1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině"

Transkript

1 1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Základní pojmy Body průsečíky čar, značí se velkými tiskacími písmeny A = B bod A je totožný (splývá) s bodem B A B různé body A, B Přímka je dána dvěma různými body značí se malými písmeny latinské abecedy nebo užitím symbolu např. p = AB D p - bod D leží na přímce p (přímka p prochází bodem D) C p - bod C neleží na přímce p (přímka p neprochází bodem C) Pozn: A, B jsou incidentní s p, p je incidentní s A i B, C není incidentní s p. p není incidentní s C. Polopřímka bod rozděluje přímku na dvě navzájem opačné polopřímky, je jejich společným počátkem např. ΕΒ polopřímka EB Úsečka např. KL úsečka KL KL = KL LK (průnik polopřímek KL a LK) K, L krajní body úsečky M vnitřní bod úsečky (analogicky vnitřní body, vnitřek úsečky) KL délka úsečky vzdálenost bodů K, L KL KL, KL LK, KL KL střed úsečky dělí úsečku na dvě shodné úsečky součtem úseček o délkách a, b je každá úsečka s délkou a + b rozdílem úseček o délkách a, b (a > b) je každá úsečka s délkou a b 1

2 Př.: součet a rozdíl úseček graficky osa úsečky prochází středem úsečky a je k ní kolmá Rovina je určena třemi různými body nebo přímkou a bodem neležícím na přímce značí se malými písmeny řecké abecedy např. α, β nebo ABC nebo pc Polorovina přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny a je jejich společnou hraniční přímkou např. pn ( pm, příp. ABN ) polorovina určená přímkou p a bodem N ( přímkou p a bodem M, příp. body ABN) Vzájemná poloha útvarů : A p... bod A leží na přímce p, přímka p prochází bodem A A ρ... bod A leží v rovině ρ, rovina ρ prochází bodem A p ρ... přímka p leží v rovině ρ (rovina ρ obsahuje přímku p, rovina ρ prochází přímkou p) A p, A ρ, p ρ... opak (neleží, neprochází) 2

3 Úhel úhlem rozumíme buď průnik dvou polorovin s různoběžnými hraničními přímkami (konvexní úhel) nebo jejich sjednocení (nekonvexní úhel). např. AVB konvexní úhel AVB V vrchol úhlu VA, VB ramena úhlu M vnitřní bod konvex. úhlu AVB N vnitřní bod nekonvex. úhlu AVB nekonvexní 180 < α < 360 nulový α = 0 pravý α = 90 přímý α = 180 úhel konvexní 0 α 180 plný α = 360 ostrý 0 < α < 90 kosý tupý 90 < α < 180 3

4 Konvexní geometrický útvar geometrický útvar se nazývá konvexní, jestliže úsečka spojující kterékoliv dva body útvaru je součástí tohoto útvaru přímka, polopřímka, úsečka, polorovina, konvexní úhel,... Vrcholové úhly dvě různoběžky p, q se společným bodem V rozdělí rovinu na čtyři úhly - dvě dvojice úhlů jejichž ramena jsou opačné polopřímky. vrcholové úhly jsou shodné dvojice vrcholových úhlů: Doplňkové úhly libovolné dva ostré úhly, jejichž součet velikostí je 90 Výplňkové úhly libovolný ostrý úhel a tupý úhel, jejichž součet velikostí je 180 Styčné úhly konvexní úhly AVB, BVC, které leží v rovině tak, že jejich průnikem je právě jen rameno VB vedlejší úhly styčné úhly, jejichž grafickým součtem je úhel přímý 4

5 Osa úhlu polopřímka s počátkem ve vrcholu úhlu rozdělí úhel na dva shodné úhly Velikost úhlu zápis: AVB =α velikost konvexního úhlu AVB při měření úhlů volíme za jednotkový úhel určitý díl pravého úhlu úhlový stupeň šedesátinný (označení 1 ) je 1/90 pravého úhlu. Z úhlového stupně jsou odvozeny úhlová minuta (1') a úhlová vteřina (1 ). Platí 1 = 60' = setinný (označení 1 g ) je 1/100 pravého úhlu. Grad se dělí na 100 setinných minut, setinná minuta se dělí na 100 setinných vteřin. oblouková míra jednotkovým úhlem je radián (později) Součet úhlů součet úhlů α, β je úhel o velikosti α + β Rozdíl úhlů rozdíl úhlů α, β (α > β) je úhel o velikosti α β Př: Součet a rozdíl úhlů graficky. 5

