Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,"

Transkript

1 Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,1 2 Poznámka Vázané extrémy lze počítat dvěma způsoby. V tomto příkladu využijeme první z nich. Úlohy se řeší podle následujícího principu. Lze-li z funkce (,)=0 vyjádřit jako funkci, pak dosazením do funkce redukujeme problém na hledání extrému funkce jedné proměnné. Řešení 1a Máme najít body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: (,)= + 1, (,)=+ 1 Z rovnice (,)=0 vyjádříme jako funkci. + 1=0 =1 Dosadíme do předpisu funkce (,), tím tuto funkci převedeme na funkci jedné proměnné ()=(1 ) +(1 ) 1 ()= +1 1 Neboli ()= Nyní budeme hledat lokální extrémy takto modifikované funkce. Vypočteme první derivaci ()= 2 1 Je-li funkce i její derivace spojitá, pak lokální extrém může být jen tam, kde je první derivace nulová. Vyřešíme tedy rovnici 2 1=0 Dosazením vypočteme = 1 2 =1 1 2 =3 2 1

2 Tedy bod ; je bodem, v němž leží vázaný extrém. Pro zjištění, zda se jedná o maximum či minimum, vypočteme nejprve obecně ()= 2 Nyní vypočteme druhou derivaci v bodě, který vyšetřujeme (to je v tomto konkrétním případě zbytečné, protože druhá derivace je konstantní). Tedy 1 2 = 2 Druhá derivace je ve zkoumaném bodě záporná, funkce je tedy v tomto bodě konkávní. Nalezený bod ; je tedy lokálním vázaným maximem. Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: (,)=+, (,)= Z rovnice (,)=0 vyjádříme jako funkci =0 1 =1 1 = 1 Neboli = 1 Dosadíme do předpisu funkce (,), tím tuto funkci převedeme na funkci jedné proměnné ()=+ 1 ()= + 1 Neboli ()= 1 Nyní budeme hledat lokální extrémy takto modifikované funkce. Vypočteme první derivaci ()= 2( 1) 1 ( 1) = 2 ( 1) =( 2) ( 1) Je-li funkce i její derivace spojitá, pak lokální extrém může být jen tam, kde je první derivace nulová. Vyřešíme tedy rovnici ( 2) =0 ( 1) =0, =2 2

3 Dosazením vypočteme = =0, = =2 Tedy body 0;0 a 2;2 jsou body, v nichž leží vázané extrémy. Pro zjištění, zda se jedná o maximum či minimum, vypočteme nejprve obecně ()= (2 2)( 1) ( 2)2( 1) ( 1) = (2 2)( 1) 2( 2) ( 1) ()= ( 1) = ( 1) Nyní vypočteme druhou derivaci v bodech, které vyšetřujeme. Tedy (0)= 2, (2)=2 Druhá derivace je v bodě 0;0záporná, funkce je tedy v tomto bodě konkávní. Nalezený bod 0;0 je tedy lokálním vázaným maximem. Druhá derivace je v bodě 2;2kladná, funkce je tedy v tomto bodě konvexní. Nalezený bod 2;2 je tedy lokálním vázaným minimem. Řešení 1c Máme najít body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: (,)=, (,)=+ 1 Z rovnice (,)=0 vyjádříme jako funkci. + 1=0 =1 Dosadíme do předpisu funkce (,), tím tuto funkci převedeme na funkci jedné proměnné ()= () ()= Nyní budeme hledat lokální extrémy takto modifikované funkce. Vypočteme první derivaci ()= (1 2) Je-li funkce i její derivace spojitá, pak lokální extrém může být jen tam, kde je první derivace nulová. Vyřešíme tedy rovnici (1 2)=0 Dosazením vypočteme = 1 2 =1 1 2 =1 2 3

4 Tedy bod ; je bodem, v němž leží vázaný extrém. Pro zjištění, zda se jedná o maximum či minimum, vypočteme nejprve obecně ()= (1 2) + ( 2) Nyní vypočteme druhou derivaci v bodě, který vyšetřujeme. Tedy 1 2 = ( 2)= (1 1) + ( 2)= (0) + ( 2) =0 2 = 2 2,5685 Druhá derivace je ve zkoumaném bodě záporná, funkce je tedy v tomto bodě konkávní. Nalezený bod ; je tedy lokálním vázaným maximem. 4

