MENDELU c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 1 / 11 Aproximace funkce v okoĺı bodu Danou funkci
VíceOdvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
VícePavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
VíceNejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.
@021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceVýznam a výpočet derivace funkce a její užití
OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat
VíceObsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceGlobální extrémy. c ÚM FSI VUT v Brně. 10. ledna 2008
10. ledna 2008 Příklad. Určete globální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + 2xy + 2y 2 3x 5y na množině M. Množina M je trojúhelník určený body A[0, 2], B[3, 0], C[0, 1]. Protože množina M je kompaktní (uzavřená,
Více2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení
2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků
Více2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2
Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací
VíceKVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE
KVADRATICKÁ FUNKCE URČENÍ KVADRATICKÉ FUNKCE Z PŘEDPISU FUNKCE Slovo kvadrát vzniklo z latinského slova quadratus které znamená: čtyřhranný, čtvercový. Obsah čtverce se vypočítá, jako druhá mocnina délky
VíceLineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.
Lineární funkce Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Číslo b je hodnota funkce f v bodě 0. Definičním oborem lineární funkce je množina
VíceInterpolace pomocí splajnu
Interpolace pomocí splajnu Interpolace pomocí splajnu Připomenutí U interpolace požadujeme, aby graf aproximující funkce procházel všemi uzlovými body. Interpolační polynom aproximující funkce je polynom
Víceverze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1
1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceKapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5
Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5 Lokální extrémy Definice: Necht f : M R 2 R a (x 0, y 0 ) M. Říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) lokální maximum (resp. lokální minimum) jestliže existuje
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VícePrůběh funkce 1. Průběh funkce. Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:
Průběh funkce Průběh funkce Při vyšetření grafu funkce budeme postupovat podle následujícího algoritmu:. Určení definičního oboru. 2. Rozhodnutí, jestli je funkce sudá, lichá, periodická nebo nemá ani
Vícepracovní list studenta
Výstup RVP: Klíčová slova: pracovní list studenta Funkce kvadratická funkce Mirek Kubera žák načrtne grafy požadovaných funkcí, formuluje a zdůvodňuje vlastnosti studovaných funkcí, modeluje závislosti
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
VíceCVIČNÝ TEST 11. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21
CVIČNÝ TEST 11 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je k dispozici m přepravek na ovoce. Prázdná přepravka
VíceOptimální trvanlivost nástroje
Ústav Strojírenské technologie Speciální technologie výroby Cvičení Optimální trvanlivost nástroje č. zadání: Zadání: Z naměřených hodnot opotřebení vyměnitelné břitové destičky určete optimální trvanlivost
VíceÚloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté
Úloha 1. Napište matici pro případ lineárního regresního spline vyjádřeného přes useknuté polynomy pro případ dvou uzlových bodů ξ 1 = 1 a ξ 2 = 4. Experimentální body jsou x = [0.2 0.4 0.6 1.5 2.0 3.0
VíceIX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
VíceObecná úloha lineárního programování. Úloha LP a konvexní množiny Grafická metoda. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno
Přednáška č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Optimalizace portfolia Investor se s pomocí makléře rozhoduje mezi následujícími investicemi: akcie A, akcie B, státní pokladniční poukázky, dluhopis A, dluhopis
VíceDiferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceHledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012
Hledání kořenů rovnic jedné reálné proměnné metoda sečen Michal Čihák 23. října 2012 Opakování rovnice přímky Úloha: Určete rovnici přímky procházející body A[a, f(a)] a B[b, f(b)], kde f je funkce spojitá
VíceInterpolace, aproximace
11 Interpolace, aproximace Metoda nejmenších čtverců 11.1 Interpolace Mějme body [x i,y i ], i =0, 1,...,n 1. Cílem interpolace je najít funkci f(x), jejíž graf prochází všemi těmito body, tj. f(x i )=y
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,
VíceZadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2
Zadání semestrální práce z předmětu Mechanika 2 Jméno: VITALI DZIAMIDAU Číslo zadání: 7 U zobrazeného mechanismu definujte rozměry, hmotnosti a silové účinky a postupně proveďte: 1. kinematickou analýzu
VíceUNIVERZITA PARDUBICE. 4.4 Aproximace křivek a vyhlazování křivek
UNIVERZITA PARDUBICE Licenční Studium Archimedes Statistické zpracování dat a informatika 4.4 Aproximace křivek a vyhlazování křivek Mgr. Jana Kubátová Endokrinologický ústav V Praze, leden 2012 Obsah
VíceCvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179
VíceFunkce jedné proměnné
Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceRovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky
Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice
VíceCVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceZkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body
Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVTA (LDF, 8.2.202) 60 minut 2 3 4 5 6 7 Jméno:................................. Součet Koeficient Body. [6 bodů] a) Definujte pojem primitivní funkce. Co musí platit,
VíceStručný přehled učiva
Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném
VíceAnalytická geometrie v prostoru
Analytická geometrie v prostoru Jméno autora: Ivana Dvořáková Období vytvoření: prosinec 2012 Ročník: 4. ročník střední odborné školy Tematická oblast: Matematické vzdělávání Předmět: Matematika 4. ročník
VíceMatematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar
Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
VíceRovnice přímky v prostoru
Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé
VíceVlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
VíceRegresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VíceZkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, minut. Součet Koeficient Body. 4. [10 bodů] Integrální počet. 5.
Zkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, 6.2.204 60 minut 2 3 4 5 6 Jméno:................................... Součet Koeficient Body. [2 bodů] V následující tabulce do každého z šesti
VíceVariace. Kvadratická funkce
Variace 1 Kvadratická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratická funkce Kvadratická
VíceŘešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
VícePísemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor
Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Více7.[4body] Jedánautonomnísystém. 8.[4 body] Integrál
Písemná část zkoušky z Inženýrské matematiky, 9.2.20(60 minut) Body Jméno:... 2 3 4 5 6 7 8 První příklad vypočítejte na samostatný podepsaný papír a odevzdejte po 5 minutách..[povinný] Pro mytí autobusů
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení dvanácté aneb Regrese a korelace Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 18 V souboru 25 jedinců jsme měřili jejich výšku a hmotnost. Výsledky jsou v tabulce a grafu. Statistika (KMI/PSTAT)
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceProjekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Lineární rovnice
2. Lineární rovnice označuje rovnici o jedné neznámé, ve které neznámá vystupuje pouze v první mocnině. V základním tvaru vypadá následovně: ax + b = 0, a 0 Zde jsou a a b nějaká reálná čísla, tzv. koeficienty
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
VíceCVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 22 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Kontroloři Státní zemědělské a potravinářské inspekce
VíceM - Kvadratická funkce
M - Kvadratická funkce Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: geometrická posloupnost, geometrická
VíceIntegrace. Numerické metody 7. května FJFI ČVUT v Praze
Integrace Numerické metody 7. května 2018 FJFI ČVUT v Praze 1 Úvod Úvod 1D Kvadraturní vzorce Gaussovy kvadratury Více dimenzí Programy 1 Úvod Úvod - Úloha Máme funkci f( x) a snažíme se najít určitý integrál
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
Více