6 Shodné geometrické útvary lze je přemístěním ztotožnit každé dvě přímky jsou shodné, každé dvě polopřímky jsou shodné shodné úsečky mají stejné délky, zápis: AB CD AB = CD shodné úhly mají stejnou velikost, zápis AVB CUD AVB = CUD Příklady: 1. Zapiš symbolicky: a) bod B leží na polopřímce AC b) úsečka AC je částí polopřímky BF c) bod B neleží na úsečce AC d) úsečka BA neleží na polopřímce CF e) polopřímka CB nemá s polopřímkou AF žádný společný bod f) úsečky AC a BD mají jediný společný bod C g) přímka AC splývá s přímkou BF. 2. Zapiš symbolicky: a) úsečka CD leží v polorovině ABE b) polopřímka GD neleží v polorovině ABE c) bod F leží v polorovině CDA d) bod F neleží v polorovině CDE e) polorovina CGB splývá s polorovinou CDE f) přímka q leží v obou polorovinách ABE a ACG. 6

7 2. Vzájemná poloha přímek v rovině, souhlasné a střídavé úhly Různoběžky mají společný právě jeden bod průsečík P a b = {P}; P a b zvláštní případ kolmé přímky, průsečík P = pata kolmice daným bodem lze vést k dané přímce jedinou kolmici a b a c b c b c a b a c Rovnoběžky a b nemají žádný společný bod a b =, nebo nekonečně mnoho společných bodů zvláštní případ splývající (totožné) přímky a b = a = b daným bodem lze vést k dané přímce jedinou rovnoběžku a b b c a c Rovinný pás (a,b) část roviny ohraničená dvěma rovnoběžkami a, b Úhly souhlasné a střídavé Uvažujme dvě různé přímky a, b, které jsou proťaty příčkou p ve dvou bodech A, B (příčka úsečka nebo přímka, která má specif. polohu k jednomu či několika útvarům). dvojice souhlasných úhlů: dvojice střídavých úhlů: Jestliže jsou přímky a a b rovnoběžné, pak každá dvojice souhlasných (střídavých) úhlů jsou shodné a obráceně. 7

8 3. Odchylky a vzdálenosti Odchylkou α dvou přímek a, b v rovině nazýváme u různoběžných přímek velikost pravého nebo ostrého úhlu, který přímky svírají u rovnoběžných přímek velikost nulového úhlu zápis ab =α; α 0 ;90 Vzdálenost bodu A od přímky a je vzdálenost bodů A, P (P je pata kolmice vedené bodem A k přímce p) zápis Aa A a A a =0 Vzdálenost rovnoběžných přímek a, b je vzdálenost bodů A, B ( viz nákres) zápis a b a=b a b =0 8

9 3. Trojúhelník Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA, CAB; A B C; A, B, C neleží v jedné přímce. A, B, C vrcholy trojúhelníku AB, BC, AC strany trojúhelníku AB + BC + AC = O obvod trojúhelníku ( délka hranice) vnitřní body a vnitřek trojúhelníku vnitřní úhly trojúhelníku konvexní úhly BAC, ABC, BCA označení BAC... A... α ABC... B... β BCA... C... γ součet vnitřních úhlů trojúhelníku je vždy úhel přímý. vnější úhly trojúhelníku vedlejší úhly k vnitřním úhlům trojúhelníku ABC vnější úhel je roven součtu vnitřních úhlů při zbývajících vrcholech. proti shodným stranám trojúhelníku leží shodné vnitřní úhly, proti větší straně trojúhelníku leží větší vnitřní úhel a naopak. Dělení trojúhelníků podle délek stran různostranné žádné dvě strany trojúhelníku nejsou shodné rovnoramenné právě dvě strany trojůhelníku jsou shodné ramena, třetí je základna, rovnostranné všechny strany trojúhelníku jsou shodné Dělení trojúhelníků podle velikosti vnitřních úhlů ostroúhlé tupoúhlé všechny vnitřní úhly ostré právě jeden vnitřní úhel tupý pravoúhlé právě jeden vnitřní úhel pravý strana proti pravému úhlu - přepona, ostatní dvě strany - odvěsny 9

10 Trojúhelníková nerovnost součet každých dvou stran trojúhelníku je větší než strana třetí např. AB AC + BC, přičemž A, B, C jsou vrcholy trojúhelníku (neleží v jedné přímce) Pozn: rovnost nastane právě tehdy, když C AB. Úsečky o délkách a, b, c jsou stranami trojúhelníku právě tehdy, když platí b c < a< b+c. Odvození: Střední příčka trojúhelníku úsečka, která spojuje středy dvou stran trojúhelníku A 1 B 1 = 1 2 AB ; A 1 B 1 AB, atd... Výška trojúhelníku úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice vedené tímto vrcholem k přímce určené zbývajícími vrcholy trojúhelníku v a, v b, v c výšky trojúhelníku se protínají v jediném bodě O orthocentrum Těžnice trojúhelníku úsečka spojující vrchol se středem protější strany t a, t b, t c těžnice trojúhelníku se protínají v jednom bodě T těžiště vzdálenost těžiště od vrcholu je rovna dvěma třetinám délky těžnice 10