5 Příklad 2 Najděte body, v nichž má funkce (,,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,,)=0, je-li: a) (,,)= +, (,,)=++ 1 Poznámka I v tomto příkladu využijeme první způsob výpočtu vázaných extrémů. Úloha se řeší podle následujícího principu. Lze-li z funkce (,,)=0 vyjádřit jako funkci a, pak dosazením do funkce redukujeme problém na hledání extrému funkce dvou proměnných. Řešení 2a Máme najít body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: (,,)= +, (,,)=++ 1 Z rovnice (,,)=0 vyjádříme jako funkci a. ++ 1=0 =1 Dosadíme do předpisu funkce (,,), tím tuto funkci převedeme na funkci dvou proměnných (,)= (1 ) +(1 ) (,)=+ Nyní budeme hledat lokální extrém takto modifikované funkce. Vypočteme první parciální derivace =1 2 =1 2 Lokální extrémy leží v bodech, v nichž jsou obě parciální derivace nulové. Musí tedy platit 1 2 =0 1 2=0 Z první rovnice vyjádříme =1 2 A dosadíme do druhé rovnice 1 2(1 2)= =0 1+3=0 = 1 3 5

6 = 1 3 Nalezli jsme tedy bod ;, ve kterém může být lokální extrém. Abychom určili, zda se jedná o lokální minimum či lokální maximum, vypočítáme druhé parciální derivace nejprve obecně = 2 = 2 Dosadíme souřadnice nalezeného bodu (to je v tomto případě poněkud zbytečné, neb druhé parciální derivace jsou konstantní) 1 3 ;1 3 = ;1 3 = 2 Funkce je v nalezeném bodě konkávní, proto je v tomto bodě lokální maximum. Dopočteme = =1 3 je bod ; ; bodem, ve kterém má funkce vázané lokální maximum. 6

7 Příklad 3 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)=, (,)= + lok.max.v 1,1, 1, 1 2 lok.min.v 1, 1, 1,1 b) (,)= +2, (,)= 2+2 lok.max.v 2, 2 +4 lok.min.v 0,0 c) (,)=+, (,)= 1 1 2, lok.max.v lok.min.v 2, 2 Poznámka I tyto úlohy lze řešit pomocí první metody. Nyní již ale bude vyjádření poněkud obtížnější, respektive poskytne více výsledků. Tento typ úloh je ale již velmi vhodný pro použití Lagrangeovy metody. Tu lze stručně popsat jako sestrojení funkce (,)=(,)+(,). Má-li funkce v bodě ; křivky (,)=0 lokální extrém na této křivce, pak existuje konstanta taková, že pro funkci (,) jsou v bodě ; splněny rovnice ( ; )=0, ( ; )=0, ( ; )=0 Vázané extrémy tedy lze hledat tak, že sestrojíme funkce (,) a řešíme uvedené tři rovnice pro neznámé ; ;. To, zda se jedná o vázané lokální minimum či maximum, rozhodneme pomocí hodnot druhých parciálních derivací funkce (,) v každém z těchto bodů. Konkrétně rozhodneme pomocí druhého diferenciálu. Označme = (, ), = (, ), = (, ), V bodě, je vázané lokální minimum (respektive maximum), jestliže >0 a současně >0, respektive <0. Řešení 3a Máme najít body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: (,)=, (,)= + 2 Sestrojíme funkci (,)=+( + 2) Sestavíme rovnice, které budeme řešit vzhledem k neznámým ; ; ( ; )= +2 =0 ( ; )= +2 =0 7

8 + 2=0 Z první rovnice vyjádříme = 2 Dosadíme do druhé a třetí rovnice +2( 2 )=0 +( 2 ) 2=0 4 =0 +4 2=0 Dále (1 4 )=0 (1+4 ) 2=0 Z první rovnice dostáváme buď =0 nebo 1 4 =0. Ale první případ nepřipadá v úvahu, protože pak by byla byla ve sporu druhá rovnice. Proto nutně 1 4 =0 Tudíž První případ Zvolíme = 1 4, =± 1 2 Dosadíme do prvních dvou rovnic v původním tvaru A dále Pro první případ jsme tedy dostali dvě řešení = = =0 + 2=0 + =0 + =0 + 2=0 = +( ) 2=0 2 =2 =±1 = 1 2, =1, = 1 8

