Úvod do úloh plánování rozvozu (Vehicle Routing Problems)

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úvod do úloh plánování rozvozu (Vehicle Routing Problems)"

Simona Bláhová
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Úvod do úloh plánování rozvozu (Vehicle Routing Problems) RNDr. Martin Branda, Ph.D. Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Výpočetní aspekty optimalizace 2015 Martin Branda (KPMS MFF UK) 1 / 15

2 Problém obchodního cestujícího Traveling salesman problem Je dáno n měst a v jednom z nich se nachází obchodní cestující. Potřebuje obejít všechna zbývající města a vrátit se zpět. Pro každou dvojici měst zná náklady na cestu oběma směry a hledá celkovou nejlevnejší trasu. = Hledání hamiltonovského cyklu v grafu s cenami hran. Martin Branda (KPMS MFF UK) 2 / 15

3 Přiřazovací problém Naprosté základy min i=1 j=1 c ij x ij (1) x ij = 1, j = 1,..., n, (2) i=1 x ij = 1, i = 1,..., n, (3) j=1 x ij {0, 1}. (4) do j přijedu z právě jednoho i, z i odjedu do právě jednoho j, minimalizuji náklady Martin Branda (KPMS MFF UK) 3 / 15

4 Příklad 5 měst cyklus a subcykly O. Kafka, Optimální plánování rozvozu pomocí dopravních prostředků, Diplomá práce MFF UK, Martin Branda (KPMS MFF UK) 4 / 15

5 Podmínky zamezující subcyklům I x ii = 0, c ii = x ij + x ji 1 x ij + x jk + x ki 2... i S j S x ij S 1, S {1,..., n}, 2 S n 1 Řádově 2 n nerovností, možno redukovat pro S n/2 Martin Branda (KPMS MFF UK) 5 / 15

6 Podmínky zamezující subcyklům II u i u j + nx ij n 1, i, j = 2,..., n Eliminují subcykly: Alespoň jeden cyklus neprochází vrcholem 1, označme C tento cyklus a E(C) počet jeho hran. Sečteme-li nerovnosti přes všechny hrany {i, j}, které jsou v C, tj. odpovídající x ij = 1, dostaneme což je spor. n E(C) (n 1) E(C), (5) Martin Branda (KPMS MFF UK) 6 / 15

7 Podmínky zamezující subcyklům III u i u j + nx ij n 1, i, j = 2,..., n Hamiltonovský cyklus je přípustný: nechť vrcholy tvoří cyklus v pořadí v 1 = 1, v 2,..., v n. Položíme u i = l, je-li v l = i, tj. u i odpovídají pořadí. Pro každou hranu cyklu {i, j} potom platí u i u j = 1, tedy u i u j + nx ij = 1 + n n 1. (6) Po hrany, které nejsou v cyklu, platí nerovnost také: Rozdíl u i u j n 1 a x ij = 0. Martin Branda (KPMS MFF UK) 7 / 15

8 Úloha plánování rozvozu s kapacitami Capacitated Vehicle Routing Problem Parametry n počet zákazníků 0 depo (počátek a konec každého dopr. prostředku) K počet (stejných) dopravních prostředků d j 0 poptávka zákazníka, pro depo d 0 = 0 Q > 0 kapacity vozidel ( KQ n j=1 d j) c ij cena přepravy z i do j (obvykle c ii = 0) Rozhodovací proměnné x ij 1, následuje-li j po i, 0 jinak u j horní odhad doposud převezeného nákladu po navštívení zákazníka j Martin Branda (KPMS MFF UK) 8 / 15

9 Úloha rozvozu s kapacitami min x ij,u i i=0 j=0 c ijx ij (7) x ij = 1, j = 1,..., n, (8) i=0 x ij = 1, i = 1,..., n, (9) j=0 x i0 = K, (10) i=1 x 0j = K, (11) j=1 u i u j + d j Q(1 x ij) i, j = 1,..., n, (12) d i u i Q, i = 1,..., n, (13) x ij {0, 1}. Martin Branda (KPMS MFF UK) 9 / 15

10 Úloha rozvozu s kapacitami (7) minimalizace nákladů na rozvoz (8) k zákazníkovi j přijede právě jeden prostředek (9) od zákazníka i odjede právě jeden prostředek (10) do depa 0 se vrátí od zákazníků právě K prostředků (11) z depa 0 vyjede k zákazníkům právě K prostředků (12) balance převozu nákladu (zároveň eliminace subcyklů) (13) nepřekročíme kapacitu dopr. prostředku (Všechny prostředky musí být použity.) Martin Branda (KPMS MFF UK) 10 / 15

11 Norsko... Reálná aplikace Martin Branda (KPMS MFF UK) 11 / 15

12 Reálná aplikace Optimální plánování rozvozu Cíl maximalizovat filling rate lodí (operační plánování), optimalizace složení flotily, tj. kapacity a počtu lodí (strategický problém) Rich Vehicle Routing Problem časová okna heterogenní flotila více depotů a přejezdy mezi nimi více cest v plánovaném období ne-euklidovské vzdálenosti (fjordy) Celočíselná optimalizace :-(, konstrukční heuristiky a tabu search M. Branda, K. Haugen, J. Novotný, A. Olstad, Downstream logistics optimization at EWOS Norway. Research report, submitted. Martin Branda (KPMS MFF UK) 12 / 15

13 Reálná aplikace Optimální plánování rozvozu Náš postup Nalezení matematické formulace Řešení v GAMS na reálných (historických) datech Implementace heuristik Přenos do Decision Support System (DSS) Martin Branda (KPMS MFF UK) 13 / 15

14 Literatura Reálná aplikace O. Kafka: Optimální plánování rozvozu pomocí dopravních prostředků, Diplomá práce MFF UK, P. Toth, D. Vigo: The vehicle routing problem, SIAM, Philadelphia, L.A. Wolsey, G.L. Nemhauser: Integer and combinatorial optimization. Wiley, New York, Martin Branda (KPMS MFF UK) 14 / 15

15 Reálná aplikace Dotazy? web: branm1am Martin Branda (KPMS MFF UK) 15 / 15

Podobné dokumenty

1 Úvod do celočíselné lineární optimalizace

1 Úvod do celočíselné lineární optimalizace Úvod do celočíselné lineární optimalizace Martin Branda, verze 7.. 7. Motivace Reálné (smíšeně-)celočíselné úlohy Optimalizace portfolia celočíselné počty akcií, modelování fixních transakčních nákladů,