11 Kružnice opsaná trojúhelníku prochází všemi vrcholy trojúhelníku střed je průsečíkem os stran trojúhelníku, poloměr r Kružnice vepsaná trojúhelníku dotýká se všech stran trojúhelníku střed je průsečíkem os vnitřních úhlů trojúhelníku, poloměr ρ Shodnost trojúhelníků Věta SSS Dva trojúhelníky, které se shodují ve všech jeho stranách, jsou shodné. Věta USU Dva trojúhelníky, které se shodují v jedné straně a úhlech přilehlých k této straně, jsou shodné. Věta SUS Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném, jsou shodné. Věta SsU Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou stranách a úhlu proti větší z nich, jsou shodné. Podobnost trojúhelníků Trojúhelníky A'B'C' a ABC jsou podobné právě tehdy když existuje kladné reálné číslo k takové, že pro jejich strany platí: A' B ' =k AB ; B' C ' =k BC ; C ' A' =k CA neboli c' =k c; a'=k a; b'=k b. k koeficient (poměr) podobnosti k > 1 zvětšení, k < 1 zmenšení, k = 1 shodnost Zápis: Δ ABC~Δ A ' B ' C ' Je-li Δ ABC~Δ A ' B ' C ' s koeficientem k, pak je Δ A' B ' C ' ~Δ ABC s koef. 1/k. Věta UU Dva trojúhelníky, které se shodují ve dvou úhlech jsou podobné. Věta SUS Dva trojúhelníky, které se shodují v poměru délek dvou stran a úhlu jimi sevřeném, jsou podobné. 11

12 Příklady 1. (J) (K) Rozhodni, zda jsou podobné trojúhelníky ABC, A'B'C'. a) a= 8 3 cm,b= 7 3 cm,γ=55, a' =4cm,b'= 7 cm, γ' =55 2 b) a=15cm,b=17cm, γ=75 40',a'=10cm,b' =11cm, γ'=75 40' *c) AB =24mm,v c =16 mm, A ' B' =72 mm, A ' C ' =60mm rovnoramenné d) a=12cm,b=16cm,c=19cm,a'=10cm,b' =13 1 cm,c' =15cm 3, trojúhelníky ABC a A'B'C' jsou 2. (J) Stín věže je dlouhý 70 m a stín metrové tyče má v tutéž dobu délku 150 cm. Vypočítejte výšku věže. 3. (J) Určete měřítko mapy, jestliže trojúhelníková pole o rozměrech 162,5 m; 117,5 m; 180 m je na mapě zakresleno jako trojúhelník o stranách 6,5 mm; 4,7 mm; 7,2 mm. 4. (J) V rovnoramenném trojúhelníku ABC se základnou AB veďte středem S ramene BC kolmici na základnu AB s patou D. Dokažte, že platí AD = 3 4 AB. *5. (J) Vrcholy trojúhelníku ABC mají od přímky p vzdálenost d A = 3 cm, d B = 4 cm, d C = 8 cm. Vypočítej vzdálenost těžiště T trojúhelníku ABC od přímky p. 6. (J) Vypočítej délky stran a, b, c trojúhelníku ABC, který je podobný trojúhelníku A'B'C', jestliže obvod trojúhelníku ABC je 100 cm a a'= 8 cm, b'= 14 cm, c'= 18 cm. 7. (J) Pomocí redukčního úhlu (graficky) zkraťte úsečky o velikostech 4 cm, 8 cm, 12 cm v poměru 5 : (J) Pomocí redukčního úhlu (graficky) zvětšete úsečky o velikostech 2 cm, 5 cm, 6 cm v poměru 7 : (J) Přímá cesta rovnoměrně stoupá na každé 2 m o 10 cm. O kolik metrů stoupne cesta při vzdálenosti 1250 m? 10. (K) Trojúhelník ABC má délky stran a = 2 cm, b = 3 cm, c = 4 cm. Najděte trojúhelník podobný, jehož strana a' = 3 cm. 11. (K) Věž vrhá stín dlouhý 56 m. Tyč dlouhá 3 m má ve stejném okamžiku stín dlouhý 1,75 m. Jak vysoká je věž? Pod jakým úhlem dopadají sluneční paprsky k zemi? Řešení: 1. a) A, b) N, c) A, d) N; /3 m; 3. 1 : ; 5. 5 cm; 6. a = 20 cm, b = 35 cm, c = 45 cm; 9. o 62,5 m; 10. b' = 4,5 cm, c' = 6 cm; m, 59 44' 12