9 Druhý případ Zvolíme = 1 2, = 1, =1 = 1 2 Dosadíme do prvních dvou rovnic v původním tvaru = =0 + 2=0 =0 =0 + 2=0 = +( ) 2=0 A dále 2 =2 =±1 Pro druhý případ jsme tedy dostali také dvě řešení = 1 2, =1, =1 = 1 2, = 1, = 1 Našli jsme tedy čtyři body, ve kterých může mít funkce vázaný lokální extrém. Vypočteme nejprve obecně =2 =1 =2 Do těchto druhých parciálních derivací dosadíme postupně všechny vytipované body a rozhodneme o tvaru extrému. Pro bod 1; 1 máme = 1 2, = =2 1 2 =1, = =1, = =2 1 2 =1, =0 V tomto bodě tedy funkce f má vázané lokální minimum. Pro bod 1;1 máme = 1 2, = =2 1 2 =1, = =1, = =2 1 2 =1, =0 9

10 V tomto bodě tedy funkce f má vázané lokální minimum. Pro bod 1;1 máme = 1 2, = =2 1 2 = 1, = =1, =0 V tomto bodě tedy funkce f má vázané lokální maximum. Pro bod 1; 1 máme = 1 2, = =2 1 2 = 1, = =1, = =2 1 2 = 1, = =2 1 2 = 1, =0 V tomto bodě tedy funkce f má vázané lokální maximum. O maximu a minimu nám pomohly rozhodnout spíše hodnoty a, protože výraz je nulový. Řešení 3b Máme najít body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: (,)= +2, (,)= Sestrojíme funkci (,)= +2 +( ) Sestavíme rovnice, které budeme řešit vzhledem k neznámým ; ; ( ; )=2 +2 2=0 ( ; )= =0 Rovnice upravíme Z první dvou rovnic vyjádříme Dosadíme do třetí rovnice =0 + =0 + += =0 = 1+ = =0 2 (1+) (1+) 1+ =0 Dále převedeme na společný jmenovatel 10

11 Proto nutně První případ Zvolíme Vypočteme 2 (1+) 2(1+) + (1+) 4(1+) = (1+) =0 3 6 =0 (1+) 3(+2) (1+) =0 (+2)=0 =0, = 2 =0 = =0 = =0 Pro první případ jsme tedy dostali řešení =0, =0, =0 Druhý případ Zvolíme = 2 Vypočteme 2 = 1+( 2) =2 = ( 2) 1+( 2) = 2 Pro druhý případ jsme tedy dostali řešení = 2, =2, = 2 Našli jsme tedy dva body, ve kterých může mít funkce vázaný lokální extrém. Vypočteme nejprve obecně =2+2 =0 =4+4 Do těchto druhých parciálních derivací dosadíme postupně všechny vytipované body a rozhodneme o tvaru extrému. Pro bod 0;0 máme 11

12 =0, = =2+2 0=2, = =0, =8 V tomto bodě tedy funkce f má vázané lokální minimum. Pro bod 2; 2 máme = =4+4 0=4, = 2, = =2+2 ( 2)= 2, = =0, = =4+4 ( 2)= 4, =8 V tomto bodě tedy funkce f má vázané lokální maximum. Řešení 3c Máme najít body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: (,)=+, (,)= Sestrojíme funkci (,)= Sestavíme rovnice, které budeme řešit vzhledem k neznámým ; ; ( ; )=1 2 =0 ( ; )=1 2 =0 Z první rovnice vyjádříme Dosadíme do třetí rovnice Tedy =0 1 2 = 2 = =0 2 2 =1 2 =2 ±2= 2 =± 8 2, =± 2 12

13 První případ Zvolíme Vypočteme = 2 Pro první případ jsme tedy dostali řešení Druhý případ Zvolíme Vypočteme Pro první případ jsme tedy dostali řešení = 2 2 = 2 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2, = 2, = 2 = 2 2 = 2 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2, = 2, = 2 Našli jsme tedy dva body, ve kterých může mít funkce vázaný lokální extrém. Vypočteme nejprve obecně =6 = 6 =0 =6 = 6 Do těchto druhých parciálních derivací dosadíme postupně všechny vytipované body a rozhodneme o tvaru extrému. Pro bod 2; 2 máme = 2, = 2; 2=6 2 = = 3 2, = ( 2; 2)=0, = ( 2; 2)=6 2 = = 3 2, = 9 2 V tomto bodě tedy funkce f má vázané lokální minimum. 13

14 Pro bod 2; 2 máme = 2, = 6 2 2; 2= 2 = 6 2 = 3 4 2, = ( 2; 2)=0, = ( 2; 2)= = = 3 2, = 9 2 V tomto bodě tedy funkce f má vázané lokální maximum. 14

15 Příklad 4 Najděte globální extrémy funkce (, na předepsané množině, je-li: a), 2 461,, :0,0,3 b), 4,, :0,0,60 c),,, : 4 globální maximum v 2,0,globální minimum v 0,2 Řešení 4a Máme nalézt globální extrémy funkce (, na předepsané množině, je-li:, 2 461,, :0,0,3 Nejprve si zobrazíme množinu, která je omezena třemi přímkami, které tvoří její hranice zadané nerovnostmi v zadání. Daná funkce je v oblasti M spojitá, má tam tudíž extrémy. Body extrémů jsou buď stacionární body v M, nebo body na hranici M. Stacionární body určíme z podmínek nulovosti parciálních derivací. Dostaneme Rovnice upravíme

16 Z druhé rovnice vyjádříme = Dosadíme do první rovnice +230 dostáváme souřadnice stacionárního bodu 1, 1 Je zřejmé, že stacionární bod 1;1 je vnitřním bodem množiny. Hodnota funkce v tomto bodě je 1, Nyní prozkoumáme hranici. Je tvořena třemi úsečkami, jež si označíme,,. Na úsečce je 0, 03,,0 61 Hledáme v tomto případě nejmenší a největší hodnotu funkce na uzavřeném intervalu 0;3. Extrémních hodnot může funkce nabývat buď ve stacionárním bodě, nebo v krajním bodě intervalu. Vypočteme derivaci 26. vidíme, že stacionární bod je současně krajním bodem 3. Stačí tedy vyšetřit hodnoty 0, , Na úsečce je 0, 03, 0, 2 1 Hledáme v tomto případě nejmenší a největší hodnotu funkce na uzavřeném intervalu 0;3. Extrémních hodnot může funkce nabývat buď ve stacionárním bodě, nebo v krajním bodě intervalu. Vypočteme derivaci 4. vidíme, že stacionární bod je současně krajním bodem 0. Stačí tedy vyšetřit hodnoty 0, , Na úsečce je 3, 03,, Hledáme v tomto případě nejmenší a největší hodnotu funkce na uzavřeném intervalu 0;3. Extrémních hodnot může funkce nabývat buď ve stacionárním bodě, nebo v krajním bodě intervalu. Vypočteme derivaci vidíme, že stacionární bod má x-ovou souřadnici 1,8. Vyšetříme tedy hodnoty 1,8;31,8 1,85 1,8 18 1,8192,8 3, , Nyní můžeme rekapitulovat. Na množině nabývá funkce nejmenší hodnoty -19 v bodě 0;3. Největší hodnoty -1 nabývá v bodě 0;0. Formálně zapsáno gmin =(0;319 gmax =(0;01 16

17 Řešení 4b Máme nalézt globální extrémy funkce (, na předepsané množině, je-li:, 4,, :0,0,60 Nejprve si zobrazíme množinu, která je omezena třemi přímkami, které tvoří její hranice zadané nerovnostmi v zadání. Daná funkce je v oblasti M spojitá, má tam tudíž extrémy. Body extrémů jsou buď stacionární body v M, nebo body na hranici M. Stacionární body určíme z podmínek nulovosti parciálních derivací. Dostaneme Rovnice vyjádříme samostatně Z první rovnice vyjádříme Dosadíme do druhé rovnice Tuto rovnici budeme postupně upravovat