13 4.Mnohoúhelníky Pojmy: lomená čára, vrcholy lomené čáry, strany lomené čáry, lomená čára uzavřená... Mnohoúhelník uzavřená lomená čára spolu s částí roviny, kterou ohraničuje Pojmy: hranice mnohoúhelníku, obvod mn., vrcholy a strany mn., vnitřní body a vnitřek mn., konvexní mnohoúhelník n úhleník má n-vrcholů (n = 3 trojúhelník, n = 4 čtyřúhelník, atd...) Úhlopříčka n-úhelníku úsečka s krajními body ve dvou nesousedních vrcholech počet úhlopříček: Konvexní mnohoúhelník 1 2 n (n 3) mnohoúhelník je konvexní, jestliže úsečka spojující kterékoliv dva body mnohoúhelníku je součástí tohoto útvaru tětivový mnohoúhelník konvexní mnohoúhelník, jemuž lze opsat kružnici tečnový mnohoúhelník konvexní mnohoúhelník, jemuž lze vepsat kružnici opěrná polorovina konvexního mnohoúhelníku každá polorovina, v niž konvexní mnohoúhelník leží a jejíž hraniční přímka má s mnohoúhelníkem společnou právě jednu hranu. konvexní mnohoúhelník je průnikem všech svých opěrných polorovin vnitřní úhel konvexního mnohoúhelníku součet velikostí všech vnitřních úhlů konvexního n-úhelníku: (n 2) 180 vnější úhel konvexního mnohoúhelníku Pravidelný n-úhelník má všechny strany a vnitřní úhly shodné vnitřní úhly mají velikost lze mu opsat i vepsat kružnici (n 2) 180 n např: čtverec, pravidelný pětiúhelník 13

14 Příklady: 1. Velikosti vnitřních úhlů konvexního čtyřúhelníku jsou v poměru m : n : p : q, kde m, n, p, q jsou daná čísla. Jaké mají velikosti? 2. Lichoběžník ABCD s rameny AD délky 3 cm a BC délky 5 cm lze vepsat kružnici. Střední příčka EF dělí lichoběžník na dvě části, jejichž obsahy jsou v poměru 5 : 11. Vypočítej délky základen lichoběžníku. 3. Sestroj pravidelný trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník, šestiúhelník, sedmiúhelník a desetiúhelník. 14

15 5. Konvexní čtyřúhelníky Různoběžníky každé dvě protější strany jsou různoběžné např. deltoid Lichoběžníky právě dvě protější strany jsou rovnoběžné základny, zbývající dvě strany jsou různoběžné - ramena. střední příčka lichoběžníku úsečka spojující středy ramen S 1 S 2 = AB + CD 2 výška lichoběžníku vzdálenost základen součet vnitřních úhlů při rameni je 180 (výplňkové úhly) zvl. případy rovnoramenný lichoběžník stejná délka ramen pravoúhlý lichoběžník - právě jedno rameno je kolmé k základnám 15

16 Rovnoběžníky každé dvě protější strany jsou rovnoběžné dělení podle vnitřních úhlů pravoúhlé (obdélník, čtverec) úhlopříčky jsou shodné kosoúhlé ( kosodélník, kosočtverec) dělení podle délek stran rovnostranné (čtverec, kosočtverec) úhlopříčky půlí vnitřní úhly a jsou navzájem kolmé různostranné (obdélník, kosodélník) v každém rovnoběžníku platí protější strany jsou shodné protější vnitřní úhly jsou shodné úhlopříčky se navzájem půlí, jejich společný bod je středem rovnoběžníku věty platí i obráceně: Jestliže konvexní splňuje kteroukoliv z uvedených vlastností, pak je to rovnoběžník. Má-li rovnoběžník dva sousední úhly shodné, pak jsou shodné všechny a jsou pravé. Má-li rovnoběžník dvě sousední strany shodné, pak jsou všechny jeho strany shodné.?? Lze každému trojúhelníku opsat a vepsat kružnici??? Lze každému konvexnímu čtyřúhelníku opsat a vepsat kružnici? 16

17 Tětivový čtyřúhelník čtyřúhelník, jemuž lze opsat kružnici, obdélník, čtverec lichoběžník je tětivový, právě když je rovnoramenný součet protějších vnitřních úhlů tětivového čtyřúhelníku je úhel přímý Tečnový čtyřúhelník čtyřúhelník, jemuž lze vepsat kružnici kosočtverec, čtverec, deltoid lichoběžník je tečnový, právě když součet délek jeho základen je roven součtu délek jeho ramen součty délek dvojic protějších stran tečnového čtyřúhelníky jsou si rovny Dvojstředový čtyřúhelník čtyřúhelník, jemuž lze opsat i vepsat kružnici čtverec Pozn: Kosodélník není ani tětivový, ani tečnový. 17