18 Nyní vidíme, že rovnice má tři řešení pro. K nim si z dříve odvozeného vztahu najdeme příslušná. 0, , , Je zřejmé, že stacionární body 2;0 a 0;4 jsou hraničními body množiny a stacionární bod 1;2 je jejím vnitřním bodem. Hodnota funkce v těchto bodech je 2, , , Nyní prozkoumáme hranici. Je tvořena třemi úsečkami, jež si označíme,,. Na úsečce je 0, 0 6,, Vidíme, že na úsečce má funkce konstantní hodnotu 0. Ta je tedy na této úsečce i extrémní hodnotou. Na úsečce je 0, 0 6, 0, Vidíme, že na úsečce má funkce konstantní hodnotu 0. Ta je tedy na této úsečce i extrémní hodnotou. Na úsečce je 6, 0 6,, Hledáme v tomto případě nejmenší a největší hodnotu funkce na uzavřeném intervalu 0;6. Extrémních hodnot může funkce nabývat buď ve stacionárním bodě, nebo v krajním bodě intervalu. Vypočteme derivaci Derivace ve stacionárním bodě musí být nulová. Dostáváme tedy rovnici

19 Postupně upravíme vidíme, že stacionární body mají x-ovou souřadnici 2 a 6. Vidíme, že druhý stacionární bod je zároveň i krajním bodem. Vyšetříme tedy hodnoty: 2; ; , , Nyní můžeme rekapitulovat. Na množině nabývá funkce nejmenší hodnoty -64 v bodě 2;4. Největší hodnoty +2 nabývá v bodě 1;2. Formálně zapsáno gmin 2;464 gmax 1;22 Řešení 4c Máme nalézt globální extrémy funkce (, na předepsané množině, je-li:,,, : 4 Poznámka V tomto případě můžeme být mírně na rozpacích. Zadání množiny se nezdá býti jednoznačným. Pod tímto zápisem si lze jistě představit čtverec v prvním kvadrantu s jedním vrcholem v počátku, dvěma vrcholy na osách a o délce hrany 4. Stejně tak si ale je možné pod tímto zápisem představit kruh se středem v počátku a poloměrem 2. Jako první možnost mne napadl ten kruh, proto budu úlohu řešit s kruhem. Je to ostatně o něco málo těžší, takže snad i zábavnější. Konec poznámky Nejprve si zobrazíme množinu, která je omezena kružnicí. 19

20 Tuto kružnici nahradíme dvěma kruhovými oblouky tvořícími její horní a dolní polovinu. Tyto kruhové oblouky snadno popíšeme jako funkce 4 4 Pro hranici množiny M tedy dostaneme dva kruhové oblouky s právě odvozeným popisem. Daná funkce je v oblasti M spojitá, má tam tudíž extrémy. Body extrémů jsou buď stacionární body v M, nebo body na hranici M. Pro lepší představu si můžeme funkci f zobrazit. Zjevně se jedná o sedlovou plochu. Stacionární body určíme z podmínek nulovosti parciálních derivací. Dostaneme 20

21 20 20 je zřejmé, že souřadnice stacionárního bodu jsou 0, 0 Je zřejmé, že stacionární bod 0;0 je vnitřním bodem množiny. Hodnota funkce v tomto bodě je 0, Nyní prozkoumáme hranici. Je tvořena dvěma kruhovými oblouky, jež jsme si již výše označili,. Na oblouku je 4, 22,, Pro funkci tedy máme situaci z obrázku Hledáme v tomto případě nejmenší a největší hodnotu funkce na uzavřeném intervalu 2;2. Extrémních hodnot může funkce nabývat buď ve stacionárním bodě, nebo v krajním bodě intervalu. Vypočteme derivaci 4. vidíme, že x-ová souřadnice stacionárního bodu je 0. To je vnitřní bod zkoumaného intervalu. Vyšetříme tedy hodnoty 2, , , Na oblouku je 4, 22,,