18 6. Kružnice, kruh Kružnice k(s, r) množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu S danou vzdálenost r S střed kružnice, r poloměr kružnice Kruh K(S, r) množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r S střed kruhu, r poloměr kruhu k(s, r) hranice kruhu vnitřní oblast (vnitřek) kruhu, vnější oblast (vnějšek) kruhu Tětiva kružnice úsečka AB, kde A, B jsou dva různé body kružnice průměr kružnice d je tětiva procházející středem kružnice d = 2. r Kružnicové oblouky (oblouky kružnice) s krajními body A, B Větší oblouk - oblouk v polorovině ABS, menší oblouk (AB neprochází bodem S) Půlkružnice oblouky pokud AB prochází bodem S Otevřený oblouk množina všech vnitřních bodů oblouku (oblouk bez krajních bodů) A, B krajní body obou oblouků C 1, C 2 vnitřní body jednoho oblouku Kruhové výseče Kruhové úseče 18

19 Vzájemná poloha přímky a kružnice Vnější přímka Tečna Sečna žádný společný bod právě jeden společný bod právě dva společné body v > r T bod dotyku A, B průsečíky v = r v < r tečna je kolmá k r úsečka AB tětiva Bodem M, který leží vně kružnice prochází právě dvě tečny kružnice. MT 1 = MT 2... délka tečny Př 1: Je dána kružnice k a vnější bod M. Sestrojte všechny tečny kružnice k procházející bodem M. 19

20 Vzájemná poloha dvou kružnic k 1 (S 1, r 1 ), k 2 (S 2, r 2 ) Soustředné kružnice S 1 = S 2 nemají žádný společný bod (r 1 r 2 ), nebo nekonečně mnoho společných bodů (r 1 = r 2 ) zvláštní případ totožné (splývající) kružnice, r 1 = r 2 mezikruží - všechny body, které mají od bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r 1 a větší nebo rovnu r 2 šířka mezikruží r 1 r 2 výseč mezikruží průnik mezikruží a úhlu, jehož vrcholem je střed kružnice Nesoustředné kružnice S 1 S 2 S 1 S 2 středná úsečka Každá kružnice leží vně druhé Kružnice mají vnější dotyk S 1 S 2 > r 1 + r 2 S 1 S 2 = r 1 + r 2 Kružnice se protínají ve dvou bodech r 1 - r 2 < S 1 S 2 < r 1 + r 2 Kružnice mají vnitřní dotyk S 1 S 2 = r 1 - r 2 Jedna kružnice leží uvnitř druhé (nedotýkají se) 0 < S 1 S 2 < r 1 - r 2 20

21 7. Úhly příslušné k oblouku kružnice k(s, r) Úhel středový příslušný k oblouku AB... úhel ω má vrchol v bodu S (střed kružnice k), ramena procházejí body A, B oblouk AB v daném středovém úhlu leží středový úhel k půlkružnici je úhel přímý Úhel obvodový příslušný k oblouku AB úhel α vrchol V leží na kružnici k, neleží na oblouku AB (ke kterému obvodový úhel přísluší), ramena úhlu procházejí body A, B obvodový úhel je vždy konvexní Ke každému oblouku existuje právě jeden středový úhel a nekonečně mnoho obvodových úhlů. 21

22 Velikost středového úhlu (ω ) je rovna dvojnásobku velikosti obvodového úhlu (α) příslušného k témuž oblouku. ω = 2. α Platí: Všechny obvodové úhly k danému oblouku jsou shodné. Obvodový úhel příslušný k menšímu oblouku je ostrý. Obvodový úhel příslušný k většímu oblouku je tupý. Obvodový úhel příslušný k půlkružnici je ostrý. Součet obvodových úhlů příslušných k oběma obloukům AB je úhel přímý (viz tětivový čtyřúhelník) Thaletova věta všech úhly nad průměrem kružnice jsou pravé. 22

23 8. Obvody a obsahy geometrických obrazců Geometrický obrazec geometrický útvar ohraničený uzavřenou čarou, která je také částí obrazce Obvod O délka hranice geometrického útvaru Obsah S kladné číslo přiřazené geometrickému obrazci tak, že platí Přehled vzorců 1. Shodné obrazce mají sobě rovné obsahy. 2. Skládá-li se obrazec z několika obrazců, které se nepřekrývají, rovná se jeho obsah součtu jejich obsahů. 3. Obsah čtverce se stranou 1 (mm, cm, ) je 1 (mm 2, cm 2, ) Obrazec Obvod Obsah Trojúhelník O=a+ b+c S= 1 2 a v a= 1 2 b v b= 1 2 c v c Heronův vzorec: S = s ( s a) (s b) (s c), kde s= 1 2 (a+b+c) Obdélník strany a, b Čtverec strana a O=2 (a+ b) S =a b O=4 a S=a 2 S= 1 2 e2 Kosodélník O=2 (a+b) S=a v a =b v b 23