22 Pro funkci tedy máme situaci z obrázku (vidíme, že jde o zcela stejnou situaci, jako u ) Vzhledem k tomu, že jde o stejnou situaci, tak se v následujícím odstavci budeme až na nepatrné výjimky opakovat. Hledáme v tomto případě nejmenší a největší hodnotu funkce na uzavřeném intervalu 2;2. Extrémních hodnot může funkce nabývat buď ve stacionárním bodě, nebo v krajním bodě intervalu. Vypočteme derivaci 4. vidíme, že x-ová souřadnice stacionárního bodu je 0. To je vnitřní bod zkoumaného intervalu. Vyšetříme tedy hodnoty 2, , , Nyní můžeme rekapitulovat. Na množině nabývá funkce nejmenší hodnoty -4 v bodech 0;2 a 0;2. Největší hodnoty 4 nabývá v bodech 2;0 a 2;0. Formálně zapsáno gmin 0;20;24 gmax 2;02;04 22

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6 Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) = Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Globální extrémy. c ÚM FSI VUT v Brně. 10. ledna 2008

Globální extrémy. c ÚM FSI VUT v Brně. 10. ledna 2008 10. ledna 2008 Příklad. Určete globální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + 2xy + 2y 2 3x 5y na množině M. Množina M je trojúhelník určený body A[0, 2], B[3, 0], C[0, 1]. Protože množina M je kompaktní (uzavřená,

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1 1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH

1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 1. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH V minulém semestru jsme studovali vlastnosti unkcí jedné nezávislé proměnné. K popisu mnoha reálných situací obvkle s jednou proměnnou nevstačíme. FUNKCE DVOU

Více

Zlín, 23. října 2011

Zlín, 23. října 2011 (. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou 1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový

Více

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový

verze 1.4 Ekvivalentní podmínkou pro stacionární bod je, že totální diferenciál je nulový 1 Úvod Lokální extrémy funkcí více proměnných verze 14 Následující text popisuje výpočet lokálních extrémů funkcí více proměnných Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

Mocninná funkce: Příklad 1

Mocninná funkce: Příklad 1 Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

Funkce více proměnných. April 29, 2016

Funkce více proměnných. April 29, 2016 Funkce více proměnných April 29, 2016 Příklad (Derivace vyšších řádů) Daná je funkce f (x, y) = x 2 y + y 3 x 4, určte její parc. derivace podle x a podle y prvního i druhého řádu, i smíšené. f x = 2xy

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její

Více

Parametrické programování

Parametrické programování Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,

= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3, V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ A JEJICH UŽITÍ

LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ A JEJICH UŽITÍ Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/3.098 IV- Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol LOKÁLNÍ

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0216.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0216. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3 Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

úloh pro ODR jednokrokové metody

úloh pro ODR jednokrokové metody Numerické metody pro řešení počátečních úloh pro ODR jednokrokové metody Formulace: Hledáme řešení y = y() rovnice () s počáteční podmínkou () y () = f(, y()) () y( ) = y. () Smysl: Analyticky lze spočítat

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R. Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE,

DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, DIFERENCIÁLNÍ POČET SPOJITOST FUNKCE, LIMITA FUNKCE, DERIVACE FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická akulta DRUHÁ SEMINÁRNÍ PRÁCE Z DIFERENCIÁLNÍHO POČTU PRŮBĚH FUNKCE 000/001 Cirik, M-ZT Zadání: Vyšetřete průběh unkce ( ) : y Vypracování: ( ) : y Předně určíme deiniční

Více

LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU

LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU je lineární rovnice, ve které se vyskytuje jeden nebo více výrazů v absolutní hodnotě. ABSOLUTNÍ HODNOTA x reálného čísla x je

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 1 Vypočtěte integrály a) b) c) d) e) f) g) h) i) j),, = 0,1 1,3 je oblast ohraničená přímkami =,=,=0 1+, :=0,=1,=1,= +3, :=0,=,=0,=1 sin+, 3,,,, :=0,=,= : + 4 : =4+,+3=0

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7

Příklad 1. a) lim. b) lim. c) lim. d) lim. e) lim. f) lim. g) lim. h) lim. i) lim. j) lim. k) lim. l) lim ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1 ČÁST 7 Příklad 1 Pomocí l Hôpitalova pravidla spočtěte následující limity. Poznámka a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim f) lim g) lim h) lim i) lim j) lim k) lim l) lim cotg Všechny limity uvedené v zadání vedou