24 Kosočtverec O=4 a S=a v S= 1 2 e f Lichoběžník O=a+ b+c +d S = 1 2 (a+c) v Kruh O=2 π r=π d S =π r 2 = 1 4 π d 2 d=2ṙ Mezikruží S=π (r 1 2 r 2 2 ) S= 1 4 π (d 2 1 d 2 2 ) d 1 =2 r 1 d 2 =2 r 2 Pravidelný n-úhelník strana... a poloměr kružnice vepsané ρ O=n a S =n 1 2 a ρ= 1 2 O ρ 24

25 Pozn: Kružnice přísluší středovému úhlu 360, půlkružnice středovému úhlu 180. Délka oblouku, kterému přísluší středový úhel 1 je je délky celé kružnice, tj. délky celé půlkružnice, tj. 2 π r 360 Délka kružnicového oblouku, kterému přísluší středový úhel o velikosti α ( ) AB = π r 180 α Oblouková míra jednotkový úhel. 1 radián středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici (r =1) oblouku o délce 1. α velikost úhlu v míře stupňové (ve stupních), [α] = ' '' arc α, x velikost úhlu v míře obloukové (v radiánech), [x] = rad délka oblouku jednotkové kružnice, který přísluší ke středovému úhlu o velikosti α v míře stupňové x= π α [rad], α=180 x [ ] 180 π velikost úhlu v míře obloukové a velikost úhlu v míře stupňové jsou přímo úměrné. 25

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k

Více

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku.

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku. Mnohoúhelníky Je dáno n různých bodů A 1, A 2,. A n, z nichž žádné tři neleží na přímce. Geometrický útvar tvořený lomenou čarou a částí roviny touto čarou ohraničenou nazýváme n-úhelníkem A 1 A 2. A n.

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º) 6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,

Více

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny

Více

Planimetrie. Příklad 1. Zapište vztahy mezi body a přímkami, které jsou vyznačeny na obrázku. Příklad 2. Určete body K, L, M pomocí přímek p, r, s.

Planimetrie. Příklad 1. Zapište vztahy mezi body a přímkami, které jsou vyznačeny na obrázku. Příklad 2. Určete body K, L, M pomocí přímek p, r, s. Planimetrie Část matematiky, zabývající se studiem rovinných geometrických objekt (rovinná geometrie). bstrakcí z hmotných objektů vznikly základní geometrické pojmy bod přímka Bod Body označujeme velkými

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie)

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Geometrie (původně zeměměřictví) nyní část matematiky, zabývající se studiem geometrických objektů Planimetrie rovinná geometrie Stereometrie prostorová geometrie

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie

Více

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

DIDAKTIKA MATEMATIKY

DIDAKTIKA MATEMATIKY DIDAKTIKA MATEMATIKY GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní a důkazové Růžena Blažková, Irena Budínová Brno 2007 1 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body

Více

UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE

UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE UNIVERZITA KARLOVA V PRAZE Pedagogická fakulta Katedra matematiky a didaktiky matematiky Výuka rovinné geometrie na středních školách Plane geometry teaching at secondary schools Autor: Bc. Lucie Machovcová

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím

Více

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

Základy geometrie - planimetrie

Základy geometrie - planimetrie Základy geometrie - planimetrie Základní pojmy - bod (A, B, X, Y...), přímka ( p, q, a... ), rovina ( α, β, π... ) - nedefinují se Polopřímka: bod dělí přímku na dvě polopřímky opačně orientované značíme

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

3.1.2 Polorovina, úhel

3.1.2 Polorovina, úhel 3.1.2 Polorovina, úhel Předpoklady: 3101 Přímka dělí rovinu na dvě navzájem opačné poloroviny a je jejich společnou hranicí (hraniční přímkou). p Hraniční přímka patří do obou polorovin. ody, které neleží

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme

Více

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem Kružnice Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem je průměr kružnice.