Více

GRAF FUNKCE NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST

GRAF FUNKCE NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST GRAF FUNKCE NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST Úloha: Sestrojte graf funkce nepřímé úměrnosti a zjistěte její vlastnosti. Popis funkcí modelu: Sestrojit graf funkce nepřímá úměrnost Najít průsečíky grafu se souřadnými osami

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1

1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 1.1 Příklad z ekonomického prostředí 1 Smysl solidního zvládnutí matematiky v bakalářských oborech na Fakultě podnikatelské VUT v Brně je především v aplikační síle matematiky v odborných předmětech a

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných

Matematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných Matematická analýza pro informatiky I. 12. přednáška Extrémy funkcí více proměnných Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 12. dubna 2011

Více

Aplikace derivace ( )

Aplikace derivace ( ) Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. f = 3 12 2. f = 2 e 3. f = ln Příklad 1. Nakreslete graf funkce f() = 3 12 Příklad 1. f = 3 12 Nejprve je třeba určit definiční obor. Výraz je vždy definován. Příklad 1. f = 3 12 f =

Více

Pomůcka pro přednášku: 2. semestr Bc studia Lokální a globální extrémy funkcí dvou proměnných

Pomůcka pro přednášku: 2. semestr Bc studia Lokální a globální extrémy funkcí dvou proměnných Pomůcka pro přednášku: 2. semestr Bc studia Lokální a globální extrémy funkcí dvou proměnných Extrémy funkcí Lokální extrémy balíček: LinearAlgebra Při řešení příkladů na lokální extrémy se budeme držet

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z ÚVODU DO MATEMATICKÉ ANLÝZY FUNKCE 999/000 CIFRIK Funkce F a) Zadání: Vyšetřete bez užití limit a derivací funkci : y = { x } f Definice:

Více

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, ) Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost

2.7. Průběh funkce. Vyšetřit průběh funkce znamená určit (ne nutně v tomto pořadí): 1) Definiční obor; sudost, lichost; periodičnost .7. Průběh unkce Všetřit průběh unkce znamená určit ne nutně v tomto pořadí: deiniční obor; sudost, lichost; periodičnost, interval spojitosti a bod nespojitosti, průsečík grau unkce s osami, interval,

Více

CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 22 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Kontroloři Státní zemědělské a potravinářské inspekce

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h) Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme

Více

4.3.2 Goniometrické nerovnice

4.3.2 Goniometrické nerovnice 4 Goniometrické nerovnice Předpoklady: 40 Pedagogická poznámka: Nerovnice je stejně jako rovnice možné řešit grafem i jednotkovou kružnicí Oba způsoby mají své výhody i nevýhody a jsou v podstatě rovnocenné

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5

Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5 Kapitola 4: Extrémy funkcí dvou proměnných 1/5 Lokální extrémy Definice: Necht f : M R 2 R a (x 0, y 0 ) M. Říkáme, že fce f má v bodě (x 0, y 0 ) lokální maximum (resp. lokální minimum) jestliže existuje

Více

1 Funkce více proměnných

1 Funkce více proměnných 1 Funkce více proměnných Je-li n + 1 proměnných veličin obsaženo v nějaké rovnici, můžeme kteroukoliv z nich pokládat za funkci ostatních n nezávisle proměnných. Takové funkce mají podobné vlastnosti jako

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou

Více

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c )

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c ) 3.3 Řešené příklady Příklad 1: Pro nosník na obrázku vyšetřete a zakreslete reakce, T (x) a M(x). Dále určete M max a proveďte dimenzování pro zadaný průřez. Dáno: a = 0.5 m, b = 0.3 m, c = 0.4 m, d =

Více

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec

Více

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková

M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková VŠPJ Matematika II pro studenty oboru Finance a řízení M. Hojdarová, J. Krejčová, M. Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN 978-80-88064-07-7

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Kvadratická funkce Autor: Kubešová

Více

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY

Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné - 4.1 - LOKÁLNÍ A GLOBÁLNÍ EXTRÉMY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ LOKÁLNÍ EXTRÉMY Při hledání lokálních etrémů postupujeme podle následujícího programu Nalezneme

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY

ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ ÚLOH ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY CIFRIK C. Úloha 1 [kvadratická rovnice s kořeny y_1=x_1^2+x_2^2, y_2=x_1^3+x_2^3]

Více