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

Planimetrie pro studijní obory

Planimetrie pro studijní obory Variace 1 Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Planimetrie Planimetrie

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Kružnice Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Základní geometrické tvary

Základní geometrické tvary Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Podobnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Úhel Zvolíme-li na přímce bod, rozdělí ji na dvě polopřímky. Definice (Úhel) Systém dvou polopřímek ÝÑ VA, ÝÑ VB se společným počátečním

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

je-li dáno: a) a = 4,6 cm; α = 28 ; b) b = 8,4 cm; β = 64. Při výpočtu nepoužívejte Pythagorovu větu!

je-li dáno: a) a = 4,6 cm; α = 28 ; b) b = 8,4 cm; β = 64. Při výpočtu nepoužívejte Pythagorovu větu! -----Pravoúhlý trojúhelník----- 156 V pravoúhlém trojúhelníku ABC má pravý úhel vrchol C. Vypočítejte velikost jeho ostrých úhlů, je-li dáno: a) a = 62 mm, b = 37 mm, b) a = 36 mm, c = 58 mm, c) b = 8,4

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

GEOMETRIE. Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

GEOMETRIE. Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti GEOMETRIE pracovní sešit pro 6. ročník Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Tato publikace byla vytvořena v souladu s RVP ZV v rámci projektu

Více

Planimetrie. Přímka a její části

Planimetrie. Přímka a její části Planimetie Přímka a její části Bod - značí se velkými tiskacími písmeny - bod ozděluje přímku na dvě opačné polooviny Přímka - značí se malými písmeny latinské abecedy nebo AB, AB - přímka je dána dvěma

Více

ZÁKLADY PLANIMETRIE. 1.1 Přímka. Základy planimetrie, Jaroslav Reichl, 2013

ZÁKLADY PLANIMETRIE. 1.1 Přímka. Základy planimetrie, Jaroslav Reichl, 2013 ZÁKLADY PLANIMETRIE Planimetrie je část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Těmito útvary v rovině jsou: 1. body - značí se velkými písmeny latinské abecedy (A, B, C, D,

Více

Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část

Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník 4 hodiny týdně PC a dataprojektor Číselné obory Přirozená a celá čísla Racionální

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník a kvinta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Základní poznatky Číselné

Více

Geometrie v rovině 2

Geometrie v rovině 2 OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ PEDAGOGICKÁ FAKULTA Geometrie v rovině 2 Distanční text pro učitelství 1. stupně základní školy Renáta Vávrová OSTRAVA 2006 Obsah Úvod 5 1 Trojúhelník, lomená čára, mnohoúhelník

Více

z přímek a kružnic 35. Čtverec s danou stranou: 1. Oblouky A-B, B-A (přímka CED); 2. Oblouk E-AB (F); 3. Přímky AF, BF a vzniklé průsečíky

z přímek a kružnic 35. Čtverec s danou stranou: 1. Oblouky A-B, B-A (přímka CED); 2. Oblouk E-AB (F); 3. Přímky AF, BF a vzniklé průsečíky ČTVERCE A KOSOčTVERCE z přímek a kružnic Jednoduché čtyřúhelníkové konstrukce se dají zvládnout snadno. Abyste sestrojili kružnici opsanou čtverci nebo obdélníku, nejprve zakreslete úhlopříčky a pak narýsujte

Více

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka.

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka. Úvod Jestliže bod A leží na přímce p a přímka p leží v rovině, pak i bod A leží v rovině. Jestliže v rovině leží dva různé body A, B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině. Dvěma

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní

Více

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti) Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PODOBNÁ

Více

3. Racionální čísla = celá čísla + zlomky + desetinná čísla 4. Iracionální čísla = čísla, která nelze zapsat konečným desetinným rozvojem

3. Racionální čísla = celá čísla + zlomky + desetinná čísla 4. Iracionální čísla = čísla, která nelze zapsat konečným desetinným rozvojem Číselné obory 1. Přirozená čísla vyjadřují počet. 1,2,3, 2. Celá čísla Kladná: nula Záporná: Kladná + nula = nezáporná čísla Celá čísla = přirozená + nula + záporná celá 3. Racionální čísla = celá čísla

Více

10)(- 5) 2 = 11) 5 12)3,42 2 = 13)380 2 = 14)4, = 15) = 16)0, = 17)48,69 2 = 18) 25, 23 10) 12) ) )

10)(- 5) 2 = 11) 5 12)3,42 2 = 13)380 2 = 14)4, = 15) = 16)0, = 17)48,69 2 = 18) 25, 23 10) 12) ) ) Druhá mocnina z tabulek 1) (- 6) = 10)(- 5) = ) 7 = 4 11) 5 = ) 4,8 = 4) 40 = 5),785 = 6) 65 8 = 7) 0,01485 = 8) 5,7 = 9) = 4 1),4 = 1)80 = 14)4,6787 = 15)467 56 = 16)0,014 = 17)48,69 = 1 18) Druhá odmocnina

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Maturitní nácvik 2008/09

Maturitní nácvik 2008/09 Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],

Více

Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem

Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem Úlohy MO z let 1994 2012 navržené dr. Jaroslavem Švrčkem 1. Je dána polokružnice o středu S sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte takovou její tečnu t s dotykovým bodem T (A T B), aby platilo P BCS =

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly

6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 7. ročník - 6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 6.1. Základní pojmy 6.1.1. n úhelník n - úhelník pro n > 2 je geometrický obrazec, který má n vrcholů ( stran,

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ),

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), Tělesa 1/6 Tělesa 1.Mnohostěny n-boký hranol Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), hranol kosý hranol kolmý (boční stěny jsou kolmé k rovině podstavy) pravidelný

Více

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky. 2.cvičení 1. Polopřímk: od O dělí přímku n dvě nvzájem opčné polopřímky. Úsečk: průnik dvou polopřímek,. Polorovin: přímk dělí rovinu n dvě nvzájem opčné poloroviny. Úhel: průnik polorovin (pozor n speciální

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

ÚVOD... 5 CÍLE PŘEDMĚTU... 7 1. ROVINNÉ ÚTVARY... 9 1.1. ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY... 10 ZNAČENÍ A ZÁPIS ZÁKLADNÍCH PLANIMETRICKÝCH ÚTVARŮ...

ÚVOD... 5 CÍLE PŘEDMĚTU... 7 1. ROVINNÉ ÚTVARY... 9 1.1. ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY... 10 ZNAČENÍ A ZÁPIS ZÁKLADNÍCH PLANIMETRICKÝCH ÚTVARŮ... O B C H O D N Í A K A D E M I E O R L O V Á M A T E M A T I K A I II Z Á K L A D Y G E O M E T R I E U Č E B N Í T E X T P R O D I S T A N Č N Í F O R M U V Z D Ě L Á V Á N Í E V A B A R T O Ň O V Á P

Více

Vlastnosti kružnice. Bakalářská práce. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta pedagogická Katedra matematiky

Vlastnosti kružnice. Bakalářská práce. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta pedagogická Katedra matematiky Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Fakulta pedagogická Katedra matematiky Bakalářská práce Vlastnosti kružnice Vypracoval: Veronika Šulová Vedoucí práce: prof. RNDr. Pavel Pech, CSc. České Budějovice

Více

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,

Více

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín

Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420. Šablony Mendelova střední škola, Nový Jičín Projekt OP VK č. CZ.1.07/1.5.00/34.0420 Šblony Mendelov střední škol, Nový Jičín NÁZEV MATERIÁLU: Trojúhelník zákldní pozntky Autor: Mgr. Břetislv Mcek Rok vydání: 2014 Tento projekt je spolufinncován

Více

Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku

Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Řešení složitějších úloh na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku Bakalářská práce BRNO. května 006 Barbora Kamencová Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Astaloš Dušan. frontální, fixační. samostatná práce, skupinová práce

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Astaloš Dušan. frontální, fixační. samostatná práce, skupinová práce METODICKÝ LIST DA34 Název tématu: Autor: Předmět: Ročník: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti: Stručný obsah: Trojúhelník I. obecný trojúhelník Astaloš Dušan Matematika šestý frontální,

Více

Úhly a jejich vlastnosti

Úhly a jejich vlastnosti Úhly a jejich vlastnosti Pojem úhlu patří k nejzákladnějším pojmům geometrie. Zajímavé je, že úhel můžeme definovat několika různými způsoby, z nichž má každý své opodstatnění. Definice: Úhel je část roviny

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

66. ročníku MO (kategorie A, B, C)

66. ročníku MO (kategorie A, B, C) Příloha časopisu MATEMATIKA FYZIKA INFORMATIKA Ročník 25 (2016), číslo 3 Úlohy I. kola (domácí část) 66. ročníku MO (kategorie A, B, C) KATEGORIE A A I 1 Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,

Více

Geometrické vyhledávání

Geometrické vyhledávání mnohoúhelníky a jejich vlastnosti lokalizace bodu vůči konvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či vnější lokalizace bodu vůči nekonvexnímu mnohoúhelníku rozhodnutí, zda je bod vnitřní či

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE

Více

Tělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na

Tělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na Tělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na mnohostěny a rotační tělesa. - Mnohostěny mají stěny, hrany

Více

16. žákcharakterizujeatřídízákladnírovinnéútvary

16. žákcharakterizujeatřídízákladnírovinnéútvary OČEKÁVANÝ VÝSTUP PODLE RVP ZV 1. žákcharakterizujeatřídízákladnírovinnéútvary Úloha 1 Rovinné útvary v obrázku jsou označeny symboly A L. A B C D E F G H I J K L V tabulce je uveden název obrazce a odpovídající

Více

Shodné zobrazení v rovině

Shodné zobrazení v rovině Gymnázium Cheb Shodné zobrazení v rovině seminární práce Cheb, 2007 Lojza Tran Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Shodné zobrazení v rovině vypracoval zcela sám za použití pramenů

Více